（基础数学专业论文）三维双曲空间中常平均曲率曲面的形变.pdf

第1 页 致谢 感谢科大良好而宽松的学习，生活环境，使我的三年硕士能有所学；感谢数 学系的各位老师的教导，他们的教诲和帮助使我受益终身，并将我引入数学这一 壮丽的殿堂；特别感谢陈卿老师三年多来对我的悉心教导，是我在几何学这一美 妙的数学分支能有所收获还要感谢我的同学给予我的友谊，使我愉快的在这里 学习与生活。 第2 页 摘要 在这篇文章中，我们定义了皿3 中常平均曲率曲面两类非平凡的形变：t 一形 变和u 一形变，讨论了形变后曲面的存在性和完备性。在文章中，利用、：v e i e r s t r a s s 组，给出了定义在非单连通黎曼面上常平均曲率曲面形变存在的充分必要条件 如果初始的曲面是全曲率有限的，我们证明了形变后曲面的全曲率和初始曲面的 全曲率是相等的。 第3 页 一一 a b s t r a c t t w oc l a s s e so fd e f o r m a t i o n s ，t a n du d e f o r m a t i o na r ed e f i n e do i l t h ec o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e o n es u r f a c e si nh y p e r b o l i ct h r e e s p a c e h a a n dt h e i rc o m p l e t e n e s sa n de x i s t e n c e o ft h e s ed e f o r m a t i o n s u r f a c e sa r ed i s c u s s e d i nt h i sp a p e r ，t h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo nan o n s i m p l yc o n n e c t e dh l e m a n m a n s u r f a c eo ft h e s ed e f o r m a t i o ns u r f a c e sa r eg i v e nb yu s i n g w e i e r s t r a s s d a t a i ft h et o t a lc u r v a t u r eo ft h ei n i t i a ls u r f a c ei sf i n i t e ，t h e nt h e t o t a lc u r v a t u r eo ft h es u r f a c ei si n v a r i a n tu n d e rt h e s et w o d e f o r m & - t 1 0 n s 1 引言第6 页 1引言 我们记三维双曲空间形式为正3 ，它具有常数为一l 的截面曲率。贼3 中平均 曲率为常数1 的曲面( 在这篇文章中，简记为c m cl 曲面) 和三维欧几里德空 间e 3 中极小曲面有很多类似的性质。酽中极小曲面有非常经典的w e i e r s t r a s s 表示，b r y a n t 对3 中c m c1 的曲面也建立了类似的表示公式，我们称之为 b r y a n t 表示。u m e h a r a 和y a m a d a 研究了c m c1 曲面的几何在 6 和 7 中， r o s s m a n 系统的介绍了三维双曲空间中c m c1 曲面的研究的最近的结果，描述 了它和三维欧氏空间中极小曲面在局部性质上的相似以及它们在整体性质上的 差异在阁和( 9 ，l r o s s m a n ，u m e h a r a 和y a m a d a 对c m cl 曲面及其对偶 曲面的绝对全曲率都较小的情形做了分类， 在这篇文章中，我们考虑c m c1 曲面的形变。我们将三维双曲空间o 看 成是黎曼对称空间s l ( 2 ，c ) s u ( 2 ) ，所以如果我们考虑s l ( 2 ，c ) 中的单参数子 群，我们就会得到丑3 中c m c1 曲面的形变。在我们的结果中，我们得到两类 形变，t 一形变和u 一形变。u m e h a r a 和y a m a d a 在【3 中定义的形变可以由t 一 形变得到我们在这篇文章中证明：如果初始的曲面是完备的，那么经过t 一形 变和u 一形变之后的曲面也是完备的这是定理3 2 的结果。假设初始的曲面是 定义在连通的黎曼面m 上。如果m 是单连通的，那么形变后的曲面一定是存 在的。如果m 不是单连通的，形变后的曲面不是一定存在的我们给出了形变 后曲面存在的充分必要条件由给出的单值化条件，如果一个曲面它的u - 形变 后曲面存在，那么它的t 一形变后曲面一定是存在的但是反之却不一定是正确 的。 在t 一形变和u 一形变下，如果初始的曲面的全曲率是有限的，那么形变之 后曲面的全曲率也是有限的。因为c m c1 曲面的g a u s s 曲率是负值，所以如果 曲面的全曲率是有限的，那么它的绝对全曲率也是有限的根据f 1 3 1 中定理9 1 的讨论，知道全曲率有限的c m c1 曲面可以定义在除去有限个点的紧致黎曼面 上记如2 和k 分别是c m c1 曲面诱导的度量和g a u s s 曲率那么定义在紧 致黎曼面上的伪度量d a 2 = 町幽2 的g a u s s 曲率为常数+ 1 d 铲会在h o p f 微 分为零的点上退化因此，伪度量如2 会在两类点集上退化，即它有两类奇点： 除去的有限个点和h o p f 微分为零的点在 1 】中，b r y a n t 给出了d 口2 在这些奇 1 引言第7 页 点附近的性质。根据1 y o y a n o v 在 1 0 中的定义，伪度量d 盯2 具有锥奇性由这 种锥奇性，我们可以得到和如2 相关的一个除子，再由伪度量的g a u s s b o n n e t 公式，得到由除子表示的曲面的全曲率考虑在t 一形变和u 一形变下除子的变 化，得到全曲率在这两类形变下的变化。在引理5 4 和引理5 5 中，我们证明了 除子在形变下是不变的，从而在定理5 6 中，我们证明了全曲率在这两类形变下 是不变的 2 预备知识第8 页 2 预备知识 2 1正3 及其中曲面的几何 记r 4 中点a 的坐标a o ，a 1 ，a 2 ，a 3 ，考虑瓞4 中非正定义的内积 ： = - a o b o + 。1 6 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 。 这个内积称为l o r e n t 内积，保持l o r e n t 内积的线性变换f ：r 4 + r 4 组成 l o r e n t 群，记做0 ( 3 ，1 ) 用r 4 中标准坐标系z o ，z 1 ，x 2 ，x 3 ，有 = 一d x oo d x o + d x l d x l + d x 2o d x 2 + d x 3o d x 3 l 4 表示赋予l o r e n t z 度量的空间( 璃4 ， ) l 4 的同构是下面的映射： p h a ( p ) + q ；a 0 ( 3 ，1 ) ，q r 4 考虑l 4 中二次超曲面 p r 4 | = 一1 这个曲面由两个连通分支组成，每一个和r 3 同胚。我们选取其中一个，使得其 中的护 0 ，并且定义： 。= p r 4 l z o 0 ， = 1 。 皿3 中任何一条曲线c 对任意t 满足 = 一1 ，因此有 = 0 。所以p 的切空间蝉只包括所有的向量 ， = 0 。而且 i = 0 ) 是非零线性泛函口一 的核，所以它的维数是3 ，因此 昙= 驯 = o ) ，其中p 皿3 。 m 表示一个连通，光滑的黎曼面，：m ，3 表示一个光滑的浸入，即 ，表示正3 中的曲面。令 f ，= ( m ；e d ，e l ，c 2 ，e a ) l m m ，e o = ，( m ) ，e 1ae 2 = ( 7 1 m m ) ) 为，的标架丛。e 3 巧( 。) n 3 是和 ( m ) 正交的单位法向量因为曲面，是 可定向的，所以e 3 可以看成是定义好的映射e 3 ：m 一l 4 存在准一的1 一形 式 嵋a ，卢= 0 ，1 ，2 ，3 ) 使得 d e 口= 8 目u g 5 2 预备知识 第9 页 i ，j ，变化范围为1 到3 。由l 4 中的l o r t e n z 内积，有下面的等式 d e d 2e i u 。 d e l = e o + e j w ? 0 = u ；+ “； 其中u 2 表示“；。微分上面的等式，得到结构方程 兰三二篡：一u ； 叫， d s 2 表示皿3 中的l o r t e n z 内积，则曲面，的第一基本型为 d s ；= 8 8 ( d s ) 2 = = ( u 1 ) 2 + ( u 2 ) 2 + ( “3 ) 2 因为8 3 d f = 护= 0 ，所以矗s ；= 1 ) 2 十2 ) 2 ，而且m 上诱导的面积形式 为d a ! = u 1a u 2 0 。因为d w 3 = 一u au 2 一u ；a u 2 = 0 ，所以存在光滑函数 允 = h j i ( i ，j = 1 ，2 ) ，使得 ( = | ) = h 纠1 2 、iv w i ) 得到曲面的第二基本型为i i = h 1 1 ( “1 ) 2 + 2 h 1 2 0 2 1 w 2 + 2 2 2 ) 2 。 将l 4 用2 2 的h e r m i t 对称矩阵表示，即将点( z o ，x 1 ，z 2 ，z 3 ) 表示成矩阵 ， z o + 一 z 1 + 、，二瓢2 z 1 一、= r 茁2 z o z 3 很容易验证( p ，p ) = 一d e tp ，或者 ( p 1 ，p 2 ) = 一；t r ( p l ，f 2 ) ，坳l ，p 2 h e r m ( 2 ) ， 这里乒表示矩阵p 的伴随矩阵在这个对应下， 3 = pe h e r m ( 2 ) | p 是正定的，d e t p = 1 ) 群s l ( 2 ，c ) 作用在研3 s l ( 2 ，c ) 3 _ 3 ， ( g ，p ) + 9 ( p ) = g p g + ， 一 5 2 预备知识 第1 0 页 一一 ： 其中g + 2 。很显然，这个群作用是等距变换，并且它诱导了个群同态p ： s l ( 2 ，c ) _ s 0 + ( 3 ，1 ) ( s 0 ( 3 ，1 ) 中含恒等元的连通分支) ，k e 即：士厶因此 1 1 - 1 i 。等同于对称空间s l ( 2 ，c ) s u ( 2 ) ： 皿3 = d a * l a s l ( 2 ，c ) ) 有了s ( 2 ，c ) 表示的皿3 ，则同时也给出了用s l ( 2 ，c ) 表示的毋设，： 9 夕+ 其中g s l ( 2 ，c ) ，四个p a u l i 矩阵为 岛2 ( j 弘2 ( 一岛= ( 一何0 宁) 一g 二) 令( 夕) = g e _ a g + 。很容易验证下面的等式 g 。由= 如圳w a 一+ 瓮。卅， 2 2 研3 中常平均曲率曲面的b r y a n t 表示 对于3 中平均曲率为常数l 的曲面有下面的b r y a n t 表示定理； 定理2 1 ( b r y a n t 表示) 设m 为单连通的黎曼面，固定m 上的一个点卸， d 是m 上一个s f ( 2 ，c ) 值的全纯形式。若。满足下面的两个条件： d e t 。= 0 r 2 1 1 t r a c e & + ) l ，p 是某一个正的连续函数我i l l i & p = s i n g ( d s 2 , p ) 注记2 4 如果g i n g ( d s 2 ，p ) = 0 ，则度量d 8 2 在p 点是光滑的 紧致黎曼面上的一个锥奇性度量d 5 2 决定m 上一个实的除子d 记b = p l ，p 2 ，孙) 是m 上一个有限的离散点集，而且幽2 在m b 是光滑的( 即 在其上任一点都是光滑的) 。令觑= s i n g ( d s 2 , p i ) ，定义m 上除子 p展 。 j i 口 2 预备知识第1 3 页 那么b 是口的支撑，记做s u p p ( z ) ) ；i d i = 。屈称为这个除子的度 黎曼面上光滑的度量有经典的g a u s s - b o n n e t 公式。对于共形的带奇异点的 度量我们也有类似的公式设d s 2 是奇异度量，_ d 是由度量决定的除子。在 m s u p p ( d ) 上，这个度量是光滑的，所以决定了一个光滑的g a u s s 曲率函数k ， 这种度量下的g a u s s b o n n e t 公式是； 定理2 5 设是紧致无边的黎曼面，d s 2 是m 上共形的度量，该度量决定 了除子口和m s u p p ( d ) 上定义的g a u s s 曲率函数k 假定能够作为一个 h s l d e r 连续函数延拓到m ，则 1r厂 嘉厶k d a 2 x ( m ) + l 口| | 其中d a 是面积形式，x ( m ) 是m 作为一个拓扑流形的e u l e r 示性数 注记2 6 在我们用的情形，只用考虑m 是紧致无边的黎曼面如果有边 界，上述的公式要做修正。有兴趣的读者可以参阅h o ，其中t r o y a n o v 给了这 个公式的完整形式 3 常平均曲率曲面的t 一形变和u 一形变第1 4 页 3 常平均曲率曲面的t 一形变和u 一形变 在这一节中，我们考虑定义在m 上的c m cl 曲面，并且假定m 是单连通 的。 由定理2 1 ，任何一个c m c1 的浸入，：m 3 都有提升f ：m s l ( 2 ，c ) 满足f = f f + ，那么对于任何常值矩阵a s l ( 2 ，c ) ，f - - - - - 4f a 将 给出，的形交，= f p 一( f a ) ( f a ) 4 。显然，如果a 是酉矩阵，那么这个 变换是平凡的因此我们有下面的定义： 定义3 1 ( c m c1 曲面的t - 形变和u 一形变) 假设f ：m 皿3 是一个 c m c j 曲面，f = f f + ，f s l ( 2 ，c ) 。 对v a c o ) ，令 豇f ( ( 3 ，) 则，= f f + 称作，的以a 为参数的t - 形变曲面，记做死。f = f f + ； 对v a c o ，令 声= f ( ：) z ， 则，= f f + 称作厂的c aa 为参数的u - 形变曲面，记做巩。，：卢f + 定理3 2 如果c m c 曲面，是完备的，那么f 的t - 形变曲面和矿形变曲 面都是完备的，v a c ( o ) 证明：假定( g ，u ) 是曲面，的w e i e r s t r a s s 组。由等式( 2 4 ) ，f 的第一 基本型是 d s 2 = ( 1 + 1 9 1 2 ) 2 l u l 2 固定m 上一条发散的曲线c ， 所以我们有 f d s ：+ 。 j o 厂j s 。uj ：+ o o( 3 3 ) 3 常平均曲率曲面的t - 形变和u _ 形变第1 5 页 成立，或者 j u ；= + o o j 。 成立，或者它们都成立。 我们先考虑t 一形变曲面由等式( 3 i g ：) 。= ( i 则有 ( ； g ( 3 , 4 ) ；) f - 1 d f ( ：；) 北：) ( ：；) u 卦 g 。雨9 西= a 2 u 记死o f 的第一基本型为d 9 2 ，则 舻= ( 1 + 斟) 2 2 ， 所以 j ( d g = 2 小f + 辛小2 “f = + o 。 ( 3 5 ) 所以致o ，是完备的，对于v a c o ) ， 现在考虑u 一形变曲面类似的，由等式( 3 2 ) 得到巩。，的w e i e r s t r a s s 组 ( 雪，白) 如下： 亘= g a 0 = u 曲面氓0 ，的第一基本型d 2 为 d 9 2 = ( 1 + i g a 2 ) 2 j 2 ( 3 6 ) 3 常平均曲率曲面的t 一形变和u 一形变第1 6 页 d s = f l u i + f l ，一- 1 2 i u i 如果等式( 3 4 ) 成立，那么 p = 如果等式( 3 4 ) 不成立，那么等式( 3 3 ) 必成立，所以有 z 如= 小l + f l ，刮2 i 啦加+ f ( i 卅i 2 i u i = 9 2 w l + ( 1 一i aj 2 ) z l u i 一2 f 1 9 i i a ii u i ；z 。2 u l + ( ，一5 i a l 2 ) z i u t 所以巩o ，是完备的，对于坝c o ) 口 注记3 3 从t - 形变曲面和u - 形变曲面的w e i e r s t r a s s 组的表达式，我们可以 知道这两个形变是非平凡的，因为它们中任何一个都和，的w e i e r s t r a s s 组不等 愉嗡 注记3 4 t - 形变和u - 形变事实上都是由s l ( 2 ，c ) 的非酉的单参数子群定义 的。这样就存在另外一种形变： 脚， 对应的w e i e r s t r a s s 组的变换由下面给出： 9 叼2 二 u _ 0 = ( 1 一a 9 ) 2 u 如果我们将9 变为，并且将u 变为9 2 u ，那么 ：= 兰一a 雪2 西= 目 所以这种形变和u - 形变是等价的 3 常平均曲率曲面的t 一形变和u 形变第1 7 页 下面的性质将给出在这两种形变下双曲g a u s s 映射的变换。 性质3 5 对e m ej 曲面，的双曲g a u s s 映射而言，互形变曲面和己l 形变 曲面相差分式线性变换 证明：设，的双曲g a u s s 映射式g ，h o p f 微分为q 对v a c o ) t 一形变曲面t ao f 的双曲g a u s s 映射是否。则 q = 0 西= q 叩) = 印) 2 暴= s ( g ) 一2 导= 即) 所以g 和g 相差一个分式线性变换 对u 一形变曲面巩。f ，它的双曲g a u s s 映射是否，h o p f 微分为百，因为 q = q ， 那么 s ( a ) = s ( g ) 所以g 和g 相差一个分式线性变换。 、 口 5 4t 一形变和u 一形变的单值化条件 第1 8 页 4t 一形变和u 一形变的单值化条件 现在考虑非单连通的情形，假定m 非单连通。这样提升f 和v i e r s t r a s s 组( g ，u ) 都是定义在m 的单连通覆盖m 上。所以t 一形变和u 一形变也是定义 在m 上，即，t 一形变曲面和u - 形变曲面都只是定义在m 上 引理4 1 设，：m * 3 为c m cj 曲面，它的w e i e r s t r a s s 组为( g ，u ) 口 对姒c o ) ，以a 为参数的p 形变曲面的第一基本型在m 是单值 的，当且仅当1 9 1 和i u i 在m 上是单值的； 俐对姒c o ，以a 为参数的弘形变曲面的第一基本型在肼是单值 的，当且仅当g 和u 在m 上是单值的 证明：对v a c 0 ) 我们首先考虑b 形变的曲面设死o ，的第一基本 型为d ；2 由等式( 3 5 ) 拈( 1 + 科) m 如果i g i 和都是单值的，那么幽也是单值的另一方面，假定豳是单值的 因为，的第一基本型( 1 + 1 9 i 。) 。川。是单值的，所以( 去一。) i 。i 是单值的。 l a l 因此川和引g 在肼上都是单值的 对于u 形变，令巩。，的第一基本型为d i 2 。由等式( 3 6 ) 如果g 和u 都是单值的，那么幽也是单值的另一方面，假定对v a c ，豳 都是单值的。那么对于任一个覆迭变换一：m ，m ，令h ( z ) = 9 ( v ( z ) ) ，则 g ，h 满足下面的等式 ( 1 + l g ( z ) 1 2 ) i u ( 。) l = ( 1 + i h ( z ) 1 2 ) i u ( v ( z ) ) l ( 1 + i g ( z ) 一a 2 ) p ( z ) = ( 1 + f h ( z ) 一) 、1 2 ) ( v 0 ) ) i 所以 篇1g ( z=黼1h ( z ( 4 1 ) + f) a 1 2+ f) 一a 2 、 7 弘b 形变和u 一形变的单值化条件 第1 9 页 对于固定的2 m ，令a = g ( 。) ，h ( z ) ，有 0=2 i g ( z ) 1 2 一g ( 。) 瓦丽一歹丽九( = ) 十1 9 ( z ) 1 2i h ( z ) 一9 ( z ) 1 2 0=2 i h ( z ) 1 2 一矗( 。) ；两一万i b ( z ) + j 九如) f 2f 9 ( z ) 一h ( z ) 1 2 所以 ( 2 + 1 9 ( z ) 一h ( z ) 1 2 ) ( 1 9 ( z ) 1 2 一l h ( z ) 1 2 ) = 0 因此有g ( 。) f = i h ( z ) i 。 由等式( 4 1 ) ，我们有 i g ( z ) 一a i = i h ( z ) 一a l ， 令a = h ( z ) ，有 f g ( z ) 一九0 ) f = 0 ， 所以对v z m 有g ( z ) = h ( z ) ，即g 在m 上是单值的因为q = u 由在m 上是单值的，所以u 在m 也是单值的 口 现在我们给出t 一形变和u 一形变单值化条件： 定理4 2 设，：mh 3 为c m cj 曲面，其w e i e r s t r a s s 组为( g ，u ) 以j 对坝c o ) ，以a 为参数的t - 形变曲面在m 上存在当且仅当l gj 和 l u l 在m 上是单值的； ，圳对v a c o ) ，以土为参数的u - 形变曲面在m 上存在当且仅当g 和u 在m 上是单值的 证明：因为，在m 上是单值的，所以双曲g a u s s 映射g ，h o p f 微分q 和 第一基本型d s 2 在m 上都是单值的对v ) 、c o ) ，我们首先考虑t 一形变。 由性质3 5 ，a 。f 的双曲g a u s s 映射g 和g 相差一个分式线性变换，所以g 在m 上是单值的因为h o p f 微分0 = q ，所以q 在a 彳上是单值的由引理 4 1 的( 1 ) ，n 。，在m 上是单值的当且仅当第一基本型d 2 是单值的所以 由引理4 1 的( 2 ) ，五o ，在肘上是单值的当且仅当引和川在m 上是单值 的 对u 一形变，利用类似的讨论，可以证明定理的后半部分 5 4t 一形变和u 一形变的单值化条件 第2 0 页 u 例子在f 8 1 中，作者对全绝对曲率茎4 ”的完备c m c1 曲面做了完整的分 类。这些曲面是； ( i ) 极限球， ( i i ) e n n e p e r 孪生曲面， 上述的c m c1 曲面都是定义在单连通黎曼面c 上，所以它们都存在 t _ 形变和u 一形变曲面。 ( i i i ) 嵌入的孪生悬链面，对应的m = c o ) ，夕= 和u = 二丁 z - , - l d 。，其中川 0 对v a c o ) 这类曲面有以a 为参数的u 形变曲面因为g ，u 在c o ) 都是单值的 5 5 t ，形变和u 一形变下不变的全曲率第2 1 页 5t 形变和u 一形变下不变的全曲率 5 1常平均凸率曲面和锥奇性伪度量 设，：m + 3 为皿3 中完备的c m cl 曲面，并且全曲率有限d s 2 ，d a 和k 分别表示诱导的度量，诱导的面积元和g a u s s 曲率函数。则k 0 并且曲 面的全曲率为 t a ( f 卜| | k d a 因为k s0 ，全血率有限，而且曲面是完备的，即m 在d s 2 下是完备的， 所以存在一个紧致的2 维流形砑，丽上有限个点 p l , p 2 ，p 。) ，使得m 和 丽 p 。，p 2 ，p m ) 同构所以我们可以不妨假设f ：m b 3 ，其中m 是 一个紧致无边的黎曼面，且b = p l ，p 2 ，p m ) 令d 口 = ( 一k ) d s 2 。则d 盯； 是定义在m b 上度量，其g a u s s 曲率为常数! + 1 。 因为d s 2 打；= f o l 2 ，d 盯；会在q 为零的点上退化设b - 为q 的脐点的集 合由 1 性质5 ，知道q 能够延拓为m 上的一个亚纯二次微分，所以b t 在m b 上是有限点集记b l = p 。+ 1 】，肌) ，并且令d = b u b l = p 1 ，p 。) ， 则如；是m d 上光滑的度量，其g a u s s 曲率为常数+ 1 在除去原点的单位开圆盘上的伪度量，若它的g a u s s 曲率= q - 1 ， 1 】中有 这个伪度量的局部表示 性质5 1 设除去原点的单位开圃盘+ = 甜c l o 0 ，假定t 一形变曲面 = b 。，存在，则 有下面的 w e i e r s t r a s s 组： g 鲰3 再 。 = a 诱导度量d s ； d s 2 纠( 1 + 譬一卵； 和h o p f 微分q = q 。 令风为 的g a u s s 曲率，d a ；= 风d s i ，则d 一是m b 上的具有g a u s s 曲率+ 1 的伪度量因为 赋磁= f q a f 2 = f q 2 即 川l + 譬川卵磁：i q i 。：( 1 + m t 川。舻， d 一只会在点集 p m + - ，) 上退化因此曲；是m d 上的光滑黎曼度量 我们同样定义m 上除子d ： d 其中毽= s i n g ( d 盯 ，p ：) 对岛a n d 觑，我们有下面的引理 砌t 5t - 形变和u - 形变下不变的全曲率第2 3 页 引理5 4 s i n g ( d a 2 ，p i ) = s i n g ( d a ；，p 1 ) ，其中i = l ，n 即d 在t - 形雯下 是不变的。 证明；固定i ，令( u z ) 为p i 附近的局部坐标，使得u = z m d1 0 t z l 1 。m b 的单连通覆盖空间为m ，覆盖映射为丌：面+ m b 。设v 为 7 1 - - - 1 ( 的某个连通分支。考虑u 的单连通覆盖空间令l = y c l n e ( ) 0 总存在以a 为参数的u _ 形变 曲面。这样我们就可以得到类似的引理。 引理5 5 假定，对任意a r ，a 0 总存在以a 为参数的矿形变曲面，则 除子d 在n 形变下不变 证明：设f ：m b ，正3 为c m c1 曲面，其w e i e r s t r a s s 组为( 9 ，u ) 对 任意a r ，a 0 ，设 = 巩。f 存在则 的w e i e r s t r a s s 组( 卧，w ) 为： 9= u= g a u 因为对a 0 ， 都存在，所以( g ，u ) 在m b 上是单值的，即g 为m b 上的亚纯函数记曲2 和d 一分别为，和 的诱导度量。则有下面的公式： 其中z 为局部坐标 d a 2 ： d 蠢= 羔1 恤1 2( + 引。) 2 群1 傣恤j 2( + i 甄1 2 ) 2 。1 ( 5 1 ) ( 5 2 ) 5 5t 一形变和u 一形变下不变的全曲率 第2 6 页 由上面的等式，加；为m 上的伪度量，且在m d 上光滑 对每个i ，存在p ；附近的邻域u 和局部坐标z u ，使得z ( o ) = p 。因 为，的全曲率有限，所以鼽不是本性奇点，所以可以假设在u 上g = z ”，其 中nez 根据等式( 5 1 ) ，有下面三种情形： ( 1 ) 1 。贝s i n g ( d o 2 ，p i ) = 佗一1 ； ( 2 ) 靠s - 1 。贝s i n g ( d o - 2 ，p i ) = 一( 扎+ 1 ) ； ( 3 ) 竹= 0 。则s i n g ( d a 2 ，p i ) = 0 因为在矿上甄= 严一a ，由等式( 5 2 ) ，有 至此，引理被证明 s i n g ( d a 2 , p f ) = s i n g ( d o i ，段) 口 下面我们给出这一节的主要定理 定理5 6 设m 为紧致无边的黎曼面， f ：m b 一研3 为完备的c m c j 曲 面，且全曲率有限。 p j 对ae 碾，a o ，如果乃。，存在，那么死0 ，和，的全曲率相等； 俐对任意a r ，a 0 ，如果巩。，都存在，那么玖o f 和，的全曲 率相等 证明：由锥奇性度量的g a u s s b o n n e t 公式，即定理2 5 ，f 的全曲率为： k d a ：2 7 r 仅( m d ) + j 口i ) 由引理5 4 ，d 在t 一形变下不变，且x ( m d ) 是拓扑常数， 变曲面 = ao f 的全曲率和，的全曲率相等。 由引理5 5 ，口在u 形变下不变，且x ( m d ) 是拓扑常数， 变曲面a = 氓o ，的全曲率和，的全曲率相等 所以t - 形 所以u 一形 口 5t 一形变和u 形变下不变的全曲率 第2 7 页 参考文献 f l 】b r y a n tr ，s u r f a c e so fm e a nc u r v a t u r eo n ei nh y p e r b o l i cs p a c e a s t e r i s q u e ， 1 9 8 7 1 5 4 - 1 5 5 ：3 2 1 3 4 7 。 f 2 1c x h e ，y y w u ，q c h e nd e f o r m a t i o n so fc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r eo n e s u r f a c ei n 3 ，中国科学技术大学学报，2 0 0 4 ，第1 期。 f 3 1 u m e h a r am ，y a m a d ak ap a r a m e t r i z a t i o no ft h ev d e i e r s t r a s sf o r m u l a ea n d p e r t u r b a t i o no fc o m p l e t em i n i m a ls u r f a c e si nr 3i n t ot h eh y p e r b o l i c3 - s p a c e 。 j r e i n ea n g e w m a t h ， 1 9 9 2 ，4 3 2 ：9 3 - 1 1 6 f 4 1 u m e h a r am ，y a m a d ak c o m p l e t es u r f a c e so fc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e - 1i n t h eh y p e r b o l i c3 - s p a c e 。a n n o f m a t h ，1 9 9 3 ，1 3 7 ：6 11 - 6 3 8 5 u m e h a r am ，y a m a d a k s u r f a c e so fc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r eci n 3 ( c 2 ) w i t h p r e s c r i b e dh y p e r b o l i cg a u s sm a p m a t h a n n ，1 9 9 6 ，3 0 4 ：2 0 3 2 2 4 【6 r o s s m a nw t e c h n i q u e s f o r s t u d y i n gc m c1 s u r f a c e si nh y p e r b o l i ct h r e e - s p a c e t o h o k um a t h p u