（流体力学专业论文）底部局部加热的多孔介质中热对流和分叉研究.pdf

摘要 本文 j 要研究了多孔介质中的牛顿流体的热对流的模式、稳定性及分叉。具体 通过数值计算，利用有限差分方法探讨了底部局部加热的矩形截面的二维多孔介质 腔体中的层化冈子对热对流的影响，以及宽高比和加热区间长度对分叉结构的影响。 并通过流场图、等温线图和各种n u s s e l t 数变化曲线来分析腔体中的热对流和分义的 过程，以及腔体内热能的分和。 汁算结果表明： 划于纯热对流，r a y l e i g h 数越大，由温差引起的扰动传达的区域越大，而高层 次比则对扰动具有压缩性。宽高比和加热区间的位置对流线胞格的位置有很大的影 口虮通过侧蹙总是失去能量，且这种能力与p a y l e i g h 数、壁面高度和宽高比有着显 著关系。 埘r 分义问题，还应用左壁中点的温度来展示分叉过程。底部局部加热时的腔 体。 1 具有复杂的流动模式。同个临界r a y l e i g h 数，可以发展出不同的分支；并且， 小l 州的临界r a y l e i g h 数，也可能发展出同种流动模式。宽高比的直接影响到x 、 z 方向的胞格数，而加热区间长度对x 方向的胞格数有着直接的影响。7 关键词 多孔介质对流稳定性宽高比层次比局部加热加热长度分叉 a bs t r a c t i nt h ep r e s e n tw o r k ，t h ec o n v e c t i v em o d e l ，s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fn e w t o n i a nf l u i d t l o wi np o r o u sm e d i aw i t hl o c a l i z e dh e a t i n gf r o mb e l o wa r es t u d i e d t h r o u g hn u m e r i c a l s i m u l a t i o nw i t ht h ef i n i t es c h e m e ，t h ee f f e c to fs t r a t i f i c a t i o nr a t i oo fh e a tc o n v e c t i o ni n p o r o u sm e d i a ，a n dt h ee f f e c to ft h ea s p e c tr a t i oa n dt h eh e a t i n gl e n g t ho nt h eb i f u r c a t i o n a r el b c u s e do nt h ec o n v e c t i v ep r o c e s s ，t h eb i f u r c a t i o n ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no fe n e r g yi n t h ec a v i t ya r ei l l u s t r a t e dw i t hs t r e a m l i n s ，i s o t h e r m s ，a n dt h ec u r v e sc o n c e r n i n go nn u s s e l t n u m b e r f r o mt h er e s u l t i ti sk n o w nt h a t ： t ot h ep u r eh e a tc o n v e c t i o n ，t h eb i g g e rr a y l e i g hn u m b e r t h ew i d e re x t e n to fd i s t u r b a n c e e v o k e db yt h et e m p e r a t u r ed i f f e r e n c eb u tt h eh i g h e rs t r a t i f i c a t i o nr a t i o nh a st h eo p p o s i t e e f f e c to nt h ep e r t u r b a t i o n t h ea s p e c tr a t i o na n dt h eh e a t i n gp o s i t i o ne f f e c tt h ec e l lp o s i t i o n g r e a t l yt h ee n e r g yo u t f l o w st h r o u g ht h ew a l l ，a n dh a sn o t a b l er e l a t i o nw i t ht h er a y l e i g h n u m b e r t h el o c a lh e i g h ta n dt h ea s p e c tr a t i o n t h et e m p e r a t u r eo ft h ec e n t e r - p o i n to ft h el e f tw a l li su s e dt od e m o n s t r a t et h eb i f u r c a t i o n p r o c e s s f h e r ea r em o r es o p h i s t i c a t e dm o d e l sa st ot h eb i f u r c a t i o np r o b l e m s o m ed i f f e r e n t b r a n c h e sc a nb ed e v e l o p e dt h r o u g ht h eo n ec r i t i c a lr a y l e i g hn u m b e r a n dt h es a m es t r e a m m o d e l sa l s oc a nb eg o ti nt h ed i f f e r e n tc r i t i c a lr a y t e i g hn u m b e r s t h ea s p e c tr a t i oh a s d i r e c t i m p a c to nt h ec e l l n u m b e ro fb o t hxa n dzd i r e c t i o n ，w h i l et h eh e a t i n gl e n g t h i n n u e n c e st h eh o r i z o n t a 】c e l l s k e y w o r d s p o r o u sm e d i a ；c o n v e c t i o n ；s t a b i l i t y ；a s p e c tr a t i o ；s t r a t i f i c a t i o nr a t i o ；l o c a l l y h e a t e d h e a t i n gl e n g t h ；b i f u r c a t i o n i 致谢 跫37 6 47 7 本论文是在导师孔详言教授的精心指导下完成的，他在我论文完成 的整个过程中都给予了我极大的帮助和无微不至的关怀，尤其值得指出 的是在论文即将完稿恩师对初稿无微不至的审阅和检查，导师这种严谨 的治学态度深深令作者深深为之感动，在论文完成之际，谨向孔详言教 授表达我最诚挚的谢意。 在论文完成的过程中，卢德唐教授、徐献芝副教授在一些关键性问 题的解决上给了作者以极大的帮助，在此表示我深深的感谢。 我还要感谢本实验室的李培超博士、曾亿山博士、刘雄硕士以及曾 清红、蒋远林、王美利、谭剑峰等师弟所给予的大力帮助。 梁永强、滕海龙、张嘉锋等同学以及王演兴等朋友，与我一起度过 的这么多年的科大生活，令人难以忘怀。对他们这么多年来说给予的帮 助，在这表示由衷的感谢。 感谢程如练，感谢她理解和鼓励。 最后我要感谢我的父母，在科大的这八年没有他们的全力支持和默 默的奉献，我就不能顺利完成学业。 向那些一直关心和帮助我的人们表示感谢! 吴建兵 2 0 0 1 年5 月 第一章前言 第一章前言 1 1 多孔介质中自然对流研究的重要意义 多孔介质中的对流问题作为多孔介质流体动力学的个基础研究课题，有 重要的理论意义。同时，在许多不同的实际问题和领域中有着广泛的应用，这 世因素极大地促进了该项研究的发展。本问题的研究为地热的开发提供一定的 理论基础，可预计地下的流线分布等温线分布等等，以及根据需要对流的类型 进行必要的控制，再就是用于稠油的开发，我国有许多稠油资源，稠油开发的 重要途径是进行热采，包括注热水、注蒸汽、火烧油层和电加热等，形成非等 温渗流，出现对流传热。本问题的研究将为此提供理论基础，其它如核废料的 处理、航空航天工程领域多孔材料中流体的对流、发热物质如谷物和煤炭的储 存、地下j ：程防止环境和地下水污染、雪层中的质量输运和雪崩的形成，以及 某些地球物理现象等等涉及多孔材料中自然对流问题。 1 2 多孔介质中自然对流研究的进展 关于多孔介质中对流的研究早在2 0 世纪4 0 年代已经开始，但早期的研究 荇匿f 线性稳定性分析，给出从单纯导热转变到出现稳定性对流的判据，以及 中嘶多孔层中对流的模式等。 自从l a p w o o d 的早期研究以来流体动力学稳定性方面已成为许多研究工 作的中心问题，它们很多都把注意力放到底部加热，上部冷却的以浮力为驱动 的流体的流动。 s u t t o n ( 1 9 7 0 ) 研究了底部加热的、流体饱和的二维矩形截面腔体多孔介 质- 的对流。b e c k ( 1 9 7 2 ) 研究了三维有限体积的多孔介质水平盒体中的对流， 他采用线性稳定性分析找到了对流开始的临界r a y l e i g h 数r 日，对一二维和= 三维 分别为4 丌2 和4 5 口2 。其中对流模式为( m ，n ) ，i l l 和n 对二二维情形分别为水平 方向和铅垂方向的胞格数：对三维情形分别为x 和y 方向的胞格数。其它一些 人利用g a l e r k i n 方法研究了三维盒体的数值解。s t r a u s 和s c h u b e r t ( 1 9 7 8 ，1 9 7 9 ) 研究了对于横滚扰动的二维解的稳定性，并且描述了定常或非定常流动所必须 的维盒体的几何尺寸，在瑞利数大于4 5 厅2 时，立方盒体中的流动状态可能 是刁i 确定的，二二维解和三维解同时存在。利用解析特征函数展开方法并研究了 有限振幅扰动的相空间动力学特征，s t e e n ( 1 9 8 3 ) 计算了当系统受到随机扰动 时，近立方盒体出现特定流动模式的可能性，同时考虑了几何尺寸对向非定常 埘流转换的影响。这些理论分析被其它一些人的数值计算和实验工作所验证。 关于二维大振幅对流的数值研究工作很多，不可能一一提及，只能简述如下： s t r a u s f 1 9 7 4 ) 利用g a l e r k i n 方法计算了瑞利数一波数空间上稳定解存在的气球 第一章前言 状区域；h o m e 和0 s u l l i v a n ( 1 9 7 4 ) 发现了f 方形胞格中流动的不确定性。 c a l t a g i r o n e ( 1 9 7 5 ) 研究了宽高比的影响和向非定常解的转换。其他一些人研 究了仵r a z 3 9 0 时的h o p f 分叉的出现，即向振荡流的转换。 r i l e y 和w i n t e r s ( 1 9 8 9 ) 已构造了稳态状态下的完全分叉结构，h o m e 和 o s u l l i v a n 用数值方法模拟了振荡对流模式下的演变过程，k i m u r a ，s c h u b e r t ，以 及s t r a u s 也片3 数值模拟模型研究了上述系统中由稳定状态到达混沌流动的过 程，他们采用了伪谱数值分析方法。h w a n g 和c h a n g ( 1 9 8 7 ) 研究了非b o u s s i n e s q 近似对流动转变及分叉的影响。p r a s a d ( 1 9 8 7 ) 对上下壁绝热，左右壁存在温 芹，内部含有热源的多孔介质腔体进行了研究，发现通过侧壁的热通量强烈的 依赖于瑞利数、宽高比，以及边界条件。v i n c o u r t ( 1 9 8 9 ) 研究了多孔介质中 固体骨架介质的各项异性对于腔体中对流状态的影响。w e i n i t s c h k e 等( 1 9 8 5 ， 1 9 9 0 ) 采用弧长连续的方法详细研究了多孔介质腔体中自然热对流的对称的和 非对称的稳态分叉结构。h u ( 1 9 9 6 ) 研究了细长槽中的自然对流，发现存在着 个山h o p f 分叉，到混沌流动的周期过程，这个过程受到内部热边界的影响。 孔、陈、吴( 2 0 0 0 ) 研究了非牛顿幂律流体的幂指数对流场的影响，并追踪了 对流ij 稳定到混沌的演化过程。孔、吴( 2 0 0 0 ) 对非达西流动的自然对流的分 义作了研究，确定了确定了b e t a 数与临界瑞利数的关系。 所有上述的研究均是基于底部完全加热的情况，而更为实际一点，往往是底 部只有部分区问加热，或者是侧壁加热。从8 0 年代中期丌始有人研究了这些情 形。p o u l i k a k o s 和b e i a n ( 1 9 8 3 ) 研究了侧壁面加热的多孔介质腔体中热对流， 发现侧壁的厚度、渗透性对腔体内的传热率有着重要影响；p r a s a d ( 1 9 8 4 ) 对矩形 多孔介质胖体侧蹙存住热通量的情形进行研究，结果表明热通量的增加并不会引起壁面温 度的线性增加，对丁崮定的热通量，当1 y 2 时n u s s e l t 数达到最大值；p o u l i k a k o s ( 1 9 8 7 ) 研究了内部有热源的多孔介质中的不稳定性；w a n gp u ( 1 9 8 7 ) 研究 了高r a y l e i g h 数下的矩形腔体中的不稳定对流；t o r r a n c e ( 1 9 7 9 ) 研究了在底 部局部加热的圆柱体内，g r a s h o f 数和p r a n d t l 数对传热效率的影响：e i k h a t i b ( 1 9 8 7 ) 研究了层次比对底部局部加热多孔介质中的热对流的影响。 1 3 本论文的主要创新 本论文再上一小节介绍的研究工作基础上，试图系统地研究底部局部加热的 牛顿流体所饱和的多孔介质中的自然热对流，以及分叉情况，并能给出合理的 解释，以揭示其内在的原因。 本文的工作主要集中再以下几个方面： 首先，建立了底部局部加热的二维矩形多i l 介质腔体中自然对流研究的物理 数学模型。 其次，本文主要采用有限差分方法来解决孔隙腔中的牛顿流体的对流传热问 题。通过计算获得了不同的热对流模式和分叉结构，并出此做了详细的分析。 对f 分叉结构，目前所使用的数值方法主要基于分叉理论，即在代数方程和 常微分方程中确定奇异点。基本思路是补充分又处需满足的条件以扩展控制方 程，然后利用有限差分方法解决偏微分方程，问题转换成利用线性稳定性来确 定奇异点，利用连续方法跟踪由奇异点引出的非线性分支，得出分叉点的路径。 第一章数学和物理模型 第二章数学和物理模型 2 1 基本假设 ( a ) 固体多孔介质是均质的，不变形的，而且与流体无化学反应，即化学惰性； ( b ) 流体为单相牛顿流体； ( c ) 普郎特一达西数较大，惯性项可忽略不计； ( d ) 围相和液相处于热平衡状态； ( e ) 流场温差足够小，可以使用b o u s s i n e q 近似，即除了在动量方程中包含有流 体体积热膨胀系数的浮力项外，流体和固体的特性均保持不变； f f ) 热弥敞可以忽略，并且可以导出有效热传导系数。 2 2 物理模型 k l ! ! 一 i j t t ! l l h t 。卜坐h t 。 2 d 图2 1 物理模型 考虑宽和高分别为w 和h 的矩形方腔，宽高比，= w 月，腔体内有牛顿流 体所饱和的多孔介质。多孔介质的孔隙度为，渗透率为k 。固相热容量为 ( p c ) ，热导率为k 。流体的热膨胀系数为，粘性系数为p ，运动粘度为v ， 热容量为( p c ) ，热导率为k ，。系统有效热导率为k ，热容量比率盯，热扩散 系数为d 。 k = p k ，+ ( 1 ) ， 第一章数学和物理模型 妒( p c ) ，+ ( 1 一妒x p c ) ， ( p c ) ， 七 口= _ 【p c ) ， 从方腔底部( 中心对称) 局部加热使之产生对流，加热段宽度为2 d ，如图2 1 所示。加热段温度瓦，底部其余部分温度为t 。，顶部温度为i ，侧壁温度呈线 性分响j ，即： 、( ：) = t + ( f 1 ) z h ( 21 ) 定义水平方向和垂直方向的特征温度差分别为巧= 瓦一t c ，正，= 7 ：一t 。 水平方i l q 的特征温度差乃对腔体内浮力驱动流动起着诱发和维持作用，而垂 直方向特征温度差瓦对这种流动则起着控制作用。诱发以后的流动的结 构依赖于层次比s s = ( i t ) 帆一t ) = a t a ( 2 2 ) 2 3 数学模型 基丁上述的物理问题，该问题的数学控制方程可写为 v = 0 v 尸一告莎+ p ，g 。+ f 2 3 a ) f 2 3 七1 盯鲁+ p 丁一2 r 亿，劫 b o u s s i n e s q 近似为 p = 岛 1 一f l ( t 一瓦) ( 2 4 ) 这罩= ( “，v ) 为渗流速度，p 为压强，t 为温度，g 为重力加速度，c a 为惯 性系数。由方程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 口j - 以求解出求知量v ，p ，t ，这是一个非线性偏微分 方程组。 方程( 2 3 b ) 的分量形式可以写成如下形式： 墨主型型坠 c 。风署一扩, d f _ p 昙“ 卜。瓦d v 一瓦d p 一芸v 喘 q 1 5 以上两式分别对z 和x 求偏导并相减，再将( 2 4 ) 代入其中得 c ，p ， 引入流函数满足 坐v 莎 彭 气瞻冬 o x “= p ：v = ， f t a ( 2 6 ) 中得 。成暑一i d v 2 y 一成风塞 现打定义如f 无量纲参量： l 专一，2 专，= 鼍= 羔 2 警 v 。2 而v 籼= 号掣 则方程( 2 y c ) 和疔程( 28 ) 化为( 为方便起见， 卜标d ，号省略) 万d2 0 雾一，陪等一撇+ s 小署 雾旁恼0 0 1 。爰f 雾雾 f 2 ，6 ) ( 2 7 1 ( 28 ) ( 2 、9 a 1 ( 2 9 - b ) 脚d = 警掣黼蛐s n 姗耻蝴一。：丽g k 7 ， v a 。 ”v jh l q m 。= _ ， 冀銎鬻甜阱数。通常达西靴2 姚因此孙 o ( 3 1 3 ) 此时n 被称为伪弧长规化。 3 4 2 奇异点的越过和分叉点处解分支的转换 如果h ，五。j 为正常解或正常限制点，这样在此解分支上欧拉一牛顿法可以 用水越过奇异点。如果m ( s ) 在s ，“】一 s 。 上非奇异，那么；( 晶) 是唯一确 定的。x ( 一) 的一个_ i 斤似为： x ”( 一) 2x h ) + 卜一凡 x ( l ) ( 31 4 ) 耶么牛顿法有如下形式： v = 0 , 1 ，( 3 1 5 ) 要使汁算收敛，需要x 。( j ) 在x ( 0 的适当吸引区内，同时m r ( 0 都为非奇异。此 、，1，j0 曲 x 曩 一 1 1 0 v 0 l q 0 z 沪只m = 硝 忖 第三章数值方法 时牛顿迭代x v ( 。) 按照几何收敛因子，呈竺f ： 收敛于。( 。) 。当解分支在 j 一j 屯，】的曲率不是很大时，牛顿法可以越过奇异点，在解分支上迭代下去。 通过其他形式的欧拉一牛顿迭代法可求得奇异点的精确位置，也可通过判断 d e t ( m ) 的符号变化来进行计算；然后采用k e l l e r ( 1 9 7 7 ) 所述的第二种方法进 行解分支的转换。 3 4 3 控制方程的欧拉一牛顿迭代算法 控制方程( 2 1 0 ) 可改写成如下单算子方程： e ：一g ( u m ) = o ；“= p g ，y l ( w ) ( 31 6 ) 其中e 为线性算子，g 为平滑非线性函数。对定常问题，方程( 2 1 0 ) 转化为 方程( 21 2 ) ，j j l j & 利用3 2 节所述的方法进行牛顿迭代，具体如下： g 。x “1 ) 缸= 一o ( x ) x = x 一x “ k = 0 , 1 对：述与程进行具体化 胁叫批y o a ：k + 1 一引警卅p 一摇彤筹一0 百1 i k + ! ( a 警+ s 肛 = 一勺秒一y 【9 ，d ( v “) 少一r a 扛磊p “) 口一y ( 蠹二月a “ 址a 驴1 ， = 一( v ；y 。+ r a 。归：) 义因为 矽f k “缸：( 厂+ 够) 一厂! 血： 令 d = 0 “一0 ，p = y “1 一v 。，q = r a “一r a 。 对( 3 1 7 ) 式交换算子，方程( 3 1 7 ) 化为： v 抄2 叫8 po苏00一一8氖p。(008z a zo x 0 z 档心a x 扣a z 卜 7 。f 苏 氖jj ( 3 1 7 a ) f 3 ，1 7 b ) ( 3 18 a ) 第三章数值方法 v ：尸+ r a y d 。十y q o 。= 如 闻样对( 3 1 2 ) 式，可得 山旧d + 刍。j p + ( 1 一) r a o q = 。 匕式中已略去上标k ，无上标k 的目，y ，r a 为第女次迭代的值。 其中 一= 一( v ；臼一， 暑詈：一警( i ：+ s 如= 一勺；y + r a ? o 。) ( 3 18 b ) r 3 1 8 c ) ( 3 1 9 a ) ( 3 1 9 b ) 一 珊 6 。( 臼一9 ，) + ( 妒一妒。) + ( 1 一) 五d 。( r a - r a o ) 一( s s 。) ) ( ，c ) 边界条件相应地转化为： 尸f x ：j ，z = p x , z = 0 , 1 ) = o d f 。：1 ，： ：d b ，：o ，1 ) ：o z r 32 0 ) 迭代初值p 。，y 。，r a 。由欧拉法给出，具体方法已由3 2 2 节给出，在正常点 或限制点处迭代收敛，即误差_ ，屹，r 3j 0 。 3 4 4 分叉点的计算 3 4 4 1 分又点的近似确定 当在解分支上进行牛顿迭代时，i d e t ( m ) 的符号改变即表示在此附近有分叉 点，记为( ，r a 。) ，以此作为分叉点的较好，然后利用下述方法进行精确计算。 3 4 4 2 初级分叉的计算 初级分又是从平凡解状态引出的破坏对称属性的分叉( 平凡解是在任意瑞利 数下都存在的无对流的纯热传导解) 。定义平凡解为b t 。，与瑞利数无关。通过 汁算j a c o b i a n 矩阵g 。( 心，尺口) 特征值为零时的特征向量；，可求得分叉点的位 置即求解下列方程 第三章数值方法 f g 。( ，r a ) 4 = 0 1 埘( 手) 1 = o ( 3 2 1 ) 其中聊( 孑) 为特征向量 某种形式的模，本文采用取远离边界的某一个掌。= 1 则方程( 3 2 1 ) 可写成如下形式： 善= ( g ，功 v ， g o ho 文0 + 髦 o 舐h 。( 0 出0 + s 心c 8 9 to g j = 。 z z 舢 v ：何+ r a f g ；+ t q o 。= 0 利用欧拉一牛顿法进行计算，其中迭代初值由f 式确定 。 g 。( ，r a 。) = ， 取( g ，a ) = 6 ( g ，h ) ，则迭代方程有如下形式 f 3 2 2 b ) ( 3 2 2 c ) r 3 2 3 ) v ；g 一，l l - d 瑟ho 苏o 十a 菇妒, 拙a g 一劬o x f ( 。8 口z + s ) 一8 7 ；8 9 l = - 7 ( ，z 。a ) v ；h + r a y g ，+ y q o ，= m 7 ( g ， ) = 0 其中 一7 = 一卜21 0 瑟h 8 融0 屹o n8 荔g 一8 苏1 t ( 。8 昆0 + s 心黜 = 一 v ；h + r a y g ，+ y q o 。 ( 3 2 4 _ b ) f 3 2 4 c 1 f 3 2 5 舢 方程( 3 2 4 ) 的离散形式写成 q = ( g ，h ) a 翱= 吲 z s ， 其中c + q = 0 为归一化方程，q 为l 的增量，a 为方程( 3 2 4 a ) 和( 3 2 4 b ) 中g 和 h 的系数矩阵，b 为q 的系数，c + 为方程( 3 2 4 c ) 中g 和h 的系数向量 第三章数值方法 r = 闶矩阵a 在分叉点处奇异，故牛顿迭代法不再适用，采用w e i n i t s c h k e t ( 1 9 8 5 ) 所述力法，先对矩阵a 进行行列变换，将a 的一行一列移出，得爿“，此矩阵 在单分叉点处非奇异，方程( 3 2 6 ) 变为如下形式： 令 a 。w 。b “ v a 口口 c ”c t 2 0 料f ：；1 a “p = w “，b “，r 。i = 1 , 2 ，3 解得y ，令 f 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) f ：c q 3 2 9 ) 那么由f 列方程即可求得方程( 3 2 7 ) 的解 5 ：) g 十( 叶s ：) 。诅飞 ( 3 。o a ) f ( 口2 一fj 旌一t 2 q =一t 3 。 g “= y 3 一届y 1 一q y 2( 3 3 0 b ) 最终结果为q = ( q 。，届) ，所以善= 善”+ q ，r a w ：r a 。+ g ，进行迭代求解。 3 4 4 3 分叉点处解分支的转换 埘于初级分叉，在奇异点( ，r a 。) 处，利用下式所给出的迭代初值，即可从 、严j 、l 解分支转到另一个解分支上，继续进行迭代求解。 m = ，+ s ， 月d ：凡“。+ ：占2 万( 3 3 1 ) 其中孝。为j a c o b i a n 矩阵g 。( “。，r a 。) 的特征向量，而s ，毒则为小量。 第三章数值方法 3 5 网格的生成和偏微分方程的差分格式 ( o 5 z ) ( n x ，n z ) _ i - 1 _ - - _ “。 书 图31 网格图 山于二维方腔侧壁绝热，即第二类边界条件，为了提高计算精度，所以本文 采用交错等长网格，即温度函数在侧壁处向外延拓半个网格，而流函数则为等 值边界，如图3 1 所示，流函数取在整格点上，而温度函数取在x 方向的半格 点l 。 少。，i = 1 , 2 ，j = 1 , 2 ，： 0 li = o j “2 ，= 1 , 2 ，： 阚格长度缸= z = 万与。( 本文，取4 2 ，：取4 1 ) ，收敛判据为l 。 那么控制方程( 3 6 ) 的离散形式可写成如下形式： 吒r a n 宁 (332)n bu ，r a h ，s j 0 、 其中h i hr a 。) 表示在离散网格上对( “，r a ) 的逼近。 具体差分格式如下，离散点对于少在( f ，) ，对于p 在 i 第三章数值方法 d ，- 2 d i + d 卜- 2 d + d t ，心眠氓，) ( 。，扣+ 、一。扣、 一( y 。+ 一y 。，：+ y 。+ ，一一。一) ( ? + 扣一? 一 ；1 9 + ：, t - - 0 ，；，j ( f + 。，+ ，p + ，一t - f 一，+ ，一尸一、，一，) z 0 - 4 h + 4 se a z 卜，也。) 一尉， ( 卅，啦) ( 川。埋川) 也y 血厂， 一，觚。j l + , 埘：i j 一舵。， nn、 d 。+ 】f ，。，f ，l + ( 1 - c o ) r a 。q = 一r 3 ( 33 3 c i = i 尺，卜；，= ( 臼，+ ；，一2 p 卜；，+ 臼卜；， + y2 ( 9 一；，+ 。一2 p ，一；，+ 臼卜；，一，)卜j 。l + j 7 。一j 卜i l 。j 7 + 17 一j 7一j 一1 + ； z 眵。一。，) ( 9 一j i ，。- - 9j j ，。+ 4 s * a z 一；眵。，+ ，一妒。，一l + 妒，。，。一，：，) t 扣t ；， ( 3 3 4 a ) r ，= 出 善n 蔷n 眈t ，9 。- 0 0 , _ 扣j + 喜善孑。，一。) j 。，。q船= 出l 善蔷统一；，八9 一i ，。；，一j + 善蔷y “- p r ，一，) i( ，。c ) + ( 1 一c o ) r a 。( r a r a 。) 一0 一s 。) 边界条件离散为 9 。川 h p文如 b4 卜 口， 一 目， y 口足一 矿 + 妒 一 眵 y + y + 矿 一 砂 = 足 第三章数值方法 鼻，= r ，= o ，d 】= d l lj = 1 , 2 ， ， “+ ， p ，= f 。= o ，。，i = 。，j 。= o f = 1 ，2 ， 3 3 5 牛顿迭代算法形式如下： 啦“ ，= 乏以b h b 。s ， 其中a 。表示方程中d 、p 的系数，b h 为q 的系数，a 为方程中d 、p 的系数向 量，4 ，= ( 1 一) 南。，：( 一r i ，一r 2 ) ，p 。：一r 3 ，d ：( d ，j p ) 方程( 33 6 ) 1 拘 解i l | f 列算法给出：( 为简便起见，省略下标“。”) 由 a y = b ，a z = ， ( 3 3 7 ) 解出y ，z 代入方程( 3 3 7 ) q 6 得： q = ( p c + z ) ( d c y ) ( 3 3 8 a ) d “= z q yf 3 3 8 b 1 所以“1 = u + 6 u ，r a “1 = r a 。+ q 再进行迭代，直到收敛。由于方程( 3 3 3 ) 为带状矩阵，所以可利用带状矩阵的高斯消去法求解，这样可大量节省内存， 提高计算速度。 3 6 解分支的稳定性分析 考虑定常解。的线性稳定性，在其上加人微4 、扰动“，方程( 3 1 6 ) 变为 掣一g u , + u i , r a ) ：。 因为 g ( + r a ) z g ( u 。，r a ) + g 。( 1 9 0r a ) u 所以 e 署也u o r a ) 铲。 令 为g 。( g l or a ) 的归一化特征向量，有 g ，f = 盯，e ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 第三章数值方法 这样如果扰动沿e 的方向，则有 r 3 4 3 ) 这样如果对所有的归化特征值吒有r e ( c r ) 0 ，那么定常解是线性稳定的， 所有的小扰动都会随时间衰减直至定常解得到恢复。因此要判断解的稳定性， 只需计算g 的归一化特征值。实际上因为在目前所考虑的问题中，e 为所有对 角元素为正的对角矩阵，所以计算g 。的一般特征值j ，只需r e ( 巧) 0 即可， a 由下式得到： g 。f = 盯孝 ( 3 4 4 ) 但是求解g ，所有的特征值的计算量很大，很不经济。r i l e y 和w i n t e r s ( 1 9 8 9 ) 使用的方法是判断g 。的行列式的符号，因为行列式的符号为( 一1 ) ”，其中n 为 负特征值的个数。但此方法只能提供一个粗略的判据，并不充分。本文采用另 外一种充要判据，简述如下：记g 。为a ，如果a 的所有特征值的实部都为负， 那么导出矩阵b 的所有特征值的模都小于1 ，其中b = ( a 一，) “( a + ，) ，这样只 要计算b 的模最大的特征值即可，而此值利用幂法可直接求得，计算非常简单。 本文采用此方法取得较为满意的结果。幂法的基本算法是任意给一个非零的初 始向量f ”，那么有曰f ”= f ”1 当v 足够大时，f ”1 f ”趋向一个定值，即模最 大特征值盯一。实际计算时，通过求解 ( a 一，) f “1 = ( a + ，) f ” ( 3 4 5 ) 得到f ”1 的值，然后进行迭代。 第四章纯热对流研究 第四章纯热对流研究 本章主要对底部局部加热的多孔介质方腔中的热对流进行了研究，考虑到问 题的对称性，因此只对右个半腔体进行了数值计算( 本章若未作特别指明，所 用y 均为半宽高比，即y = 与笋) 。按照3 2 节所述，通过有限差分方法求解 方程，研究了半宽高l l r 、层化因子s 、r a y l e i g h 数r a 和加热区问长度三对热 对流的影响，给出了流场和温度场曲线，并通过计算不同边界上当地n u s s e l t 数， 以及n u s s e l t 数对r a y l e i g h 数的变化曲线，来研究腔体中热能的分布情况。 4 1r a y l e i g h 数的影响 先研究月d 对流线、等温线和能量的影响。对于s = 0 0 ，y = 1 0 ，l = o 5 ， 分别计算了r a = 2 0 ，1 0 0 ，3 5 0 三种不同情况下的流函数和温度函数，如图4l 所 示。由等温线图可以看出随着r d 增大扰动区逐步增大。当r a 1 0 后，底部m 数的差别不大，主要是因为由n 产生的扰动已经传遍整个腔体。对于顶部的 ，当y = 0 1 时，由于腔体高而窄，扰动不易传到上部，所以顶部n u 为零。 y 进一步增大后，加热段( 0 x 1 0 时，冷壁段( l x 1 ) 对应的顶部 “随y 变化的差别已经很小，主要原因还是前面提到过的扰动已经传遍整个区 域。图4 6 c 是通过右侧壁的当地m 数，由式( 2 1 3 ) 知其与半宽高比y 成反比，y 越小，能量外流越大。当y = 0 1 时，由于扰动仅在腔体下部传递，所以右侧壁 【：部的“变化平缓并趋为零，而下面一部分的变化则显得比较剧烈。随y 增大， 能量外流越小，且其极值点的位置向顶部移动。 对总m 而占，底部总n u 在y 1 o 后，这种差异变得 很小，且总n u 随r a 的增大而增大。整个顶部，总是对热能的积累起着抵制作 用，这种作用随着r a 的发展而增大，并随着半宽高比的增加而增大，但半宽高 比大于1 0 后，增大幅度变得很小。 4 3 层次比s 的影响 先研究s 对流动图象的影响。s 越大表示顶部温度n 越高。由式( 3 0 ) ，可以 看出当s 0 时，实际温度毋。和计算温度0 之问存在着差异，本文同时给出实际 温度场和计算温度场的等温线图。顶部的实际温度由0 。= s 给出，而底部加热 段的实际温度为0 。= l ，整个实际温度场0 0 。 0 ) 的增加，在其它条件相同的情况下，咒产生的扰动向顶 部传递越来越困难( 见流线图) ，流速相应减小。同时随s 的增加，等温线逐渐 向侧壁移动，整个温度场最后形成由上而下的层状分布，整个腔体内为单纯热 传导。 当s = 0 5 时，0 。= 0 5 的等温线交腔体于右上角，说明这个部分已经有能量 的积累，见图4 9 中的顶部当地n u s s e l t 数；当s 增加到1 0 时( 图4 8 b ) ，由 于浮力作用的减小，顶部已经开始形成温度层( 如臼。= 1 0 ，0 9 ) ，并且口。= 0 9 的等温线有两条，一条接近顶部，横贯腔体左右壁，另一条靠近底部加热段， 在这两条等温线之间的温度场则显得比较弱；当s 增大到5 0 时，扰动传播区 、 第阴章纯热对流研究 域已经明显压缩，流速变慢( 图4 8 c ) ：s 进一步增大到1 0 o 时，上部被高温 区控制，流线几乎被压缩在下半个腔体中，等温线均匀分布在整个腔体内，上 高下低，s 则起着主导作用。 再研究s 对n u 的影响。从底部当地n u 来看，存在着一个s 。当s s ，时， 随着s 的增加，加热段热能的积累减小；当s 增大到s ，时，顶部的r 已经大到 能够在右下角，坐标为( o ，o ) 处，产生一个零值的温度梯度；s 超过s ，后，加热 段某些部分有能量外流，形成了加热段一部分吸收热能，一部分失去热能的奇 特现象；当s 继续增大到1 0 0 时，整个加热段各处已经开始反抗热能的积累。 对于顶部，也同样存在类似的情形。 图4 9 c 为右壁“随高度z 的变化曲线。由图可见，式( 2 1 2 冲，当s 小于 1 ，0 时0n 起着主导作用，s 大于1 0 时，s 的作用逐渐增大，直至占主导地位。 随s 的增加，右壁能量外流最大处的位置越来越低，相应地反应出了s 对扰动 的压缩。 总n u 图( 图4 1 0 ) 也同样反应了高s 对扰动影响。随s 的增大，底部对热 能的吸收越来越小；顶部则随s 增大，能量外流越来越少，最后转为对能量的 吸收。 4 4 加热段长度l 的影响 最后来看一下加热段长度对腔体内热对流的影响。选取 y = 1o ，r a = 1 0 0 ，s = 5 0 ，加热段长度l 依次取o 2 5 ，o 5 ，o 7 5 ，1 0 对应的等 值线图如图4 1 1 a ，图4 1 1 b ，图4 1 1 岛图4 1 1 d ，从流线图可见，加热段越 长，相f _ j 扰动到达的区域也越大，流速也越大，流线胞格中心也越靠近侧壁。 图4 1 2 给出不同加热段长度下通过各边的n u 。由图可见随着加热段l 的增 长，通过加热段的n u 逐渐降低，即热通量密度越来越小。通过顶部总是有热量 流出。在层次比s 和侧壁的联合作用下，右侧壁垂直n u 极值的绝对值则随l 增大变得越来越大( 如图4 1 2 c ) ，并且极值点越来越靠近底部，即意味着底部 加热段越长，通过侧壁的热能的外流也越来越多，突出体现在时h = 1 0 时的右 下角。 图4 1 3 为水平方向的总n u 随肋变化的曲线。由于总n u 与x 有关，所以尽 管底部当地n u 表现出随加热区间l 的增大而减小，但底部总n u 却是随l 的增 大而增大。随l 增大，通过顶部流出的热量也越来越大。 4 5 本章小结 本章主要研究了r a y l e i g h 数尺d ，半宽高比7 ，层次比s ，以及加热段长度 l 对底部局部加热的方腔中的热对流的影响。计算表明： 1 固定其它因素( y = 1 0 ，s = 0 0 ，l = 0 5 ) ，随着r 增大，巧产生的扰动传 达的区域也越大；底部加热段能量积累越大，顶部抵制能量积累的能力也同样 、 第四章纯热对流研究 增强；通过右侧壁总有能量外流，这种能力与r a 和壁面高度有着显著的关系。 2 半宽高比对流线胞格的位置有着很大的影响：) ， 1 0 几乎没有什么差别：右侧壁的当地n u 与半宽高比y 成 反比，y 越大，能量外流越小。 3 当层次比s 0 时，随s 的增加，浮力作用逐渐减小，直至为零；流线随s 增大而向底部压缩，流速也相应地减小；右壁m 受腔体平均温度口。、层次比 s 和壁面高度的控制：存在一个临界的s 。当s 超过s ，后，加热段在一些部分 jf 始对热能积累产生抵制，当s 大到一定程度后，整个底部转而抵制热能的积 累。 4 加热段越长，扰动的区域也越大，流线胞格越靠近侧壁；右侧壁当地h 极 值的绝对值随l 的增大而增大，并且极值点越来越靠近底部。 、 第四章纯热对流研究 ( b ) r a = 1 0 0 ( c ) r a = 3 5 0 图4 1不同r a 的流线图( 左图) 和等温线图( 右图) ( s = 0 0 ，y = 1 0 ，三= 0 5 ) 佃 呻 们 ， 0 0 0 o 0 怕 仲 蚱 “ 吐 仰 第四章纯热对流研究 f a l 底部 主 b ) 项部 10 0 8 0 6 n o 0 2 0 0 0 7- o 6- o 5_ o4- 0 3 o 2- 0 0 0 n u ( c ) 右壁 图4 2 不同r af 的通过各边的n u s s e l t 数 0 5 0 1 1 5 3卸2 5 0如勒 融 0 1 3 0 1 蜘 2 0 02 5 )如 3 5 0 陌 图4 3 总n u 数随r a 的变化曲线图4 4