（基础数学专业论文）关于一致域及四元数mobius群性质的研究.pdf

摘要 拟共形映射足共形映射的推广由于它与k l e i n 群，复解析动力系统 以及黎曼曲面等领域的密切关系，从而成为复分析中的一个热fj 的研究 领域本文主要研究一致域的n f 去件、边界的组成，四无数m 6 b i u s 群以 及( 广义) 正定矩阵迹的性质全文安排如下： 在第一章中，我们介绍了研究口j 题的背景和意义 拟网是单位圈盘或半平面在全平面h = 2 i 共形映射下的像。作为拟圈 的推广，m a r t i o 等定义了一致域一个自然的问题足；一致域的哪些子域 还足一致域? 此问题的回答将有利于有关一致域实例的构造和一致域相 关件质的研究在第二章中，我们主要研究一致域的n f 去件，找到了一致 域的一类千域，它们依然还足一敛域从而给出了 ：述问题的部分回答。 g e h r i n g 和h a g 利用拟共形反射等理沦证明了如下结果：一个有限连 通的平面区域是一致域当仅当它的补集分支是由拟网或者点组成我 们在第三章中给出了此结果的一个初等证明我们的征明完全不依赖于 拟共形反射 g n o p s 等研究了四无数m 6 b i u s 变换的一些性质及四无数m 6 b i u s 初等 和非初等群的一些性质在第四章中，我们在四无数m 6 b i u s 群中引进了 狭义初等群这一新的概念，并对其进 f 了研究，得到了有关系列结果 y a n gy 等研究了半正定矩阵和广义半正定矩阵迹有关的一些不等式 作质，回答了由b e l l m a n 提出的一个猜测我们在第五章中继续讨 皂这些 性质。得到了它们的最传推广同时，我们还把得到的结果推广到了复矩 阵情形 关键词：一敛域，n r 去性，拟圆，狭义初等群，导群，矩阵迹不等式 a b s t r a c t q u a s i c o n f o r m n lm a p p i n g sa r eg e n e r a l i z a t i o n so fc o n f o r m a lm a p p i n g s b e c a u s e o ft h ec l o s er e l a t i o n s h i p sw i t hk l e i n l a ng r o u p s ，d y n a m i c so fc o m p l e xa n a l y t i cf u n c - t i o n sa n dr i e m a n ns u r f a c e se t c ，q l l 出i c c 咀f o 帆n a lm a p p i n g sb e c o m eo n eo ft h em a i n r i 疆e a r d it o p i c si nc o m p l e xa n a l y s i s i nt h i st h e s i s w em a i n l yd i s c u s st h er d m o v - a b i l i t yo fu n i f o r md o m a i n sa n dc o m p o s i t i o no ft h e i rb o u n d a r i e s ，t h ep r o p e r t i e so f q u a t c m i o n i cm s b i n sg r o u p sa n dt r a c eo f ( g e n e r a l i z e d ) s e m i - d e f i n i t em a t r i c e s ，t b e t h e s i si sa r r a n g e d 勰f o l l o w s i n c h a p t e r l ，w e i n t r o d u c e t h e b a c k g r o u n d a n ds i g n i f i c a n c e o f o u r r e s e a r c h t o p i c a q u a s i d i s k s i s t h e i m a g e o f t h e u n i t d i s k o r h a l f p l a i n u n d e r t h e q u a s i c o n f o r m a l s e l fm a p p i n go ft h ew h o l ep l a i n a st h eg e n e r a l i z a t i o no fq u a s i d i s k s ，m a r t i oa n d o t h e r si n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fu n i f o r md o m a i n s an a t u r eq u e s t i o ni st h a tw h a t k i n do fs u b d o m a i n so f u n i f o r md o m a i n sa r es t i l lu n i f o r m n l ea n s w e rt 0t h i sq u e s t i o n w i l lh e l pn f lt oc o n s t r u c te x a m p l e so fu n i f o r md o m a i n sa n df u r t h e rs t n d i e so ft h e p r o p e r t i e so fu n i f o r md o m a i n s 。i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yt h er e m o v a b i l i t yo f u n i f o r md o m a i n s g i v e nau n i f o r md o m a i n w ef i n di t ss u b d o m a i n sw h i c ha r es t i l l u n i f o r m t h i sg i v e sa p a r t i a la n s w e rt ot h ea b o v eq u e s t i o n b yu 面n gt h et h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a lr e f l e c t i o n ，g e h r i n ga n dh a gp r o v e dt h a t af i n i r e l yc o n n e c t e dp l a n a rd o m a i ni su n i f o r mi fa n do n l yi fi t sc o m p l e m e n t a r y c o m p o n e n t sc o n s i s to fq n a s i d i s k so rp o i n t s i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h i sr e s u l ta l l e l e m e n t a r yp r o o f o u rp r o o fd o e sn o td e p e n do nt h eq u a s i c o n f o r m a lr e f l e c t i o n c h o p sa n do t h e r ss t u d i e ds o m ep r o p e r t i e so fq u a t e r u i o n i em 曲i n st r a n s f o r - m a t i o n s ，q u a t e r n i o n i cm s b i n se l e m e n t a r yg r o u p sa n dn o n - e l e m e n t a r yg r o u p s i n c l l & p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fg e n e r a le l e m e n t a r yg r o u p si nq u a t e r n i o n i c m 6 b i u sg r o u p s t h e nw e8 t u d yi ta n do b t a i ns e v e r a lp r o p e r t i e s 5 ( a n gy a n do t h e r ss t u d i e db o l ep r o p e r t i e so fi n e q u a l i t i e sa b o u tt h et r a c e o fs e m i 珂9 f i n i t em a t r i c e sa n dg e n e r a l i z e ds e m i - d e f i n i t em a t r i c e s ，a n da n s w e r e da c o n j e c t u r er a i s e db yb e l l m a n i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h e s ep r o p e r t i e sf i u 吨h e r ，a n d o b t a i nt h e i rb e s tp o s s i b l eg e n e r a l i z a t i o n s m e a n w h i l e a l s og e n e r a l i z et h er e m l l t s t ot h ec a s eo fc o m p l e xm a t r i c e s ： k e yw o r d s ：u n i f o r md o m a i n ，p l e m o w b i l i t y , q u a s i d i s k ，g e n e r a le l e m e n t a r y g r o u p 。d e r i v e dg r o u p ，i n e q u a l i wo ft h et r a c eo fm a t r i c e s i i i 关j ：一致域及蚶元数m 6 b i u s 种性质的研究 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，足本人在导师的指导下，独市进 行研究工作所取得的成果。除文中l 二经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体l 二经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均l 三在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 学位沦文作者签名： d ) ，醇扯刃年月护1 j 学位沦文作者签名： 埴7 ，蓼葛k刃年月俨1 j 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位沦文的规定，研究 生在校攻凄学位期间沦文工作的知识产权单f 立属湖南帅范大学。同意学 校保留并向国家有关都fj 或机构送交沦文的复印f 牛和电子版，允许沦文 被查阅和借闽。本人授权湖南师范大学n f 以将本学位沧文的全部或部分 内容编人有关数据库进行愉索，n ，必采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位沦文 本学位沧文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密d 。 ( 请在以卜相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 】影敞 旁巧幽制 甘期：嗣：细f p 日 日期；卯印6 月徊日 关j ：一致域及四元数m i i b i u s 群性质的研究 1 绪论 拟共形映射足共形映射的推广。拟共形映射是由g r 6 t z s c h 在1 9 2 8 印 首先引进由r i e m a n n 映射定理n r 知，边界多于一点的单连通平面区域 町戈形映射到单位圈盘卜另一方面，l i o u v i u 定理表明，在形协3 ) 中， 共形映射恰好足m s b i u s 变换，放平面拟共形映射的理沦不能直接推广到 高维情形 l a v r e n t e v 在1 9 3 8 年首先号i 入高维拟共形映射1 9 6 1 印，g e h r i n g 和 v h 缸h l h 系统研究了形中的拟共形映射，参见【1 ，2 】；关于拟共形映射方面 的著作n f 参见f 3 ，4 ，5 ，6 】拟共形映射町推广到拟正则映射( 参见【7 ，8 9 】) ， 有限偏差映射( 参见【s o p 和度星审问中的拟共形映射( 参见【1 1 ，1 2 ，2 3 1 ) 等 单位网盘或卜：半平面在弘拟共形映射，：序一卑下的像称为珏捌 隔，拟网足拟共形映射理沦的重要研究对象。1 9 8 2 印，g e h r i n g 在文【 4 】中 总结了拟圆的十七个等价条件对拟网性质的刻画一直足国内外学者比 较感兴趣的课题，在我国，方爱农、精最明、吴泽民等对拟网也有一些相 应的研究( f 1 5 ，1 6 ，1 7 】) 一敛域自从2 0 世纪7 0 年代被引入以来，一直得到了人们的极大关 注，并得到了大量的研究结果m a r t i o 、g e h r i n g ，v i i i s i i i 等人揭示了它与拟 共形映射，s o b l e v 审问、拟舣曲度量和拟刚性域之问有密切联系，并得到 了广泛应用我们对此亦进 t 了研究我们主要研究如下r h j 题：一致域的 哪些子域依然还是一致域? 这是一个很有意义的问题。它的解决将有利 于一致域的构造和一致域相关性质的进一步研究我们在第二章中通过 引入二个点集满足d 一条件这一概念证明了如下结果：域dc 舻2 ) 是一致域当仅当g = d p 屉一致域，其中p = p - ，翔，) 满足d _ 条 件。 1 硬十学位论文 对复平面中的单连通域d ，d 是一致域当且仅当它足拟园自然的问 题屉：多连通的一致域与拟网有何关系? g e h r i n g 和h 8 9 ( 【1 8 】) 于1 9 8 7 年揭 示它们的关系，利用拟共形映射等理论 正明了如下结果；一个有限连通 的平面区域足一敛域当仅当它的补集分支足由拟网或者点组成并构 造反例说明无穷连通的情形，此结果不成移我们在第三章中给出 ：述 结果的一个初等证明我们的证明完全不依赖拟共形反射。 四无数m 6 b i u s 群作为三维m 6 b h l s 群的推广，得到了人们的关滓1 9 9 4 印，c n o p s ( 【1 9 】) 利用四元数矩阵与实矩阵的关系，给出了四无数m s b i u s 变 换及群的定义随后，h e i d r i c h ，j o n k ( 2 0 1 ) ，p ( r c t e r ( 2 1 1 ) 等对四无数m 6 b i u s 变换进1 f 了深入的讨沦，但均未涉及群的性质2 0 0 3 印，w 觚g ( 2 2 1 ) 在四 无效m 6 b i u s 群中引入了初等群和非初等群等概念，并研究了它们具有的 一些性质。在第四章中，我们在四无数m s b i u s 群中引入了狭义初等群这 一概念，并对其进 f t 研究，得到了一些相关结果，特别足与其导群的关 系件结果 b e | i m a n ( 2 3 ) 研究了半正定矩阵迹的一些傩质，并提出了如下猜测：对 于任意的a ，b s r 罗，t r ( a b ) 0 成市? 1 9 8 8 年，y a n gy 给出了此猜测 的肯定回答( c 2 4 1 ) 。随后，n e u d e c k e r ，c o o p ，y a n gx ( 2 s ，2 6 ，2 7 】) 等给出了卜 述结果的不同汪明，并把此结果推广到广义半正定矩阵中，得到：对于任 意的a s 霹b r 銎x “，有t r ( a b ) 0 在第五章中，我们进一步研究 了 ：述两个结果，得到了两个充要条件。在某种意义下，我们的结果足卜： 匝两个结果的最好推广最后我们将结果攥广到复矩阵情形 2 关j ：一致域及幽元数m s b i u s 群性质的研究 2 1 引言 2 一致域的可去性 一致域自2 0 世纪7 0 印代被引入，m a r t i o 、g e h r i n g 、v h i s i i l i 等人的研究 成果表明它与拟共形映射s o b l e v 窜闻，拟舣曲度量和拟刚性域之间有密 切联系，并得到了广泛应用。在这里我们将讨沦它的町去性 我们首先介绍一些有关定义和定理 在文中，k o c h ) = 五丽丢：丽l 如f 表示“的拟舣曲长度，k d ( z t ，z 2 ) 足指所 有在d 中连接；l ，忽的曲线的拟舣曲长度的下确界，b ( 忽，z 2 ) 也叫拟舣曲 度星( 【2 8 j ) 度量如锄，。) 定义为 、 施，忍，也( - + 丽i z l - - z 2 1 ) ( t + 端) 定义2 1 r ( 2 9 1 ) 一个区域dcr 2 称为一致域，如果存在常数c 使得 对任给z l 、勿d ，在d 内存在连接句z 2 的町求长曲线1 ，对仟意z ， 满足 j ( ，r k ，列) c l 以一名2 i ， 【m i n i ；l # ( ( 7 k ，z 1 ) ) sc d i s t ( z ，o d ) 这里n ) 表示，r 的e u c l i d 长度，d i s t ( z ，o d ) 表示点g 到区域d 的边界的 e u c l i d 距离，7 b ，习表示7 卜从勺到。的一段弧 定义2 1 2 令p 由d 里有限或无限个点组成的集，p = p l , p 2 ， 如果存在个正常数j 使慨- p i 6 ( i j ) 或尸就足一点，则称p 满足 d 条件 下面足本文的主要定理 定理2 1 1 域d c 舯( n 2 ) 是一致域当且仅当g = d p 是一致域， 其中p = 妇- ，功，) 满足口条件 3 硕十学位论文 2 2 一致域的可去性 在证明定理2 1 1 之前，我们首先引入以下引理 引理2 2 1 ( 【3 0 1 ) 域dc 形是一致域当且仅当对任意乱，z 2 d 存在 两常数c 和d 满足 b c z , ，z 2 ) c j d ( z l ，勿) + d 其中d 叮去掉 定理2 1 1 的证明先汪充分性对任意钆砘d ，证明将分成三种情 况 情形1 句，却g 因为g 足一致域，在g 内存在连接以忽的叮求长曲线7 ，对任意 2 ，y 满足 j 【7 k l ，矧) d 盈一却l ， 【i n j ：l o ( f ( 7 防，习) ) sc d i s t ( z ，o d ) 情形2 ：l ，忽d o ? j m ：i l n ，2 d i 时( ，o d ) = 4 t 取巧m c 2 l ，5 ) n g ，盔伊( 却，s ) n gj 1 s = r n i n t ， ) ，则在g 内存在连接墨，之的町求长曲线7 ，对任意z 7 满足 j n p l ，砘1 ) c l 苟一砭i ， 【m 吗= l # 婶( 7 瞄，z 1 ) ) c d i s t ( z ，o o ) 令p = k l ，墨】u 3 u 陇，忽1 ，得 l ) s3 c 1 2 l 一施l 对任意z 反若z z l ，矧或z 瞄，列，则 罡魏。b ，司) sf ( 踟，2 i ) 兰3 出时( z ，a d ) 4 关j ：一致域及蛸元数m s b i u s 群性质的研究 若z - 1 r a i ng ( 7 弓, z 1 ) t t 则 器魏2 够k ，习) 2 + j r a 。l i n ，2 2 0 嘭，习) s2 闰r a i n ，2 ( 7 瞄，习) 2 cd i s t ( z ，o d ) 情形3z 1 d n 忽d g 与( 2 ) 2 的证明类似 下面征明必要性我们只讨 仑p = 机 。令d 橱t ( p 1 ，o d ) = 甜n 霹= 伊( p l ，t ) 取z l , z 2 g l = d i p l 分三种情况来汪明 情形1z l ，忍d 研 在d 内存在一条连接。，勿的曲线满足 k o ( z l ，勿) 曼c j d ( z l ，z 2 ) 如果7 c d 霹，取p = ，y 因为d i s t ( z ，o d ) s3 d i s t ( z ，粥1 ) ，_ | 1 1 0 有 幻弛忍) s 够) = z 南l 出i 3 k d ( 忽) 掣驾净 由此得 垴( a ) s 荨b o ( z 1 ，z 孤 若7 ( 。：，五) n 渺h ，警) 织因为i 孟一艺l 2 t ，则 蛐( 。：，五) ) 噤 因此k g t ( 口) 7 ”d ( 7 ( 五，孟) ) 由卜得 b ，阮，忽) 幻。( p ) s7 r k v ( y ) 7 霄c 缸。( z l ，z 2 ) 情形2z 1 ，勿霹协， 不妨假设m i n i z l p t l ，i 砘一n i ) 一i z l n 1 对任意z 1 ) z , z 钟，我们知道 k 霹c z l ，勿) 2 j 霹( z l ，2 2 ) 若i z l p i l 2 l ，由以卜方法觎 k 。，勿) 1 4 7 r c j c , ( z l ，忽) 若i 勿一p 1 is ，令乏足加l ，矧交a 扩慨，i z , 一n i ) 的交戌z l ，乏划 船2 ( p ，i z l p t l ) 成随段子弧，令a 足最短的子弧取p = 眩，瑚u a ，则有 缸g 。( z 1 ) z 2 ) s ( p ) s ( 1 + 3 丌) l o g ( 1 - f 。磊 瓦z 1 - - 而z z 1 ) s ( 1 + 3 霄) j g i c z l ，名2 ) 、 。，o u lj ， 6 关j ：一致域及幽元数b i 6 b i u s 群性质的研究 者l z l p l i s l i 勿一p , i ；，由同样方法n r 得 g i ( z l ，忽) 4 力g l ( z l ，勿) 情形3z l d 雪? 1 l 勿i 蛩 n ) 在d 内存在一条连接忽，勿的曲线满足 d ( 2 l ，砘) sc j d ( z l ，却) 令z ；足7 交露的第一个交点 由情形1 ，2 ，得 k a t ( z l ，2 ：) s7 w c j g 。协，2 ：) 岛( 彳，勿) s1 4 7 r c 妞( ，9 2 ) 因为出础( 孟，0 d ) 2 d d s t ( z 2 ，o d ) ，i z , 一z ：i 3 1 z l 一恐l ，l 孟一z 2 i 2 1 2 1 一z 2 i ， 因此有 k h ( z l ，忽) s 竞g t ( z l ，乏) 十疏( 。：，砘 s1 4 丌c u g l ( ，z ：) + 。l ( i ，施) ) s1 1 2 7 r c 如。( 。l ，勿) 7 关j ：一致域及幽元数m 6 b i u s 群性质的研究 3 1 引言 关于一致域的一个充要条件 一敛域白2 0 世纪7 0 印代被引入，m a t i o 、g e h r i n g v 酗幽鹋；入的研究 结果表明它与拟共形映射，s o b l e v 审问，拟舣曲度量和拟刚性域集之间有 密切联系 定义3 1 1 ( 2 9 1 ) 一个区域dc 舒称为一致域，如果有常数c 1 使得 对于任意的z l ，忽d ，存在d 内连接z 。，忽的町求长曲线7 ，对任意z 7 满足 if n 恼，嗣) sc i z l 一钝i ， 【1 n i 毗；l 工( ( 7 白，5 1 ) ) c d i s t ( z ，o d ) 这里的f ( ，y ) 表示，y 的e u c l i d 长度，d i s t ( 5 ，a d ) 表示点z 到区域d 的边界 p d 的e u c l i d 距离对j = 1 ，2 ，y k ，习表示7 ：从z i 到。的一段弧。 本章主要对g e h r i n g 和h a g 文 1 8 1 中的定理用不同的方法进 f 了证 明 定理3 1 1 ( 1 8 1 ) 设d 是雨中的任一有限连通域，那么d 为一致域， 当仅当d 的补集分支为拟圆或者点 着存在雨卜的弘拟共形映射，1 k o o ，使得d 足南中的单位 网在，下的象，则称d 足甭中的拟网 定义3 1 2 ( 3 1 1 ) 设d 是甭中的单连通真子域，如果存在常数n 使得 对于任意的盈，2 2 d ，存在d 内连接忽，的町求长曲线，r ，满足对任意 z 1 ，有 ，= r a i l n ，2 h b ，习) s 。出戚( z ，a d ) 则称d 为j o h n 躅 在征明定理3 , 1 1 之前，我们首先来介绍以下弓j 理： 9 硕+ 学位论文 引理3 1 1 c 1 2 0 ) 设f ：r 2 一胖足一个拟共形映射，若d c r 2 足一致 域，则f ( o 也足一致竣 引理3 1 2 ( 3 2 1 ) 一个j o r d a n 域d c 萨足一个拟网当仅当d = 币西 是一个拟嚼 。 引理3 1 3 ( 【3 0 】) 者dcr 2 足j o r d a n 域，则d 足一致域当且仅当它足 拟圈 引理3 1 4 ( 3 1 1 ) 若d c 雨足一个j o r d a n 域，则d 足拟圆当且仅当d 与d = 飘万屉j o h n 网 引理3 1 5 ( 3 1 1 ) 设共形网dc 雨，则d 是j o h n 圆当仅当存在一个 常数c 使碍 j m ；1 i n 。d , ：a c d a c z l 一吼 其中【z l ，矧是d 内的一条直通径，k - ，列把d 分成两个部分d ，和功，对 j - - 1 ，2 ，d 矧：岛) 表示功的直径 3 2 一致域的一个充要条件 定理3 1 1 的证明：我们先征明必要性 ( i ) 若d 为单连通域，由引理3 t 3 町知，d 为拟圈，又有引理3 1 2 n f 知，d + 不为点时就为拟圆 ( i i ) 设d 为多连通域，令d l 为一个补集分支( 不是点) 设d t 边界 为曲线，y ，f 乇取。1 ，勘7 且扛- ，z 2 1 为一直通径，b - ，2 】把d 1 分为功- 和 d 1 2 阿部分 假定d 缸( 仇1 ) = r a i n _ ( a l i a ( o n ) ，d i a ( d 1 2 ) 取 讯) ， 讯 阿点夕1 j ，使得 句i z l ，镪一$ 2 ， 施i ， 2 强 c 乃 由于d 为一敛域，所以存在c 1 及曲线a 女cd 连接。l i ，珏，使得 】0 关j ：一致域及凹元数m s b i u s 群性质的研究 ( a ) c i z 址一锄l ，令一o o ，则有 d i a ( d n ) t ( a k ) c l x l 一。2 l 所以d 1 为j o h n 网。 我们再证d ；为j o h n 圆。显然d 1 与d ；边界相同，皆为1 对于任意的 讥，y 2 ，y ，西1 ，纠为d ：的直通径，函t ，抛】把d ；分为两部分，记为d ；l 和d ；2 。 设d 缸( d ：1 ) = m i n 出口( d 锨出口( d i 2 ) h ，碉把 也分为阿部分，记为饥l 和 ，y 1 2 设1 1 1 对应d 1 ，1 垤对应d 2 取蜘7 l l ，并且l y o 一! 1 2 卜m 。m a x 。l y 一蚓 取霉d 拓n d ，k y 2 i = ；出o ( d ) 令挑d ：lnd ，f t 弧一y o ，由于d 足一致域，根据一致域的定义，存在曲线p c d ，芦连接y t , 和z ，取u 为 p n 卧，y 2 l 的一个交点，现在分两种情况征明。 情形1 设p 被u 分成的最小段为，u 1 考察d 缸( d ：1 ) 与2 1 o y 2 i 的大小关系若d 缸( d ；1 ) 足7 卜点z 到曲l ，y 2 j 卜点y 的距离，则有i z 一纠s i y 一抛l + k y 2 i f y 一耽i + l y l 一抛i 由于 脚一啦i 。p m l a x l l y 一耽l ， 故l 玑一! 1 2 l l y o 一抛i ，l y y 2 l i y o 一班l ，因此有 出n ( d ：1 ) 2 1 y o y 2 若d a ( d ：。) 足曲线1 卜阿点。，间的距离，j l l ! j 显然有陋一耽lsi y o - - y d ， 协一狮i 一珈i ，因此有 a i a ( d 1 ) s i z 一引s 忙一抛l + 阿一抛l s2 i 珈一耽 总之，我们有出( d ：1 ) 2 一班i 又因为鲰一i o ，所以有 出口( d ：1 ) 3 1 3 氇一l 垃i s3 ( 1 掣i u l + p 一可2 i ) s3 9 ( 掣 ，u ) + i 剪l 一抛i ) 1 1 硬十学位论文 叉因为d 为一敛域，对多卜一点w 有口分成的较小一部分( u ，确曼 c d i s t ( w ，o d ) sc | u 一船f ，因而有， 出n ( d ：1 ) s3 ( c l u y 2 i + l y l f 2 【) 3 ( c + 1 ) l y l 一3 纠 情形2 设p 被u 分成两部分，最小一段为p ，司 着l u 一抛ls d i a ( d ) ，j i ! l1 v z 1 陋一y 2 i l _ 一y 2 l 芝；击8 ( d ) ，故有 d i a ( d ) 4 l ，一z l ，d i a ( d 7 1 ) sd i a ( 7 1 1 ) sd i a ( d ) s4 i “j 一善l 4 f ( u ，。又因为 d 为一致域，故有，) 兰c d i s t ( u ，a d ) ，所以 d i a ( d 1 ) 4 c d i s t ( w ，o d ) 4 c p y 2 j 4 d y l 一耽i 若l ，一曹2 i2 ；出。( d ) ，则有 d i a ( d ：1 ) d i a ( t n ) d i a ( d ) 蔓4 i 【，一耽i 妄4 1 y l 一抛 由情形1 ，2 叮知 威d ( _ d ；1 ) 6 c y l 一抛i ， 从而必要性得征 充分性；我们必讨沦二连通两补集分支为拟网的情况，其他情况叮以 类似得征，在这情况我们只讨论d 无界的情形 ( i ) d ，设两补集分支为d l ，d 2 由于d l 拟圆，因而存在，：髟一一r 2 , ，) = o o 使得，( d 1 ) = 口( 单位 网) 令d i 酊( ( d 1 ) ，( d 2 ) ) = t ，作同心圈岛，使得( d 1 ) c 岛，且d i s t ( a b o ，o b ) = l ，现在证对秆! 意z l ，勿，( d ) 存在曲线满足一致域条件 情形1z l ，现_ 吾 1 2 关j ：一致域及蚪元数m 6 b i u s 群性质纳研究 因为b 为拟网，有引理3 1 2 有b + = 甭怊为拟嘲，再由引理3 1 3 ，伊= 斧怛为一致域，所以存在曲线1 连接f , 2 满足一致域条件 ( 1 1 1 ) 若，y 之瓦悸，则有 制柏一吼，m i n g ( t z i , z 】) c d i s t ( z ，a 矽) 而此时因为d i c t ( z ，b ) ，故有d i 碰( z ，a ，p ) ) = d i s t f z ，b 1 ，所以，yl t l l ：为所 求曲线 ( 1 1 2 ) 若7 垡瓦百，设，y 交风第一个交点为z ，最后一个为乞 取q = ，y 胁，确u ”c 阮，确u 7 z 2 ，彩，1 爻1 j 有 f ( 一陇，4 1 ) s ；i 一之i ；( ，y m ，瑚) 所以 ( a ) = ( 7 b ，巧】) + t ( a r c z i ，。爿) + 一阮，4 1 ) l ( 7 防，z 】) 十f ( ，y 陇，4 1 ) + ( 7 k ，乞】) ；f ( 7 k l ，弓】) + i ( 7 【2 2 ，4 1 ) + 吾f ( 7 【苟，4 1 ) 挈( 7 ) s c i ：l 一忽i 对于任意的ze a ，分类讨沧如下 ( 1 1 2 a ) 设：1 协，矧 若愈2 ( ，y b ，习) 【化l ，z 1 ) s 盔时( z ，a 8 ) ，姗 ，m i n ，。e ( a z j ，2 1 ) sf 陋胁，z 1 ) = f ( 7 k l ，2 4 ) 幽s 地卯) 又因为d i s t ( z ，o b ) ；，故d i 戚( z ，形( d ) ) = d i s t ( z ，a b ) ，因此 勘2 ( n k ，功) s 碱s t ( z ，形( d ) ) 着趣2 ( 7 b ，z 1 ) 嘶k ，2 j ) 5 a i i s t ( z ，卯) ，则 。 艘；f ( k ，习) s “k ，z 1 ) ；( 7 f 盔，之1 ) + f ( ，y b ，】) s z ( 7 k ，司) s 善o d s 0 ，a l ( d ) ) 1 3 磺十学位论文 ( 1 1 2 b ) 设z 7 k ，瑚，征明类似( 1 1 2 ，8 ) 。 ( i 1 2r c ) 设z q ，之】，则有d i s 。( z , a ，( d ) ) 2 而器现2 ( a 协，z 1 ) f ( 口) s f “) ，因为，( d ) 为一致域，故有j m - 1 i n 2 f ( “，z 1 ) o | z 1 一z 2 1 又因为 岛的直径为2 + t ，从而有 ，r a i n f ( a 圳) 和+ t ) s 孚( 2 十t 脚( 毛0 i c d ) ) 情形2 以，忽，( d ) 瓦 此时( d 2 ) = 矾，( d 2 ) 为拟圆，由引理3 1 3n f 知f ( d ：r = 南v c d 2 ) 为一敛垅所以存在，y 连接z l ，勿，且满足一敛域两条件 ( 1 2 i ) 若7cf ( d ) b o ，则( 7 ) c z l 一勿i 分类讨论如下 ( i 2 1 a ) 对于任意的。7 ，假定d i s t ( z ，o f ( d 2 ) ) c 【2 + t + 威n ( ，( d 2 ) ) ) 设d i s t ( z ，o b ) = k z l ，z 为b ：一点，d i s t ( z ，o f ( d 2 ) ) = l