（基础数学专业论文）具有多时滞的二阶泛函微分方程的周期解.pdf

华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 i 摘 要 本文利用重合度理论中的连续性定理和一些分析技巧等多种方 法研究了一类具有可变时滞的二阶泛函微分方程周期解的存在性. 在第二章中, 我们首先介绍了有关的重合度理论, 然后研究了 具有两个可变时滞的广义 l i n a r d 方程 0)(,()()()()()( 2 121 =+ ttxtgtxttxftxtxftx ( 1 ) 的周期解的存在性. 建立了若干个保证该类方程周期解存在的充分 条件. 所得结论推广和改进了文 1 1 中的结果. 在第三章中, 我们研究了方程( 1 ) 中阻尼项系数函数含有自变量 t及可变时滞的广义 l i n a r d 方程 0)(,()()()()(,()( 2 2211 =+ ttxtgtxttxftxttxtftx ( 2 ) 至少存在一个周期解的问题, 得到了一些保证该类方程周期解存在 性的新结果. 关键词：重合度理论, 可变时滞, 泛函微分方程, 周期解, 存在性 具有多时滞的二阶泛函微分方程的周期解 ii abstract in this paper, by using the continuation theorem of coincidence degree theory and some analysis techniques, we study the existence of periodic solutions for a kind of two second order functional differential equations with deviating arguments. in chapter 2, we introduce the coincidence degree theory, and study the existence of periodic solutions for the generalized li nard equation 0)(,()()()()()( 2 121 =+ ttxtgtxttxftxtxftx. (1) we establish some sufficient condition which guarantee the existence of periodic solutions of eq.(1), our results generalize and improve the ones in paper 11. in chapter 3, when the resistance coefficient function of eq.(1) contains a variant tand a deviating argument, we study the problem on the existence of periodic solutions for the generalized li nard equation 0)(,()()()()(,()( 2 2211 =+ ttxtgtxttxftxttxtftx, (2) and obtain some new results which guarantee the existence of periodic solutions for eq.(2). keywords： coincidence degree theory, deviating argument, functional differential equation, periodic solutions, existence 原创性声明 本人声明兹呈交的学位论文是本人在导师指导下完成的研究成 果。论文写作中不包含其他人已经发表或撰写过的研究内容，如参考 他人或集体的科研成果，均在论文中以明确的方式说明。本人依法享 有和承担由此论文所产生的权利和责任。 学位论文作者签名： 日期： 学位论文版权使用授权声明 本人同意授权华侨大学有权保留并向国家机关或机构送交学位 论文和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅。 论文作者签名： 指导教师签名： 签 名 日 期： 签 名 日 期： 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 1 第一章 引 言 周期运动是自然界和人类社会活动中常见的现象, 而描述这类运动的微分方程引 起了人们的极大关注, 从而使得微分方程周期解理论成为微分方程理论及其应用的重 要研究课题之一. 长期以来, 对于一般的常微分方程（不含时滞）的周期解存在性问 题已经取得许多很好的研究成果（见文1- 4） . 然而, 二十世纪以来, 随着科学技术的 迅速发展, 在许多实际问题, 如核物理学、化学、非线性振动学、天体力学、金融学、 社会学、生物学等领域中提出了各种各样的时滞微分方程问题, 即泛函微分方程问题. 基于这种广泛的应用性, 泛函微分方程的基本理论逐步发展起来, 而泛函微分方程的 周期解理论是泛函微分方程理论的一个重要组成部分. 因此, 研究泛函微分方程的周 期解的存在性问题, 不仅具有重要的理论意义, 而且具有重要的实际应用价值. 并随 着泛函分析理论的迅速发展, 拓扑方法和泛函分析方法已成为研究微分方程的重要理 论基础. 近年来, 国内外对于二阶非线性泛函微分方程的周期解存在性问题的研究非 常活跃, 并且取得了一些好的成果（见文5- 15,17- 24）. 如黄先开, 向子贵在文9中 研究了具时滞的 duffing型方程 )()()(tptxgtx=+ 的2周期解的存在性. 鲁世平, 葛渭高13考虑了下列具有多个可变时滞的微分方程 0)()()()()( 1 1 =+ = ttxgttxtxftx i n i i . 该文利用重合度理论中的连续性定理, 得到了一些周期解的存在性结果. 由于广义受迫 li nard 方程在许多物理模型中经常出现, 因此, 人们对这一类方 程引起了很大关注, 尤其是具有时滞的广义li nard方程, 如文12利用重合度理论研 究了具有可变时滞的 li nard 方程 )()(,()()()(tetxttxgtxtxftx=+ 的周期解存在性问题. 如文11利用重合度理论首先研究了以下时滞微分方程 0)()()()()()( 2 21 =+ ttxgtxtxftxtxftx (1.1) 当)(t不恒等于零时的周期解的存在性问题. 其中 1 f, 2 f,),(,rrcg, 是以t为周 具有多时滞的二阶泛函微分方程的周期解 2 期的函数. 该文得到了如下结果： 定理a 11 假设以下条件成立 )( 1 h 存在整数k使得tktt tt = )(sup , 0 0 ; )( 2 h 存在0m使得当m |u|时, mub | )(|, 当mu |时, 有0)(uug或者 0)(及0 3 使得 12 )(uf, 32 )(+uug, ru. 那么方程(1.1)至少存在一个t- 周期解. 易见, 上述定理a中对方程(1.1)中的各函数的限制条件比较强, 如对可变时滞 )(t的振幅的限制; 并且, 文中所作的变换 )(exp()( 0 2 = x dssfxa, = x dssfsaxb 0 1 )()()( 使得计算非常复杂, 比如当函数 21, f f为超越函数时. 这样定理a在实际应用中具有 较大的局限性. 本文在第二章中, 研究了具有两个可变时滞的二阶泛函微分方程 0)(,()()()()()( 2 121 =+ ttxtgtxttxftxtxftx (1.2) 的周期解的存在性. 显然, 方程(1.1)包含在方程(1.2)中作为它的特殊情形. 利用重合 度理论和一些分析技巧, 我们得到了一些保证该类方程存在周期解的充分条件. 这些 条件不仅简单而且易于验证, 不必对可变时滞)(t及函数)( 1 xf作任何限制, 也不必计 算文11中的积分)(xa及)(xb, 放宽了对函数),( xtg的增长条件的限制(见我们的结 果). 因此我们的结果大大推广和改进了文11中的结果. 在第三章中, 仍采用重合度理论和一些分析方法继续研究了更一般的方程 0)(,()()()()(,()( 2 2211 =+ ttxtgtxttxftxttxtftx (1.3) 的周期解的存在性, 得到了一些存在性的新结果, 所建立的一些存在性条件也大大改 进了文11中的相应条件. 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 3 第二章 一类二阶泛函微分方程的周期解存在性 本章将研究具有两个可变时滞的二阶微分方程 0)(,()()()()()( 2 121 =+ ttxtgtxttxftxtxftx (2.1) 的周期解的存在性问题. 其中 1 f, 2 f,),(, 1 rrc, ),( 2 rrcg , 且对任意的 rxt,有),( xtg),(xttg+=, , 1 是以t为周期的函数. 利用重合度理论和一些分析 技巧, 我们建立了一些保证方程(2.1)的周期解存在的充分条件. 同时得到了关于方程 (1.1)的周期解的存在性结果, 所得结果推广和改进了文11中的结果. 2.1 预备知识及引理 为了方便, 我们首先引入文24中的重合度理论及连续性定理. 设x和y是实赋范向量空间, 又设线性映射:ldomlyx 及连续映射 xn :y. 若 dimker=lcodimim+时, 0),(utug, rt ; )( 2 a 当mu 时, 0),(ttxtg 这与(2.7) 式矛盾. 同理由条件)( 1 a及(2.8)式可得mttx)( 22 . 从而由)(ttx的连续性 及介值定理可知, r使得 mx)(. 记 0 )(tnt +=, n为整数, , 0 0 tt , 于是有 mxtx=)()( 0 . 从而 dssxmdssxtxdssxtxtx tt t t t += 0 00 )()()()()()( 00 , ), 0tt . 即有 )(max , 0 0 txx tt = 2 1 0 2 )(+ t dssxtm. 假设条件)( 2 a成立时, 同理可证明有(2.6)成立. 引理证毕. 以上理论知识及引理, 将被使用到本章和第三章证明中. 2.2 绝对增长条件的结果及其证明 我们将应用引理 2.1 来证明以下定理. 定理 2.1 假设条件)( 1 a及以下条件成立: )( 3 a 0 1 , 2 , 0 3 , 使得 12 )(uf, 3 2 2 ),(+uutg, t, ru 其中 1 2 2 t. 则方程(2.1)至少存在一个t- 周期解. 证明 为了验证引理 2.1 中的所有条件成立, 我们首先证明方程(2.4)即方程(2.5)的 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 7 所有t- 周期解有先验界. 设)(tx是方程(2.5)对于某个固定的) 1 , 0(的一个t- 周期解. 将(2.5)式两边同时从0到t积分得 t dttxttxf 0 2 12 )()( = t dtttxtg 0 )(,(. (2.9) 由条件)( 3 a及),( 2 rrcf 知, 对任意ru, 有 12 )(uf0 uf,ru. (2.10) 于是利用上式和(2.9)可得 dttxttxf t 2 12 0 )()( dtttxtg t 0 )(,(. (2.11) 于是从(2.10), (2.11)式和条件)( 3 a可得 t dttx 0 2 1 )( t dttxttxf 0 2 12 )()(dtttxtg t 0 )(,( tdtttx t + 0 3 2 2 )(txt 3 2 0 2 +, 即 t dttx 0 2 )(txt 1 3 2 0 1 2 +. (2.12) 由条件)( 1 a知, 引理 2.2 中的(2.6)式成立. 从而由(2.6)式及(2.12)式可得 )(max , 0 0 txx tt = 2 1 0 2 )(+ t dssxtm 2 1 1 3 2 0 1 2 )( t x t tm+ 2 1 1 3 2 0 1 2 )( +=xtm )( 1 3 0 1 2 +xtm, 故有 )1 ( 1 2 0 tx 1 3 tm +. (2.13) 由(2.13)式及条件 1 2 2 m使得 21 )(muf, , 11 mmu. (2.16) 由方程(2.5)和条件)( 3 a及(2.11), (2.14), (2.16)得 dttx t 0 )(dttxtxf t 0 1 )()(dttxttxf t + 0 2 12 )()(dtttxtg t + 0 )(,( dttxtxf t 0 1 )()(dtttxtg t + 0 )(,(2 dttxm t 0 2 )( + t dtttx 0 2 2 )(2t 3 2+ 2 1 2 0 2 )(dttxtm t 2 02 2xt+t 3 2+ txm 2 1 1 3 2 0 1 2 2 )( + 2 02 2xt+t 3 2+ tmm 2 1 1 3 2 1 1 2 2 )( + 2 12 2tm+t 3 2+ 3 : m=. (2.17) 从而由(2.15), (2.17)式可得 0 x 3 , 0 )(maxmtx tt = . (2.18) 再由(2.14), (2.18)式得 ,max 001 xxx= 431 :,maxmmm=. (2.19) 这就证明了方程(2.5)的先验解有界. 设=1:xxkerl,nximl. 对 1 x, 有rcx=, 0=qnx, 从而 0),( 1 0 = dtctg t t , 由积分中值定理知, 0tt , 使得0),(=ctg, 由条件)( 1 a知 mc uug, mu ; )( 2 b 存在0 1 , 2 ,0 3 使得 12 )(uf, 3 2 2 )(+uug, ru, 其中 1 2 2 m 使得 0)(. 那么方程(1.1)至少有一个t- 周期解. 注 2.2 显然, 推论 2.1 和推论 2.2 中的条件比文11中定理的条件弱得多. 例如, 改进了)(xg的增长条件; 另外, 对可变时滞)(t的振幅和函数)( 1 xf没有任何限制条 件; 不必计算 )(exp()( 2 0 dssfua u = 及dssfsaub u )()()( 1 0 =的值. 因此, 我们的结 果大大推广和改进了文11的结果. 例 2.1 考虑下面方程 + 2 )()(3)sin(sin()()( 2 txttxtxetx x =)(,(ttxtg0, (2.21) 其中 =)(,(ttxtg + + ., 0,sin)cos5( 4 1 , 0,sin)cos5( 4 1 2 2 rtxtttx rtxtttx 对应方程(2.1)可得 2=t, 2 )( 1 x exf=, 3sin)( 2 +=xxf, ttsin)( 1 =, ttcos5)(= =),( xtg , 2 ,0 3 满足 1 2 2 2=, )(, 0 2 mttxttte uf和(2.9)式可得(2.11)式仍然成立. 由条件)( 1 a知 = 11 )(,()(,( ee dtttxtgdtttxtg, (2.22) 再由(2.9)式可得 = 1 )(,( e dtttxtg 0 )(,( e dtttxtg 2 )(,( e dtttxtg t dttxttxf 0 2 12 )()(, 于是从(2.22)式, 条件)(i及上式可得 具有多时滞的二阶泛函微分方程的周期解 12 = t dtttxtg 0 )(,( 1 )(,( e dtttxtg + 0 )(,( e dtttxtg + 2 )(,( e dtttxtg = 0 )(,( e dtttxtg 2 )(,( e dtttxtg t dttxttxf 0 2 12 )()( + 0 )(,( e dtttxtg + 2 )(,( e dtttxtg 0 )(,(2 e dtttxtg 2 )(,( e dtttxtg + 2 )(,( e dtttxtg = 0 )(,(2 e dtttxtg 2 )(,(2 e dtttxtg tm02+ + t dtttx 0 3 2 2 )(2 2 0 2 2xt)(2 30 +mt. (2.23) 由条件)( 1 a知, 引理 2.2 中的(2.6)式成立. 从而由条件0)( 12 uf及(2.6) , (2.11), (2.23)式可得 t dttx 0 2 1 )(dttxttxf t 2 12 0 )()( dtttxtg t 0 |)(,(| 2 0 2 2xt)(2 30 +mt 2 2 1 0 2 2 )(2 += t dssxtmt)(2 30 +mt t dssxt 0 2 2 2 )(2 2 1 0 2 2 3 2 )(4 + t dssxmt )(2 30 2 2 +mmt. (2.24) 于是, 利用条件 1 2 2 2m使得 * 0 2 )(mdttx t . (2.25) 再由(2.6), (2.25)式可得 1 * 0 : mtmmx=+ (2.26) 又由)()0(txx=知, , 0 * tt , 使得0)( * = t x, 故有 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 13 )(t x += t t dssxtx * )()( * t dssx 0 )(, , 0tt . (2.27) 因为)( 1 uf在, 11 mm上连续, 故存在常数0 2 m使得 21 )(muf, , 11 mmu. (2.28) 由方程(2.5)和条件)(i及(2.11), (2.23), (2.25), (2.26), (2.28)式得 dttx t 0 )(dttxtxf t 0 1 )()(dttxttxf t + 0 2 12 )()( dtttxtg t + 0 )(,( dttxtxf t 0 1 )()(dtttxtg t + 0 )(,(2 dttxm t 0 2 )( 2 0 2 4xt+)(4 30 +mt 2 1 2 0 2 )(dttxtm t 2 0 2 4xt+)(4 30 +mt * 2 tmm 2 12 4tm+)(4 30 +mt 3 : m=. (2.29) 从而由(2.27), (2.29)式可得 0 x 3 , 0 )(maxmtx tt = . (2.30) 再由(2.26), (2.30)式得 ,max 001 xxx= 431 :,maxmmm=. (2.31) 即方程(2.5)亦即方程(2.4)的先验解有界. 接下来, 我们还需验证引理 2.1 中的所有条件成立. 但由于剩余的证明与定理 2.1 中的证明完全相同, 故此处从略. 定理证毕. 当方程(2.1)中0)( 1 =t, 及)()(,(ttxgttxtg=时, 就得到方程(1.1). 由 定理 2.3, 我们便直接得到如下推论. 推论 2.3 假设)( 1 b成立以及0 1 , 2 ,0 3 满足 1 2 2 2, 2 ,0 3 满足 1 2 2 2, rt ; )(ii 12 )(uf,ru及 3 2 2 ),(+uutg, mu, 2 ,0 3 满足 1 2 2 2; )(ii 12 )(uf,ru及 3 2 2 )(+uug, mu. 那么方程(1.1)至少有一个t- 周期解. 例 2.2 考虑方程 + 2 )()(3)sin(sin()()( 2 txttxtxetx x =)cos5(,(ttxtg0, (2.32) 其中 =)(,(ttxtg + + ., 0,sin)cos5( 8 1 , 0,sin)cos5( 8 1 2 4 rtxtttx rtxtttx 对应方程(2.1)有 2=t, 2 )( 1 x exf=, 3sin)( 2 +=xxf, ttsin)( 1 =, ttcos5)(=, =),( xtg , rt 时, 0),(utug; )( 2 a 1 ,0 2 , 0 0 , 使得 011 ),(+uutf, 22 )(uf, t,ru, 其中 21 , 1 c0, 使得 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 17 11 | ),(|cuutg+ , mu , rt . 则方程(3.1)至少存在一个t- 周期解. 证明 我们仍利用引理 2.1 来证明此定理. 与定理 2.1 一样, 只需证明算子方程 (3.2)满足引理 2.1 中的所有条件, 即要验证方程 nxlx=, ) 1 , 0(, xdomlx (3.3) 的所有t- 周期解有先验界. 对应于算子方程(3.3), 我们有方程系 )(,()()()()(,()( 2 2211 ttxtgtxttxftxttxtftx+= , (3.4) 其中) 1 , 0(, xdomlx. 假设)(tx是方程(3.4)的对于某个固定的) 1 , 0(的任意一个t- 周期解. 应用引理 2.2, 由条件)( 1 a可得 )(max , 0 0 txx tt = 2 1 0 2 )(+ t dssxtm. (3.5) 再由条件)( 2 a及),( 2 rrcf 知, 对任意ru, 有 22 )(uf0 ufru. (3.6) 将(3.4)式两边同时从0到t积分得 t dttxttxf 0 2 22 )()( += t dtttxtgtxttxtf 0 11 )(,()()(,(. (3.7) 利用上式和(3.6)式可得 dttxttxf t |)()(| 2 2 0 2 dtttxtgdttxttxtf tt + 00 11 )(,(| )()(,(|. (3.8) 假设 ,|)(|, 0| 1 mttxttte= ,|)(|, 0| 2 mttxttte= 0 :|, 0| ),(max|mmxttxtg= 于是从(3.6), (3.8)式和条件)( 1 a,)( 2 a可得 t dttx 0 2 2 )(dttxttxf t |)()(| 2 2 0 2 具有多时滞的二阶泛函微分方程的周期解 18 dtttxtgdttxttxtf tt + 00 11 )(,(| )()(,(| dttxx t + 0 0 0 1 | )(|)( + 1 |)(,(| e dtttxtg + 2 |)(,(| e dtttxtg dttxx t + 0 0 0 1 | )(|)( + t dtm 0 0 dtcttx t + 0 11 )|)(|( 2 1 0 2 0 0 1 )| )(|()(dttxtx t + 0 1 xt+tcm)( 10 +. (3.9) 从而, 由(3.5)和(3.9)式得 t dttx 0 2 2 )( 2 1 0 2 0 2 1 0 2 11 )| )(|()| )(|(dttxdttxtmt tt + )()| )(|( 10 2 1 0 2 1 cmtdttxtmt t + = t dttxt 0 2 1 | )(|tcmm)( 101 + 2 1 0 2 2 3 1 2 1 0 2 1 1 )| )(|)(dttxttmt t +, 即有 t dttxt 0 2 12 )()( 2 1 0 2 2 3 1 2 1 0 2 1 1 )| )(|)(dttxttmt t + tcmm)( 101 + . 于是, 由条件)( 2 a及上式可知, 0 * m使得 * 0 2 )(mdttx t . (3.10) 故由(3.5), (3.10)式得 1 * 0 : mtmmx=+. (3.11) 因为)()0(txx=, 所以 , 0 * tt , 使得0)( * = t x, 于是 )(t x += t t dssxtx * )()( * t dssx 0 )(, , 0tt . (3.12) 因为),( 1 utf及),( utg在, 0t, 11 mm上连续, 于是存在常数, 2 m0 3 m使得 21 ),(mutf, , 0),( 11 mmtut, (3.13) 3 ),(mutg, , 0),( 11 mmtut. (3.14) 由方程(3.4)和条件)( 2 a及(3.8), (3.10), (3.13), (3.14)式得 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 19 dttx t 0 )(dttxttxtf t 0 11 )()(,(dttxttxf t + 0 2 22 )()( dtttxtg t + 0 )(,( dttxttxtf t 0 11 )()(,(2dtttxtg t + 0 )(,(2 dttxm t 0 2 )(2 3 2tm+ 2 1 0 2 2 )(2dttxtm t 3 2tm+ * 2 2tmm 3 2tm+ 4 :m=. (3.15) 从而由(3.12), (3.15)式可得 0 x 4 , 0 )(maxmtx tt = . (3.16) 再由(3.11), (3.16)式得 ,max 001 xxx= 541 :,maxmmm=, 即有 5 1 mx. (3.17) 现在取正常数 5 1mmd+=. 则由上述 5 m 的取法可知, 正常数d与() 1 , 0()无 关. 令,xxdxxuug, mu ; )( 2 b 0 0 使得 02 )(uf, ru; 华侨大学数学科学学院 2006 级硕士毕业论文 21 )( 3 b 0 1 , 1 c0, 使得 11 )(cuug+ , mu . 那么方程(1.1)至少有一个t- 周期解. 类似于定理 3.1 的证明, 可得以下定理. 定理 3.2 假设条件)( 2 a及以下条件成立: )( 1 a 存在0m使得 0),( , rt ; )( 3 a 0 1 , 1 d0, 使得 11 ),(duutg+ , mu , rt . 那么方程(3.1)至少有一个t- 周期解. 推论 3.2 假设)( 2 b,)( 3 b及以下条件成立: )( 1 b 存在0m 使得 0)(. 那么方程(1.1)至少存在一个t- 周期解. 例 3.1 考虑方程 + +21)cos( )()()cos)sin( 8 1 ()( 2 txetxtttxtx ttx =+tttx2cos)sin20(0. (3.19) 对应于方程(3.1), 可得 2=t, txxtfcos 8 1 ),( 1 += , 1 2 2 )( + = x exf, txxtg2cos),(+=, ttsin)( 1 =, ttcos)( 2 =, ttsin20)(=; 取=m, 1 0 =, 8 1 1 =, 2 2 =, 1 1 =, 1 1 =c. 于是容易验证定理3.1中的所有 条件成立, 从而方程(3.19)至少存在一个2- 周期解. 3.2 单边条件下周期解的存在性 定理 3.3 假设)( 1 a及以下条件成立: )( 1 h 0 1 , 0 0 , 使得 011 ),(+uutf, t,ru; 具有多时滞的二阶泛函微分方程的周期解 22 )( 2 h 2 ,0使得以下情况之一成立: )(i 22 )(uf,ur及 uutg),(, mu, rt . 其中t 12 2 . 则方程(3.1)至少存在一个t- 周期解. 证明 和定理 3.1 一样, 我们只需证明对) 1 , 0(时, 算子方程(3.4)的解在x中有 先验界. 假设)(tx是方程(3.4)对于某个固定的) 1 , 0(的任意一个t- 周期解, 应用引 理 2.2, 由条件)( 1 a可得(3.5)式成立. 将(3.4)式两边同时从0到t积分可得(3.7)式. 我们只证明条件)( 2 h中)(i成立的情形, 对于情况)(ii, 证法相同. 首先利用(3.7) 式和条件0)( 22 uf可得(3.8)式. 假设 0 :| , , 0| ),(max|mmxttxtg=, ,)(, 0| 1 mttxttte= ,)(, 0| 2 mttxttte= ,)(, , 0 | 3 mttxttte及(3.22)式可知, 0 * m使得 * 0 2 )(mdttx t .