（基础数学专业论文）kacmoody代数的双极化.pdf

摘要 摘要 本文我们主要给出了在k a c - m o o d y 代数及其子代数中如何构造双极化的方 法，并给出具体例子，本文主要构成如下： 在引言中介绍了双极化的相关背景，定义，发展及其在李代数中的主要应用 第二节，我们主要介绍有限维李代数中对称和非对称双极化，即复半单李代 数由特征元决定的对称双极化和复半单李代数的实形式的b o r e l 子代数的非对称 双极化这些是k a c - m o o d y 代数及其子代数的双极化理论的基础 第三节，简要概述了k a c - m o o d y 代数的一些基本知识，其中包括广义c a r t a n 矩阵的定义及其分类；怎样由广义c a n a n 矩阵的实现构造k a c - m o o d y 代数；k a d m o o d y 代数的基本性质 第四节，首先介绍了可对称化广义c a r t a n 矩阵的定义，再根据可对称化广义 c a r t a n 矩阵对应的k a c - m o o d y 代数g ( a ) 中存在非退化对称双线性函数，我们给 出9 ( a ) 由其c a r t a n 子代数中非零元z 决定的对称双极化 第五节，首先介绍了k a c - m o o d y 代数的广义b o r e l 子代数及其中心的定义， 由两者之间的关系，给出了在广义b o r e l 子代数中构造非对称双极化的具体方法 最后给出了在a 型k a c - m o o d y 代数的广义b o r e l 子代数中构造非对称双极化 的实现 关键词双极化k a c - m o o d y 代数广义b 0 r e l 子代数 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i 8t h e s i s ，s o m em e t h o d sa 碑百唧t oc 0 璐t m c td i p o l 村i z a t i o ni nk a o m o o d ya l g e b r a sa n dt h e i rs u b 柏g e b r a s ，锄da 1 8 0 l em 1 1 s t r a t i n ge x 锄p l e 8 觚e p r o v i d e d 7 r h et h e s i si so r g a n i z e da sf o u o w s s o m eb a c l 【f o 衄d s b 蠲i cd e 缸m i o 珊，d 愀1 0 p m e n t s 蛐dm a i na p p l i c a t i o 地o f d i p 0 1 a r i z a t i o ni nl i ea l g e b r a sw mb er e c a l l e di nt h e 龇r o d u c t i o n i i ls e c t i o n2 ，w e m t r o d l l c e8 ) 1 丑m e t r i ca n dn o n f 玎m 加e t r i cd j p 0 1 缸i z a t i o ni n 矗 n i t ed i m 伽商o n a ll i ea l g e b r 嬲，i e t h e 昭m m e t r i cd j p o l 甜i z a t i o ni na c o m p l e xs e 珂扛 s i l p l el i e 勤g e b r aw h i c hi 8d 曲e r i i l i n e db yc h 觚a c t e re l e m e n t a n dn o n s y 玎珊e t r i c d i p o l 龇乜a t i o ni nb o r ds u b a 玉g e b r ao f8 0 m er e a i 五踟o fac 呦p l e x 舳m 磷m p l el i e a l g e b r a ，w h i c ha r et h eb a s i so fd i p 0 1 a r i z a t i o nt h e o r yi nk a d m o o d ya l g e b r a s 锄d t h e i rs u b m g e l ”a 1 1 1g e “i o n3 ，矾m e a y 砒r o d u c e 蛐f i l n d 锄e n t a l 】m o w m g eo fk 瓣m o o d y a l g e b r ，w h i c hi 玎：v o h 电t h ed e 血m i o n 叽dc 1 姻8 m c a t i o n0 fg e n e r a l i z e dc a r t a nm a - t r i c e s ，h o wt oc o n s t r u c tk a c _ m o o d ya l g e b r 嬲f r o mt h eg e n 盯a h z e dc a n a nm a t r i c 髑 柚db 髂i cp r o p e r t 妇o fk 瓣m o o d y a l g e b i 鼬 i i lg e c t i o n4 ，w e 丘r s t l yi n t r o d u c et h ed e 血d t i o no f 毋皿皿e t r i z a b l eg e n e r a l i z e d c 疵a nm a t r i c 鹤，也e na c l 晰d i gt ot h e 觚t h a tt h e r e 既i g t san o n d e g 朗e r a t e 伽e t r i cb i h n e a rc - v a l u e df o m0 g ( a ) w h 池i 8a 8 8 0 d a t e dt oa 盯m m e t r i z a b l e g e n 艘8 l i z e dc a n a nm a t r i ) 【，w e 西v e 印m m e 七r i cd i p o l 盯i z a t i o n0 fg ( a ) w l l i c hi s d e t e r m i n e db y 姚e r 0e l e m e n tzi n i t sc a 础a n8 u b 酊g e b r a hs e c t i 5 ，聊i n t r o d u c et h ed e 丘n i t i o n0 fg e n e r a n z e db o r e l8 u b a l g e b r a s a n dt h ec e n t e ro fk a o m o o d ya l g e b r 勰a c c o r 血gt ot h e i rr e l a t i 8 h i p ，w e 酉v e t h e 印e c 伍cm e t h o dt oc o 瑚t r u c tn o n s 舯e t r i cd i p o l 舡i z a t i o ni nag e n e r a l i z e d b d 酊b a l g e b r a i i lt h e 啦d ，矾g t h e8 p e 碰kr e a h z a t i o no fc o n s t n l c t m g n o m y 玎衄1 e t r i cd i p 0 1 a r i z a t i o ni ng e n e r a u z e db o r e ls u b a 培e b r a0 fa t y p e k e yw o r d s ：d i p o i a r i z a t i o nk a c - m o o d y 出g e b r ag e n e r a l i z e db o r e ls i l b a l p ：e b m i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描，数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：上狍 2 0 0 年 月2 7 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：王他 2 0 0 6 年岁月2 7 日 1 引言 1 引言 微分几何理论中，仿凯勒流形是一类重要的研究对象，仿凯勒流形的定义有 两种等价的观点第一种是由p l i b e r m a n 在【4 1 中给出的，她用的是张量场的观 点另外一种观点是由s k o b a y a s h i 在【5 】中给出的，他用的是辛流形的观点设 m 为一个辛流形，如果m 上存在两个横截的l a g r a n g e 叶状结构，则称m 为一 个仿凯勒流形从定义可以看出仿凯勒流形是一种非常特殊的辛流形一个仿凯 勒流形称为齐性的如果m 的可微变换群g ( m ) 在吖上的作用是可迁的为了描 述齐性流形，一个很重要的问题是考虑在陪集空间上存在这种结构的代数化条件 1 9 9 0 年，k a n e ”l l d 考虑了齐性仿凯勒流形的代数化问题，他给出了与李代数有关 的新概念如下 定义l 1 设g 为域f 上的个李代数，三元组 9 + ，g 一，力称为g 上的一个 弱双极化，其中g 士为g 的两个子代数，p 为g 上一个反对称双线性函数，而且满 足下列三个条件： ( 1 ) g 篁g + + g 一； ( 2 ) p ( x ，g ) = 0 当且仅当x g + n g 一； ( 3 )p ( g + ，g + ) = p ( g 一，g 一) = o ； ( 4 ) v x ，z g ，p ( ，明，z ) + p ( 【kz 】，x ) + p ( 【z ，x 】，y ) = o 1 9 9 2 年，k a n e ”l k i 在【6 】中指出，设g 为一个( 实) 李群，日为g 的闭子群， 则在g 日上存在g - 不变仿凯勒结构当且仅当在g 的李代数l 耙g = g 上存在弱 双极化g + ，g 一，p 使得g + n g 一= l i e 日= b ，且有p ( a d ( ) x ，a d ( ) y ) = p ( x ，y ) ， 以，y g ， 日和a d ( ) g 士= g 士，v 日成立 接着，k 粕e ”1 1 ( i 引入了另外一个概念一李代数中的双极化，它比弱双极化简 单但在半单情形与之等价 定义1 2 设g 为域f 上一个李代数，g + ，g 一为g 的子代数，g + ，三元组 g + ，g 一，) 称为g 中的双极化，如果满足下列三个条件： ( 1 ) g = g + + g 一； ( 2 ) 设b = g + n g 一则，( ，g 】) = o 当且仅当x b ； ( 3 ) ，( 【g + ，d + 】) = ，( 【9 一，9 一】) = o 双极化 g + ，g 一， 称为对称的，如果作为李代数g + 与d 一同构，否则称为非对称 1 l 引言 的；如果g + = g 一= g 且，= 0 ，称该双极化为平凡的 至此，开始了对李代数双极化的研究早期，k a n e y u k i 【6 】用阶化的方法在实 半单李代数中得到了类对称的双极化，后来在f 7 】中，作者证明了实( 复) 半单李 代数的任何双极化都是对称的1 9 9 3 年，邓少强和k 蛆e y u k i 【8 】构造了上三角矩 阵构成的李代数的双极化这是第一个非对称双极化的例子，非对称双极化的存 在性指出了齐性凯勒流形与齐性仿凯勒流形的本质区别1 9 9 5 年，孟道骥和邓少 强【9 】给出了一类非对称双极化，即复半单李代数的实形式的b o r e l 子代数的双极 化接着，在【1 0 1 中，他们证明了在维数大于2 且包含一个单完备理想与s f ( 2 ，c ) 的b o r e l 子代数不同构的复可解完备李代数上存在非对称双极化，这使得非对称 双极化有了很大的发展双极化的主要应用是证明了一个连通紧齐性仿凯勒流形 是个环面【1 1 】和证明了半单李群的齐性仿凯勒流形是双曲半单伴随轨道的一个 覆盖空间f 1 2 】 本文我们主要给出了在k a c m o o d y 代数及其子代数中如何构造双极化，并 给出例子具体地讲在第四节构造了由c a r t a n 子代数b 中非零元z 决定的k a o m o o d y 代数的对称双极化第五节构造了k a c - m o o d y 代数广义b 0 r e l 子代数的 非对称双极化在文章的最后，我们给出了a 型k - m o o d y 代数广义b o r e l 子 代数非对称双极化的具体实现 本文总假定f 是特征为0 的代数闭域z ，r ，c 分别表示整数环，实数域与复 数域 2 2 有限维李代数中的对称和非对称双极化 2 有限维李代数中的对称和非对称双极化 本节我们主要介绍和构造的k a c m o o d y 代数双极化相关的有限维李代数中 对称和非对称双极化，即复半单李代数由特征元决定的对称双极化和复半单李代 数的实形式的b o r e l 子代数的非对称双极化 定义2 1 设g 为f ( = r 或c ) 域上的半单李代数，( ，) 为g 的k i l u n g 型， g + ，g 一，n 为g 的双极化，于是有唯一的z g 满足 ，( x ) = ( 互x ) ，v x g 则称z 为双极化 g + ，g 一，仃的特征元 定理2 1 设g 为c 上半单李代数，z 为g 的一个非零元，则z 能够成为g 中双极化的特征元当且仅当z 是半单元 定义2 2 设g 为f ( = r 或c ) 域上的半单李代数， g + ，g 一，) 为g 的双 极化，称 g + ，g 一，) 可由阶化导出，如果存在阶化g = g k 使g + = g k 且 k z 蠹芝0 g 一= g k 膏0 定理2 2 设g 为c 上半单李代数，则g 的任何双极化都可由g 的阶化导出 注：从上述定理可以看出对于复半单李代数，任给其c a r t a n 子代数里的一个 非零元即特征元就可以得到g 的个双极化，且得到的双极化是对称的 设口。为复半单李代数，6 。为旷的c a r t 缸子代数，为。相对于5 。的根系， 选择百c 的一组基为 甄、，冠i 啦，q ) 使得阢，砀】= x 。+ 卢，其中 c 钿是实甄设三k = ，咒。1 ( 口) 记空间豫为b ，令百= b + g 。， 则百是百。的一个实形式，选择中的个正根系+ ，设为+ 中索根系，令 g = 6 + g 。， n + 则g 是的标准b o r e l 子代数，定义 g + = r 日口， n + g 一= b + r 风 3 2 有限维李代数中的对称和非对称双极化 设 为g 中的内积使得 丑- ，x 。iq t n ，q + ) 形成g 的一组标准 正交基，定义 ，( x ) = + 定理2 3 设g ，g + ，g 一和，定义如上，则 g + ，g 一， 为g 是的一个双极化， 而且若孬。包含个单理想与s f ( 2 ，e ) 不同构，则该双极化是非对称的 注。定理2 3 中的g 也可直接取复半单李代数孬。的b o r e l 子代数，在其实形 式中构造只是从几何上考虑 4 3 k * m o o d y 代数 3 k a c - m o o d y 代数 为了叙述方便，本节我们回顾一下k a c _ m o o d y 代数的一些主要知识，可参看 文献【1 1 【2 】【3 】 定义3 1n 阶整数方阵a = ( ) 舻“若满足下面三个条件： ( 1 ) = 2 ，1 n ； ( 2 ) j ，o ； ( 3 ) = o 当且仅当啄= o ，则称a 为广义c 8 r t a 矩阵 定义3 2 以舻表示r 上疗维列向量空间，按通常的内积( ，) ，舻构成一 个e u c l i d 空间设q = ( n 1 ，眈，n 。) 7 ，p = ( b 1 ，6 2 ，k ) ，我们称 口 卢，如果毗一玩 0 ，1 t n ； q p ，如果啦一6 l o ，l 佗 设 = ( 札1 ，牡2 ，) ，我们记u 0 ，如果所有撕 0 ；记u 0 ，如果所有 地0 定义3 3 一个竹阶方阵a 称为可分解的，如果有置换矩阵p 使得p a p ， 是准对角形矩阵，即 p a p ，= d i a g ( a 1 ，a 2 ，a 。) ， 其中a 是( 1 ) 阶方阵，啦= n 否则，称a 是不可分解的本文的广义 c a r 七a n 矩阵都是不可分解的 定理3 1 不可分解的广义c a r t a n 矩阵分为有限型，仿射型，不定型三类： a 为f i n 型当且仅当j u 0 ，使a 钍 o ； a 为a 型当且仅当3 u o ，使胤= 0 ； a 为i n d 型当且仅当j u 0 ，使a u o ，若卢+ 七啦， j ；l 卢+ 詹啦= 嘶+ ( 佻+ 七) 瓯+ 6 在g ( 舢中有对合自同构u ，使得 u ( e i ) = 一工，u ( 工) = 一岛，u ( 危) = 一危，h b 我们知道，在( a ) 中有对合自同构o ，使得白( e t ) = 一 ，o ( ) = 一岛，击( 危) = 一h ，h b 显然，西o ) = t 设丌为( a ) 到g ( a ) = 百( 码卜的自然同构于是由 u 7 r = 丌u 7 3k a c - m o o d y 代数 所定义的u 为g ( a ) 的对合自同构，并满足上述要求 我们称u 为g ( a ) 的c h e v a n e y 对合 7 m u l t 口= 硼1 l t ( 一口) ，+ = 一一 8 4 b 中的非零元z 决定的g ( a ) 的对称双极化 4 b 中的非零元z 决定的g ( a ) 的对称双极化 本节我们主要给出可对称化的广义c a r t a n 矩阵对应的k a c m o o d y 代数由 其c a r t a n 子代数中非零元z 决定的对称双极化 定义4 1 个乱阶实方阵a = ( ) 称为可对称化的，如果有非退化的对角 阵d = d i a g ( l ，龟，“) 与对称矩阵b ，使得 a = d b 定理4 1f i n 型与a 在型的广义c a r t a n 矩阵一定可对称化 定义4 2 一个复李代数g 上的个g 值对称双线型( ，) 称为不变的，如果 ( 陋，们，z ) = 白，k ，胡) ，v 霸玑2 g n 设( b ，n ，。) 是a 的实现，旷是b 7 = c 彰在b 中的一个补子空间，即 b = 9 7 + b ”，在b 中我们定义一个c 值双线性函数( z ，掣) 满足下列条件。 ( q ? ， ) = 岛a 。( ) ， b ， ( ，a ? ) = 。( ) ，b 7 ， ( ，) = o ，旷 由于 ( q ? ，) = 岛啦( ) = 岛= e 。勺t = 矗勺6 | j = 勺o o ( n ? ) = ( ，q ? ) ， 故( z ，! ，) 是b 上的对称双线性函数 定理4 2 设a 为可对称化矩阵a = d b ，则在g ) 中存在一个非退化的 对称双线性函数( z ，) 使得下面的性质成立， ( 1 ) ( z ，! ，) 在g ( a ) 下不变，即 ( 陋，引，二) + ( z ，陆，习) = o ，妇，玑z g ( a ) ， ( 2 ) ( 戤g ) 在b 上的限制( ，) b 满足上面的条件且非退化， ( 3 ) 若口+ 卢o ，则( g 。，g 口) = o ， ( 4 ) 若口，( ，) 轴x 扣。( 即( z ，可) 在g 。g 一。上的限制) 是非退化的，故 对于( ，可) ，g 。与g 一。非退化， 9 4 b 中的非零元z 决定的g ( a ) 的对称双极化 ( 5 ) 若口，z g 。，! ，g 一。，则陋，引= ( z ，可) _ 1 ( a ) ，其中为b 到b + 的同构映射，( ) ( 1 ) = ( 九， 1 ) 设a 为可对称化的广义c a r t a n 矩阵，( b ，”) 为其实现，g ( a ) 为对应的 k a o m o o d y 代数记g ( a ) 上不变非退化双线性函数为( ，) ，此时b 与b 同构 设o = 瓴，a 屯，啦。 为的子集，为自+ 中的线性无关组，可扩充 为b 的一组基，重新排列后设为 = a 1 1 ，儡k ，口n + 1 ，a 2 ，l l 】 由线性代数知存在唯一的z ( b ) + = b ，使 如，( z ) = o ( 1 s j 七) ，o ( z ) = 1 0 ) 令0 = 【i i o 】= 扣= 啦i 啦岳i i o ，= o ，由0 的定义有 i = 1 v a ，卢o ，q + 卢o ； v 口o ，一a o 且a ( z ) = 0 定理4 3 令g + = b +g 。，则g + 为g ( a ) 的子代数 a 0 u + 证明分三种情况讨论t ( 1 ) 地，卢o ，由口+ 卢o ，【g 口，g 卢】g 口+ 卢g 十； ( 2 ) 地，卢+ ，显然有口+ 卢+ ，【g 。，g 口】g 。+ ，g + ； ( 3 ) v a 0n 一，p + o ，对h t o 归纳证明p 一口时，有 p o + 当h t 口= 1 时，口o 令 仃 n p = 岛( 磅z + ) ，卢一口= 岛一口 由a ，口= 啦( 1si n ) ，如果 o ，p 一口= 也+ ( 一1 ) 毗，此时 j 一a + ；如果k = o ，卢一a = b 一啦，由正，负根的定义卢一口隹所 j i 以若卢一口，就有p q + 假设h t a = 一1 时，若卢一口，p q + 成立 1 0 4 b 中的非零元z 决定的g ( a ) 的对称双极化 当h t 口= 七时，q + ，a = 7 + q l o 由n o 知q 毒o n o ，所以一y o 此时 卢一口= ( 卢一，y ) 一q m ，h t ( 7 ) = 七一1 由归纳假设知，若卢一7 ，p 一7 + ，h t ( o 钿) = 1 由上面所证知若卢一a ， 有卢一q + ，即 g 卢，g 一。】g 口一口g + 因此g + 为g ( a ) 的子代数 口 设a 是可对称化广义c a r t a n 矩阵，g ( a ) 为对应k a c - m o o d y 代数，u 为g ( a ) 的c h e v a u e y 对合定义 g 一= u ( g + ) 钏+ g 。， a 知u a 一 因为a 是可对称化的，由定理4 2 知，在g ( a ) 中存在一个非退化的对称双线性函 数( ，) 定义，( x ) = ( 五x ) ，v x g ( a ) 由z b ，显然g ( z ) = b + g 。 定理4 4a 为可对称化广义c a 毗锄矩阵，( b ，n ) 为其实现，g ( a ) 为对 应k a c - m 0 0 d y 代魏设g + ，g 一，z 的定义如上，则 g + ，g 一，n 是g 中一个对称 双极化 证明由定理4 3 知g + ，g 一为g ( a ) 的子代数且g ) = g + + g 一 如果 x g + 几g 一= b + g 。= c ( z ) ， 口0 则 ，( ，y 】) = ( 五陋，明) = ( 捌，y ) = o ( v y g ) 如果 ，( ，y 】) = oo 彤g ) ， 那么 ，( 阢y 】) = ( z ，明) = ( 【z ，圈，y ) = o ， 可得阮圈= 0 ，即x c ( z ) 所以，( 【x ，) = o ( v y g ) ，当且仅当x g + n g 一 1 1 4 b 中的非零元z 决定的g ) 的对称双极化 ，( 由+ ，g + 】) = ( z 【g + ，g + 】) = ( z ，g + 】，g + ) = ( g 。，b +g 。) 吒a + o 删：o u 6 i + = o 同理可得，( 【g 一，g 一】) = o 所以 g + ，g 一，n 即为由z 确定的双极化 由叫( g + ) = g 一知该双极化是对称的 口 5 k 瓣m 0 0 d y 代数的广义b o r e i 子代数的非对称双极化 5 k a c - m o o d y 代数的广义b o r e l 子代数的非对称双极化 定义5 1 设a 是广义c a r t a n 矩阵，对应k a c - m o o d y 代数g ( a ) 对于的 子集 l = a a 。2 ，a t k ) ， 称b ，岛( 1 i 冬n ) 及厶( 1s 歹后) 生成的9 ( 枷的子代数为g ) 的广义抛物 子代数，记为p ，( a ) 特别，p 口) 称为g ( a ) 的广义b o r e l 子代数，记为b ( a ) ，且细( a ) = g ( a ) 定理5 1 设a 舻”，g ( a ) 为对应的k a c - m o o d y 代数，g ( a ) 的导代数 g ( a ) = g ( a ) ，g ( a ) 】= 三( 口￥，) + g 。 n 则g ( a ) 与9 7 ( a ) 的中心为 e ( g ( a ) ) = e ( 9 7 ( a ) ) = bi 啦( ) = o ，1 i n d i m g ( g ( a ) ) = d i m b 一n = 竹一f ，z = r a n k ( a ) 设a 乃。“为广义c a r t a n 矩阵，( b ，。) 是a 的实现，g 似) 是由a 决定 的k a o - m 0 0 d y 代数，则 g ( a ) = b + g ( a ) ，= + u 一且+ = 一一 口 = 口1 ，q 。，a 。 为圹的线性无关组，可扩充为旷的一组基= q 1 ，+ 1 ，o 轨1 取这组基的对偶基 d 1 ，d n ，d ，l + 1 ，d 2 n 1 ) ，即为 b 的一组基由 1 ，d 叶2 ，d 2 。一d 线性无关，且v ，有 ( 也) = o ( 1si n ，n + 1 j 2 n f ) ， 故t 仉l ，厶+ 2 ，d 2 t l 1 ) 为c ( g ( a ) ) 的一组基，且可知 住 而= c o + 1 j 2 n z ) i = l v 口+ ，当h t 口2 时，可选择g 。的一组基为砼，瑶，其中 虬= d i m g 。，二1 1 3 5k m o o d y 代数的广义b o r e l 子代数的非对称双极化 令夕( a ) 的广义b o r e l 子代数为钆( a ) = g = b + g 。，定义 a + g + = c ( g ( a ) ) + g 。， 口“ g 一= b + g 。 h c n 2 根据上面所述的b 中基的选择坂g ，可知 x = 五也+ k 由+ g e i + ( 磷磁) 1 = l j ；n + 1 i = l h l 口2 知= 1 定义，伍) = 五+ g # lt = 1 定理5 2a 为广义c a r t 8 n 矩阵，( b ，”) 是a 的实现，g ( a ) 是由a 决定 的k a c m o o d y 代数设g ，g + ，g 一，定义如上，则 g + ，g 一，) 是g 的一个双极化， 且该双极化为非对称的 证明g ( g ( a ) ) cb ，显然g + ，g 一为g 的子代数且g = g + + g 一 如果 x g + n g 一= c ( g ) ) + g 。， h t 口2 则，g 】g 。，由，僻) 的定义知，( ，9 1 ) = o h 口2 反之，假定x o ，( ，g 】) = o ，我们证明x g + n g 一 由上知 n2 n ln4 x = 五西+ 巧奶+ g 岛+ ( 罐堙) l = l j = 1 b 1 蛔2k = 1 先证a = o ( 1 i n ) ，若不然，则存在g 0 由a 1 ，0 2 ，线性无 关，存在上毛b ，满足 q 。( 凰) o 且( 日0 ) = 0 ，v 哟一吼， 使 瞵，凰】= 一啦( 日0 ) 岛+ x ，其中g 。 h 乞n 2 从而，( ，凰】) = 一，( 口。( 凰) e t ) = 一啦( 日0 ) o 与，( ，g 】) = o 矛盾，于是 g = o ( 1 s i n ) 1 4 5k 昭m o o d y 代数的广义b o r e i 子代数的非对称双极化 此时 n2 n f n 口 x = 五反+ 巧d j + ( 罐蜡) ；1 j = n + 1h t a 2 2k = l 下面要证五= o ( 1 i n ) ，反设其不成立，存在五o 由基的选择有 q t ( d j ) = ( 1 i ，j 2 n f ) 那么 ，e i 】- 五m 他) 如+ x ”，其中o 。 h m 2 ，( ，e t 】) = ，( 五o 池k + x ”) = 五o 与，( ，司) = o 矛盾，于是 五= o ( 1 i s 礼) 所以 x = 巧由+ ( 或堙) ， ，；卅lh 口2 2 拓= 1 即x g + n g 一 由 g + ，g + 】_ g 。， h n 2 【g g 】= g 。 址a 2 有，( 【g + ，g + 1 ) = ，( 【g 一，g 一】) = o 即证 g + ，g 一， 是g 的一个双极化 由g + ，g 一的定义，v x g + ，a d x 的特征值都为零，而在g 一中对于d 1 ，d 2 ， 如，a d 反( 1st 礼) 有非零的特征值，故g + ，g 一不同构于是 g + ，g 一，) 为g 的 一个非对称双极化 口 推论5 1g ( a ) 的导代数 9 7 ( a ) = 【g ( a ) ，g ( a ) 】= l ( a ￥，口：) + g 。， o 令g = l ( 口￥，) + g 。，则g 为9 7 ( a ) 的广义b o r e l 子代数设 口 g + = 如，g 一= l ( d ￥，) + 如 口+缸a22 v q + ，当h t o 之2 时可选择g 。的一组基为圪，堙，l ，其中心= d i m g 。，：1 】5 5k 瓣m o o d y 代数的广义b o r d 子代数的非对称双极化 d ，令 定义，( x ) = q ，则 g + ，g 一，n 是g 的非对称双极化 推论5 2a 为f i n 型广义c a n a n 矩阵，g ( a ) 为复单李代数，则在其b o r e l 例设广义c a r t a n 矩阵a = ( 兰三；) ，其对应的k 静m o 。d y 代 数g ( a ) 即为a ) 此时 n = 3 ，z = 2 ，d i m g ( g ( a ) ) = 1 ，= a o ，q 1 ，口2 ) ，v = 耐，q ：，a ￥ 令= q ? ，d b 满足n 1 ( d ) = a 2 ( d ) = o ，a o ( d ) = l 把扩充为b 的一组基 n o ，口1 ，a 2 ， ，其中a 0 满足 a o ( 酣) = l ，a 0 ( 口：) = ( ) = ( d ) = o 取b 的另一组基似口“口2 ，a o ) ，其中6 = ，6 ( d ) = 1 不难求出其对偶基为 d ，；口￥+ ；口￥，；口￥+ ；n ￥，k ) 设 q o ，口“口2 ， 的对偶基为 饥，仇，讥 ，由 ? ( 三：之) t ( 三妻耄) = 厶， 其中d = ；口￥+ 彰，d - = 口￥+ ；a ￥，可求得 因此 饥_ a ，他= d + 秘+ 知竹= d + 缸+ 讯= k 、lillij o 0 0 1 1 o l o 1 1 o o 1 0 0 o ，iiil- 拳 、 k 他如蚀m 蚀d 饥 ，一， t 5k 昭m o o d y 代数的广义b o r e l 子代数的非对称双极化 由吼( k ) = o ( osi 2 ) 且m m c ( g ( a ) ) = 1 ，知k 为c ( g ( a ) ) 的基 在b 和b + 中有了 n o ，口1 ，眈，) 和 m ，加，饥) 这样的对偶基，根据定理 5 2 知，在夕( a ) 的广义b o r e l 子代数中可确定一个非对称的双极化 口 1 7 参考文献 参考文献 【l 】c t o rg k a c ，i 曲n i 七ed i m e n s i o n a ll i e 越g e b r 嬲n e wy 0 r k ：c 锄b r i d g eu n i _ w r s i t yp r e 8 s ，1 9 9 0 2 】孟道骥，k a c _ m 0 0 d y 代数讲义 3 】万哲先，k a c _ m o o d y 代数导引北京：科学出版社，2 0 0 2 【4 】p l i b 蚴a n n ，圹f 8 亡，m c 饥他sp 他s 口雠c d 印f e z e se tn 鳓肥s5 拥c 钯他5i ，讲n 一 讹s t m 口f e s 聊砒e r 屿b 1 1 1 1 s 0 c m a t h n a n c e ，1 9 9 5 ( 8 3 ) ：1 9 5 - 2 2 4 5 】s k o b a y a s h i ，日卯e 渤托cm 帆i ，d 胁肌d d j d m d 印肮c 仇卿咖s ， n e wy 诎： m 盯c dd e 珏。e r 1 9 7 0 qs k a n e y u k i d 仃n 化m n 础0 6 2 ec k 甜d ， o m 凹e ，l e d 邶s 妒妒f e c 悦cm n 佗伽 p r o c j a p a na c a d ，1 9 9 1 ，6 7 ( a ) ：1 2 8 - 1 3 1 7 】sd e n ga n dgz h