（控制理论与控制工程专业论文）广义系统的保成本控制.pdf

摘要 摘要 保成本控制问题最早是由c h a n g 和p e n g 于1 9 7 2 年在自适应控制中首次提出。 其基本思想就是针对不确定系统设计一个反馈控制器，使得其闭环系统不仅是稳 定的，而且对于所有容许的不确定，其相应的性能指标不超过某个确定的上界。近 几年，随着不确定系统鲁棒控制研究所取得的进展，不确定系统的保成本控制问 题又得到了广泛的研究，取得了很多的成果。然而，迄今为止，主要的研究： 作仅 局限于一般正常系统。对于不确定广义系统，由于广义系统自身所具有特殊性， 使得对不确定广义系统的保成本控制的研究显得非常困难。因此，我们对不确定广 义系统的保成本控制问题进行研究具有重要的实际意义。 本文详细分析了保成本控制的研究现状，着重研究了广义系统的保成本控制 问题。主要成果包括以下几个方面： 一、论述了与本文有关的背景；介绍了一些关于线性矩阵不等式和 m a t l a b l m i 工具箱的预备知识和文中用到的一些不等式。 二、运用广义r i c c a t i 方程，研究了不确定线性广义系统和不确定离散广义系 统的保成本控制问题得到了闭环系统存在保成本控制器的条件。 三、采用线性矩阵不等式( l m ) 方法研究线性不确定线性广义系统的具有h 。干 扰抑制的保成本控制，得出了最优的保成本性能和h 。干扰抑制水平。通过一组 r i c c a t i 方程，给出了连续和时滞两种情况下，不确定广义系统的具有h 。干扰的保 成本控制器的设计方法。 四、考虑了控制器本身具有扰动的保成本控制问题，将控制器本身的扰动因定 在某一容许范围内由一组广义r i c c a t i 方程，通过参数矩阵不等式的处理方法， 得到了闭环系统存在保成本控制器的条件和设计方法。 瓦、提出了一种基于状态观测器设计线性不确定广义系统的保成本控制器的方 法，并利用l m i 方法给出了保成本控制器存在的条件。 关键词：l i 确定性，广义系统，保成本控制，h 。控制。 a b s t r a c t c h a n ga n dp e n gh a dp u tf o r w a r dt h ep r o b l e m o fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o li n 1 9 7 2 t h eb a s a li d e a i st o d e s i g n as t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a ws u c h t h a tt h 。 c l o s e d 一1 0 0 ps y s t e m s a r er e g u l ar ，s t a b l e ，a n di m p u l s e f r e e ，w h i l et h e c o s ti n d e xo ft h e c l o s e d 1 0 0 ps y s t e m s i sw i t h i nac e r t a i nb o u n df o ra l lt h e s ea d m i s s i b l eu n e e r t a i n t i e s i nr e c e n ty e a r s , t h e r eh a sb e e nf u l l y r e s e a r c h e da n do b t a i n e dm u c hw o r kf o rt h e p r o b l e m o f g u a r a n t e e d c o s tc o n t r o lw i t h u n c e r t a i n s y s t e m s ，a l o n g w i t ht h e d e v e l o p m e n t o fr o b u s tc o n t r o lo fu n c e r t a i ns y s t e m s h o w e v e r , s o f a rt h em a i nw o r k o n l yi ng e n e r a ls y s t e m s i ti s v e r yh a r dt os t u d yt h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lf o ru n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m s ，o w i n gt o t h ep a r t i c u l a r i t yo ft h es i n g u l a r s v s t e m s s ot h a ti t i so fi m p o r t a n tp r a c t i c a lm e a n i n gt os t u d yt h ep r o b l e mo f g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i n s i n g u l a rs y s t e m s 【nt h i sd i s s e r t a t i o n ，ad e t a i l e da n a l y s i so ft h ec u r r e n ts i t u a t i o n o fs t u d yo h g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o la n dad i s c u s s i o na b o u tt h ep r o b l e m s o fg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m sa r es t r e s s e d t h em a i nr e s u l t si n t h i sd i s s e r t a t i o na r e a sf o l l o w s i t h eb a c k g r o u u dr e l a t e dt ot h es u b j e c ti ss u m m a r i z e d a n ds o r t i ep r e p a r a t i o n i n f b r m a t i o no nl m ia n d m a t l a b l m t o o l b o xa n dl e m m a s u s e di st h e d i s s e r t a t i o na r eg i v e n 2 s t u d yt h ep r o b l e m so fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i nl i n e a rs i n g u l a r s v s t e m sa n d u n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m e u n c e r t a i n s i n g u l a rb ys i n g u l a r r i c c a t i e q u a “o n ，a n do b t a i nt h ec o n d i t i o nt h a te x i s tt h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r f o rt h e c l o s e - l o o ps y s t e m s 3 s t u d yt h ep r o b l e m so fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r s a t i s f i e sh 。d i s t u r b a n c ef o r u n c e r t a i nl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sb yl m i ，a n d o b t a i n st h eo p t i m a lg u a r a n t e e dc o s t i n d e xa n do p t i m a lh 。d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nl e v e l ad e s i g nm e t h o do fc o n t r o l l e r s a t i s f i e sh 。d i s t u r b a n c ei sp u tf o r w a r df o rac l a s so fc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e l t i m e s i n g u l a rs y s t e m s w i t hu n c e r t a i n t i e sb yr i c c a t ie q u a t i o n ，r e s p e c t i v e l y 【i 摘要 4 c o n s i d e rt h ep r o b l e mt h a tt h ec o n t r o l l e rw i t hd i s t u r b a n c e ，ad e s i g nm e t h o d a n dc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e db ys e l e c t i n gt h eo p t i m i z a t i o nc r i t e r i o ns u i t a b l ya n d r i c c a t ie q u a t i o n s 5 ad e s i g nm e t h o di s p u tf o r w a r db a s e do nt h es t a t eo b s e t v e ta n do b t a i n st h e c o n d i t i o nt h e r ee x i s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rb yl m i k e yw a r d s ：u n c e r t a i n t y , s i n g u l a rs y s t e m s ，g u a r a n t e e d c o s tc o n t r o l ，h 。c o n t r 0 1 i i f 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着现代控制理论与方法应用于 二程系统的深入和向其它学科的领域的渗 透，类更具广泛形式的系统被发现。它与我们通常讨论的正常系统相对应，被 称之为“广义系统”。自从7 0 年代初期h h r o s e nb r o c k 在研究复杂电网络系统 的过程中首先提出，义系统概念“1 以来，人们在经济管理、电子网络、生物工程和 航空航天技术等领域发现很多的广义系统的实例2 。广义系统也因理论上的学术价 值和广泛的应用前景而吸引了国内外众多的研究工作者的关注和重视。三十多年 来，j 1 义系统的研究工作电取得了十分丰硕的成果，线性定常广义系统的研究在 理论上已渐蓁成熟，不确定广义系统也已得到了深入的研究。不过这些研究成果 很少考虑系统的保成本控制问题。 当我们在考虑到不确定系统的不确定性时，使得闭环系统同时具有鲁棒稳定 性和鲁棒性能问题，在理论和应用两方面都具有十分重要的意义和价值。由于线 性二次调节器( l q r ) 能较好的处理系统的鲁棒稳定和鲁棒性能问题，引起了l f r 的 极大的兴趣，并取得了不少的研究成果。但是，由于其一味追求确定目标的最小 值，从而导致所得结论过于保守，且破坏了系统的鲁棒性，另一方面，由 f 二注意 点集中在考虑例环系统最大稳定性的问题上，忽视了性能和控制作用的相互关系， 因而不可避免的导致了高范数增益问题。例如文 3 】设计的反馈增益最大值是相应 的规范l q 设计的3 7 倍之多。进而现有方法部不能有效的( 实际卜许多方法部未 涉及) 拆衷处理稳定和鲁棒性问题。 不确定性系统的保成本控制( q i a r a n t e e dc o s i c o n t r o l 简称g c c ) 是解决上述 c q r 缺陷的一种有效方法。它是由c h a n g 和p e n g 4 1 于1 9 7 2 年在自适应控制中首 次提出。其基本思想就是针对不确定系统设计一个反馈控制器，使得其闭环系统 不仅是稳定的，而且对于所有容许的不确定，其相应的性能指标不超过某个确定 的上界。保成本控制与鲁棒控制、h 。控制、最优控制等有着密切的联系。现代控 制理论、最优化方法、统计数学等构成了保成本控制的理沦基础。3 0 年来，人们 对保成本控制的研究倾注了巨大的热情，已经取得了许多有意义的成果。且其研 广东工业大学工学硕士学位论文 究成果己经贯穿控制系统的各个领域，如线性连续不确定系统、离散不确定系统、 时滞系统、不确定2 d 系统以及不确定广义系统等。 1 2 正常系统保成本控制的研究概况 1 2 1 不确定连续系统的保成本控制 人们对不确定连续系统的保成本控制的研究己经相当成熟，文【5 6 1 针对范数 有界的不确定连续系统，通过求解一个r i c c a t i 方程得到了一个次最优保成本控制 器，但没有得到最优保成本控制器。5 7 1 解决了上述问题，由于保成本控制问题 等价于一类! h 。控制问题。采用不确定系统二次镇定的r i c c a t i 方程处理方法， 提出了二次保成本概念，而非线性规划的方法能够解决这一类跖、h 控制问题， 通过求解特定的r i c c a t i 方程得到符合条件的保成本控制矩阵，再通过不断优化最 后得到了符合条件的最优保成本控制矩阵。文 8 将文 7 】的结果延伸到一种具有时 间乘积形式的性能函数，考虑这类性能函数是因为随着时间的改变系统的状态也 在必变，一个短期的暂态响应可能发生，而此时的保成本控制器有可能不存在， 怍者通过改变性能函数及对个r i c c a t i 方程和线性矩阵不等式的反复求解，给山 j 一个设计静态和动态输出反馈保成本控制器的充要条件， 文 9 在文 7 】的基础上，研究了对十具有某种二次约束的不确定系统，由组 线性矩阵不等式( l m i ) 的求解及建立和求解凸优化问题设计了一种状态反馈保成 本控制器，并在文【i o 中延续了这种思想，设计了一种输出反馈保成本控制器。并 且提出了是否存在一个比由一个二次l a p u n o v 函数得的控制器更好的控制器的问 题。文 1 1 1 针对这个问题给出了答案，作者考虑l u r s 系统，通过解一个恫整的 r i c c a t i 方程和l u r e p o s m i k o vl y a p u n o v 函数得出了存在一个非二次保成本控制的 充要条件。但是文 9 一i1 仅仅是对时不变的标称系统得出了种无限水平的保成本 控制器，而且只考虑了非结构不确定性的系统，因此对时变结构不确定系统显得 无能为力。文 1 2 1 通过考虑一种新型的不确定性克服了上述问题，但埘于这种不确 定有如下的两个条件，第：标称系统必须是时变的：第二：系统的不确定能够 分解成一些互不相关的不确定块，并且这些不确定块是范数有界的。然后将这些 不确定性取平均值的方法得出了一种构造保成本控制器的方法。 z 1 3 1 4 1 考查一类具有随机不确定的线性系统，针对一个线性有界函数，通 第一蕈绪论 过对一组线性矩阵不等式的求解得到一个使系统存在最优降维控制器的必要条 件。文 1 5 在前面的基础上，考查一类可检测的初始状态随机的时变的范数有界不 确定系统，得到了与前文不同的结果。由几对矩阵方程推出了存在静态输出反馈 保成本控制器的必要条件。又将动态输出反馈问题转化为一类静态输出反馈问题， 通过选择合适的加权矩阵，得到了一个存在动态输出反馈控制律的大约解的必要 条件。 近年来，控制系统的多目标设计方法已受到人们的重视，其中种有效的方法 是不确定系统的h ：h 。保成本控制方法，研究文献有文 1 6 一1 7 】。但是，上述文献均 假定系统的h ：和h 。性能指标对应于同一个被调输出，而许多实际问题则需要分别 考虑对应于不同被调输出的h ! 和。性能指标。z 1 8 考虑了这一问题，基于 r i c c a t i 方程处理方法，提出了不确定连续时间系统的h ，h 。保性能控制律设计方 法。 综卜所述，不确定连续系统的保成本控制问题已比较完善。产生了很多有效 的系统分析和综合方法，但这些方法都是在不确定性范数有界假设条件下，以及 利用不等式放大技术而得到的，这使得目前已有的不确定系统保成本控制设计方 法存在一定的保守性是显而易见的，何的还比较严重。 1 2 2 不确定离散系统的保成本控制 人们对不确定线性系统的研究已经取得了十分丰富的成果，但是对不确定离 散系统，由于离散l y a p u n o v 方程是系统状态矩阵的一个非线性方程，当考虑系统 模型的不确定时，不确定矩阵将在l y s p u n o v 方程中以非线性形式出现，这使得对 不确定离散系统的处理变得更为困难。 1 9 9 3 年发表在第十二界 f a c 世界会议上文【1 9 是较早的研究不确定线性离散 时间系统的最优保成本控制问题文献之一。3 2 0 1 在此方向上取得了重要进展，研 究了一类不确定离散系统的保成本控制问题，导出了保成本控制律存在的条件， 通过将保成本控制问题转化为一个辅助线性时不变系统的h 。控制问题，采用h ， 控制技术给出了保成本控制律的设计方法。但得到的保成本控制律存在的条件仅 仅是充分的；不能确定使得闭环不确定系统指标值的上界尽可能少的最优保成本 广东t 业大学工学硕士学位论文 控制律。针对以上问题，文 2 u 通过建立和求解一个具有线性矩阵不等式约束的凸 优化问题，给出了有效的解决方案，给不确定离散系统的保成本控制问题作出了 开拓性的贡献。 文 2 2 首次对具有两个不同被调输出的一类不确定离散时间系统的h ，h 。状 态反馈保成本控制问题进行了研究。基于线性矩阵不等式处理方法，导出了存在 状态反馈h ：h 。保成本控制律的充分必要条件，用一个线性矩阵不等式的可行解 给出了所有保成本控制律的参数化表示。又通过建立和求解一个凸优化问题，给出 了h ，h ，最优成本控制律的设计方法。 文【2 3 - 2 4 】对弹性保成本控制问题进行了研究。所谓弹性保成本控制就是充许所 设计的保成本控制律可以产生某种有约束的扰动，且其成本指标仍不超过某个确 定的e 界。文 2 3 讨论了三种乘法形式扰动的保成本控制。由一组线性矩阵的可行 解给出了充分条件。文 2 4 考虑一种使控制律具有乘法形式或加法形式扰动的保成 本控制器。并由一组线性不等式和凸优化给出了存在此类保成本控制的充要条件， 不足的是作者所所考虑的系统彳i 含4 i 确定性。弹性保成本控制器的缺点是可能使 得成本指标的上界增大。 由于构造状态反馈保成本控制律必须假定系统的状态可卣接测量得到，而这又 是相当困难的，解决这个问题最好的办法就是设计输出反馈保成本控制，x 2 5 1 设计了利用线性矩阵的不等式给山设计这类控制器的方法。 1 3 不确定时滞系统的保成本控制 时滞系统的控制问题历来是控制界研究工作的热点之一，凶为在文际的工、i k 生产中元件老化、零点漂移以及信号传输的迟延常导致时滞的出现。时滞系统 何很多不同于非时滞系统的特征，比如说时滞的出现可能使得系统不稳定，这些 特征使得非时滞系统的结果不能照搬到时滞系统。 1 3 1 不确定连续时滞系统的保成本控制 文【2 6 】首次将保成本控制的概念推广到不确定时滞系统，通过对参数黎 提方 隍的求解得到了一个保成本控制器，但其中黎卡提方程的求解十分困难。文 2 7 j 克服 4 第一荦绪论 了上述问题，应用线性矩阵不等式方法研究了一类不确定时滞系统，给出了存在 无记忆状态反馈保成本控制器的充分条件和基于线性矩阵不等式描述的控制器设 计方法。文 2 8 】进一步提出了线性时滞系统的保成本控制的处理方法。文 2 9 研究 了不同于文 2 6 2 8 中范数有界不确定性约束，通过构造参数l y a p u n o v 函数得到了 不确定系统保成本控制器存在的充分条件，但没有给出保成本控制器的构造方法 及对不确定性上界的优化问题。文 3 0 考虑了多状态滞后不确定系统的保成本控 制。用文 2 7 2 8 的处理方法给出了最小化保成本控制律的设计方法。以e 所考虑 的都是状态反馈保成本控制，但由于系统状态不易直接测量，以致状态反馈的物 理实现变得极为困难。文 3 【1 利用动态输出反馈有效地克服这一困难，利用 l y a p u n o v k r a s o v s k i 函数和一组线性不等式组的可行解，给出了一个基于动态输出 反馈线性时滞系统的保成本控制。 1 3 2 不确定离散时滞系统的保成本控制 人们在对离散时滞系统的研究中，状态扩充的方法被广泛用来处理离散时滞系 统的分析和综合问题，它通过将离散时滞系统转化为一个不含滞后项的离散系统， 从而可以应用有关离散系统的结果来解决离散时滞系统的分析和综合问题，但这 佯的处理方法存在以下问题： ( 【) 得到的控制器不仅依赖当前的信息，而且还 l 夜赖过去的信息，因此是一个有记忆的控制器：( 2 ) 由于状态的增维，导致系统 模型的阶数大幅度增加( 尤其当滞后时间常数较大时) 从而使得计算鼍大幅度增 自i l ：( 3 ) 这种方法不能应用到具有未知滞后或具有滞后不确定的系统，所有的这 些使得对不确定离散时滞系统的保成本控制的研究显得十分的困难。这一切使得 不能按照这种方法来研究保成本控制问题。基于这种事实，z 3 2 1 栅确定离散 时滞系统采用线性矩阵不等式处理方法，给出了无记忆状态反馈保成本控制律 存在的条件。文 3 3 对文 3 2 1 进行了更深一步的研究，通过建立和求解一个凸优化 问题得出了一个最优保成本控制的条件。 从以上可以研究成果可以发现，不确定连续时滞系统的保成本控制的研究取得 了一系列的研究成果，但是对不确定离散时滞系统的保成本的研究还很不完善， 缺乏有效地求解保成本控制律的构造方法。 广东工、i t 大学丁学硕士学位论文 1 4 广义系统的保成本控制 广义系统的保成本控制即可作为一般正常系统保成本控制的自然延伸，又可被视为 广义系统在实际应用中现实的需要，因此，广义系统的保成本控制近年来已经开始受到 了人们的关注p 4 】。由于广义系统特殊的结构以及独有的特性 2 3 】，例如广义系统的解含有 脉冲项、传递函数具有多重无穷远点、仞值问题解必须考虑相容条件等，广义系统的模 型是非传统意义下的数学模型，它是由微分或差分方程描述的慢变动态层子系统和代数 方程描述的快变静态层子系统有机组成的复杂系统，也就是说由传统数学的动态系统和 静态系统融为一体，重新整合，形成了非传统数学模型。这些特征，使得研究广义系统 保成本控制的方法和策略从设计到实施，部增加了不少新的特色，我们不仅要考虑系统 的稳定性而且我们还要考虑系统解的存在性以及脉冲模的消除，致使研究和结论变的复 杂而富于挑战性。目前研究广义系统的保成本控制的工作刚刚开始，文 3 4 t 是目前公开 芨表较早的讨论广义系统保成本控制方面的文章用线性矩阵不等式方法，讨沦不确定 性广义时滞系统的保成本控制问题，给出了问题可解的一个充分条件和保成本控制律的 没计，以及相应的可保成本指标。文 3 5 对一类具时变参数不确定性的广义系统，结合 一个二次型性能指标，在系统部分执行器失效的情况下，研究了系统保成本容错控制问 题。得用缉陛矩阵不等式的处理方法，给出了使陛能指标尽可能小最优保成本容错控制 律。文 3 6 h 辱弹性保成本控制的思想引入范数有界的不确定广义系统，采用矩阵不等式 的的处理方法，得出了系统弹性保成本控制律的一个参数化表示。综上所述，我们町以 发现，关于广义系统的保成本控制问题的研究还处_ f 初步阶段，研究成果还很不完善， _ 庄这方面的研究工作可谓任重而道远。 1 5 本论文的主要研究工作 本文主要研究了j 。义系统的保成本控制，包括不确定广义系统的保成本控制， 不确定广义系统的。保成本控制，不确定广义系统的弹性保成本控制以及基_ 二j 蚍 测器的不确定广义系统的保成本控制。具体安排如卜 ： 第一章简要叙述了与本文有关的背景状况。 第二章介绍了l m 基础知识，m a t l a bl m ij 二具箱及文中将用到的犊不 等式。 第三章运用l m i 给出了不确定线性广义系统保成本控制器的设汁方法，序 利用广义r i c c a t i 方程给出了不确定离散广义系统保成本控制器的设计方法。 第四章针对不确定线性广义系统。运用l m 方法，给出了一种设计最优。 第一章绪论 保成本控制器的没计方法。用- - n 广义r i c c a t i 方程组给出了不确定离散广义系统 保成本控制器的设计。采用l m i 方法讨论了不确定广义时滞系统的保成本控制问 题。 第五章采用矩阵不等式，研究了一类不确定广义系统的弹性保成本控制问 题。 第六章基于状态观测器，给出了才；确定线性广义系统的保成本控制器的设 计方法。 广东工业大学工学硕士论文 第二章预备知识和引理 2 1 线性矩阵不等式基础 本节介绍线性矩阵不等式的一些基础知识，首先给出线性矩阵不等式的定义。 定义2 1i 下面的矩阵不等式称为线性矩阵不等式 a ( x ) ：= a o + x l a i + x a - 、r 0 ， 其中x = ( x 一，x ，) r 是未知的标量( 决策变量或优化变量) 的向量； a 。，a ，a 。为给定的对称矩阵：” 0 ”表示“负定”，即一( x ) 的最大特征值 为负，以及对于任意的非负向量r “有不等式g r a ( x ) u 0 成立。 若下式成立 a ( x ) ：= a o + x 1 a l + x a ，v 0 ， 则称为非严格矩阵不等式。 显然，对多个线性矩阵不等式( l m ) 可用一个l m i 表示，即 a 1 ( x ) 0 ，a ! ( 工) 0 ，av ( x ) 0 ， 等价于 爿( 工) 4 、r 工) ，t 。( 工) 0 。 通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，通过下面s c h u r 引 理可以转化为线性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能得到 广泛应用的主要原因之， 引理2 1 l ( s c h u r 补性质) 没p ，m ，q 为适维阵，则分块对称矩阵 mm q i 7 l 负定当且仅当 q 0 p m q 。m 7 0 ： 或 p 0 q m 7 p 一m 0 第二章预备知识和引理 此结论- o - 推广到非严格矩阵不等式，则有 引理2 1 2 设p ，m ，q 为适维阵，则分块对称矩阵 瞄苫 半负定当且仅当 q 0 ，p m q 1 m 0 ，m ( i q q “) = 0 其中q 。表示q 的m o o r e p e t t r o s e 逆。 2 2m a t l a b l m i 工具箱简介 由于目前许多控制系统分析设计问题即特殊约束条件均可转化为一组线性矩 阵不等式的可解问题来处理，考虑到无需参数调节给应用带来了方便，因而以线 性矩阵不等式为工具进行研究工作，已越来越成为控制理论的潮流。出现r 许多 求解矩阵不等式的优秀工具软件。下面介绍m a t l a b l m i 工具箱的基本知识。 左这里，l m i 变量的定义和l m 的描述以及l m i 求解步骤不做介绍请详见 m a t l a b l m i 的帮助系统，仅对l m 求解器，对三个不同的问题，如何进行求解给 出简单的说明； 1 ) 求解形如a ( x ) b ( x ) 的l m i ，考察是否有决策向量x 存在，以满足不等 式。这一问题由求解器f e a s p 0 来求解，f e a s p 测试其解的存在性，如果有觯则给出 l m i 中决策变是的值，由此可以得到l m i 中的各个变量的值。 ! ) 在l m i 约束下最小化一个线性目标，即：在约束a ( x ) n ( x ) 下，最小化 c x ，x 为决策向量，x 由整个l m i 系统的所有变营组成。c 为一个行向量，其作 用在于定义决策变鼍中需要最小化的目标。这时用求解器m i n c x 0 来求解。 3 ) 广义特征值最小化问题：在下面的约束下最小化五， c ( x ) o ( x ) ，0 b ( x ) ，a ( x ) 0 时，对十适当维的矩阵x 和y 下列的不等式成立 x r y + y r x 墨x r x + sl y r y ， 证明：因为 ( 拶一y 。i ，) 7 ( r x x - l l ，) 0 ， 令5 = y ：，得 x f y + y x 量嵌r x + sl yr v 、 引理2 3 3 若x ，y r ”，a r ，b r ，则对于任意的 0 有下列的不等 式成立 2 x t a b y 量h t a a tx + y t b t8 y ， 几 证明：注意到对任意的x ，y r “， 0 有 l ifi 0 ( z 2 a x 一无2 b y ) 7 ( 2 a x 一 2 劬) = 肚7 4 4 x 一2 x 7 爿缈+ j ，7 b7 影， 显然结论成立。 引理2 3 。4 若x ，r “，五 0 则对于任意的正定矩阵q 有下列的不等式成立 2 x r 缈血r 戬+ y t q 一- j ，。 证明：南引理2 _ 3 1 ，令a = q2 ，b = q 二，则不难得到。 1 0 第二章预备知识和引理 下面给出不加证明的引理： 引理2 3 5 对任意的x r “， m a x ( x m f n x ) 2 ：f 7 f f = ( x 7 m m 7 x ) 2 ( x 7 n 7 n x ) 2 ， 其中，m ，是给定的适当维的己知矩阵。 引理2 3 6 对于n 阶对称矩阵m 0 ，n 0 ，p 0 ，则存在九 0 使得 九2 m + 九p + n 0 。 引理2 3 7 给定适当维矩阵y ，g ，h 对称，则 i ，+ h f ( t ) g + g7 f ( t ) h 7 0 ，使得l ，+ c h h7 + 1 g 7 g 0 成立。 证明；充分性：由 h f ( t ) g + g tf ( t ) h fs h h r4 - 8 - t g r g 容易得 i ，十h f ( t ) g + g 7 e ( t ) n 7 0 。 必要性：由 l ，+ h f ( t ) g + g 1 f o ) h 。 0 ， 很容易知道 x 7 踟 0 使得 h h t + 8 yq - 8 - g t g 0 足给定的对称正定加权矩阵。 由于r a n k e = r ”，故不失一般性，可假设e 具有以下形式 e = 渊， z 川 其中，是，r 单位阵，实际上由广义系统的性质可以转化为i 述形式，在以后的 线性广义系统的讨论中我们均设e 具有形式( 3 2 4 ) 。 我们的目标是构造状态反馈控制律 u ( t ) = l o c ( t ) ，( 3 2 5 ) 使得不确定闭环系统 e x ( f ) = a + 4 + ( b + 占) 彤) 】工( f ) = a 。x t f )( 3 2 6 ) 是一个广义保成本系统。 定义3 2 1 _ 考查系统( 32 i ) 和性能指标( 3 2 3 ) ，如果对所有容许的不确定性， 存在常数可逆矩阵p ，使得下列矩阵不等式成立， 一+ 4 + ( 曰+ 曰) 盯 7 p + p 爿+ 4 + f 口+ a b ) k 十q + k 7 r k 0 ， r 3 2 7 1 其中，a a 和a b 满足( 3 22 ) ，a k 满足( 322 ) ，p 具有以下形式 p = 匮小 z 固 lp 2bj 。7 其中，只r “7 ，b r ”，p 3 r 咖且只为正定对称矩阵，只可逆，则状 态反馈控制器( 3 2 5 ) 为不确定广义系统( 3 2 i ) 保成本控制器。并称只为广义二次保 成本矩阵。 注3 2 1 ：如果e = ，即系统为一线性时变系统，则式( 32 8 ) 所给的矩阵 b ，只不存在( 因r = ) ，此时定义( 3 ，2 1 ) 为正常系统的保成本控制情形。 引理3 2 1 广义系统鼙( f ) = a x ( t ) 是正则，无脉冲且稳定的，当日仅当存 在矩阵p r ，使得下列以下两个不等式成立 a7 p + p 7 a 0 ， e p ：p 7 e 0 。 下面的定理揭示了不确定连续广义系统广义二次保成本与二次稳定及成本函 数之间的关系。 4 第三章不确定广义系统的保成本控制 定理3 2 1 如果不确定线性系统( 3 2 1 ) 存在保成本控制器( 3 2 5 ) ，则对于所有 容许的不确定性相应的闭环成本系统 e i c ( t ) = a + a a + ( b + 衄) k l x ( t ) = a 。x ( t ) ， 是正则，无脉冲模且稳定的，且性能指标 j x j ( o ) 鼻x ，( o ) 。 其中，x t ( 。足系统状态向量x ( 。= l 主曷l 中的前r 个向量。 证明：由定义f 3 2 l ) 可知， 爿+ a a + ( b + a b ) 面】7 p + p 7 一+ 4 + ( 口+ b ) k 】 0 又由式( 3 2 4 ) 和( 3 2 8 ) 可知 e7 p = p 7 e 0 ， 则由日i 理( 3 2 1 ) 可知系统( 3 2 1 ) 稳定，正则，无脉冲模 令李亚普诺夫函数为 旷( x ( f ) ) = s jo ) 鼻工。( f ) t y ( x ( f ) ) 对时间t 的导数为 y ( x ( f ) ) = ( j 巨t ( f ) ) 7 既( f ) + x 7 0 ) p 7 ( j 酞o ) ) = 工7 ( f ) o p + p 7 爿。】x ( ，) ， 由定义( 3 2 1 ) 可知 旷( x ( ，) ) 一工7 ( f ) q + ( k + a k ) r ( k + ) x ( f ) 0 和可逆矩阵p r ，使得下列不等式 ( 4 + b k ) 7 p + p 7 ( 爿+ b k l + 5 p 7 h 7 p + 占一( 【+ e 2 石) 7 ( e l + e 2 眉) + q + k 7 r k 0 ，有 越p + p t a ：+ q + k r r k = 4 + 一+ ( 8 + a b ) k 7 p + p r 爿+ a a 十( 口十a b ) 彪 + q + k 7 r k r a4 - b k ) p + p 7 f | 4 + b k ) + 6 p 7 h h 7 p + s 一( e 【+ 易r ) 7 ( e i + e ! 厅) + q + k 7 r k 0( 3 2 t o ) 由定义f 3 2 1 1 知充分性成立。 必要性：若不确定连续广义系统( 3 2 i ) 是保成本的，则存在形如式f 3 2 8 ) 的可 逆矩阵p ，使得下列不等式成立 a lp + p r a ：+ q + k r r k ( 0 。 f 足由式( 3 2 1 0 ) ，对任意非零向量x ( f ) r ，有 x r ( f ) ( 爿+ b k ) 7 p + pr ( 4 + 8 k ) + q + k 7 r k x ( t ) 0 使得 e ( a + 8 k ) t p + p t t a + b k ) + 矿p t h hr p + ( e l + e ! k ) 7 ( e l + e 2 ) + g ( q 十k 7 r k ) 0 和可逆矩阵p r ，使得下矩阵不等式 【a b ( s r + e ；e 2 ) 一1 e ；e l 】7 p + p 7 4 一b ( 出+ ；e ：) 一e ；e 】 + p 7 e h h 7 一e 扭( e r + e ：e 2 ) 一。口7 p + 占一e j ，一e 2 ( e r + e ；e 2 ) 一e r el + q 0 ， 对于所有容许的不确定参数a a ( t ) 、a n ( t ) 成立，且p 具有式( 3 2 8 ) 的形式，则不 确定连续广义系统( 3 2 1 ) 的闭环系统是保成本的，此时，其保成本控制器为 ( f ) = k x ( t ) = 一( 艘+ e ：e 2 ) 。( c e 7 b + e t r e 2 ) 7 工( f ) 。 证明 由于a 。= a + a a ( t ) + ( b + a b ) k = a + b k + h f ( t ) ( e i + e ! k ) ， 于是由引理f 2 3 7 ) ，有 a l e + p 7 a 。+ q + k 7 r k = ( a + b k ) 7 p + p r ( 爿+ n k ) + f f f ( f ) ( e h - e ! k ) 】7 p + p r h f ( f ) ( e - - e ! k ) 】+ q + k 7 r k a 7 p + p a + q + 印7 h h 7 p + 一e ：e l + 石7 ( p 7 b 十ge ：e ! ) 7 + k 7 占一( e r + 6 ；e ! ) 五十( p 7 8 + f “e 】7 e ：) 石，( 3 2 1 i ) 注意到k = 一( 出+ e ；e ：) “( 护b + e l r e ：) 7 ，于是式( 3 2 【i ) u r 化为 越p + p r a ：十q + k r r k a 7 p + p 7 a + q + 8 p 7 h h 7 p + 占e 7 e 一( p 7 8 + 占一e f 7 e ! ) ( 艘+ e r e 3 ) ( 印7 b + e 1 r e ! ) 7 ， 由定理条件知爿j p + p a 。+ q + k 7 r k 0 ，一个非奇异矩阵x 暇”“满 足如f 线性矩阵不等式 q ( e i x + e ! ) 7 7 x r e x + e 、wwx s0 0 0一足“0 00 一d 0 tf 32 1 2 1 其中， n ，= ( a x + b w ) + ( a x + b ) 7 + c h h 7 ， x = 瞪羔， ， b z i x ， x ，5 且x r 为正定对称矩阵，x ：r ”，墨r ”咖。为可逆矩阵且x = p 一。 则闭环系统的保成本控制器为 u ( t ) = x x ( t ) = w x “x ( t ) ， 进步，相应的闭环系统的性能指标为j + = t r ( x i