（基础数学专业论文）clifford分析中超正则函数的拟cauchy型积分的性质.pdf

学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文c l i f f o r d 分析中超正则函数的拟 c a u c h y 型积分的性质，是在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：勿分弧 明年媚五州 学位论文原创性确认书 学生固雪玲所提交的学位论文c l i f f o r d 分析中超正则函数 的拟c a u c h y 型积分的性质，是在本人的指导下，由其独立进行研 究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，该论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 指导教师( 签名) ： y d - 7 年弓月弓，日 前办竣 河北师范大学硕士研究生学位论文 c l i f f o r d 分析中超正则函数的拟c a u c h y 型积分的性质 摘要 2 本文在带有双曲测度的上半空间讨论了d i r a c - h o d g e 方程的解一超正则函数，超正则函数的积 分表示式用的是拟c a u c h y 型积分首先给出了拟c a u c h y 型积分的一些性质其次得到了c l i f f o r d 分析中超正则函数的p l e m e l j 公式最后给出了c 1 函数的表示定理即b o r e l p o m p e i u 公式 关键词c l i 肋r d 分析，超正则函数， 拟c a u c h y 型积分 河北师范大学硕士研空垒堂堡论文 t h ep r o p e r t i e so fq u a s i - c a u c h yt y p ei n t e g r a lo f h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s a b s t r a c t 3 i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n sw h i c ha r et h es o l u t i o n so fd i r a c - h o d e g ee q u a t i o ni nu p p e rh a l fs p a c ee n d o w e dw i t ht h eh y p e r b o l i cm e t r i c t h ec a u c h y f o r m u l ao fh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si sr e p r e s e n t e db yt h eq u a s i - c a u c h yt y p ei n t e g r a l f i r s t l yw es h o ws o m eb a s i cp r o p e r t i e so fq u a s i - c a u c h yt y p ei n t e g r a l s e c o n d l yw eo b t a i n p l e m e l jf o r m u l ao fh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s f i n a l l yw ep r o v et h e r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fac 1f u n c t i o nw h i c hi sc a l l e db o r e l - p o m p e i uf o r m u l a k e y w o r d s c l i f f o r da n a l y s i s ，h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s ，q u a s i c a u c h yt y p ei n - t e g r a l 河北师范大学硕士研究生学位煎丈 4 1 引言 c l i f f o r d 代数a ，( 冗) 是一种可结合但不可交换的代数结构，刨建于上个世纪初c l i f f o r d 分 析是现代数学的一个重要分支，研究的是定义在r n + 1 上取值于c 1 i 肋r d 代数空间的函数性质 c l i f f o r d 分析在量子力学，m a x w e l l 方程、y a n g - m i l l s 场论等领域有广泛的应用 2 1 1 9 7 0 年以来，f b r a c k ，r d e l a n g h e ，f s o m m e n d ，闻国椿【4 】，黄沙 5 1 ，乔玉英【6 l 等对 c l i 肋r d 分析中的边值问题做了一些研究 c l i f f o r d 分析中设d = i 量= 0 e i 去，方程d ，= o 的解称为正则函数正则函数是一类重要函 数，是单复分析中全纯函数在高维空间中的推广但是有些常见的函数例如幂函数z 7 ，z 足。+ 1 不 是正则函数芬兰数学家s l e r i k s s o n - b i q u e 和h l e u t w i l e r 注意到幂函数却是修正的c a u c h y r i e m a n n 方程 x n d f ( x ) + ( n 一1 ) 厶= 0 的解，并且此方程与双曲测度有密切联系在2 0 0 0 年，他们引入了超正则函数并给出了它的性质 吲，【8 】 为了介绍超正则函数先引入两个算子定义d er h a m 算子d ： d ( f ( x ) d x j ，a d a a 岫，) ) = 耋掣如i 蚶蚝小螈- 若m 是一个有测度g 的黎曼流形，则微分算子d 有一个共轭6 d i r a c - h o d g e 算子定义如下； d + 6 = d + d 其中是h o d g e 星算子 ：a m _ a ”- p m ( d 巧，a a d ) a ( 出血a a d x j h ) = d x o a d x l a a 出n 情形1当m = 曰冲1 ，向量空间 ( 足件1 ) 同构于c l i 肋r d 代数空间几t ( r ) 设e 0 ，e l ， 是尼件1 的正交基，砖= - 1 ，e i e j = 一白龟，i j ，j = 1 ，2 ，n ，则 川h 。= 耋岛玉 d 动 0 q 一 0 河北师范大学硕士研究生学位论文 是d i r a e 算子方程 v f = 0 或( d + 6 ) ，= 0 的解是正则函数 情形2 m = r 妒1 = z o e o + x l e l + + z n e “；x o ，2 7 1 ， p o i n c a r d 测度 如z ：堕丝掣， d + 6 眠一1 修正的d i r a c 算子为 5 ( 1 4 ) ，z 。r ，$ 。 0 ，带有 m - 1 他) ：d f ( z ) + ( 亿一1 ) 掣 方程 靠一1 ，= 0( 1 5 ) 的解是超正则函数 不难发现，当n = 1 时，( 1 4 ) 和( 1 5 ) 都对应于单复分析中全纯函数的c a u c h y r i e m a n n 方程组所以从这个观点出发，正则函数和超正则函数都是单复分析中全纯函数的推广，正则函数是 在欧式度量下的推广结果超正则函数是在非欧度量下的推广结果就像解析函数有它的积分表达式 - c a u c h y 积分公式一样，正则函数和超正则函数也有各自的积分表达式，超正则函数的积分公式已 在文【8 】中被讨论过，它的表示用的是拟c a u c h y 型积分 在文 8 】的基础上，类比解析函数和正则函数的性质与有关结论，本文首先在带有双曲测度的上 半空间讨论了d i r a c - h o d g e 方程的解一超正则函数的拟c a u c h y 型积分的一些性质，并利用积分 形式表示出一类超正则函数；然后给出了拟c a u c h y 型积分的类似于解析函数的c a u c h y 型积分的 p l e m e l j 公式；最后给出了g 1 函数的表示定理tb o r e l - p o m p e i u 公式本文在一定程度上充实了 超正则函数的理论，为研究超正则函数的边值问题提供了基本的理论依据 2 预备知识 设a 。( r ) 是礼+ 1 维欧式空间b ，+ 1 上的c l i f f o r d 代数e ：= e o ，e l ，e 。) 是r r 冲1 的一组标准正交基，e o = 1 是r n + 1 的单位向量，则，k ( 兄) 的基为e 0 ，e 1 ，e t l ；e l e 2 ， ，e n - l e n ；e l e 。并且有8 2 = 一1 ，i = 1 ，n ；e t 勺+ e j e i = 0 ，i ，j = 1 ，n ，i 歹任一基元素为e a = e 。i e 口h ，其中a = 口1 ，a ) s l ，n ) ，1sa l 劬 o ，f g 1 ( q ) ，并且对每一个 z q 靠，( z ) = 0 ， ( 2 7 ) 映射，：q _ a 。( 冗) 称为q 上左惫一超正则函数，左( 佗一1 ) 一超正则函数简称为超正则函数 不难看出0 - 超正则函数就是正则函数类似可定义右超正则函数 定叟伽形式 d 露= d x o a 出l a a d x i 一1 ad z i + 1 a a d z ，t = 0 ，1 ，n 河北师范大擎硕士研究生学位论文 引入a ( 咒) 值的伽形式 1n d 盯k = 去( 一1 ) 岛d 磊，k = 0 ，1 ，n 一1 w n i = o 如果用d s 表示面积元索且用 肃= e l n i i = o 表示a q 的单位外法向量，啦是单位外法向量的第i 个分量，则d a o = 而耄d s 此外，体积元素表示为 d m 女：去如。d x l a a d , x 。，k = o 1 ，n 一1 3 拟c a u c h y 型积分艘兵性质 引理3 1 1 9 设f ，g c 1 ( q ) ，则有 1 8 k g 面k f = | k m ；们l 七g m y k q ( 酊、d i n k ， z 耳9 ，= 厶( ( 膨捌，+ g m y + 磊k q ( 9 ，) e 。d m o ， 上p ( g d a k f ) 。厶p 【( 珥) ，+ 夕膨朋讯， j 8 x q ( g d o o f ) 2j x q u m 二k ) f + 9 m i y d , 珊 宝义3 1 积分 毗) = 警z 耳删训肌t ( 批) ) 称为拟c a u c h y 型积分，其中 + 等上耳q ( 口胁饱 俐= 篆( 管辫) 。一t 鱼二鲍：。壁二盟：1 4 ” 陋一暑l n 一1 。“l z 一雪卜一1 8 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 河北师范大学硕士研究生学位论文9 如朋= 家斟 ( 3 7 ) = 群c z p y ) 占器，l z 一暑， ”一1 、“f 茹一妒i “一1 其中“k + 1 是r 1 中单位球的表面积，p ( ) ，q ( ) 分别表示p - 都和部 由【8 知拟c a u c h y 型积分有另一种形式 的) = 等著( 五k 酢m 蛐川圹z 耳脚m 赢( z ) 厢) ，( 3 8 ) 其中 e ( 。，) = i _ 二? j 辫，m ( z ，s ，) = i f ：j i ；斋( 。) 对于如上所述的p ( z ，可) 和q ( x ，y ) ，它们有下列性质： 引理3 2 9 j 函数p ( x ，y ) 在j p + 1 轨爹 是左和右超正则的；函数q ( x ，笋) 在尼件1 ”，甜 是左和右一( n 一1 ) 超正则的 从拟c a u c h y 型积分( 3 5 ) 可以看到，当可隹( g k ，积分是正常积分当分a ，这是个奇 异积分对于后者我们给出以下定义， 定义3 2 设y a ，以为心，d 0 为半径做球e ，e 将a k 分成两部分，a 位于 e 内部的部分表示为a 6 如果l i m o 锄0 ) 存在，我们称积分收敛，且此极限值称为此奇异积分的 c a u c h y 主值，仍记作垂( 暑，) 其中 唰= 等- 1 n - 1 ( z me ( 刚) 妣( z ) m ) 一z mm ( 舢) 赢( z ) 两) ( 3 1 0 ) 由文献【8 】有以下引理： 引理3 3 若，是蟊 a ( r ) 上的超正则函数，! ，k ，则西( f ) = ，( ) 定理3 1 若，是霄- a 。( 置) 上的超正则函数，y r r l 蟊，则圣( ) = 0 证明由引理3 1 中( 3 3 ) 式，又因为y 隹耳，p ( z ，暑，) 为右超正则函数，所以 铝一1 p ( x ，y ) = 0 从而有 。 上耳p ( p o ，可) d 一- ，( 卫) ) = 厶p 【( 一- p ( 置笋) ) ，+ p 蟛一。f d r n n 一1 = o 河北师范大学硕士研究生学位论文 们有 又由题设知醒一1 ，= 0 ，又因为g ( z ，y ) 是右( 一礼+ 1 ) 一超正则函数，并利用( 3 4 ) 式，我 z q c q ( 删) 瓿他) ) = 厶酬( 坦( 州) 口( 钏) ) ，+ g 磁一l f d m 。= o 定理得证 由以上的引理3 3 和定理3 1 ，不难得到以下的结论t 定理3 2 2 n - 1n - l ( l ke y ；i ( 啪) d o o ( 。) 一上m ( 刚) 荔。( z ) ) f1 ，y k ， 2 1 0 ：管矽t 一耳 设e ( x ，) ，朋( 茹，y ) 如( 3 9 ) 式所示，下面考察积分 ( 3 1 1 ) i ( y ) - - y g - - n 一1 ( 厶e ( 刚) l ( z ) 慨一上m ( 舢) 币) d 伽) ， ( 3 1 2 ) 此时d r n o = d x o a a d z 。 首先我们给出以下引理t 引理3 4 如果映射，g ：f t + a 。( r ) 关于每个盈的导数都存在，则有微分公式 酬邛伪+ 扣老 证明由d i r a z 算子的定义即可得到证明 引理3 5 州训) - ( 州) 卷辫， d u m ( 刎h 竹叫毒器 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 证明利用引理3 4 的微分公式，又因为当z 掣时，群x - - 1 是正则的，并且i x - 岔l = 陋! i 容易验证( 3 1 3 ) 式成立类似可证( 3 1 4 ) 式 河北师范大学硕士研究生学位论文 定理3 3 设l c 1 ( _ ) ，则，( p ) 是冗，1 瓦上的超正则函数 证明首先我们有 似= 等 华e 0 一等l 盟型卜一瓦n - 1 2 m ) _ 别 ll 1 2 鲰1 r ”7 。”3 由式( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 有 m ( 砌) ) = 。驯+ 百n - 1 q ，( 蚴) = e 。( n - 1 ) 鳏一2 比e ( qf ) l ( x ) d r n o 一厶m ( ，) 币) d m o + 簖一1 d ，f ( 砌) 工( z ) 砜一厶d v m ( 刚) 币) d m 。 一竽阢) 一面】 = 堕2 硭阪高器1 砸) 慨 i j 耳i z 一i n + 1 防一”i n 一一、w 7 w + 厶拦器砸，慨一厶e 。丙器砸叫 + 鼍等比而篙薪国慨 一厶拦韶霈囝慨一丘舔车囝叫 = 学( + 如) ， 河北师范大学硕士研究生学位论文 其中 = 厶坐业型等等警器堂型硷) 抵 并且 e 。( 虿一功i 亩一 2 + 2 ( 童一鲈) ( 虿一动一e 。( 虿一劲f z 一引2 = e 。i 窑一可1 2 + 2 ( 宝一y ) 一( 童一) e 。( z 一可) 】( 季一劝 = 伶一! ，) 【( 蚕一可) e 。一2 y n e n e n 一( 至一劢e 。 一功 = ( 窑一g ) ( 虿一动一2 y n e 。一( 至一劢】e 。( z 一功 = 0 ， 所以 i t = 0 同时 屯= 厶监堕常器器孚盟叠塑l 乖) d m 。 并且 一0 一g ) ( - 一可) e l 一动一2 一y ) 一功- i - ( x 耖) e 。i 童一1 2 = ( 。一f ) 一( z 一功( z 一勐+ 2 e n y n ( x 一功+ ( z 一劲( g 一雪) e 。 = ( z 一) 一z + 哥+ 2 e 。+ 芽一司( z 一们e 。= 0 1 2 从而1 2 = 0 因此m ( j ( 可) ) = 0 ，命题得证 4 超正则函数的拟c a u c h y 型积分的p l e m e l j 公式 若y ( y ) 满足 j ，( 暑，1 ) 一，( 珈) l m 玑一轨i o ，! ，l ，y 2 o k ( 0 a 1 ) ( 4 1 ) 河北师范大学硕士研究生学位论文 则称函数，( ) ：o k a ( 固是o k 上h s l d e r 连续的，用日缸表示o k 上指标为q 的 h s l d e r 连续的函数集合 以下我们设a k 是可微的，可定向的，紧致的l i a p u n o v 曲面设o o k 为一固定点，引 入o 点局部广义极坐标变换： 矗一12p oc o b 妒1c o s i l 0 2 一c o s l ，o n 一2c o s 一1 矗一2 = p o c 0 8 妒1c o b 仇c o s 一2 s i n 一1 ， 6 = p oc 0 8 妒ls i n 勉， 岛= p os i n 妒1 ， 设n o k 为任意一点，r o = i n o l ，g o 是r o 在0 处o k 的切平面上的投影，协满足以下 条件 f 竹l 鲁，= 1 ，2 ，n 一2 ，0 冬l p 。一1 2 丌，( 4 2 ) 并且有 c o s ( 砒峨1 ，| 恶警器i 缔1 ， ( 4 s ) 其中亓诘是, o k 在点的法向量 对于上述奇异积分( 3 5 ) ，若被积函数中的，在o k 上h s l d e r 连续的，则我们有下面的结论； 定理4 1 设y o k ，曩弦，则 圣( 可) = 2 ”一1 诣一1 o - ) n + l 2 n - 1 躬一1 “j n + 1 【f o ue ( 训) ( z ) m ) 一上彤m ( 啪) 品。( z ) 厕 眩目( 删) ( z ) ( 他) 一m ) ) 一z 耳m ( z ，y ) 玉。( 。) ( 厕一，( 可) ) + ；，( y ) ， 其中e ，暑) ，m ( z ，y ) 由( 3 9 ) 式给出 ( 4 4 ) 河北师范大学硕士研究喜掌垡堡文 证明设凡如前所述，考察 艺n - - 1 - - 1 比一沁聊劫咖( 彬( 矿厶一沁脚朋凤z ) 酬 令 2 n - i 孵- 1 叫n + 1 1 4 f a k - 知e ( z ，可) ，b b ( 石) ( ，( z ) 一，( 笋) ) ( 4 5 ) 一厶一知m ( 砌) 玩( z ) ( 厕一尥) ) ( f o k ke ( 叫) 讽扣) 他) 一厶一km ( 训) 赢( g ) m ) 】 = 等- - i n - i 比一知e ( 哪) ( 。) ( m ) 一m ) ) 一厶一知m ( 舢) 嘉。( z ) ( 厕一m ) ) ， 首先我们证明第一个积分是收敛的因为 阮胁( 堋圹m 驯= f 苦辩垆m ) 毒裂黔杀i d s i 舌斋矿1 d p o d ”一_ 1 is 尬嘉咖 第二部分的收敛性类似可证，所以圣1 白) 收敛因此有 煳等箸比m 砸m 咖叭圹m ) ) _ l 。脚赢( 厕叫妫】 = 乏n - i n - i比耳酢朋咖( 州m ) 卅枷一z 脚，鲈) 赢厕，( 卅 河北师范大学硕士研究生学位论文 以下考虑 等n - in - i 比m 跏，y ) 咖( 彬( 沪上m 脚朋瑶) m ) 设d 。t = o d ( y ，d ) n ( 尼件1 一一) ，由定理3 2 ，我们有 m ) = 乏筹比靴慨；脚蚓埘 一厶m ) u 钆；脚昴) m ) 又因为 等n - 1n - 1 【厶。酢剐( 晰( 炉厶。脚，剪) 蕊) m ) k 丙条竿杀嘶们 jdo。丙簖n-1品出可) 。f z 一掣il z 一雪i ”一1 u 。o 、山7 。、9 j r 一可) 一1 扛一y ) d s f ( y ) v d 。ti 。一可i “一1 k 一i l z 一引”一1 ， 一秒) - 1 一驴) d s f ( y ) 1 ，口。t 陋一暑j “一1 陋一引i z 一岔卜一1 j 2 n - 1 鳃q ，d s ( y )r 一可) - 1 ( 奎一9 ) d s y ( y ) 1 21 i 【o o 。习i 万p 一厶。再再研r j 设j 0 ，则z 叶y ，l z 一引叶i g 一引= 2 y ，上式趋向于 簪 删2 1 2 y , 。1 0 = 三2 m ) + l 【 ”1 。j “。 综合上面的结果，在( 4 5 ) 中令d 一+ 0 ，就得到我们所要的结果 由文献【1 0 】的h i l e s 引理，有以下结论： 1 5 河北师范大学硕士研究生学位论文 其中 1 6 引理4 1 设t ，z 足件1 ，n ( 2 ) ，m ( 0 ) 是整数，则 f 南一南| 南牿， e ， 蝴，博r 叫圳三 蚴) = 等n - - 1n - - 1 f o 耳e ( 钏) ( 出( 圹z 聊，) 孤) 厕 设 = 竺n 石- in - i 比k 酢劫妣( 州m ) 一砌) ) ( 4 7 ) 一z km ( 训) 赢( 。) ( 厕一) ) 】 + 呈n 五- - 三l n - 1m we ，口) d 印扛) ，( 珈) 一z 耳且彳。，可) 品。) ，( 蛳) 地) = 窨l ( k e ( 啪蚓州m ) _ ，( 洲 一f s km ( 删) 五。( z ) ( 厕一砌) ) 】 有以下结论： 定理4 2 若f 日貉，0 o t 1 ，则对y o o k ，有 其中f ( y ) 如( 4 8 ) 式所述 1 i m f ( y ) = f ) ， 掣_ + 珈 y 兄，i o k ( 4 8 ) 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 7 证明首先我们设y _ y o 不沿着y o ( eo k ) 的切平面方向，也就是说o k 在y o 点的切平面 和线段可丽的夹角大于等于2 岛，岛是常数，其它情况我们称可 y o 沿着切平面方向，则 f ( y ) 一f ( y o ) = 等麦譬如酢剐圹触) ) 一z 耳脚m 孤州厕_ ，( 训 一等等比k 谁，珈) d a o ( 洲矿) ) - z 耳脚风州厕叫洲】 = 、2 - - i i y ：- 一i 比( e ( 叫) 一e ( 蚴) ) ( z ) ( m ) 一m 。) ) + f 0 k ( m ( 啪) 一m ( 蛐) ) 赢( z ) ( 厕一) ) + 型掣比耳砸嘶) ( ，- ，( 洲 + 上耳m ( 蛐) 而( z ) ( 厢一弛) ) = 等l ( 。( e ：剐叫z ，y o ) ) d a o ( 堋圹鲰) ) + z 耳一沁( e ( 训) 一f ( z ，! o ) ) d o o ( 。) ( m ) 一伽) ) + 上。( m ( 缸可) 一m ( z ，珈) ) 玉。( $ ) ( 两一f ( y 。) ) + 厶一知( m ( z ，可) 一m ( z ，珈) ) 赢。( z ) ( 雨一，) ) + 兰n - - i 里，旦n - - i 二羔筮，曰扛，珈) d c r 0 扛) ( ，( z ) 一，( 珈) ) u n + ll j a k 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 8 + z m ( 蛳) 品。( z ) ( 厕一舷) ) =掣( + 厶+ 厶+ 五) + 厶 由条件o k 是l i a p n u o v 曲面及y - - 9 y o 不沿着y o ( eo k ) 的切平面方向，o k 在y o 点的 切平面和线段可而的夹角大于等于2 岛，岛是常数，得到 l 葛卜晒 o o l 嚣j 0 使得当d p 时 1 1 1 l e 4 给定固定的d ，使0 0 构造一个球u ( f ，6 ) ck ，则 厶p 扛，) d 一- 扛) ，( z ) ) + 土y n ，o k q 。 ，s ，) d o o ( z ) ，( 。) ) e n = z 耳一。u ( ) p 幻( 。，口) d 一z ( z ) ，( $ ) ) + 壶z 一。矿妇卿q ( 。，可) d 印( z ) ，扣) ) e ，i + o v ( u , , dp 扫( 茁，可) d 一扛) ，( z ) ) + 麦z 矿( ，。q 国 ，箩) d a o ( z ) ，( z ) ) = 厶一嘶，毋 p ( p ( 。劫嘭一。，嘉) + i q ( 、a ( 。朋磁一。，) e 。d m o + z u b ，pp 扛，y ) a h 一。) ，( z ) ) + 麦z 矿( ) q 国( z ，”) d 印( z ) ，( 茹) ) e ，l 当6 趋向于。时，第一部分的极限是 厶 p k 删_ 1 ，嘉) + 麦q ( 如朋鼬，) e 。 d 伽 ( 5 3 ) 河北师范大学硕士研究生学位论文 第二都分 f a u ( ，, 6 ) p ( p ( 。，可) 嘉( 。) ，( 。) ) + 三y n 厶( q 抽c z ，) d o o ( 。) ，( z ) ) e n 趋向于老嘉芳，( f ) 将此结果代入( 5 3 ) 式，得我们所要的结果 河北师范大学硕士研究生学位论文 参考文献 【1 】1r d e l a n g h e ，f s o m m e n ，v s o u c e k ，c l i f f o r da l g e b r aa n ds p i n o r - v a l u e df u n c t i o n s ， d o r d r e c h t ：k l u w e r ，1 9 9 2 f 2 】r o b e r tp g i l b e r t ，f i r s to r d e re l l i p t i cs y s t e m s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 3 【3 1f b r a c k ，r d e l a n g h e ，f s o m m e n ，c l i f f o r da n a l y s i s ，i n ：r e s e a r c hn o t ei nm a t h e - m a t i c s7 6l o n d o n ：p i t m a nb o o k sl t d ，1 9 8 2 4 】g u o c h u nw e n ，c l i f f o r da n n m y s i sa n de l l i p t i cs y s t e m ，h y p e r b o l i cs y s t e m so ff i r s t o r d e re q u a t i o n s ，w o r l ds c i e n t i f i c ( s i n g a p o r e ) ，2 3 0 2 3 7 ，1 9 9 1 【5 】黄沙，c l i f f o r d 分析中双正则函数的非线性边值问题，中国科学，2 6 ( 3 ) ，2 2 7 - 2 3 6 ，1 9 9 6 【6 】6y u y i n gq i a o ，s b e r n s t e i n ，s 一l e r