（应用数学专业论文）两类离散smithholling型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔研究.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：廛垂遁1日期：上空互年卫月耳日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：丕趟导师签名秘期：4 年丛月翌日 摘要 对两类离散的s m i t h h o l l i n g 型捕食与被捕食系统的稳定性与分 讨论。全文共分三章。 首先简单的介绍了混沌动力学的发展史，列出了分翁的基本理 分岔条件，中心流形定理，l y a p u n o v 指数及维数。 了一类离散的s m i t h h o l l i n g 1 型捕食与被捕食系统的动力学行 为，运用中心流形定理及分岔理论讨论了系统的f l i p 分岔及n e i m a r k s a c k e r 分 岔，数值模拟的分龠图，相图，最大l y a p u n o v 指数图佐证了理论分析的正确性， 并且展示了复杂的动力学行为，例如5 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 5 ，1 6 ，2 6 ，3 0 ，3 7 ，4 8 ，6 3 周期轨道， 2 , 4 ，8 ，1 6 倍周期轨道，准周期轨道以及混沌吸引子。 第三章讨论了一类离散的s m i t h h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统的稳定性及 分翁，研究了多种参数发生f l i p 分俞及n e i m a r k - s a c k e r 分岔的参数条件，最后 利用数值模拟结果证实了理论分析的正确性，而且丰富的数值模拟结果充分的反 映了复杂的动力学行为，例如3 , 4 ，5 ，6 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 9 ，2 2 ，2 4 2 5 , 2 8 ，3 1 ，3 4 ，3 7 ，4 0 ，4 3 ，4 6 周期轨道，2 , 4 ，8 ，1 6 倍周期轨道，准周期轨道，以及混沌集。 关键词： 离散动力系统、s m i t h - h o l l i n g i 型、s m i t h h o l l i n g i i 型、中心流形、 稳定性、f l i p 分岔、n e i m a r k s a c k e r 分岔、最大l y a p u n o v 指数、混沌 a r ea l s oi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h es t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fap r e d a t o r - p r e ys y s t e m a r ei n v e s t i g a t e d f i r s to fa 1 1 t h es t a b i l i t yo ft h em o d e li ss t u d i e d i ti s f o u n dt h a tt h e r ee x i s t sn e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e r p a s s e sac r i t i c a lv a l u e s t h e nt h ee x p l i c i ta l g o r i t h mf o rd e t e r m i n i n gt h e d i r e c t i o no ft h en e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo ft h ec l o s e d i n v a r i a n tc u r v eb i f u r c a t i n gf r o mt h ep o s i t i v ef l x e dp o i n ta r ed e r i v e d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t e o u r r e s u l t sw i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s 。b u ta l s ot oe x h i b i tt h ec o m p l e x d y n a m i c a lb e h a v i o r s ，s u c h 嬲p e r i o d 一5 ，8 ，10 ，1 1 ，15 ，16 ，2 6 ，3 0 ，3 7 ，4 8 ，6 3 ， c a s c a d eo f p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o ni n p e r i o d - 2 ，4 ，8 ，16 o r b i t s q u a s i - p e r i o d i co r b i t sa n dt h ec h a o t i cs e t s i nc h a p t e r3 ，f i r s t ，t h es t a b i l i t yo ff i x e dp o i n to fad i s c r e t ed y n a m i c a l s y s t e m s i sc o n s i d e r e d t h e s t a b i l i t yo ff l i pb i f u r c a t i o na n d n e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o no ft h es y s t e mi sa l s od i s c u s s e d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t e o u rr e s u l t s w i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s b u ta l s ot oe x h i b i tt h ec o m p l e xd y n a m i c a l b e h a v i o r s ，s u c ha sp e r i o d 5 ，6 ，7 ，1 4 ，15 ，1 6 ，21 ，2 8 ，3 0 ，3 7 ，4 6 ，4 7 ，5 7 ，7 3 o r b i t s ，c a s c a d eo f p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni np e r i o d 一2 ，4 ，8 ，16o r b i t s ， q u a s i p e r i o d i co r b i t sa n dt h ec h a o t i cs e t s k e yw o r d s ：d i s c r e t e d y n a m i c a ls y s t e m ，s m i t h - h o l l i n g - i t y p e ，s m i t h h o l l i n g i it y p e ，c e n t e rm a n i f o l d ，s t a b i l i t y ，f l i pb i f u r c a t i o n ， n e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n ，m a x i m u m l y a p u n o ve x p o n e n t ，c h a o s u 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论l 1 1 混沌动力学的简述l 1 2 分翁知识l 1 2 1 分俞的概念1 1 2 2 最简单的分分条件。2 1 3 中心流形定理2 1 4l y a p n u o v 指数3 1 5 本文的主要内容4 第二章一类离散的s m i t h h o l l i n g i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析5 2 1 前言5 2 2 不动点的存在性及稳定性6 2 3 f l i p 分岔与n e i m a r k - s a c k e r 分岔9 2 4 数值模拟l6 2 5 本章小结2 l 第三章 一类离散的s m i t h h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 ：1 2 1 3 1前言2 2 3 2 不动点的存在性与稳定性2 2 3 3 数值模拟2 4 3 4 本章小结3 9 参考文献一4 0 致谢4 4 攻读学位期间主要的研究成果4 5 中南人学颂l ：生毕业论义第一章 第一章绪论 1 1 混沌动力学的简述 混沌动力学是复杂性科学的个重要分支，也是近三十年来的一个热f 】学科 1 一1 3 ，1 5 ，2 3 ，4 5 ，4 9 ，5 0 ，6 1 。混池( c h a o s ) 是指发生在确定惟系统中的貌似随 机的4 i 舰则运动。从数学上讲，对于确定的仞贻值，出动力系统就可以摊知浚系 统的长期行为甚至追溯到过去性态。但是大量实例表明，由很多系统，当仞值发 生相当微小的变化时，其系统的长期性念有很大变化，及秒值的依赖十分敏感， 产生所溺的“蝴蝶效应”的现象。但这种“假”随机现象，它与由于系统本身具 有随机项或随机系数而产生的随机现象完全不同。对于一个真正的随机系统，从 某一特定时刻的量无法知道以后任何时刻的确定值，即系统在短期内也是不可预 测的。而对于确定性系统，它的短期行为是完全确定的，只是出于对初值依赖的 敏感，使得确切运动在长期内不可预测。这f 是它内在的崮有的随机性引起的。 这种现象只发生在非线性系统中。 混沌科学与其它科学相互渗透，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、 物理学、化学、电子学、信息学，还是在天文学、气象学、经济学、甚至在音乐、 艺术等领域，混沌在现代科学技术中起管十分重要的作用。著名的物理学家 j f o r d 认为混沌是二十世纪物理学第三次最人的革命，与前两次革命相似，混 沌也与相对论及量子力学。样冲破了牛顿学的教规。他说：“相对论消除了关于 绝对空间与时问的幻想，量子力学则消除了关于可控制测量过程的牛顿式的梦， 而混沌则彻底消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想”。 进入混沌状态有哪些方式呢? 这是非线性动力学研究中的一个重要问题。主 要有通向混沌的倍周期分分道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系 统中的不规则运动、电子电路中的混沌以及控制混沌与同步混沌等道路 【2 ，1 1 ，1 3 - 1 6 , 2 7 。 1 2 分岔知识 1 2 1 分岔的概念 设有限维欧氏空间r ”上的含参数的离散动力系统由c 7 ( 其中，1 ) 同胚 g ：u xj 哼r ”，xhg ( x ，口) ，x u r ”，口j r 一， ( 1 1 ) 中南入学硕i ：生毕业论文第一章 给出。当参数口连续的变动且通过j 时，如果系统( 1 1 ) 失去结构稳定性， 即系统的定性状态( 即拓扑结构) 发生突然变化，则称系统在处出现分岔。 称为分俞值 4 9 ，5 0 ，6 1 。全体分岔值组成的集合称为该系统在参数空间中的分岔 值集，为了清楚地描述出由分俞所引起系统的稳定性变化情况，可在( x ，口) 空问 中画出系统在极限集( 如平衡点、周期轨线、不变环面等) 随参数t 变化的图形， 即分岔图。 在非线性动力学中，对分岔问题的研究十分广泛，这些研究表明，分岔不仅 与系统中不同运动状态之间的联系和转化有关，还与混沌运动密切相关。分岔是 研究混沌产生机理的重要途径 1 6 ，2 3 - 2 5 ，2 9 ，4 3 。 1 2 2 最简单的分岔条件 考虑含有一个参数的离散时l 甘j 动力系统 x 卜f ( x ，口) ，x r ”，口r ，( 1 2 ) 其中映射厂是关于z 和口光滑的假设x = x o 是系统( 1 2 ) 当口= 时的双曲不动 点，当参数口变化时我们考虑此不动点和它的特征值显然，一般来说，只有三 种情况下其双曲性会被破坏当参数口取某些值时，一种是一个简单的j 下的特征 值趋向于单位圆并且有h = l ；一种是一个简单的负的特征值趋向于单位圆并且 有朋= - 1 ；一种是一对简单的复特征值趋向于单位圆并且有“2 = 矿魄，0 e o 万 定义1 1 6 1 当“= l 时，这种分岔称为f o l d 分岔( 或切分岔) 定义1 2 1 6 1 当鸬= 一1 时，这种分俞称为f l i p 分岔( 或倍周期分岔) 定义1 3 1 6 1 当朋2 = p 腿，0 e o 0 为步长。在艇内，我们利用分岔理论【2 4 ，4 9 ，6 1 和中心流形理论【1 8 ，6 l 】 来研究系统( 2 3 ) ，并证明当系统( 2 3 ) 的参数满足一定条件时，系统( 2 3 ) 会发生 f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔。数值模拟的结果显示系统( 2 3 ) 具有复杂的动力 学，如5 ，8 ，1 0 ，l l ，1 5 ，1 6 ，2 6 ，3 0 ，3 7 ，4 8 ，6 3 周期轨、2 ，4 ，8 ，1 6 周期轨道以及准周期轨道 和混沌集。另外，最大l y a p u n o v 指数的数值模拟进一步证实了系统( 2 3 ) 的复杂 动力学。 2 2 不动点的存在性及稳定性 显然，系统( 2 3 ) 的不动点满足下面的方程 卜万f ，k f ，丝l + c x k ) ， 、 【y = y + 8 ( y - ，i + 触一吒j ，) ) 引理2 1 1 对于任意的参数，系统( 2 3 ) 存在不动点( 0 ，o ) ，( k ，0 ) 2 若 o ， 和屯为方程f ( 五) = o 的两个根， ( i ) l 五i l ，l 如i o ，c l ，i 五i l 当且仅当f ( - i ) 0 ，c i ； ( i v ) 五= - 1 ，如1 当且仅当f ( - 1 ) = 0 且尸o ，2 ； ( v ) 五，五是复数，且协l = l 如l = 1 ，当且仅当b 2 4 c 0r c = 1 令 ，如是不动点( x ，y ) 的j a c o b i a n 矩阵，所对应的特征方程的特征根，简 称为不动点( z ，y ) 的特征根。当i 丑l 1 ，不动点( 五y ) 称为源。所以源是局部不稳定 的。当i a l l ( 或h | 1 ，l 如l 0 ，f ( 一1 ) = 4 + 2 + r 1 8 2 根据引理2 2t 2 5 ) ，( 2 6 ) ，我们有下列的结果成立，它表明了不动a ( k ，0 ) 和正不动点( 矿，y ) 的动力学性质。 引理2 3 不动点( o ，0 ) 的特征根为a = 1 + r k 5 ，五眷1 一，；6 则 ( i )当0 2 ，k ，；或若等艿 2 ，( p r 一，i ) 万 _ 2 时，( k ，o ) 是源点； ( i i ) 当o 若等艿 或o 若象万 2 ，( i l k 一) 万 2 ，- 2 ( i l k 一) 艿 o 时，( 丘o ) 是鞍点； ( i i i ) 当o 丢去艿 2 ，_ 2 ( i l k 一) 万 o 时，( k ，o ) 是汇； ( i v ) 当丢等万= 2 或( k 一_ ，i ) 艿= - 2 ，o 时，( 墨o ) 是一非双曲点。 引理2 5 设f 矿 ，1 为系统f 2 3 、的正不动点，则 当下列条件之一成立时，( 矿，y 幸) 为汇： 3 第二章 ( i 1 ) 孝 一2 万且艿：- f + q ( - f i - 4 r l 胃万一号，一毒； | 与与 ( i v 2 ) 一2 7 7 孝 0 ( o ) ，则从不动点( p ，j ，) 分岔出的 2 周期轨是稳定( 不稳定) 的。 下面我们讨论系统( 2 3 ) 在不动点( 矿，y ) 的n e i m a r k s a c k e r 分岔。 特征方程( 2 8 ) 的特征值是 丑：- p ( 8 ) + f f p i 2 ( a ) 4 q - ( 8 ) ， 1 3 中南人学顾f ：生毕业论义 第二帝 p ( 8 ) = - 2 - ，g ( 万) = 1 + + 0 6 2 若p 2 ( 万) 一4 9 ( 万) o ，则丑2 为一对共轭复根，那么有 孝2 0 。 2 ( 2 1 8 ) 因此，系统( 2 。1 6 ) 关于不动点( o ，o ) 的特征值五，万不是单位圆与坐标轴的交 点。 令川粤，国= 鲁厢， 丁= ( 三二。二) ， 利用变换 1 4 ! 塑叁兰堡! ：竺望些堡塞一 第二章 一一一一 ： 系统( 2 1 6 ) 变为 其中 睁丁 匕祧) + ( 蠹嚣 衍，刃= 旦甜2 + 鱼卅e , u 2 v + 0 a i 20 1 2 ( ( 州们， a 1 2 ”。 季( j ，夕) ：a 。( a - a ) u 24 a , ( # - a l , ) - a , 2 d l “，一望羔，： q 2 彩 q 2 彩 c o + 划u 3 + d ( ( m 附) ， 口1 2 ( 0 “2 = q 2 2 舅2 ，z n ，= q 2 ( 一口1 1 ) j 2 一q 2 缈移， ，2 - ( a - a , i ) 2 孑2 - 2 c a ( , u 一口1 i ) 移+ 缈2 夕2 ， 甜32 q 2 3 j 3 ， 五= 2 q ：a 0 + 2 ( u 一口i ，) q ，磊- - - - a i 0 ) ，磊= o ， 名= 6 e 。吐，磊= 磊= 磊= o ， 季嚣= 昙 口l ：口o ( 一q ，) + 以一q 。) 【q ( 一q 。) 一口l ：4 】一畋一q 1 ) 2 ) 岛= ( 一口l ，) ( 2 畋一o l 。) + q 2 4 ，岛= 2 破国 ( 2 1 9 ) 酝= 詈旌q ( 一q ，) ，稿= = 岛= o 为使映射( 2 1 9 ) 发生n e i m a r k s a c k e r 分俞，则需要下面的式子口0 9 ，2 0 ，2 5 】： 口= _ r e ( 等舳钊2 蚶ii + 峨，l 亿2 。， 其中 厶= 吉【( 磊一磊+ 2 岛) + “舀一岛一2 磊) 】， 磊t 。言【( 厶+ 厶) + f ( 酷+ 岛) 】， 1 5 中南人学顾i j 生毕业论文第_ 二章 彘z2 长( 厶一厶一2 岛) + ( 蜃嚣一岛+ 2 厶) 】， 受2 毒( 岛+ 岛+ 纭+ 嘞) + ( 酝+ 一岛一岛) 】 根据上面的分析与 2 4 ，4 9 ，6 1 d f l 的分岔定理，我们得到如下结果： 定理3 2 若 唣( 万 疋) ，系f j e ( 2 。3 ) 从不动点( 矿，少) 分岔出吸引( 排斥) 的不变闭曲线。 在第四节中，我们将选取一些参数值对系统( 2 3 ) 的n e i m a r k s a c k e r 分岔进行 数值模拟。 2 4 数值模拟 在这部分，将给出系统( 2 3 ) 的分岔图、相图和最大l y a p u n o v 指数图来证实 上面的理论分析。考虑以下两种情形： ( 1 ) o 1 万 0 2 ，厂= 4 0 ，k = 2 ，c = 3 ，口= 1 0 ，= 2 5 ，= o 5 ，吃= 2 ( 2 ) o 4 4 万 o ，a = - 0 2 9 3 0 从而验证了定理3 2 的 正确性。 ( a )( b ) 图2 4 ( a ) 系统2 3 ) 在( 6 ，x ) 平面内的分岔图，初值为( 0 6 3 ，0 8 7 ) ，参数为，= 7 。k = 2 ， c = 3 ，口= 1 7 5 = 2 5 = 0 5 。恐= 2 i b ) 为( a ) 的局部放人圈，万【0 5 ，0 5 4 ) - t 。一_ ， 尹。 曩。 t 薯 。 呜耐： ， ；j ”，。 一 ，；j ： ( a )( b ) 图2 5 ( a ) ，( b ) 分别是图2 5 ( a x b ) 的对应的最大l y a p u n o v 指数图 从图2 4 ( a ) 我们观察到当万 0 4 8 2 1 时出现一闭的不变曲线，从图2 4 ( b ) ，我们还 可以看到倍周期分岔及倒倍周期分俞现象，图2 4 ( b ) 给出了其局部放大图，其中 万【o 5 ，0 5 4 ) 图2 5 为系统( 2 3 ) 的最大李雅普诺夫指数图，从中我们可以观察到当 艿 o 4 4 ，0 4 8 2 1 ) 时，最大李雅普诺夫指数为负的，此即表明，非混沌区域大于 混沌区域8 【o 4 4 ，0 4 8 2 1 ) 小于混沌区域万( 0 4 8 2 1 ，0 5 3 8 ) 而对于 1 9 中南人学硕i ：生毕业论义 第一二章 万( 0 4 8 2 1 ，0 5 3 8 ) ，一些李雅普诺夫指数大于零，另一些大于零，说明在混沌区域 中存在稳定的不动点或稳定的周期窗1 ：3 。一般情况下，j 下的李雅普诺夫指数意味 着混沌的出现。 从图2 7 中可以看到系统( 2 3 ) 有8 ，1 1 ，1 5 ，1 6 ，2 6 ，3 0 ，3 7 ，4 8 ，6 3 一周期轨道、准周期 轨道、吸引的混沌集。 中南人学硕l j 生毕业论文 第二章 万= 0 5 1 0 3 6 万= 0 5 1 2 5 艿= 0 5 l l 万= 0 5 1 4 万= 0 5 1 2 万= 0 5 1 5 万= 0 5 1 8万= 0 5 2 5 万= 0 5 3 5 图2 7 对应图2 4 ( a ) 取不同参数万时系统( 2 3 ) 的相图( 接上) 2 5 本章小结 在本章中，我们研究了离散的s m i t h h o l l i n g i 型捕食与被捕食系统在艇平 面内的复杂的动力学行为，表明了系统( 2 3 ) 的唯一正不动点当参数变化时，能发 生f l i p 分岔与n e i m a r k s a c k e r 分岔。而且，系统( 2 3 ) 显示出非常有趣的动力学 行为，包括5 ，8 ，1 1 ，1 5 ，1 6 ，2 6 ，3 0 ，3 7 ，4 8 ，6 3 周期轨，不变环，倍周期分岔如2 ，4 ，8 ，1 6 周期轨，准周期轨和混沌集这些结果表明离散的捕食与被捕食模型比相应的连 续模型显示出更为丰富的动力学行为 2 1 中南人学硕l j 生毕业论义 第三章 第三章一类离散的s m i t h h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统 的稳定性与分岔分析 3 1 前言 众所周知，l o t k a v o l l t e r a 捕食与被捕食模型是最经典的生态模型之一，它是 由上世纪的l o t k a ( 1 9 2 4 ) 3 5 1 f 3 1v o l t a r r a ( 1 9 2 6 ) 6 0 最- o r 发现并进行理论研究的。 本章考虑如下一类s m i t h h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统 3 8 】 其中x ，y 分别表示因此捕食者与被捕食者的种群密度，厂，r 2 ，k ，c ，口，为正常数。 在系统( 3 1 ) 中，( 而k - x ) 为s m i t l l 增长函数【3 7 】，功能函数缈( x ) = 南为 h o l l i n g - i i 型。 运用欧拉方法将系统( 3 1 ) 离散化，我们得到下面离散的s m i t h h o l l i n g - i i 型 捕食与被捕食系统 其中万 0 为步长。在本章中我们利用类似于讨论系统( 2 3 ) 的方法，所以只通过 数值模拟来展示系统( 3 2 ) 具有复杂的复杂的动力学性态，包括 3 , 4 ，5 ，6 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 9 ，2 2 ，2 4 ，2 5 ，2 8 ，3 1 ，3 4 ，3 7 ，4 0 ，4 3 ，4 6 周期轨，倍周期2 ，4 ，8 ，1 6 周期 轨道，准周期轨道以及混沌集，这些结果揭示了离散系统( 3 2 ) 的丰富的动力学行 为 3 2 不动点的存在性与稳定性 显然，系统( 3 2 ) 的不动点满足下面的方程组 南斟畴 南叫 一 ， - ，1 一斟嗡 墅竖型堂些生一 笙三皇 - _ _ - _ _ - d - 一一一 巾= 簪 引理3 1 ( i ) 对于任意的参数，系统( 3 2 ) 有两个非负的不动点( 0 ，o ) 和( k ，o ) 。 ( i i ) 若 p k ，此时系统( 3 2 ) 有唯一的正不动点( 矿，旷) ，其中p ，j ，畚满足下列方 j ，lk 。+ - “x 木* i = 而c r y * 卜为哪 。3 因此 系统( 3 2 ) 在任意点( x ，夕) 的j a c o b i a n 矩阵为 lf il + 万l ii j ( x ，y ) = i l 邶期一 f l1 一万 i j ( k ，o ) = l l 小一2 x 一甜2 ) ，cz，夕，=1+j( ( 1 + c x 2 ) g y f l y ( z + ) 2 坚- _ 饼私) ( 1 + c x 私) & f l y ( x + ) 2 。+万一丢x+flyx一2吒少) + 万 万一一2 吒少) j ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 弓i 理3 2 ( 1 ) 对于所有的正参数，系靴) 的不动聊) 不稳定。( 2 ) 若，i 而y k ， 系统( 3 2 ) 的不动点( k ，0 ) 不稳定。 嚣叫咤 ， ， - 一一厂nl x 夕 莎 万 x y ， 哺 。 杪、 尚 筹岛 志。 篙w 搿 中南人学硕1 j 生毕业论文 第三章 其中 系统( 3 2 ) 在不动点( 矿，广) 的j a c o b i a n 的矩阵的特征方程可写成如下形式： 名2 一( 2 + ) 五+ ( 1 + + r l a 2 ) = 0 ， 善= 篙一丽a f l y * w 幸， 亡= = - 一，一，：v 。 ( 1 + c x 木) 2( x 幸+ ) 2 “。 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 伊簖- 等1 篙产一嵩l t 2 一r 埘 吖 ( x 木+ ) 3 i ( + 戗木) 2( x 拳+ ) v 7 由s c h u r - c o h n 判别法【2 3 】可得 性质3 3 若下列条件之一成立，则系统( 3 2 ) 的不动点( 矿，矿) 是稳定的 ( 1 ) 善2 4 咿 or o 艿 o 且o j - 毒：- c - - 4 r 2 。 7 7 3 3 数值模拟 在本节中，将通过数值模拟给出系统( 3 2 ) 的分岔图、相图、最大l y a p u n o v 指数图。考虑以下6 种情形： ( 1 ) 0 2 4 艿 0 6 2 ，= 0 7 ，k = 2 ，c = 1 7