（应用数学专业论文）微分方程迭代求解中参数对收敛性的影响.pdf

y 8 2 7 3 4l 微分方程迭代求解中参数对收敛性的影晌 摘要 微分方程初值问题的求解是一个复杂问题。对算子t 限制后，可以用迭代 法得到陔方程的近似解。所用迭代法有m a n n 迭代法和i s h i k a w a 迭代法。常见的 算子有( 强) 增生算子，( 严格) 压缩算子。许多学者已作了许多研究 1 1 l ，1 4 - 2 4 。 b r o w d e r 和m a r t i n 2 】已经证明当t 是( l i p s c h i t z ) 连续增生算子时，方程 x + t x = f 有解。后来m o r a l e z 15 1 证明t 是连续强增生算子时，方程t x = f 有解。 c h i d u m e 2 4 】证明得到当k 是l p 空间( p 2 ) 的有界闭凸子集，t 是l i p s c h i t z 严格伪压缩映象时，m a n n 迭代序列强收敛。后来d e n g 与d i n g 把c h i d u m e 2 4 j 的结果推广到p 一致光滑百a n a c h ( p 1 ) 空间。另外，t a na n dx u ， 4 】研究了两种迭 代法，并证明在p 一致光滑b a n a c h 空间( 1 o( 1 1 ) 和 i s h n k a w a 迭代法1 3 z 。+ 1 一( 1 一d 。) z 。+ a t y 。( 1 2 ) y 一( 1 一成) z 。十卢。，t x 。，vn 0( 1 3 ) 在这里往往取 吒，凤 o ，1 由于算子丁在迭代过程中起很重要的作用，所以先介绍几种常见的算子 ( 口) 增生算予 x 是任意实b a n a c h 空间，x 。是x 的对偶空间，令 ，( 上) 一 z x ：( z ，z ” 一| izi i l | z + | | ，| | z + | 1 一l | z 1 ) ，vz x ，x 中算子 丁有定义域d ( t ) 与值域r ( 丁) ，若vz ，y d ( 丁) ，存在 j ( x 一一) j ( x y ) ，使 1 1z yl | i lz y + r ( t x t y ) i | 1 成立，则t 称为增生算子，r 0 。 在1 9 6 7 年b r o w d e r 13 证明了，当丁是局部l i p s c h i t z 连续增生算子时，方程 z + t x f 有解。1 9 7 01 9 m a r t 抽 2 1 证明了，若丁是连续增生算子时，vue x ，方程d 石u + 了1 “一o ， u ( o ) 一“o 有解。 后来m o r a l e s 15 3 证明了，若t ：x x 是连续的强增生算子，即对vx ，y d ( 丁) ， 不等式 0 ，k 称为t 粥虽增生常数， ( o ，1 ) ，则对每个，x ，方程t x 一 ，在x 中有解。 ( 6 ) 一类与( 强) 增生算子密切相关的映象是( 强) 伪压缩映象。19 6 7 年， b r o d p r 1 3 与p e t r y s h y n 2 3 1 首次引入了h i l b e r t 空间x 中伪压缩映象的概念，并证明 了，若k 是x 的有界闭凸子集且r ：k k 是严格伪压缩映象，则了在k 中有不动点， 随后他们的思想被推广到b a n a c h 空间中，引入b a n a e h 空间x 中有定义域d ( 丁) 与值 域r ( 7 1 ) 的映象丁称为严格伪压缩映象概念，即如果存在t 1 ，使不等式 | | z y i | | ( 1 + r ) ( z 一一) 一r t ( t x t y ) | | ，vz ，y d ( 7 1 ) ( 1 5 ) vr 0 成立，则称7 1 为严格伪压缩的算子，若在上述定义中， 一l ，贝0 t 称为伪压缩映 象。 l9 8 7 年，c h i d u m e 2 胡证明了，若k 是l p 空间( 户2 ) 的有界闭凸子集，且丁：足一 k 是l i p s c h i t z 严格伪压缩映象，则m a n n 迭代法强收敛到了的一个不动点。1 9 9 5 年， d e n g 与d i n g 1 8 1 证明了，i s h i k a w a 迭代法在一致光滑b a n a c h ( 户 1 ) 空间中强收敛到 t 的一个不动点，从而推广了c h i d u m e 2 4 3 的结果。另一方面，t a n 与x “4 1 研究了m a n n 迭代法和i s k i k a w a 迭代法，并证明了，在p 一致光滑b a n a c h 空间( 1 p 2 ) 中两个 2 迭代法都强收敛到t 的唯一不动点，进一步地，z e n g 2 z 把前面的结果推广到了p 一致 光滑b a n a c h , 空间( 1 p 2 ) 中l i p s c h i t z 局部严格伪压缩映象的情形。 在算子丁性质一定的条件下，用迭代法验证迭代序列 z 。) 是否会强收敛于丁的唯 一解z 。，并进一步计算收敛速度。从研究成果中可知，迭代序列 z 。 的构造式中存在 两个重要参数，危，它们的性质对序列 z 。) 是否收敛，及收敛速度大小有重要关系。 所以，许多作者关注，卢。的性质。 在文 3 中l i u 把增生算子丁从p 一致光滑b a n a c h 空间推广到任意b a n a c h 空间， 而且提供了收敛速度的估计。 定理a 嘲：设x 是一实b a n a c h 空间，且丁：x x 是l i p s c h i t z 连续增生算子，又 设 与 卢。) 是实序列，满足： ( i ) 0 ，凤 1 ，vn 0 ( i i ) l i m a 。一0 ，l i m 成一0 ， e 一一 ( i i i ) a 。一o o = l 由i s k i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛到t x + z f 的唯一解z ，而且若 n 。= 志，则i iz 。一z i i o ( 亳) 在2 0 0 3 年，曾六川 5 去掉条件限制( i i ) l i m a 一0 ，l i r a e 。一0 ，得到以下结果： 定理b e 5 ：设x 是一实b a n a c h 空间，且t ：x x 是l i p s c h i t z 连续增生算子，又 ，怠e o ，1 ，且满足 ( 1 ) 。 0 ，其中，是恒 等算子，b r o w d e r 已证； 定理e 若丁：x x 是一局部l i p s c h i t z 条件的增生算子，则t 是m 一增生的。 特别地，对vf x ，方程z + t x f 有解。 m 口r i n 2 3 证明了： 定理f 当丁是连续增生算子时，方程石d u + 丁“一o ，“( o ) 一“。有解，而且当丁是 连续增生算子时，丁是m 一增生的。 i s h i k a w a 迭代法”1 和m a n n 迭代法1 已被许多作者用于迭代逼近非线性算子方 程的解和非线性映象的不动点。最近，上池 3 3 把t a na n dx u ：4 1 的结果从户一致光滑 b a n a c h 空间推广到任意b a n a c h 空间，而且还提供了收敛速度的估计。 6 定理g 3 1 设x 是一实b a n a c h 空间，且了 ：x x 是l i p s c h i t z 连续增生算子，又 设 ) 与 卢。) 是实序列，满足条件 ( i ) o ，卢。 1 ，vn 0 ( i i ) l i m a 一0 ，l i m f l 。= 0 ( i i i ) 一。 n l 则对任给x 。d ( t ) ，由i s h i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛到t x + z = f 的唯一解z + ，而且若 一志测i iz 。一z 。i i o ( 去) 从上面结果可知，逼近阶o ( 去) 不理想，我们可以另外构造序列 ) ，使逼近阶优 于前面的逼近阶。 z e n g 5 3 研究的结果是去掉限制条件( i i ) l i m a n 一0 ，l i m f l 。一0 ，迭代序列 z 。 仍 然强收敛到方程z + t x 一，的唯一解，并提供了一般的收敛速度估计。 定理h 5 3设x 是一实b a n a c h 空间，且t ：x x 是l i p s c h i t z 连续增生算子， 又设 吒) 与 卢。) 是 o ，1 中的序列，且满足 ( 2 ) 。 o ，使对vn 眠， 2 + z l + l z + 竺 _ 。，又? 凡西1 有 l l 。+ ，一。- l | ( 1 一“+ + ) oz n z 。o ；( 1 一i 1 ) l lz n z 0 。户( 一告。) 4z 。一z 【l 困 e z # | lz n l 一z 一0 1 0 ( 5 j z z 口 。舢 1 2 时 一 n 当 敞 一 a 。舢 即序夕u z 。) 强收敛于z 。 下面给出当一音时，迭代序列 z 。) 的收敛速度估计。 ( d ) 若一音，则满足 0 1 ，l i m a 。一0 又因为j 宝= l 亨一r 三d x l o g m + c ( c 为常数) 一。( 当m 一。时) 所以 蚤丢一。 故不等式( 5 ) 可化为- f 式 所以有 z 。+ ，一z 。| | e x p 一 “r n | | z 。一z + l i 一0 ( = 1 ) vn 本文得到的收敛速度估计较精确，而且实序列 中各项的变化规律明显。在此 注意到：l i u 在文章3 1 中的取值 2 n2 q 一丽一再雨 当n 的取值越来越大时，吒的值越来越接近于要，与本文的取值吼= 去有2 倍的关系， 再观察两个不同的实序列的收敛速度估计分别是。( 丢) 与。( 了1 = ) 为平方关系，那么 是否可考虑：一暑，詈，鲁，i h ，序列 z 。) 的收敛情况，寻找系数 对这类实序列 鲁) 收敛速度估计的影响规律( n 。) 。 事实上 ( 6 ) 令一詈，满足条件( i ) ( i i ) ( i i i ) ， m i 2 2 1 。g m + c ( c 为常数) 一。( 当m 一。时) 不等式( 4 ) 化为下式 | jz 。+ i z i e 一“| jz o z 。j | 所以| | + 。一z 。 l 一0 而且l i z 。+ 。一z i l 一。( 圭) 一o ( 兰) 。 ” 上面的结论是一吾时， z 。) 收敛性成立，收敛速度为o ( 刍) ，l i “嘲的收敛速 度相同。再看下面 ( c ) 当一詈时，作类似( 6 ) 的研究，得到结论：序列 z 。) 收敛性成立，收敛速度 为o ( 占) 。 脚 由以上3 个具体实序列 寺) ， 吾) ， 昙) 得到的结果可见，迭代序列 z 。) 具有相同 的收敛性质，且收敛速度有规律性。我们可以归纳这类序列 鲁) ( 为常数， n 。) 的 收敛速度的规律并给予证明。 定理2 2设x 为任一实b a n a c h 空间，t ：d ( 丁) 一x x ，为l i p s h i t z 连续增生 算子， o t n ) ， 卢。) 为实序列满足： ( 1 ) 。口。 1 ，o 卢。面1 ( 2 ) l i m a 一0 ( 3 ) 一。o 对任给z 。d ( 丁) ，由i s h i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛到t x + z f 的唯_ 解z 。，而且若 a 。一鲁，( 女为常数， e + ) ，特别地一a 。一一= 吼一丢 则1 i z 。z 。i i o ( - - 告) v 证明：因为 为常数， en 。， 所以。 鲁 1 ，或0 1 ，满足定理2 1 条件( 1 ) ( 2 ) ；但是不满足条件( 3 ) 因为耋c 。rc 扣z = x - p d x = 南州卜南c 一击，一 f 与( m o 。时) 所以i lz 。+ 、z i | di iz t z 。i l ，d 为常数 因此，序列 , 2 7 ) 不收敛于z 定量2 1 条件( 3 ) 是迭代序列收敛的充要条件。 再来看若= ( 鲁) ， e v ”，为常数，p 1 塾一耋c r x - ， d a ：一各c m 一。时，。 因此这类序列 ( 鲁) ，户 1 的性质对迭代法而言不好，因此不作研究。 下面看第三类，一( 鲁) ，o r l ， en 。，女为常数经研究有以下结论。 1 3 定理2 3 设x 是一实b a n a c h 空间，且t ：d ( 丁) 一x x ，是l i p s c h i t z 连续增 生算子，又设，卢。e o ，1 ) ，满足条件 ( 1 ) o q l ，o 卢。击，vn o ( 2 ) l i m a 。一0 ( 3 ) 一。 则对vz 。ed ( 7 1 ) ，由i s h i k a w a 迭代生成的序列 z 。) 强收敛到t x + z f 的唯一解 7 5 ”，而且若 一i ：( 。) ，则i i + 。一。i i o ( 至) 厅 vnvp 证明：令一去妇h 则。 去 h 一。q7 lqn t i e 0 t n 一。 因为 f ：z 一 d z 一2 z l ? 一万+ c ( c 为常数) 一。( ”一。时) 所以n 一 一。 把 岳。 代入( 5 ) 得 一1 吖n | | 一r n + i z | | e 一 i iz 。一z ”| | 当 一。时 i lz 。+ 1 一z | | - 0 且收敛速度为 一z ，i l ：。( p 一 ) 厅一。( ；1 ) 一 o 以类似上面的方法对钆一( 吉) ，( 吉) ，作了研究，得到的收敛速度分别为 0 ( i 1 ) ”、o ( ：1 ) ”， 、，eve 从以上结果发现，若取 ( 丢) ) ( + ) 类型的值， 的取值越大，迭代序列 z 。) 的收敛速度越快，且当”一o o 时，收敛速度向o ( ) “无限趋近。 吖e 在此注意到：收敛速度能否达到o ( ；1 ) 一呢? ve 经研究证明，能。下面定理2 4 作叙述与证明。 定理2 4( 其它叙述同定理2 3 ) 条件改为 ( 1 ) o 1 0 n 妻= 1 一。 若一志测忪m 一叫- 。c 去e r 、，nv 证明：易知” 一1( n 固定， 一o 。时) 取 吼一可1 = ，则吼一1 ，对o n 时，有i i 百( 一) 一 ( 取一i ) 月一l 规 “一l+ 1 n “ 一 且 击 ，进一步可以证明i 1 = q - o ( 1 ) ( 一o o ) n = i n一2 1 ” 所以 击一。( 当k o 。时) ， n 。l ” 因此，”一。时，1 lz 一一z 0 0 又因为e x p ( - - 鲁，e x p - = ，i 。q a 2 口3 口。 0 ， 记d 。1 一口。一口。( vn n ) 对于( i ) 鲁 类型，随着 值的增大，相对应的一。一一一，的值越来越大。所 以一0 的速度随 的增大而增大，其结果影响到迭代序列 z 。) ，z 。一z + 的速度增大。 ( 方导 类型， ( )因为相应的吒一的值随 的增大而增大，因此 一0 的速度随着k 值的增大而增大，从而导致迭代序列 z 。 ：z 。一3 7 。的收敛速度加大。 上万 d z 一 + 矗 上万 d z z 三、m 一增生算子与散逸算子的收敛速度 由第二节b r o w d e r 3 和m a r t i ne 2 3 的结果( 定理e 、f ) 知，若丁是l i p s c h i t z 连续增 生算子，则丁是m 一增生算子。所以本文前面讨论的结果都对t 是m - 增生算子成立。因 此我们有： 定理3 1x 是一实b a n a c h 空间，且t ：d ( 丁) 一x x 是l i p s c h i t z 连续m 一增 生算子，设o t 。，p 。( o ，1 ) ，满足条件 ( 1 ) 0 ，晟 1 ，vn 1 ( 2 ) l i m a 一0 ，l i m f l 。一0 ( 3 ) 一。 则对vz 。d ( 丁) ，由i s h i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛于z + t x = 厂的唯一 解z ，而且若一言，则 z 。一z 1 i 一。( = 1 ) 州 定理3 2x 是一实b a n a c h 空间，且丁：d ( t ) 一x x 是l i p s c h i t z 连续m 一增 生算子，设，卢。e o ，1 ) 满足条件 ( 1 ) 0 ，卢。 o ) ，则 n 矗一z i i o ( _ = 1 ) x n 1 7 定理3 3 ：设x 是一实b a n a c h 空间，且t ：d ( 丁) 一x x 是l i p 5 f 础2 连续m 一增 生算子，又设吒，成 o ，1 ) ， 满足条件 ( 1 ) 0 ，卢。 1 ，vn 0 ， ( 2 ) l i m a 。一0 ，l i m 成一0 ( 3 ) 吒一。 由i s h i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛到t x + z f 的唯一解z ，且若 一万1 ( n 删 一z * i 一o ( = 1 ) 厅 o 定理3 4 设x 是一实b a n a c h 空间，且t ：d ( t ) 一x x 是l i p s c h i t z 连续1 7 1 一 增生算子，又设，成 o ，1 ) ， 满足条件 ( 1 ) o d 。 1 ，o 卢砑1 ，vn o ，l 1 为l i p 常数 ( 2 ) 一。 月= 1 则由i s h i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛到方程丁z + z f 的唯一解z + ，且 若一i f l ( n ) ，则 n 回顾到，一类与增生算子密切相关的算子是散逸算子类( 也叫耗散算子) 。一个算 子t ：d ( t ) x x 称为散逸算子，若一丁是增生算子。 下面，我们给出在丁是散逸算子时的收敛定理及收敛速度。 1 8 上万 0 一 z z 定理3 5 设x 是一实b a n a c h 空间，且t ：d ( 7 ) 一x x 是l i p s c h i t z 连续散 逸算子，又设，卢。 o ，1 t z f 约序列，满足条件 ( 1 ) 0 1 ，0 卢 1 ，vn 0 ( 2 ) ! 堡一o ，! 塑卢n o ( 3 ) 一。 一1 则由i s h i k a w a 迭代法生成的序列 z 。) 强收敛到程z 一丁z f 的唯一解z ，且若 a 。一生( n ) ，则 1z 。一z | | 一o ( ) 、，m 证明：因t 是散逸的，所以( 一7 t ) 是增生的，p z 一厂+ t x ，x d ( t ) ，从而由定 理2 2 得到结论。 定理3 6设x 是一实b a n a c h 空间，且丁：x x 是l i p s c h i t z 连续散逸算子，设 卢。 o ，1 上的序列，满足条件 ( 1 ) 0 口。卢。 0 ，若遵循刘理蔚嘲的定义，严 格伪压缩定义7 又可叙述为：存在k ( o ，1 ) 使得不等式 z y | | | iz y + r ，一丁k 1 ) x 一( ，一7 一k 1 ) y ji i 对一切z ，y d ( t ) ，r 0 成立。 许多作者对严格伪压缩映象r 的定义域d ( 7 ) 为有界闭集时的迭代问题作了研 究8 9 i i f 1 4 1 “。最近，s a s t r y 与b a b u 9 1 把刘理蔚8 1 的定理1 与定理2 中d ( 丁) 是有界 闭凸集推广到非空闭凸集，并提供了粗略的一般收敛速度估计，所用方法是m a n n 迭 代法；z e n g c ”3 用i s h i k a w a 迭代法证明了从b a n a c h 空间中的非空闭凸集为定义域与 值域的严格伪压缩映象的收敛问题，并提供粗略的收敛速度估计。下面是以上作者的 研究结果。 定理，嘲 设( x ，l l 1 1 ) 是任一b a n a c h 空间，k 是x 的非空闭凸子集，丁：k k ，是严格伪压缩映象，设q k 是t 的不动点。假设( ) 。”是( o ，1 中的序列，使得对 某个7 ( o ，k ) 及一切nen ，ke ( 0 ，1 ) 西订南寻乒丽，且 一。，i l 1 为常数。 一i 固定z lek ，对一切nen ，定义3 1 7 。+ l ：一( 1 一) z 。+ c l n t ( z 。) 则存在( o ，1 ) 中的序列( 卢。) 。e v ，卢。r ) ，使得对一切n n ， 2 0 x n + l q | | 曼( 1 一岛i iz ，一g i i 特别地，序列( z 。) 。n 强收敛到t 的唯一不动点q 。 推论1 9 1 设( x ，| i | | ) ，k ，t ，l ， ，g ，7 和( z 。) 。如同上面定理，所叙述的一 样，( ) 。是( 0 ，1 中的序列，对vn n ，若 则有下面的收敛速度估计。 此处 ：2 瓦了- 而霞两 一日 | | z l q1 l 1 0 il iz 。一q p ：一1 一9 t 一1 7 惫 定理j ”3 设( x ，| | 1 ) ，k ，t ，l 及k 如同上面所叙述的一样，设q k 是7 1 的不动点。又设( 吒) 。v 与( 9 。) 。”是 o ，1 中的两个实序列，满足下列条件： ( i ) o 讧 1 专云 写之专幸，v ”，对某个节( o 点 、 ( “) o 户。m a x ( e ，7 一e ) ，vn n ，对某个e ( o ，7 ) ( i i i ) 一o 。 n 一1 固定z ，k 序列( z 。) 。用l s h i k a w a 迭代程序来定义，即，对一切”n 。n l ：一( 1 一) z 。+ 口。t ( y 。) y 。：一( 1 一成) z 。4 - p 。t ( x 。) 则存在( o ，1 ) 中的序列( l ) 。，。堡堕尘卫二 等等 必口。 使得对一切n n i lx 。一q0 l r ( 1 一r j ) | 1z l q0 2 1 - 特别地( z 。) 。”强收敛到q 且q 是t 的唯一不动点。 推论2 m 3 ：设( x ，l | i | ) ，k ，t ，l ，k ，q ，e 及( z 。) 。如同定理j 1 0 1 中怕叙述的一 样，其中( ) 。e n 与( p 。) 。”是由下式给出的 o ，1 中的两个实序列：对每个n n ， 吒：= 石订锰孚掣昔若每而，且艮一m 州州一一。“2 瓦干t 砸 1 ：i f f 面= 而且p ”：一”“0 5 _ 一6 则对序列( z 。) 。”，有下列几何收敛速度估计：对一切nen ， 2 。+ i q 矿l z 。一q i 其中，i d ；一1 一y t = 1 一m i n ( ，7 一) l ( l + 2 一 i - 旱i 本节讨论( 1 ) p 一致光滑b a n a c h 空间x 中，k 是x 的有界非空闭凸子集，t ：k k 是l i p s c h i t z 严格伪压缩映象，构造 o ，1 中不同类型的序列( ) 。n ，( 成) 。n ，用 i s h i k a w a 迭代法得到的序列( z 。) 。”是否强收敛到t 的唯一不动点q ，并且提供每类实 序列( ) 。，( 卢。) 。对应的精确收敛速度，另外还讨论序列( ) 。，( p 。) 。e n 在 o ，1 上的分布稠密程度对序列 z 。 收敛速度的影响作用。( 2 ) k 是x 的非空闭凸子集，丁是 l i p s c h i t z 严格伪压缩映象，用m a n n 法得到的序列 z 。) 经证明收敛，并给出一般收敛 速度估计。 定理4 。1设( x ，4 j ) ，七，t ，l 和r 与上面描述的相同，q k 是丁的不动点。 假设( 钒) 。w 是( o ，1 中的序列，若满足 。 帛，“i ，萤= 。o ，c o ，t ， 则由m a n n a 迭代程序规定生成的序列( z 。) 。e w 强收敛于t 的唯一不动点q ，且对vn ，若一帛测 | 1z 。+ 。一q | 1 l 。11 iz t q i 此处： p ：= ，一悬 证明：定义岛：一l i 2 7 。一q ，对vn n ，由m a n n 迭代程序规定 z 。+ 1 一( 1 一吒) z 。+ 口t x 。 生成的序列记为( z 。) 。”，根据刘理蔚e 8 1 的定理1 ，有 e 。( 1 + a 。) 。n l 一( 1 一k ) a 。e 。一l ( l + 1 ) d ：p 一( 2 一k ) a ：1 lz 。一t x 。i i 由刘8 3 的定理2 可知 | | z 。一t x 。0 ( l + 1 ) “ 由( 1 ) 式得 ( 2 一k ) a ：i | z 。一t x 。i l ( 1 + ) p 。+ 1 一( 1 一k ) e 。 由( 3 ) 知 所以 即 一l ( l + 1 ) 口：p 一e 。 ( 2 一k ) a i | | z 。一t x 。| | ( 2 一k ) ( l + 1 ) e 。 ，址坠坐；辛 型“ 钆，生坠坐箨岩尘型“ _ 1 一坠等k e 1 一坠掣k e 1 一r 旱瓦( 矗一( l + 2 ) 吒) 岛 因为再k - - 瓦r 所以最 女一( l + 2 地 惫 代人( 4 ) 式可得不等式 2 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 钆t ( 1 一惫k 令 以= i _ 竿， 明显o b 。 l ，且以c 以峨( o ，1 ) 上面不等式( 5 ) 可化为形式 l iz 。+ 。一ql i ( 1 6 。) 1 1z 。ql i ( 1 6 。) ( 1 一b 1 ) 8z i qf f 一( 1 6 ，) i | z 1 一q l 一声一善6 ，8z 。一g 忆 因为 6 ，一o 。所以e 。p 耋一0当( 。o 。时) j ：l 这样，当n 一。时，z 。一q ，q 是t 的不动点。 此处 当 一争书时，序列 。 。的收敛速度估计为 l 靠+ 。一gf f 矿z 【一gf f ( 5 ) 一：一，叫一，一盎一，群锩 特别地，我们可以令 7 一砉，j d 一风：= 1 一面_ 。 上文所取的序列( 虬h e w 满足o 砉 ，与盯r 一与b n 6 “定理，及其推 论中所构造的序列 k ”，。 吒瓦了1 簧主比较，本文的取值范围宽 松，在一定程度推广 9 的结果。从上面的结果可看到，本文的收敛速度估计比前面作 者的结果更精确。这也反应出参数对收敛速度估计的影响作用。 下面研究若空间x 致光滑，k 为有界用凸子集，丁是严格伪压缩映象，参数取几 类特殊实序列，迭代序列的收敛性和收敛速度如何。 设x 是实b a n a c h 空间，若它的光滑模p x ( r ) ： f i x ( r ) ：一s u p i iz + 了l | + 【lz y1 1 1 2 一l ：i l3 t i l 一1 ，i lyl | r 满足f i x ( r ) r o ( r 一0 ) ，x 称为一致光滑的。对实数0 0 是常数，b a n a c h 空间x 称为p 一致光滑的。z e n g 在文 1 0 中证明 引理k 蜘 设c 是p 一致光滑b a n a c h 空间x ( 1 p 2 ) 的非空有界闭凸子集， t ：c c 是l i p s c h i z t 严格伪压缩映象，且有l i p s c h i t z 常数l 。如果 ) 品。与 卢。 器。都 是 o 。1 中实数列，且满足 ( 1 ) y 吒一。，l i m a 。一0 ：= j ( 2 ) 当1 o ) ( 6 ) 其中k 一( 一1 ) f 且t ( 1 ，o 。) ，d ， 0 是常数。则对每个z o c ，l s h i k a w a 序列 z 。) 强收敛到丁的唯一不动点q 。 曾 ”1 证明了符合上述条件的参数得到的迭代序列收敛，但是并没有给出计算方 便的收敛速度估计。根据第二节的讨论结果，下面讨论的迭代参数我们考虑以下二种 类型( i ) 鲁) 型，( ( ( 去) ) 型，( + ) ，得到的结论是下列几个定理。 定理4 1设k 是p 一致光滑b a n a c h 空间( 1 p 2 ) 的非空有界闭凸子集，丁： k k 是l i p s c h i t z 严格伪压缩算子，如果 ) 暑。与 成 ：。是 o ，1 中实数列，且满足 ( 1 ) 一。，l i m a 。一0 0 一” ( 2 ) o 成m i n ( 7 ，t p ) ，0 7 o ，则 i iz 。+ 。一qi i 一一o ( n 1 - ) 8 ，o 目 1 ， - 2 5 1 户厄时，口= 吾一厄；4 y p 2 时，口一丢；户一2 时，目一 证明 根据z e n g 1 0 1 定理k ，满足定理k 中条件( 1 ) ( 2 ) 的参数，卢。，i s h i k a w 日迭 代序列 z 。) 收敛，以下是z e n g 1 0 3 定理k 的结论： 当1 p 2 时， 刊憾k 卅知一坐竽嘻洲l x , , ，- - q ” 其中，k 为常数。0 k 1 当p 一2 时， z ，+ l q e x p ( 一( 1 由于a n o 。，所以推得 z 。) 强收敛到g 。 # 一o 口i l p 根据本定理条件( 1 ) ( 2 ) ， z 。) 显然强收敛于g ，q 为丁的唯一不动点。 下面计算收敛速度。 若一音， ( c 为常数) ( i ) l 户厄时，p 一型掣一户一1 ， l k ( p 1 ) 一- - 1 2 ( p 一1 ) 2 厄一号 x n + l q 户( ( 厄一 则“一q ”一。( ，其中n 一号一厄 ) 当厄 户 z 时，户一半一声一护， 且o 户一 厄一1 ，一l k ( p i 1 一l ( p i 1 户2 ) 2 一吉( 令户一 j r2 2 2 6 ( 7 ) 晰 口 。刚 m f+拧 g 幻 口 。刚 则 g 一 z 1 j d 。m 3 2 i e x p ( - - i 1 蚤ma ，) i i x n - - qi i 则i iz 。qi i 一一o ( 丢) 6 ，其中6 一丢 ( i 1 1 ) 当户一2 时，k ( 1 一 ) 一i 1 ， 则【| z 。+ 一口i i ，= 。( 去) 。，其中d 一 ( 8 ) 由上可知i iz 一一g1 1 一o ( 音) 8 ，其中0 分别取n ，6 ，d 。 回顾定理2 2 与4 1 可知下面结论成立。 定理4 2 其它叙述如定理4 1 若一k ( k 。，女为常数) ，a 。= 屯一一瓦1 一丢， 则 + 。一g 一o ( 1 w , l 户厄时，毋一号一厄；厄 声 2 时 口一吉，户一2 时，口一丢 若考虑另一种类型的参数则有： 定理4 3设p 一致光滑b a n a c h 空间( 1 p 2 ) 中，k 是非空有界闭凸子集 t ：k k 是l i p s c h i t z 严格伪压缩算子，如果实数列 钆) ， 成) 满足下列条件： ( 1 ) 0 口。 1 ，0 9 。m i r a ( 口，t p ) ，0 7 o ，则 咒 i l ，一口1 1 一一o ( 刍) ， l 户2 时，口一号一2 厄 户 2 时，口一吉 户一2 时刀一 证明：由第二节讨论的结果可知，7 2 , _ 1 ：一。，得收敛性显然成立。 一1 、，n 把 塞_ 1 ：a 厶代入( 7 ) ( 8 ) ，得 1 户厄时，i i 坼一qi i 一e e x 户( 厄一百3 ) i iz 。gi i ， 所以 当m 一。时，i iz 。一gi i 一一。( 吉) 疗， 厄