（信号与信息处理专业论文）自适应字典压缩感知模型及其在mri成像中的应用.pdf

自适应字典压缩感知模型及其在躲i 成像中的应用 摘要 磁共振成像( m a 弘娟cr e s o m n c eh a g i n g ，m r j ) 作为医学影像的一个重要 部分，具有无辐射、多平面成像、扫描参数多、提供病理生理信息多、软组织对 比分辨率高等优点，已成为临床诊断和医学科研的一种十分重要的检测手段。然 而由于成像设备本身及成像方式等多种因素的影响，常规的m r 成像时间较长， 这一点会影响诊疗效果；另一方面被成像者的运动和其他生理性运动也会导致成 像质量下降。m r i 的数据采集是顺序进行的，其成像时间与采集的数据量之间成 一定的比例关系。因而研究部分k 空间数据( 即仅采集部分数据) 重建方法，以 保证成像质量的前提下提高m r i 成像速度具有重要的理论与实际应用价值。 压缩传感( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 理论是新近提出的一种非线性信 号采样理论，该理论指出可压缩信号可由远低于采样定理要求的数据量，利用信 号的稀疏性等先验知识通过非线性重建方法有效重建。该理论为部分k 空间数据 重建指明了方向。论文在c s 理论框架下，深入研究m r 图像的稀疏先验知识，提 出一种综合多种先验知识的部分k 空间数据重建方法。论文的主要研究内容与成 果如下： 1 针对现有基于优化的自适应字典学习方法难以自动确定稀疏度、噪声方差 或重构残差等参数，论文提出一种基于s p i k e s l a b 稀疏先验的非参数贝叶斯自 适应字典稀疏表示方法，并将其应用于m r 图像去噪领域。相关实验表明，基于 自适应字典稀疏表示方法的躲图像去噪算法可获得更优的去噪效果。另外，该 去噪方法可自适应确定信号噪声方差及信号的稀疏度，这对于基于c s 的部分k 空间数据重建具有重要的意义。 2 针对m r 图像同时满足小波等解析字典稀疏和图像块自适应字典稀疏两种 特性，论文提出一种综合利用图像块稀疏和全局稀疏两种先验信息的部分k 空间 数据重建框架。在此框架下，依据所用先验信息的不同分别给出三种重建模型： 1 ) 利用基于b e t a 过程的b a y e s i a n 稀疏表示模型对图像块的稀疏性进行建 模，并结合部分k 空间数据实现图像重建( b p r e c ) 。相比于其他基于块稀疏的 重建方法，b p r e c 模型具有同时实现局部块估计、稀疏字典学习、噪声估计等优 点： 2 ) 利用广义高斯分布( g g d ) 对图像的小波变换系数建模，并与b p r e c 相结 摘要 合，构建b p r e c + w a v e l e t 混合重建模型，以实现对重建图像的小波域稀疏与图像 块自适应字典域稀疏的双重约束。 3 ) 利用总体变差函数( t v ) 对图像整体的分片光滑性进行约束，并将其与 b p r e c 对图像块稀疏性的约束相结合，构建b p r e c + t v 混合重建模型。 针对上述三种模型，论文分别给出基于增强拉格朗日方法的优化算法，该算法首 先分别利用图像的先验约束得到初步的重建估计值，其次结合部分k 空间数据利 用最小二乘方法对初步的重建估计值更新，算法收敛时得到的估计值即为m r 的 最终重建图像。 大量实验表明论文所提的三种重建算法对不同的图像，不同的采样率情况下 都可以比经典的c s m r i 方法的重建结果p s n r 提高5 1 0 d b 。 关键词：磁共振成像；压缩传感；全局稀疏先验；块稀疏先验；b e t a 过程；b a y e s i a n 稀疏表示；广义高斯分布 自适应字典压缩感知模型及其在脉i 成像中的应用 a s 距i i n p o i r t a n tp 砥o fm e d i c a lh n a g i n g ，m a 弘e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ( m r d h 弱b e c o m eav e 巧呻0 i t 锄tm e d i c a lt e s t ，b e c a u s eo fi t sn o n - r a d i a t i o 玛m u h i p l a n i m a g i i l g ，s c 锄1 1 i ：n gm a l l yp a 姗e t e 璐t 0p r 0 、，i d ep a _ c hp h y s i o l o 西c a li n f o m l a t i o na n d m o r ca d v a n t a g e so fs o r t i s s i l ec o l m 嘁r e s 0 l u t i o i l ，c l i l l i c a lm ds c i e n 6 f i cr e s e a r c h h o w e v e r ，d u et 0m a n y 白c t o r so fi i i l a g i i l gd e v i c ea n di m a 西n gi n o d a l i t i e s ，c o n v e n t i o n a l m ri m a g i i l gs u 嫌淞s l o wi i i l a g i l l gs p e e da n d “si n n u e n c e st l l ec l i n i c a lr e s u l t s ，0 nt 1 1 e o t h 盯k m d ，p a t i 即t s m o v 锄e n t 锄do m e rp h y s i o l o 百c a ll n o v e m e n tg r e a t l yi n f l u e t i c e i m a g eq u a l 吼m f u a c q m s i t i o ni sc 硎e do u ti l ls e q u e n c e ，a n dt 1 1 e r ei sp r o p o n i o n a l r e l a 吐o n s h i pb e t w e e nm ei l l l a g i n gt i l l l ea n dt h e 锄0 u n to fd a t ac o l l e c 砌，t h e r e f o r e ，“ h 弱i n 即r t 锄t t 1 1 e o r e t i c a l 锄dp r a c t i c a lv a l u et 0s m d y p 枷a lk s p a c ed a t a r c ：c ( n s t l l t i o nm e t h o di no r d e rt 0e n s u r et l l ep r 锄i s eo fi l i l p r o v i n gt l l ei m a g i l l g q u a l 时o fm r ii m a 勘gs p e e d c 伽叩r e s s e ds e l l s i l l g ( c s ) i sai 跚n o n h n e 盯s i 盟a 1s a l p l i n gm e 0 雒dt h i st 1 1 e o 巧 d e l l o t et l l a tc o m p r e s s i b l es i 印a lc a nb er e c o n s 们l c t e du n d e rl e s sd a t a 也纽t h a tr e q l l i r e d b ys a m p l i n gt l l e o r y ，w h e nt a k i n ga d v a n t a g eo fs p a r s ep 五0 r 锄dn 0 i l l i i l e 盯m e t h o d c o m p r e s s e ds e n s i n gm e o r yg u a r a n t e et 1 1 er e c o n s 加l c d o nf 0 rp a n i a lk s p a c ed a t a i i l t l l i sp a p e r ，w ef i r s tu s ec o m p r c s s e ds e n s i n gf h m e 、v o r kt 0s t i l d ym ri m a g e ss p a r s e p 凼ra n d 也e np r o p o s eac 0 m p r c h e 璐i v es p a r s ep r i o rr 。c o l l s 仇l c 娃o n 础df o rp a r t i a l k - s p a c e t h em 血r e s e a r c hc o m 咖sa n d 删t s 眦舔f 0 u o w s ： 1 b 髂e d 吼s p i k e s l a bs p a r s e 面0 r w ef i r s t l yp r o p 0 a n p 觚啪e t r i cb a y e s i a n s p 粥e 唧r c s 觚0 nm c t l l o dt os o l v e 位p r o b l e m m a t0 p t i l l 血a t i o nm e 砌b 舔e d o na d a p d v ed i c t i o m d rl e a m 岫哆i sm m c i l l tt oa u t ( 腿a t i c a l l yd e t e n n i ：嘴t h e p 觚曲e t e r so f l es p a r s i 劬n o i s ev 撕锄c e ，o rr c c o n s 仃u c t i o nr e s i d u a l sa n d 岫 a p p l y仳sm e n t o dt om ri i i l a g ed e i l o i s i n g e x p e m l e n t a l r e s u l t sh a v e d 锄o i l s 蹴c dp r o l 砷s c dm e d0 b t a i n sb 甜e rd d i s i i l ge 腩c t i na d d t i o 玛 a u t o m a t i c a ld c t e r m i n a t i o no ft l l es p a r s “ya i l d l l o i s ev a r i a i l c eh a v e 黟e a t s i 嘶f i c a n c ef o rp a n i a lk s p a c ed a t ar e c o 璐t m c t i o nm 劬0 db a s e d0 nt h ec s t 1 1 e o a b s t r a c t 2 a sm ri n l a g e ss i i n l l l t 锄e o u s l ys 撕s f i e s 铆os p 鹕毋c h a r a c t 耐s t i c s ，o mi s 锄a l l ”i c a ld i c t i o n a d ，s u c h 笛w a v e l e t 锄d l eo t l l e ri sa d a p t i v ed i c t i o n a d ，b 部e d 蚀 i i i l a g ep a t c l l s m 也i sp a p w ep r o p o s eag e n e r a lp a n i a lk - s p a c er e c o n s 仇l c t i o n 舶m e w o r kw l l i c hu s eb o 也i i n a g e w i s ea n dp a t c h - w i s es p a r s ep r i o r 锄dt l l e i lu n d e r p r 0 1 ) o s e d 觑旺e w o r kw ed e v e l o pt l l r e ep a r t i a lk s p a c er e c o 船加c t i o nm o d e l sb y a p p l y i n gd i 伍翻跚tp r i o ri n f o m a t i o n 1 ) w b f i l l s tu s eb a y e s i 觚s p a r s ec o d i n gm c 廿1 0 dw 池b e t a p r o c e s sp r i o rt 0m o d e l i 1 i l a g ep a t c ha n dt h e nr e c o 邶劬c tm ri l i l a g ew i mk s p a c ed a t a p r o p o s e d b p r e cm o d e li s s 证m l t a n e o u s l ya b l et 0 e s t i m a t e1 0 c a lp a t c h 粗dn o i s e v a r i a n c e 觚da d a p tt o d i c t i o n a 叮l e 蛐g ，w h e nc o m p a r e d t 0o t h e r r e c o n s 仇】c t i o nm e m o dw i t l lp a t c h - w i s ep r i o r 2 )w e 抵d u em eg g dp r i o rt 0m o d e l 雠w a v e l e tc o e 伍c i e n t s 锄dm e i l c 伽曲mm eg g d 研o rw i mb p r o cm o d e lt 0p r o p o s eab p r e c + w a v e l e t i n i ) 【仇l em o d e l n l i sm o d e la c h i e v ed o u b l ec o n s 仃a 砬b yc 0 船i d e 血gt l l e s p a r s 时o f w a v e l e tc o e m c i e n t sa n d ：i n l a g ep a t c l l s 3 ) w r e 印p l yt 0 协lv 撕a t i o n ( 1 、厂) p r i o rt 0r e s t r i c ts l i c e 毗啪t h i l e s sc h a 怕c t e r i s t i c s o f l ei m a g ea n dm c o m b i l l et 1 1 et v p r i o rw i mb p r e cm o d e lt op r o p o s ea b p r e c f - t vm i ) 【臼n l em o d e l f 0 ra d d r e s s i i l gt 1 1 et h r e em o d e l s ，w ep r o v i d et h ea u 鲫t e dl a g r a n 酉孤 n 眦缸c a la l g o r i 恤l sr e s p e c t i v e l y f i r s n y ，1 h ea l g o r i t h m0 b t a i n sp 池a d ，e s 血a t i o n b yd i f j f ：酹e n ts p a r s ep r i o r ；s e c 叽d l y ，c o m b i l l i i l gt l l ek s p a c ed a t at ou p d a t et h ep r i 】m a 拶 e s t i m a 吐o nw i t l ll e a s ts q u a r e f i t t i l 玛，觚dw h 胁m ei t e r a 矗o ne n d s ，t h ep 血a 巧 e s t i l n a 6 0 ni st h er e c o n s 眦t i o nr e s u l t n u m 耐c a le x p e i ：i l n e i 】临a r ec o n d u c t e do ns e v e r a lm r i m a g e sw i 也av a r i e 够o f s 锄叩l i i l g s c h e m e s e x p 池e n t a l r e s u l t sd e m o n s 仃a t el a t p r o p o s e d t i l r e e r e c o n s t m c t i o na l g o r i 廿1 1 1 1 sc 觚毗r e 嬲em e p s n r b y 5 1o d bm a nm ec l a s s i cc s m r i k e yw o r d ：m a 孕l e t i cr e s o n a i l c ei i i l a g i i l g ；c o i n p r e s s e ds e i l s i l l g ；i i n a g e w i s es p a r s e p d o r ；p a t c h w i s es p a r s ep r i o r ；g e l l e r a lg a u s s i 柚d i s t r i b u 6 0 n 绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 人类是通过感知对客观世界进行认识的，感知包括感性认知和理性认 识两个阶段，这两个过程都离不开模拟和数字两个基本量。然而对于数字 系统来讲，系统所处理的数据必须是离散的数字信号，将连续模拟信号转 化为离散信号的过程称为采样。传统的信号采样遵循奈奎斯特采样定理： 要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两 倍。为了对原始信号进行精确重建，就得提高采样频率，使之达到最高频 率的2 倍以上，然而提高采样频率的代价往往是很大的，况且真实的信号 并不是严格带宽有限的。在某些特殊的场合，为了对信号减采样并防止混 叠效应的产生，往往在采样前加入抗混叠滤波器，滤除采样定理要求的带 宽之外的一些“小的能量。 奈奎斯特采样定理一直是数字信号处理领域的基础理论，它支撑着信号 采样、存储、分析处理、传输等每一个过程。然而随着人们对高效处理速 度和更多存储空间的需求，奎斯特定理在数据采样上的缺陷日益凸显。由 传统的信号传输模型可知，在采样量化后，为了对采集的信号做进一步的 处理，需要对离散后的信号做去除冗余的处理。例如在视频传输的过程中， 往往采取运动估计、运动补偿、变换编码等技术去除视频图像在时间和空 间上的冗余，以减少传输带宽，提高传输效率。也就是说，按照奈奎斯特 定理采集数据，获得的数据本身存在较大的冗余性，这就导致了采样的数 据本身并不是全部有效的。既然传统的采集定理开始遭遇瓶颈，那么是否 存在新的信号采集方法，使得在欠采样的情况下，仍然能够精确重建信号。 近年来一个新的研究成果c o m p r e s s i v es e n s i n g ( c s ) 从理论上证 明了欠采样下的信号重建是可行的。压缩传感是从信号的稀疏假设出发， 利用随机传感矩阵获取测量数据，通过构造目标函数，利用优化或者贝叶 斯等方法重建原始信号。 1 2 压缩感知理论研究现状 压缩感知( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 首先是由e c a n d e s 、j r 伽b e r g 、 t t a o 和d d o n o h o 等科学家于2 0 0 4 年提出的。压缩感知理论一经提出， 自适应字典压缩感知模型及其在m r i 成像中的应用 就引起学术界和工业的界的广泛关注，在信息论、图像处理、光学微波成 像、大气、地质等领域得到广泛应用，并被美国科技评论评为2 0 0 7 年度十 大科技进展。 c s 理论经过几年的发展已形成了分布c s 理论( b a r o n 等提出) 、卜b i t c s 理论( b a r a n n i u k 等人提出) 、b c s 理论( c a r i n 等提出) 、无限维c s 理论( e l a d 等人提出) 等，这些新理论为应用数学和工程理论的发展注入 了新的活力。为了进一步研究c s 理论，国外许多知名大学( 例如，麻省理 工学院，斯坦福大学，普林斯顿大学，莱斯大学，杜克大学，慕尼黑工业大 学，爱丁堡大学，等等) 已成立专门的c s 课题组；2 0 0 8 年西雅图i n t e l ， 贝尔实验室，g o o g l e 等知名公司也开始组织研究c s ；国内关于c s 理论的 研究也已经拉开序幕，中科院电子所、燕山大学、华南理工大学、北京交 通大学等单位的研究小组已经开始着手c s 理论的研究，本人母校厦门大学 相关院系的c s 课题研究组也已经成立，相信在不久的将来会有更多的学者 加入到c s 研究的行列中。 1 2 1 压缩感知的应用 在c s 理论的推动下，传统的信息理论、图像处理、模式识别、数据分 析等分支学科又迎来了新一轮的发展。运用压缩感知原理，r i c e 大学率先 研制出了单像素照相机。这种相机突破了传统相机先采样后压缩的限制， 它采集的是通过传感矩阵映射的低维数据而每一个低维的数据都包含整幅 图像的信息，这就为低像素相机拍高质量的照片提供了可能；在认知无线 电方向，压缩感知方法可以用较低的频率获得欠采样下宽带谱的随机样本， 然后在终端的处理器上估计出宽带谱感知结果，这大大克服了以前用高采 样率和多射频前端所带来的缺陷；在医学领域，特别是在磁共振成像领域， c s 理论受到了极大的关注。 磁共振成像( m a 印甜cr e s o n a n c eh i l a 垂n g ) 简称m r j ，核磁共振完全不同于 传统的x 线和c t ，它是一种生物磁自旋成像技术，利用人体中的遍布全身的氢 原子在外加的强磁场内受到射频脉冲的激发，产生核磁共振现象，经过空间编码 技术，用探测器检测并接受核磁共振信号，输入计算机，经过数据处理转换，最 后将人体各组织的形态形成图像，以作诊断。 2 绪论 m r j 是利用磁场共振原理成像，与传统的x 线和c t 相比，它无电离辐射， 对人体的伤害小；它能够直接扫描出器官的横断面，管状面等各种体层的图像， 这避免了许多以往因手术前诊断不明而不得不进行的开颅、开胸、开腹探查，使 病人避免了不必要的手术痛苦以及探查性手术所带来的副损伤及并发症。由于核 磁共振的自身成像特点，它能给医生提供更加清晰、精细、分辨率高、对比度好、 息量大的人体结构医学图像。所以它一出现就受到临床医生的欢迎，目前已普遍 应用于临床，已成为一些疾病诊断必不可少的检查手段。 综上所述，m r j 具有无辐射，多平面成像，扫描参数多，提供病理信息多， 软组织对比分辨率高等优点，然而m 黜的不足之处就在于成像速度慢，人在测 试过程中必须保持静止状态，轻微的运动容易使成像过程中产生伪影，影响临床 的诊断。随着临床对器官动态成像需求的提高，动态m r j 技术应运而生，这项 技术目前主要用于监测、捕捉运动器官的动态过程，例如心脏的收缩，胃部的蠕 动。动态m r j 是以时空分辨率作为关键的技术指标，因为高分辨的医学图像有j 利用观测、统计运动目标的活动特性，能更好的为临床诊断提供准确的参考。然 而，由于物理和生理方面的限制，现有的动态m r j 技术在时空分辨上难以到达 令人满意的水平。因此在m 的实际应用中，如何在不改变现有硬件设备的基础 上，快速地获得更高时空分辨率的腿图像就成为了一个急需解决的重要问题， 而c s 理论的引入将有助于解决上述问题。 1 2 2 压缩感知在核磁共振成像中的研究现状 目前为止，在m r i 领域c s 理论已经取得的了令人瞩目的成绩。m l u s t i g ， d l d o n o h o 等人是研究豫图像的空间冗余、变换域稀疏，变密度采样的 先驱者，他们率先利用m r 图像在小波域的稀疏性和空间域的变分性约束， 将c s 理论成功应用于心脏成像、脑成像、快速三维血管造影等n 1 ( c s m r i ) ， 并取得良好的重建效果。在m l u s t i g 等人的研究基础上，后人利用级联 基底、s m o o t h e dl o 、c o n t o u r l e t 变换等逼近方法对m r 在变换域的稀疏进 一步改进幢1 ，m r 图像的重建的效果得到进一步提高。随着c s 理论的发展， 基于块稀疏的研究方法也被提出，k d a b o v 等在对局部块相似性研究的基础 上，提出了一种新的块匹配重建算法n 1 ，a k c a k a y a m 利用块匹配的重建算 法对中心采样的心脏图片进行重建，并实现了在4 倍下采样的m r 图像的精 自适应字典压缩感知模型及其在m r i 成像中的应用 确重建n 1 ( l o s t ) ；e 1 a d 等首先提出一种基于块稀疏的c s 重建方法拍1 ， r a v i s h a n k a r 等人利用k s v d 思想，提出一种基于自适应字典学习的m r 重 建算法d l m r i 抽1 。在相同测量数据的基础上，d l m r i 的效果比l u s t i g 等人的 方法，p s n r 提高了4 1 8 d b ，并且在同等重建精度的情况下，d l m r i 方法需 要更少的重建数据。在动态m r i 领域，韩国的h j u n g 等将稀疏逼近算法 f o c u s s 方法拓展到连续帧的m r i 重建 1 ，进一步利用运动估计、运动补偿 的方法对连续帧的时空特性进行研究，并在理论上将经典的k t b 1 a s t s e n s e 等方法统一在其k tf o c u s s 框架下；u g a m p e r 等利用心脏 等图像在时间维度的连续性，深入的挖掘时间轴方向的稀疏性，将c s 理论 成功运用于动态m r i 成像，并取得了明显优于经典的k tb l a s t 方法的效 果；国内，基于c s 理论的m r 图像重建研究也初见成效，燕山大学的研究 小组用l p ( o p 1 ) 范数代替常用的l 1 范数作为目标函数，重建的性能得到 进一步提高；而在医学图像的后处理方面，南方医科大学的陈武凡教授、 中科院自动化所蒋田仔教授、清华大学的胡广书教授等课题做都开展了卓 有成效的研究；本人所在实验室课题组对m r 图像的稀疏性、重建算法等方 面也进行了深入探索。总体而言，目前基于c s 理论的m r 重建应用还处于 发展阶段，基于全局稀疏约束的m r 重建方法上已取得较大的突破n 一1 ，相对 而言基于局部块相似的研究才刚刚起步，传统的全局分析变换( 如小波、 d c t ) 对图像结构信息的捕获是有限的，新的研究方法应该从图像自身的结 构信息出发，考虑如何从图像本身提取有效的结构信息。现有的基于局部 块重建的方法主要有l o s p l 和d l m r i 伯1 方法，这两种方法也都存在潜在的缺 陷：l o s t 方法重建中，噪声阈值往往是难以估计的，而在d l m r i 中，重建 的效果很大程度上依赖局部块的稀疏度，而这个稀疏度往往是未知的，另 一方面，在某些特定情况下需要对噪声的方差进行估计，前面的两种方法 都不能从理论上给出噪声方差估计的方法。总结前人的工作，要获得更好 的m r 图像重建效果，就要综合考虑全局稀疏性、块局部相似性、白适应字 典算法等方面的因素，并利用压缩传感理论解决m r 成像过程中时空分辨率 难以兼顾的难题。 1 3 论文主要内容和结构 4 绪论 论文首先将介绍c s 理论的基本框架，对c s 理论的三个基本组成进行分 析，重点介绍c s 的重构算法。随后论文将重点论述一种基于s p i k e s l a b 稀 疏先验的自适应字典重建方法，并进一步拓展其应用。在自适应字典学习 算法的基础上，综合m r i 的全局稀疏和局部相似性，提出一种基于综合先验 的m r 重建框架，在此框架下，本文将提出三种解决方案。论文的具体安排 如下： 第一章介绍了压缩感知提出的背景，压缩传感的研究现状，在压缩传 感的具体应用中，重点介绍了m r i 技术面临的技术难题和c s 理论在m r i 成像 过程中起到的关键作用。 第二章首先从数学上给出压缩感知的定义、压缩感知的数学模型及其 解决方法，然后分别阐述压缩感知构成的三个部分即：信号的稀疏性，传 感矩阵的设计和重建算法，其中重点阐述几类常见的稀疏重建算法和他们 的发展历程。 第三章本文首先提出一种基于s p i k e s l a b 稀疏先验的非参数贝叶斯 自适应字典重建方法，文章将重点描述模型的建立过程和求解方法，其次 本文将该方法应用到m r 去噪领域，与前人的方法对比，本文提出的方法都 能够取得较好的去噪效果。 第四章文章将综合块稀疏和全局稀疏先验，提出m r 图像下采样重建 的一般框架。 1 为了求解本文提出的框架问题，本文首先引入非参数的b e t a 过程对图像的块 稀疏进行建模，提出了初步的局部先验的重建算法b p 。 2 针对全局变换特性，本文利用经典的g g d 先验描述变换域稀疏系数的性质， 提出了m r 的重建算法b p + w a v e l e t 。 3 为了更有效的提取保持胀边缘特性，本文利用图像全局的，i v 作为全局稀 疏先验，提出了本文框架的重建算法b p + 1 v ，通过实验证明本文提出的三种重 建算法在不同图像，不同采样率的情况下都可以获得良好的胍重建效果。 第五章是结束语，回顾总结论文的工作，指出进一步的研究方向。 最后是参考文献和致谢。 自适应字典压缩感知模型及其在m r i 成像中的应用 第二章压缩感知理论 2 1 压缩感知理论的基础 压缩感知理论主要包含三方面的内容：稀疏分解、压缩编码和信号重 建三个步骤： 假设未知信号m r 是一个稀疏信号或者一个可压缩信号，那么就存在一 个变换矩阵或者变换算子y ，使得原始信号所为y 的一组线性组合即： 朋= q ，系数向量口中有k 个非零系数或者仅有k 个较重要系数，则k 称 ，i l 为信号柳在基底沙下的稀疏度，且稀疏度k 。 利用上述变换，信号掰在新的表示空间下有新的表达形式，而为了进一步获 得压缩传感的观测信号，就需要设计一个下采样矩阵( 也称传感矩阵) 西舻，m ，为了保证采集数据的有效性，传感矩阵应与变换基底少应 尽量不相干。经过传感矩阵投影，可获得测量信号y = 口= 西旷1 朋，y r 这 一过程完成了信号的采样和压缩，测量信号y 是一低维度的测量信号，但测量信 号y 中的每一个元素都包含了未知信号的全局信息，因此这一过程也称为压缩编 码过程( 图2 1 ) 。 田 sy 。_ = n i k 一稀绒 哪啦 日 图2 1 压缩编码过程 利用测量数据重建原始信号的过程称为解码过程或者稀疏重建，由前 面信号的测量方程可知，y = 西沙- 1 朋，而 f ，- 1 r 胁是一个不可逆的矩阵， 且观测数据的维度远小于方程的个数，上述方程有无数解，但根据信号的 稀疏假设，信号在少下是足稀疏的，根据这个先验假设约束，可将信号的重 6 压缩感知理论 建问题转化为带约束的优化问题： l 靠刀0 y 1 研l l 。 s j y = y - 1 m ( 2 1 ) 4 | j o 为厶范数，它描述的是旷1 脚中的非零元素个数，通过厶范数的约束， 求解优化问题可以得到原始信号的估计值m 。 上面对压缩感知的内容做了初步论述，在接下来的小节中，论文将对 压缩感知的三个重要组成部分做深入的分析与探讨。 2 2 信号的稀疏表示 稀疏的概念最早是用在矩阵论中，它用于定义某一类矩阵的特殊性质， 由于这类矩阵的非零元素少，在矩阵处理时，只需要对非零元素进行处理， 例如矩阵的四则运算、矩阵存储传输等，随着现代信号处理的发展，人们 在研究中发现，实际信号在某一个变换域也表现出类似的稀疏特性。 2 2 1 信号的稀疏性 考虑一个有限长的一维时间信号坍，可以看作一个r 空间l 维的列 向量，它可以用l 维的基底 ) 墨。的线性组合表示，为了便于描述，这里 认为每一个向量虻都被归一化和正交化，因此原始信号可以被表示为： 朋= 哆= 彬 ( 2 2 ) f _ i 系数矩阵口描述了信号与表示基底之间的相似性，如果信号与基底的相似性 越高则表示系数的幅值的绝对值越大，相反则表示系数的绝对值越小，大 多数甚至为0 。当矩阵口中的非零元素或者较大系数个数k 远远小于口的维 度时，则认为信号m 在基底下是稀疏的，并且称非零元素个数k 为信 号的稀疏度，这个值是信号稀疏分解中一个很重要的参数，在实际情况中 往往是未知的，需要根据实际情况事先设定或者给出估计方法。 信号的稀疏性表明，经过变换后原始信号可以用一系列的稀疏系数表 示，也就是说如果可以确定原始信号在表示空间的稀疏度、稀疏系数的幅 值大小、稀疏系数的位置，那么原始信号就可以用稀疏信号精确重建，这 也是传统压缩系统的基本思想。压缩传感与传统的压缩方法的最重要的区 7 自适应字典压缩感知模型及其在m r i 成像中的应用 别在于它将采样过程和压缩过程统一到一个框架下；压缩感知获得的测量 信号不是前面提及到的稀疏数据的个数、非零元素的位置以及它们的幅值， 而是对稀疏系数的随机投影。获得的每一个投影元素都包含了原始信号的 所有信息，因此压缩传感获取的测量信号每一个都具有同等的重要性，也 就是说即使丢失任何一个测量数据，也不会对其他的数据造成影响，所以 压缩传感的测量数据对噪声和信息丢失有较强的鲁棒性。 信号的稀疏性是c s 最基本的条件，那么为什么c s 理论一定要求信号是 稀疏的? 压缩感知理论指出：假设一个维信号在变换域的稀疏度为k ， 采样数据的维度为m ，m ，如果采样矩阵与变换基底沙满足不相干的 条件，只要采样的维度m 满足m c k 肠叠耳，那么理论上就可以对 原始信号精确重建。这里的c 是一个正常数，上面的定理表明，信号的精确 重构程度很大程度依赖于稀疏度k ，而k 的值是不确定的；在不同的稀疏分 解空间获得的足值往往是不同的，那么如何寻求更好的稀疏表示空间让稀 疏度k 最小，就成为c s 理论研究的另一个重要的问题。 2 2 2 稀疏表示 信号的稀疏表示方法已经成为信号分析理论的一个研究热点，而最早 的信号分析方法是法国科学家f o u r i e r 提出的傅里叶变换。傅里叶变换的最 基本思想就是利用变换的方式将信号时间域特性转化为频谱特性，这种变 换的思想给后来的信号分析理论的发展带来了深远的影响。 傅里叶变换是用一组正交离散信号构成基底，原始信号可以用这组基 底线性表示，这是最早用基底的概念分解原始信号。然而傅里叶变换用正 弦作为基底主要存在两方面的不足： 1 它将原始信号全部映射到频谱空间，获得了最精确的频谱分辨率，却牺 牲了信号所有的时间分辨率。 2 它利用正弦信号来逼近原始信号，而正弦信号与原始信号的相似程度比 较低，尤其是针对图像信号而言。 因此一般的实信号在傅里叶空间下的分解系数都不是稀疏的。 为了克服傅里叶变换的第一个缺点，g a b o r 提出了窗口傅里叶变换 ( g a b o r 变换) 。g a b o r 变换是一种改进的傅里叶变换，它利用在时域加时间 8 压缩感知理论 窗口，在每一个窗口中进行傅里叶变换，因此g a b o r 变换具有一定的时间分 辨率，分辨率的精度主要取决于时间片的宽度，对于整个信号而言时间窗 口宽度是不变的，因此整个信号的时间分辨率是恒定的。然而在实际应用 中，信号的低频特性往往需要一个较长的时间才能体现出来，而信号的高 频特性则需要较短的时间才能更好的保证其精度，因此为了更好的匹配信 号的不同频率特性，时间窗口的选取应取决于信号频率的变化。 小波就是为了更好的适应信号频率变化发展起来的，它克服了g a b o r 变 换恒定时间窗口的缺陷，具有多尺度的时频特性，因此它被广泛的应用于 信号处理领域，尤其是图像处理领域。文章前面提及傅里叶变换是将正弦 作为信号分解的基底，而小波是利用一维有界变差函数作为空间基底，因 此它对点状奇异特性的信号有最佳的逼近效果，可以获得最稀疏的分解系 数，然而自然图像往往是由平滑区、纹理区和边缘区构成，小波对二维图 像的线状奇异特性逼近性能是有限的( 图2 2 ) ，因此不能简单的将小波应用 到二维图像的分解中。 聪&蠡 割扛 貉 图2 2 小波分解造成图像边缘的扩散 为了更好韵对图像进行稀疏表示，首先要研究图像具有的普遍特性， 通过研究表明，人能够快速的识别不同的图像得益于人眼视觉能够从图像 中获取关键信号，这相当于人眼对图像的特征提取。o l s h a u s e n 等人通过研 究自然图像的成像模型和人眼视觉系统阳1 ，提出了最优的图像变换应该具有 如下特征：多分辨率、局部性、方向性和各向异性；其中多分辨率是指图 像的带通特性；局部性是指基底函数在空域和频域都只表现图像局部特性： 方向性是指：基函数应该具有不同的方向，能够在多尺度下进行分解；各 向异性是指：基函数应该具有不同的形状，不同的形状能够更好的逼近真 实图像的轮廓，有利于稀疏表示。多尺度几何分析方法就是在基于上述研 究的基础上提出的，它很好的克服了小波变换的不足，针对高维信号，多 函 自适应字典压缩感知模型及其在m r i 成像中的应用 尺度几何分析方法有更好的逼近效果。 图2 3 二维可分离小波逼迫曲线与多尺度几何分析逼迫曲线 随着多尺度理论的发展，1 9 9 8 年c a n d e s 提出了近似正交的脊函数框架， 脊波函数对直线和超平面状的奇异特性能够很好逼近，为了更好的逼近曲 线奇异性，c a n d e s 又提出了单脊波变换的概念n 引，由于单脊波函数的固定 尺度，导致了信号分解的不稀疏。为了更好的克服单脊波函数变换的缺陷， c a n d e s 在1 9 9 9 年提出了曲波( c u r v e l e t ) 的概念1 ，为了进一步克服脊波变 换的复杂性，在曲波变换的实现上c a n d e s 借助了傅里叶变换的思想，实现 了曲波变换的快速算法。后来d o 等人提出了一种新的几何分析表示方法 c o n t o u r l e t 变换钉，它继承了曲波变换的各向异性的特性( 图2 3 ) ，并利 用更简单的几何图形来逼近图像的线状和线状奇异特性，基于这些优点 c o n t o u r l e t 变换取得了较好的稀疏表示效果。多尺度几何分析方法，重点 研究了图形本身可能存在的边缘、轮廓等奇异特性，而这些特性广泛存在 于自然图形当中，因此多尺度几何分析方法在信号稀疏表示的发展历史上 起到很重要的作用，但这类分析方法主要考虑了图像存在的基本特性，即 对所有的图像具有通用性，然而在实际应用当中，不同的图形具有不同的 ，纹理、轮廓特性，如果只是利用单一的几何曲线逼近，往往达不到最佳的 逼近效果。如果可以把图像既有的特性分别投影到不同的空间，而分解空 间之间是可分的，那么图像的不同纹理轮廓特征就可以在不同的空间得到 灵活的表达，级联基底的超完备字典分析方法就是基于这样的思想。这种 方法综合考虑多种变换形式，能够更有效的提取图像的信息，但级联字典 规模大导致计算效率低，为了克服这个缺点，e 1 a d 等人提出了基于块的自 适应学习的k s v d 算法1 ，c a r i n 等人从贝叶斯的角度的阐述了自适应学习的 稀疏分解方法n 3 1 ，由于k s v d 和贝叶斯稀疏分解方法，既是稀疏分解算法也 l o 压缩感知理论 是重建算法，这两部分内容将会在下面的章节做具体阐述。 2 。2 3 信号稀疏表示方法 1匹配追踪( m a t c hin gp u r s ui t ，m p ) 假设稀疏表示空间可以由一组线性无关的向量d = 似k 面r 肌置张成，且 0 巩哐= 1 ( d 常被成为稀疏表示字典，以称为表示原子) 。利用字典d 对信号 肌尺的稀疏分解过程可以表示为： r m = ( 畋。，r 聊) 叱+ 足m ( 2 3 ) 置朋原始信号经过f 次投影后的残差信号，其中以是能够最好匹配残差信号的 第f 个原子，原子的选择可以利用信号的相关性表示： 丸j j 1 ( r 朋，噍) i = 豁l ( 足m ，氏) i ( 2 4 ) 经过第一次分解以后，可以对剩下的残差信号继续分解： 墨m = ( 噍，墨朋) 矾。+ r 垅 ( 2 5 ) 经过k 次分解以后，原始信号可以表达为表示原子的线性叠加与残差之和： 所= ( 畋，墨聊k + 磁m ( 2 6 ) 由于原子之间的正交性，其残差能量可以表示为： o 磁柳1 1 2 ：2 一芝f ( 丸，r 朋) 1 2 ( 2 7 ) 经过方法的k 次分解后，原始信号可以由两分组成( 2 6 ) ，第一部分表示信号 在原子上的稀疏投影，第二部分表示投影残差，m a l l a t 等人已经给出证明【1 4 】，经 过有限次的迭代后l k 朋| j 2 趋近于o ，且分解次数k 一般远小于原始信号的维度， 因此利用m p 方法可以达到信号稀疏分解的目的。m p 方法是一种信号稀疏分解 方法，同时也是一种信号重建的方法，在重建过程中基于m p 的方法还存在许多 不足，在c s 重建部分我们将进一步讨论。 2 自适应字典方法 前面描述的稀疏分解算法是建立在分解字典d 已知的情况下，在实际应用 中，我们往往无法得知在什么样的表示空间可以得到较好的稀疏系数，因此有人 自适应字典压缩感知模型及其在m r i 成像中的应用 采取了级联字典的方法，希望可以提取信号更多的信息，随着字典规模的增大， 庞大的计算量成为稀疏分解的新问题，为了进一步解决稀疏字典的表示问题和字 典规模太大引起的计算问题，e 1 a d 等人在基于图像块相似性研究的基础上提出了 k - s v d 的方法，该方法很好的克服了上面提及的两个问题。 假设所有滑动块的集合可以表示为x = k 难。薯r 户，稀疏表示字典为d ， 表示系数为口，自适应字典需要解决的问题可