（机械电子工程专业论文）机构运动分析与求解雅可比矩阵的计算机模拟法及应用.pdf

摘要 摘要 雅可比矩阵是描述机构特征的重要参量，是度量机构运动学和动力学 性能的重要指标，它与机构的奇异性及灵巧性分析等有着密切的联系。空 间机构的分析设计较为困难，这是限制空间机构广泛应用的重要原因。目 前普遍采用的解析法求解精度高，但不直观，计算量大，有时还难以建立 相关的解析模型。因此，以找到一种简便通用的方法简化求解过程为目标， 本文提出了求解雅可比和空间机构运动分析的计算机模拟法。 本文研究了计算机模拟法的理论依据和具体的求解步骤。采用c a d 的 几何约束、尺寸约束、尺寸方程和尺寸驱动技术，构造出机构的模拟机构。 用两个相同的模拟机构构造出雅可比模拟机构，添加适当的尺寸约束方程， 求解出该机构的雅可比矩阵。用两个相同且彼此靠近的空间串联机构的模 拟机构，构造出机构的速度模拟机构，求解出空间串联机构的速度；用两 个相同且彼此靠近的速度模拟机构，构造出机构的加速度模拟机构，求解 出空间串联机构的加速度。 以几种典型的平面串、并联机构和空间串联机构为例，求解了机构的 雅可比矩阵，并用解析法进行了验证，给出了两种方法的比较结果。同时， 用计算机模拟法对空间串联机构进行运动分析，求解了机构的速度和加速 度，并用解析法进行了验证。 计算机模拟法具有直观、求解精度高的优点。该方法在求解过程中不 需要建立解析公式，因此不受机构复杂程度的限制，越复杂的机构越能体 现该方法的优点。该方法尤其适用于多自由度复杂机构以及新设计的机构。 关键词雅可比矩阵；运动分析；计算机模拟；几何约束：尺寸驱动 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ej a c o b i a nm a t r i xi sn o to n l ya ni m p o r t a n tp a r a m e t e rf o rd e s c r i b i n gt h e c h a r a c t e r i s t i co f t h em e c h a n i s m s , b u ta l s oa l li m p o r t a n ti n d e xf o rm e a s u r i n gt h e p e r f o r m a n c eo fk i n e m a t i c s a n dd y n a m i c s i th a sc l o s ec o n n e c tw i t ht h e s i n g u l a r i t ya n dd e x t e r i t ya n a l y s i so f t h em e c h a n i s m s t h ea n a l y s i sa n dd e s i g no f s p a t i a lm e c h a n i s m si sd i f f i c u l t ，w h i c hi st h er e a s o nw h y i ti sl i m i t e di nu s e a t p r e s e n t ，t h e 锄l y t i c sw h i c hi su s e dw i d e l yi sh i g ha c c u r a c yb u tn e e d sh u g e c a l c u l a t i o n , a n ds o m e t i m e s i ti sh a r dt oe s t a b l i s ht h er e l a t e dm a t h e m a t i c a l m o d e l s s o ，t of i n dan o v e ls i m p l ea n dc o n v e n i e n tm e t h o dt os i m p l i f yt h e c a l c u l a t i o n , w ep r e s e n tan o v e lc o m p u t e rs i m u l a t i o na p p r o a c ht oc a l c u l a t et h e j a c o b i a nm a t r i xa n da n a l y z et h ek i n e m a t i c so fs p a t i a lm e c h a n i s m s i nt h ep a p e r , t h et h e o r yb a s i sa n dr e a l i z a t i o n s t e p s o ft h e c o m p u t e r s i m u l a t i o na p p r o a c ha r ed i s c u s s e d b yu s i n gt h eg e o m e t r i cc o n s t r a i n t ，t h e d i m e n s i o nc o n s t r a i n t ，t h ed i m e n s i o n e q u a t i o na n dt h ed i m e n s i o nd r i v i n g t e c h n i q u e so fc a d ，t h es i m u l a t i o nm e c h a n i s m sa r ec r e a t e d a f t e rt h a t ，c r e a t e t h ej a c o b i a ns i m u l a t i o nm e c h a n i s m sa n dt h ev e l o c i t ys i m u l a t i o nm e c h a n i s m s w i t ht w oc l o s es a m es i m u l a t i o nm e c h a n i s m s a n da d dc o r r e c td i m e n s i o n c o n s t r a i n te q u a t i o n s ，a n dt h e nt h ej a c o b i a na n dv e l o c i t ya r es o l v e d c r e a t et h e a c c e l e r a t i o ns i m u l a t i o nm e c h a n i s m sw i t ht w oc l o s e v e l o c i t y s i m u l a t i o n m e c h a n i s m s ，a n dt h ea c c e l e r a t i o no f m e c h a n i s m si ss o l v e d t h ej a c o b i a no fs o r n et y p i c a lm e c h a n i s m so fs e r i a la n dp a r a l l e lp l a n a r m e c h a n i s m sa n ds p a t i a ls e r i a lm e c h a n i s m sa r es o l v e db yt h i sm e t h o d w ea l s o c a l c u l a t et h ej a c o b i a nb ya n a l y t i c s ，a n d c o m p a r et h e i rr e s u k s a tl a s t ，t h e v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o no ft h es p a t i a ls e r i a lm e c h a n i s m sa r es o l v e db yt h e c o m p u t e rs i m u l a t i o na p p r o a c h a l s o ，w ev a l i d a t ei t sr e s u l tt h r o u g hc o m p a r i s o n w i t ht h er e s u ro f a n a l y t i c s t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o na p p r o a c hi sn o to n l yv i s u a lb u ta l s oo b t a i n st h e a b s t r a c t c l o s e l ys a m ea c c u r a c yo ft h ea n a l y t i c sw i t h o u tb o r i n gc a l c u l a t i o n s i n c et h i s m e t h o dw o u l dn o tb el i m i t e db yt h em e c h a n i s m sc o m p l i c a t i o n ，t h em o r e c o m p l i c a t e dm e c h a n i s mi tu s e df o rt h em o r ee f f e c t i v ey o uw i l lf i n di t b e i ti s e s p e c i a l l ys u i t a b l ef o rc o m p l i c a t e dm u l t i - d o fm e c h a n i s m sa n dn e wd e s i g n e d m e c h a n i s m s k e y w o r d sj a c o b i a n ；k i n e m a t i c sa n a l y s i s ；c o m p u t e rs i m u l a t i o n ；g e o m e t r i c c o n s t r a i n t ；d i m e n s i o nd r i v i n g i i i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文机构运动分析与求解雅 可比矩阵的计算机模拟法及应用，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读 硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已 注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式注明。本声明的法律结 果将完全由本人承担。 作者签字黄罩犯 日期：刨，菇车尹月徊 燕山大学硕士学位论文使用授权书 机构运动分析与求解雅可比矩阵的计算机模拟法及应用系本人在 燕山大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的 研究成果归燕山大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位 及相关人员。本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅。本人授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文，可以公布论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密d 。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名：霞车把日期：似彬锌午月铜 导师虢洌钞醐：彻嘞月伊 第1 章绪论 1 1 概述 第1 章绪论 机构可以分为平面机构和空间机构两大类。连杆机构是平面机构中非 常重要的一种机构。随着机器自动化、高速化的发展，以及机器人和机械 手的兴起，平面连杆机构在机械工程和机器人中的作用日益显著。平面连 杼机构种类繁多、变化多端，能满足各种运动要求，它是其他机构的理论 结构原型，是机构的结构理论的主要研究对象。连杆机构采用低副连接， 而机器人、机械手等开式结构也是低副机构，与连杆息息相关，这更推动 了连杆机构的发展。无论是在过去还是现在，连杆机构在生产生活中都占 有重要的地位，因此，世界各国学者对连杆机构的研究也一直方兴未艾。 和平面机构相比，空间机构具有结构紧凑、运动多样、工作可靠等优点， 需要用复杂平面机构才能实现的运动以及用平面机构根本无法实现的运 动，往往可以用空间机构来实现 2 】，空间机构在生产生活中也有广泛的应用。 平面机构分为开式机构和闭式机构。前者如串联式机械手，后者主要 有三种：齿轮机构、凸轮机构与连杆机构。机器人分为串联机器人和并联 机器人。传统的工业机器人，一般由机座、腰部( 或肩部) 、大臂、小臂、腕 部和手部构成，大臂小臂以串联方式联接，因而也称为串联机器人。这类 机器人的形式很多，有球坐标型( u n i m a t e 机器人) 、直角坐标型、圆柱坐标 型，以及全铰链的多关节型。多关节型机器人，典型的如p u m a 机器人， 在三维空间有很高的灵活性和广泛的通用性。1 9 8 1 年日本牧野推出了关节 型s c a r a 机器人，其手臂只做平面运动，它结构简单，有很高的刚度和精 度，控制容易，响应快，成本低，得到迅速发展。澳大利亚著名机构学教 授h u n t 在1 9 7 8 年提出，可以应用6 自由度的s t e w a r t 平台机构作为机器 人机构。到8 0 年代末特别是9 0 年代以来，并联机器人逐渐成为了新的热 点。并联机器人和串联机器人相比，没有那么大的活动空间，它的活动上 平台也远不如串联机器人手部来得灵活。但是并联式结构刚度大，结构稳 燕山大学工学硕士学位论文 定，有较高的承载能力，误差小而精度高。 机构学研究的问题，按逻辑学观点分为两类，第一类是机构分析，第 二类是机构综合。前者是对已有的机构进行运动学或动力学的分析计算以 进行评价或鉴定；后者是根据给定的运动学或动力学要求，设计机构简图。 按照应用力学的观点，机构学可分为两个分支：机构运动学和机构动力学。 机构运动学只研究机构中各构件的相对运动关系，包括位移、轨迹、速度 和加速度等口7 1 。机构动力学研究运动过程中机构各构件的受力及力与运动 的关系。过去大多把构件看成刚体，现在由于高速机械的发展，往往需要 考虑构件的弹性，因而运动弹性动力学( k e d ) 也得到了发展【8 j o 除了机构运 动学与动力学两大分支外，还有一个领域，称为机构的结构理论，它的研 究对象是机构的自由度、结构类型、每类机构的种数等 9 】。 机构运动分析，就是对机构的位移、速度和加速度进行分析。具体地 说，就是根据原动件的己知运动规律，求该机构其他构件上某些点的位移、 轨迹、速度和加速度，以及这些构件的角位移、角速度、角加速度【1 。无 论是对于设计新的机构，还是了解现有机构的运动性能，对机构进行运动 分析都是十分必要的。通过对机构进行速度分析，可以了解从动件的速度 交化规律能否满足工作需要。其次，根据功率是速度和力的乘积，在功率 已知的前提下，通过速度分析可以了解机构所受阻抗力的情况。此外，机 构的速度分析还是进行加速度分析的必要前提。通过对机构进行加速度分 析，可以确定各构件及构件上某些点的加速度，了解机构加速度的变化规 律，这是计算惯性力和研究机械动力性能的必要前提。对机构所受的阻抗 力和惯性力进行合成，即可求出机构铰点的受力，从而判断机构是否满足 工作要求。 操作臂运动学是机器人研究的一个重要方面。机器人操作臂的开链结 构使得操作臂的位移方程非常复杂，因此，需要建立有效的分析方法来分 析和理解操作臂的位移和运动学性能。 雅可比矩阵是机器人操作臂运动分析中一个十分重要的概念。雅可比 矩阵( 简称雅可比v 通常是指从关节空间向操作空间运动速度传递的广义传 动比，也可看成是关节空间的微分运动向操作空间的微分运动之间的转换 2 第1 章绪论 矩阵】。雅可比矩阵不仅用于求解操作空间的速度，它还是描述机器人特 征的重要参量，是度量机器人的运动学、动力学性能的重要指标。用j 可 以对机器人的运动学进行定性分析和定量分析，从而可以判别操作臂的奇 异位形和度量操作臂的灵巧性。现在工业中使用的机器人大多不具有冗余 度，其主要缺点是工作空间的一部分是奇异区域。在此区域内，为了产生 某一方向的操作速度所需的关节速度可能非常大。奇异性的物理解释相当 于机器人丧失了一个或多个自由度，数学上用雅可比，的行列式是否为0 来判断。因此雅可比的奇异性可用来定性地描述机器人操作臂的运动学特 征。对于任何一种机器人机构，分析其奇异性都是非常必要的，学者们在 这一方面做了大量的研究工作【l 玉。为了衡量操作臂的灵巧性和运动反解 的精度，学者们提出了许多度量指标，如条件数，最小奇异值，运动灵巧 性指标，可操作性等，这些度量指标在概念上都与操作臂的雅可比的奇异 值有关“7 2 1 1 。雅可比不仅用来表示操作空间与关节空间之间速度线性映射 关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系，操作臂的力雅可比就是 它的f 运动) 雅可比的转置，因此，雅可比矩阵也是度量机器人动力学性能的 重要指标。 1 2 空间机构运动分析及机构雅可比矩阵求解的研究现状 1 2 1 空间机构运动分析的方法 机构运动分析的方法大体上可以分为图解法和解析法两种【2 “。1 9 5 0 年 以前，进行机构运动分析与综合时几乎都用图解法l 。常用的图解法有速 度瞬心法和矢量方程法等，图解法的特点是概念清晰，形象直观，对于平 面机构来说，一般比较简单：但求解精度不高，而且在就机构的一系列位 置进行分析时，需要反复作图，相当繁琐。随着机械向高速化和精密化发 展，用图解法进行运动分析的结果，往往不能满足高精度的要求。解析法 将机构问题抽象为数学问题，将机构中己知的尺寸参数和运动变量与未知 的运动变量之间的关系用数学解析式来描述，便于推理和对机构在整个运 动过程中任意位置的运动性能进行深入分析，而且可以得到很高的计算精 度，还便于把机构分析和机构综合问题联系起来，其缺点是不象图解法那 燕山大学工学硕士学位论文 样形象直观，而且计算式有时比较复杂，计算工作量可能很大。 空间机构在实际中的应用不如平面机构那样广泛，一个重要的原因就 是空间机构的分析设计比较困难。空间机构，特别是空间连杆机构的运动 比较复杂，不易想象构思，所以国内外机构学工作者纷纷探索各种可行的 解析工具，如向量、矩阵、四元数、旋量口4 瑚】等，将其用之于空间机构的 分析与综合，来满足与日俱增的生产和设计需要。 1 8 4 3 年h a m i l t o n 在复数的基础上扩展制定出四元代数的一整套理论和 方法。但是由于四元代数抽象、深奥、晦涩难懂、运动规则复杂，容易在 计算上产生失误，因其自身的局限性及其固有的抽象性等原因，因此并不 适合工程技术人员使用，所以末得到广泛的应用脚】。 1 9 0 0 年b a l l 完成了经典之作螺旋理论，用螺旋理论研究空间机构 的一些问题比较方便【2 7 】。一个旋量可以同时表示空间一组对偶矢量，如可 以同时表示矢量的方向和位置这一对矢量；可以表示刚体运动中的速度和 角速度这一对矢量：以及刚体力学中的力和力矩这一对矢量。这样一个含 有六个纯量的旋量概念，就易于应用在空间机构的运动和力分析中。 影响系数法在机构学中有人曾称之为类速度，美国学者t e s a r 在8 0 年 代将其作了一定程度的拓宽并重新命名阱】。对于n 自由度机构，在个输 入给定后，机构的任一构件的位置确定。由于输入运动参数随时间变化， 其对时间求导后，由机构学知，偏导数仅与机构的运动学尺寸及原动件的 角位置有关，而与原动件的运动无关。它反映了机构的位形状态，这些与 运动分离的偏导数称为影响系数。影响系数在串并联机器人的研究工作中 具有重要的作用和意义。 张启先教授口9 】用方向余弦矩阵法解决了空间机构的分析和综合问题， 但因其需要较多的坐标变换和向量变换，计算相对繁琐。对于另外一种解 析法一矢量旋转法【3 “，因为此方法要重新设定参数及规定运动符号，对初 学者来说使用不是很方便，而且该法难以解决空间机构运动分析中的加速 度、角加速度问题。 1 9 9 2 年，赵国文教授【3 1 】首先提出了类复向量的概念，给出了类复向量 的基本定理和运算法则，并应用类复向量原理对空间连杆机构进行了位置 4 第1 章绪论 及运动分析，为类复向量原理的推广和应用奠定了基础。 近年来，学者们不断探索新的方法对空间机构进行运动分析，如复指 数变化法和指数积方法【3 3 】等。 1 2 2 求解雅可比矩阵的方法 目前求解雅可比矩阵的方法主要有：运动学方程求导法，矢量积的方 法，微分变换法，速度递推法，静力递推法，螺旋理论法，影响系数法等。 运动学方程求导法是将机器人的运动学方程对时间求导，即得到其雅 可比矩阵。运动学方程求导法只适用于自由度数较少的空间或平面机器人。 对于自由度数较多的机器人，因为难以列出机器人的运动学方程，因而此 方法并不适用。 矢量积的方法是w h i t n e y 基于运动坐标系的概念于1 9 7 2 年提出的计算 机器人雅可比矩阵的方法【3 4 1 ，它是基于矢量的叉积推导机器人的雅可比， 是相对基坐标系表示的。 微分变换法是利用操作空间与关节空间的微分运动的关系，构造机器 人的雅可t e 矩阵，它是相对抓手运动坐标系而言的。矢量积的方法和微分 变换法，这两种计算机器人雅可比的方法都是构造性的，只要知道机器人 操作臂各连杆变换矩阵就可以自动生成它的雅可比矩阵，不需要求导和解 方程等手续。它们都是基于d h 参数的，需要为每个机器人连杆建立局部 坐标系，计算连杆之间的变换矩阵较为繁琐。 静力递推法是从指端向基座的静力传播的递推方法。此方法是根据力 雅可比是( 运动) 雅可比的转置这一关系，对操作臂进行静力学分析，得到表 示关节驱动力矩与末端操作力之间关系的力雅可比，将力雅可比矩阵转置 得到操作臂的雅可比矩阵。 速度递推法是从基座向指端的速度传播的递推方法。此方法是根据刚 体动力学的有关知识，依次递推出操作臂各连杆的速度表达式，从而推导 出操作臂的雅可比。 近年来，一些新的方法不断涌现 3 5 - 4 1 l ，它们大都是在矢量积方法、微分 变换法和螺旋理论等方法的基础上，进行一些改进，以期寻找到一种更简 燕山大学工学硕士学位论文 便的方法。 上述空间机构运动分析的方法和求解雅可比矩阵的方法均属于解析法 的范畴，各自具有优缺点。但是，它们都具有解析法的缺点，就是不形象 直观，计算式比较复杂，计算工作量比较大，特别是对于复杂机构和多自 由度机构，常常难以建立有关的解析数学模型。 随着计算机技术的迅猛发展，计算机图形图像处理能力日益增强，计 算机辅助设计使机构学发展到了一个新阶段。它把机构设计理论方法和参 数选取等设计者的智慧与计算机系统所具有的强大逻辑推理、分析判断、 数据处理、运算速度、二维、三维图形显示等功能结合起来，可以用人一 机对话方式，简便、直观、快速、最优的完成设计任务，己成为现代机构 设计的主要手段。计算机辅助设计的广泛应用，为雅可比矩阵的求解和机 构运动分析增添了新的手段和方法【4 2 4 ”。 在机构运动分析的c a d 方面，学者们主要是基于解析方法，采用现有 的软件研究和编写一些适用的程序【4 5 御】。由于解析法求解过程复杂，编程 难度大，特别是在多解的情况下难以确定合适解，因而在应用中受到了限 制【4 引。目前，已有一些高级的c a d 软件可用来完成这些工作，如a d a m s 软件，r o b c a d 及d y n a m o 系列，c a d c a m c a e 软件系列，u g i i ， p m e 和i - d e a s 等具有进行机构运动仿真及加工过程仿真模块 4 9 , 5 0 l 。但是， 用这些软件需要将机构各个零件构造成三维实体，再将所有实体装配成机 构，经添加适合的运动副后才能求解1 5 1 l ；另外，求解过程比较复杂，重复 性差，价格昂贵，且对硬件系统配置要求高，需高昂投资。所以，在小型 c a d 软件条件下进行机构运动分析仿真一直是设计者希望实现的目标。 1 3 论文选题的意义和目的 机构的运动分析是机构学中较为重要的研究课题。通过对机构进行运 动分析，可以了解已有机构的运动特性，便于合理有效的使用现有机械， 也可以根据机构的性能对机构进行改进设计；在设计新机构方面，进行运 动分析，是设计者检查机构是否符合设计要求的必要步骤，只有通过分析 得到相应数据，才能确实说明机构是符合设计要求的，或者是不符合要求 6 第1 苹绪论 函待改进的。所以对机构进行运动分析是很有必要而且是很重要的。 雅可比矩阵是描述机构特征的重要参量，是度量机器人的运动学、动 力学性能的重要指标。对于一个机构，我们需要判断它的工作空间是否存 在奇异区域。在奇异区域内，机构丧失了一个或多个自由度，为了产生某 一方向的操作速度所需的关节速度可能非常大，因此是要避免的。在数学 上用雅可比j 的行列式是否为0 来判断。另外，我们用条件数、最小奇异 值、运动灵巧性指标、可操作性等度量指标来衡量机构的灵巧性和运动反 解的精度，而这些指标在概念上都与雅可比矩阵的奇异值有关。雅可比矩 阵还与机构的动力学分析有着密切的联系。因此，求解机构的雅可比矩阵 是十分必要和重要的。 目前常用的机构运动分析方法和求解雅可比的方法都是解析法。解析 法具有计算精度高的优点，但是有些计算式比较复杂，计算工作量也比较 大，特别是对于复杂机构，有时难以得到解析解，在多解的时候也难以得 到合适解。所以研究出一种简单、直观、求解精度高又易于人们掌握的求 解方法是本课题的研究目的。 1 4 主要研究内容 针对解析法的缺点，基于c a d 尺寸驱动和几何约束技术，以及c a d 软件含有的相应功能【5 2 - 6 2 ，我们提出一种新的空间机构运动分析和求解机 构雅可比矩阵的方法：计算机模拟法。 本课题主要研究用c a d 软件的几何约束和尺寸驱动技术分析空间机构 的运动，以及求解平面串并联机构和空间串联机构的雅可比矩阵。根据机 构自由度要求和机构的特性，综合采用c a d 的几何约束、尺寸约束、尺寸 方程和尺寸驱动技术，构造出多自由度的平面机构和空间机构，给定杆件 的尺寸，确定机构在一系列位置姿态时的速度、加速度以及雅可比。用此 方法可以分析机构在任意位姿时的速度、加速度及雅可比，不需要重复作 图，也不需要复杂计算，并且在模拟机构构造完成后，对于同类型的机构， 不需要重新构造，只需要根据实际情况改变模拟机构的结构参数，同时保 持其约束关系不变即可应用。 燕山大学工学硕士学位论文 在机构运动过程中，机构的尺寸约束和几何约束关系始终保持不变， 只有被驱动尺寸随着驱动尺寸的变化发生相应的变化。这样，对于具有f 个自由度的模拟机构，我们只要同时改变机构中的i 个驱动尺寸，使一个被 驱动尺寸自动产生相应的变化，就实现了具有i 个自由度机构的模拟运动。 计算机模拟法具有简单、快捷、直观、求解精度高的优点，特别是对 于复杂机构和新设计的机构，不需要建立复杂的数学解析方程，为机构的 运动分析和雅可比的求解提供了有效的方法。 在课题研究过程中，主要进行以下几方面的研究： ( 1 ) 学习和掌握c a d 参数化实体造型软件，采用c a d 软件中的几何约 束、尺寸约束和尺寸驱动技术，构造出各种典型机构的模拟机构。 ( 2 ) 用计算机模拟法求解平面串、并联机构以及空间串联操作臂的雅可 比矩阵，并用解析法进行验证。 ( 3 ) 用计算机模拟法对空间串联机器人操作臂进行运动分析，并对其用 解析法进行验证。 ( 4 ) 总结计算机模拟法研究过程中的规律，形成一套可以适用于任何机 构的理论。 第2 章理论基础 2 1 运动影响系数 第2 章理论基础 机构的影响系数是机构学中一个十分重要的概念，它深刻地反映了机 构的本质，很多机构分析问题用影响系数表达就格外清楚和简单。 对n 自由度机构，在个输入给定后，机构的任一构件的位置确定。 构件位置可用其上一个点的坐标及一条线的角位置表示，则有 嘭= z 憎，：- ，) x ，= 五咖2 簪。)f 2 1 、 l = 五 妒：扎) 其中，垂，x ，h 表示为确定第i 个构件的位置所选用的参考线的角位置及 参考点的只y 坐标。由于输入运动参数a ，：“随时间变化，其对时间 的导数分别为 ( 2 - 2 ) 若以u ，印，x ，f r 表示机构上某杆的位置坐标，则式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 可统一 写为 u = 0 。：“)( 2 3 ) d = 缶n _ _ i 韶c g u 。 ( 2 - 4 ) 由机构的结构特点可知式( 2 一1 ) 或式( 2 3 ) 为非线性方程，但式( 2 - 2 ) 或式( 2 4 ) 为线性方程。由机构学知偏导数a 叫a 暾，a u a ( p ：，a u a 妒。仅与机构的运动 9 瓴鲰盟魄识一椎 言言1 f f = = 哆 毫 e 燕山大学工学硕士学位论文 学尺寸( 铰链方向、位置及移动副方向及位置) 及原动件的角位置 ( 庐。，妒：“) 有关，而与原动件的运动无关。这些与运动分离的一阶偏导 数，定义为一阶运动影响系数，简称为一阶影响系数。若以矩阵形式表示， 式( 2 4 ) 可写为 u = 【g 弦( 2 - 5 ) 则矩阵l g i 就称为一阶影响系数矩阵 阱离 甜。= 瓠萌 却。8 丸 钙职 a 妒la 妒2 识识 a 毋。a 妒2 阢 a 识 a 咖 阢 a “ r 3 。” 书= 移。小“ 此处的一阶影响系数矩阵也就是雅可比( j a c o b i a n ) 矩阵。 2 2 机器人雅可比 机器人的雅可比矩阵( 简称雅可比) l ，通常是指从关节空间向操作空间 运动速度传递的广义传动比，即 v = x = j ( g 妇( 2 - 6 ) 其中，口是关节速度矢量，启是操作速度矢量。 由于速度可以看成是单位时间内的微分运动，因此，雅可比也可看成 是关节空间的微分运动向操作空间的微分运动之间的转换矩阵，即 d = j ( q ) d q( 2 - 7 ) 其中，d 是指末端微分运动矢量，砌是关节微分运动矢量。 具有行个关节的机器人的雅可比，是6 n 阶的矩阵。其中前3 行代表 对抓手的线速度v 的传递，后3 行与抓手的角速度有关；另方面，每 1 0 第2 章理论基础 一列向量代表相应的关节速度对抓手线速度和角速度的影响。因此，机器 人雅可比矩阵，可写成分块的形式 匕幺 幺 陲 ( 2 8 ) 于是，抓手的线速度v 和角速度c o 即可表示为各关节速度口，的线性函数 v = j h 口l + ，如口2 + + _ + ，l 寸。 c o = ， 口l + j a z 口2 + 。+ j 口。 ( 2 _ 9 ) 同样，抓手的微分移动矢量d 、微分转动矢量6 与各关节微分运动由。之间 的关系为 d = j h d q l + jl l d q l + + jl 。d q n 占= j a l 由1 + ，：由2 + 。+ j 由。 ( 2 - 1 0 ) 其中，五，和以，分别代表第f 个关节的单位微分运动引起的抓手微分移动和 微分转动。 对于简单机构，将机器人的运动学方程对时间r 求导，便可得到它的雅 可比j 。对于一般6 个自由度的机器人，雅可比矩阵j 的计算有两种构造性 的方法：矢量积方法和微分变换方法。 2 2 1矢量积的方法 w h i t n e y 基于运动坐标系的概念于1 9 7 2 年提出计算机器人雅可比的矢 量积方法。 对于移动关节f 的运动，它在末端抓手上产生与z i 轴相同方向的线速 度，目 因此得到雅可比矩阵的第j 列 钟 ( 2 1 1 ) 燕山大学工学硕士学位论文 以= l 言l ( 移动关节f )( 2 - 1 2 ) 对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的角速度为 = z q f 同时在末端抓手上产生的线速度为矢量积 v = 匕。掣k ( 2 - 1 3 ) 因此，雅可比矩阵的第i 列为 扣阳”“z 江te ) c 韧，。， 其中，表示矢量积符号，芹表示末端抓手坐标系的原点相对于坐标系“) 的位置在基坐标系 o 的表示，牟= 江。只，z f 是坐标系 f 的z 轴单位向量， 它是用基坐标系表示的。 2 2 2 微分变换方法 对于转动关节i ，连杆i 相对连杆卜1 绕坐标系 f 的易轴作微分转动 加。，根据前面所述的连杆坐标系的规定( d e f i t h a r t c n b e 唱方法) 和连杆 矩阵：r 和：r 的定义，则连杆i 的微分转动d 口，相当于微分运动矢量 d = 【0 0 o f占= 【o 0 1 r d o ( 2 i s ) 利用7 d 与d 的关系，得出抓手相应的微分运动矢量为 【qqq 毪毽毽r = b 吐p 吐o x 口) ：嚏q 呸f 鸸( 2 1 6 ) 若关节i 是移动关节，连杆i 相对连杆i 一1 作微分移动d 巩，即 d = 【0 0 1 r 棚，6 = 【0 0 o 】r ( 2 1 7 ) 抓手相应的微分运动矢量为 p t7 q7 d ：7 6 ，r 6 ，r 6 ：r = 【n ：o z 吒0 0 o j r 掘( 2 - 1 8 ) 其中，一，口，口和p 是7 的四个列矢量。 7 ，。= f | 三i i 圣 = ：i i 薹i i i 主17 ，。= i c z 一， l ( p d ) = jl 一吒o + q 只jl 口：j 7 j 毛= i i 7 ，4 = i c 2 2 。， 图2 - 1 r 以与，之间的关系 f i g 2 1t h e r e l a t i o no f a n d ：t 上面计算机器人雅可比的方法是构造性的，只要知道机器人操作臂各 连杆变换矩阵”7 就可以自动生成它的雅可比矩阵，不需要求导和解方程等 手续。 2 3 矢量数的导矢 设有一空间点a ，从原点0 到点4 的连线o a 表示一个矢量，此矢量 称为a 点的位置矢量。如图2 2 。空间一点的位置矢量有3 个坐标分量，而 空间曲线一点的运动轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线。其矢量 13 燕山大学工学硕士学位论文 方程为 ，= ，( f ) = b ( f ) ，y ( 0 ，烈f ) 】 此式又称为单参数r 的矢函数。 图2 - 2 位置矢量 f i g 2 - 2v e c t o ro f p o s i t i o n 设当参数t 变为t + a t 时，如图2 3 ， 线段m m ，对应的矢量差为 r o ) d 图2 - 3 矢函数的导矢 、 缸| f 埝2 - 3d e r i v a t i v ev e c t o ro ff u n c t i o n 矢函数对应的位置由砑变为面， ，( r ) = r ( t + f ) 一，( f ) 其变化率为 鲤：坐堂二! 鳢 a t a t 由此得出的矢量平行于矢量砑面。 当参数变化量f o 时，a r a t 与m m ：的方向相同。反之，当a t o 时，二者的方向相反。 a t 0 时，这个矢量的极限称为，( ) 的导矢。记为，o ) 或毋( f ) 破， ，o ) ：l i m 鲍：剑 、7 a t - - + o a t d t 设 ，o ) = ) ，y z 删 ! q 竺) 二! 垒! ：兰垒竺! 二韭! 兰鱼笪! 二羔垃! 垒竺! 二坐) 1 l f 。 m f l 1 4 第2 章理论基础 _ ，( ，) = b y ( ，) ，= ( ，) 】 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。矢量 【，( ，+ f ) 一，( f ) 出的方向平行于割线x 荔可。a t 一0 时，( f ) f 就转变 为心f ) 点的切线矢量，故又称导矢为切矢，它指向曲线参数增长的方向。 导矢的模为 i ，( f 】= b 唯) 】2 + c y 电) 2 + 【z ，( r ) 】2 由以上所介绍的导矢的几何定义，可知导矢在机构运动分析中的意义。 当参数，是时间时，时间增量出一0 ，对位移函数求导，一阶导矢就是速 度矢，加速度口又是速度v 对时间r 的变化率，即速度v 对时间f 的导数， 也就是对位移函数的二阶导矢是加速度矢。 2 4 计算机软件基础 如何根据当前需求创建模型，以实现高效设计；同时预见潜在的需求， 以使更改模型重新设计时的工作量最小，这就是用户的设计意图。保持设 计意图的方法之一，就是在更改一个尺寸时，保持其他尺寸不变。 基于已定义的需求建立模型概念后，用户可以按以下步骤来开发模型： ( 1 ) 创建草图，决定如何标注尺寸，何处应用几何关系等。 ( 2 ) 选择适当特征，确定要应用的最佳特征，以何种顺序应用特征等。 ( 3 ) 如果模型为装配体，选择配合什么零部件，应用何种配合等。 创建机构模型从草图开始。草图般指二维轮廓或截面，也可创建包 括x 轴、y 轴和z 轴的三维草图。 2 4 1 草图实体 所有的草图都包含以下基本实体： ( 1 ) 原点为草图提供定位点，多数草图都始于原点。 f 2 ) 基准面标准基准面使用前视基准面、上视基准面和右视基准面， 其中，前视基准面为新零件第一个草图的默认基准面。可根据需要添加和 定位基准面。 1s 燕山大学工学硕士学位论文 r 3 1 尺寸尺寸用于定义零件的长度、半径等。当用户更改尺寸时，零 件的大小和形状随之发生改变，用户必须根据设计意图来标注尺寸。保持 设计意图的方法之一，就是在更改其它尺寸时，保持一个尺寸不变。 尺寸分为驱动尺寸和被驱动尺寸。前者用于用户改变模型值时改变模 型的大小，它由“尺寸”工具创建。模型的其他相关尺寸为从动尺寸，它 们由软件自动产生，只作为信息应用，用户可删除它们，但不可修改它们。 当用户修改驱动尺寸时，被驱动尺寸随之改变。 ( 4 ) 几何关系用户可用“推理”和“添加几何关系”工具在草图实体 之间建立几何关系( 相等、相切等) 。 2 4 2 草图的定义 草图可以完全定义、欠定义或过定义。在完全定义的草图内，草图所 有的直线、曲线及其位置，均由尺寸或几何关系确定。要创建零件，必须 完全定义草图。通过显示欠定义草图实体，可以确定需要添加什么尺寸或 几何关系，来完成定义草图。欠定义的草图实体在草图中不固定，可以任 意拖动。过定义草图包含冗余的尺寸或几何关系，用户可删除它们，但不 能编辑它们。 在s o l i d w o r k s 软件中，用户可用颜色来提示草图是否欠定义。般情 况下，黑色表示完全定义；蓝色表示欠定义；红色表示过定义。 2 5 本章小结 本章的内容是全篇的理论基础，是最基本的也是非常重要的。运动影 响系数是用计算机模拟法求解雅可比的过程中添加尺寸约束方程的理论依 据：雅可比矩阵的求解方法是在用解析法验证计算机模拟结果时采用的方 法；矢量数的导矢是用计算机模拟法分析机构的速度和加速度时的数学理 论依据；计算机软件基础是构造模拟机构，具体应用计算机模拟法的软件 基础知识。 1 6 第3 章平面串联2 3 自由度机构雅可比分析 第3 章平面串联2 3 自由度机构雅可比分析 3 1 原理概述 本章分析研究的平面串联2 3 自由度机构共有3 种类型，分别是简单的 2 r 平面机械手，3 r 平面机械手，以及带有移动关节的i t i 冲平面机械手。 这3 种机械手的结构简单，实际应用也比较广泛。本章以它们为例，说明 用计算机模拟法求解平面串联机构雅可比的具体过程。 由参考文献 2 8 1 可知，若以u 。 西，x ，z 2 表示机构上某杆的位置坐标， 则其一阶影响系数矩阵，即雅可比矩阵的表达式为： 【g 】：高两o u o u 两l 2 萌萌 0 。a ： 识识 d 毋la 咖2 既识 ，a 庐2 萌 a 妒 鲠 a 耷n 识 a “ r ( 3 - 1 ) 由参考文献1 6 3 可知，偏导数的定义为：设有函数z = 他，y ) ，如) 为 其定义域中的一定点，当自变量x 从抽变到x o + a x ，另一自变量y 保持定值 如时，这时函数z 相应地有改变量( x o + a x ，y o ) 一鲰，y o ) 。若极限 ! 吼【，( + a x ，y 。) 一f ( x 。，y 。) 缸存在，则称此极限为函数z = 以x ，y ) 在点 ，如) 关于自变量x 的偏导数。可以看出，函数z = 沁力在点o o ，y o ) 关于自 变量x 的偏导数实际上就是一元函数z = m ，问在x = x 0 处的导数。 根据偏导数的定义，要求解雅可比矩阵中的任一项够0 4 , ，( i = 1 ，2 ，3 产1 ， 2 ，朋，只要使白变量驴，：a 4 , j o 变到咖，。+ 妒，而其它自变量九( 肛1 ，2 ， ，1 一l 汁2 ，加保持定值，此时函数石( f _ 1 ，2 ，3 ) 相应的有改变量 醐庐，。+ 庐，机) _ 腹妒川妒量) ，若极限热馘九存在，则此极限为函数 1 7 燕山大学工学硕士学位论文 石在点( 九。，九) 关于自变量九的偏导数彰a ，。当九0 时， 黔酵。沁j = 写i | 蛐j 。圆姚，o a o 砂i2 酵t | 蛳i 。 3 2 平面2 自由度串联机构雅可比分析 用于机器人转臂的2 自由度平面r r 连杆机构是由2 个转动副r 将3 个连杆串联连接构成的。一端的连杆作为固定机座，另一端连杆作为待确 定运动的机器人手臂连杆。 3 2 1 建立2 自由度机构雅可比模型 在小型c a d 软件2 d 草图环境下，运用几何约束和尺寸约束，构造一 个r r 二自由度机构的雅可比模拟机构，构造过程如下： ( 1 ) 构造3 条直线a b ，b c 和z ，采用几何约束，将，水平固定。标注a b 和，的夹角取，b c 和a b 延长线的夹角卢。d 和卢为输入转角。如图3 1 所 示。 图3 - 1 平面r r 机构雅可比模拟机构 f i g 3 - 1t h ej a c o b i a ns i m u l a t i o nm e c h a n i s m so f r rp l a n a rm e c h a n i s m s ( 2 ) 复制已构造的模拟机构。模拟机构中的尺寸符号z 在复