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浙江工业大学硕士学位论文 分数阶f o u r io r 变换在s a r 目标检测和成像中的应用研究 摘要 合成孔径雷达( s a r ) 能够得到二维高分辨率雷达图像，并具有全天候全时段的工作 能力，从而在军用上和民用上都得到了较广泛的应用。合成孔径雷达的目标回波信号通常 是非平稳的，具有线性调频( l f m ) 信号的特征。 分数阶傅立叶变换( f 础可) 是一种新兴的非平稳信号处理方法，它是一种线性的时频 处理方法，具有很高的时频分辨率，不存在交叉项干扰问题，因而对分析和处理多分量l f m 信号具有十分优良的特性。 本文主要研究f r f t 在合成孔径雷达目标检测和成像处理中的应用。论文首先详细介 绍了分数阶f o y e r 变换定义和基本性质，对其相关概念进行了系统的分析和研究。然后从 l f m 信号的时频特性和分数阶f o y e r 变换的性质出发，着重讨论了两种基于分数阶f o y e r 变换的l f m 信号的检测方法：最大值检测方法和峰度检测方法，最大值检测只能用在高 信噪比的情况下，而峰度检测可以有效地抑制白噪声，在较低的信噪比下仍然有良好的检 测性能，仿真表明了在一1 2 d b 的信噪比下峰度检测依旧能有效地检测到信号。同时针对多 分量l f m 信号各信号分量强度不一，弱信号分量被强信号分量淹没的问题，给出了一种 基于分数阶f o y e r 域滤波和峰度检测的l f m 信号检测方法，该方法通过分数阶f o y e r 域滤波和峰度检测相结合，可以有效地检测到弱信号分量，仿真分析表明，在强信号分量 信噪比为5 d b ，弱信号分量为9 d b 的情况下，即强信号分量强度约为弱信号分量强度2 5 倍左右的情况下，该方法能有效地检测到信号。最后，对一种基于分数阶f o y e r 变换的 c h i 印s c a j i n g 成像算法进行了系统的讨论，从算法原理、实现过程等方面，分析了该算法， 并进行了仿真分析。 关键字：合成孔径雷达，信号处理，信号检测，分数阶f o y e r 变换，多分量线性调频 信号，低信噪比 浙江工业大学硕士学位论文 a p p l i c a t i o no ft h ef r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mt o t a r g e td e t e c t i o na n d i m a g i n gi ns a r a b s t r a c t a sah i l 曲r e s o l u t i o nr a d a rw i t ha l l w e a t h e r , a l l t i m ec a p a b i l i t y , s y n t h e t i ca p e r t u r er a d a r ( s a r ) c a no b t a i nt h ei m a g ef r o mal o n gd i s t a n c e n o wi ti su s e dw i d e l yb o t l lf o rc i v i l i a na n d m i l i t a r y t h es i g n a lr e c e i v e df r o mt h et a r g e t so fs a p i sn o r m a l l yn o n s t a t i o n a r y , a n dh a st h e c h a r a c t e r i s t i c so fl i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t i o n ( l f m ) s i g n a l w i t hg o o dc r o s s - t e r m sr e d u c t i o na n dh i g ht i m e - f r e q u e n c yr e s o l u t i o n , f r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r m ( f r f t ) i sal i n e a ra n df u l lt i m ed o m a i na n a l y s i st o o lf o rn o n s t a t i o n a r ys i g n a l p r o c e s s i n g i th a sb e e nw i d e l yu s e di nt h em u l t i c o m p o n e n tl f ms i g n a lp r o c e s s i n gf o ri t sp e r f e c t p r o p e r t y i nt h i st h e s i s ，a p p l i c a t i o no ft h ef r f tt ot a r g e td e t e c t i o na n d i m a g i n g i ns a ri sd i s c u s s e d f i r s t l y , t h ed e f i n i t i o na n dt h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i c so ff r f ta r ep r e s e n t e d ，a n dt h e n ，t h e t i m e f r e q u e n c yp r o p e r t i e so fl f ms i g n a la r es u m m e du p f u r t h e rm o r e ，t w om e t h o d sf o rt h e d e t e c t i o na n dc h i r pr a t ep a r a m e t e re s t i m a t i o no fl f ms i g n a l ：m a x i m u mm e t h o da n dk u r t o s i s m e t h o da r ed i s c u s s e d ，w i t hag o o dc a p a b i l i t yo fs u p p r e s s i n gn o i s e ，k u r t o s i sm e t h o dc a r ld e t e c t l f ms i g n a l sw h e nt h es n ri s 一12 d b a f t e rt h a t ，an e wm e t h o df o rd e t e c t i n gt h ew e a k c o m p o n e n t so ft h es i g n a la m o n gt h es t r o n gc o m p o n e n t so ft h es i g n a li sp r o p o s e d ，w h i c h c o m b i n e st h et e c h n i q u eo ff i l t e r i n gi nf r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i na n dk u r t o s i sd e t e c t i o n ，s ot h e s t r o n gc o m p o n e n t so ft h es i g n a la n dt h ew e a ko n e sc a nb ed e t e c t e di t e r a t i v e l y t h es i m u l a t i o n r e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o dc a l le f f e c t i v e l yd e t e c tt h ew e a kc o m p o n e n t so ft h es i g n a lw h e nt h e s n ro ft h es t r o n gc o m p o n e n t so ft h es i g n a la r e5 d ba n dt h ew e a ko n ei s 一9 d b f i n a l l y , an e w c h i r ps c a l i n ga l g o r i t h mb a s e do nt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mi ss t u d i e d t h es i m u l a t i o n r e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h mc a ne f f e c t i v e l yi m a g i n gt h ep o i n tt a r g e t s 浙江工业大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s y n t h e t i ca p e r t u r e s i g n a lp r o c e s s i n g ，s i g n a ld e t e c t i o n , f r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r m ，m u l t i c o m p o n e n tl f ms i g n a l ，l o ws n r 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得浙江工业大学或其它教育机构的 学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 作者签名：林灵耀 日期沙吖年j 月乙中日 l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密翻。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 秽又键 葺互而 日期：j 9 q 年岁月牛日 日期：六砷年f 月珥e l 浙江工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 。1 合成孔径雷达简介 合成孔径雷达( s y n t h e t i ca p e r t u r er a d a r , s a r ) 的概念是采用相干的雷达系统和单个 移动的天线来模拟真实线性天线阵中所有的天线功能。单个天线依次占据合成数组空间的 位置，将各个位置接收的信号的幅度和相位存储起来，再经过处理，从而呈现出被雷达所 照射区域的地物反射特性图俐1 捌。 合成孔径雷达是一种高分辨率的成像雷达，它可以在能见度极差的气象条件下得到光 学照相的高分辨率雷达图像。合成孔径雷达与普通的光学仪器相比，具有以下优点f 2 】： ( 1 ) 它是一种主动式微波遥感设备，成像不受气候、昼夜等因素影响，可以全天候、 全天时成像； ( 2 ) 通过选择适当的波长，可以穿透一定的遮蔽物成像； ( 3 ) 雷达图像分辨率与波长、载机飞行速度雷达作用距离无关，能获得高分辨率雷达 图像： ( 4 ) 采用侧视成像方式，测绘带可以离航迹很远。 正是这些优点，使合成孔径雷达得到了广泛的实际应用，例如地形测绘和地质研究， 各种目标的高分辨率实时全天候的监测，海洋研究与监测，军事侦察等方面。 当前，机载和星载s a r 的应用已十分广泛，已可得到亚米级的分辨率，场景图像的 质量可与同类用途的光学图像相媲美。利用s a r 的高分辨能力，并结合其它雷达技术， s a r 还可完成场景的高程测量，以及在场景中显示地面运动目标( g m t i ) 。 s a r 的高分辨，在径向距离上依靠宽带信号，几百兆赫的频带可将距离分辨单元缩 小到亚米级：方向上则依靠雷达平台运动，等效地在空间形成很长的线性阵列，并将各次 回波存贮作合成的阵列处理，这正是合成孔径雷达名称的来源。合成孔径可达几百米或更 长，因而可获得高的方位分辨率。 1 2 分数阶f o u r i e r 变换的发展 f o u r i e r 分析在连续时间和离散时间信号处理中占有极其重要的地位。传统的f o u r i e r 变换是分析和处理平稳信号的一种标准和有力的工具，而对于分析和处理时变的非平稳信 - 1 浙江工业大学硕士学位论文 号则显得乏力，这是由于f o u r i e r 变换采用的全局性的基函数所决定的。f o u r i e r 变换的数 学基础是f o u r i e r 级数，法国科学家f o u r i e r 提出的这种把一个事物从一个“域 变换到另 一个“域 ，从而从新的角度或尺度对其进行分析或表示的分析方法，在科学史上具有划 时代的意义，至今仍在科学研究与工程技术的几乎所有的领域发挥着重要的作用。但是， 人们也旱就发现，f o u r i e r 变换将信号是在整体上分解为具有不同频率的正弦( 复指数) 分量，得到的是信号的整体频谱，不能获得信号的局部特性。因此，f o u r i e r 变换只能用 来处理确定性的平稳信号，对于时变的非平稳信号则无能为力。而随着信息科学的发展， 非平稳信号的处理逐渐引入注目，f o u r i e r 分析的局限性也显得愈发突出。针对这一问题， 自2 0 世纪4 0 年代以来，人们不断地对f o u r i e r 分析的理论和方法进行推广和改进，提出 并发展了一系列新的信号分析理论与方法，分数阶f o u r i e r 变换即为其中一种近年来引起 信号处理界广泛关注的数学工具。 分数阶f o u r i e r 变换作为f o u r i e r 变换的一种广义形式，可以解释为信号在时频平面内 坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶f o u r i e r 域上的表示方法。如果信号的 f o u r i e r 变换可看成将其在时间轴上逆时针旋转v r 2 到频率轴上的表示，则f r f t 可以看 成将信号在时间轴上逆时针旋转任意角度到m 轴上的表示( m 轴被称为分数阶f o u r i e r 域) 。从本质上讲，信号在分数阶f o u r i e r 域上的表示，同时融合了信号在时域和频域的信 息，因此被认为是一种时频分析方法，与其他时频分析工具有着极其密切的联系。目前， 分数阶f o u r i e r 变换作为一种崭新的时频分析工具和旋转算子为信号处理领域的研究人员 所广泛接受。这种新的数学工具不仅与f o u r i e r 变换有着紧密联系，并且具有f o u r i e r 变换 所不具备的优点，其应用更灵活。 f r f t 的概念很早就被提出来了，但是直到近些年来它的重要性才受到信号处理界的 关注。最早开始研究分数阶f o u r i e r 变换的是w i e n e r 。众所周知，f o u r i e r 变换的特征函数 是h e r m i t e 函数乘以e x p ( - t 2 ) ，相应的特征值是卜j ) m 。1 9 2 9 年w i e n e r 就开始寻找这样一 种变换核，它的特征函数是希尔伯特一高斯函数，但是它的特征值形式又比普通f o u r i e r 变换更完备1 3 j 。w i e n e r 最终将这一特征值修正为e x p ( - 彻口) ，这是我们所知道的与分数阶 f o u r i e r 变换有关的最初的工作，w i e n e r 所作的努力为量子力学中与群论和算符代数有关 的一些研究提供了基本理论。 19 3 7 年c o n d o n 也独立地研究了f l u t 的基本定义【4 1 。尽管他没有使用f r f t 这一术 语，也没有讨论它的基本属性，但是他可能是第一个直接研究其定义的人。1 9 6 1 年 b a r g m a n n 参考了c o n d o n 所提出的f r f t 定义，在一个更为广泛的背景下，更为深入地探 浙江工业大学硕士学位论文 讨了其基本定义【5 】。 尽管f r f t 的概念很早就被导出了，但是它的重要性是直到1 9 8 0 年n a m i a s 的理论推 出后才引起人们的注意的。n a m i a s 显然是在不知道前人工作的前提下，从特征值与特征 函数的角度，以纯数学的方式重新提出了f r f t 的概念并将它用于求解偏微分方程【6 】。他 把f r f t 定义为传统f o u r i e r 变换的分数幂形式，并揭示了f r f t 的几个特性，即它的高 阶微分形式和它与某些微分方程式的关系。其不足之处是没有得出这种时频表示的变换关 系。之后几年里m c b r i d e 和k e r r 分别继承了n a m i a s 的工作【7 】，他们用积分形式为f r f t 做了更加严格的数学定义，为后来一些研究人员从光学的角度提出f r f t 的概念奠定了一 定的基础。 1 9 9 2 年m e n d l o v i c 和o z a k t a s 再次开始研究f r f t 。之后l o h a m a n n 也加入这项工作， 他根据w i g n e r 分布重新定义了分数阶f o u r i e r 变换并将其物理意义解释为信号的表示轴在 时频平面的旋转。他们三人最终证明了彼此所下的定义及早期的定义，尽管出发点不同但 都是等价的f 引。他们的研究工作还包括分数阶f o u r i e r 变换的光学实现，分数阶f o u r i e r 变 换的计算机仿真算法以及分数阶f o u r i e r 域的滤波等。自此，分数阶f o u r i e r 变换的研究与 应用开始引起各国学者的广泛关注。 尽管如此，分数阶f o u r i e r 变换的理论与应用在很多方面并不像f o u r i e r 变换那样成熟， 它和其他时频分析工具之间的联系还有待进一步研究，其应用的领域也有待进一步开拓。 1 3s a r 检测动目标技术发展状况 合成孔径雷达( s a r ) 地面成像与动目标显示相结合，一直被认为具有重大价值。在 一部机载雷达中，两者的结合将构成用途广泛、功能强大的对地观察设备。在1 9 9 1 年的 海湾战争中合成孔径雷达为以美国为首的多国部队提供了许多有价值的情报资料。 机载或航天载平台检测地面动目标时面临的主要问题是，固有强地杂波和飞机或航天 飞机运动直接造成的杂波频谱扩展，限制了可用于动目标检测的自由杂波谱空问区域，这 造成了动目标检测的困难【9 1 。 1 9 7 1 年，r k e i t hr a n y 第一个提出了地面低速运动目标对单天线合成孔径雷达图像 的影响的概念，指出了目标的径向加速度及切向速度会造成图像散焦，并给出了对点目标 模型的运动目标几种可能的检测方法【1 0 】。 1 9 8 4 年到1 9 8 6 年间，f r e e m a n 发表了三篇文章，提出了用时域滤波器滤去静止目 标，然后再对运动目标聚焦【l l l 。这种方法有较好的前置滤波，但存在速度模糊，有“盲 浙江工业大学硕士学位论文 速现象，不能将动目标与杂波可靠分开等缺点。 1 9 8 5 年k o u c h e 研究了目标运动对s a r 多视成像的影响，认为非相关叠加对运动目 标成像的改善比不上对静止目标成像的改善f 1 2 1 。 1 9 9 0 年b a r b a r o s s a 提出了用w v d 的方法检测运动目标，并认为这是一种非常有效 的方法，由此估计出来的相位历史对高分辨率成像非常有用。在这基础上，人们提出了消 除w v d 交叉项的各种方法f 9 】。 1 9 9 2 年h e m c h u n gc h e n 和c d m c g i l l e m 认为，图像中的运动目标可以通过雷达 回波的频谱特性分析检测出来，将动目标频谱移动到零频，这样运动目标会出现在正确的 位置上【d j 。 1 9 9 4 年至1 9 9 5 年，j r m o r e i r a 等提出了用反射特性位移法( r e f l e c t i v i t yd i s p l a c e m e n t m e t h o d ，r d m ) 来检测运动目标，并估计其运动参数的理论【1 4 】。 在s a r 信号处理过程中，其动目标回波信号可以近似为l f m 信号，因此处理的关键 就在于信号的分析和处理。因此选择合适的信号处理方法是一个值得考虑的问题。非平稳 信号的传统处理方法很多【l5 1 ，例如w i g n e r - v i l l e 分布、模糊函数等双线性方法，短时f o u r i e r 变换、g a b o r 变换、小波变换等线性方法。双线性方法的一种重要缺点是容易受到交叉项 的干扰，传统的线性处理方法虽然不存在交叉项，但是由于受到不确定性原理的限制，它 的时频聚集性却不高，这一缺点对追求高分辨率的s a r 成像是无法容忍的。分数阶f o u r i e r 变换( f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，f r f t ) 是一种较新的非平稳信号处理方法【1 5 , 1 6 j ，它是 一种线性的全时域变换，即不存在交叉项的干扰，又具有很高的时频分辨率，因而很适合 处理多分量非平稳信号。 作为一种信号处理方法，f r f t 即新颖又具有很长的发展历史，从2 0 世纪3 0 年代到 7 0 年代，w i e n e r 、c o n d o n 、k o b a r 、b a r g r n a n n 、p a a e r s o n 、g u i n a n d 以及d eb r u i i n 等人就 进行过有关f r f t 的研究 3 - 5 , 1 6 , 17 l ，但由于诸多原因，他们的工作并没有引起信号处理研究 者的足够重视。直到1 9 8 0 年代n a m i a s c 将f r f t 重新定义为传统f o u r i e r 变换的分数幂形 式f 6 1 ，以及1 9 9 0 年代m e n d l o v i c 、o z a k t a s 和l o h a m a n n 等人证明了f 砌t 与传统时频分布 之间的密切联系，并提出了有效的f i u t 离散算法后【1 8 之1 1 ，f i 讧t 才被引入数字信号处理 中。之后有关f r f t 的非平稳信号分析和处理技术得到了快速发展，目前f r f t 已被用在 科学研究和工程技术的很多方面2 2 1 。 浙江工业大学硕士学位论文 1 4s a r 的图像处理 s a r 的成像过程实际上就是s a r 信号的聚焦处理过程【1 0 2 3 】，而s a r 的聚焦处理过 程的实质就是维护s a r 回波信号相位相干性的过程。换言之，s a r 的聚焦处理过程就是 消除来自所有散射点的回波信号中由于各种原因造成的相位误差，从而使各个散射点的相 位历程各自相干的过程。 在s a r 回波信号空间中，距离向和方位向会产生耦合，解决耦合最简单的方法就是： 在时域中采用二维滤波器直接对回波信号进行处理，但是其计算量太大。由于耦合是由距 离徙动引起的，如果消除距离徙动，人们可将二维处理分离成两个一维处理的级联，从而 大大的减少成像处理的运算量。因此，距离徙动校正( r a n g ec e l lm i g r a t i o nc o r r e c t i o n , r c m c ) 是s a r 成像算法的一个关键问题l z 4 j 。同时，运动补偿是成像过程中极其重要的 环节，尤其在目前成像算法接近成熟的情况下，高性能的运动补偿设备和方法甚至成为实 现高分辨率聚束s a r 成像系统的决定性因素，而其中的多普勒参数估计即回波信号的调 频率等参数估计更是其中的重要环节【。 1 5 本文的内容安排 本文将一种新兴的非平稳信号处理方法f r f t 引入到s a r 目标检测和成像中，论文 的主要工作如下： 1 详细介绍了分数阶f o u r i e r 变换定义和基本性质，对其相关概念进行了系统的分析 和研究。 2 研究了f r f t 在l f m 信号检测和参数估计中的应用：l f m 信号的检测和参数估计 是s a r 信号处理过程中经常面对的问题，因此有必要将l f m 信号的检测列为一项专门的 研究内容。本文首先从l f m 信号的时频特性和分数阶f o u r i e r 变换的性质出发，着重讨论 了两种基于分数阶f o u r i e r 变换的l f m 信号的检测方法：最大值检测方法和峰度检测方法， 并进行了仿真分析。 3 针对多分量l f m 信号各信号分量强度不一，弱信号分量被强信号分量淹没的问 题，给出了一种基于分数阶f o u r i e r 域滤波和峰度检测的l f m 信号检测方法，该方法通过 分数阶f o u r i e r 域滤波和峰度检测相结合，可以有效地检测到弱信号分量，并通过仿真分 析对算法的可行性和有效性进行验证。 4 对一种基于分数阶f o u r i e r 变换的c h i r ps c a l i n g 成像算法进行了系统的讨论，从算 法原理、实现过程等方面，分析了该算法，并进行了仿真分析。 浙江工业大学硕士学位论文 本文总共分为五个章节。 第一章是绪论部分，介绍了本文将要研究的几个问题的研究背景和研究现状，并概括 了本文的主要工作及内容的组织安排。 第二章主要介绍本文的相关理论基础，包括s a r 成像的基本原理，f l 心t 的基本定 义和性质及其一种快速的离散算法。 第三章主要研究了f i 强t 在l f m 信号检测中的应用。首先介绍了一种基于分数阶 f o u r i e r 域最大值检测的检测方法，然后给出了一种基于峰度检测的检测方法，随后通过 数学推导证明了该检测方法的有效性，并给出了仿真，最后针对多分量l f m 信号各信号 分量强度不一，弱信号分量被强信号分量淹没的问题，提出了一种基于分数阶f o u r i e r 域 滤波和峰度检测的l f m 信号检测方法，该方法通过分数阶f o u r i e r 域滤波和峰度检测相结 合，可以有效地检测到弱信号分量，并通过仿真分析对算法的可行性和有效性进行验证。 第四章主要研究了一种基于分数阶f o u r i e r 变换的c h i r ps c a l i n g 成像算法，从算法原 理、实现过程等方面，分析了该算法，并进行了计算机点目标仿真。 第五章总结了全文的工作，并对需要进一步研究的问题进行了讨论和展望。 浙江工业大学硕士学位论文 第2 章相关理论简介 2 1s a r 成像的相关概念 2 1 1 回波数据的采集和记录 聚束模式s a r 成像系统的工作过程可以简单地描述如下t 随着载机的飞行，雷达在 一定的飞行历程中，以固定的时间间隔产生并发射编码脉冲串( 如线性调频信号) 。上述 的飞行历程即为合成孔径积累时间，雷达接收机在此阶段内收集来自成像区域内各个散射 点的回波的和信号：发射脉冲的各个时刻对应着一定的载机位置，发射脉冲的时间间隔即 为脉冲重复时间r ，它与脉冲重复频率互为倒数。雷达系统在脉冲发射静止期接收 来自具有不同时延的、对应于不同距离分辨单元的散射回波，完成接收脉冲在i q 通道中 的解码、解调和离散化( a ，d ) 等，并为地面或机上的实时成像处理系统提供数据链【2 3 ，2 5 1 。 图2 1 表示了回波数据的采集和记录过程。雷达在合成孔径时间内共发射。个脉冲 信号，在每个脉冲发射完之后，间隔一定的时间开始接收回波信号并通过a d 进行离散 采样。即得到，个距离门内的回波数据。所有的数据合在一起可以组成如图所示的大小 为n o n ，的数据块，这就是成像算法所要处理的输入原始数据。 m 硼旧iii i l 1 2 an ，1 2 an ， 距离向 图2 1聚束s a r 回波数据的采集和记录 一7 浙江工业大学硕士学位论文 2 1 2s a r 成像的基本原理 真实孔径雷达成像的角度分辨率是由雷达主波束宽度决定的，天线越长，雷达波束越 窄，角度分辨率也就越高。但不管是在星载或是机载雷达中，天线尺寸不可能很大，角度 分辨率必然受到天线尺寸的限制，很难提高，用于成像将得到很低的方位分辨率。 作为一种高分辨率微波成像雷达，s a r 的高分辨特性是通过发射高稳定度的相干脉 冲和采用复杂的信号处理方法来实现的，通过综合运用合成孔径技术、脉冲压缩技术和数 据处理来获得高分辨率。距离向高分辨率的获得是通过发射大的时间一带宽积的信号，通 过脉冲压缩技术来完成的，这与一般的脉冲压缩雷达没有什么不同。方位向高分辨率的获 得则是利用雷达和目标之间的相对运动，即利用多普勒效应，通过匹配滤波或频率分析的 方法，进行脉冲压缩，实现对方位上具有不同多普勒频偏的各个散射点的高分辨力分辨。 从而使方位向分辨率得到显著地提高i l 西】。合成孔径雷达的发射信号( 距离向信号) 和合 成孔径信号( 方位信号) 都具有线性调频性质，因此s a r 信号处理的实质就是通过匹配 滤波器对距离向和方位向具有线性调频信号的信号进行两维脉冲压缩的过程。 2 2 机载s a r 动目标信号模型 对于处于正侧式工作状态的机载s a r ，假设r 。是零时刻目标与雷达之间的距离，y 为 载机的速度，v ，、a ，分别为目标径向速度和径向加速度，v 。、口c 为切向速度和加速度， 因此，目标和雷达之间的距离可以近似为【2 8 i 脚) r 叫( h ) 2 - r q 象 协1 ) 接收到的回波信号为 s ( t ) = r r r g ( t ) e x p ( j c r ) e x p ( - j a r f r ( t ) 2 ) ( 2 2 ) 其中仃r 为目标散射系数，缈r 为目标回波的起始相位，g o ) 为天线方向图调制项。由 于目标信息全部体现在相位上，如果我们不考虑这三项的影响，将式( 2 1 ) 代入式( 2 2 ) ， 我们可以得到： j ( ，) = e x p ( 2 万序) e x p ( p 厨2 ) ( 2 3 ) 这里 厶寺，k = 去一v c ) 2 脚， c 2 4 ， 从这里我们可以看到机载s a r 地面动目标回波信号可以近似为一个l f m 信号。对于 浙江工业大学硕士学位论文 地面杂波，从( 2 3 ) 式我们可以知道静止的强散射体，它的回波也可以近似为l f m 信号， 但是通常的，并不存在散射这么强的静止点目标，而地面的回波可以称为地表杂波。而地 表杂波对信号检测的影响可以简单的近似为加性噪声，接收到的信号可以看成是有用信号 加上高斯白噪声f 2 引。因此，通常来说，对于机载s a r 的动目标的检测可以假定为在高斯 白噪声中的l f m 信号的检测。 2 3 时频分析的基本概念 在大量的科学和工程问题中，信号统计量对研究和分析信号起着极其重要的作用【2 9 1 。 常用的统计量有一阶统计量( 均值) 、二阶统计量( 相关函数或功率谱密度) 等。各阶统 计量与时间无关的信号称为平稳信号，而某阶统计量随时间改变的信号则称为非平稳信 号。最常见的非平稳信号是自相关函数或功率谱密度随时间变换的信号。 分析和处理平稳信号最常用和最主要的方法是f o u r i e r 分析，f o u r i e r 变换建立了信号 整个时域与整个频域的对应关系。它是使用一种全局性的时域或频域变换，来建立起从时 域到频域或频域到时域的联系。它并没有将时域和频域组合成一个域，特别是局部时域的 时间信息在频域是得不到，或局部频域的频率信息的时域内是得不到，即没有建立起局部 时域与局部频域之间的一一对应关系，而这对非平稳信号是十分重要的i l5 1 。 时频表示就是寻求一种时间和频率的联合函数形式来表示非平稳信号，来克服传统 f o u r i e r 变换不反映非平稳信号的统计量随时间变化的缺陷。通常的做法是在传统f o u r i e r 分析中引入时间相关性，即引入一个“局部频率参数，在这个“局部窗口中来观察分 析信号；另一种方法是将传统f o u r i e r 变换中所引用的正弦基函数修改为时间更为集中而 在频率上更为分散的基函数。这两种思想的典型方法有短时f o u r i e r 变换、w i g n e r - v i l l e 变换、r a d o n w i g n e r 变换、小波变换、分数傅立叶变换等，本章主要介绍分数傅立叶变 换的基本定义和性质。 2 4 分数阶f o u r i e r 变换简介 2 4 1 分数阶f o u r i e r 变换的基本定义 自f o u r i e r 变换被提出以来，一直是人们研究和分析信号的重要工具，但传统f o u r i e r 变换是一种全局性的分析方法，得到的是信号的整体频谱，而对于分析非平稳信号的局部 特性却显得乏力。为了克服传统f o u r i e r 变换在处理信号中的局限性，人们就不断地对 f o u r i e r 变换进行了推广，发展出一系列信号处理方法，f r f t 就是其中一种。从2 0 世纪 3 0 年代到7 0 年代，w i c n e r 、c o n d o n 、k o b a r 、b a r g m a n n 、p a t t e r s o n 、g u i n a n d 以及d eb r u i i n 浙江工业大学硕士学位论文 等人都从不同角度对f r f t 进行了研究3 - 5 , 1 7 , 2 2 ，然而由于他们关注的是某特定背景下的研 究，给出的f r f t 定义不尽相同，没能明确地提出分数阶f o u r i e r 变换概念，因此他们的 工作在当时并没有引起人们的足够重视。8 0 年代n a m i a s 从特征函数的角度，以纯数学的 方式重新定义了f r f t ，把f i 心t 定义为传统f o u r i e r 变换的分数幂形式【6 】，m c b r i d e 和 k e r r 等人又继承和完善了该定义 7 1 ，此后f r f t 才开始引起人们的注意。9 0 年代以后，经 过m e n d l o v i e 、o z a k t a s 和l o h a m a n n 等研究者的不断努力1 8 之1 1 ，f r f t 得到了进一步的发 展，并且首先在光学信息处理中得到了实际应用。然而由于有效的f r f t 离散快速算法一 直没出现，因此f r f t 在信号处理中的应用研究很难展开，直到9 0 年代中后期几种f r f t 快速离散算法被相继提出，特别是o z a k t a s 的分解型快速算法提出后【2 0 】，f i 心t 才被引入 数字信号处理中，并迅速在非平稳信号分析和处理中占据了重要位置。 在分数阶f o u r i e r 交换的发展过程中由于应用背景的差异出现过多种定义方式，虽然 这些定义的物理解释各不相同，但它们在数学上是等价的，其中任意一种定义都可以由其 他定义导出，因此本文仅从作为线性积分变换和时频面中的旋转两个角度给出f r f t 的基 本定义。 a 作为线性积分变换8 , 3 0 , 3 1 j 信号( f ) 的p 阶f i u t 是一个线性积分运算： c ( 甜) = r 口 巾) = 尸p 巾) = e 耳( 埘) 巾) 出 ( 2 - 5 ) 其中 & ( f ，“) = 1 - j c o t a e 华一脚 、|z 万 8 ( i - - u ) 6 ( t + u ) 口r i 口= 2 n t r( 2 6 ) 口= ( 2 n + 1 ) r t 且 口= p 詈 ( 2 7 ) 以上是f t 最基本的定义，也是本文所普遍采用的，p 表示变换阶次，口表示旋转 角度。 b 作为时频面上的旋转 定义1 信号厂( f ) 的p 阶f r f t 是由变换矩阵m 定义的线形完整变换3 2 】： 浙江工业大学硕士学位论文 肘= 纠= = 烹三 协8 ， 其中口= p i 7 。 m 是时频面上的二维旋转矩阵。由信号的w i g n e r - v i l l e 分布的性质，可将定义等价 地表述成另一种不很严格形式： 定义2 信号厂o ) 的p 阶f r f t 的w i g n e r - v i l l e 分布相当于该信号的w i g n e r - v i l l e 分布 在时频面上顺时针旋转口= p 要角度【3 3 1 。 u ，) = 既( u c o s g - v s i n a ，u s i n a + v c o s a ) ( 2 - 9 ) 如图2 - 2 所示，f p o ) 是一种将函数厂( f ) 旋转口= p 要角度、由，轴变到甜轴的表示 形式，即信号厂o ) 在与时间轴为口夹角的轴上的表示就是该信号的p 阶f r f t 即f p 。 不难看出，当p = o b = 0 ) 时，上述两定义式可分别得到恒等矩阵和恒等算子；当 p = ，( 口= 三) 时，上述两定义式可分别得到矩阵 三习和f 。嘶e r 变换，即w i g n e 卜- e 分布被旋转了口= 要角度。 ， t 材一 ； 图2 2f r f t 作为时频平面上的旋转 2 4 2 分数傅立叶变换的基本性质 广义f o u r i e r 变换具有以下最基本的性质f 3 4 】： 浙江工业大学硕士学位论文 ( 1 ) 广义f o u r i e r 变换为线性算子； ( 2 ) f o b ( ，) 】= f 4 k o ) 】= z o ) ( 恒等变换) ； ( 3 ) f 1 b ( ，) 】= f 5 b ( ，) 】= x 0 ) ( 标准f o u r i e r 变换) ； ( 4 ) 广义f o u r i e r 变换算子为加性算子，即有，p 岣= f p f 4 。 广义f o u r i e r 变换分为整数阶和分数阶f o u r i e r 变换两大类。若将恒等变换视为零阶 f o u r i e r 变换，将标准f o 嘶e r 变换f 1 k ( ，) 】= x 0 ) 看作一阶f o 谢e r 变换，那么很自然地p 只为 非整数( 即分数) 的广义f o u r i e r 变换f p b ( f ) 】称为分数阶f o 皿e r 变换。 基本性质( 1 ) ( 4 ) 说明在讨论分数阶f o u r i e r 变换的时候变化角度以2 石为模( 即 f 4 = 歹) 所以我们只需要考虑位于0 l p l 2 的旋转角度，因为 - 2 ，2 】以外的分数阶 f o u r i e r 变换都可利用f 4 = ，从f p ，p - 2 ，2 】求出。由这些基本性质，我们还容易得 出结论：具有角度口= p l r 2 的分数阶f o u r i e r 反变换就是具有角度一口= 一p r o 2 的分数阶 f o u r i e r 变换即有： 工( f ) = e 以( 甜) 疋p ( 枷) d 材 ( 2 1 0 ) 根据f r f t 的定义公式可以推导出很多有趣的性质，在此仅列出将在本文研究工作起 到关键作用的几个性质，有关f r f t 的其他特性请读者查阅文献3 5 娜1 。 1 线性：分数阶f o u r i e r 变换为线性变换，满足叠加原理。 r “ 巳矗( ，) = q 尺。吒( r ) ( 2 1 1 ) 2 时移特性： r 。 工( f f ) = 爿。( “一f c 。s 口) e x p 一，- s i n a c o s a - u r s i n ) c 2 - t 2 ， 3 频移特性： 尺口 心) e x p ( 朋) = 以( u - v s i n a ) e x p _ ( 导s i n 口c 。s 口+ w c 。s 口) c 2 彤， 4 微分特性： 只吨掣 = u j s i n e 砷) + c 掣 协 其中拿为微分算子，很容易将上式推广到刀阶微分特性 浙江工业大学硕士学位论文 5 倍乘特性： r 。 掣 = u j s i n c r + c o s a d d i 卜， 亿 尺口 = 1 c o s 托( “) 小岫掣 ( 2 - 1 6 ) 很容易将上式推广到r 阶倍乘特性 6 p a r s e v a l 关系 叩坪) = u c o s q ! + j s i n 口笥孙) 协 亡x ( f ) y ( f ) 出= e 以( 甜) 圪。( 吖) 幽 ( 2 1 8 ) 特别的，x ( ) 和y ( f ) 相同时则得到分数阶f o u r i e r 变换的能量保持特性， e ) 1 2 d f = c l i o ( 甜) 阻( 2 - 1 9 ) 下面表2 1 给出了常见信号的分数阶f o u r i e r 变换。 表2 1一些常见信号的分数阶f o u r i e r 变换 信号 具有角度6 = p 万2 的分数阶f o u r i e r 变换 l 万( f f ) ，2 2 、 1 一c o t c r ，1 等，# 茱且- 曲般黼位 、| 2 万 e 石“1 、疋刀“u 熊裂晴 2l l + t a n 口p 一，( 譬咖，若口一万2 不是万的整数倍 3 p 、i l + j t a n a e 一 ，；”锄口+ v 瓣“，若口一万2 不是石的整数倍 4 p c t 2 2 c - t a n 口 1 + i 协n 晓j2l + c t a n 口 葚一a ”t 口n ，一口，泵县- 酌敷将