（数量经济学专业论文）VaR：一种连接（Copula）函数方法的应用.pdf

摘要 传统v a r 计算方法假设金融资产收益率服从正态分布，用p e a r s o n 的线性相 关系数来反映金融资产收益率间的相关性。而在现实中，由于金融资产的收益 率存在尖峰厚尾的特征，明显具有非正态分布特征和非线性相关，因此采用传 统v a r 计算方法显然不合理，这时必须采用合理的方法度量收益率的实际分布 和相关性。而运用c o p u l a 函数方法，即由边缘分布和一个连接它们的c o p u l a 函数，可以构造灵活的多元分布函数，掌握资产组合内各金融资产收益的真实 分布与相关关系，从而可以建立起更为有效的风险管理模型。 本文主要研究c o p u l a 函数方法在计算投资组合风险值上的应用。本文首 先对v a r 的概念作了简单的介绍，并且概括了v a r 计算方法的发展现状。接 着本文对c o p u l a 函数进行了详细的介绍，且对尾部相关性进行了定义与归纳， 并使用c o p u l a 函数将其表示出来。然后利用g a r c h 模型去除了数据的波动 性和相关性，从而得到独立同分布且服从厚尾分布的残差项，再利用极值理 论分析残差项，至此得到对c o p u l a 函数的边缘分布的拟合，之后得到c o p u l a 函数。根据已得到的c o p u l a 函数本文构建了反映金融资产收益率实际分布和 相关性的联合分布函数，接着研究了用于计算投资组合v a r 的基于c o p u l a 函 数的m o n t ec a r l o 仿真技术。然后本文将得到结果与g a r c h g e d - - g u m b e l c o p u l a 等模型得到的结果进行对比分析：给定置信水平，在投资额一定的情 况下，与对单个指数进行投资相比，对投资组合应用g a r c h g p d - - q 3 u m b e l c o p u l a 模型更能降低投资风险，从而表明g a r c h g p 咖u m b e lc o p u l a 模型 在计算投资组合的v a r 值上具有定的优越性。 本文主要的不同之处是结合g a r c h 模型、极值理论和c o p u l a 函数求得 投资组合的v a r 值。 关键词： c o p u l a 函数，g a r c h 模型，极值理论，m o n t ec a r l o 仿真技术，投 资组合v a r a bs t r a c t t t r a d i t i o n a lc a l c u l a t i o nm e t h o do f v a l u ea tr i s ko f t h ep o r t f o l i os u p p o s e st h a t t h er e t u r nr a t e so ft h ef i n a n c i a la s s e t ss h o u l db eo b e y e dt h en o r m a ld i s t r i b u t i o n ， a l s od i s c r i b e st h ed e p e n d e n c eo ft h er e t u r nr a t e so ft h ef i n a n c i a la s s e t sw i t ht h e l i n e a rc o r r e l a t i o no fp e a r s o n h o w e v e r ，i np r a c t i c et h er e t u r nr a t e so ft h ef i n a n c i a l a s s e t so b v i o u s l yh a v et h ec h a r a c t e ro fn o n n o r m a ld i s t r i b u t i o na n dn o n l i n e a r c o r r e l a t i o nb e c a u s eo fs h a r pp e a ka n dt h i c kt a i lo ft h ed i s t r i b u t i o no ft h er e t u r n r a t e s h e n c e i ti sn o tr a t i o n a lt ou s et h et t r a d i t i o n a lc a l c u l a t i o nm e t h o do fv a l u ea t r i s k o ft h ep o r t f o l i o t h e r e f o r ei ti sn e c e s s a r yt o a p p l yr a t i o n a l m e t h o di n d i s c r i b i n gt h e r e a ld i s t r i b u t i o na n dd e p e n d e n c eo ft h er e t u r nr a t e s h o w e v e r , a p p l y i n g t h e c o p u l af u n c t i o n ，w h i c h c a l l c o n j u n c t i o n w i t ha n y m a r g i n a l _ d i s t r i b u t i o n s ，w ec a nc o n s t r u c tan i m b l em u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o na n do b t a i nt h e r e a ld i s t r i b u t i o na n dd e p e n d e n c eo ft h er e t u r nr a t e s ，t h e nw ec a l lc o n s t r u c tai y i o r e e f f i c i e n tr i s km a n a g e m e n tm o d e l t h i s p a p e rm a i n l ys t u d y t h e a p p l i c a t i o n a b o u tt h e c o p u l af u n c t i o n i n c o m p u t i n gt h ev a l u ea tr i s ko ft h ep o t f o l i o i nt h i sp a p e r , f i r s t l yig i v eas i m p l e i n t r o d u t i o na b o u tt h ec o n c e p to fv a l u ea tr i s ka n dc o n c l u d et h ed e v e l o p m e n to f t h ec a l c u l a t i o nm e t h o do fv a l u ea tr i s k a n dt h i sp a p e rg i v e sad e t a i l e di n t r o d u t i o n a b o u tt h ec o p u l a a l s oii n t r o d u c ea b o u tt h ed e f i n i t i no ft h et a i ld e p e n d e n c e ，a n d e x p r e s si tw i t ht h ec o p u l af u n c t i o n t h e nic a na p p l yt h eg a r c h m o d e li ng e t t i n g r i do ft h ef l u c t u a t i o na n dc o r r e l a t i o n ，a l s oa p p l yt h ee x t r e m ev a l u et h e o r yi n a n i y z i n gt h er e s i d u a le r r o rw h i c hi si n d e p e n d e n t ea n dt o g e t h e ro b e y st h et h i c kt a i l d i s t r i b u t i o n a n df i tt ot h em a r g i n a ld i s t r i b u t i o no ft h ec o p u l af u n c t i o nw i t ht h e g a r c hm o d e la n dt h ee x t r e m ev a l u et h e o r y a n dt h e n ，o nt h eb a s i so ft h ec o p u l a f u n c t i o n ，ic a nc o n s t r u c tt h ej o i n td i s t r i b u t i o nt h a tr e f l e c t st h ed e p e n d e n c ea n dt h e r e a ld i s t r i b u t i o no ft h er e t u r nr a t e sa b o u tf i n a n c i a la s s e t s m o r e o v e ris t u d yt h e m o n t ec a r l os i m u l a t i o nt e c h n i q u ew h i c hi su s e dt oc o m p u t et h ev a l u ea tr i s ko f t h ep o t f o l i o f i n a l l y , c o m p a r i n gt oo t h e rm e t l l o d s ，w ew i l lf i n dt h a tg i v i n gt h e a m o u n to ft h ei n v e s t m e n ta n dc o n f i d e n c el e v e l ，t h e p o t f o l i o w i t ha p p l i c a t i o n t t g a r c h g p d g u m b e lc o p u l am o d e lc a nr e d u c em o r er i s ko f1 n v e s t m e n t c o m p a r i n gt ot h ei n v e s t m e n ti nai n d e x ，s oi ts h o w st h a tg a r c h g p d g u m b e l c o p u l am o d e li ss u p e r i o r i t y i nt h i sp a p e r ，t h e r ei sd i f f e r e n tw i t ho t h e rp a p e r sa b o u tc o m p u t i n gt h ev a l u e a tr i s ko ft h ep o r t f o l i oc o m b i n i n gg a r c h m o d e l ，t h ee x t r e m ev a l u et h e o r ya n d t h ec o p u l af u n e t i o n k e yw o d s ：c o p u l af u n c t i o n ，g a r c hm o d e l ，e x t r e m ev a l u et h e o r y , m o n t ec a r l o s i m u l a t i o nt e c h n i q u e ，v a l u ea tr i s ko f t h ep o r t f o l i o m 一 东北财经大学研究生学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文憾：一种连接 ( c o p u l a ) 函数方法的应用，是本人在导师指导下，在东北财经大学 攻读硕士学位期间独立进行研究所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明 部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果，对本文的研究工作做出重要贡 献的个人和集体均已注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：喜p 雪棼 日期：砒年j f 月日 东北财经大学研究生学位论文使用授权书 ：一种连接( c o p u l a ) 函数方法的应用系本人在东 北财经大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研 究成果归东北财经大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。 本人完全了解东北财经大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权 东北财经大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文 的全部或部分内容。 作者签名：喜f ；雪药 导师签名：易嘎了留 日期：2 粕年，j 月r 日 日期：一5 年f f 月7 嵋 第1 章引言 第1 章引言 1 1 研究的背景及问题的提出 2 0 世纪7 0 年代以来，随着利率、汇率波动的加剧，金融业管制的放松和 金融自由化的发展，全球范围内的汇率、利率、股票价格呈现高度的波动性， 特别是9 0 年代以来，全球金融市场不断出现大幅的市场振荡，市场风险已经 成为现代金融风险管理的重要内容。近年来，巴林银行、长期资本管理公司 等一系列因承担市场风险而发生巨额损失甚至倒闭的案例，使得无论金融机 构还是监管机构都日益重视导致灾难性后果的金融风险的管理。为使风险管 理体现客观性和科学性，金融风险管理多采用定量分析技术，大量运用数理 统计模型来识别、度量和监测风险。风险价值( v a l u ea tr i s k ，以下简称v a r ) 模 型正是这样一种定量工具，目前已受到业界的广泛认可，为全世界许多金融 机构所采用。 v a r 被定义为：在正常的市场条件下，某一给定的置信水平下，资产( 一个 货币单位) 在某一时间段内的最大可能损失。 v a r 回答了下面的问题：在一段持续期y 内，遭到概率为t 2 ：的最大损失是 多少? 它比传统的风险测量技术，如到期日、持续期以及缺口分析等有更大的 适应性和科学性。正因为如此，在金融风险控制、业绩评估以及金融监管等 方面v a r 被广泛应用。 然而，在通常情况下，我们不应该忽视估计v a r 的关键问题：就是对金融 资产收益率的联合分布假设服从某一类型的分布( 一般假设服从正态性分布) 是否有效? 这个问题主要涉及到两个重要的方面：一方面是单个资产收益率 分布函数的特征，尤其是尾部特征是什么样的；另一方面是金融资产收益率 之间的相关性是什么样的。 传统v a r 计算方法- - r i s k m e t r i c s 方法。是由j p m o r g a n 银行于1 9 9 4 年首先 推出的。r i s k m e t r i c s 方法是基于v a r 的一种风险度量方法，假设金融资产收益 率服从正态分布，用p e a r s o n 的线性相关系数来反映金融资产收益率间的相关 性。而在现实中，由于金融资产的收益率存在尖峰厚尾的特征，明显具有非 正态分布特征和非线性相关，因此采用传统v 状计算方法显然不合理，这时必 须采用合理的方法度量收益率的实际分布和相关性。本文主要利用g a r c h 模 v a r ：一种连接函数( c o p u l a ) 方法的应用 型与极值理论相结合来拟合c o p u l a 函数的边缘分布，再通过c o p u l a 函数得到金 融资产收益率的联合分布函数，在此基础上利用蒙特卡罗仿真技术求得投资 组合的v a r 。 1 2 v a r 简介 1 2 1 v a r 的产生 2 0 世纪7 0 年代以来，随着经济的全球化及投资的自由化趋势，金融市 场的波动性日趋加剧，金融风险管理已成为金融机构和工商企业管理的核心 内容。所谓金融风险，是指金融机构、非金融企业和个人未来收益的不确定 性。金融机构所面临的主要金融风险有市场风险、信用风险、流动性风险、 操作风险和法律风险等。其中，市场风险是指由于利率、汇率、股指、商品 价格等市场因素的变化而导致金融资产收益的不确定性。 上世纪7 0 年代以前，由于金融市场价格变化比较平稳，金融风险突出的 表现为信用风险。然而，进入7 0 年代以来，全球金融系统发生了巨大变化： ( 一) 全球金融市场的变革以布雷顿森林体系崩溃为标志的固定价 格体系演变为市场价格体系，不同国家利率的差异和及其汇率与远期汇率的 差异存在套利机会，金融市场交易速度的加快和交易量的空前增加，金融市 场一体化的趋势等，导致全球范围内金融市场的复杂性、波动性和互动 ( c o m o v e m e n t ) 传染效应日趋加剧； ( 二) 现代金融理论的突破( 主要是b l a c k s c h o l e s 期权定价公式) ，信 息技术( 计算机与通讯技术) 的巨大进展，金融工程技术的广泛应用等多方 面的技术进步，导致的以衍生工具的爆发性增长为标志的金融创新活动在提 高金融市场有效性的同时，也增加了金融市场的波动性和脆弱性； ( 三) 西方主要发达国家奉行的放松金融管制浪潮又为金融创新提供了 良好的环境。 这三股力量及其交互作用使全球金融市场呈现出前所未有的波动性和不确定 性，从而，市场风险也随之成为今日金融风险的最主要形式。 近年来，国际上诸多金融机构和跨国公司由于市场风险管理不善而导致的 巨额损失比比皆是，从巴林银行的倒闭，日本大和银行巨额交易亏损到美国 奥伦治县政府破产，都充分说明市场风险在金融机构面临的诸多风险中处于 2 第1 章引言 核心地位o 。 在这样的背景下，金融监管部门、金融机构近年来纷纷投入巨额经费深入 研究市场风险和相关金融理论，以期把握风险背后所隐藏的经济规律，开发 出尽可能准确的度量金融风险的工具和方法，从而达到市场风险管理的目的。 市场风险管理者就是金融机构或工商企业在准确辨识和测量市场风险的 基础上，根据其竞争优势及风险偏好，利用各种工具和技术对风险进行规 避与防范，转移( 分散化，对冲，保险) 和保留( 风险定价和风险资本金 配置) 的过程。市场风险管理的基础和关键在于测量风险，即将风险的特 性定量化。面对包含各式各样复杂衍生金融工具( 特别是期权类非线性工 具) 的组合证券，传统的线性度量，如d e l t a 、久期( d u r a t i o n ) 、口已不再适 应；即使引入凸性( c o n v e x i t y ) ，当标的资产价格发生巨大变动时，也不能准 确的估计风险：基于期权的度量( 如g a m m a ) 虽然可以计算单一证券的风险， 但是不能概括证券组合的总体市场风险。因此，迫切需要一种既能处理非 线性的期权又可以提供总体风险的市场风险测量方法。在这个背景下，v a r 方法便应运而生了。 1 2 2v a r 的概念描述 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 称为风险价值，是指在一定持有期、给定置信度下， 某金融资产所面临的最大可能损失，它直观的描述了市场风险的大小，便 于金融监管和操作，是较好的风险指标。自上世纪8 0 年代末v a r 首次被一 些金融公司用于测量交易性证券的市场风险后，v a r 已得到广泛的应用。 1 9 9 6 年巴塞尔协议修正案更提出将v a r 作为全球各金融机构进行风险 度量的基本方法。 v a r 实质上是时间序列数据分布的分位数，即金融资产x 的v a r 为 v a r ( x ) = 工。= f 1 ) ( 1 1 ) 其中口为概率水平，如0 9 ，o 9 5 等，f 。1 为x 的分布函数f 的反函数。例如， 假设某公司2 0 0 5 年年报披露，2 0 0 5 年该公司一天的9 5 v a r 值为2 0 0 0 万美 元。其含义是指，公司可以以9 5 的可能性保证，2 0 0 5 年每一特定时点上的 证券组合在未来的2 4 小时内，由于市场价格变动而带来的损失不会超过2 0 0 0 万美元。 v a r 本质上是对证券组合价值波动的统计测量，其核心在于构造证券组 一 合价值变化的概率分布。基本思想仍然是利用证券组合价值的历史波动信息 来推断未来情形，只不过对未来价值波动的推断给出的不是一个确定值，而 是一个概率分布。在多数情况下，由于证券组合庞大而且复杂，并且保留证 券组合中所有证券的历史数据不大现实，因此直接估算某种证券组合的收益 ( 或损失) 机会是不可能的，v a r 的计算是每一个证券组合价值变化的利率、 汇率、股指及商品价格等基础变量。 基于上述基本思想，v a r 计算的基本步骤包括辩识市场因素，并将证券组 合中的每一证券价值用市场因素表示；推测市场因素未来某一时期( 如一天) 的变化情形；由市场因素的未来情形估测证券组合的未来价值；求出损益分 布，在给定置信度下计算出v a r 值。 l t 2 3v a r 方法的发展现状 v a r 的概念简单，然而它的度量却是一个具有挑战性的统计问题。围绕着 v a r 的测量，许多学者进行了深入讨论。1 9 9 4 年，j p m o r g a n 银行首先推出了 基于v a r 的风险度量系统- - r i s k m e t r i c s ，在正态分布以及线性相关性的假设 下，r i s k m e t r i c s 给出了计算资产组合v a r 值的方法。由于正态分布所具有的 一些特性，如参数的估计简单易行，r i s k m e t r i c s 方法一直被广泛地使用。景 乃权( 2 0 0 3 ) 从理论上介绍了r i s k m e t r i c s 方法在投资组合管理中的应用，王鲁 平( 2 0 0 4 ) 针对沪深股市利用r i s k m e t r i c s 方法求得组合的v a r 值。然而，对 大量的历史数据的实证分析表明，实际的资产回报较之正态分布有明显厚尾 性，显然，正态分布无法准确的拟合实际数据分布。而且，在随机变量分布 尾部较厚时，线性相关性也会失去意义。在这种情况下，一些学者 提出可以 利用c o p u l a 函数方法弥补r i s k m e t r i c s 方法的不足。c o p u l a 函数实质上是边缘 分布到联合分布的一个映射，在建模时可以根据边缘分布的实际特性选择不 同的边缘分布模型。下面是本文具体的安排：第2 章主要介绍c o p u l a 函数的 定义、性质、类型以及利用c o p u l a 函数表示的相关性；第3 章主要研究根据 c o p u l a 构建反映金融资产收益率的联合分布函数，在此基础上利用蒙特卡罗 模拟计算资产组合的v a r ：第4 章结合g a r c h 模型、极值理论和c o p u l a 函 数对上海证券交易所a 股指数与b 股指数进行实证分析，求得两指数组合的 v a r 值；第5 章总结本文并展望未来的研究方向。 第1 章引言 注释 ”p h i l i p p ej o r i o n r i s k ：m e a s u r i n gt h er i s ki nv a l u ea tr i s k j f i n a c ea n a l y s i sj o u r t m l ， n o v - d e c ，1 9 9 6 ：4 7 - 5 6 o 见附录a 8 菲利普乔瑞【美】著，张海鱼等译，风险价值金融风险管理新标准嗍，中信出版社， 2 0 0 0 1 0 ：1 3 2 0 。王春峰，金融市场风险管理【m 】，天津大学出版社，2 0 0 1 2 ：7 1 7 3 o 参见参考文献 2 】、 5 】、【2 l 】、【2 2 】 第2 章c o p u l a 函数 在现实金融市场中，金融资产收益率的联合分布中存在两种非对称现象。 第一种非对称指单个股票收益率偏度不等于零，具有非对称分布，表现为尖 峰和厚尾特征：第二种非对称是金融资产收益率之间相关的非对称：这种非 对称相关表现为，在市场处于下降的趋势时( 熊市) ，尤其是极端下降时，金 融资产收益率之间的相关性比正常时或上升时( 牛市) 的相关性大。最近 a n g ，c h e n ( 2 0 0 1 ) 和c l a u d e ，c a m p b e l l ，l o n g i n 和s o l n i k ( 2 0 0 1 ) 等学者的研究 文献中报道了股票之间这种非对称相关现象。b r e y m a n n ，d i a s 和 e m b r e e h t s ( 2 0 0 3 ) 、m a s h a l 和z e e v i ( 2 0 0 2 ) 对外汇资产和股票资产收益率的相关 性研究的结果表明，金融资产收益率在尾部具有更强的相关性，并且这种相 关性的大小与金融资产收益率的频率有关，高频数据比低频数据具有更强的 相关性。曾健、陈俊芳( 2 0 0 5 ) 通过对中国股票收益相关性的研究，发现中 国股票收益存在很高的尾部极值相关。忽略金融资产收益率的尾部相关性将 会导致在市场趋于下降时过高估计资产组合分散化投资降低风险的作用。 为了有效地度量金融资产收益率的真实分布与相关性，需要多元分布函 数理论。多元分布函数是描述随机变量相关性的最根本的方法，但传统的多 元分布函数在实际应用中存在一些缺陷。传统的多元分布函数在变量较多时 解析式很难处理，并且存在一系列约束条件，不仅要求各个边缘分布函数类 型与多元分布函数类型一样，而且各个边缘分布必须完全相同。资产组合尤 其是含有不同种类资产的资产组合( 股票和外汇) 的边缘分布函数通常不符 合同一类型的分布函数，这种情况使得多元分布函数很难在资产组合管理中 得到应用。而通过c o p u l a i 函数方法可以构造灵活的多元分布函数，掌握资产组 合内各金融资产收益的真实分布与相关关系。 c o p u l a 函数方法是相关性建模的重要方法，且大有成为度量相关性结构 标准方法的趋势。在国外，直到1 9 9 9 年以后，c o p u l a 函数方法才开始在金融 领域里得到应用。e m b r e c h t s ，m c n e i l ，s t r a u m a n n ( 1 9 9 9 ) 最早将c o p u l a 函数应用 于金融领域：l i ( 1 9 9 9 ) $ 0 用c o p u l a 函数研究信用风险模型的相关性问题； c e s k e ，h e m a n d e z ( 1 9 9 9 ) 提出可以将c o p u l a 函数与m o n t e c a r l o 技术结合计算相 关损失，以j o h a ns e g e r s ( 2 0 0 4 ) 为代表的科学家进一步的把极值理论和c o p u l a 联系在一起，为我们度量尾部风险的相关性结构提供了有力的理论武器。 在我国，c o p u l a 函数方法在金融上的应用才刚刚起步，且其中绝大多数 文献做的是介绍性、引入性的研究。最早见的是张尧庭( 2 0 0 2 ) 提出c o p u l a 函 数在金融风险领域大有可为；史道济( 2 0 0 5 ) 利用c o p u l a 函数研究外汇组合的 相关性：司继文( 2 0 0 4 ，2 0 0 5 ) 分别将c o p u l a 函数应用于国内外的股票市场和期 货市场；韦艳华、张世英( 2 0 0 4 ) 将g a r c h 模型应用于c o p u l a 函数。来度量 金融时间序列的自相关结构。前人的研究主要集中在利用c o p u l a 函数对股市 或资产组合的相关性研究。而韦艳华( 2 0 0 4 ) 利用g a r c h 模型拟合正态c o p u l a 函数的边缘分布，然后运用m o n t ec a r l o 仿真技术计算投资组合的v a r 。而本 文也利用c o p u l a 函数来求取投资组合的v a r ，但主要是采用g a r c h 模型与 极值理论相结合来拟合g u m b e lc o p u l a 函数的边缘分布，然后运用m o n t ec a r l o 仿真技术计算投资组合的v a r 。 考虑到国内对c o p u l a 函数的研究尚处于起步阶段，本章将对其基本理论 进行介绍。下面就( 1 ) c o p u l a 函数的定义：( 2 ) c o p u l a 函数的性质：( 3 ) 常 用的c o p u l a 函数等内容进行简要的介绍。 2 1c o p u l a 函数的定义 c o p u l a 一词原意是交换、连接的意思。在数学中，它是指把多个变量的 联合分布与它们的边缘分布连接在一起的函数。 根据n e l s e n 。的定义，n 元c o p u l a 函数是指具有以下性质的函数c ： ( 1 ) d o r a c = i “= o ，】“； ( 2 ) c 对它的每一个变量都是递增的； ( 3 ) c 的边缘分布c 。( ) 满足： c j ( “。) = c 0 ，一，1 ，“。，l ，1 ) = “。( 2 - 1 ) 其中“。 o ，1 ，n 【1 ，n 】； 显然根据上面的定义，若存在n 个随机变量x ix 2 c h ，令“。等于x 。的 累积分布函数，即u 。= f ( x 。) ，n = 1 , 2 ，n ，那么函数 c ( u t ，u 2 ，m n ) = c ( f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) ，f ( x ) ) ( 2 2 ) 代表了以f ( x o ，f ( 屯) ，f ( x , v ) 为边缘分布的一个多元分布。 s k l a r 定理：令f 为具有边缘分布r ( x ) ，f ( x 2 ) ，f ( x 。) 的联合分布函数，那么 存在一个c o p u l a 函数，满足： f ( x 1 ，x 2 ，一，x ) = c ( f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) ，f ( x ) )( 2 3 ) 若f ( x 】) ，f ( x 2 ) ，f ( x ) 连续，则函数c 唯一确定；反之，若f ( x 。) ，f ( x 2 ) ， f ( x ) 为一元分布，那么由上式确定的函数f 是边缘分布f ( x ) ，f ( x ：) ， f ( x 。) 的联合分布函数。 由此可以看出，c o p u l a 函数本质就是一个由边缘分布到联合分布的映射， s k l a r 定理确立了c o p u l a 函数的一般性与唯一性，它为我们求取联合分布函数 提供了一个便捷的通道，为计算v a r 提供了基本的条件。 就金融应用而言，通常数据建模一开始就给定一个多元分布的假设，而 不是根据数据的特点选择合适的多元分布。最常见的就是在不同资产价格关 系的建模上，分布常常假设要么是多元正态分布，要么是对数正态分布的， 即使这些假设并不合适。但c o p u l a 函数方法却提供了一种强大的金融数据建 模，因为建模的问题被分解成两个部分： 第一步，确认各自的边缘分布： 第二步，定义一个合适的c o p u l a 函数来正确表达它们之间的相关性结构。 另外，通过c o p u l a 函数c 的密度函数c 和边缘分布f ( x 。) ，f ( x ：) ，f ( x ) ， 可以方便地求出n 元分布函数f ( x 。，工：，h ) 的密度函数： f ( x 。，x ：，x 。) = c ( f ( x 。) ，f ( x 2 ) ，f ) ) ( 矗) ( 2 - 4 ) n = l 其中c ( u 。，：，“。) = 竺芸每垒掣，五( ) 是边缘分布e ( ) 的密度函数。 2 2c o p u l a 函数的性质 为直观起见，下面以二元c o p u l a 函数c ( u ，v ) 为例来说明c o p u l a 函数的基 本性质o ： ( 1 ) 对于变量u 和v ，c ( u ，v ) 都是递增的；即若保持一个边缘分布不变， 联合分布将随着另一个边缘分布的增大而增大； ( 2 ) c ( o ，v ) = c ( u ，o ) = 0 ，c ( 1 ，v ) ：v ，c ( u ，1 ) = u ；即只要有一个边缘分布的发生 概率为0 ，相应的联合分布的发生概率就为0 ；若有一个边缘分布的发生概率 为1 。则联合分布由另一个边缘分布给出； ( 3 ) v u i ，2 ，y 1 ，v 2 【0 ，l 】，女口果甜1 “2 ，v 1 。( 2 1 4 ) ( 4 ) 学生t - - c o p u l a 函数族 p + 1 “州加t 7 l ( u ) t 烈杀 + 箐荆了姗 ( 2 - 1 5 ) ( 5 ) 正态c o p u l a 函数族 c 。c “，v ，= 。曲 。”五习i 乏1 雨e x p 一! 毛署! j 罢 出面 ( 2 - 1 6 ) r 、：为相关系数矩阵。 其中将( 1 ) ：( 2 ) 、( 3 ) 称为阿基米德连接函数，将( 4 ) 、( 5 ) 称为椭圆类连接函数。 2 4 以c o p u l a 函数表示的相关性 在任何一本概率论的书上都有对事件a 、b 之间相关性的定义，直观地认 为，相关性就是当一个随机变量取值变大时，另一个随机变量变大或变小的 概率。根据概率值的正负，可分为正相关与负相关两种情况( 特别的情况是 独立，即相互闻取值不受影响) ，对于随机变量间相关性的衡量，一般都是通 过随机变量间的条件分布来描述，但往往这种形式较为复杂，而且不够直观， 历史上想通过简单的可以比较大小的标量来刻画，比如相关系数等。从而有： 有两个随机变量为x 、y ，则其相关系数 p ：c o y ( x , y ) f 2 1 7 1 6 x o ? 其中c o v ( x ，y ) 代表随机变量x ，y 的协方差，仃。，唧代表各自的标准差。 相关系数的使用极为广泛，因为这是由p e a r s o n 引入，所以又称为p e a r s o n 线性相关系数。 在x ，y 为正态分布时，p 是两者相关性的良好反映，因为正态分布的相 关性完全被相关系数所刻画。但是在其他情况，p 并不能良好的反映随机变 量间的相关性。其原因有两点，一是当随机变量的分布尾部较厚时，可能不 存在一阶矩或二阶矩，使得p 的定义失效，比如随机变量x 是c a u c h y 分布时， 其期望与方差都为0 0 ，虽然可以从中计算得到p 的估计，但此时p 已失去意义； 二是因为有 c o y ( x , y ) ：墅二丝! o x o rt x a y ( 2 - 1 8 ) 从而计算p 时是在整个定义域上积分计算期望，当随机变量y 与x 之间有阶 段性相反的相关时，则相反的相关系数互相抵消，得到较小的p ，容易被误 导为两随机变量间相关性较弱。极端的情况为对正态分布的随机变量x 与 y = 工2 ，y 被x 完全决定，但由于在x 0 时，x 与y 是负相关关系，在z 0 ， x 与y 是正相关关系，且两部分完全对称，在计算期望时，相关关系完全抵 消，得到p = 0 ，这不能反映x ，y 之间的相关性特征。对此情况，历史上引 入了秩相关系数。： 假定有两个随机变量x f 和】，g ，其联合分布为h ( x ，y ) ，设样本一。，y f 分别来自f 和g ，以r ，q 分别表示，i 在一，2 ，z 。，i ，e ，l 中的秩， 则样本秩相关系数为 ( r ，一豆) ( q 一百) ( 2 - 1 9 ) 这是由s p e a r m a n 于1 9 0 4 年提出的，称之为s p e a r m a n 秩相关系数，对于总体 来说，其形式为： p = 1 2f f f ( 工) g ( y ) d h ( x ，y ) 一3 = 1 2 仃h d f a a 一3( 2 2 0 ) 其中e r ( x ，y ) = p r x z ，y y ) = 1 一f ( x ) 一g ( y ) + h ( x ，y ) 。基于类似的考虑， k e n d a l l 于1 9 3 8 年提出另一种秩相关系数，可称之为k e n d a l l 秩相关系数，其 形式为： f = 4 i | h ( x ，y ) d h ( x ，力- 1( 2 - 2 1 ) 这两种相关系数的作用等价，实际上，可以证明它们之间有一个变换关系。 秩相关系数特点在于对x ，y 作严格增变换时，其系数大小不变，这是 p e a r s o n 线性相关系数所没有的性质。由于计算秩相关系数实质只与样本的大 小次序有关，而与具体的数值无关，这就克服了p e a r s o n 线性相关系数不能反 映非线性相关的特点，能够作为合适的评判相关性标准，同时，对任何的分 布函数，无论其各阶矩是否存在，秩相关系数总存在。 一1 1 值得注意的是，所有的相关系数所反映的都只是两个随机变量间在整个 分布上的相关关系综合，在局部上相关系数失去它们的意义。我们不能因为 一个相关系数比另一个相关系数大，就能得出结论说在任何区域上，其各自 代表的随机变量间的相关系数都是有同样的大小关系。 要想明确知道变量问的相关关系，关键还要了解它们之间的相关结构。 这可以通过引入前面所介绍的c o p u l a 函数来解决。 一个二维的c o p u l a 函数是定义在 0 ，1 】2 上的二维分布函数，其边际分布为 【o ，1 上的均匀分布。 关于c o p u l a 的个重要性质有：若一个二维的分布函数h ( x ，y ) ，其边际 分布分别为f ( x ) ，g ( y ) ，则一定存在一个c o p u l a 为c ，使得 h ( x ，_ y ) = c ( f ( j ) ，g ( y ) ) = c ( u ，v )( 2 2 2 ) 成立。实际上，c o p u l a 就是随机变量x ，y 的二维分布函数h 将各边际分布 由相应的分布函数f 和g 通过“= f ( 五) 和v = g ( y ) 转换为均匀分布时所得到 的函数，将各边际分布的具体形式剥离之后，反映的是x ，y 纯粹的相关结构。 联系秩相关系数的性质，可以看出对随机变量x ，y 所作的变换 ，( z ) ，g ( y ) 是单调变换，从而相应的秩相关系数可以写成下面的形式： p = 1 2i i u v d c ( u ，v ) 一3 = 1 2i i c ( “，v ) d u d v 一3 ( 2 2 3 ) 和 r = 4 j j c ( ”) d c ( u ，v ) 一i 对于单参数的阿基米德连接函数 c o p u l a 函数为例， ( 2 - 2 4 ) f 均为参数0 的解析函数。以g u m b e l f = 1 一目 f 2 - 2 5 ) 在金融