（控制理论与控制工程专业论文）非线性系统的非线性度分析及增益调度控制.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 本文针对如何判断非线性系统的 “ 非线性”程度，以及是否值得设计非线性控 制器一一这一非线性控制基本问题，提出一种基于间隙测度的非线性度量化方法。 进而利用此方法对一非线性基准锅炉系统来进行了分析与控制。对具有强非线性的 系统，提出一种基于回路成形的增益调度控制结构，简化了增益调度控制结构及设 计过程，具有参数的在线调整容易，实现简单等特点，从而为增益调度控制的工程 应用奠定了基础。最后针对一个化工过程，说明此方法的有效性。 关键词:间隙测度，非线性系统，h 回路成形，线性变参数系统，增益调度 ab s t ract h o w n o n l i n e a r a n o n l i n e a r s y s t e m c a n b e a n d w h e t h e r i t i s w o r t h t o t r y a n o n l i n e a r c o n t r o l l e r a r e f u n d a m e n t a l i s s u e s i n n o n l i n e a r c o n t r o l . g a p m e t r i c i s u s e d t o t a c k l e t h e s e i s s u e s f o r a n o n l i n e a r b e n c h m a r k b o i l e r s y s t e m . f o r a s t r o n g l y n o n l i n e a r s y s t e m, t h i s p a p e r p r o p o s e s a g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l c o n f i g u r a t i o n b a s e d o n l o o p - s h a p i n g m e t h o d , w h i c h s i m p l i f i e s t h e g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l c o n f i g u r a t i o n a n d d e s i g n . t h i s g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l l e r i s s i m p l e a n d e a s y t o t u n e o n - l i n e . i t b u i l d s a b a s i s f o r t h e e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n o f t h e g a i n - s c h e d u l i n g m e t h o d . f i n a l l y , t h e a p p r o a c h i s a p p l i e d t o a c h e m i c a l p r o c e s s t o s h o w i t s e f f e c t i v e n e s s f u c a i f e n ( c o n t r o l t h e o r y a n d c o n t r o l e n g i n e e r i n g ) d i r e c t e d b y p r o f . t a n we n k e y wo r d s : g a p m e t r i c , n o n l i n e a r s y s t e m, h l o o p s h a p i n g , l i n e a r p a r a me t e r v a ryi n g s y s t e m g a i n s c h e d u l i n g 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 本文针对如何判断非线性系统的 “ 非线性”程度，以及是否值得设计非线性控 制器一一这一非线性控制基本问题，提出一种基于间隙测度的非线性度量化方法。 进而利用此方法对一非线性基准锅炉系统来进行了分析与控制。对具有强非线性的 系统，提出一种基于回路成形的增益调度控制结构，简化了增益调度控制结构及设 计过程，具有参数的在线调整容易，实现简单等特点，从而为增益调度控制的工程 应用奠定了基础。最后针对一个化工过程，说明此方法的有效性。 关键词 :间隙测度，非线性系统，h 回路成形，线性变参数系统，增益调度 abs tract h o w n o n l i n e a r a n o n l i n e a r s y s t e m c a n b e a n d w h e t h e r i t i s w o r t h t o t r y a n o n l i n e a r c o n t r o l l e r a r e f u n d a m e n t a l i s s u e s i n n o n l i n e a r c o n t r o l . g a p m e t r i c i s u s e d t o t a c k l e t h e s e i s s u e s f o r a n o n l i n e a r b e n c h m a r k b o i l e r s y s t e m . f o r a s t r o n g l y n o n l i n e a r s y s t e m, t h i s p a p e r p r o p o s e s a g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l c o n fi g u r a t i o n b a s e d o n l o o p - s h a p i n g m e t h o d , w h i c h s i m p l i f i e s t h e g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l c o n f i g u r a t i o n a n d d e s i g n . t h i s g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l l e r i s s i m p l e a n d e a s y t o t u n e o n - l i n e . i t b u i l d s a b a s i s f o r t h e e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n o f t h e g a i n - s c h e d u l i n g m e t h o d . f i n a l l y , t h e a p p r o a c h i s a p p l i e d t o a c h e m i c a l p r o c e s s t o s h o w i t s e f f e c t i v e n e s s . f u c a i f e n ( c o n t r o l t h e o r y a n d c o n t r o l e n g i n e e r i n g ) d i r e c t e d b y p r o f . t a n we n k e y wo r d s : g a p me t r i c , n o n l i n e a r s y s t e m, 刀 . l o o p s h a p i n g , l i n e a r p a r a m e t e r v a ryi n g s y s t e mg a m s c h e d u l i n g . d二0口 尸明 本人郑重声明: 此处所提交的 硕士学位论文非线性系 统的非线性度分析及增益调 度控制 ， 是 本人在华北电 力大学攻读硕士学 位期间， 在导师指导下 进行的 研究 工作和 取得的研究成果。 据本人所知，除了文中 特别加以 标注和致谢之处外，论文中不包含其 他人己 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电 力大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名:日期: 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、 使用学位论文的规定，即: 学校有权保管、 并向 有关部门 送交学位论文的原件与复印件; 学校可以采用影印、 缩印或其它复制手 段复 制并保存学位论文; 学校可允许学位论文被查阅或借阅;学校可以 学术交流为 目 的 ， 复制赠送和交换学位论文; 同 意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、 传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的 学位论文在解密后遵守此规定 ) 作者签名:导师签名: 日期:日期: 华北电力大学硕士学位论文主要符号列表 ， 上p 工2 隅 r 。 h 。 r h 。 主要符号列表 鲁棒稳定裕度，槲邻两个工作点上的局部模型之间的闻隙测度“距离” 工。空刈 厶空间 皿空间 。空间 玑空间 r h 。空间 d 。( 鼻，最) 线性系统嚣，b 的间隙测度( g a pm e t r i c ) 6 p 闫环系统的h m 鲁棒穗定裕度指标 眺 龇髓塞：塞谳 堡0 ) 孑“) i f 1 只( m ，q ) e ( m ，q ) s ( m ，) 闭环系统的最大鲁棒袼度 矩阵a 的最小奇异值 矩阵“的晟人奇异值 线形分式变换 下l f t fl f 丁 星积 2 华北电 力大学硕士学位论文 第一章引言 工业过程中非线性现象很多， 然而实际控制器设计中线性控制还占绝大多数， 其原 因在于线性控制己有相当成熟的分析与设计方法， 而非线性控制策略的实施在实际中还 存在困难。 实际控制器设计中常常会遇到如下问题: . 一个非线性过程在哪些工作区域呈现线性特性? . 为什么一些过程仅需线性控制器就能取得较好的控制效果，而另一些必须采用 非线性控制器? . 线性控制器是否会影响过程的非线性? 这些问题反映了线性控制与非线性系统之间的联系， 是采用线性方法分析和控制非线性 系统的基础。只有知道这些问题的答案， 刁能了解所研究的系统是否能够以及怎样采用 线性控制策略来控制。 因此， 面对一个非线性过程， 在试图采用非线性控制器之前， 应 试图确定如下问题的答案: . 该过程非线性程度有多大? . 该过程在稳态操作点附近多大的范围内 可近似为线性过程? . 线性控制对该过程是否足够?是否有必要采少 ， 非线性控制? 研究系统的非线性度是解决这些问题的一个i 1j 取思路。在过去的几年中，非线 j性度引起了广泛的瞩目，各种定义和计算方法相继被提出。具体内容可查阅仁 月及 其参考文献。可惜的是，目前非线性度还不易计算，并且需要得到详细的非线性模 型才能进行，因此在实际中还未得到应用。 本文针对过程系统的动态非线性，利用 间隙测度 2 , 3 这一工具，提出非线性度的一种间接计算方法。该方法具有如下两 个特点: 1 .无需系统具体的非线性模型，具有较大实用性。 2 .可以给出合理的运行轨迹， 使得单个 ( 鲁棒) 线性控制器能够满足系统在整 个工作区域上的控制要求。 本文针对一基准锅炉系统进行了非线性分析与线性控制器设计，验证了以上结果。 当系统的非线性很强， 且单个线性控制器不能满足设计指标的要求时， 我们就必须 考虑采用非线性控制技术了。 非线性控制器通常很难实现， 并且设计参数的解释大多数 情况下也不直观， 所以非线性控制技术在实际中 应用不多。 工业过程中常见的策略是多 模型 控制 方 法 4 以 及增 益 调 度 方 法【 5 a 增益调度是在直观的线性系统理论和非线性系统理论之间的一个折衷算法。 换 句话说， 增益调度是线性控制设计技术的一个延伸。 最近的增益调度方法采用所谓 线性变参数( l p v )系统来描述被控过程， 尽管这种基于 l p v增益调度方法 6 , 7 1 较 华北电力大学硕十学位论文 传统的增益调度方法【 8 取得较大的发展， 但在实际工程应用中 还存在两个方面的问 题 : l p v增益调度结构复杂，不利于实现和在线调整; 增益调度设计过程复杂，不易为工程设计人员掌握。 为此，本文提出一种基于回路成形 9 , 1 0 的增益调度控制结构及其设计方法。该方 法将调度变量引入到原系统的补偿器中，从而简化了增益调度控制结构及设计过 程，具有参数的在线调整容易，实现简单等特点。 1 . 1 课题内容和背景 1 ， 1 . 1 非线性的量化问题 非线性系统的研究在过去的几一 一 年里已取得不少成果。 然而， 关于非线性程度 的量化问题还是近几年里才得到重视的。目前系统的非线性度的研究在国外有以下 几种方法: 1 .稳态图方法。g u a y ( 1 9 9 5 ) 1 1 利用非线性系统的稳态图的 1 阶和 2阶导数 来量化静态非线性。动态非线性的推广见 g u a y ( 1 9 9 6 ) 1 2 1 。该方法利用了系统的 几何特性， 简单明了，但是这种稳态图在实际中不易获得，并且存在2 阶导数的要 求过于苛刻。 2 .泛函无限级数方法。h a r r i s 等 ( 2 0 0 0 ) 1 3 将非线性在时域中用多项式逼 近， 然后将该逼近在 l a p l a c e - b o r e l 域中展开为泛函无限级数。 当级数存在“ 很多” 高阶项时，则系统的非线性就大。 3 .协方差矩阵方法。h a h n 等 ( 2 0 0 1 ) 1 4 通过比较系统在其操作点的线性化 模型的能控和能观协方差矩阵与由操作点附近取得的数据计算出的协方差矩阵来 衡量系统非线性程度。 4 . 统计方法。 c h o u d b u r y ( 2 0 0 1 ) 1 5 1 利用反馈误差的高阶统计特性来检测系统 的非线性。 以上方法都能判断系统是否存在非线性以及存在的非线性强度， 然而在非线性 度的“ 量化”上都不太方便，而且所得信息不能直接在控制器设计中采用。目前一 种有效的 “ 量化”方法是采用算子范数方法。 熟知一个系统可以被认为是从输入空间到输出空间的算子， 因此一非线性系统 与一线性系统之间的距离 ( 范数) 就可以用来量化系统的非线性。 采用算子范数来 对非线性度的量化大体分为如下两类: 1 .开环非线性度。研究的是与控制器无关的系统本质上的非线性程度。这方 华北电力大学硕十学位论文 传统的增益调度方法【 8 取得较大的发展， 但在实际工程应用中 还存在两个方面的问 题 : l p v增益调度结构复杂，不利于实现和在线调整; 增益调度设计过程复杂，不易为工程设计人员掌握。 为此，本文提出一种基于回路成形 9 , 1 0 的增益调度控制结构及其设计方法。该方 法将调度变量引入到原系统的补偿器中，从而简化了增益调度控制结构及设计过 程，具有参数的在线调整容易，实现简单等特点。 1 . 1 课题内容和背景 1 ， 1 . 1 非线性的量化问题 非线性系统的研究在过去的几一 一 年里已取得不少成果。 然而， 关于非线性程度 的量化问题还是近几年里才得到重视的。目前系统的非线性度的研究在国外有以下 几种方法: 1 .稳态图方法。g u a y ( 1 9 9 5 ) 1 1 利用非线性系统的稳态图的 1 阶和 2阶导数 来量化静态非线性。动态非线性的推广见 g u a y ( 1 9 9 6 ) 1 2 1 。该方法利用了系统的 几何特性， 简单明了，但是这种稳态图在实际中不易获得，并且存在2 阶导数的要 求过于苛刻。 2 .泛函无限级数方法。h a r r i s 等 ( 2 0 0 0 ) 1 3 将非线性在时域中用多项式逼 近， 然后将该逼近在 l a p l a c e - b o r e l 域中展开为泛函无限级数。 当级数存在“ 很多” 高阶项时，则系统的非线性就大。 3 .协方差矩阵方法。h a h n 等 ( 2 0 0 1 ) 1 4 通过比较系统在其操作点的线性化 模型的能控和能观协方差矩阵与由操作点附近取得的数据计算出的协方差矩阵来 衡量系统非线性程度。 4 . 统计方法。 c h o u d b u r y ( 2 0 0 1 ) 1 5 1 利用反馈误差的高阶统计特性来检测系统 的非线性。 以上方法都能判断系统是否存在非线性以及存在的非线性强度， 然而在非线性 度的“ 量化”上都不太方便，而且所得信息不能直接在控制器设计中采用。目前一 种有效的 “ 量化”方法是采用算子范数方法。 熟知一个系统可以被认为是从输入空间到输出空间的算子， 因此一非线性系统 与一线性系统之间的距离 ( 范数) 就可以用来量化系统的非线性。 采用算子范数来 对非线性度的量化大体分为如下两类: 1 .开环非线性度。研究的是与控制器无关的系统本质上的非线性程度。这方 华北电力大学硕十学位论文 传统的增益调度方法【 8 取得较大的发展， 但在实际工程应用中 还存在两个方面的问 题 : l p v增益调度结构复杂，不利于实现和在线调整; 增益调度设计过程复杂，不易为工程设计人员掌握。 为此，本文提出一种基于回路成形 9 , 1 0 的增益调度控制结构及其设计方法。该方 法将调度变量引入到原系统的补偿器中，从而简化了增益调度控制结构及设计过 程，具有参数的在线调整容易，实现简单等特点。 1 . 1 课题内容和背景 1 ， 1 . 1 非线性的量化问题 非线性系统的研究在过去的几一 一 年里已取得不少成果。 然而， 关于非线性程度 的量化问题还是近几年里才得到重视的。目前系统的非线性度的研究在国外有以下 几种方法: 1 .稳态图方法。g u a y ( 1 9 9 5 ) 1 1 利用非线性系统的稳态图的 1 阶和 2阶导数 来量化静态非线性。动态非线性的推广见 g u a y ( 1 9 9 6 ) 1 2 1 。该方法利用了系统的 几何特性， 简单明了，但是这种稳态图在实际中不易获得，并且存在2 阶导数的要 求过于苛刻。 2 .泛函无限级数方法。h a r r i s 等 ( 2 0 0 0 ) 1 3 将非线性在时域中用多项式逼 近， 然后将该逼近在 l a p l a c e - b o r e l 域中展开为泛函无限级数。 当级数存在“ 很多” 高阶项时，则系统的非线性就大。 3 .协方差矩阵方法。h a h n 等 ( 2 0 0 1 ) 1 4 通过比较系统在其操作点的线性化 模型的能控和能观协方差矩阵与由操作点附近取得的数据计算出的协方差矩阵来 衡量系统非线性程度。 4 . 统计方法。 c h o u d b u r y ( 2 0 0 1 ) 1 5 1 利用反馈误差的高阶统计特性来检测系统 的非线性。 以上方法都能判断系统是否存在非线性以及存在的非线性强度， 然而在非线性 度的“ 量化”上都不太方便，而且所得信息不能直接在控制器设计中采用。目前一 种有效的 “ 量化”方法是采用算子范数方法。 熟知一个系统可以被认为是从输入空间到输出空间的算子， 因此一非线性系统 与一线性系统之间的距离 ( 范数) 就可以用来量化系统的非线性。 采用算子范数来 对非线性度的量化大体分为如下两类: 1 .开环非线性度。研究的是与控制器无关的系统本质上的非线性程度。这方 华北电力人学硕士学位论文 面的研究主要回答以下问题: 一个非线性过程的非线性程度有多大?一个非线性过 程在稳态操作点多大的范围内可近似为线性过程?目前此方面的研究有如下结果: . d e s o r a n d w a n g ( 1 9 8 0 ) 1 6 定义 非线性 度为 v := i n f l eai in 一 l ii ( 1 - 1 ) 其中最小化区域为可行集中所有线性算子l o v 等于n和l在特定输入集下的 输出的平均差异，能够由mo n t e c a r l 。 仿真方法计算出。 . 为解决诱导范数计算问 题， a l l g o w e r ( 1 9 9 6 ) 巨 7 将输入信号u 和线性算子l 用 有限维逼近参数化，然后直接进行如下优化 ; :一 in f s u pc . a .u ( 1 - 2 ) . h e l b i g ( 2 0 0 0 ) 1 8 将系统初始 状态考 虑进非线 性度计算中， 从而不 仅可以 衡量 系统操作点变化的影响，而且可以衡量初始状态带来的影响。 沪 := 蜕 s u p i n f - o xl , , e x t iin u x , 一 l 二 ， x l .o 1 ll 一n u , x n ，o 一 ( 1 一 3 ) e u , x , , e x 2 .闭环非线性度。研究的是与控制器相关的系统的非线性程度。 尽管开环非线性 度能够表示系统的非线性程度， 然而它不能提供一个非线性系统是否需要采用非线性控 制的 答案， 因为控制器可以 改变系统的非线性程度， 即 一个系统可能具有很强的非线性， 然而闭环时非线性可能减弱， 因而开环非线性强未必表明一个线性控制器不能控制好该 非线性系统。 闭环非线性度实际上要解决以下问题: 一个线性控制器是否影响非线性过程的非线 性程度?怎样影响?目 前此方面的研究有如下结果: 基于最优控制器的方法 器下系统的非线性量度 。s t a c k a n d d o y l e ( 1 9 9 7 ) 1 9 提出在最优非线性控制 基于内模控制器 ( no 的方法 i m c 控制器下系统的非线性量度 。e k e r a n d n i k o l o a u ( 2 0 0 2 ) 2 0 提出在线性 上述方法可提供系统在线性控制下的非线性度， 所得信息可直接在控制器设计中采 用。 然而这些方法仅是基于一类特殊的控制器， 不能从根本上解决非线性系统是否需要 非线性策略的问题。 3 华北电力大学硕士学位论文 1 . 1 . 2 增益调度 增益调度是非线性控制设计的流行算法之一， 它己经被广泛用于航空航天和过 程控制领域中。增益调度方法可以包括在自 适应算法中，但是不同于传统的自适应 控制，它的更新机制是离线的，而自 适应控制的更新机制是在线的。 增益调度控制 器离线调度它的反馈参数，调度量在运行工况下被参数化，并认为是可以在线测量 的。由于更新机制是离线计算得到的， 所以增益调度系统的分析比应用模型参考的 自 适应控制器要相对容易得多。 增益调度具有如下特征: . 增益调度运用强有力的线性设计工具来处理非线性问题 这在传统的增益调 度方法和最近提出的准 l p v 方法都有体现。 . 大多数性能指标是以线性的观点表达出来的， 包括时域和烦域指标。 至少在 局部意义上，这些指标被直接提出来。 1 .传统的 增益调度设计方法 传统的增益调度设计通常采用将非线性设计任务分解成许多的线性子任务的 分而治之 ( d i v i d e a n d c o n q u e r ) 方法，即首先是非线性系统在各操作点上线性化， 然后针对每一个操作点设计适合的线性控制器， 最后把这些线性控制器族组合在一 起以控制整个非线性系统【 7 a 增益调度的一个优点就是它能够将线性鲁棒控制方法融入到非线性控制器设 计里。 在传统的增益调度设计中， 关于局部控制器可以采用任何一种适合的线性控 制器设计方案， 如基于观测器的 状态反 馈控制器设计 2 1 , h 二 控 制器设计 2 2 等 等， 而对于传统的增益调度控制器设计其难点就在于如何连接这些局部控制器以实 现对整个非线性系统的控制。 目前连接局部线性控制器以形成增益调度控制器的策略主要有两种方法: . 切换策略。增益调度方法是一种准静态设计方法， “ 准”是指假设过程在局 部是线性系统并且操作条件变化缓慢。 这就使得我们可以在局部设计线性控 制器， 非线性过程可以在静态工作点线性化， 这样我们就可以在得到的线性 系统中设计线性局部控制器。 根据开关策略中的当前操作条件可以在运行范 围内的不同部分采用这些线性局部控制器。这便是切换策略 ( s w i t c h i n g m e t h o d ) 。事实上，线性化的稳定性暗示着非线性反馈系统的局部稳定性， 当运行条件变化时并不能保证整体稳定性。 因此采用这种方法， 闭环系统必 须在设计后采用仿真方法进行验证。 华北电力大学硕士学位论文 . 插值方法。即在线性控制器之间进行插值。这种插值策略可以有很多方法 实现。例如，极点、零点、增益插值。这种专门的映射方法在设计点之间的 操作点里不能保证稳定性。 尽管传统的增益调度设计方案在许多实际情况下似乎能合理地发挥作用， 但却 存在相当多的不足之处仁 2 3 1 : 没有一般性的方法把局部线性控制器结合起来。 不清楚怎样设计线性控制器使得在插值后，整个被控系统显示出理想的性 育 g o 不能保证性能， 只有通过非线性仿真才能粗略地估计选用的设计方案是否成 功。 2 . 基于l p v 的增益调度设计方法 基于传统增益调度设计方法的不足，近些年来出现了基于线性变参数( i , p v ) 系 统的增益调度方法。 这一设计方法与传统的增益调度方法不同之处在于:首先，它 直接设计出一个控制器， 而不是由线性时不变方法设计的局部控制器族结合形成控 制器。 其次， 不像传统的增益调度方法那样提供 一 个开放的框架结构， l p v方法通 常使 用基于范数的 性能 量度， 特别的， 诱导l z 范 数 被广泛运 用作为性能 量度。 在设 计方法上多 采用现代设计技术， 如在参数依赖框架下的从， h 二 控制 2 4 , 2 5 允许 的参数集以直接的方式被处理。 这样得到的控制器在预先定义的运行范围内能够保 证一定的稳定性和性能。 在增益调度中，最早使用l p v 系统的是s h a m m a第二节介绍了正规化互质因式分解:第三节介绍了关于线 性分式变换的基本知识;第四节介绍了小增益定理。 这些是间隙测度理论与基于回 路成形的鲁棒增益调度控制器设计的基础。 第三章介绍了鲁棒控制器设计技术的一个基本算法一一h m 回路成形设计方 法，以及由此带来的高阶控制器降阶问题。 第四章提出了利用间隙测度来对非线性系统进行非红性程度分析 我们从间隙 测度的观点出发来考虑非线性系统的 “ 非线性”程度如何，以及是否值得设计非线 性控制器这一非线性控制的基本问题。并对一基准锅炉系统的非线性进行分析验 证 。 第五章针对目前采用基于l p v的增益调度控制设计中存在的结构复杂性问题， 提出了一种基于回路成形的鲁棒增益调度控制算法。 此算法简化了增益调度控制结 构及设计过程，并具有参数的在线调整容易，实现简单等特点口因此，从工程实现 _ l 来说，基于回路成形的鲁棒增益调度控制结构具有很大的优势。 第六章为本文结论。 华北电力大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 . 1 函数空间和信号空间 2 . 1 . 1 1 . l p 信号空间l 。 和h z 空间 考虑所有从9 1 映射到c ” 的l e b e s g u e 可测的函数组成的向量空间1 . 。我们定义 范 数 1 1i， 如 下 : ilullp :一 f ilu (t)i;d t)p ( 2 - 1 ) 其 中 ifu 川 ， 是 c 上 的 p 一 范 数 我 们 定 义 空 间 l t, (- - jaw ) 或 l ， 为 ， l p (- 00 ,00 ) .- y 。 : 并 使 44 11- 11, o a f (s ) = s u p er f ( j w )j ( 2 - 1 1 ) 我们通常认为系统是h z 上的算子。一个系统尸 ，如果对于任何属于h z 的输入信 号， 它的输出也属于h 2 ，那么这个系统是稳定的，即一个稳定系统将具有有限能量 的输入信号映射为有限能量的输出信号。如果一个系统是不稳定的，对于有限能量 的输入信号， 它的输出可能有无限大能量的响应。h 。 是所有稳定的线性时不变的 连续时间系统的 传递函数组成的空间。 这是一个h a r d y 空间，它具有如下h 范数 11p u ll, iii .“怨。 俪 ( 2 - 1 2 ) 这样，稳定的系统具有有限的h 范数。 华北电力大学硕士学位论文 1lf llz / 州 执tracef w + i f 6sup; 27r ， 州 ( 2 - 9 ) = 牛r _ tr a c e 防 (aa l m 水 。 2 . 1 . 2 函数空间l 和h w 1 . l 空间 l 二 空间是由矩阵函数组成的一个b a n a c h 空间， 这些函数在虚轴j 93 上是本质有 界的，即 iif lim := e ss su p q lt u m ) 。 上 是 解 析 的和有界的。h m 范数定义如下 s u px , (,) o a f (s ) = s u p er f ( j w )j ( 2 - 1 1 ) 我们通常认为系统是h z 上的算子。一个系统尸 ，如果对于任何属于h z 的输入信 号， 它的输出也属于h 2 ，那么这个系统是稳定的，即一个稳定系统将具有有限能量 的输入信号映射为有限能量的输出信号。如果一个系统是不稳定的，对于有限能量 的输入信号， 它的输出可能有无限大能量的响应。h 。 是所有稳定的线性时不变的 连续时间系统的 传递函数组成的空间。 这是一个h a r d y 空间，它具有如下h 范数 11p u ll, iii .“怨。 俪 ( 2 - 1 2 ) 这样，稳定的系统具有有限的h 范数。 华北电力大学硕士学位论文 3 . r h 。 空间 r h二 空间是凡 空间的子空间，它的元素是: 的有理函数，并且是有限维系统的 传递函数，即那些用常微分方程描述的系统的传递函数。对于这些系统，上确界在 边界， 二 l (o ( 。 可能取无穷大) 取得，即 iif ih := m a x9t . 命 (g . ) ( 2 - 1 3 ) f ( s ) 在右半 平面 解析。 2 . 2 正规化互质因式分解 一个mx n 的传递函数对象 p的互质因式分解表示泪将广泛的用于本文中。实 际上， 任何m x 。 的传递函数对象尸 都可以 表示为两个万 。 函数的商， 例如尸的一个 因式分解为: p (s ) 一 n ( s )m (s ) 一 ， m , n c- h ( 2 - 1 4 ) p的任何闭右半s 平面极点都作为分母m的零点出现。 任何p都有许多这样的因式 分解。我们可以消去 m和 n的公因式，以取得相对唯一的分解形式。特别的我们 希望消去m和 n的相同的右半平面零点，使因式分解中没有隐右半平面零极点对 消。这就引出互质因式分解的概念。 定义 2 - 1 : 假设m, n e 凡 并且有相同的列数，那么m和n是右互质的，如 果存在x , y ( -= 凡 使 x m +y n =i( 2 - 1 5 ) 定 义2 - 2 :有 序 对枷 , m 是p 的 右 互 质 分 解 如 果 i ) m是可逆的， i i ) p =n m一 ， ， 华北电力大学硕士学位论文 3 . r h 。 空间 r h二 空间是凡 空间的子空间，它的元素是: 的有理函数，并且是有限维系统的 传递函数，即那些用常微分方程描述的系统的传递函数。对于这些系统，上确界在 边界， 二 l (o ( 。 可能取无穷大) 取得，即 iif ih := m a x9t . 命 (g . ) ( 2 - 1 3 ) f ( s ) 在右半 平面 解析。 2 . 2 正规化互质因式分解 一个mx n 的传递函数对象 p的互质因式分解表示泪将广泛的用于本文中。实 际上， 任何m x 。 的传递函数对象尸 都可以 表示为两个万 。 函数的商， 例如尸的一个 因式分解为: p (s ) 一 n ( s )m (s ) 一 ， m , n c- h ( 2 - 1 4 ) p的任何闭右半s 平面极点都作为分母m的零点出现。 任何p都有许多这样的因式 分解。我们可以消去 m和 n的公因式，以取得相对唯一的分解形式。特别的我们 希望消去m和 n的相同的右半平面零点，使因式分解中没有隐右半平面零极点对 消。这就引出互质因式分解的概念。 定义 2 - 1 : 假设m, n e 凡 并且有相同的列数，那么m和n是右互质的，如 果存在x , y ( -= 凡 使 x m +y n =i( 2 - 1 5 ) 定 义2 - 2 :有 序 对枷 , m 是p 的 右 互 质 分 解 如 果 i ) m是可逆的， i i ) p =n m一 ， ， 华北电力大学硕士学位论文 i i i ) n和m是右互质的。 任何尸 都 有 一 右 互 质 分 解 n , m ) ， 并 且 任 何 右 互 质 分 解 右 乘 一 单 模 传 递函 数 矩 阵 仍然是p 的 右 互 质分 解。 这 样， 给定p 的 一 个 右 互 质 分 解枷, m , p 的 所 有可能 的 右 互 质 分 解 可由n q , m q 生 成， q 为 单 模阵 ， q , q - e h . 。 本 文 应 用 最 广 泛 的 互 质分解是正规化的互质分解。 定义 2 - 3 :有 序对 n , m 是p 的 正 规 化的 右 互 质 分解 如果 n , m 是p的 右 互 质分解并且 m. m + n n=i ( 2 - 1 6 ) 任何尸 都 有 一 正 规 化 的 右 互 质 分 解 n , m ， 并 且 任 何 正 规 化的 右 互 质 分 解 右 乘 一单模常数矩阵仍然是尸的正规化的右互质分解。 对于左互质分解我们有相似的结论。 定义 2 - 4 :假设扮 ， 万e 1 7 二 并 且有 相同 的 行数， 那么后和方 是 左互质的 如果 存在x , y e h m 使 mx +ny=i ( 2 - 1 7 ) 定 义2 - 5 :有 序 对 衍 , m 是 尸 的 左 互 质 分 解 如 果 i ) m是 可逆的， i i ) p = 扮一 ，n， i i i )方和厉是左互 质的。 任 何 尸 都 有 一 左 互 质 分 解 1v ,川， 并 且 任 何 左 互 质 分 解 左 乘 一 单 模 传 递 函 数 矩 阵 仍 然 是 尸 的 左 互 质 分 解 。 这 样 ， 给 定 尸 的 一 左 互 质 分 解 t9, 司， 尸 的 所 有 可 能 的 左 互 质 分 解 可 由 痴， 而 生 成 ， q 为 单 模 阵 ， q , q - e h 定 义2 - 6 :有 序 对沂 ， 厉 是p 的 正 规 化 的 左 互 质 分 解 如 果钾 ， 后 是p 的 左 互 质分解并且 m m + 1 v n * = i( 2 - 1 8 ) 任 何 尸 都 有 一 正 规 化 的 左 互 质 分 解 n , m ， 并 且 任 何 正 规 化 的 左 互 质 分 解 左 乘 一单模常数矩阵仍然是p的正规化的左互质分解。 定义 2 - 7 :设线性系 统传递函 数对象p 有 左互质因式 分解p = 后一 ，方和右互质 华北电力大学硕士学位论文 分解尸二n m- ，我们记 l ni， _- 1 c:=!i, ( 7 :!一m ni , l m j ( 2 - 1 9 ) 则 。 和 为 线 性 系 统 尸 的 左 图 和 右 图 ， 统 称 为 ， 的 图 。 注 意 c c = 0 ， 所 以 c g 是一酉矩阵。 2 . 3 线性分式变换 ( l f t ) 2 . 3 . 1 l 丁定义 令m是一个复矩阵，分块为 、 = ) m il m 2 , c (p,v,)(ev,) l m 2 , m 2 2 1 ( 2 - 2 0 ) 令 , e c h , x r , ， 和 u e c 9 , h 为 另 外 的 两 个 复 矩 阵 ， 如 果( i - m 2 2 n , ) 一 ， 存在 ， 则 可以 在 形式上定义一个关于 ， 的下l f t 映射 石( m， 0 ，则如图2 - 3 所示的互联系统对所有满足 i ) iia ii_ 、 i i ) iia i二 l l y 的 ( s ) e r h m 是 适 定 的 和 内 稳 定 的 ， 当 且 仅 当 iim ih 改变标称受 控 对象 尸的 奇异值形 状， 变形 后的 受 控刘 一 象几 = w 2 尸 w i 具有期 1 3 的开 环形 状( 图3 - 1 ) e 2 .鲁棒 镇定: 对于 成形后的受 控对 象p , ， 寻找 控制器天 使得下 列鲁棒稳定问 题中的鲁棒稳定裕度二 为最大。 一 、 i k i+ poic)一“ 一 ( 3 一 1 ) 其中m - n 是 成 形 后的 受 控 对 象p a 的 一 个 正 规 化 左 互 质 分 解。 通 常二 介 于 0 . 2 5 到 0 . 5 之间。 3 .组合 h回路成形控制器k和成形函数 w ， 和 w 2 ，构成最终反馈控制器 k= 城k w 。 关于h 回路成形控制器设计过程如下图所示 w 2 ( 1 ) 华北电力大学硕士学位论文 只 祥-.一 w , _ 卜 -i p k ( 2) w , 一k一 厂月l ( 3 ) 图3 - 2回路成形设计过程 我们可以发现，在 h回路成形控制器设计方法中，第一步是为了满足性能要 求， 而第二步是为了 保证鲁棒性。 熟知h 。 问 题通常必须迭代求解， 然而h回 路成 形控制器设计方法中，由于问题( 3 - 1 ) 具有特殊结构，因此可以直接求解。 下a分析 该问题的求解。 3 . 1 . 2 互质因式分解的鲁棒镇定 设尸 = m- n为名义标称对 一 象的 正规化左互质分解， 摄动模型为 p a 二 沁 十 d m 犷 仿 + n ) ( 3 - 2 ) 且 m , n , 4 ,u , o , 。 r h m ， ilk , ( 3 - 1 ) 实际上考虑的是图3 n alm : 。 - 3 所示的反馈控制系统的鲁棒稳定问题。若互质因式 摄动上界为8 ， 则闭 环系统鲁棒稳定 条件为 3 0 : 华北电力大学硕士学位论文 只 祥-.一 w , _ 卜 -i p k ( 2)