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山东大学博士学位论文 分数阶可动边界问题及其在药物控释系统中的某些应用 李西成 山东大学数学学院 应用数学 摘要 本论文由彼此相关而又独立的四章构成。第一章为序言，简要介绍了本文所 需的数学工具，也即分数阶微积分的发展历史、基本概念、性质及应用。在1 1 和1 2 节，简要的介绍了分数阶微积分的历史，给出了r i e m a n n l i o u v i u e 型分 数阶积分算子幻d 产俾p ( 口) 1 ) 、微分算子东彰和c a p u t o 型分数阶算子乇群的定 义及主要性质，并讨论了分数阶积分和微分算子的l a p l a c e 变换。在1 3 节中， 给出t m i t t a g - l e t f l e r 函数、广义m i t t a g l e f f l e r 函数厶乒( z ) 、w r i g h t 函数d ( z ) 和 广义w r i g h t i 函数w 0 ，4 ) 。( k ( z ) 的定义及其某些重要公式。在1 4 节中，给出了日- f o x 函数娣m ，, 口nl z l ，( a b p 翟i 的定义、级数表达式、渐近性态及其基本性质，并讨论 了h f o x 函数的特例，如广义m i 妇g l e f t t e r i $ i 数e a , e ( z ) 和日j 弓( z ) 。f o x h 函数是求 解分数阶微分方程的有力工具。在1 5 节，从非牛顿流体、反常扩散等几个方面 简要阐述了分数阶微积分理论在几个领域内的研究进展状况。1 6 节简要介绍 了可动边界问题及其在药物控释系统中的某些应用本章是以后各章的基础。 接下来的几章研究了溶质从高分子基质中溶出的不同模型。在2 2 节给出 了上述问题的详细介绍，并且应用时间空间分数阶扩散方程 ；d i t c ( x , t ) = 9 c ( x ，f ) ， ( o f l 1 口2 ) ，( 1 ) 作为描述扩散的主控方程。再应用推广了的通量方程 局c 五力= 。c 。；邓莎。1 o ) a n dd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r 东矿够 0 ) a n dt h ec a p u t of r a c t i o n a l d e r i v a t i v e 毛群a l eg i v e n s o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so f f r a c t i o n a li n t e g r a la n dd e r i v a - t i v eo p e r a t o r sa l ea l s od i s c u s s e d i ns e c t i o n 1 3 ，t h ed e f i n i t i o n sa n ds o m ei m p o r t a n t f o r m u l a eo ft h eg e n e r a l i z e dm i t t a g l e f f l e rf u n c t i o nb 乒( z ) ，t h ew r i g h tf u n c t i o n 抑 a n dt h eg e n e r a l i z e dw r i g h t f u n c t i o n 墩p 刀) ，( y 6 ) a l eg i v e n i ns e c t i o n91 4 ，t h ed e f i n i t i o n ， s e r i e se x p r e s s i o n ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ra n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so fh f o xf u n c t i o n h p m , ni z i ( ( a p 岛, a p ) ) ia r eg i v e n t h e s p e c i a lc a s e s 。ft h ef o x 胁c d o n a r ed i s c u s s e d ，s u c h a s t h eg e n e r a l i z e dm i t t a g 。l e f f l e rf u n c t i o n 既( z ) a n d 日1 1 五1 ( z ) h - f o xf u n c t i o ni sap o w e r f u lt o o lf o rt h es o l v i n go ft h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ns e c t i o n91 5 ，t h e d e v e l o p m e n t sa n da p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u si nv a r i o u sf i e l d sa l ed i s c u s s e d ， r e s p e c t i v e l y s e c t i o n91 6g i v e sas h o r ti n t r o d u c t i o na b o u tt h em o v i n gb o u n d a r yp r o b l e m sa n ds o m eo fi t sa p p l i c a t i o ni nd r u gr e l e a s ed e v i c e s t h i sc h a p t e ri st h eb a s i sf o r t h ef o l l o w i n gc h a p t e r so ft h i st h e s i s i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ，d i f f e r e n tm o d e l so fas o l u t er e l e a s ef r o map l a n a rp o l y m e rm a t r i xa r es t u d i e d i ns e c t i o n9 2 2 ，w eg i v ead e t a i l e di n t r o d u c t i o na b o u tt h e v 山东大学博士学位论文 m a t h e m a t i cm o d e lo ft h ep r o b l e m w eu s et h es p a c e t i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n 5 群c ( 工，f ) = 勿v g c ( x ，f ) ，( o 卢1 a 2 ) ， a st h eg o v e r n i n ge q u a t i o n u s i n gag e n e r a l i z e df l u xe q u a t i o n r c 五力= ；纠1 邛夕。1 留) a n df ( z ) = c 2 扩1 暇吧l + 刍一掷d 留) c o r r e s p o n d i n g l y c l ，c 2 a n d p c a l l b ed e c i d e d b y 卯2 i 善兽刍瞰一- 一劳煅2 ，= 矿邛嘶- a , l - ；) ( f l , 3 胡c 矿， c 3 3 ， c - = 丽；丽1 ， ( 3 4 ) 秽击巷中c 跏中抛1 ) ( 以 ， c 22 万瓦i i t 丽 3 6 i nt h ep r o c e s s i n go ft h ep r o o fo fo u rr e s u l t s ，aa l t e rf o r mo ft h ec a p u t o t y p em o d i f i c a - t i o no fe r d t r l y i - k o b e rf r a c t i o n a ld e r i v a t i v eo p e r a t o r 。p 1 3 0 l - = 南j = 1 ( 1 叫叫等虹 ( 3 7 ) a n dt h es e r i e se x p a n s i o no ff o x hf u n c t i o na r eu s e d i ns e c t i o n 3 4 ，t h ev a l u e so fp i nd i f f e r e n tc a s e sa l el i s t e da n dw ec a ns e et h a tt h ed i f f u s i o np r o c e s sd e s c r i b e db yt h e c a p u t od e r i v a t i v ei sm u c h f a s t e rt h a nt h eo n e b yt h er i e m a n n - l i o u v i l l ed e r i v a t i v e t h e v a l u e so fpi ns o m ec a s e sa r ea l s os h o w ni nf o r mo ff i g u r e s - 山东大学博士学位论文 i nc h a p t e r4 ，h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o di ss u c c e s s f u l l ye x t e n d e dt os o l v e t i m e f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i t ham o v i n gb o u n d a r yc o n d i t i o na n da na p p r o x - i m a t es o l u t i o ni so b t a i n e d t h ec o m p a r i s o nw i t ht h ee x a c ts o l u t i o ns h o w st h a tt h e a p p r o x i m a t es o l u t i o ni ss u f f i c i e n t l ya c c u r a t ef o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o ni nm o s t c a s e s i n s e c t i o n 3 2 ，t h eh o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o dw a si n t r o d u c e d b yi n t r o d u c i n ga p a r a m e t e rp 【0 ，1 】，w ec a nc o n s t r u c tt h ef o l l o w i n gh o m o t o p y ： ”p ，暴帅侈韶司= 。 ， 是口蕊磷p = o ， ( 3 9 ) s = p 疗s 疗 ( 4 0 ) n = 0 i no r d e rt og e tt h ee x p l i c i tf o r mo fp ，t h et e c h n i q u ew eu s e dh e r ei se x p a n d i n gt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n si n i t st a l o y ss e r i e s = z 薹n 一! o ( n n 力， f = 0 ，1 ，2 ， e q u a t i n gt h et e r m sw i t hi d e n t i c a lp o w e r so fp ，w ec a no b t a i nas e r i e so fe q u a t i o n s w h i c ha r ee a s i e rt os o l v e b yp e n a n d - p a p e rc a l c u l a t i n g ，w ec a no b t a i nt h ef i r s to r d e r a p p r o x i m a t es o l u t i o nw r i t t e na s w h e r e 0 = 口l 尹1 - 一等一( 口l 口；+ 口2 口孑2 一口孑1 ) 扣一考， 舻【黼卜印2 【而j ， s = ( a 0 + a 2 ) t j “ r ( 1 一互a ，“- - 0 1 仍2 6 f 两( 1 1 一掣) v 1 1 1 旷丽2 a l a 2 0o 叩而+ 以。 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 巩 脚 = 口 山东大学博士学位论文 i n t r o d u c i n gt h ef r a c t i o n a lr e l e a s e 瓮= 珩) 一r 岳吣蟛， ) w ec a ng i v eac o m p a r i s o nb e t w e e nt h ea p p r o x i m a t ew i t ht h ee x a c ts o l u t i o n s t h r o u g h t h ec o m p a r i s o n sb yt h et a b l ea n dt h ef i g u r e s w ec a ns e et h a tt h i sa p p r o x i m a t es o l u t i o n i sc o n c i s ea n dh a sag o o dd e g r e eo fa c c u r a c y k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；a n o m a l o u sd i f f u s i o n ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n ；s c a l e - i n v a r i a n ts o l u t i o n ；a p p r o x i m a t es o l u t i o n ；h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ；m o v i n g b o u n d a r yp r o b l e m s ；d i f f u s i o nf r o n t 主要符号对照表 主要符号对照表 r ( z ) l i ，( f ) ，纠 f 妇( 力，斟 m f 七( d ，s ) b 算( z ) 暇口d ( z ) 墩“，口) ( y ( z ) 娣m ，孑n ( z ) p ( z ) g 嬲( z ) e f t ( z ) e f t c ( z ) r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分算子 r i e m a n n l i o u v i u e 分数阶积分算子 c a p u t o 分数阶微分算子 c a p u t o 型修 e e r d 6 l y i k o b e r 算子 r i e s z 分数阶微分 g a m m a 函数 l a p l a c e 变换 f o u r i e r 变换 m e l l i n 变换 广义m i t t a g - l e f f l e r 函数 w r i g h t 函数 广义w f i g h ti 函数 h - f o x 函数 m a i t l a n d 广义超几何函数 m e i j e r - g 函数 误差函数 余误差函数 研矿彤骷喽穰辑秽喇碟 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：导师签名：期： 第1 章1 基础知识 1 1 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，f c ) 的历史回顾 关于非整数阶算子的积分和微分方程的一些基本问题的讨论由来己 久。例如，在1 6 9 5 年，l h o s p i t a l 在写给l e i b n i z ( 微分符号d n y d x n 的创始人) 的信1 9 5 1 中提到，“如果n 是1 2 将会发生什么? ”l e i b n i z 回答道：“d l 2 x 应该等 于x 瓴万j ( 用现在的标记应该为：d l 2 y 出l 2 = 2x 2 万) ，这将产生一个矛盾， 但将来会有一天，这是一个有用的结果。分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) 的概念首次在他们的这次对话中出现。之后的十八世纪和十九世纪中，e u l e r ( 1 7 3 0 ) ，l a g r a n g e ( 1 7 7 1 ) ，l a p l a c e ( 1 8 1 2 ) ，f o u r i e r ( 1 8 2 2 ) 以及其他一些数学 家都对分数阶微积分的发展做出了重要的贡献。 尽管有如此漫长的历史发展过程，但分数阶微积分却未能广泛 应用开来。这主要是因为分数阶算子本身定义的不完美性一一甚至 有些定义是相矛盾的，以及在如何定义其逆算子上的难度。一直到 了1 9 世纪中叶，l i o u v i l l e( 1 8 3 4 ) ，r i e m a n n( 1 8 4 ) ，g r t i n w a l d( 1 8 6 7 ) 以 及l e t n i k o v ( 1 8 6 8 ) 等人给出了分数阶积分和微分的比较完美的定义之 后，分数阶微积分及其应用才得到了快速的发展。关于分数阶微积分的 发展历史，更详细的概述可参考下列书籍：o l d h a m 矛l l s p a n i e r t l 3 6 l ，s a m k oe t a l t l 5 1 1 ，m i l l e r 和r o s s t l 2 7 ，d a v i s 【1 5 2 1 ，p o d l u b n y 1 4 3 1 ，以及k i l b a s 等人【洲。 由于缺乏实际的应用背景，分数阶微积分理论的发展十分缓慢。直 到1 9 8 2 年，b b m a n d e l b r o t 第一次指出在自然界和其他一些科技领域存在大 量的分数维数以及整体和部分之间的自相似的例子【2 9 , 3 0 , 1 1 4 , 1 1 6 。从那以后，分 数阶微积分作为分形几何和分数维数 3 2 ，8 8 ，1 3 3 ，1 3 4 , 1 4 5 , 1 4 8 , 1 7 2 】的一个基本概念得到 了快速的发展【5 7 1 ，并被应用到了许多领域，比如松弛 1 4 0 ，1 5 3 ，振荡 3 , 1 0 8 , 1 4 9 , 1 5 0 ， 随机扩散理论和波的传播 1 2 , 4 4 ，5 5 ，7 5 ，9 6 ，1 2 2 ，1 5 5 ，1 8 3 1 ，生物材料【6 3 ，8 9 1 ，高分子链的 形变 6 3 ，1 5 8 ，混沌和湍流1 9 5 3 ，1 0 6 ，1 8 4 ，1 8 8 ，分子谱【删，随机游走 7 6 , 1 2 3 】，控制和机器 人 1 3 2 ，1 3 7 ，1 7 1 ，粘弹性动力学1 1 8 ，3 4 ，8 3 ，1 2 5 ，1 5 4 ，1 7 8 ，1 8 5 ，量子力学【4 2 2 ，9 2 等。反过来，这些 应用的研究又加速了分数阶微积分理论的发展 3 7 , 4 5 , 4 6 ，5 4 1 。分数阶微积分理论以 及混沌和耗散结构理论被认为是当前非线性科学的理论基础。这些论述可参见 分形理论的创始人m a n d e l b r o t t l l 5 1 的专著“2 1 世纪基础科学的挑战：数学和理论 物理国际会议( c h a l l e n g e sf o r t h e2 1 s tc e n t u r y f u n d a m e n t a ls c i e n c e s ：p r o c e e d i n g s o ft h ei n t e m a t i o n a lc o n f e r e n c eo nm a t h e m a t i c sa n dt h e o r e t i c a lp h y s i c s ) ”中的“数 学和物理学中的分形专题( t o p i c so nf r a c t a l si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ) 1 2 分数阶微积分的定义和性质 到目前为止有很多分数阶微积分的定义。在本文中，我们主要引用的是 r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分算子和c a p u t o 分数阶微分算子。 1 2 1r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数 对于任意复数p ，r e ( 3 ) 0 ，函数厂( f ) 的卢阶积分定义如下 栉r - # m ) 圭志厂( 广1 加m 其中r ( ) 为g a m m a 函数，它的定义是 r ( z ) = f e x pt 产一l d f ，尺p ( z ) 。 应用迭代关系 ( 1 2 ) r ( z + 1 ) = z f ( z ) ( 1 - 3 ) g a m m a 函数可以被延扩到r e ( z ) o ) 定义如下 未研弛) = 丽n 【东巧一一，( 力】，一1 o ) ( 1 - 7 ) 性质4 ： 乏研笔d 夕，( f ) = r f o 上，- 3 ，( f ) ，q ，卢 0 ) ( 1 8 ) 特别的，对于a 0 ，幻研f o d 7 a 厂( f ) = ，( f ) 。 性质5 ： 笔珊朋= 老尚( 尸， ( 1 - 9 ) 其中，p r 并且7 一i 。 特别的，常数c 的r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数是 。r 叩, t = 篙，( 1 - 1 0 ) 却不是零。我们还应该注意到这个事实：分数阶微分方程器t q f ( t ) = 0 ，( o q 0 阶c a p u t o 分数阶导数定义如下 1 4 3 ： 跚邓训黔f ) ，( n - 1 a n ) 。 m 1 1 ) 这一定义很显然要比r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶算子更严格。因为，它需要被积 函数前，l 阶导数可积。不管什么时候我们应用分数阶算子毛研，我们都假定这 一条件成立。另外，我们可以很容易的证明 硝，( f ) 幻群 ( 1 1 2 ) 除非函数，( f ) 在t = 0 + 的前n 一1 阶导数都等于零。事实上，假设积分号下的n 一 阶导数都成立，我们可以认识到，对于，l 一1 o ) 。 ( 1 1 5 ) 另外，不难得出名d 厂( f ) 的l a p l a c e 变换为 z ft o d f ( t ) = s 口m ) 一，d ( o + ) j 一，( ，l 1 o ，z 吨m 聊 其中，积分路径砌( h a n k e l 路径) 是一个闭环，从一o o 开始正向环绕圆盘吲 i z i l 口一周( _ 万a r g o 7 r ) ，最后回到一o o 。而广义m i t t a g l e t t t e r 函数队1 铂】贝i j 由下 面的级数展开式定义： 玩蒯；善意葛一汕肛c 征c ( 1 - 1 8 ) 双参数m i t t a g l e f f l e r 函数，即广义m i t t a g l e f l t e r 函数 6 4 , 1 4 3 】通过如下的级数 展开式定义： 酬z ) = 善意丢一 o 肛c 延c ( 1 - 1 9 ) 它e h r ea g a r w a l l 5 在1 9 5 3 年引入。 长期以来，广义m l 函数几乎总被人们所忽视。实际上，目前绝大部分关 于特殊函数和l a p l a c e 变换表的数学手册【l l ，1 0 9 ，1 8 4 】，甚至在1 9 9 1 年的数学科目分 类( m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ) 中都没有m l 函数的介绍和相关内容。直 蛰j 2 0 0 0 年美国数学学会( a m s ) 新的预测分类中才被提及( 3 3 e 1 2 ) 。近年来， 广义m l 函数在分形动力学、分数阶扩散理论、波在分形随机场【l l 】的研究及 量子场论 1 5 6 中均得到了广泛的应用；这些领域的应用，反过来又促进了该函 数的研究。例如，随着广义分数阶微积分算子的理论研究而发展起来的多指 标m i t t a g l e t t t e r 函数( m u l t i i n d e xm lf u n c t i o n ) 【8 5 1 。 从g a m m a 函数的s t i f l i n g 级数展开式可以得到，w r i g h t 函数 ) ( z 卜荟南p - 1 , 肚e ( 1 - 2 0 ) 在p 一1 情况下关于z 是一个整函数并且关于整函数的一些基本的通用理论也可 以应用。p 0 和- 1 0 ，v 0 情况下 的广义w r i g h t i 函数 椭( z ) 2 荟而蒜，1 , v r , a , b c ( 1 - 2 2