（农业工程专业论文）腹板开洞工形截面拱的平面内弹性极限承载力研究.pdf

摘要 腹板开洞拱形结构因造型美观、节省材料、减轻自重等，正越来越受到工程界的关注和应用。 但由于腹板上洞e l 的存在产生应力集中现象，同时引起腹板抗剪性能的削弱以及腹板的屈曲形式发 生变化等，导致目前这种结构的理论和应用研究远滞后于工程实践。本文正是基于这种结构的科研 和工程现状，在前人工作的基础上对腹板开洞工形截面钢拱的极限承载力和变形的变化规律进行了 研究分析。 基于有限元的结构稳定计算理论，利用a n s y s 计算软件，针对弹性材料、考虑几何非线性特点， 选用壳1 8 1 单元建立了三维有限元计算模型，并把支座类型、截面尺寸、孔径、孔数、拱高等设为 变量，经过反复编制、调试，最终形成了整个计算过程的m a c 文件，据此进行了系统的计算和分析。 首先进行了弹性无孔洞钢拱的特征值计算，分析出了不同约束，不同荷载作用下的平面内第一 个失稳模态的屈曲荷载和与其相应的届曲模态。在此基础上计算了弹性无孔洞钢拱在不同荷载、不 同约束、不同截面尺寸等条件下的极限承载力和顶点竖向位移。计算了开洞弹性钢拱的极限承载力 和顶点竖向位移随洞口尺寸、开洞数量、截面尺寸等的变化情况，并对以上各种计算数据进行了分 析、对比和曲线拟合，找出了极限承载力和顶点竖向位移随各种影响因素的变化规律，并对开洞前 后的整体、局部屈曲变形进行了比较和分析，得到了弹性无洞、开洞钢拱的极限承载力随截面宽、 厚比( 高、厚比) 的增大在均布荷载作用下呈线性递增趋势，在跨中集中荷载作用下呈高次多项式 变化规律等结论。这对该类结构的设计和应用起到重要的指导性作用。 关键词；几何非线性，有限元，屈曲，腹板开洞，极限承载力 a b s t r a c t t h ea r c hw i t hh o l e si nw e bi sb e c o m i n gaf o c u so f i n c r e a s i n gi n t e r e s ti nc i v i le n g i n e e r i n gf i e l dd u et 0 i t sb e a u t i f u lc o n f i g u r a t i o n ，l e s sm a t e r i a la n dl i g h tw e i g h t h o w e v e r , t h ee x i s t i n gt h e o r i e sa n ds t u d i e sw i t h r e s p e c t t o t h i sk i n d o f s t r u c t u r es t i l l l a g b e h i n d t h ee n g i n e e r i n g p r a c t i c e sb e c a u s eo f t h es t r e s sc o n c e n t r a t i o n a r o u n dt h eh o l e s ，d e c r e a s eo f r e s i s t a n c et os h e a ra n dc o m p l e xb u c k l i n gd e f o r m a t i o ne ta 1 t h es t a t eo f t h ea r t o ft h e o r yr e s e a r c h e sa n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n sh i g h l i g h t st h a ti ti ss i g n i f i c a t i v et oc o n t i n u et h ew o r ko f p r e d e c e s s o rt ot h o r o u g h l yi n v e s t i g a t et h ev a r i a t i o nl a w so ft h eu l f i m a t el o a d c a r r y i n gc a p a c i t ya n dt h e d e f o r m 硝o no fi s e c t i o ns t e e la r c h e sw i t hh o l e si nw e b o nt h eb a s i so f t h es t a b i l i t yc o m p u t a t i o nt h e o r yo f s t r u c t u r e sa n di nc o n s i d e r a t i o no f m a t e r i a le l a s t i c i t y a n dg e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t y , t h e3 - df i n i t ee l e m e n tm e t h o di sb u i l tb ya n s y s s o f t w a r e b yr e g a r d i n gt h e t y p eo f s u p p o r t , s e c t i o ns i z e ，h o l e sd i a m e t e r , h o l e sn u m b e ra n da r c hh e i g h ta sd i f f e r e n tv a r i a b l e s ，t h em a c f i l ef o rw h o l ec o m p u t a t i o np r o c e s sa r ef o r m e d ，w h i c hp m v i d a st h ef o u n d a t i o nf o rs y s t e m i ca n a l y s i sa n d c o m p u t a t i o n f i r s t ，t h ee i g e n v a l u e so fe l a s t i cs t e e la r c h e sw i t hn o n - h o l e si nw e ba r ec o m p u t e d , a n dt h eb u c k l i n g l o a da sw e l la sb u c k l i n gm o d er e l a t e dt op l a n a rf i r s tu n s t a b l ef a i l u r em o d ei sd e t e r m i n e df o rd i f f e r e n t r e s t r i c t i o n sa n dd i f f e r e ml o a d s t h e nt h eu l t i m a t el o a d - c a r r y i n gc a p a c i t ya n dt h ev e r t i c a lt o pd i s p l a c e m e n t o fe l a s t i cs t e e la r c h e s 鼬c o m p u t e df o rd i f f e r e n tm s t r i c t i o n s d i f f e r e n tl o a d sa n dd i f f e r e n ts e c t i o n s i z e s t h i r d l y , t h ev a r i a t i o n so ft h eu l t i m a t el o a d c a r r y i n gc a p a c i t ya sw e l la sv e r t i c a lt o pd i s p l a c e m e n to f e l a s t i cs t e e la r c hw i t hh o l e si nw e bw i t hd i f f e r e mh o l e ss i z e s ，d i f f e r e mn u m b e ro fh o l e sa n dd i f f e r e n t s e c t i o ns i z e sa r cc o m p u t e d , a n dt h el a wo fu l t i m a t el o a d - c a r r y i n gc a p e c i t ya sw e l la sv e r t i c a lt o p d i s p l a c e m e n tv a r i a t i o ni nt l w i n so f t h ev a r i o u si n f l u e n c ef a c t o r sa r ee x t r a c t e db ya n a l y s e s , c o m p a r i s o n sa n d c a l v ef i t t i n gf o ra l lk i n d so fc o m p u t a t i o nr e s u l t s f o u r t h l y , b yt h ec o m p a r i s o n sa n da n a l y s e so fg l o b a la n d l o c a lb u l k i n gd e f o r m a t i o l 皓u n d e rt h ec o n d i t i o n so fh o l e si nw e ba n dn o n h o l e si nw e b t h ec o n c l u s i o ni s m a d et h a tt h ev a r i a t i o no fu l t i m a t el o a d - c a r r y i n gc a p a c i t yw i t hw i d t h - t h i c k n e s sr a t i o ( h i g h n e s s - t h i e k n e s s r a t i o ) o fs e c t i o ns h o w sl i n e a r i t y o rh i g h - p o w e rp o l y n o m i a lr e l a t i o n s h i p su n d e rd i s t r i b u t e dl o a d so r c o n c e n t r a t e dl o a d sa ts p a nm i d p o i n t , r e s p e c t i v e l y t h i sc o n c l u s i o ni sv e r yu s e f u lf o rf u t u r es a m et y p e s t n l c t t t r ed e s i g n sa n da p p l i c a t i o n s k e yw o r d s = g e o m e t r i c a ln o n l i n e a r i t y ，f i n i t ee l e m e n t ，b u c k l i n g ，h o l e si nw e b ，u l t i m a t e l o a d c a r r y i n gc a p a c i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，滁了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得中国农业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 衰豕了谢意。 研究生签名；立p 香铂 时间：z 。s 年月z ，日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国农业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意中国农业大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名 立隧嘲 酬锻 时间；2 0 0 5 年0 4 月2 7 日 时间： 口1 r 年午月珂日 中国农业大学工程硕士学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1拱结构极限承载力研究的目的和意义 在中华民族的建筑史上，拱形结构的应用源远流长，特别是拱桥结构是中国人的专利和特长。 中国拱桥最早出现在公元3 0 9 年。隋朝的赵h 桥是中国古代拱桥的扛鼎之作，中国人直到1 9 5 9 年成功建造湖南黄虎港桥才打破赵州桥3 7 0 2 米的跨度，赵州桥那种“船从碧玉环中过，人在苍 龙背上行”的境界，成为人们阅读中的永久追想。新中国成立后，由于钢材的缺乏，石材、混凝 土成为拱桥建设的主要材料，即使在“文革”期间，拱桥的靓丽也遮掩不住的显露出来，江苏桥 工们创造出双瞳拱桥：在成昆铁路建设中，石拱桥成为祟山峻岭中形态格外优美的景观壳点：t 9 7 2 年一群中国人靠原始的施工手段，建造出了当时的世界之晟。跨径1 1 6 米的石拱桥一重庆丰都九 溪沟大桥。1 9 8 9 年应用中国独特的转体技术，建成了主跨2 0 0 米的钢筋混凝土的箱形拱桥一重庆 涪陵乌江太桥，它标志着对传统拱桥技术的重大突破。1 9 9 7 年建成了重庆万县长江大桥，跨度达 到了4 2 0 米，是世界最大跨度的上乘式钢筋混凝土拱桥。1 9 9 5 年贵州江界河大桥以3 3 0 米的跨径 雄居世界钢筋混凝土桁架拱桥的榜首。2 0 0 1 年建成的山西晋城晋焦高速公路跨径1 4 6 米的丹河大 桥，是目前世界最大跨度的石拱桥。在石、混凝土拱桥迅猛发展的同时，随着钢材产量和质量的 不断提高，一些形态各异的钢管桥、钢桥相继建成，黄河上在两座旧桥的基础上又新建了1 5 座 跨河大桥：长江上实现了零的突破，先后建成了7 座长江大桥，2 0 0 0 年问世的广州丫髻沙珠江犬 桥以3 6 0 米跨的步伐一跃珠江摘取了中国中承式钢管混凝土杆系拱桥的桂冠；重庆市巫山长江大 桥以4 6 0 米的跨度，创造了世界中承式钢管混凝土拱桥的纪录。继黄浦江上5 座大桥之后卢浦大 桥又以跨过江成为上海市的标志性建筑，她状如彩虹，被誉为“新世纪的彩虹桥”，也因其跨径 达5 5 0 米，全钢结构，居世界同类桥梁之首，被誉为“世界第一钢拱桥”，独步天下，工程创造 了1 0 项世界纪录。由于拱型桥梁结构设计、施工的不断创新，积累了丰富的经验。使拱结构的 应用领域不断扩大，在现代结构工程中，拱形结构还广泛应用于建筑、航天、水工等各个领域。 图卜1 粱拱桥夜景 拱结构的广泛应用是由于这种结构具有独特的流线型造型，线条流畅、明快、意境生动，给 人以美的享受，如图1 1 、图i 2 所示。这样殴计的结构，使建筑本身和周围环境协调一致，符 中国农业大学工程硕士学位论文 第1 章绪论 合人们的审美要求，而且拱结构的设计能够很好地适应地形、地物的限制要求，从而使得结构的 布置更趋于合理和科学。 图1 - 2 卢浦大桥夜景 随着拱结构的跨度、构型不断创新，钢拱结构的极限承载力问题将会变的尤为重要，它的研 究集中体现着钢拱结构的安全性、经济性、美观性等，有着极其重要的工程实际意义。 1 2 拱结构极限承载力研究现状 人们对拱结构极限承载力的认识是与其计算理论的发展紧密相连的。早期的拱结构极限承载 力理论为线弹性理论，该理论是首先假定结构的不同失稳模态，建立起相应的屈曲平衡微分方程， 然后求解得到结构的极限荷载，因此，该理论属于第一类稳定理论的范畴。随着拱结构跨度的增 大，人们逐渐发现采用线弹性理论会过高的估计拱结构的承载力，是偏于不安全的。因此， c h a t = t e r j e e ( 1 9 4 8 ) 1 1 1 首先建立了拱结构极限承载力分析的挠度理论，该理论是建立在结构第二类 稳定的基础上，考虑了结构几何非线形对极限荷载的影响。随后，更为精确的弹塑性理论分析理 论被建立起来，并被应用到拱结构极限承载力分析中去。由于该理论综合考虑了结构几何、材料 非线性的影响，因此该理论计算出的临界荷载能较真实地反映结构的承载能力 拱结构极限承载力理论的发展离不开其分析方法的发展。早期的分析方法主要是线性方法， 其中具有代表性的是线性屈曲法该方法就是假定结构失稳时处于弹性小变形范围，结构的内力 与荷载成比例关系，采用求解特征值的方法进行结构临界荷载的计算。由于该方法未考虑结构非 线性和初始缺陷的影响，因此，仅适用于较理想的结构。随着计算机的日益发展和广泛应用，非 线性有限元方法不断出现并逐渐成为结构极限承载力分析中强有力的工具，考虑结构几何非线 性的有限元方法首先被应用到拱结构极限承载力的分析中 2 1 。但是实际构件在达到极限承载力以 前，材料往往已经进入弹塑性阶段，单考虑几何非线性计算构件的极限承载力是不精确的，所以 2 中国农业大学工程碰士学位论文第l 童绪论 人们又提出了综合考虑结构几何非线性和材料非线性的结构分析方法。提出一种建立离散单元刚 度矩阵，并将其应用到拱结构极限承载力的计算中去，取得了与试验值较吻合的结果 3 j 。由于考 虑结构材料非线性因素的不同，该方法又可以分为几种 4 1 s l ，其中以等效弹性模量考虑材料非线 性较为实用简单。拱结构极限承载力分析般分为两种，一种是面内极限承载力分析；另一种是 面外极限承载力分析。关于面内极限承载力分析，国内外已进行了大量研究，利用有限元进行非 线性计算和分析已经取得了较可靠的结果。有关试验和计算也证明了这一点t e l 。随着大型计算软 件的不断开发应用面外极限承载力的研究也逐渐变为现实1 7 l s j 。 根据以上拱形结构研究的理论和方法，国内外学者对实腹拱形结构的极限承载力进行了大量 的研究，这些研究都是从不同的角度进行的。沈祖炎h 采用曲壳有限元研究钢构件问题，可以考 虑整体和局部稳定的相互作用。张其林o o l 提出一种样条函数解法计算构件的承载力。邓可顺i l l j 基 于不同的壳体理论提出用于拱平面内屈曲分析的曲粱单元。金伟良i l 圳q 提出了分析箱形曲粱的 广义位移法。并针对大跨度钢筋混凝土拱桥结构在变形、失稳破坏期间产生的几何非线性和材料 非线性的特性，采用有限变形碾理和混凝土的本构关系，利用拱单元对钢筋混凝士拱桥进行了极 限承载力分析，建立了一种有效的钢筋混凝土拱桥极限承载力和稳定分析的方法。周文伟l i q 提出 了可以用于空间几何非线性分析的曲粱单元，但他主要针对闭合截面构件，没有考虑翘曲的影响。 王小岗”邓构造出用于拱屈曲分析的1 2 - 2 0 节点三维退化曲梁单元。p i 和t r a h a i r i t 6 - 2 1 | 建立了一套 完整的拱形曲粱非线性分析理论，并应用有限元方法对拱的承载力问题进行了研究提出了可用 于设计的计算公式。剧锦三1 2 2 1 ”1 从分析拱结构的屈曲性能入手，详细地阐述了拱的非线形屈曲 的两种形式，即极值点屈曲和二次分叉屈曲，指出二次分叉屈曲往往是最终的破坏形式确定分 叉点及屈曲后平衡路径的跟踪是非常重要的，井给出一种简单易行的确定分叉点及屈曲后平衡路 径的跟踪的算法，该方法的要点是，首先给初始结构添加与其屈曲模态相同的一个t b l , j , 的扰动， 即将屈曲模态乘以个很小的系数( 比如万分之一) 作为初始扰动加到初始结构上，然后按照一 般的弧长法的跟踪方法进行全过程跟踪可以得到一个近似的二次分叉屈曲荷载，然后将完善结 构重新加载到该近似值，再给结构添加初始扰动，得到一个近似的二次分叉屈曲荷载，如此反复 逼近，即可达到分叉点，一般只要两到三次的逼近即可达到精度要求。戴公连pj 基于u l 列 式单元增量平衡方程，提出了一种建立钢筋混凝士空间梁单元弹塑性刚度矩阵的新方法一单元节 点截面内力塑性系数法，并建立了钢筋混凝士空间梁单元弹塑性刚度矩阵该方法可以用于拱结 构的空间稳定极限承载力分析。钟新谷t ”“l 将所研究的拱形结构离散成若干单元的组合( 曲粱 单元i 直梁单元、弹塑弹簧单元、空间圆弧粱单元等) ，用圆柱拖带坐标、三次位移插值函数及 平截面假定来描述单元位形：用加权残值配点法来消除曲梁单元的剪力与膜闭琐。按u l 列式建 立增量平衡方程，并考虑几何非线性和材料非线性。韦成龙1 2 9 - 3 1j 建立了一种剪力滞效应分析的 薄壁箱梁单元，并考虑翘曲、畸变和剪滞效应对薄壁曲线箱梁进行了空间分析。韦成龙1 3 2 j 提出 了拱桥活荷载内力分析的一种实用计算方法一分离变量法，在横向分布系数的计算中，考虑了横 向分布影响线沿桥跨纵向的变化，通过大量数值计算，探讨了横向分布系数沿桥跨纵向的分布规 律，并在此基础上提出了拱桥活荷载内力分析的简化计算方法。陕亮 3 3 1 研究了金属波纹拱支座 刚度对其承载力的影响，指出波纹拱在不同跨度、不同支座形式下，不同外荷载对该结构受力性 能及稳定承载力的影响。结果表明，相同状态下的结构稳定承载力大跨的低于小跨的：支座形式 对结构的稳定承载力影响很大。支座的刚度越大其稳定承载力也越大，因此在实际工程中应尽量 中国农业大学工程硕士学位论文 第1 章绪论 采用固支的支座形式。张勇i m l 对金属拱型波纹屋盖结构的静力性能进行了研究，明确了这种结 构在静荷载作用下的力学性能，以及荷载方式、支承条件、矢跨比等对结构承载力的影响，并得 出了一些相应的结论。程进l ”1 考虑了结构几何非线性和材料非线性效应，用增量和n e w t o n r a p h s o n 迭代法详细分析了大跨度钢拱桥在不同加载方式作用下的极限承载力，并讨论了不同加 载方式对大跨度钢拱桥极限承载力的影响。从以上陈述可以看出，国内外学者对实腹拱极限承载 力的研究较多，理论方法比较完善，这对本文的研究奠定了丰富的理论方法基础。 1 3 问题的提出及本文研究的主要内容 腹板开洞拱结构由于它节省材料、减轻自重、造型美观等集多种优点于一身所以在很多工 程中应用这种结构，它有很好的侧立面的建筑效果有通透的感觉也利于管道的通过，可以节 省空问。但是由于腹扳上的洞口，使得拱的计算变得困难了许多。首先会引起洞口周围应力的集 中。其次会引起腹板抗剪性能的削弱以及引起腹板的屈曲形式发生变化，由连续的波形变的不 连续。这和洞口的间距和洞口的大小有关。因此，研究此种拱结构的极限承载力有着极其重要的 工程使用价值。 1 3 i 研究内容和目标 迄今为止腹版开洞拱的极限承载力研究很少本文在前人拱的极限承载力研究工作的基础 上，对腹板开洞拱结构的极限承载力进行具体研究。以期找出腹板开洞工形藏面拱的极限承载力 随各种影响因素的变化规律。具体考虑以下内容： 1 ) 分析洞口位置、大小对极限承载力的影响。 2 ) 考虑腹板翼缘的局部屈曲。 3 ) 考虑拱的整体和局部相关屈曲。 4 ) 不同边界条件对极限承载力的影响。 5 ) 不同荷载形式对极限承载力的影响。 1 3 2 研究方法 在前人工作的基础上，考虑结构几何非线性、洞口大小与位置等各种对极限承载力有影响的 因素，用壳单元建a n s y s 三维模型利用弧长法计算腹板开澜工形截面拱的极限承载力并和 同截面同荷载作用下的实腹工形截面拱的极限承载力进行比较，咀找出二者在承载力方面的关系 期望能够得到腹板开洞拱结构的极限承载力变化规律，其技术路线如图1 - 3 所示。 4 中国农业大学工程硕士学位论文 第l 章绪论 围1 - 3 技术路线圈 中国农业大学工程硕士学位论文第2 章稳定计算理论概述 第2 章稳定计算理论概述 2 1稳定问题的类型及计算方法 2 1 1 稳定问题的类型 在结构的稳定计算中，需要对结构的平衡状态做更深层次的考察。从稳定性角度来考虑，平 衡状态实际上有三种不同的情况p 6 j ：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。设结构 原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置，当干扰消失后，如果结 构能回到原来的位置，则原来的平衡状态成为稳定的平衡状态；如果结构继续偏离，不能回到原 来位置，则原来的平衡状态称为不稳定的平衡状态；结构由稳定平衡到不稳定平衡的中间特定状 态称为中性平衡状态。随着荷载的逐步增加，结构的原始平衡状态转变为不稳定的平衡状态，这 时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。结构的失稳现象是多种多样的，但就其失稳性质而 言可以分为以下三类： 1 平衡分叉失稳 理想的轴心受压构件、受弯构件、受压的圆柱壳、完善的在中面内受压的平板等构件称为完 善的力学模型。这些构件的失稳都属于平衡分叉失稳问题，以完善的轴心受压构件为例，说明此 类失稳的特点。图2 1 ( a ) 所示为理想的简支压杆，图2 - l ( b ) 表示压力b 和中点挠度之间 的关系曲线一平衡路径。 谁 工望 葫赫 鹿暮论) 度理论) 图2 1 平衡分叉失稳 从图2 1 ( b ) 可以看出，当荷载值b 小于欧拉临界值r ，时，压杆只是单纯受压，不发生 弯曲变形压杆处于直线形式的平衡状态称为原始平衡状态。如果压杆受到轻微干扰而发生弯 曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态，因此，当b ， f k ，时，原始平衡形式不蒋是唯一的平衡形式，压杆既可以处于直线形式的平 衡状态还可处于弯曲形式的平衡状态。也就是说，这时存在着两种不同形式的平衡状态。与此 6 中匿农业大学工程硕士学位论文第2 章稳定计算理论概述 对应，在图2 1 ( b ) 中也有两条不同的b 一曲线：原始平衡曲线i ( 由直线b c 表示) 和第 二平衡路径i i ( 根据大挠度理论，由曲线b d 表示。如果采用小挠度理论进行近似计算则曲线 b d 退化为水平直线肋) 。进一步还可以看出，这时原始平衡状态( c 点) 是不稳定的。如果压 杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到c 点对应的原始平衡状态，而是继续弯曲， 直到图中d 点对应的弯曲形式的平衡状态为止。因此当f p ， ，k 时在原始平衡路径i 上 点c 所对应的平衡形式是不稳定的。平衡路径i 和的交点b 称为分叉点。分叉点b 将原始平 衡路径1 分为两段，前段o b 上的点属于稳定平衡，后段b d 上的点。属于不稳定平衡。也就是 说，在分叉点b 处，原始平衡路径i 和与新平衡路径同时并存，出现平衡形式的两重性，原始 平衡路径i 由稳定平衡转为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失稳形式称为平衡 分叉失稳，也称为第一类失稳。分叉点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态称为临界平衡 状态。 2 极值点失稳 图2 - 2 ( a ) 、( b ) 分别表示具有初弯曲的压杆和承受偏心荷载的压杆称为非完善力学模型。 ，r ，3 厣触 圈2 - 2 极值点失稳 图2 2 ( a ) 、( b ) 中的非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态，图2 - 2 ( c ) 表示压力r 和中点挠度之间的关系曲线平衡路径。按照小挠度理论，以一曲线为o a 段所示。在初 始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当耳接近中心压杆的欧拉临界荷载值耳。时，挠度趋于无 穷大。如按照大挠度理论计算，其r a 曲线为o b c 。b 点为极值点，荷载达到极大值。在极 值点以前的o b 曲线段，其平衡状态是稳定的：在极值点以后的b c 曲线段，其相应的荷载值反 而下降，平衡状态是不稳定的。在极值点处，平衡路径由稳定平衡转为不稳定平衡，这种失稳形 式称为极值点失稳也称为第二类失稳。极值点相应的荷载称为临界荷载。一般说来，非完善力 学模型的失稳形式是极值点失稳，其特征是平衡形式不出现分叉现象，而f p a 曲线具有极值。 3 跃越失稳 图2 - 3 ( a ) 所示的两端铰接较平坦的拱结构，在均布荷载q 的作用下，其荷载一挠度曲线如 图2 - 3 ( b ) 所示。 o a 段为稳定的上升段，但到达曲线的最高点a 点时会突然跃越到一个非邻近的具有很大变 形的c 点，拱顷刻下垂。在荷载挠度曲线上，虚线a b 是不稳定的，b c 段虽然是稳定的，而且 一直是上升的，但因为结构已经破坏，故不能被应用。与a 点对应的荷载q 。，是该拱的i l 缶界荷载。 这种失稳现象称为跃越失稳，它既无平衡分叉点，又无极值点，但和不稳定分叉失稳又有某些相 7 ，凫锈r匦l；：奈nr謦k#坐 圈2 3 跃越失稳 正确区分结构的失稳类型，才能正确估量结构的稳定承载力。对于具有平衡分叉失稳现象的 结构，理论上的屈曲荷载可分成三种情况一种比较接近于实际的极限荷载，一种大于实际的极 限荷载一种远小于实际的极限荷载。只有大挠度理论才能揭示具有平衡分叉失稳的结构屈曲后 的性能。 2 1 2 稳定问题的计算方法 前面分析的几种结构的失稳现象可以看出。处于平衡状态的结构并非都是稳定的n 对于具有 分叉失稳结构的稳定计算，既要确定其屈曲荷裁，又要明确其届曲后平衡状态的稳定性。结构稳 定问题的分析方法都是针对着在外荷载作用下结构存在变形的条件下进行的，鼠此，此变形应与 失稳时的变形相对应。首先应正确取出结构的计算简图，图中应表示出其变形和作用着的内、外 力。如对于两端铰接的轴心受撮构件的弯曲屈曲，在计算构件的弯曲屈曲荷载时应计入轴心压力 对弯曲变形产生的压力，而对于两端固定的轴心受压构件，在计算其弯曲屈曲荷载时，不仅要计 入上述弯矩，还要考虑弯曲变形在构件端都受到约束而产生的固端弯矩，因此构件失稳时产生的 变形与构建两端豹约束有关。还可能与整个结构失稳时的变形有关，这就需要着眼整个结构来分 析稳定问题。由于所研究的结构变形与荷载之间里非线性关系，因此稳定问题属于几何非线性问 题。采用的是二阶分析的方法。常用的计算方法有以下三种1 3 7 j ： 1 平衡法 中性平衡法或静力平衡法简称平衡法。是求解结构稳定问题的基本方法。对于有平衡分叉点 的弹性稳定问题，在分叉点存在两个极为相邻的平衡状态，一个是原结构的平衡状态，一个是已 经有了微小变形的平衡状态。平衡法是根据已产生了微小变形后结构的受力条件建立平衡方程而 后求解的。如果得到的符合平衡方程的解不止一个，则最小值才是该结构的分叉届曲荷载。平循 法只能求解屈曲荷载，但它不能判别结构平衡状态是否稳定。尽管如此，由于工程上常常需要得 到结构的屈曲荷载，而不研究其平衡路径，所以经常采用平衡法。在许多情况下采用平衡法还 可以求得精确解。 2 能量法 如果结构承受着保守力，可以根据有了变形的结构的受力条件建立总的势能，总的势能是结 8 一 中国农业大学工程硕士学位论文第2 章稳定计算理论概述 构的应变能和外力势能两项之和。如果结构处于平衡状态。则总势能必有驻值。根据势能驻值定 理，现根据总势能对于位移的一阶变分为零，可得到平衡方程，再由平衡方程求解分叉屈曲荷载。 按照小变形理论，自b 量法只能获得屈曲荷载的近似解。但是如果事先能够了解屈曲后的变形形势， 采用此变形形势作计算可以得到精确解。用总势能驻值原理可以求得屈曲荷载，而用总势能最小 原理可以判断屈曲后平衡的稳定性。 3 动力法 处于平衡状态的结构体系，如果施加微小干扰使其发生振动，这时结构的变形和振动加速度 都和已经作用在结构上的荷载有关。当荷载小于稳定的极限值时，加速度和变形的方向相反，因 此干扰撤出以后，运动趋于静止，结构的平衡状态是稳定的。当荷载大于极限值时，加速度和变 形的方向相同，即使干扰撤出，运动仍是发散的，因此结构的平衡状态是不稳定的。临界状态的 荷载即为结构的屈曲荷载，可由结构的振动频率为零的条件求得。动力法属于结构动力稳定问题。 2 2 常见构件的屈曲形式及计算简介 利用前述稳定问题的计算方法平衡法或能量法，可以研究任何构件的稳定屈曲问题，包括 其临界荷载和屈曲路径。 2 2 1 轴心受压构件的弯曲屈曲 利用平衡法可以求出轴心受压构件( 等截面、沿构件的轴线压力无变化) 在不同支撑条件下 的屈曲临界荷载及屈曲路径。以两端铰支的轴心受压构件为例加以说明。其它支撑情况下的临界 荷载在此基础上考虑杆长的计算系数即可。 按小挠度理论研究中性平衡状态的屈曲性能。理想线弹性压杆，在平面假设的条件下，建立 构件屈曲时存在微小弯曲变形时的平衡微分方程： e l y ”- 4 - 耳y = 0 ( 2 - 1 ) 仃2 f ， 解此方程既可得出最小荷载一屈曲临界荷载：耳口= 兰手三 i 还可以得到构件屈曲后的变形曲线方程：y = as i n ； f 上式中a 仍为未知数。由于按照小挠度理论在建立平衡方程时，曲率近似地取了变形的二阶 导数，因此求解后只能得到构件屈曲后变形的形状而不能得到构件任一点的挠度值。 为了阐明构件届曲后的性能，在轴心受压构件大挠度弹性计算理论中，用曲率的精确值来建 立轴心受压构件的平衡方程，将是一个非线性平衡方程，也就是大挠度平衡方程： 墨+ 耳y ：o i + “ ( 2 2 ) 求解该方程即可绘出轴心受压构件的荷载一挠度曲线。在此基础上还可以计算出轴心受压构 件在各种几何缺陷条件下的屈曲荷载及相应的屈睦路径。 9 中国农业大学工程硕士学位论文第2 章稳定计算理论概述 图2 - 4 ( a ) 是有初弯曲的轴心受压构件的荷载一挠度曲线，实线表示构件是完全弹性的，以 f p = r ，时的水平线为其渐近线，当f p 达到轴心受压构件的屈曲荷载时，最大挠度趋向无穷大， 说明处于这种状态的构件已经丧失了承载力，达到了稳定的临界状态。可以根据这种临界状态的 概念，求解其i 临界荷载，其条件是： 矿 y 一= a o 或1 一 = 0 ( 2 - 3 ) 对于有限值初弯矩的实际的轴心受压构件，当截面承受的弯矩较大时，就开始屈服而进入弹 塑性状态，其荷载挠度曲线如图2 _ 4 ( a ) 的虚线所示。 ( a ) 初弯曲轴心受压构件的荷载挠度陆线( b ) 初偏心轴心受压构件的荷载一挠度曲线 一卜q 围2 - 4 图2 - 4 ( b ) 是有初偏心的轴心受压构件的荷载一挠度曲线，它以b = f ，。的水平线为渐近 线，实际上由于存在弯矩作用，构件有部分屈服。因此荷载挠度曲线呈现如虚线所示的极值点 失稳现象，其极限荷载为矗，。由于初弯矩和初偏心对受压构件的影响都导致出现极值点失稳现 象，都是构件的承载力有所下降，两种影响在本质上并无差别，因此在研究构件的承载力时，常 常把它们的影响一并考虑，由于其影响具有偶然性，有时只取其中一项作为计算实际的轴心受压 构件的依据。 关于弹塑性屈曲问题有两种计算理论：切线模量理论和双模量理论。用两种不同的理论计算 轴心受压构件的弹塑性屈曲荷载可知，切线模量理论计算出的屈曲荷载r 小于双模量理论计算 出的扈曲荷载r ，曾经认为双模量理论更加完善，但试验资料表明，实际的屈陆衙载介于两种 理论之间而更接近于切线模量屈曲荷载，对于轴心受压构件的弹塑性屈曲采用切线模量理论的分 析方法比较合理，这是因为试件都存在微小缺陷。s h a n l e y ，f r 在1 9 4 6 年用力学模型证明了切线模 量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限而双模量屈曲荷载是其上限，并建立了屈曲后荷载与挠度 之间的关系式，据此可以绘出荷载挠度曲线，如图2 ，5 所示。从理论上说大挠度理论弹塑性轴心 受压构件的荷载挠度曲线如图2 5 中的实曲线a b ，屈曲后的构件仍处在稳定平衡状态，从实际 看凡作为弹塑性屈曲荷载更可靠。 综上所述。两端铰支的轴心受压构件的荷载挠度曲线如圈2 - 6 所示，对于挺直的理想轴心受 压构件。其弹性弯曲屈曲荷载为欧拉荷载b 。，其挠度曲线从分叉点出发为一水平线a ：对于有 l o 中国农业大学工程磋士学位论文第2 章稳定计算理论概述 初始几何缺陷的轴心受压构件，当不计残余应力影响时，其弹性荷载挠度曲线为曲线b ，其渐近 线鄞为水平线a ：但实际构件从一点开始中央截面的边缘纤维屈服，其弹塑性荷载挠度曲线为曲 线c ；对于无几何缺陷但具有残余应力的挺直构件，小于欧拉荷载取的切线模量荷载r 在构件 屈曲后可能略有提高，如曲线d ；实际的轴心受压构件既存在残余应力又有初始几何缺陷，其荷 载挠度曲线为e 从a 点开始截面受压最大的纤维已经屈服，进入弹塑状态，曲线有上升段和下降 段并有极值点b ，故属于极值点失稳问题，其极限荷载e 。，表示构件的实际承载力。 仨帆 图2 - 5s h 蛐l c y 理论的荷藏挠度曲线m e 2 - _ 6 轴心受压构件的荷载挠度曲线 2 2 2 其它构件的有关屈曲形式 l _ 压弯构件在弯矩作用平面内的稳定屈曲 对于两端铰接，在端部作用有轴心压力和弯矩的压弯构件，其压力和弯矩作用在构件的一个 对称轴平面内，而在另一个对称平面有足够支撑以免发生弯扭屈曲。当按完全弹性体并不计残余 围2 7 压弯构件的荷载一挠度曲线 中点截面的边缘纤维屈服，与此对应的荷载为耳。 l i 应力和初始缺陷时，其荷载挠度曲 线如图2 7 ( b ) 所示，和轴心受压 构件不同，压弯构件不存在直线平 衡状态在构件端部一开始施加荷 载构件就产生弯曲变形其弹性荷 帕 载挠度曲线为二阶弹性曲线，这时 曲线b 只有渐近线，理论上它与从轴 心受压构件的分叉点荷载b ，处引 出的水平线a 相交于无穷远处。但实 际的压弯构件存在残余应力和初始 几何缺陷，材料为弹塑性体，按照 理想的弹塑性体进行分析，其荷载 挠度曲线为o a b c ，从a 点开始构件 此后随着塑性向纵深发展，构件变形速度加 中国农业大学工程硕士学位论文 第2 章稳定计算理论概述 i i 快。o a b 段曲线是上升的，构件处在稳定平衡状态，而到达b 点以后，出现了下降阶段b c ，这时 如要维持平衡需要减d q b 力作用，因此这种平衡是暂时的和不稳定的。酋线的极值点b 给出构件 在弯矩作用平面内的极限荷载毋。这是属于二阶弹塑性分析的极值点失稳问题，可用数值积分 法通过给出荷载挠度曲线后得到极限荷载。数值积分法可同时考虑残余应力和初始几何缺陷。许 多压弯构件抵抗扭转与侧向弯曲的能力较差，当在侧向没有足够多的支撑时，很可能在达到弯矩 作用平面内的极限荷载之前发生弯扭屈曲，这属于压弯构件的分叉失稳问题。根据不同条件可能 在弹性状态发生弯扭屈曲失稳，如图2 7 中o a 段之间的虚线厂，也可能发生在a b 段之间的弹塑性 阶段，如图中的虚线厂，。 压弯构件的理论分析属于材料非线性和几何非线性稳定问题，分析的方法有j e z e k 法和数值积 分法。 2 轴心受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲 一般双轴对称截面轴心受压构件可能绕截面的两个对称轴发生弯曲屈曲，但当抗扭刚度和抗 翘曲刚度很弱时，还有可能发生绕截面纵轴转动的扭转屈曲，此时纵轴本身不发生弯曲变形，只 是截面绕级轴旋转一个角度。对于边界条件、构件组成和受力条件较简单的轴心受压构件可以用 平衡法计算其届曲荷载，但当条件较复杂时需用近似法求解其屈曲荷载。当扭转屈曲应力超过了 钢材的比例极限时，构件可能发生弹塑性扭转屈曲，此时有两种计算方法：一是不计残余应力的 影响用切线模量代替公式中的弹性模量得到届曲荷载，另一种是考虑残余应力的影响按钢材是理 想的弹塑性体计算屈曲荷载，若考虑沿构件各截面的弹性区不同，则可用数值法计算其屈曲荷载。 在求得扭转屈曲荷载b 。后，把它和构件的弯曲屈曲荷载b 。，进行比较，应取其中的最小值作为 构件的屈曲荷载，在轴心受压构件中，由扭转荷载决定构件屈曲荷载的情况极少，理想轴心受压 构件的扭转屈曲属于稳定分叉屈曲失稳问题。 单轴对称截面轴心受压构件，除可能发生绕截面非对称轴的弯曲屈曲外，还可能发生绕对称 轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭屈皓理想轴心受压构件的弯扭屈曲也属于稳定分叉屈曲失稳问 题。但对于双轴对称截面不发生弯扭屈曲。本文研究的是双轴对称的工型截面。 3 压弯构件的弯扭屈曲 对于在一个对称轴平面内受弯的压弯构件，除了可能在弯矩作用的平面发生弯曲的极值点失 稳外，还可能在这之前在平面外突然发生弯扭屈曲，又称侧扭屈曲，理想压弯构件的弯扭屈曲属 于稳定分叉届曲问题，但当压弯构件在两个方向都存在弯矩作用时，则会发生弯扭极值点失稳。 圈2 8 ( a ) 表示一理想的两端简支的双对称工型截面压弯构件，在其两端作用有轴心压力只和使构 件产生同向曲率变形的弯矩 f ，如果在其侧向有足够多的支撑，如图2 8 ( b ) 图所示，构件将 发生平面内弯曲失稳，其荷载挠度曲线如图2 9 ( a ) 中的曲线a 。如果在其侧向没有设置支撑。 如图2 8 ( c ) 则构件在没达到平面内的极限荷载r 之前可能发生空间的弯扭屈曲，这时不仅在 弯矩作用平亟内存在挠度v ，在平面外剪心还产生位移“并绕纵轴产生扭转角c , o ，如图2 8 ( d ) 。 在图2 9 ( a ) 中的直线b 就是弯扭屈曲的分叉点水平线。 对于外力作用和端部支撑条件较简单的压弯构件，可以用平衡法求解得到弯扭屈曲荷载的精 确值。如果外力作用或端部支撑条件较复杂，可咀用能量法求解，在弹性阶段发生弯扭屈曲的压 弯构件，可以用近似法求解，为了获得精确度较高的值，可以用数值法。 1 2 ( ( 酌(圆 围2 8 两端简支的压弯构件 2 3 稳定计算的有限单元法 曲 碡) 最 露 豳2 - 9 压弯构件荷载一挠度曲线 对于非线性稳定计算一般都采用能量法或数值法，稳定计算的数值法包括有限差分法、有限 积分法和有限单元法等。随着计算机计算技术的不断提高，有限单元法被广泛应用于工程结构的 计算中。有限单元法是将构件划分为有限数量的单元，将分段点的位移作为未知量然后根据各 单元两端的位移和内力之间的关系，建立相关的非线性矩阵方程，再利用分段点力平衡和变形协 调条件将各单元连接起来形成原结构的非线性矩阵方程，求解此方程得出所要求解的量。 2 3 1 非线性的类型 引起结构非线性的原因很多，它可以分为以下三种类型：由状态变化引起的过程非线性或称 为状态非线性、由结构的几何形状引起的几何非线性、由材料本身引起的材料非线性。 许多普通结构表现出一种与状态有关的非线性行为。如一根只能拉伸电缆可能是松的，也可 能是绷紧的在由松到紧的过程中有状态的突变；再如轴承与轴承套可能是接触的，也可能是不 接触的，这又是一种力传递状态的突变冻土可能是冻结的，也可能是融化的，两种状态下它们 的刚度不一样等等。这些系统的一个共同特点是