（光学工程专业论文）薄板与圆柱薄壳在连续介质力学中的比较.pdf

摘要 f 伴随着复合材料近几十年来的迅猛发展，各种各样的层合薄壳层出不穷。然而， - i s - 众所周知，层合复合材料的研究才起步，就是对于层合薄板，有许多性质人们仍然知 之甚少，而层合薄壳中最简单的层合圆柱薄壳也比层合薄板复杂得多。在实际应用 、- 。 中，忽略以及经验公式的使用在所难免。厂为了更好的使用层合圆柱薄壳，尽量降低不 4 - 必要的误差，本论文将从三个部分研究层合圆柱薄壳的物理性质。 首先，本论文将推导薄板与薄壳以中面为参考面的内力平衡方程以及内力矩平衡 方程，位移与应变关系式，层合板的层合性质矩阵。在此基础上，接着推导以任意面 为参考面的内力平衡方程以及内力矩平衡方程，位移与应变关系式，层合板的层合性 质矩阵以及层合圆柱薄壳的精确层合性质矩阵。 然后，本论文将做三个比较与分析，第一，以任意面为参考面与以中面为参考面 得到的方程比较；第二，薄板与圆柱薄壳的性质比较：第三，层合圆柱薄壳的精确层 合性质矩阵与层合薄壳的经典层合性质矩阵比较。 o o o _ _ 一 最后，编写个计算程序计算层合圆柱薄壳的精确层合性质矩阵与层合圆柱薄壳 的经典层合性质矩阵，同时给出两矩阵之间的计算误差，并给出若干典型算例。 专：0 4 甜二 r e s u m e a v e cl e d 6 v e l o p p e m e n td e s m a t d r i a u xc o m p o s i t e s ，t o u t e ss o r e sd ec o q u e m i n c es t r a t i f l 6 ea p p a r a i s s e n t m a i so nn ec o n n a i tp a st r 吉sb i e nl e sc a r a c t e r e s d e c e ss t a t i f 6 e s m e m ep o u rl ap l a q u em i n c es t r a t i f i 6 e l ac o q u em i n c ec y l i n d r i q u e e s t b e a u c o u pp l u sc o m p l i q u 6 eq u e l a p l a q u em i n c e ，d a r t s l eb u td em i e u x l u t i l i s e r ，o nd o i tc o r m a i t r el e sp r o p r i 6 t 6 sd el ac o q u em i n c es 仃a t i f i 6 e d a n sc e r a p p o r t ，l ac o q u e m i n c ec y l i n d r i q u es t r a t i f i 6 es e r a6 t u d i 6 e d a b o r d ，o np r d s e n t e r al e sc a r a c t 6 r e sd el ac o q u ee td el ap l a q u em i n c e ：l e s d q u a t i o n sd d q u i l i b r ed e se f f o r t sd em e m b r a n e e td e sm o m e n t sd ef l e x i o n ，l e s r e l a t i o n se n t r ed d p l a c e m e n te td 6 f o r m a t i o n ，l ec o m p o r t e m e n td us t r a t i f l 6 ，e t c e n s u i t e ，o nf e r al e sc o m p a r a i s o n ss t i r c e sf o r m u l a t i o n se n t r el a c o q u ee t l a p l a q u em i n c e ，e no u t r e ，o nc h a n g e r a l ep l a nd er d f 6 r e n c ed el af a c ed um i l i e ua u n ef a c eq u e l c o n q u e ，e to n & u d i e r al e sd i f f 6 r e n c e sd e s6 q u a t i o n se n t r el e sd e u x p l a n s d er d f d r e n c e s e n f l n ，o nf e r au np r o g r a m m eq u ip e u tc a l c u l e rp r 6 c i s e m e n tl ec o m p o r t e m e n t d es t r a t i f i 6 ed e p l a q u e e td e c o q u e m i n c e c y l i n d r i q u e ，o nu t i l i s e r aq u e l q u e s e x e m p l e sp o u ra n a l y s e r l e si n f u e n c e sd ec e r t a i n e s n 6 9 l i g e n c e sd e l at h 6 0 r i e c l a s s i q u ep a rl ec a l c u ld e s e l t e u r s 胡衡 2 常用字母表 口k ，o y y ，口k 分别作用在垂直与x 轴 ( t x y ，d k ，d h 分别作用在垂直与x 轴 x 轴平行的剪应力 y 轴，z 轴的平面上的正应力 y 轴，z 轴的平面上的与y 轴，z 轴 分别作用在垂直与x 轴，y 轴，z 轴的平面上的单位长度上的内力 分别作用在垂直与x 轴，y 轴，z 轴的平面上的与y 轴，z 轴， x 轴平行单位长度上的内力 单位长度上的内力距 垂直与x 轴，y 轴，z 轴的平面上的正应变 垂直与x 轴，y 轴，z 轴的平面上的工程剪应变 圆柱薄壳中面半径 圆柱薄壳中任意面半径 参考平面与中面的距离 两不同参考平面的距离 单位载荷 胡衡 3 肌，他， m 一 乳 陋 | ； | i 坛 胁 h 胍，m m h 肛n 扎 绪论 汽车工业的发展与新材料的使用是息息相关的，各种各样的复合材料的车身、灯 壳罩、前后护板、保险横杠、板弹簧、座椅架、驱动轴近年来陆续问世，它们得到广 大设计者与用户的一致青睐。 复合材料是指由两种或两种以上的材料组成的一种新材料，它的组分材料具有不 同的化学或物理性质，且各组分材料之间有明显的界面。在工程上，所谓复合材料通 常是指将一种材料人为地分散在另一种材料中，以克服单一材料的某些弱点，使之具 有优于组分材料的综合性能，有时甚至是组分材料所没有的优良性能的新材料。 组分材料中的分散相材料称为增强材料，包容相材料称为基体。复合材料按分散 相材料分为颗粒增强复合材料和纤维增强复合材料，按基体相材料分为金属基复合材 料和非金属基复合材料，按应用分为工程复合材料和先进复合材料。本论文研究领域 为纤维增强复合材料。 纤维增强复合材料的分散相材料是直径极细的纤维，这种纤维与同材质的块状材 料比，其显著特点是强度高，块状玻璃的拉伸强度仅为2 0 0 m p a ，而玻璃纤维的拉伸 强度可高达4 0 0 0 m p a 。虽然纤维比较脆，易折断，但当它被均匀地分散在韧性好的基 体中时，由于基体把纤维分别固定起来，起到了保护纤维并使之不易折断的作用，这 样，该复合材料就能承受较大的载荷而不失效。 复合材料之所以得到迅速发展和广泛应用，是由于复合材料与传统材料( 金属材 料) 相比较，具有以下优点： ( 1 ) 比强度和比模量高 强度除以密度，模量除以密度之值，在很多情况下是度量材料承载能力的一个 重要的指标。具有高的比强度和比模量就可以减轻构件的重量。这一点对于运 动构件，特别是各种形式的交通运输工具是很重要的，因为减轻重量就可以提高效率 和节省能源。 ( 2 ) 具有可设计性 复合材料具有可设计的优点，因为它的性能除了取决于纤维和基体本身的性能 外，在很大程度上还取决于纤维的含量及铺设方式，这样就可以根据实际需要进行优 化设计。 胡衡 6 ( 3 ) 抗疲劳性能好 疲劳破坏是材料在交变载荷作用下，由于裂缝的形成和扩展而形成的低应力破 坏。金属材料的疲劳破坏是由里r 旬# l - 突然发展的，事前没有任何预兆，而纤维增强复 合材料中的纤维与基体的界面能阻止裂纹的扩展，因此其疲劳破坏总是从纤维的薄弱 环节开始，逐步扩展到结合面上，破坏前有明显的预兆。大多数金属材料的疲劳极限 是其拉伸强度的4 0 5 0 ，而碳纤维聚脂树脂复合材料则可达7 0 - 8 0 。 ( 4 ) 破损安全性好 纤维复合材料中有大量独立的纤维，每平方厘米上的纤维数有几千根甚至几万 根，因而是典型的静不定系。当这类材料的构件超载并有少量纤维断裂时，其载荷会 迅速分配在未破坏的纤维上，这样使构件不致在短期内迅速丧失承载能力。 在复合材料可供利用的各种优异性能中，力学性能处于最重要的地位，从力学分 析的角度看，复合材料同常规材料( 如金属材料) 的显著区别是，后者被看作是均质 的和各向同性的，而前者是非均质的和各向异性的。所谓均质就是物体内各点的性能 相同，也就是说物体的性能不是物体内位置的函数，而非均质正好相反。所谓各向同 性就是在物体内一点的每个方向上都表现有相同的性能，也就是说某点的性能不是该 点方向的函数，而各向异性则正好相反。 一种材料可以认为是均质的，也可以认为是非均质的，这取决于分析时观察问题 的尺度。从微观( 原子) 来看，任何材料都是不连续的和非均质的，而当所考虑的尺 度扩大到某种程度时，原子结构在分析中便失去了意义，连续介质力学理论开始有 效，本论文将在连续介质力学理论中比较分析层合薄板与层合圆柱薄壳的性质。 相对同种材料及相同跨度的薄板，薄壳能够以小得多的厚度承受同等的载荷，与 此同时，壳体能节省有效使用空间并具有优美的外型。正是基于以上的原因，人们不 仅在汽车制造业上大量使用壳体结构，而且在航海、航空、航天等多个领域中，壳体 经常取代原有的薄板结构。除此之外，在建筑工程中，壳体结构的阀门与坝体也已经 被广泛接受。 正如以上所描述，纤维增强复合材料有优异的材料性能，而薄壳有出色的结构特 点，自然而然，人们就想将两者有机的结合起来。但是，复合材料的研究近几十年才 起步，很多力学性质在理论上还有待深入研究，目前，理论预测的力学性质与实验数 据还有定距离，如何能用理论方法精确预测材料的力学性质，一直是研究人员不断 追求的目标。 胡衡 7 而之所以实验与理论有误差，原因是在理论分析中，为了简化计算，经常会使用 一些忽略，例如在经典的层合薄板理论中，就认为层与层之间黏结牢固，不产生滑 移，因而变形连续，但是实际上，根据近年来的研究，往往变形并不连续，因为层与 层之间的结合是靠树脂融化结合在一起，其结合强度不高，滑移是很容易出现的。因 此，已经有研究人员从事层合板位移函数不连续的研究了。 对于圆柱薄壳，以往一贯忽略圆柱薄壳上积分曲率半径p 与中面的曲率半径r 之 间的区别，即认为p zr ，从而圆柱薄壳与薄板的位移及应变表达方程一致。，然而 在这种条件下，圆柱薄壳就变成了薄板，理所当然，在位移及应变上的表达应该一模 一样。也就是说实际上经过这种忽略，研究的不是圆柱薄壳，而仍然是薄板。那么在 研究层合板性质时，当使用到应变方程时，就会带来误差，这个误差由於层层累积就 有可能会扩大到不能接受的范围。本论文将在完成圆柱薄壳与薄板的力学性质和几何 性质的推导的基础上，对该误差进行计算与分析。 胡衡 8 第一章 薄板的平衡方程 在弹性力学里，两个平行面和垂直这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体称 为平板，或简称为板。如果板的厚度远小于中面的其他尺寸，这个板就称为薄板【1 】， 本章主要研究薄板的力学性质。 1 1 中面是参考平面下的薄板平衡方程 本节将从连续介质体力学中的应力平衡方程 2 】出发，推导薄板的内力及内力距半 衡方程。由于是薄板，自身的重量与载荷相比，可以忽略不计，也就是说不考虑体积 力，应力平衡方程可以写成如下形式： r 挚 - t - 孥+ 警= 0 i劣洲院 挈+ 挚+ 孥= 0 ( 1 1 ) l出钟 l 警+ 等+ 警2 o 假设薄板的厚度是h 并且坐标系的选取如图1 1 ： 强l j l 薄板示意璺 在式( 1 1 ) 中的第一个方程两端分别对z 轴在【- h 2 ，h 2 1 上积分 胡衡 9 箜二望盟堕丛珊边堡 鉴于知道 同时 所以 坛警出+ 等如+ r h i 2 虹& 出= o l h 2 i 2 鼍出= 丧j - h i 2 “虬 蕊嬲 ：孥出2 号出； r 盈擘d z ：c ? 上h i 2c 2工h i 2 d 如= 帆i 鳊； l l 哥“d z = n “tl ：| f wd z = n ” 挚+警+如盼h2=00 x0 y厂“， 同样，在式( 1 ，1 ) 中的第二个及第三个方程两端分别对z 轴在【- 1 9 2 l ：2 c r y ：d z = n 。- ，：i ：f 。d z = n 。；l ：p wd z = n wi 。 2n ，：i h ? ，” 。n ”：i h t 产” 2 n ” 得到： 警+ 警+ 叫鳊= o 警+ 警+ 如盼一。 由于 且 ( 1 2 a ) h 2 1 上积分，由于 f 1 2 b ) ( 1 2 c ) 在式( 1 1 ) 中的第一个方程两端先分别乘以z ，然后仍然在n v 2 ，h 2 对z 轴积分 i ：h “i 2 警z 出+ 3 r - h “i 2 鲁z 出+ 3 r - h ”i 2 警z 出= o ； 微小 o z j 丧x z 出七茜铷vz 航= o l ? n z d z = m i j l 2 7 0 x y zd z2m n ； 仨z 饥：= z 弧i 鳊沈2z 乳 - 儿； 胡衡 1 0 笙二皇 塑堡旦生堑垄堡 因此可以得到： 警+ 警+ z 如盼- 胍= 0 ；出鲫 l 。 通过相同的步骤，计算式( 1 1 ) 中第二个方程，最后得到 挚+百0m+z卧鳊肌=00 xg vl 7 ( 1 2 d ) ( 1 2 e ) 假设在薄板上表面有法线方向的单位载荷q ( 图1 1 ) ， 则根据平衡条件，该板的边 界条件表达如下： 如f z ：h 2 ) 20 ；( 3 r y z ( z ：) 20 ；以( z = h 2 ) 。q ；血( z i , 2 ) 2 0 将这些边界条件应用于上面的平衡方程中： ( 1 2 ) 将上式中的第四个方程及第五个方程代入第三个方程中，则式( 1 2 ) 可以写成式 ( 1 3 ) 的形式： ，a n 。；+ 盟= 0 ；tr 苏 y v l 警+ 警一o ； i 警+ 2 - 一& w ”+ 可0 2 m ：y1 ( 1 3 ) 通过以上的推导与分析，本节得到了当板中面是参考平面时，薄板的内力及内力 距平衡方程。 胡衡 吼， | | | i 以 啦 旷 坛 呐一砂矾一砂矾一砂弘一砂一砂 进苏 矾一苏 垃缸 数苏 弘一 厂fflfj。、liijl 丝二童 堕塑堕巴堑竖 1 2 任意平面是参考平面下的薄板平衡方程 如图1 2 所示，将参考平面由中面( x y ) 沿z 轴垂直移动距离h 至任意平面 ( x 一y $ ) ，所受载荷仍然是q ： x 昏l 。2 参考平面的转换 y y 两坐标系的关系如下： ，x 乖= x _ y + = y ( 1 4 ) l z 牛= z h 在新坐标系下，重新计算薄板的内力以及内力距，并与原坐标系下的内力及内力 矩做比较： 耐=暌p。dz+=氍f“酢一h)=f200dzhi2h i 2h i 2 = n u 工 一 工 一 、 肌+ = 仁? 印z * d z + = f7 冀孤。一b ) d ( z 一仞 上h i 2 一h工h i 2 一h = 翰n d zh ；。h 7 2 2 c x d z = m 。- h n u 同理 n 竹 = n y y ，n w = n 叫，n c = n r ：，n # = n f ， m y 产= m 口h n q ，m 矿= m , y h n u 孔 胡衡 1 2 笙二童型堕至盟堕 为了得到新坐标系下的内力及内力距平衡方程，将式( 1 5 ) 代入式( 1 2 ) 中，经过 计算，表达式如下： 厂掣+ 掣= 0 ； i出钟 i 掣+ 掣= 0 ； 饼 v y 警+ 警+ q = 0 ； ( 1 1 6 ) l 塑掣+ 型掣批+ = o ； jo x l 型鱼掣+ 塑垡掣帐+ = o o x c o ； 展开式( 1 6 ) 中的第四个方程，将会发现： 幽垒掣+ 塑垒型一服+ 融o y ：哗! + 下o m x y + 胍+ + 日( 掣+ 掣) 出咖劣印。 ：避牮+ 。o m r y * 肌+ o x o y = o ：( 1 7 ) 同样的步骤，第五个方程变为： 。o m , y * + 。o m y y * 眼+ = 0 ( 1 8 ) o x o y 将方程( 1 7 ) 及方程( 1 8 ) 代入式( 1 6 ) ，就得到了在任意坐标系下的薄板的内力及 内力距平衡方棵袁扶式如下： f 警+ 等：0 ； _ 警+ 等一o ； l型+z一3zmvox2 0 x o y 十鲨y 2 = q l 。 、 ( 1 9 ) 胡衡 1 3 望二兰 苎堡笪! 皇盟 通过对式( 1 3 ) 与式( 1 9 ) 的比较不难发现，如果用参考平面上的内力及内力距表 达平衡方程，得到的方程形式是一样的。这个结论是符合逻辑的，因为坐标系的选取 是人为的，而薄板所受的内力及内力距是独立与坐标系的选取的。 胡衡 1 4 第二章 圆柱薄壳的平衡方程 两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体其他尺寸为小，就称为壳 体。壳体中面的法线被两壳面截断的长度，称为壳体的厚度。如果壳体的厚度远小于 壳体中面的最小曲率半径，这个壳体就称为薄壳。本章将研究圆柱薄壳的平衡方程a 2 1 - 中面是参考面下的圆柱薄壳平衡方程 由于圆柱壳体特殊的几何外型，这一章将用极坐标研究圆柱薄壳的力学性质，即 内力及内力距平衡方程。同薄板不一样的是，本节将直接对圆柱薄壳进行受力分析， 而不是从应力平衡方程出发。 首先，需要推导壳体的内力与应力之间的关系式，假设薄壳的厚度晕t ，中面半径 为r ，如图2 1 ： p + 渤删2 彭 图2 j l 圆柱薄壳示意强萄2 j 2 圆柱薄壳的截面示意图。 在圆柱薄壳的一个微元截面上，如图2 2 ，计算该微元上壳体所受的内力以及内力距 计算结果如下： 胡衡 1 5 笙三童 回壁整塞盟垩堑互堡 r d 8 = ：；d d 鳓p ， j m “= 彘：砌； 且 硝州2 m , x ard o2 l 2 鼬一r ) 咖， 褂+ t | 2 j 版a 2 壶l ：如一r ) 咖 同样的道理，可以得到： 矾十2 n o o2 2 鳓d p j 矾+ ，2 m o a 2k 2 彻p r ) d p ； = 1 麟函一p d p ； 地一= 壶t + 1 2 彻如一r ) d p ； = 1 + t 2 弛咖；亿1 ) 5 弛咖； 2 ) d t + t 2 。k 2 黜p r ) d p ； r + t 1 2 n e p2 k 。2 0 枷雕 n ”= 皋：蛳两p 根据以上的结果，不难发现： n k 毒n e tm n m 也就是说，对与圆柱薄壳，在同一个平面上的剪内力不等，剪内力距也不相等，这与 薄板是不相同的。 在这里需要指出的是，之所以会有这样的结果出现，原因是在壳体的两个侧面 上，积分面积并不相同。当计算一时，积分面积是脚，随着p 的改变，这个 面积一直在改变；而当计算时，积分面积为d o d a ，随着p 的改变，这是个不变 量。但是，对同一个面，剪应力是相同的，所以，导致了同一个平面上的剪内力不 等。翦内力距侑不相等。 胡衡 1 6 箜三童 旦壁堕壹盟王塑正猩 在得到了内力、内力距与应力的关系式的基础上，现在，可以对圆柱薄壳进行受 力分析了。假设圆柱薄壳承受的载荷可以分解为x ，y ，z 三个方向的受力，取一微元 薄壳，其所受内力如图2 3 ： l2 ：m 日r d o 3 ：0 r d o 4 ：n o o d a 5 ：d a 6 ：n o o d a ，：k + 警d 口) m 8 ：( 眦+ 挚如 r d o o a ，：k 一+ 警出) 脚 、 d 口 7 1 0 ：k + 丽o n o o r d o ) d 口 k + 需删) d 口 1 2 ：( + 篙肋卜 2 。3 菡拄薄壳斩受内力示意图 在a 轴方向，根据平衡条件 6 8 a n 口a a d ard o + 嗓d 0 0 0 d a + 删2 o ； d 口 ；等十上进+ 厩d x = 0 r0 0 一 a 口 。尺d a 彳a ( 2 2 ) 在y 轴方向上。受力分析要复杂一些，原因是将会影响这个方向的平衡，它在y 轴有一个分量，所以： 胡衡 1 7 箜三童旦立釜堕互型匝e 堡监 丽o n o o rd o d 口+ 警d d r d 曰+ 慨妇s i n 譬+ 比s i n 警 + 粉rd o 觚i 1 1 譬+ d y = 0 ； 忽略三阶微量，并考虑到s i i l 警2 譬，c 。s 警2 1 ，因为警非常小，那么，方程可以简 化为： 一o n o o + 哗+ 卑+ 卫= 0 ( 2 3 ) r 0 0 a 口rr d o d a 、。 经过同样的忽略与简化，壳体在z 轴上的内力平衡方程可以写为： o d n 口t o d 口r d o + 篙c 。s 警r d o d a - 抛s i 呼一d 口s i n 譬 o 月n a e 口o r d o 施s i l l 譬+ d z 2 o ； j 墼+ 一o n e ；煦+ 卫= 0 (24)r a 口0 0r r d o d a 7 至于内力距，可以应用右手螺旋定理确定方向。分别取1 ，m ，n 作为参考轴以便 简化计筻。图2 4e 标注了壳体所受的主要内力距： 1 ： 厶p r d 目 2 ：m 。r d e 3 ：自d a 4 ：m o o d o t s ：缸升是挚妇) 舢 6 ：k 十曼簪d a 膨目 、 d 口 7 7 ：+ 粉r d o ) d 口 s ：缸+ 耢r d o ) d c t 2 j 4 强柱薄壳瞬受内力距示意图 胡衡 笠三童 国壁堕壶盟王垡显猩 根据乞m j2 o ： 警比rd p + _ o r m a e a rd 目d 口( 比r s i n 譬+ rd 口s i n 警 + 篙r 硼d 口心n 譬) 2 0 ， 警+ 篙一胁2 0 ( 2 5 ) 根据m 2 0 ： 訾d c t r d o + 粉r d od 口rd od a5 0 ， ；糯+ 曼簪，2 0 ( 2 6 ) 根据胁= 0 ： 妇rd od a 一d 口月s i n 譬阮d ar s i n 警一1 r0 a n 目e , , r d o d 口s i n 警 - 胍d o t s i n 警一d as i n 譬一粉r d g d 口s i n 警2 0 ， j 一一峄2 0 ( 2 7 ) 至此，完成了对圆柱薄壳的内力平衡方程以及内力距平衡方程的推导，它们分别是方 程( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，写在一起以便观察： 厂等+ 壶学+ 淼。o ； l逝+ 亘丛生+ 尘，竺+ d 兰 = o 。 r 0 0 o c tr r d o d a 。 l 誓+ o n a p 逝+ j n = 0 ； (28)r00rr d o d，a 口a 1 警+ 船- 慨2 o ； 粉+ 警一2 o ； lm 一胍警钮 如果将方程( 2 5 ) 与方程( 2 6 ) 代入方程( 2 4 ) ，可以得到： 喾+ 淼十淼+ 丽0 2 m o o = 警卫r d o d c t ( 2 9 ) 矿+ 页否孺+ i 汤五万歹+ _ ) 万一。茅一 t z y j 胡衡 箜三童一旦盔垄蔓壶盟，复直显 2 2 任意面是参考面下的圆柱薄壳平衡方程 为了推导以任意面为参考面的圆柱薄壳的内力以及内力距平衡方程，需要移动参 考面，使参考面的半径由r 变为月+ ，新旧参考面之间的距离为h ，如图( 2 5 ) 及( 2 6 ) 所示： 肘删2 匿2 j 5 圆柱薄壳示意图强2 j 6 参考蟊转纯示意强 在这里，需要指出的是，该转换并没有象上一章针对薄板那样转换了坐标系，而只是 转换了参考平面而已，因为对于极坐标而言，参考平面的改变并不需要坐标系的改 变，也就是说： r 矿2p ； j 伊：口； ( 2 1 0 ) l 口。= a ； 然而 r + = 尺+ 月( 2 1 1 ) 式。 在这个参考面下，需要重新建立单位长度上的内力、内力距与应力之间的关系 胡衡 筮三童 国挂蔓壹鲍垩煎狸 鉴于知道： 同时 n 。4r 4 d o = “匹。o d e d p ，冉- t 1 2 。 j 一击f = ：膨2 器m a2 杰i f ；j “南膨2 惫m a2 丽； r d o = r 妇鼬一r + 坳，j r- t 1 2 。 j + = 去：如卅坳 1i # + t 2 2 去k ：风d r 一功和 1水+ t 21 矾+ 2 。南l ：如一r ) 咖南l ：础和 2 毒( - h m a ) 2 鼎( 一) 经过相同的步骤，得到 一南； n a 一2 趸毒霞n a 吐 + 2 丽r 眦； + 。杰( 一h ) ； + = m 0 9 h 赫： m a 一2 i 要再t m a e hn a e k q 1 2 ) m ；m - hn ： n 印= n 舡 如果将式( 2 1 2 ) ，即新旧坐标系的内力、内力距之间的关系代入式( 2 8 ) ，也就 是说将n a a n n n h 。n ￥。n 印m 。m m 。8 m 豫 + ，+ ，m 8 + ，鼬+ + ，+ ，地a + ，地口 ，批+ 全部替换。这样经过计 算与整理，就可以得到在新的参考平面下的圆柱薄壳内力、内力距的平衡方程，如下 式： 第二章 圆柱薄壳的垩煎夏程 厂星旦越芷+上曼隧+监=0；rr0 0r d o d，a aa i错十世巡+型+蕊dyrro c tr = 0 ； la 目 r d 6 日口 ” 耻r 警+ 绁r 0 0 - 巡r + 卫r d o d a = 0 ； ( 2 1 3 ) i6 晓 ” 1 心r 警+ 必r 0 0 圳巡r 0 0 + 巡r 警) w = o ；ia 口一、a口7 甲。 j 巡r 0 0 + 世r 世o a + ( 趔r 逖o a + 上r 遄0 0 ) 一地r + = o ； l 。、 。 ，一一1 叩” 半肘一半+ - 峄- 0 假设圆柱薄壳只承受法向载荷，在绝大部分实际应用中，薄壳的用途采是用来承 受这种载荷( 杆= 0 ，d y 2 0 e t 瓦d 7 历z 西。q ) 。 另外，如果应用式( 2 1 ) 以及式( 2 1 2 ) 中的三个关系式： 2 壶：函一砌肮一 = 意陪肌一； 胍= + ：融咖； 舨，= ； t r + l 2 2 k 鳓p r ) d p ； + 2 _ h ； 式( 2 1 3 ) 中的第六个方程有如下变化： 警m 一- 半h 峄2 一- m r o a2 彘f = ：彻脚 1 + t 2，柙+ f 2 k ：沌咖。素l ：沪尺) 和2 0 也就是说式( 2 1 3 ) 中的第六个方程是个恒等式。接着，将式( 2 1 3 ) 中的第一个和第二 个方程分别代入式( 2 1 3 ) 中的第四个和第五个方程，得到： ，基显坌盥+ 上翅亟：0 ，ro ar0 0 io n o o * + 8 土b l 巡+ 盟生：r ) r 0 0 。ro c t + r 。 地业o c t + 巡巡= q ；(214)rr 0 0r 、t1 f 芈警+ 巡r 0 0 。警慨+ ； l 错+ 半警2 警+ ； 箜三童 ： 凰塑翌量童堕塑巴煎筮呈 最后，应用式( 2 1 4 ) 最后三个方程式，可以得到： 半( 可0 2 m e a * + 舭r - - b - - 薇d + ) + 淼+ 丽0 2 m e o * = 螳r - q ( 2 1 5 ) 2 3 简化与比较 f ，警+ 警= o ； 警+ 警= o ； 警+ 警+ q o ； i 警十等m o ； l 挚+ 挚如= 0 o x跏 营岳盼芳盼 亿旧 其中u 5 正曩 营。h m y 一肌：， 亿忉 胡衡 箜三童堡_ 量遵互丛生至鱼监 丢( z + 茜 嚣 5 ( 黝 其中 奶+ = 奶2 兰j 三三 ( 2 1 8 ) 对于圆柱薄壳，经过与处理薄板相同的步骤，则式( 2 8 ) 可以简化表达为如下形式 矗盼南鼢 亿 r u ，= 口 其中呖2 专 ，2 曰 。- q + 警，2 p ( 艺： = 一； ( 艺) c i2 口，口；，2 口，拶，p ， r 番f - 口 其中护t 。例 半老盼南盼f 茹+ f o j 2 。 其中 辨+ = 孚 ，2 口 o - q + 警- ，2 尸 f 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 胡衡 釜三童 圜挂篷壹笪垩堑友堡 为了更直观的比较这些方程，列表如下 薄板圆柱薄壳 亲鼢茜盼o - i 帕1 喵鼢 = 10 = lo 瞄 日1 一l _-。 岳( 期+ 号2 t r + h r ma口moi+南m= 月a 口 i 旧+ j f 杉+ 1 l 半v j 其中u * = u j = f ：二二二 r i = a ir + h 一 q，= z 其中肛t 。 驴篓 孵悻名 o q + 警= p 表2 1 浮板s 圆柱薄壳方程对照表 箜三童 璺蕉蕉壹盟王垡正立猩 通过这张表格，可以发现，在不同的坐标系之间的薄板的方程表达式，在不同的 参考平面之间的圆柱薄壳的方程表达式，在薄板与圆柱薄壳之间的方程表达式，形式 上以及物理意义上趋于一致，所不同的只是个别的参数，如 ，星掣。 l 在这里，需要强调的是，x ，y 是笛卡尔坐标系中的两条坐标轴，口，尺p 是极坐 标系中的两条坐标轴，所以方程式( 2 1 6 ) 与( 2 1 9 ) ，( 2 1 8 ) 与( 2 2 1 ) 在物理意义 上非常相近。 另外，如果对于圆柱薄壳，取r m ，可以发现，圆柱薄壳的方程与薄板的方程完 全样，因为，当r 州，圆柱薄壳在几何上就已经变成了薄板。因此，可以用这个方 法检验方程的正确性。 胡衡 第三章 位移与应变 这一章将研究薄板与圆柱薄壳的几何性质，诸如：位移与应变之间的关系，任意 面位移与中面位移的关系，任意面应变与中面应变的关系，转换参考平面后，新旧参 考平面之间的应变关系等等。 3 1 薄板的应变 假设在一个弹性体内，有三个点p ，a 和b ，并且p a2d x ，p b2d y 。当该弹性 体承受外载时，在图1 1 中x - y 面上，p ，a 和b 点将分别移动至p ，a 和b 点。 如果认为弹性体沿x 轴和y 轴上的位移函数分别是u ( x ，弘力以及k x ，y ，力，且p 点 坐标为，y p ，z p ) ，p 点的位移为： 蜥5u ( x p ，y p ，卸) 2u ， v e 2v ( x p ，y p ，z p ) 。v ， 由泰勒展开可以求得a 点的位移表达式： = “坼+ 出，帅，句) = “+ 罄出+ 圭豢( 鳓：+ + 去豢( 鳓n + 且， 如果不计二阶张量，可以写成： 扎5 “+ 甓d x ， ( 3 1 ) 同理： 5 v + 褰出， ( 3 2 ) 。“+ 雾a y ， ( 3 3 ) 5 v + 赛d y ， ( 3 4 ) 现在将这些表达式标注在图( 3 1 ) 上，以便分析薄板的应变 胡衡 2 7 筮三童焦至l皇廑变 0 y 酉3 。l 位移示意圜 通近圈3 1 ，很答易地就口j 以计算x y 回上的各皿叟表达式： & 2 u a 朋- - t t 业2 ( “+ 甏出“) l a x2 象； ( 3 5 ) 劬2 雾； ( 3 6 ) 细2a + p ； 由于口和都很小，所以可以认为口= t g ae t = t g p ，因此： 胁2 t g a + 秽。鼍挚+ 鼍乎2 ( u + 雾c t y 一“) 砂+ ( v + 象出v ) 出 = 豢+ 譬； ( 3 7 ) 加叙 、7 同样的方法，分别在乎面x - z 以及平面y - z 上，可以得到： 融2 a 如r _ o ； ( 3 8 ) 肛2 鲁+ 髻； ( 3 9 ) 胁2 爱+ 筹 ( 3 1 0 ) 至此，已得到了薄板的位移与应变关系式，也就是说可以用薄板的三个位移分量表达 所有的薄板的应变分鼍。 胡衡2 8 箜三童j量鳌兰型墼变 由于薄板的厚度很小，所以在弹性体力学中，对于薄板，有三个计算假设，它们 是： ( 1 ) 垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。 t ( 2 ) f 。，f 。和盯：远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们引起的形变可 以不计，这里须注意的是，它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。 ( 3 ) 薄板中面的位移是扩以及v o 。 若用数学表达式表达，可以写为： r 如= 0 ；( 3 1 1 ) j 肚。0 ，批= 0 ；( 3 1 2 ) l ( “) = “o ，( v ) = v o ；( 3 t 3 ) 由式( 3 t 1 ) 和( 3 8 ) ，可知警。0 ，也就是说，薄板的挠度函数是一个独立于z 轴的函数，翻译成数学表达式： 2 垃l x ， ； 另外，根据式( 3 1 2 ) ，( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) ，又可以得到 f 肛2 甏+ 髻_ o ， l 胁2 謇+ 努= 0 ； 曼盟= e u f反昆 i 地：尘 l 却瑟 存z 轴e 对式( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 积分得到： 警z + 彳o ，力， 筹z + 五o ，力， 又由( 3 1 3 ) ，当：= 0 时，“= 0 以及v = v o ，所以 r 石0 ，力2 扩， l 五0 ，y ) 2v o ， r 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) r 3 1 6 ) f 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) f 3 2 0 ) 胡衡2 9 一 一 材 v 箜三童 一垡囊堑墨壁 f “刮署z ， ( 3 。2 1 ) 【v - v 0 一努z ( 3 2 2 ) 到这里，使用薄板的挠度函数以及中面位移就可以表达薄板内任意一点的位移函数 了。而且，由表达式可以看出，薄板的面内位移是z 的线形函数，其斜率分别是一警 以及一娑。 卯 如果将( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 代入( 3 5 ) ，( 3 6 ) 以及中面位移表达的应变式： i 一如一篆z ， 劬= 魏一窘：， o 胁= 侈一z 骞z 以及( 3 7 ) ，就可以得到用薄板挠度 根据习惯使用和，肋，肋替代等，一害，一z 骞 rs “= 如+ z “z ， i 之s 什= 魏十z wz ， l l 细2y 岛+ z w z 由表达式可以看出，薄板的应变也是z 的线形函数，其斜率分别是一窘， a 2 1 瓦万。 ( 3 2 3 ) r 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 胡衡 3 0 拗功埘n 8 陋邮渤一矿 笙三童蔓堕圭篮 3 2 圆柱薄壳的几何方程 现在，本节开始研究圆柱薄壳的几何方程，圆柱薄壳的位移函数以及应变函数要 比薄板的复杂的多，但分析方法是相同的，首先，分析比较简单的一个侧面a b c d ，如 图3 2 ： f a 鹜3 j 2 圆柱薄壳示意图 首先假设圆柱薄壳的位移函数分别是u o ( a , o , p ) ， ( ，巩，内) ，同时a d = 如，a b = pd o ，a f 如( d ，吼，p a ) 2 ， i d o ( a a ，巳，p ) 2 蜥， “p ( 口月，吼，p a ) 2u ， u o ( a , o , p ) e t “p ( 强醴动，a 点的坐标为 ：咖，且： f 3 2 9 ) 经过与薄板相同的处理方法，如泰勒展开与忽略二阶微量，得到d 点- f fb 的位移表达 式： 2 + 筹d c t ， ( 3 - 3 0 ) 2 + 等d 口， ( 3 3 1 ) 2 + 茄p 眠 ( 3 3 2 ) 。的+ 荔p d o ( 3 3 3 ) 胡衡 3 l ，、l 箜三童鱼至l 皇壁盈 所以，如，分别为： 岛。= 丝嚣= ( + 罄如一) d 口2 器， r 3 3 4 ) 一2 觜+ 警 = ( + p d o u n ) p d o + ( 嘞+ 器拓u o ) d a = 亘丝+ 盟( 3 3 5 ) , 0 0 0 a a 、 对于，将在侧面a b g f 上计算，原因是当弧长的长度改变时，的函数将受到影 响。 接着，在面a d e f 上，有： 跏。坳+ 等咖， ( 3 _ 3 6 ) 。+ 謦和， ( 3 。3 7 ) 坳2 即+ 等舡 ( 3 3 8 ) 由式( 3 3 0 ) ，可以计算跏和跏： 跏2 警2 ( 蜘+ 筹咖u , , ) l d p 。盟a p ， ( 3 3 9 ) 胁2 警+ 警 = ( 蜘+ 等如- 蜘) d a + ( + 铬和一) 印 ：挚+ 塾( 3 4 0 ) oc co d 最后通过研究面a b g f 来计算嘞和，由于知道： 断2 的+ 罄a p ， ( 3 - 4 1 ) 铀2 蜘+ 茄曰 ( 3 4 2 ) 胡衡 3 2 蔓三重 一焦玉生皇监 对于锄，它由两部分组成： 1 ) 由于嘞的原因： 翻2 努。( 的+ 器p 棚。u o ) p 棚 2 ) 由于“，的原因，当弧a b 有一个横向位移郴时， 半径变为p + l d p ，所以： ，一：( p + u p ) d a - p d o ：生 5 ”一面厂一万 根据这两个部分，可以得到： 岛2 + 锄2 茜+ 告- = 恶； ( 3 4 3 ) 0 它将有一个伸长量，原因是它的 ( 3 4 4 ) r 3 4 5 ) 对于应变，应该考虑角z f a b 将随着位移嘞而改变，如果假设a 点移动至 a 点，z f a b 的改变量将由下图确定： m a 强3 j 3a 点变化示意国 直线a m 和a m 是a a 弧在a 以及a 的切线，通过此图，可以发现：当a 点移至a 点时， a 8 将有一个远离a f 的角口，由于口2 ，。，所以口。等因此 有如下表达： 2 铲+ 劳。口 。( + 参咖。u 一) a p + ( 坳+ 笳目。u , ) 1 x l o ，芳 胡衡 3 3 箜三童蔓堕圭堂 最庙哥刘： 2 券+ 器。参 需要指出，到此为止，本论文已经得到了圆柱薄壳的几何方程，它们是 r 2 氅 铂2 勃+ 芳， j 跏2 券， 1 2 勃+ 罄， l 2 参+ 笳。考， 抽= 鲁+ 智 3 3 圆柱薄壳的精确应变表达式 与薄板一样对于圆柱溥壳，也有三个计算似定，它们是 ( 1 ) 垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。 ( 2 ) 横向剪应变不计。 ( 3 ) 圆柱薄壳的中面位移为档和嘏。 写成数学形式： r 断20 ， = o ， l 跏：o 由式( 3 4 7 ) 和( 3 3 9 ) ，得到： 勖2 差= o ； r 3 4 6 ) r 3 4 7 ) r 3 4 8 ) f 3 4 9 ) 也就是说挠度函数枷不依赖于坐标p ，它只是0 和a 的函数，所以，在数学上， 可以这样表达： 胡衡 、，、j ) i ) 鲫 蛳 柳 瑚 删 o p 0 b p 箜三童一垡童生量墅 如= 蛳( 1 2 ， u ) u j 现在，本节将研究怎样用圆柱薄壳的挠度函数以及中面位移来表达任意点的位移 函数。 由式( 3 4 8 ) 及( 3 4 6 ) ，有： 枷2 参+ 器一参= o ， j 尝+ 盟塑：戛+ 掣_ 0 一 a p j p o ope j p 、? j 孽：窆；( 3 5 1 ) 一 p 2 0 0印 。 在方程( 3 5 1