（固体力学专业论文）轴向运动弦的参数共振研究.pdf

中文摘要 轴向运动弦的参数共振研究 专业：固体力学 硕士生：王跃勇 指导老师：陈树辉教授 摘要： 本文应用多维l i n d s t e d t p o i n c a r 6 ( l - p ) 法研究轴向运动弦在内共振条件下 带有参数激励的非线性横向振动。 首先，利用广义哈密顿原理得到轴向运动弦连续体的非线性偏微分方程，采 用g a l e r k i n 法离散偏微分方程得到二自由度系统的轴向运动弦的参数振动方程。 本文考虑的轴向力为简谐变化，即p = 昂+ 毋c o s d t 。 其次，应用多维l p 法研究轴向运动弦的参数振动。采用多元l - p 法分别研 究了三种伴随内共振的参数共振现象，即参数激励频率q 接近两倍第一固有频率 2 q 。的第一主共振，接近两倍第二阶固有频率2 c a 2 0 的第二主共振和接近q 。+ 吱。 的组合谐波共振。 研究结果表明，在0 ) 2 0 ，q o 3 和c 0 2 0 q o 3 a n d0 3 2 0 q o 3a r er a t h e rd i f f e r e n t w h e n ( - 0 2 0 q oi s s m a l l e rt h a n3 ，t h er e s p o n s e so ft w op r i m a r yp a r a m e t r i cr e s o n a n c ea r es i m p l e b u tt h e s u m m e dt y p ec o m b i n a t i o nr e s o n a n c eo c c u r sw i t ht h ee n e r g ye x c h a n g e w h e n q o c o t o i sb i g g e rt h a n3 ，t h et w op r i m a r yr e s o n a n c ea n ds u m m e dt y p ec o m b i n a t i o n r e s o n a n c eo c c u rw i t i ie n e r g ye x c h a n g e k e y w o r d s ：a x i a l l ym o v i n gs t r i n g s ，e x t e n d e dh a m i l t o np r i n c i p l e ，p a r a m e t r i c r e s o n a n c e i n t e m a lr e s o n a n c e ，t h em u l t i p l ed i m e n s i o n a ll - pm e t h o d 【i 第1 章绪论 1 1 前言 第1 章绪论 随着科学技术的进步，轴向运动的构件越来越多地应用在工程技术领域，例 如具有高速运动的磁带，汽车动力传送带，切割据片，高空运行的索道以及高楼 升降电梯缆绳等。这些构件的应用虽然提高了整体机构的运行效率，但是它们的 噪声和振动，特别是这些构件的横向振动限制了它们的应用。因此除了材料强度 和疲劳等传统问题外，轴向运动构件的横向振动问题受到了越来越多的学者和工 程技术人员重视。 轴向运动体系包括弦，梁，索膜和板等，其中轴向运动弦是最基本的轴向 运动体系。轴向运动弦是一个忽略抗弯刚度的模型，而且重力与弦线内力相比足 够小，以至弦线的平衡状态是一条笔直的弦线。虽然轴向运动弦是一维连续体， 但是它具有了轴向运动体系横向振动最基本的性质，所以研究轴向运动弦对其他 轴向运动体系有很好的借鉴意义。 自从1 8 9 7 年s k u t c h 1 研究了轴向运动带的振动后，国内外学者在轴向运动 体系研究领域已经取得了大量成果，涌现出许多卓著的综述。w i c k e r 和m o t e l 2 l 回顾了1 9 8 8 年以前轴向运动体系的研究成果。陈立群和j z w u l 3 1 综述了2 0 0 0 年 以前的研究成果，其后陈立群【4 l 又做了比较完整的综述，随后他又补充了一些新 的观点 5 1 。此外王建军等 6 1 回顾了近二十年来轴向移动系统的参数振动问题。 1 2 线性参数激励 考虑长度为，单位质量为p ，轴向张力为p ，以匀速c 运动的均匀弦线， 设分布力为f ( x ，t 1 作用，采用广义h a m i l t o n 原理7 1 或者牛顿第二定律嘲则得到 其动力学方程 p ( 豢他翥豢卜豢= f c 即， m ， 第1 章绪论 在式( 1 - 1 ) 中，p 筹为横向加速度 2 患为科式加速度，豢为 向心加速度。陈树辉等t g l 用理论力学中相对运动的观点对科式加速度和向心加速 度在轴向运动体系中出现的原因进行了详细的解释。 s k u t c h t l 】首先研究了无外激励的轴向运动弦，他利用两个波反向传播的方法 得到了系统的基频。s a c k p o l 研究了一端受简谐横向位移激励时的轴向运动弦，他 通过共振关系得到了系统的固有频率 峨= 等( 1 - 譬) 层扣艟，) 2 ， m a h a l i n g a m i “1 以轴向运动弦线为力学模型研究动力传输链的振动，由于齿轮上 的链为多边形而非理想的圆形。使弦线在两端受到同频异象横向位移激励的作 用，所以用叠加法可以得到系统的响应，他还在考虑阻尼的情况下发现共振非零 解随轴向速度增大而减小，这与实验结果一致。s w o p e 和a m c s y s l 用运动弦线为 模型讨论纺织工业中纤维的不稳定问题，他们分析了波在运动介质中的传播，发 现波的传播速度与弦线运动速度相等时会出现纤维不稳定现象。 w i e k e r t 和m o t e t l 2 1 首次在运动弦的横向振动研究中采用模态分析方法盼m ， 即把模态分析方法推广到连续的陀螺系统分析中。他们首先采用复模态分析的方 法得到了系统的固有值和固有函数，然后分别采用模态分析和g r e e n 函数方法得 到任意作用力下满足任意初始条件的响应。随后w i e k e r t 和m o t e l l 刀又对模态函 数的选取进行了改进。 w i e k e r t 和m o t e t 坨i 虽然给出了一般激励的响应，但并不适用共振的情形。刘 芳和陈立群f 协1 采用复模态分析的方法，研究了轴向运动弦的共振响应。刘芳和 陈立群还应用l a p l a c e 变换把轴向运动弦线横向振动方程和边界条件转化成频 率域中的控制方程，并将控制方程和边界条件用状态向量表示。他们通过计算系 统的传递函数和l a p l a c e 逆变换，得到了时域响应。 但是实际工程中，许多系统的轴向张力和轴向移动速度是随着时间变化的。 这时激励作为微分方程中的变系数出现，称为参数激励，此时横向振动成为参数 振动。因为轴向移动系统的陀螺项使得它们的参数振动具有独特的振动特性，所 以许多学者对轴向运动系统的参数共振进行大量研究，并取得很多有意义的研究 第1 章绪论 成果。 1 2 1 考虑轴向张力的变化 弦两端支座的移动或弦的纵向波动都能引起弦的轴向张力的变化。 m a h a l i n g a m t 1 l 首先指出由于弦的纵向波动的影响使轴向张力p 为一个小简 谐张力与平均常张力的和，即 p = 晶+ 日c o s d t( 1 - 3 ) 并且轴向运动偏微分方程的一阶离散是m a t h i e u 方程，但是他没有进行更深入的 研究。m o t e 2 0 1 首先研究了该问题。他把偏微分方程离散成耦合的m a t h i e u 方程， 用数值方法研究了不同速度下p q 平面上稳定性边界。n a g u l e s w a r a n 和 w i l l i a m s 2 u 采用静止弦线模态函数进行4 阶g a l e r k i n 展开后再用数值方法研究了 系统的稳定性，他们发现当轴向张力的扰动频率是系统固有频率的两倍时系统发 生强烈共振，同时他们也采用实验方法验证了主不稳定区域。u l s o y 2 2 1 等研究了 带有张紧轮的动力传输模型；他采用空间和时间的有限差分进行数值求解。 a r i a t n a m 和a s o k a n t h a n 田j 研究链驱动的动力稳定性时将动力学方程进行2 阶 g a l e r k i n 截断，然后采用接触变化解耦，最后采用平均法进行稳定性分析后得到 了亚谐共振、和式组合共振，差式组合共振的稳定性条件及非共振时的响应。 m o e h e n s t u r m 等 2 4 1 基于轴向运动弦复模态函数进行二阶g a l e r k i n 离散，然后采用 k b m 平均法得到了广义主参数共振和第一和式与差式共振的稳定性边界，他们 的结果还表明一阶离散的精度等同基于静止弦模态函数四阶g a l e r k i n 离散的结 果的精度。f u n g 等【2 5 】研究了考虑粘性完全阻尼轴向运动弹性弦的稳定性，他们 先基于静止弦模态函数的g a l e r l i n 离散方法得到耦合的常微分方程组，再利用 h a m i l t o n 框架和平均法得到了一阶、二阶主参数和和式参数共振的稳定性边界。 f u n g 等1 2 6 l 还采用数值方法研究了速度简谐变化的三参数粘弹性轴向运动弦的非 线性参数振动。 大多数学者假定轴向张力为单谐波，而r g p a r k e r 和y l i n 2 7 1 假定轴向力的 涨落是多频简谐函数和任意相位的组合。他们基于轴向运动弦模态函数的一阶 g a l e r k i n 离散模型，研究了一阶、二阶和和式组合参数共振的稳定性边界。他们 第t 章靖论 发现了一些不同予单频激励的现象，解释了一些工程实际中用单频激励函数难以 辩强瓣共振琨象。 1 2 2 考虑轴向速度的变化 强轴囱张务为宠檀，辘蠢速度交伍蘸，纛缆季l 莛参数缀葫。 m i r a n k e r 2 s l 首先研究了轴向加速移动弦的横向振动。m o t e 【2 9 i 研究了一端受简 谐激黼加速弦的稳定性近似边器。他用平均速度代替筒谐遮发得到常系数微分方 程，然后通遣l a p l a c e 交换研究了系统的稳定性，得赉7 髓速可黻鸯鞋强逡动弦稳 定性，减速可以减弱运动弦稳定性的结论。p a k d e m i d i 等【3 0 i 基于静定弦模态函数 豹g a l e r k i n 方法将偏微分方程璃敬成常微分方程组，然后爝数值方法计算f l o q u e t 乘予浆判断稳定髋，并与解辑滚进行跑较。镳髓研究发瑗，由于陀螺顼髓存在， 偶数阶g a l e r k i n 截断得到结果比奇数阶g a l e r k i n 截断法得到的结果好。p a k d e m i d i 移b a t a n l 3 l 】用网栉豹方法对轴尚匀搬速运动弦线豹横向振动的稳定性进行了研 究。得到了类似m o t e 论文中的结论 2 9 1 。p a k d e m i r l i 葙u l s o y d 2 1 分嗣采髑离散多 尺度法和直接多尺度法研究了轴向运动弹性弦的广义主共攮，和式组合欺振的稳 定性地界。w i c k e r d 3 ) l 采用k b m 褥到了一般院螺系统在弼鲻支撑存扰动下一酚近 似瞬态振动，然厩成用于加速弦。o z k a y a 藕p a k d e m i r l i f 辩镰用l i e 群理论求解辘 向运动弹性弦线的轴向速度分别为匀速，匀加速，简谐速度和指数速度变化的情 瑟。李浃辉等搿 磷究了黏弹性带晌应的壤况。除了轴囱张力涨落变化秘轴向速 度变化外，其他霞瀑例如弦长的周期性交仡貔能产生参数掇动d 6 1 。 1 3 非线饿参数振动研究 机会所有的系统都存在非线性应诉，但怒当考虑了系统的非线性蜃，轴向运 动弦由于轴向张力幂轴向运动速度的变化，仍然有可能出现比较大的振幅。因此 透第采，久锯豹磷究逐渐转淘翻淘运蘸弦豹静线性参数振渤研究。 m o c k e n s t r u m 等【2 4 l 研究了考虑轴向张力变化的轴向透动非线性弦，他们用 k b m 方法得到非线性振动的极限环及其稳定性。实际工獠中，轴向运动弦总是 会受翻阻尼鹣影羲。翠麓懿繇燕多考虑线毽隧憩，繇谈隽麓惩力跟弦线豹点酶 绝对速度或者相对速度成正比，然而系统的稳定性对这种阻尼的形式和数值大小 4 第1 章绪论 都非常敏感，考虑外阻尼的结果对实际工程的建设性意义不是很大【丑。为了更合 理的考虑阻尼的影响，研究者引入了粘弹性材料模型来表示内阻尼力的影响。 f u n g 掣3 刀研究了满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型粘弹性轴向运动弦线在轴向 力涨落扰动下的瞬态响应；他们用g a l e r k i n 方法导出描述系统运动的非线性微分 一积分方程组，再采用差分求得瞬态响应的数值解并分析有关参数振动对运动的 影响。陈立群等1 38 】采用直接多尺度法研究了轴向力简谐变化下b o l t z m a n n 型的轴 向运动粘弹性弦的非线性参数振动。z h a n g 和z u 【3 9 删研究了k e l v i n 粘弹性轴向 运动弦线非线性参数振动的动态响应和稳定性；假设由于支座的移动使得轴向张 力产生周期性涨落；采用直接多尺度法得到和式组合共振的稳态响应及其存在条 件；基于线性化稳定性分析理论得到了参数空间中的稳定性区域边界，并分析了 系统中各参数对稳定性区域的影响。h o u 和z u 研究了标准线性粘弹性弹性自由 振动【4 1 1 ，标准线性固体和m a x w e l l k e l v i n 模型粘弹性轴向运动弦的非线性参数 振动的响应及其稳定性1 4 2 1 。p e l l i e a n o 掣4 3 1 采用l 阶g a l e r k i n 离散同时受外激励 和参数激励的运动弦模型，然后采用正则形式和实验方法研究了这种情况。 m o c k e n s t u r m 和g u o l 4 4 1 指出z h a n g 和z u 【柏，4 5 1 在采用k e l v i n 模型时对时间导 数的不完全性。他们考虑弦纵向波动引起轴向张力简谐变化的情况后发现k e l v i n 粘弹性也影响轴向张力的变化。在此基础上，他们研究了k e l v i n 粘弹性运动弦 的和式组合参数非线性共振，得到了稳态响应并研究了他们的稳定性。最后他们 把结果跟z h a n g 和z u t 4 0 , 4 5 1 的结果做比较。 吴俊和陈立群【蛔研究了轴向运动弹性弦的横向非线性振动方程：他们考虑的 是轴向速度的简谐变化：采用直接多尺度法研究了主参数共振的稳态响应并采用 线性化理论研究了稳态解的稳定性。接着他们又用同样的方法研究了 b o l t 珊a n n l 4 刀和k e l v i n 4 8 l 型粘弹性运动弦在考虑轴向运动速度变化的非线性参数 振动。张清泉等f 4 9 1 采用g a l e r k i n 离散法和多尺度法研究了粘弹性传送带的非线 性参数振动和稳态解的稳定性。 1 4 分岔与混沌 在分岔与混沌的研究中，数值方法被采用进行定量研究。在轴向运动体系的 分岔与混沌研究中，研究人员采用的数值方法可分为离散数值法和直接数值法。 第1 章绪 论 离散数值法是指，对轴向运动的偏微分方程应用g a l e r k i n 离散或者r i t z 离 散后得到常微分方程。g a l e r k i n 离散的模态函数又为分静定弦模态函数和运动弦 模态函数。 f u n g 掣3 7 】采用基于静定弦模态函数的4 阶g a l e r k i n 离散后。用差分法研究 7 积分型粘弹性运动弦的参数非线性振动：他们发现系统的频率和粘弹性参数有 关，并且参数振动可以引发系统的不稳定性。随后他们【2 6 1 又研究了标准固体粘 弹性运动的参数不稳定性。c h e n 掣5 0 1 提出了一种研究分数粘弹性关系的数值算 法，然后研究g a l e r k i n 离散后的常微分方程。陈立群等采用基于静定弦模态函数 的一、二阶g a l e r k i n 离散i 、四阶g a l e r k i n 离斛5 2 1 和基于移动弦模态函数的 g a l e r k i n 离散数值方法研究了k e l v i n 粘弹性弦【5 3 5 4 1 ，陈立群等接着采用基于静定 弦模态函数的二阶g a l e r k i n 离散f 5 5 1 和四阶g a l e r k i n 离散研究了b o l t z m a r m 型粘 弹性轴向运动弦线的分岔与混沌现象，他们考虑的轴向力的简谐变化。h aj l 等【5 7 】研究了三参数粘弹性三维运动弦的分岔与混沌。张能辉等【5 9 1 还比较了基于 静定弦和基于移动弦g a l e r k i n 离散的不同。 由于g a l e r k i n 截断方法只取偏微分方程的有限模态而存在截断误差，所以一 些研究人员对偏微分方程直接进行数值方法求解。c h e n 和z h a o 采用有限差分法 研究了k e l v i n 粘弹性1 5 9 1 ，弹性和标准桔弹性 6 0 l 轴向运动弦的动力学行为。周洪 刚，朱凌和郭乙木 6 l l 采用单步二阶差分法讨论了轴向加速度简谐变化运动弦线 横向振动的数学模型和数值计算方法等问题。 此外还有学者利用其他方法研究分岔和混沌特性。张伟，温洪波和姚明辉【6 2 i 利用g a l e r k i n 离散和多尺度法得到参数共振和内共振共同作用下的平均方程，然 后用d y n a m i c 程序研究了传送带系统的周期运动和混沌运动。z h a n g 和y a o 6 3 1 利 用规范型理论和改进的能量相位法研究了粘弹性传送带的多脉冲混动动力学。 b r a v i n d r a 和w d z h u 6 4 1 采用一阶g a l e r k i n 离散得到单自由度变系数常微分方 程。然后利用m e l n i k o v 准则和数值方法研究轴向运动弹性弦在超临界速度下的 混沌与分岔。李映辉等 6 5 1 应用m e l n i k o v 方法研究了粘弹性传送带在参激和外激 作用下的混动区域。 许多学者在实验研究方面做了很好的工作h 3 ，6 6 郴1 ，他们的结果为理论分析提 供了思路和检验。 6 第1 章绪论 1 5 本文的工作 第一章是绪论。在本章中概述了问题的工程背景。首先回顾了轴向运动弦线 无参激横向振动典型结果，然后综述了近年参数激励轴向运动弦在线性和非线性 方面的定量研究结果，最后概述了轴向运动弦的分岔和混沌研究的领域的研究成 果。 第二章是轴向运动弦的建模。首先采用广义h a m i l t o n 原理建立轴向运动 k e l v i n 粘弹性弦的参数振动方程，然后采用广义h a m i l t o n 原理建立一般粘弹性 材料轴向运动粘弹性的运动方程。最后对运动方程进行了g a l e r k i n 离散。 第三章是轴向运动弦参数振动的多元l p 法研究。本章把多元l p 法应用轴 向运动弦( 陀螺系统) 的参数激励振动的研究中。在考虑( 0 2 0 c o t 。 3 的两种内共振条件下，采用多元l - p 法分别研究了三种伴随内共振的参数共振现 象，即参数激励频率q 接近两倍第一固有频率2 c a t 。的第一主共振，接近两倍第二 阶固有频率2 n 1 2 0 的第二主共振和接近q 。+ 哆。的组合谐波共振。 第四章是结论和展望。总结了本文的主要工作和不足，给出可以继续的工作。 第2 章轴向运动弦的建模 第2 章轴向运动弦的建模 2 1 动力学建模方法介绍 建立连续体系统动力学的方法通常有两种： ( 1 ) 、采用牛顿第二定律及其推论。采用这种方法首先选取系统的微元，然 后对微元进行受力分析，最后根据牛顿第二定律建立力或力矩与速度或者加速度 的关系，这些关系都是矢量关系。然而对于复杂的连续体系统，受力情况和矢量 关系都是复杂的关系，分析起来复杂而且容易出错。 ( 2 ) 、采用分析力学方法。采用分析力学建模主要有l a g r a n g e 方程和 h a m i l t o n 原理两种方法。l a g r a n g e 方程主要适用离散系统，而h a m i l t o n 原理既 适用于离散系统。又适用于连续系统。采用h a m i l t o n 原理建模，只要知道系统 的动能和势能或者外力的虚功，就可以根据交分法得到动力学方程，不需要分析 系统的受力情况和矢量关系。 许多学者成功的采用上述两种方法得到了轴向运动线弹性弦振动方程，然而 对于轴向运动粘弹性弦的动力学方程几乎所有的文献都是运用牛顿第二定律建 立。 2 2k e l v i n 粘弹性轴向运动弦的非线性方程 典型的轴向运动弦的模型如图2 - 1 所示。 其中矿表示弦线的轴向运动速度：e ( r ) 是时间的已知函数，表示弦线两端 受到的张紧力：为皮带的跨度，且弦线简支边界条件：u ( x ，t 1 为弦在横向方 向上的位移。另外，弦线的密度为p 、横截面积为爿。 我们参考文献【删中关于运动弦的假设，做以下假设： ( 1 ) 、只有l ，方向的横向振动在考虑范围中，认为x 方向上的纵向振动很小 或者认为纵向振动不影响横向振动。 ( 2 ) 、假设弦线的弯曲刚度是可以被忽略的。 8 第2 章轴向运动弦的建模 ( 3 ) 、假设轴向运动速度v 是定常且均匀的。 ( 4 ) 、假设弦线范围内的l a g r a n g e 应变分量是一个有限量。 ( 5 ) 、弦的本构关系为k e l v i n 粘弹性模型。 y 矿 l r r 一 u ( x ，r ) p ( r ) 71 x 图2 - l 轴向运动弦的模型图 本节我们采用广义哈密顿h a m i l t o n 原理建立k e l v i n 粘弹性弦横向振动的动 力学方程。 完整系统的h a m i l t o n 原理的一般形式为【7 0 i ( 万巨+ 硼肛= o ( 2 - d 其中占巨表示任一瞬时由真实运动过渡到可能运动动能的变更，6 w 为主动 力虚功的变更。 下面我采用如下记号： ( ) ，= 而a ，( ) 。= 昙，( ) 。= 景，( ) 。= 嘉，( ) 。= 翥 轴向运动弦的横向速度为 坼+ 阿f( 2 - 2 ) 所以轴向运动弦的动能的变更为 9 第2 章轴向运动弦的建横 j 巨= 譬d f ( 坼+ v u x ) z + v z d x ( 2 - 3 ) 主动力的虚功的变更为 艿= 一f ( p ( 咖互1 聃f 卜以 ( z 4 ) 其中占表示弦轴向应变，它与横向位移( 置t ) 的关系是 占：= 1ux2(2-5)u 占= - - 对于k e l v i n 粘弹性本构关系有 = 毛+ 嚎( 2 - 6 ) 其中昂为线弹性系数，叩为线性阻尼器的动力粘性系数。 把( 2 3 ) - - ( 2 6 ) 代入方程( 2 一1 ) ，然后利用分部积分得到 一en 鹏+ 2 p + 一丢一；毛一，7 ( ) ， 叫b lu 。2 ，u 。】万u d t d x + r ( 坼j u ) r + v ( 础) x + v ( 以8 u ) ，( 2 7 ) + 矿2 ( 硼) 。一三( 剐) 。一；晶( 峨砌) ，一吐圭( u ；lu x s u ， 觑掰 = 0 利用边界条件u ( o ) = u ( ) = o 和时间驻值条件龀，l ，吨= 6 u l r 吨= o ，得到欧 拉方程，即轴向运动k e l v i n 粘弹性弦的横向振动运动微分方程 鹏伽+ ( 一专) = ( u ) ( 2 8 ) 其中， ，( c ，) ：季u ；( ，。+ 2 r l u x u 。u x r + 尊，；u 。 ( 2 9 ) l z h a n g 和j w z u 7 ”采用牛顿第二定律得到同样的方程。值得提出的是陈丽华 等f 7 2 1 也做了类似的工作，但作者只能见到其会议论文的摘要，还没有见到正式发 表的文章及公式的具体的推导过程。 曾经有研究工作者运用h a m i l t o n 原理建立轴向运动粘弹性弦横向振动的动 力学方程，但是没有得到正确的动力学方程。 如吴俊咧在它的硕士学位论文中，运用保守系统的h a m i l t o n 原理建立轴向 运动粘弹性弦的横向振动方程。他得到轴向运动弦的系统的动能为 1 0 第2 章 轴向运动弦的建模 毛= 譬f ( 坼+ 觋) 2 d x ( 2 - 1 0 ) 系统的势能为 名= f ( 如+ j 1 砌占2 卜 ( 2 1 - ) 根据哈密顿原理 艿f 2 ( 乓一髟) 刃= 0 ( 2 - 1 2 ) 利用分部积分，得到横向振动方程为 鹏+ 2 + 7 一言 一3 e 2 * u 2 u p c 。( 2 - 1 3 ) 鹏+ 2 + 2 一三j 一2 n “ 然后，他把( 2 - 6 ) 代入( 2 一1 3 ) 得到，得到 鹏伽+ ( 一丢 u x x = n ( u ) ( 2 1 4 ) 其中 ( u ) ：季嵋+ 3 刁u x u v ：u x r + 要孵( 2 - 1 5 ) 比较( 2 9 ) 和( 2 1 5 ) ，可以看出吴俊采用h a m i l t o n 建立的动力学方程与l z h a n g 采用牛顿第二定律得到的方程不一致。 温洪波【硎在他的硕士论文采用h a m i l t o n 原理建模时候，把k e l v i n 轴向运动 粘弹性弦的势能写为以下形式 b = 纠h 叩嘉) 龆 p 旧 把轴向力p 作为外力，然后利用h a m i l t o n 原理( 2 一1 2 ) 利用分部积分得到粘弹性带 横向振动的动力学方程 o u 。+ 2 u 。+ 乏?。=3e20u2lpv-r u 印。( 2 - 1 7 )西h - 母un ? a i “2 乙 再n 7 y n ( 2 - 1 7 ) 是轴向运动弹性弦的横向振动动力学方程，但是它体现不出粘弹性项 对动力学行为的影响。温洪波虽然指出了这种方法不能得到正确的动力学方程， 但是他没有给出原因和正确的应用h a m i l t o n 原理的过程。为了叙述的统一，本 文改动了昊俊和温洪波诊立中的某此符号。 第2 章轴向运动弦的建模 下面我们分析吴俊和温洪波得不到正确的轴向运动弦的横向振动动力学方 程的原因。首先我们先来看h a m i l t o n 原理的表述1 7 4 l ： 在相同的时间、相同的起始和终止位置和相同的约束条件下，双面、完整、 广义力有势的系统，在所有可能的各种运动中真实运动是使h a m i l t o n 作用量具 有稳定值，即 ， 万s = 艿i l d t = 0( 2 - 1 8 ) h 从上面h a m i l t o n 原理的叙述中可以知道h a m i l t o n 原理只适用于保守系统。 当考虑材料的线弹性本构关系时应力是保守力，此时的势能关系式可以写成 ( 2 一t 1 ) 式。但是当考虑材料的粘弹性本构关系时应力是非保守力，此时势能没有 ( 2 一1 1 ) 式的关系，此时应该采用广义h a m i l t o n 原理的一般形式。 在实际工程中，支座的移动常引起轴向力的变化，而运动速度通常也是变化 的。在本文我们不考虑轴向运动速度的变化，只考虑轴向力的变化形式为 p = 昂+ 异c o s d t ( 2 1 9 ) 气u - 一享，旧压，洲停，口寺一 层= 一南，肚等 把( 2 1 9 ) 代入方程( 2 - 8 ) 得到 雾伽塞一1 - v 2 。a 2 u ( “) 其中， ( “) = 3 e u , 2 u = + e 昙( ； + 虬e 妄( k 2 ) 边界条件 u ( 0 1 = u ( 1 1 = 0 ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) f 2 2 2 ) 浮 第2 章轴向运动弦的建模 2 3 一般本构关系轴向运动弦横向振动的动力学方程的建模 在上节，我们利用h a m i l t o n 原理的一般形式得到了k e l v i n 粘弹性轴向运动 弦的横向振动动力学方程。在推导的过程把应力应变的显示关系( 2 6 ) 代入了 ( 2 1 ) ，然后对【，取变分。然而对于某些材料本构关系，应力不能显式表示成应变 的关系，此时采用2 2 节的推导过程将会遇到困难。 在2 2 节，推导过程中应用本构关系相当于应力和应变只有一个独立的。如 果推导过程中不应用应力应变关系，而只是把这种关系做为方程的一个补充，则 会克服上述的困难。具体过程如下： 主动力虚功的变更为 拥矿= 一i ( p + 4 盯) 觋正r ( 2 2 3 ) 将( 2 3 ) 和( 2 2 3 ) 代入( 2 一1 ) ，然后利用分部积分得 一j ：r 鹏+ 2 p + 一三一( 仃) 。 6 u d t d x + i ：r ( 坼础) ，+ 矿( 【，艿u ) 。+ 矿占u ) ，+ v 2 ( 础) ，( 2 - 2 4 ) 一乞 x 6 u 、x 一0 ux 6 u 、x d t d x = o 利用边界条件u ( o ) = u ( ) = o 和时间驻值条件双，| ，= 6 u i h = o ，得到欧 拉方程，即轴向运动弦的横向振动方程 p 箬+ z p 矿淼+ ( p v 2 - 三) 豢+ p 万d v 面o u = 昙( 盯筹 c z z s ， j y n ( 2 2 5 ) - 与z h a n g 7 1 1 采用牛顿第二定律得到的方程相同。 此时如果采用应力应变关系作为方程( 2 2 5 ) 的辅助方程，则可以得到各种本 构关系的轴向运动弦的横向振动方程。采用k e l v i n 粘弹性模型就可以得到式 ( 2 8 ) ，采用b o l t z m a n n 本构关系 仃( 工，t ) = e o s l ( x ，) + f 应( f _ f ，h ( 列) a t ( 2 2 6 ) 就可以得到文献 3 7 1 0 0 的方程( 5 ) 。 应该注意的是吴俊应用h a m i l t o n 原理推导方程的时候，是推导出弹性本构 关系的动力学方程后，再把各种粘弹性本构关系代替弹性本构关系。而本节推导 的方程( 2 2 5 ) 没有采用任何本构关系假设，即应力不依赖应变。 第2 章轴向运动弦的建模 2 4 轴向运动弹性弦横向振动方程的g a l e r k i n 离散 运动弦的无激励线性动力学模型为 当v = o 时，方程( 2 - 2 7 ) 变为 窘伽塞一( ) 窘= 。( 2 - 2 7 ， 方程( 2 2 8 ) 的固有频率为【7 5 l 模态函数为 a 2 u0 2 u 矿一爵= o c o , 2 ，万 讳( z ) = s i n r z 当v o 时，方程( 2 2 7 ) 的固有频掣1 2 1 为 模态函数为 q = ，石( 1 一v 2 ) 矿, ( x ) = f 2 s i n ( r t c x ) e ( 2 2 8 ) f 2 - 2 9 ) f 2 - 3 0 ) ( 2 3 1 ) f 2 3 2 ) 现有研究的成果表明虽然轴向运动弦的模态函数离散比静定弦模态函数离 散的结果精确高，但是采用运动弦模态函数的方法计算复杂【5 8 1 ，因此本文我们 取静定弦的模态函数为形状函数。 轴向运动体系是一个具有反对称阻尼的系统，现有的研究成果表明g a l e r k i n 离散取偶数项比奇次项得到的结果好【3 们，因此本文取两项静止弦的模态函数做 为g a l e r k i n 离散的基函数。为了简便分析参数共振和内共振作用下的轴向运动非 线性弦的动力学行为，本文只研究弹性弦。在这种情况下e = 0 设 把( 2 3 3 ) 带入( 2 2 0 ) 中得到 2 u ( x ，) = q , ( t ) s i n ( i t r x ) ，；i 1 4 r 2 3 3 ) 第2 章 轴向运动弦的建模 由 r = 窆i 或s i n ( i ；r x ) + 2 i v ，r i l 。e o s ( d r x ) + q , ( 1 - v 2 ) ( 折) 2s i n ( i n x ) i + 三2e 壹, o , 吼切。( ，石x ) 2 善2 吼( ，万) ：。t n ( ，删) 2 3 4 f r s i n ( i 万x ) d x = 0 ( 扣1 ，2 ) ( 2 - 3 5 ) 得到 奇。一萼啦：+ l - v + a c o s 研) 丌2q l + 3 e 石4 9 q ；+ ；e 石4 衍= o ( 2 - 3 6 ) 掌：+ 萼啦。+ 4 ( 1 - v 2 + a c o s c o t ) 石2 q 2 + 3 e 万4 q ? 口：+ 6 e 丌4 q ；= o ( 2 - 3 7 ) 取如下系数变换 1 6 一= 心= _ v ， 毛，2 ；砌4 ， 向。= ( 1 - v 2 ) 石2 ， 岛。= 4 毛。，岛：= 如：= 3 e n 4 ， k = 1 6 k i ，5 2 = 4 a i = 4 m r 2 则( 2 3 6 ) 式和( 2 3 7 ) 式变成为 磊一h 蟊+ 毛i 喁+ 幽2 吼霹+ 幽3 彳+ e 碣喁o o s 吐r = o 玩+ 肛尊l + 岛i 仍+ 幽立吼彳+ 砖彳+ 码吼s 甜= o 这样我们得到了轴向运动弹性弦参数振动的常微分动力学方程。 2 5 小结 f 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 1 ) 本章首先采用广义h a m i l t o n 原理的一股形式推导出轴向运动k e l v i n 粘 弹性弦的动力学方程，并推导出了一般的粘弹性材料的轴向运动弦的横 向动力学方程。 ( 2 ) 采用静定弦的模态函数作为基函数，利用g a l e r k i n 离散得到轴向运动弹 性弦的二阶常微分方程组，为以后的分析打下基础。 第3 章轴向运动弦的多元l - p 法研究 第3 章轴向运动弦的多维l p 法研究 轴向运动弦横向动力学行为的研究方法主要有解析法和数值方法。由于轴 向运动弦的横向振动方程是复杂的非线性方程，很难求它的精确解析解，所以很 多学者采用近似方法求得近似解析解。 l a u 掣7 6 1 在1 9 8 9 年提出一种不同于一般多尺度法的另一种多尺度法，并应 用这种方法研究了多自由度的内部共振问题，由于这种方法的求解过程类似普通 的l p 方法，因而称为多维l - p 法【啊。陈树辉等【7 8 1 应用多维l - p 法分析具有三 次非线性的多自由度系统的内部共振问题。最近陈树辉和黄建亮 7 9 - 8 1 1 通过引进可 解性条件把多维l p 法应用到轴向运动梁内共振和强迫共振联合作用情况。 本章我们采用多维l p 法研究轴向运动弦的参数共振和内共振同时存在时 的横向非线性振动。 3 1适用反对称阻尼的多维l - p 法 考虑具有反对称阻尼和三次非线性的两自由度系统 氟一“寸2 + 墨i q i + f 毛2 q , q ；+ f 墨3 q ? + c t z l q ic o s c o t = 0( 3 1 ) 玩+ ，乞玩+ 也l q 2 + o k 2 2 q 2 q ? + g k 2 ，q ? + 船2 q 2 c o s o ) t = 0 ( 3 2 ) 方程( 3 一1 ) 和( 3 2 ) 就是我们在第二章中得到的轴向运动弦的参数振动非线性无量 纲化方程。 根据多元l - p 法的思想，引入新的时间变量 o = q ，0 = l ，2 )( 3 3 ) t = o t ( 3 4 ) 同时将靠和绋都展开成占的幂级数 q n ( r , ，r 2 ) = q n o ( q ，f 2 ) + 目吼i ( 1 ，f 2 )( 3 5 ) 嚷2 0 ) n 0 + 昌( o n l( 3 - 6 ) 将( 3 5 ) 和( 3 6 ) 代入方程( 3 - 1 ) 和( 3 2 ) 得到零阶和一阶摄动方程 1 6 第3 章轴向运动弦的多元l - p 法研究 d 品2g i o + 毛l q l o 一 d o q 2 0 = 0 d 孟+ 如1 q 2 0 + i z 2 d o q 2 0 = 0 ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) d 盎2 吼l + 毛l q i i 一- 6 d o q 2 i = 1 6 d t q 2 0 一2 d 2 0 , q l o 一与2 9 i o q 2 2 0 一毛3 口品一c l l q l 0c o s t ( 3 - 9 ) 口未9 2 1 + k 2 l q 2 l + 6 d o q t l = - a 2 d i q i o 一2 砺l q 2 0 一屯2 q 2 0 q ? o 一岛3 9 刍一c r 2 q c o s t ( 3 - l o ) 其中 珑= 碗鲁+ z q 。哆。去+ 商毒 c ， e ，0 2 1 = ( ”1 0 ( - n 1 1 毒如鳓+ 丽0 2 嘞吐丢 ( 3 - 1 2 ) 方程( 3 9 ) 和( 3 - 1 0 ) 的解可以写成 其中 劬。，满足下式 q 1 0 = q o c o s i i + a 2 0 c o s f 2 q 2 0 = p i q os i n r i + p 2 啦o s i n r 2 n=啦=二丽a2colocolon + 如l ：二亟生! ：丝垡q “一碗+ 七2 ( - 0 4 - ( g l + k 2 i + g q 9 2 ) c 0 2 + k l l 也i = 0 将方程( 3 1 5 ) 和( 3 - 1 6 ) 代入方程( 3 9 ) 和( 3 一1 0 ) 得到 1 7 ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) f 3 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) ( 3 - 1 9 ) 旦鸭 旦 旦旦明 = = 蹁 西 第3 章轴向运动弦的多元l p 法研究 峨吼i + q i q l l 一“d o q 2 l = s