（光学工程专业论文）光学表面轮郭功率谱密度对象质的影响及干涉测试研究.pdf

中文摘要 f 中频波段表面轮廓功率谱密度( p s d ) 的干涉测试是1 9 9 5 年以来在干涉计量测 试领域的一个国际上学术界热衷研究的新课题夕本文理论分析结合实验全面研究 了中频波段p s d 的有关理论、p s d 对光学系统象质的影响、p s d 的干涉测试和 仪器标定原理，文中给出了有关实验数据和曲线。 ，7 本文从表面轮廓数据出发，完成建立p s d 的计算模型，分析其物理含义、 最新国际标准，提出使用p s d 对光学元件表面的评价方法；使用光学传递函数、 点扩散函数和圆内能量( e n c i r c l e de n e r g y ) 描述光学表面散射，研究了中频波段波 面误差对光学系统象质的影响。得出了中频波段波面误差引起光能小角散射，严 重降低光学系统成象分辨率的结论：研究了测试中频波段p s d 对干涉仪光学系统 各部件的要求，提出了干涉仪频率响应函数的概念，系统分析了干涉仪频率响应 的各影响因素，研究了干涉场杂纹对波面测量误差的影响及其消除方法；提出了 两平板形成频率可调的正弦位相光栅波面，用于对干涉仪频率响应函数的标定测 试方法，并结合实验完成对实际移相式干涉仪的频率响应标定测量，分析了该标 定方法的各种误差源；探讨了台阶样品标定干涉仪频率响应函数的可行性，创造 性地提出了实际台阶用于标定干涉仪频率响应函数必须满足的两个条件，并深入 分析了各种误差源。) ， 关键词：功率谱密度，光学波面，干涉测试，象质评价 a b s t r a c t t h ej n t e f e r o m e t r i ct e s to f m i d f r e q u e n c yp s d ( p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ) f o ro p t i c a l s u r f a c e si san e wq u e s t i o n f o rd i s c u s s i o na n dr i s e nf r o m 19 9 5i nt h ef i e l do f m e a s u r e m e n tw i t hi n t e r f e r o m e t r y i nt h i sp a p e r ，t h et h e o r yo fp s d ，i t s e f f e c to ni m a g e q u a l i t yo fo p t i c a ls y s t e m s ，t e s to f i tw i t hai n t e r f e r o m e t e r , a n dc a l i b r a t i o nf u n d a m e n t a l f o rai n t e r f e r o m e t e rh a v e b e e ns y s t e m i c a l l yd o n e t h ee x p e r i m e n td a t aa n d 0 l i n e sa l s o h a v eg i v e n i nf i r s tp a r t ，t h ec a l c u l a t i o nm o d e lo fp s df r o ms u r f a c ep r o f i l ed a t ai ss e t u pa n dt h e m e t h o dt oe v a l u a t eo p t i c a ls u r f a c e sw i t hp s di sa l s og i v e na f t e ra n a l y s i so fp s d s p h y s i c a le x p l a n a t i o n a n dt h eu pt od a t ei n t e r n a t i o n a ls t a n d a r d i ns e c o n dp a r t ，t h es c a t t e r i n ge f f e c to ni m a g eq u a l i t yo fo p t i c a ls y s t e m sb ym i d - f r e q u e n c yw a v e f r o n te r r o ri no p t i c a ls u r f a c e si s s t u d i e dw i t ho p t i c a lt r a n s f e rf u n c t i o n ， p o i n ts p r e a df u n c t i o na n d e n c i r c l e de n e r g y i n t h i r d p a r t ，t h es p e c i f i c a t i o n s o fo p t i c a le l e m e n t si na ni n t e r f e r o m e t e rf o r m e a s u r e m e n tm i d - f r e q u e n c yp s da r ed i s c u s s e da t f i r s t t h e n ，a f t e rd e f i n i t i o n o f f r e q u e n c y r e s p o n s ef u n c t i o nf o ra ni n t e r f e r o m e t e r , s o m ec o n t r i b u t i o nf a c t o r st oi ta r e s y s t e m i c a l l ya n a l y z e d a tl a s t ，t h es t r a yf r i n g e si nt h ei n t e r f e r o m e t r i cp a t t e ma n dt h e i r e f f e c to nm e a s u r e m e n ta r ed i s c u s s e d i nf o u r t hp a r t ，a tf i r s t ，t h ec a l i b r a t i o nm e t h o dw i t hv a r i a b l e - f r e q u e n c ys i n u s o i d a l p h a s eg r a t i n gf o r m e db yt w op l a n es u r f a c e sf o rt e s t i n gt h ei n t e r f e r o m e t e r sf r e q u e n c y r e s p o n s ef u n c t i o ni sp o i n t e do u t ，a n dc a l i b r a t i o ne x p e r i m e n t su s i n gt h i sm e t h o dh a v e b e e nd o n ef o ra p h a s e s h i f t i n gi n t e r f e r o m e t er e v e r ye r r o rs o u r c e sa r ea n a l y z e df o rt h i s m e t h o d s e c o n d l y , t h ef e a s i b i l i t yw i t has t e pt oc a l i b r a t i o na l li n t e r f e r o m e t e ri sa l s o m a d es t u d yo f t w on e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra s t e ps a m p l eu s e dt od oc a l i b r a t i o na r e g i v e n ，a n de v e r ye r r o rs o u r c e sa l ed i s c u s s e d t h o r o u g h l y i nt h i sp a r t k e yw o r d s ：p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y , o p t i c a l w a v e f r o n t , i n t e r f e r o m e t r i c t e s t , i m a g e q u a l i t y 1 9 9 9 1 2 辩 论 1 绪论 1 中频波段波面功率谱密度的研究发展概况 如将光学件波面高度函数展开成傅立叶级数，可对光学件波面质量分为三个 频段来评价：( 1 ) 高频段，周期 3 3 m m ，相当于空 间域波面面形。 对低频段的测量，最早是用目视判读、半定量估值的方法，后来使用相位光 电探测技术及数字化测量技术，采用标准偏差( r m s ) 和峰谷( p v ) 值两个参数来 评价；对高频段。早期表面疵病的检查是用接触法，现在采用显微干涉表面微观 轮廓仪进行有效测量”“】。而对中频段的测量，在过去被忽视了。 9 0 年代，高功率激光系统，如美国国家点火装置 7 1 ( n i f n a t i o n a li g n i t i o n f a c i l i t y ) 或国内神光装置( 1 2 号和1 3 号) 对大口径光学件透射或反射波面质量要 求在高、中、低频波段做完整地测量控制，尤其不能忽略中频波段，并对此提出 了强烈的测试与评价需求。一方面，因为n i f 或神光装置需约几千块光学件有序 组合，形成1 9 2 束激光束，最终聚焦在0 1 o 2 m m 直径的焦斑内，其中仅怛0 0 胁 以上的光学平面元件就有7 0 0 多块，强激光多次通过光学面，光学面中频波段波 面误差对强激光束的影响形成积累，最后影响激光束的聚焦；另一方面，因为在 高功率激光系统中的光场强度比过去使用的普通光源的场强高出十万倍以上，此 时，激光与光学系统的相互作用满足非线性光学原理m “，光学件中频波段波面 误差对光束造成辐射噪声，在强辐射状态下，由于非线性折射率的存在，这种噪 声又能引发辐射干扰增长，从而导致光束分裂和形成细丝 1 l - 1 3 1 ，造成大口径光学 元件损伤。 因此，1 9 9 5 年dma i k e n s t l 4 1 等人率先引用新评价参数频域上的功率谱密 度( p s d - p o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ) 参数来评价波面中频波段的误差，同年jm e r l ee l s o n 与j e a nm b e n n e t t i t s l 研究了p s d 的概念和计算，认为p s d 是由表面轮廓数据估计 而得，并且提出集平均p s d ( e n s e m b l ea v e r a g eo fp s d ) 的概念。同时，引用p s d 作为评价光学面的个新指标，受到i s o 国际标准化组织的重视，并于1 9 9 7 年 颁布了i s 0 1 0 1 1 0 标准 1 6 1 ，其中第八部分将p s d 用于评价光学面规范化，采用光 学面p s d 不超过某一阈值p s d 的方式来限定波纹度和粗糙度，规定了光学件制 2光学表面轮廓中频波段功率谱密度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 m l 图的标注方法。美国从事国家点火装置( n i f , n a t i o n a li g n i t i o nf a c i l i t y ) 研究的利夫 摩尔实验室( l l n l ，l a w r e n c el i v e r m o r e n a t i o n a ll a b o r a t o r y ) 首先将i s o l 0 1 1 0 应用于 规范化n i f 光学件的加工制造和检测7 2 ，以及原子铜蒸汽激光同位素分离计划 f a v l i s ，a t o m i cv a p o rl a s e ri s o t o p es e p a r a t i o n ) 2 1 1 的光学系统研制。 与此同时，对光学件中频波面p s d 的测试也引起澳大利亚联邦科学和工业 研究组织( c s i r o ，c o m m o n w e a l t hs c i e n t i f i ca n d i n d u s t r i a lr e s e a r c ho r a g a n i s a t i o n ) 的重 视，该组织正在从事研究大型引力波干涉仪，用于捕捉测试跟宇宙天文现象有关 的引力波 2 2 - 2 8 j ；1 9 9 7 年，美国亚历桑那大学的k l a u sf r e i s e h l a d 【2 9 1 使用白光做光源 的m a c h z e h n d e r 移相干涉仪测试计算机硬盘和光盘表面的中频波纹度，跟使用 激光做光源的干涉仪相比，白光为扩展光源，干涉场受杂纹影响小，条纹清晰， 但是受到直射到探测器上的光噪声、摄象机与图象采集过程中的电噪声以及由振 动坏境引起的噪声等噪声的影响，该形式干涉仪不适合于测试球面、锥体棱镜表 面的波纹度； 此外在短波段( 如极紫外或新崛起的x 射线) 光学的研究领域中，也提出了 对中频波段波面p s d 的测试和波面质量控制要求：还有，随着计算机控制抛光的 研究和发展，打破了传统光学冷加工中存在的劳动密集型和技术密集型限制，具 有强劲的发展势头，但是小磨具的采用，会引起更大的中频段波面误差。 在国内，我国“8 6 3 ”计划“4 1 6 ”主题的专家组于1 9 9 9 年5 月2 8 日。3 0r 在成都召开了高层次的专家研讨会，其中表面轮廓p s d 的测试是本次会议的主要 内容之一；还有，2 0 0 0 年国际先进光学制造与检测技术学术会议( a m a t tc h i n a2 0 0 0 ) 已将“功率谱密度( p s d ) 检测技术”作为第四专题“精密光学检测技术”的首选 内容。 因此，开展对中频波段p s d 的测试，目前仍是干涉计量测试领域的研究前沿， 是国际学术界这领域的研究热点内容之一，也是摆在光干涉计量测试领域研究 人员面前的新课题，此新课题有许多需要研究的问题，如：中频波段波面误差对 光学系统象质有什么影响? 它跟低频波面误差( 如几何象差) 及高频段的表面粗糙 度对象质的影响机理有何不同? 测试中频波段p s d 的干涉仪与过去测试面形的干 涉仪有什么不同? 如何测量和评价光学件中频波段p s d ? 如何提高和标定干涉仪 的频率响应特性等。在关注这一学术前沿的同时，本文从事了对中频波段p s d 测 试的系列问题研究及其对光学系统象质的影响研究。 1 9 9 9 1 2 绪论 3 2 本文的主要研究工作 在阅读大量科技文献的基础上，分析了国外在p s d 测试和应用方面的研究 现状，选择中频波段p s d 的测试和评价这一前沿课题为主题，拟从对p s d 的理 论、概念、物理意义、国际标准的深入分析研究入手，使用表面传递函数和点扩 散函数概念研究了中频波段的误差对光学系统象质的影响。结合实验分析测试中 频波段p s d 的干涉仪跟过去测试面形相比有什么不同，并解决所遇到的新问题。 从理论上建立模型研究影响激光移相干涉仪频率响应函数的诸因素选择某些典 型波面，如i 1 三弦位相光栅波面、台阶波面，从事了对干涉仪频率响应函数的标定 研究，分析影响标定的各种误差源。具体内容如下： f 1 ) 从表面轮廓数据出发，建立表面微观轮廓p s d 和波面p s d 的计算模型，并对 二者作比较，分析了p s d 的物理内涵，如p s d 曲线包含的信息、跟空间域评 价参数之闻的关系：研究最新国际标准i s 0 1 0 1 1 0 8 的内容，以此为规范，分 析研究如何使用p s d 对光学表面的评价描述。 f 2 ) 研究用传递函数和点扩散函数描述中、高频波段表面散射的可行性；从理论上 建立分析模型，并结合模拟计算，研究与分析中、高频波段表面散射对光学系 统象质的影响。 f 3 ) 在分析得出测试中频波段p s d 的干涉仪需注意解决问题的基础上，提出满足 要求的干涉仪光学系统，包括准直系统、扩束系统、成象系统、标准透射平板 的设计考虑，并从理论上研究干涉仪对中频波段p s d 的频率分辨能力；建立 模型，研究包括跟c c d 保护玻璃有关的杂散条纹、一般散射光杂散条纹在内 的干涉场杂纹对波面测量误差及干涉仪频响特性的影响，并研究消除办法。 ( 4 ) 研究波面频谱分析的有关问题，如合适采样密度的选择方案、平滑滤波的考虑； 比较周期图谱法、最大熵法、平均周期图谱法和修正周期图谱法等p s d 计算 方法的计算原理及优缺点，拟由实验给出典型光学元件波面p s d 的测试实例。 ( 5 ) 研究干涉仪频率响应函数，从理论上，使用传递函数首先分析了光源相干性、 干涉仪成象光学系统、c c d 阵列等部分对干涉仪频率响应能力的影响。 ( 6 ) 研究正弦位相光栅波面的形成原理，及用之对干涉仪频率响应函数的标定原 理，研究影响标定的各种误差源。 ( 7 ) 研究台阶p s d 理论值跟采样长度的关系，深入研究台阶样品可以作为标定用 标准台阶的条件，即台阶阶跃的陡峭程度与台阶信噪比的选择条件。制作台阶 样品结合实验，研究用台阶标定干涉仪频率响应函数的可行性，并分析台阶法 的各种误差源影响程度。跟正弦位相光栅法比较，分析台阶法和正弦位相光栅 法的优缺点。 4光学表面轮) 邦中频波段功翠谱密度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 1 表面轮廓功率谱密度理论 功率谱密度( e s o ) 早被应用于对随时间变化的信号分析之中，它不同于能量 谱，是反映无穷能量信号中某一频段上功率强弱的物理量1 3 0 - 3 1 1 。 光学表面轮廓功率谱密度，是对表面轮廓做傅立叶变换并将频谱平方乘以采 样密度的结果【3 2 i ，它是在频域上反映波面包含频率成分强弱的指标，能够综合评 价波面质量。 由于与光学表面微观粗糙度有关的高频段p s d ，与双向反射分布函数 ( b r d f , b i d i r e c t i o n a lr e f l e c t a n c ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ) 紧密联系，因此在研究表面 散射与光学系统杂光分析方面 3 4 - 3 6 i ，p s d 是作为一种中间量被广泛应用于对表面 的散射统计分析 3 7 - 3 9 】，此时研究人员习惯使用表面高度函数的自相关函数，建立 跟表面散射特征之间的关系f 4 0 i ，当然谈不上如何测量表面高频波段p s d 。然而由 于散射会降低光学系统的调制传递函数及信噪比，1 9 8 8 8 9 年elc h u r c h 和dj j a n e c z k 0 1 4 1 - 4 4 1 等人研究和建立了表面高频段p s d 的数学模型，以及p s d 与抛光等 级之间的联系，1 9 9 3 年pzt a k a c s 和elc h u r c h1 4 5 在考核光学表面轮廓仪的性 能时，使用高频p s d 研究了不同倍率物镜的频率测量宽度。 但是，只是在近几年，表面轮廓功率谱密度才被作为评价表面轮廓中包含频 率成分的指标，因此理论的系统性有待完善。 本章旨在总结表面轮廓功率谱密度理论，研究表面轮廓功率谱密度的概念、 物理内涵；从物理内涵和测试手段角度出发，将表面功率谱密度分为微观轮廓p s d 和波面p s d 两大类，并研究如何用p s d 评价光学表面轮廓等问题。 1 1 p s d 的相关概念 1 1 1 表面轮廓函数 表面轮廓函数是样品表面在空间域上的几何外形高度变化函数，对一维情况， 设为z ，x 为表面x 轴方向维坐标。实际表面偏离理想表面的表面轮廓偏差， 按其特征可分为形状误差( 即宏观轮廓面形误差) 、表面波纹度、表面粗糙度( 即微 观轮廓误差) ；对光学元件表面轮廓偏差常用标准偏差( 即r m s 值) 、峰谷值( 即p v 1 9 9 91 2 j 表面轮廓功率讲密度理论 三 = ! ! ! = = ! = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = = j ! ! i i i i i i i i e 值) 两个基本参数来评价，对具体情况，还有很丰富的评价参数，但都是空间域 上的评价参数。 1 1 2表面轮廓自相关函数 表面轮廓自相关函数m ( a u t o r e l a t i o nf u n c t i o n o ra u t o c o v a r i a n c ef u n c t i o n ) ，简称 1 0 1 n 6 5 0 4 6 0 ，2 5 0 0 4 u m 司7 4 0 4 0 - 0 1 00 ，2 0o 7 4 图1 1 1 表面轮廓随机变化的白协方差函数 爿c 以r ) ，( 又称自协方差函数) ，是表面轮廓函数在坐标方向上作平移f 长度( 称r 为 滞后长度) 后，与原表面轮廓函数的重叠积分，对一维情况，可表示为， 爿c v ( 加圭r 秭如+ r ) 出 ( 1 1 - 1 ) 其中，三为取样长度。 a c v ( t ) 是对表面轮廓相关特性的度量。通过检查a c v 0 ) ，可以了解到表面 的相关、主频成分和非主频成分的比重，如果a c v ( x ) 曲线在形状上具有小的波 纹，则表面轮廓上可能存在非主要空间频率的轮廓变化；一般随机表面的相关程 度低，a c v ( f ) 很快向零下降或停留在零附近，如图1 1 1 所示：具有周期变化特 征的表面，在周期性的空间距离上，具有较高程度的相关；在滞后长度t 为0 附 近，如a c v ( x ) 表现为具有周期行为的振荡函数，表明表面轮廓在频域上存在主 频分量。如图1 卜2 。 要 光学表面轮廓中频波段功率潜密度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 a c v ( t ) 将表面轮廓的周期性与随机性分离开来，有利于光学加工工艺的研 1 0 7 0 4 0 0 0 0 - 0 4 0 0 7 6 1 2 7- 0 5 00 0 00 5 0 m m 1 2 7 幽1 1 2 表面轮廓具有主频变化的白协方差函数 究、改进、提高，同时，它完全从统计观点提出的，一些诸如相关斜率、相关长 度参数均可从中得出。 但是a c v ( t ) 仍然是空间域上的函数参量，由其曲线只能定性地看出波面的周 期信息，要想定量波面中的频率成分，还需用轮廓功率谱密度( p s d ) 。 1 1 3 双向反射分布函数 双向反射分布函数( b i d i r e c t i o n a lr e f l e c t a n c ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ) ，简称b r d f ， 定义为给定散射方向上反射光亮度跟入射辐照度的比值i 拥；是描述光学表面轮廓 对光的散射特性的参量，即在光能照射到光学表面上时，在不同角度方向上散射 的单位面积上的光功率量值，即， 且肼( 只，丸；只) = d l ，( 见，以；只) 碣( 只)( 11 2 ) 式中下标j 表示跟散射光有关，i 表示跟入射光有关。图1 1 3 表示了b r d f 所用 的角度在笛卡尔坐标系中的定义，其中，6 ：为入射角，相对于z 轴度量：为散 射角，即散射光被探测到的角度，也相对于z 轴度量：杰为方位角，相对于z 轴 度量。 蹰 射角 散射角、入射光波长、光波的偏振态。以及表面因素，如b r d f 跟入射角、散射角、入射光波长、光坂阴倔诹念匕 ! 冀，“” 表面反射率、粗糙度、污染等有关。通过测量b r d f ，可以导出表面轮廓。 r e f i e c z x e l1 卜3 b r d f 所用的角度定义 1 2 表面轮廓功率谱密度( p s d ) y ，表学率 o种是光功尸眭 两的导高碍稍 一一一一一一 分研来p古蠹埔以，过代断双 删瞄讯撇卿 祀彀髟；m射 一一一一一一 划胖娜蹦胤瑚恍默批酬越蜊卿懒懈雅煺 1 2 1微观轮廓p s d 可以从表面微观轮廓数据直接得到，一维彤式为， p s d , ( f ) 咆掣 ( 1 2 - 1 ) 其中，为取样长度，为空间频率，z 够) 为表面轮廓数据z ) 的傅立叶变换- 即， z ( ，) = z ( x ) e x p ( 一j 2 n f x ) d x ( 1 善2 ) 同理，二维p s d 可以表示为， p s d 2 ( f , 枷= 却线籼) e x p 【印似x + 口) a x d y 2 ( 1 2 - 3 ) 因此，微观轮廓p s d 也是表面微观轮廓函数作自相关运算后的傅立叶变换结 果，跟表面轮廓自相关函数是一对傅立叶变换对，对一维情况有， p s d 。( 厂) = e d ( r ) a c v ( r ) e x p ( 一j 2 x f r ) d r ( 1 二4 ) 式中，d ( ) 是为窗口函数，如取矩形窗口，则， 阶器 f s f m f 嘞 ( 1 2 5 ) 其中f m 为所选择的最大滞后长度，f m ，l 为取样长度a 表面发生散射时，获取b r d f 的途径有两种 5 10 5 2 i ，一是实验测量，二是通过 p s d ( f ) 计算求得：后者由j m e l s o n 和e l c h u r c h 等人研究得出，二维情形下， b r d f ( o , ，以；只；正，) = 竿。砭丽c 。s 只c 。s 只啦( 正，) 0 2 - s ) 这星，角度定义见图1 1 - 3 ；r ( 6 ：) 、凡( 馥) 分别为光学表面在岛、酿角处的反射率；上、 工为二维空恻频率，即， 1 9 9 91 21 表面轮廓功率谱密度理论 ! 在表面散射研究中，令人感兴趣的是散射表面的j 4 c h t ) 和b r d f 两个量。表 面微观轮廓是随机变化的，还是周期变化的，以及周期变化的程度频率如何? 这 些由a c h l ) 就可以表示：表面散射的特征及光功率分布如何? 由测量b r d f 或计 算b r d f 结果可以做出结论。另一方面，通过测量表面微观轮廓，可以得到a c 坎t ) 和b r d f ；反过来，通过测量b r d f ，也可以得到爿c 坎和表面微观轮廓。p s d 只是用于过渡的中间量，也就是没有引起研究人员的足够重视。 1 2 2 波面p s d 这是一个较新的表面轮廓功率谱密度概念 频埔 n z 振幅的平方，对一维情形， p s d 胁等 其定义为波面各频率分量傅立叶 ( 1 、2 - 8 ) 其中，斩，卢l ，2 ，爿( ，) = 五矽o ) e x p ( - j 2 x f x ) 出，怖) 为一维波 面波差函数。 实际使用中，可以通过波面位相函数直接得到， 一维波面p s d ， p s d , ( f ) = f ( ，) g o ( f ) ( 1 2 9 ) 其中，( + ) 表示取复共轭，l 为取样长度，中( ，为空间域位相函数的傅立叶变换 即， 中( 门= 声( n e x p ( _ ，2 毋) 出= 万1 。畿( n e x p ( 一_ ，2 毋) ( 1 2 - 1 0 ) 7冬 0 9 ns 始 以 咖 m 幔 0 龇 一一a i i i i f i o光学表面轮廓中频波段功率谱密度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 ! ! = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = ；i i i i i i i i i 上式中后半部表示离散傅立叶变换， 表示在空间域内对取样长度做次离散 采样的采样序号，则在频率域内，产n l ，一( n 2 一1 ) n _ n 1 2 + 1 。 同理，二维波面p s d 为， p s d _ z ( f , ，兀) = 中( 正，乃) o c + ，乃) t l y ( 12 _ i i ) 式中，厶、l 分别为x 轴、y 轴方向空间域采样长度，中旺，助为空间域二维位相 函数鼬，力的傅立叶变换， m ( 正，五】= f ( t y ) e x p ( 一j 2 a ( f ，x + y ) ) 出砂 f n t i ：2 + i”坐+ 。， 。 ( 1 2 j 1 2 ) 。高，。高；善警曲- e x p ( _ 胁瓷h 瓦y 蚰 这里，在频率域内，z 、工的取值分别为 参筹- 一- ( n , 2 小- 1 ) ：m7 ：1 ( 1 2 - 1 3 n i l ( n ) =，一y 2 1 ) ” n y 2 + 1 波面p s d 从频率分析的角度描述了光学元件透射( 反射) 波面，提供了丰富的 波面信息；从对光学系统传输光能的关系角度来看，弥补了空间域描述波面面形 的参数的不足，为介于面形和表面微观轮廓之间的波面提供全新的评价参数。 1 2 3微观轮廓p s d 和波面p s d 的比较 如果把光学件表面微观轮廓和波面在空间域内用同一函数符号表示时，从定 义上看，微观轮廓p s d 和波面p s d 的数学表达是相同的；其差别在于： ( 1 ) 微观轮廓p s d 主要描述空间频率处于高频波段时的小尺寸范围内表面微 观轮廓误差；波面p s d 主要描述空间频率处于中、低频段时的大尺寸范 围上波面误差，能直观反映波面局部误差的波动及波纹度误差，这正是 我们原来光学元件检验并不重视的一个方面。 ( 2 ) 微观轮廓p s d 由表面微观轮廓仪测量得到；波面p s d 由具有较高频响特 性的移相式数字波面干涉仪测量得到。 因此，微观轮廓p s d 与波面p s d 描述的是表面不同的物理量，两者的测量 手段不能混淆。 1 9 9 91 2 1 表面轮廓功率谱密度理论 一i 1 1 3p s d 的量纲单位及物理内涵 1 3 1 量纲单位 由p s d 的表达式可知，一维p s d 的量纲为长度单位的三次方；二维p s d 的 量纲为长度单位的四次方。 1 3 2 p s d 与空间域上标准偏差( r m s ) 之间关系 由帕色伏( p a r s e v a l ) 定理 4 7 1 得，在所有频段范围内p s d 曲线下方包含的“面 积”等于r m s 的平方，即， r m s i d = 、。f。p。s。d。,。1(。f。1。)。df r m s ：n = 厄茹丽 式( 1 3 - 1 ) 表示一维情况( 1 3 - 2 ) 表示二维情况。 1 3 3 p s d 曲线中包含的信息 ( 1 3 - 1 ) ( 1 3 - 2 ) 通过傅立叶变换，可知道已知函数由哪些正弦谐波分量组合而成，及一系列 正弦谐波的振幅、位相、频率：将这些正弦谐波叠加起来，可重构源函数。在电 子学中。对随时间变化的电信号做傅立叶分析，可得到频率最( 单位为h e r t z ) ，由 这些频率的谐波分量可重新合成电信号；求取p s d 时，对空间域表面轮廓数据在 频率域按频率分量需做傅立叶分解，同理，由这些空间频率( 单位为c y c l e s m m ) i 皆 波分量可重组表面轮廓。 假设表面轮廓如图1 3 1 ，表现出一定的随机变化，同时由上向下看，轻微地 2光学表面轮廓中频波( p s d ) 对象质的影响_ 和干涉测试研究 博士学位论文 p g e 凸 乱 陶 鲻 采样 ：= 度( r a m ) 幽1 3 一l 某一波面函数 空间频率( 1 m m ) 图i 3 2 波面对应的功率谱密度函数 1 9 9 9 1 2 i 表面轮廓功率谱密度理论 一1 3 显得中间凹。其表面功率谱密度( p s d ) 如图1 3 - 2 所示，沿着水平轴散布着8 个不 同高度的尖峰，由此看出，似乎具有随机变化的表面轮廓，实际上仅仅由8 个不 同频率、位相、振幅的正弦波组成，见图1 3 - 3 。 倒1 3 3 波面函数包含的八个不同频率和初位相的谐波成分 根据定义，功率谱密度( p s d ) 与功率谱随空间频率具有相同的变化趋势，因 此从p s d 曲线上可以同样看出上述结论。 旦 光学表面轮廓中频波段功率谱密度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 o 0 正 a i 也 i ， q h 。i ， ，v柚 s d l u 酊f r e q u e n c y 图1 3 4 具有重复周期变化的波面p s d i 、 、 、 s p a h a lf r e q u e n c y 图1 3 5 具有随机变化特征的波面p s d 1 9 9 9 1 21 表面轮廓功率谱密度理论 旦 因此，p s d 曲线包含表面许多信息，主要表现在： ( 1 ) 从总的p s d 曲线轮廓看，大多数表面趋向于具有单调下降的p s d ，如果 曲线一开始下降太陡，而其余地方变化平缓，则表面轮廓上中、低空间频率占主 导地位：需要制订区分波纹度与粗糙度的界限。 ( 2 ) 对p s d 曲线上偏离单调下降趋势的任何突变，都不可忽视，需认真研究。 如尖峰，一般指表面轮廓具有周期性的变化结构，在金刚石车床上加工光学 元件时，由刀具微振在表面轮廓上遗留下的沟槽痕迹，就会使表面轮廓p s d 具有 这样的尖峰。图1 3 - 4 给出一个这样的p s d 曲线例子，在空间频率近似为3 ( m m ) 1 处有一个尖峰，相应的表面轮廓表现出具有空间周期为0 3 m m 的重复结构特征。 ( 3 ) 对p s d 曲线上具有的其它明显拐点变化趋势，也要认真研究。图1 3 5 给 出的p s d 曲线，在3 3 ( 岬) 。处出现一个“肩状峰”，使得曲线下降缓慢，相应的 表面轮廓与图1 3 。4 对应的表面相比，具有更加随机的空问变化特征，即曲线表 现的主要是高频段。 1 4 p s b 的求取 求取表面轮廓p s d ，必须首先使用某种测量原理，测量得到表面轮廓，然后 由此计算p s d 。 对微观轮廓p s d ，有两种获取原理，一是使用表面微观轮廓测试仪，测量得 到表面微观轮廓数据，使用( 1 2 - 1 ) 一( 1 2 4 ) 基本理论公式，计算得到表面微观轮 廓p s d ：二是使用反射计，测量一定波长下表面上某区域的b r d f 数据，由式 ( 1 1 2 ) 表示的原理计算得到表面微观轮廓p s d 对波面p s d ，使用频响特性较好的移相式数字平面干涉仪测量得到波面数 据，使用( 1 2 - 8 ) - - ( 1 2 - 1 3 ) 基本理论公式，计算得到波面p s d 。 实际测量过程中，首先得到的是表面二维轮廓数据，而评定表面时，经常又 使用一维p s d ，或者从一维p s d 过渡到二维p s d 。在本节我们均以表面轮廓数 据为基础依次说明下面跟具体计算过程有关的三个概念：( 1 ) 非平均 p s d ( u n a v e r a g e dp o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ) ；( 2 ) 平均p s d ( a v e r a g e dp o w e rs p e c t r a l d e n s i t y ) ：( 3 ) 对同一表面轮廓，一维p s d 跟二维p s d 之间的关系 1 6光学表面轮廓中频波段功率谱督度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 1 4 1 非平均p s d ( u n a v e r a g e dp o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ) 非平均p s d ( 以一维为例) 是使用单一表面轮廓数据及一次p s d 计算过程得到 的p s d 。如对具有n 个表面轮廓数据z ( h ) ，n = o ，1 2 ，- 1 ，这里，空间域自变量 实际是印缸) ，变化步长为缸，由于产生变化的实质上是整数n ，因此用z ) 表示 z ( 月缸) 。使用下面的计算即得到非平均p s d ， p s d c m ) = 万i 磊n - i z ( n c x p ( _ ，：删n ，) 1 2 ，- n 1 2 _ m _ n 1 2 ( 1 一- 1 ) 同理，频率域的白变量为f = m ( n a x ) ，实际变化的是整数m ，所以上式中用p s d ，( 脚) 表示p s d l 。 非平均p s d 值围绕真值p s d 还可能有一个很大的变动量，即对同一表面， 用在不同位置测得的表面轮廓数据计算得到的p s d ，在给定户兀处的结果不一定 完全一致，会有一个大范围的变化。 下文论述的平均p s d 可以弥补非平均p s d 的不足。 1 4 2 平均p s d 仍以一维情况为例，说明平均p s d 的含义。 将某一表面轮廓的个点测量数据看成一个集合，分段成k 个子集，每一 个子集含有m 个数据点，这里m n 。对于每一个子集( 肘个数据点) 计算表面功率 谱密度，得到p s d 。沏) ，产1 ，2 ，则平均p s d 为， p s d l ( m ) = 【脚l i ( m ) + p s d l 2 ( m ) 4 - + p s i ) , f ( 肌) 】，k r (142)t = 窆 ，(聊)psd, 因此，平均p s d 又称为集平均p s d 。 为了计算光学元件的散射分布如b r d f 函数，较方便的途径是计算出平均 p s d 。计算平均p s d 的方法有两种： ( 1 ) 如果表面具有各态历经的统计特性，多次采样测量得到多组长度为n 个 1 9 9 91 2 i 表面轮廓功率f 桁度理论 一1 7 数据点的表面轮廓，对每一组计算p s d ，再求平均； ( 2 ) 如果表面微观轮廓的采样长度远远大于表面轮廓起伏变化的空间周期长 度，则将该表面微观轮廓分成许多短一些数据段，要求每一段的序列长度仍比表 面轮廓起伏变化的空间周期长。这样计算每一段的p s d ，也形成平均p s d 。 设有某一段采样为三含有个数据点的表面轮廓，z 0 ) ，n = l 2 ：将其 分成k 段( 段与段之间可以重叠) ，每一段含有m 个点( m 为2 的幂) 。对某一段计 算非平均p s d ，记为p s d ( m ) ，肛l ，2 ，k ，即， 脚阳，= - 簇oz ( n ) w ( n ) e x p ( 2 咖，肘4 2 ，。叫 一m 2 ，”m 2 式中引进了窗口函数w ( n ) 来减少高频泄漏，则平均p s d 为， ck p s d - ( 川) = 詈脚( 脚) ( 1 小4 ) aj = l 这罩t s 是比例因子；可由计算面( 卅) 曲线下方的面积得到比例因子s 。 1 4 3 一维p s d 与二维p s d 的计算关系 当频谱只在一个固定的方向上变化，则维p s d 可从二维p s d 计算得到； 为了区别一维p s d 记为p s d 。饭) ，二维记为，吼饭劝；具体公式如下( 假定x 方向为频率变化方向) ： 肋一( ，) = l 飓( ，f ) 彬 ( 1 4 - 5 ) 一般来说，p s d 2 饭，劝不能从p s d 伍) 推算，这是由于在别的方向上描述表面的 信息并未包括在p s d 。( 7 r ) 内。如果是一维类似光栅的表面，且x 方向是表面频谱 变化方向，y 方向无信息，则， p s d x ( f 。，) = p s d i ( 正) 占( l ) ( 1 4 - 6 ) 1 8光学表面轮廓中频波段功率谱密度( p s d ) 对象质的影响和干涉测试研究 博士学位论文 还有，如果表面轮廓分布呈各向同性，可从整个表面上选择一个代表性方向取样， 用该方向上的一维轮廓起伏，代表整个表面的统计特征。于是( 1 4 5 ) 式可重写为， 删舻l 锷 ( 1 4 7 ) 当，2 = 正2 十一时，可解出二维p s d 嘲舻击f 芈赤扳 4 1 5 跟p s d 评价有关的国际标准 在9 0 年代初，美国l l n l 实验室为适应设计制造n i f ( n a t i o n a li g n i t i o nf a c u l t y ) 装置需要，采用p s d 评价及测量大口径强激光光学元件；随着计算机控制抛光的 研究及发展，小磨具的采用与传统手工磨制光学元件方法相比会产生更大的中频 波面误差，因此按照旧的国际标准i s o l 3 0 2 ：1 9 9 2 或国标g b l 0 3 1 6 8 ，来加工和检 测光学元件会出现新的问题。为此，国际社会于1 9 9 7 年颁布了新的国际标准 i s 0 1 0 1 1 0 ，总共1 3 部分，增加了评价光学元件和系统的新参数( 如p s d ) ，并全面 完整地指出了这些新评价参数在制图时的表达和公差标注方法。该标准在下一个 十年中将被全世界广泛接受和使用。 1 5 1 i s o i o l l o 总的结构体系和生效范围 i s o i o l l 0 共有1 3 部分，它们是： 第一部分总论 第二部分材料缺陷应力双折射 第三部分材料缺陷气泡和杂质 第四部分材料缺陷非均匀性及条纹 第五部分面形公差 第六部分中心差 1 9 9 91 2i 表面轮廓功率谱密度理论 旦 第七部分表面缺陷 第八部分表面结构 第九部分表面处理和镀膜 第十部分透镜元件列表 第十一部分非公差参考数据 第十二部分非球面 第十