（固体力学专业论文）四元数及其在Kane方程中的应用.pdf

摘要 基于四元数的基本理论，本文用四元数方法对k a n e 方程进行了推 导，得出了k a n e 方程的四元数形式，并应用这个方程对s t a n f o r d 机械 手进行了分析。 首先概述了四元数的基本理论，系统阐述了国内外四元数理论的发 展历史及其优越性。 其次，本文以k a i l l e 方程的基本理论为基础，应用四元数的方法对 其进行的推导，得出了k a n e 方程的四元数形式的矩阵表达式，应用此 方程对s t a n f o r d 机械手进行了分析计算，发现应用四元数方法可以使计 算过程简化。 最后，归纳了四元数方法在多体动力学中的优越性。 关键词：四元数、k a n e 方程、多体动力学、s t a n f o r d 机械手 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h em e t h o do fq u a t e m i o ni s u s e dt o d e v e l o p k a n e e q u a t i o na c c o r d i n g t ot h ef u n d a m e n t a l t h e o r y o f q u a t e m i o n t h e q u a t e m i o nf o r mo fk a n ee q u a t i o ni se d u c e da n da p p l i e dt o a n a l y z et h e s t a n f o r d m a n i p u l a t o r f i r s t , t h ef u n d a m e n t a l t h e o i ) ，o fq u a t e m i o ni ss u m m a r i z e d t h e d e v e l o p m e n th i s t o r yo fq u a t e r n i o nt h e o r yn a t i o n a la n di n t e r n a t i o n a la n dt h e a d v a n t a g e a r ee l a b o r a t e d s y s t e m i c a l l y s e c o n d ，b a s e do nt h ee l e m e n t a r yt h e o r yo fk a n ee q u a t i o n ，i nt h i sp a p e r t h em a t r i xm e t h o do f q u a t e m i o ni sd e v e l o p e d w h e nu s e di na n a l y z i n gt h e s t a n f o r dm a n i p u l a t o r , t h em a t r i xm e t h o d i sp r o v e dt ob ea s i m p l e rm e t h o d l a s t ，t h e a d v a n t a g eo fu s i n gt h eq u a t e m i o nm e t h o di n m u l t i b o d y d y n a m i c si ss u m m e d u p k e yw o r d s ：q u a t e m i o n , k a n ee q u a t i o n ，m u l t i b o d y d y n a m i c s ，s t a n f o r d m a n i r u l a t o r 2 引言 四元数的数学概念是在1 8 4 3 年首先由b p h a m i l t o n 提出的，目的 是为研究空间几何找到类似解决平面问题中使用的复数方法。但是，四 元数最初在解决工程技术的实际问题中未得到任何应用，因而在整整一 个世纪基本上没有得到发展。2 0 世纪中叶以来，由于近代科学技术的发 展，如控制理论、计算机科学、运输车辆、运载工具、机器机构等工业 技术，尤其是航天技术和机器人工业的飞速发展，作为研究刚体和多刚 体运动最有效的数学工具，四元数才重新被人们所重视。同时，四元数 在理论上也得到了巨大的发展。 本文在前人成果的基础上，讨论了四元数在k a n e 方程中的应用 堆导出了k a n e 方程的四元数形式并把他同普通矢量算法进行了比较 讨论了它的优越性。 北方交通大学硕士论文 第一章基本理论综述 第一章基本理论综述 四元数既代表一个转动，又可作为变换算子，它不仅具有其它定位 参数的综合优点，比如方程无奇性、线性程度高、计算时间省、计算误 差小、乘法可交换等许多优点，而且由于其表达形式的多样性，还具有 其他变换算法的综合功能，比如矢量算法、复数算法、指数算法、矩阵 算法、对偶数算法等多种功能。因而它在陀螺实用理论、捷联式惯性导 航、机器与机构、机器人技术、多体系统力学、人造卫星姿态控制等领 域中的应用越来越广。从近二十年来国外公开发表的文献看，绝大多数 是用于位置和姿态的计算和控制，而用于运动分析特别是线运动分析的 极少。国内的研究主要在8 0 年代，始于几个航空院校，特点是在将四元 数用于多体系统运动学和动力学方面有突破性进展，发表的论文在大型 国际学术会议和著名国际科技文摘上受到重视。 1 1 四元数定位参数 确定一个刚体在空间的位置和姿态的方法很多，基本的数学工具是 矢径( 位置描述) 和方位矩阵( 姿态描述) ，常用的定位参数有方向余弦、 欧拉角、欧拉参数、四元数、齐次坐标、旋量等。用方向余弦和欧拉角 只能确定刚体的姿态，前者需用9 个参数e ，( i ，j = l ，2 ，3 ) ，后者只需 3 个独立参数1 l r 、o 、中或c l 、1 3 、y ，与九参数的方向余弦不同，四元 数所用参数是4 个，它们之间只有一个约束方程，而方向余弦之间则有6 个约束方程；与三参数的欧拉角不同，四元数不论刚体处于任何状态都 不会退化，所得到的方程组线性化程度高，而欧拉角则出现三角函数项且 存在奇点。 四元数是由个实数单位1 和三个虚数单位i 、乏、云组成的包含4 个实元的超复数，其表达形式多种多样，其基本形式是解析式： a = ；t o l + + 如屯+ 乜 ( 1 1 ) 这里，1 、i 、乏、i 3 统称四元数的单位数，其中，l 具有普通标量的性 质，可以省去不写；i l 、乏、云既具有复数的性质，又具有矢量的性质， j ! 查奎望查兰堡圭堕壅 j 堑二苎l 旦翌! ! ! ! 鲨 一般可以看成基矢量。于是，四元数又可记作一个标量与一个矢量之和 的形式： a ：厶+ 互 ( 1 2 ) 为了便于确定刚体的姿态，常采用洛蒂格一哈密顿参数作为四元数的 4 个实元： a 0 = c o s 罢；- 1 s i n 罢睁1 、2 、3 ) 于是四元数又可记作复数式： 00 人2 。0 8 i + 疗8 m j ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中亓是欧拉转轴单位矢，其三个方向余弦为丹，( j = l ，2 ，3 ) 。根据欧 拉公式，上式可写为指数式： 0 人：p ” ( i - - 5 ) 由洛蒂格一哈密顿参数组成的四元数称为特征四元数，其4 个元满足 归一化条件： 名+ 并+ 麓+ 驾= 1 ( 1 - - 6 ) 特征四元数决定一个绕空间某给定轴的转动，并对这个转动进行规范与 伸缩，它具有特殊的意义。其在变换前后的两个坐标系中的分量相等， 即有下列重要关系式： a = 厶1 + i + 旯：不+ 厶乏= 九+ i + 旯：1 2 t + 厶云 ( 1 7 ) 式中i l 、。i 2 、云与i 、i 2 、己。为变换前后两个坐标系中的单位矢。 为了便于计算，四元数还可表示为4 l 列阵或4 4 方阵形式： a ) = k 。 五：旯，i t ( 1 - - 8 ) f ( a ) = 厶一一如一厶 厶一如五： 旯：厶一 如一z ：厶 ( 1 9 ) 普通标量或矢量可看成是 = 0 或入。= o 时四元数的两种特例，比如确 ! ! 塑奎望奎兰夔主堡壅 墨二兰苎查翌! 垒! ! 查 定点位置的矢径j ，其四元数映象记作： r = 0 + 五 ( 1 1 0 ) 这样一来，四元数不仅可以确定姿态；而且可以确定位置。而方向余弦 和欧拉角则只能确定姿态。 四元数的加减法以及同标量的乘法均服从一般代数运算规则，但四 元数乘法则遵循特殊的运算规则。设有两个四元数： p = p o4 - 芦 q = 吼4 - 牙 其乘积仍为四元数： a = p 。q = ( p o g o p 牙) + ( p o 亘- i - 吼声 - i - 多虿) ( 1 1 1 ) a ) = m p ) q ) ( 1 1 2 ) 综上所述，四元数作为定位参数，其表达形式十分灵活，有解析式 ( 1 1 ) 、矢量式( 1 2 ) 、复数式( 1 - - 4 ) 、指数式( 1 5 ) ，列阵式( 1 - - 8 ) ，方阵式( 1 - - 9 ) ，不象其他参数，表达形式基本上是单一的。四元 数本身代表转动，又能表示移动，如再引进对偶数记法，则四元数也具 有齐次坐标的特点，将转动和移动融为一体。因此可以说，四元数定位参 数综合了其他参数的优点，形成了自己独特的性质。 1 2四元数变换算子 1 2 1 四元数变换算子的基本形式 与四元数表达形式的多样性相对应，四元数作为变换算子，综合了 其它变换算法的多种功能。四元数变换算子的基本形式由四元数人及其 共轭人构成双边算子a q ( o 人： r = 人o ro a ( 1 1 3 ) r = 人o r o 人( 1 一1 4 ) 双边算子可以用全角算子： 6 北方交通大学硕士论文 第一章基本理论综述 人；c 。s 口+ 自8 i n 占l。一。， a 一c o s 扎斋舒n 叫 一般常用半角算子： a c 。s 詈+ 南8 i n 詈l。一。， 小c o s 孙咖纠 1 2 2 四元致矩阵变换算子 设有规范化四元数人，其共轭四元数为人，将它作为变换算子，对 矢量r 进行变换，从r 到r 的变换式为 r 7 = a r a = m ( a ) m ( a ) + r = 肘“) + m c a ) r ( 1 1 7 ) 式中四元数矩阵m ( 人) 及其蜕变矩阵m ( a ) + 、其共轭四元数矩阵m ( 人) 及 其蜕变矩阵m ( 0 ) + 具有下列形式： m ( 人) = m ( 人) + ： m ( a ) = 一一如 九一也 如厶 一九 五一厶 厶厶 一乃气 五一 如 厶 一也厶 五一z l ( 1 一1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 刮刊一1以训-以磊 ! ! 查銮望查堂堡主堡塞j 堑二兰j 墅壁墅垒! ! 查 m ( a ) + = 厶 一旯l a 2 一 ( 1 2 1 ) 将( 1 1 8 ) 和( 1 - - 2 1 ) 式代入( 1 1 7 ) ，便得矩阵形式的变换式，其 中变换矩阵为 国= 肘( a m ( a ) + 1o 0 名+ 五；一正一正 0 2 ( 五l 旯2 + 厶如) 0 2 ( 2 1 厶一九如) o 2 ( 五：一厶五) 名+ 正一彳一刀 2 ( 五2 + 厶兄1 ) o 2 ( 五i 旯3 + 旯。五2 ) 2 ( 五2 五3 一a o ) 露+ 麓一一正 ( 1 2 2 ) 这个变换矩阵也可以用四元数其他形式的乘法运算求得，但没有四元数 矩阵方法简捷直观。并且由于引进了人的蜕变矩阵，四元数的乘法具有 可易性，而其它参数则不具有此种性质。 1 2 3 四元数旋转算子 设a 和5 是两个单位自由矢量，运算时可以将它们移至同一交点0 ( 图1 一1 ) 。图中i 是在a 云方向上的单位矢量，o 是舀和云之间的夹角。 以以_ 厶五_ 厶 厶丑_ ! ! 查奎望查堂堡主丝苎 苎二童董查堡堡塑 现在对两个单位矢量作四元数乘积，为了区别于点积和叉积，这里用“。” 表示，可以称为圈积： 石。舌：一厅占+ a 云：一( c o s o s i n 舔) ( 1 - - 2 3 ) 可见，圈积综合了点积和叉积，构成一个单位四元数。 如将上述矢量以相反次序圈乘，则得： 云。历：一占五+ 舌厅：一( c o s o + s i n 舔) ( 1 - - 2 4 ) 引进全角四元数及其共轭： q 2 c o s 口+ 8 i n 贷( 1 _ 2 5 ) q = c o s o s i n d 爵j 则式( 卜2 3 ) ( 卜2 4 ) 可写为。 bo 西= 一q( 1 - - 2 6 ) 五o b = 一q ( 1 - - 2 7 ) 用五右圈乘( 1 - - 2 6 ) 和左圈乘( 1 - - 2 7 ) ；用b 左圈乘( 1 - - 2 6 ) 和右 圈乘( 1 - - 2 7 ) ，可得： b = qo 厅= 厅o q ( 】- - 2 8 ) 厅= bo q = q o b( 1 - - 2 9 ) 其中，q 称为四元数旋转变换算子。 四元数旋转算子具有两种不同的形式：全角旋转算予用全角四元数q 从单边左( 或右) 乘表示为占= q 。a ；半角旋转算子用半角四元数人及 其共轭人从双边夹乘表示为云= 人。五。人。 半角变换算子是由以洛蒂格一哈密顿参数为分量的特征四元数构成 的，特别便于用来作刚体和多刚体的运动分析，并且全角变换算子和半 角变换算子是等效的，即： q o 五= 人。厅。人|( 1 3 0 ) 移动四元数和转动四元数可以分别表示为1 4 列阵 i ( r ) 和m ( a ) ： 转动四元数及其共轭还可以表示为四种4 4 方阵：m ( 人) 、m ( 人) + 、m ( 人) 及其m ( 人) + 。 ! ! 查奎望查堂堡主丝苎里二至堑堕墅! ! ! 查 1 - 2 4 四元数旋算子 1 2 4 1 两个单位旋量的四元数乘积 设a 和占是两个被限制在既不平行又不相交的两条给定直线上的单 位线矢量，j 是沿a 和占之间的公垂线o a o 。的单位线矢量，方向由0 。指向 0 ( 图i - 2 ) 。 图卜2 将它们平移至公共原点d ，则除三个单位矢量a 、后、i 外，还应附加 三个矢量矩厅，无x g ，艺；。为了描述单位线矢量对原点d 的运动效 应，将矢量本身作为实部，矢量矩作为对偶矩，构成单位旋量如下： 言= a + 占晓a ) ( 占2 = o ) ( i 一3 1 ) 占= 舌+ 占仁占) ( 占2 = o ) ( 1 - 3 2 ) ；= i + 占仨i ) ( 占2 = o ) ( i - - 3 3 ) 云和云之间的相对位置由下列对偶角确定： 舀：口+ 口( 占2 ；0 ) ( 1 - - 3 4 ) 式中，实部e 是a 与占之间的投影角，对偶部z 是a 与占之间的最短距离。 两个单位旋量a 和b 有三种乘积形式，其中点积和叉积分别为 丢b 。：c o s 晷( 1 - 3 5 ) 言言：；s i n 舀( 1 3 6 ) 1 0 北方交通大学硕士论文 第一章基本理论综述 由上文的定义可得言和舌的圈积为 言。言；一言言+ 言。丢：一f c o s 西+ ；s i n 占) ( 1 3 7 ) 去。吾；一言；+ 言。富：一( c o s 否一言s i n 否) ( 1 3 8 ) 引进对偶四元数及其共轭： 9 = c 0 8 吁i s i n 8 1 ( 卜3 9 ) f 1 一 q = c o s 8 一i s i n o j 则式( 1 - 3 7 ) ( 卜3 8 ) 可写为： 占。言；一d( 1 - - 4 0 ) 言。b ：一西 ( 1 - - 4 1 ) i 2 4 2 四元数螺旋算子 用丢右圈乘式( 1 - - 4 0 ) 和左圈乘式( 1 - - 4 1 ) ；用方左圈乘式( 1 - - 4 0 ) 和右圈乘式( 1 - - 4 1 ) ，得变换式： 二 b = q 。占= 矗o q ( 1 - - 4 2 ) !二 a = b o q = q o b ，( 1 - - 4 3 ) 其中，对偶四元数o 定义为一个螺旋算子。 同四元数旋转算子一样，四元数螺旋算子也具有全角和半角两种不 同形式。并且这两种算子也是等效的。即： 套。毒= 天。言。介 ( 1 4 4 ) 归纳起来，得到下列两组对偶变换式： ： b = q o a = 舀o q = 人。厅o a ( 1 - 4 5 ) ：二= 蚤= bo q = q + o b = a o bo a( 1 - - 4 6 ) 对偶变换式( 1 - - 4 5 ) ( 1 - - 4 6 ) 综合平移变换和旋转变换而成为螺旋变换， 变换算子恰好是对偶四元数。众所周知，螺旋运动代表刚体的一般运动， 因此可以说，变换式( 1 - - 4 5 ) 、( 1 - - 4 6 ) 从形式和算法上统一了描述刚 体和多刚体运动的各种变换，而用四元数螺旋算予可以方便地导出其他 一切形式的变换式。 北方交通大学硕士论文 第二章四元数在多体动力学中的应用 第二章四元数在多体动力学中的应用 2 l 四元数在多体运动学中的应用 2 - 1 l 四元散变换在空问机构的位移分析中的应用 进行空间机构分析可应用各种解析方法，如三阶方向余弦矩阵法、 对偶四元数代数法、对偶矢量回转法、张量法等。其中方向余弦矩阵法 较为简单。此法所用的矢量旋转阵是由两次欧拉角转动得到的。 由文献 1 可知不变矢量不共原点的坐标变换公式为： r ，= r ? 。+ a f r j ( 2 一1 ) 或 r = 恤，- r ? n # ( 2 2 ) 将式( 2 1 ) 的下标j ，_ ，互换，可得： r j = r j + 人h r l aq(2-3) 比较上述两式可得： r ，= 一a j r ? a ( 2 4 ) 若干个刚体组合在一起，彼此间可有相对运动。要求确定空间一点 a 在与刚体固连的系o r 棚中的位置问的关系，由文献 i 可知： m - r ；= a 。尺产+ 人。矗：人乙 ( 2 5 ) i - 0 其中 d，=a01人12a(，一iv(2-6) 在上式中，各四元数皆为变换的特征四元数。 特别当d = o 。时可得封闭式的四元数姿态方程式： a 。舯+ 吒= o ( 2 7 ) i - 0 和 人0lal2ahlh人。o=1(2-8) 文献 1 用具体的例子( 由六个转动副组成的m b t y 机械手和由一个 转动副及三个圆柱副组成的四连杆机构) 说明了如何应用四元数的方法 北方交通大学硕士论文 第二章四元数在多体动力学中的应用 对空间开链及闭链机构进行位移分析。 ( 1 )机械手手部位置和姿态的确定 图2 - 1 机构连接示意图 图2 - 2 坐标系的选择 如图2 一l ，在每个构件上固结有相应的坐标系，取z 轴与运动副的轴线重 合，x 轴沿相邻z 轴的公垂线，y 轴省去不画，各系皆为右手坐标系，相 邻的i 系与j 系间有以下几个参数： j ，：0 ，与0 ，两点间的距离，o i o ，当与坐标轴方向致时为正，反之 为负；0 ，及嘞：分别为绕z f 轴从轴量至轴工，及绕轴x ，从轴z 量至轴z ， 的转角，从转轴的方向看去，逆时针为正。 设转角吼和杆长i( 茁= o ，1 ，6 ) 为已知， 且 2 = 口，6 = o ，嘞l = 口2 3 = 口= 口 = 姜，要求确定手部的位置和姿态。 上 取系0 为参考系，0 。点在系0 中的坐标可代表手部的位置；系6 各轴 在系0 中的方向余弦可代表手部的姿态。 北方交通大学硕士论文 第二章四元数在多体动力学中的应用 1 ) r 2 的确定由图2 - - 2 及( 2 - - 4 ) 可知： 掰- = 1 0 0 0 】r ，矗= 【o 一1 2 0 o r = - a ；：r 1 0 l a 。：， r ；：= 【0 0 0 1 3 r = 一心，r a ：，。r ；= 【o 0 0 1 4 】7 ， r ；= 0 0 0 1 5 r = 一a 。，r a 。，r = o 0 0 1 6 7 将这些式子代入( 2 - - 5 ) 得： r = o 0 0 ，。r + a 。：【ol ：0o 】屯： + a 【o 0 0 1 3 + ，4 1 r a 麓+ a 0 5 o 0 0 ，5 + ，6 r a 乞 又 妒材臻 0 j 口“ c o s c o s 22 0 f 口“ c o s 2 s 1 n 二_ 22 e 1 c c * s l n 2 s l n ：一 22 o j a ， s 1 n c o s 二 22 ( 2 9 ) ( 2 一1 0 ) 将已知条件代入( 2 1 0 ) 可求得各八。将八代入( 2 6 ) ，即可求 得各a 。将求得的a0 2 a0 3 a 代入( 2 9 ) 即得r o 。而 r o = 【0f “f 。【o r 2 ，3 r ，故得手部d 。点在参考系中的坐标 铲= 阱 罾卜啦蒜孙“， i s i n o , s i n 0 4s i n 0 5 + c o s o lc o s 魄+ 0 3 ) c o s 0 4 s i n 0 5 一c o s o ls i n ( 0 2 + 0 3 ) c o s 0 5 i c o s 0 】s i n o _ 4s i n e ，+ s i n 0 1c o s ( 岛+ 岛) c o s 以s i n e , - s i n 0 1s i n 皖+ 0 3 ) c o s o sj 【c o s 仅+ 0 3 ) c o s 0 5 + c o s ( 口2 + 0 3 ) c o s 0 5 + s i n ( 0 2 - 0 3 ) c o s 0 4s i n 0 5 l ( 2 一1 1 ) 2 ) 手部姿态的确定此时因只考虑方向，故与绕定点转动的变换相 1 4 ! ! 查銮望盔堂堡主垒苎星三兰墅塑壁旦堑堕型堕望：! ! 堕盟 同，从而可令( 2 1 ) 中的r 产= 0 。令轴，y 6 ，气在d 系中的方 向余弦依次为如。，m ：，m ，) ，o ，n ：，也) ，【“，“：，“，) 则由( 2 2 ) 有： o0o 肌1啊 肌2 “2 肼3玛如 叭| |卜岫肌协喾o ； ( 注：m ，的定义见文献1 ) 若单位变换四元数为a ，则由文献( 2 ) i - 2 阮+ 眉) 2 似五7 五0 5 ) m p ) = f2 “五：+ 厶丑) 1 - 2 ( & z + 鸳) l2 “也一如旯：) 2 似 + 厶 ) 而 2 “也+ 厶a ：) i 2 以：也一厶 ) i ( 2 1 3 ) 1 2 k 十置) i m ( a ) m ，( a ) = i 矧( 2 - - 1 4 ) 其中立为零矢量的坐标列阵，亚为该阵的转置。 令( 2 - - 1 3 ) ，( 2 - - 1 4 ) 中的p = p 再将( 2 - - 1 4 ) 代入( 2 - - 1 2 ) 即可 得所求。 ( 2 )空间四杆闭链机构的位移分析 如图2 - 3 ，机构的各拐角处皆为直角，且一般四杆在空间既不平行也 不相交，一为转动副，其余占，c ，d ，皆为圆柱副。坐标系的选定原则 同上。但原点依次为a ，b ，c ，d 。口，的意义也同上。此外还有两个 参数： j ，：沿轴z ，从轴t 量至轴工，的距离，与z ，方向一致时为正，反之为 负；h s ：沿轴_ 从轴z ，量至轴乃的距离，与0 方向一致时为正，反之为 负。 ! ! 查窒望盔堂堡主丝塞 星三兰墅望墅旦堑堕型垄望：! ! 堕盟 图2 - 3 空间四杆闭链机构 设已知输入角0 l 及结构参数，h l ，h 2 ，h 3 ，口1 ，a 。2 和口：，要求 确定岛，屯及岛，岛和j ：。对于闭链机构可应用封闭式的姿态方程式( 2 - 7 ) 、( 2 8 ) ，基变换四元数人。仍由( 2 - 1 0 ) 确定。由( 2 8 ) 有： a o i 1 2 a 2 3 a 3 0 ；1 ( 2 - 1 5 ) 1 ) 岛和岛的关系由( 2 1 5 ) 有肘( a 。：m ( a ：，) = m ( a 。) m ( a ，。) ， 使此式两边对应项相等，可得四个联立方程，消去以和吼，即得： c o s 岛= ( c o s o zs i n a o ls i n z 3 0 c o s z o lc o s 口3 0 ) s i n a l 2s i n z 2 3 + c t g a l 2 c t g a 2 3 ( 2 1 6 ) 2 ) 0 。和岛的关系由( 2 一1 5 ) 有m “，：) = m ( a 。，) m ( 人，。) m ( a ：，) + ， 使此式两边对应项相等，可得四个联立方程，消去岛和岛，即得： 4 p i ) s i n $ o + b ) c o s 岛+ c ) = 0 ( 2 一1 7 ) 其中，彳 ) = s i n a o is i n r 2 ，s i n 0 1 ， b 幅) = 一s i n 口2 ，( c o s a o is i n a 3 0 + s i n a o lc o s 口3 0c o s 0 1 ) 1 6 ! ! 查銮塑盔兰堡主兰奎 苎三皇婴垂墼垄兰笪垫垄堂! ! ! ! 旦 c ( o j ) = c o s t x 2 ，( c o s 0 lc o s a 3 0 一s i n a o ls i n 9 3 0c o s 0 1 ) 一c o s 2 3 ) 函，s ：，屯的确定已知各0 角之后，利用( 2 - - 7 ) 即可确定各j 。 但为直接建立只包含输出线位移屯而不包含丑和j ：的关系式，可 考虑矢量封闭形从b b c c d d 7 a 在轴x ：上的投影。因j 。s ：均 垂直于轴x ，故在该投影式中将不包含丑和s ：，即： s 3 c o s ( z 3 ，x 2 ) 十h 3c o s 0 3 + j oc o s ( z o ，x 2 ) + ，乇c o s ( x o ，x 2 ) + 岛c o s 8 2 + h 2 = 0 ( 2 - - 1 8 ) 可将四元数看作是四维矢量，那么与三维矢量类似地，可定义它 的内积。从而可利用四元数变换来求式中各方向余弦： c o s ( ，x ：) = 【o 10 o r 扒。a 。： 0 10 o ra ：a 0 。j = 【o l0 o r m ( a 。，m k 。( a 。：m ( a ：1 0 l0 0 】 = c o s 8 , c o s 0 2 一s i n o ls i n 0 2 c o s o l 类似地可求得： c o s ( z o ，x 2 ) = s i n 0 2s i n a o l ，c o s ( z 3 ，x 2 ) = s i n o ss i n a 2 3 将求得的各方向余弦代入( 2 一】8 ) 式得： 岛s i n 0 3s i n a 2 3 + 7 bc o s 0 3 + s os i n 0 2s i n a o i + h o ( c o s o lc o s 0 2 一s i n 0 | s i n 以c o s a 0 1 ) + h lc o s 岛+ h 2 = 0 利用序号间的轮换关系，由此式继而可求得关于函及关于s ，的方程。 从上面的实例计算可以得到以下一些结论： 实数四元数变换可用来描述刚体或多刚体的一般运动，从而可用 来进行空间结构的位移分析。所以至少可以将实数四元数变换的 方法作为检验目前已有的其它机构位移分析方法的手段。并且这 种方法又具有一定的优越性。 在进行空间机构位移分析时，普通矩阵法、方向余弦矩阵法和实 数四元数法，最后都需求得一次等效转动的方向余弦矩阵。设矩 阵法的变换公式为，点= 玩玩+ b ：b l r = b r ，实数四元数法的为： | 0 = 人，人：a 。1 0 _ 4 a ；x 一= m ( a ) m ，( 人1 0 ! r 则为了求得一次等效转动的方向余弦阵，当变换次数i l 在3 次或3 1 7 北方交通大学硕士论文 第二章四元数在多体动力学中的应用 次以上时，实数四元数法的计算量( 即所需要的乘法与加法的总 的次数) 在一般情况下将少于普通矩阵法( 1 7 n 一3 9 ) 次；当变换 次数n 在4 次或4 次以上时，实数四元数法的计算量在一般情况 下将比三阶方向余弦矩阵法少( 1i n 一3 9 ) 次。并且，变换次数越 多，减少量将越大。 由可见，当变换次数在3 次或3 次以下时，为了求得一次等效 转动的方向余弦阵，方向余弦矩阵法的计算量将少于四元数法。 因此，在机构位移分析或其它有关多次正交变换的课题中，灵活 地、交替地使用这两个方法，将会提高计算的速度。 2 1 2 用四元数交换描述刚体的一般运动 如果刚体不是绕固定点，而是绕动点旋转，即刚体作空间一般运动， 那么只要将动坐标系原点相对于参考系的运动考虑进去，即可将四元数 变换应用到刚体的一般运动中。设刚体j 在参考系i 中绕基点转动，四 元数形式的运动学方程可写为： ：2 天。a ?( 2 1 9 ) = 2 a o a( 2 2 0 ) 其矩阵形式记为： 如) ：2 m ( 人) + 天 ( 2 2 1 ) lj 如) = 2 m ( a ) 天 ( 2 2 2 ) lj 式中) ，如) 是4 x 1 列阵，其第一元素为0 ；吖( a ) + ，m ( a ) 由式( 1 - - 2 0 ) ( 1 - - 2 1 ) 确定。为了便于求角加速度，去掉p ) ，扫) 中第一个0 元素和 m ( a ) + ，肘( a ) 中第一行，便得到运动学方程的截短式： 西) = z 誓( ) + 天) 俗 = 2 肘( ) ( 天) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ! ! 查銮望查堂堡主丝苎 苎三主婴歪墼垄童堡垫塑兰! ! ! 里旦 这样一来，角加速度即可方便地求得如下： z - - 件z m ( 悯 忙) = 一( ) ( x ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 亦即，在求导过程中认为截短变换矩阵m ( ) + ，m ( ) 是常值，而其它形 式的运动学方程则无此优点。 固体上固接点的速度和加速度可以如此求得，即首先引进变换矩阵 m p ) ，令 肘p ) = 肘( 人m ( a ) + ( 2 2 7 ) 则从i 系到j 系的矩阵形式的变换式可简写为 仁 = m p 地。) ( 2 2 8 ) 然后采用两种变换观点以简化求导过程。一种观点是，变换m ( b ) 仅仅施 行于坐标系，而连体矢量c 只是跟随坐标系旋转，这就是被动变换。当 采用此种变换对式( 卜2 2 8 ) 求导时，认为变换矩阵m 佃) 是变化的，而 r 。相对于j 系的相对大小不变，于是得到 仆= 吖( 三) ( 2 - - 2 9 ) ”= m ( 三m ( 2 - - 3 0 ) 式中 m ( 刍) = m ( 天) m ( a ) + + m ( a m ( 七 + = m ( b m q 。) ( 2 - - 3 1 ) 竹( 习= m + 吖( 刁m 白。) = 膨嘶村) ( 2 - - 3 2 ) 这里，m ( q ) m g ) 是角速度和角加速度0 加边4 x 4 反对称矩阵。 另一种观点是，变换m p ) 直接施行于矢量r 。，而由带动坐标系同 步旋转，这就是主动变换。当采用此种变换对式( 2 2 8 ) 求导时，认为 变换矩阵肘佃) 不变，而r 。的元相对于i 系的绝对大小是变化的，于是 j ! 查奎望盔兰堡主丝兰 塑三童堕垂墼垄墨笪塑塑兰! ! ! 堡盟 得到 缈* 卧m ( b ) r 。) = 盼m p 式中 童) = 杪。 = 肘心。妇。 五j ) = 仁。 = m ( 矗。 伍7 + a 彳( q 。) ( 五。) = g 。) + a ，白。) 2 k 7 刚性开链系统的速度和加速度分析可以如此进行， 公式： f r ， = m 慨) r p + m 慨( + 。) 妇。 式中m ( 玩) 是4 4 单位矩阵。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 即首先写出递推 ( 2 3 7 ) 直接微分式( 2 - - 3 7 ) ，便得构件上任一点( 不限于固结点) 的速度 和加速度递推公式： = m 慨) 孟m ( 氟小。) + m ( b 肌。，枷 ( 2 - - 3 8 ) 式中 m ( 三肌，) = m 慨，白1 ，) = m 蛤1 。m 慨c 。，) ( 2 - - 4 0 ) m ( 赫，) - 肘，比) + m 愀，) 2 ) = 似) + 肘i ) 2 o + ，) ( 2 4 1 ) 2 0 j 、跏 m j x l 2 ) ( + 8 ， m+ 、，j + r ，j、l、 +8 ，l m2+ 、，+ r ， +丑 ， 膨+ q，r 、j 8 ，l 膨 l i 、lrj r ，、，l 北方交通大学硕士论文 第二章四元数在多体动力学中的应用 对于包括o 刚体在内的n + l 构件开链系统，末端刚体n 上任一点的 位置、速度和加速度可根据上述递推公式分别写出如下： 阮) = n - ! 肘脚m + m 阮) ( 2 4 2 ) 忙。) = 芝j - o f m p “) 伍p ) + m ( 8 。) ( 孟? “) ) + ( m ( 刍* ) 邑 + m p 。) 三一) ) ( 2 4 3 ) 卧融( 暑归“ + 2 m ( 三m ) 圳 + ( 彳( 兰m ) r 。 + 2 彳( 吾”) 五”) + m ( b 。) ( 釜一) ) ( 2 - 4 4 ) 具体应用时，上式可以得到简化。如对于全回转副的机械手运动链，当 选取迪拉维特坐标系求固结点的速度和加速度时，宜采用被动变换对式 ( 2 4 2 ) 求导，即 = 篓肘( 占咖+ 1 + 吖( 三扣 = 篓m ( 釜“) + m ( 与。) r ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 对于带移动副的机械手运动链，宜采用主动变换对式( 2 4 2 ) 求导，即 ：芝 lj ，一0 ：芝 tjf 1 0 荆 ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 2 2 欧拉动力学方程的四元数形式 欧拉动力学方程适用于单刚体，是研究多刚体的基础，取连体主轴 坐标系，具有如下形式： m m + + 、ilrj、rj 札， ， r r ，州1，u1 办 办 m m 篆黧到m m 口二：+ 0 一c k ) 3 q = 2 c 二，+ p 一_ x q 吐= ，i ( 2 4 9 ) 形甜又= 一5 这里的是刚体角速度面在连体主轴坐标系中的四元数映象，有 ；【oq 吐奶】。取四元数矩阵截短式： 匮 匿 一 l = l - 五 一乃 t l f _ ， ：l = l = 老 j 如 凡 一 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 阢+ k i 形3 = i 旁2 十k 2 ：m 2 2 5 3 w 3 + k 3 暇= 鸭1 、q一2生2鸭一2，幼一2纰一_卜忡厅 、1、，j h一一一 办而b_ 九 办如_ = 、l，j隅 1，i一 _ a 九以五 丸以五 北方交通大学硕士论文鲢熏堕! 垫垄堂立望箜苎望塑垄苎篓量 第三章k a n e 动力学方程的普通形式及其推导 k a n e 方法是建立一般多自由度离散系统动力学方程的一种普遍方 法，其特点是以伪速度作为独立变量来描述系统的运动，既适用于完整 系统也适用于非完整系统。在建立动力学方程中不出现理想约束反力， 也不必计算动能等动力学函数及其导数，推导计算规格化，所得的结果 是一阶微分方程组。因此，k a n e 方法是研究多刚体系统动力学的重要 方法。如果在k a n e 方程中引入四元数。虽然方程的形式并没有变的更 加简单，但是计算起来仅仅是简单的代数运算，使计算过程得到简化。 3 l偏速度和偏角速度 3 1 1完整约柬系统 若一个有n 个自由度的完整力学系统在惯性参考基；( o j 中的运动可 以用n 个广义坐标q ，( 铲1 ，n ) 描述，则也可以改用定义为广义速 度圣。的线性组合的如下n 个变量来描述： _ 蚱= 瓦蟊+ 乙( ，= i ，) ( 3 1 ) s * l 其中k 和z ，( r ，s = l ，n ) 是g 。( s = l ，n ) 与时间t 的函数。 k 的选取应使在式( 3 一1 ) 中由它所构成的系数矩阵是非奇异阵，这样 式( 3 一1 ) 可唯一的反解出： 吼；甜，+ 并，o = 1 ，) ( 3 2 ) r - | 其中矾，和以( s ，= 1 ，n ) 为吼( s = l ，n ) 与t 的函数。显然， “，( ，= 1 ，) 也是一种类似于广义速度的物理量。如果式( 3 一1 ) 可积， 则所得到的积分石，( ，= 1 ，) 就是另一种定义的广义坐标，但在一般 情况下式( 3 1 ) 都不可积，没有相应的广义坐标存在，因此称“，为伪 速度( k a n e 本人称之为广义速率) 。形式上可以说有一个与伪速度“，对 应的伪坐标，r ，存在，而且有导数疗，和变分勖，存在，即 疗，= “，( f 1 ，n ) ( 3 3 ) 断，= k 国，( r = 1 ，n ) ( 3 4 ) 确定伪速度以后，属于力学系统中的任一个刚体b 的角加速度以及相对 参考基虿( o ) 运动的速度都可唯一地表为 面：兰面( ，) “，+ 面) ( 3 - - 5 ) 口：羔砂) 坼+ 弘) ( 3 6 ) 其中c 5 ( ”、哥( r ) ( f 1 ，n ) 和面( ”、寻o 】是q 。( s _ 1 ，n ) 与t 的 函数。蚤( ，) 称为刚体b 在参考基f ( o ) 中的第r 个完整偏角速度，哥( 7 ) 称为 质点p 在参考基i ( o ) 中的第r 个完整偏速度。显然，偏角速度和偏速度 是以伪速度“，为变量的角速度表达式和速度表达式中的矢量系数。它们 不是某一刚体的角速度和某一点的速度，也不是角速度和速度的某种投 影，只是角速度和速度对某个伪速度的偏导数。下面分别证明式( 3 5 ) 和( 3 6 ) 。 设刚体b 的连体基为孑，因为基矢量己( f = 1 , 2 ，3 ) 是q ，( s = 1 ，n ) 与t 的函数，在才( o 】中对巨求导数，并利用式( 3 - - 2 ) 有： ! ! 查奎望查堂堡圭丝塞 堕三兰坠竺垫垄兰查矍堕兰望丝壅墨茎! ! 量_ 宣= 姜= 舡- ：- q + 鲁 = 萎氦喜u r + x ， 噜 刚体的角速度可以在连体基孑中分解为 面= 功l 磊+ 2 e 2 - t - c 0 3 毛 = 磊( 乏毛) + 毛( ；，毛) + 毛( ；t 毛) 将式( 3 - - 7 ) 代入上式，得到 面= 毛陲喜象己”善象毛置+ 鲁五j + 邑陲n 萎n 豢- 己”善象莓置+ 鲁茜j + 毛嗜喜摹毛”喜暴。毛以+ 鲁毛 定义西( 7 ) 和面o ) 分别为 ，) _ 划 e lo q , 一m 摹印唔砭灿= 1 ，) 和 护k 粪一象，毛+ 邑象毛+ 毛象，毛户， + 毛鲁- 毛+ 毛鲁己+ 皤毛 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 一l o ) ( 3 1 1 ) 两一西 争 蚱 霹瓦， 将以上两式代入( 3 - - 9 ) ，就得到式( 3 - - 5 ) 。 设点p 相对参考基虿( o ) 的原点o 的位置矢径为尹，它是吼( s 2 1 ， n ) 与t 的函数。求尹对时间的一次导数并利用式( 3 2 ) ，导出p 点的 速度为 汹= 喜善+ 署 = 粪豪粪啊城心 = 荟n 善n - ”兰s = l 昙q , 即盟o t ( 3 - - 1 2 ) 定义i ( ，) 和哥o ) 为 圳= 善争c 乩( 3 - - 1 3 ) 砂t 喜争，+ 署( 3 - - 1 4 ) 将以上两式代入式( 3 1 2 ) 就得到式( 3 - - 6 ) 。 3 1 2 非完整约束系统 设非完整力学系统在参考基；0 ) 中的运动由n 个伪速度“，( f 1 ， n ) 描述，由于受到1 1 1 个非完整约束，因此独立伪速度的数目即系统的 自由度数为k = n - m a 假定在n 个伪速度中的前k 个甜，( f 1 ，k ) 是独立的，则后面i t l 个伪速度“( r = k + 1 ，n ) 可用前面的k 个表 出为 ，= a 。“，+ 毋， ( r = k + l ，n )( 3 1 5 ) ! ! 查奎望查堂堡主丝苎 蔓三童鉴坚垫查兰查矍盟董望丝苎墨苎i ! 量_ 其中一。和占，是g i 。，办和t 的函数。式( 3