（固体力学专业论文）尺度效应下碳纳米管的波动性能研究.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名： ! 牢! i 窒 日期： 盘里年月卫日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：监导师签名趣日期：2 皇! ! 年上月堡日 摘要 本文综述了碳纳米管国内外研究现状及进展，然后在总结前人研 究成果的基础上，应用基于经典非局部弹性理论与非局部应变梯度理 论的非局部一梯度混合型理论对碳纳米管的波动性能进行了研究。 非局部弹性理论与经典弹性理论不同之处在于前者考虑了长程 力作用，即认为被研究体内某一点处的应力不仅与同一点的应变有 关，而且与体内其它点处的应变有关，也就是说某点的应力是体内所 有点应变的函数。迄今为止，非局部弹性理论已经在碳纳米管的研究 中取得了广泛的应用和良好的效果。然而，在处理弹性体的位错问题 时，非局部弹性理论往往只能消除位错核心区的应力奇异性，并不能 消除位错核心区的应变奇异性。应用非局部一梯度混合型理论则可以 同时消除位错线区的应力奇异性与应变奇异性，这证明了非局部一梯 度混合型理论相对于非局部弹性理论与非局部应变梯度理论所具有 优越性。事实上，后两者正是前者特殊情况下的表达形式。 基于非局部一梯度混合型梁模型，本文分别研究了自由空间中、 弹性介质中以及初应力作用下的碳纳米管中横向波的传播特性。对于 单壁碳纳米管中的弹性波，给出了其相速度与群速度的解析表达式并 显示了它们的尺度效应。特别注意的是，对于弹性介质中的单壁碳纳 米管，当弹性波的频率小于由弹性介质引起的碳纳米管的截断频率 时，弹性波不能在碳纳米管中传播。对于双壁碳纳米管，存在着两种 不同波速的弹性波，其截断频率与层间范德华力有关，当存在弹性介 质时也与弹性介质有关，但与碳纳米管的小尺度因子无关。对于小波 数或者低频率的情况下，弹性介质对弹性波的传播影响强烈，相反， 在高波数或者高频率情况下，尺度效应的影响明显。自由空间条件下 与弹性介质条件下弹性波的色散关系在文中以图形的形式表现出来， 用以表明尺度效应对波速的影响。 初应力作用下碳纳米管中弹性波的相速度与群速度的解析表达 式同样被求解出来，结果显示波速与小尺度因子无关而与碳纳米管所 承受的压应力或拉应力有关。对于双壁碳纳米管，管层间的范德华力 对截断频率具有显著的影响，而小尺度因子并不影响碳纳米管的截断 频率。当弹性波的频率低于碳纳米管的截断频率时将不能在碳纳米管 中传播。弹性波的色散关系曲线图被罗列出来以显示尺度效应与初应 力对碳纳米管中弹性波的影响。 关键词：碳纳米管，混合型非局部模型，横向波，弹性介质，色散关系 a bs t r a c t t h er e s e a r c ho nc a r b o nn a n o t u b e s ( c n t s ) i si n t r o d u c e d ，a n dt h e n w a v ec h a r a c t e r i s t i c so fc n t sa r es t u d i e dv i at h eg e n e r a l i z e dn o n l o c a l e l a s t i c i t yt h e o r yw h i c hi sb a s e do nt h en o n l o c a le l a s t i c i t yt h e o r y a n d n o n l o c a ls t r a i ng r a d i e n t st h e o r y t h ed i f f e r e n c eo fn o n l o c a le l a s t i c i t yt h e o r yf r o mc l a s s i c a le l a s t i c i t y t h e o r yi s t h a tl o n gr a n g ef o r c ei si n c o r p o r a t e di nt h ef o r m e r , n a m e l y , s t r e s sa tap o i n td e p e n d so ns t r a i ni nar e g i o nn e a rt h a tp o i n t w i t ht h eh e l p o ft h i si d e a ，i ns p a c ea n yf i e l dc a nb ee x p r e s s e db yaw e i g h t e da v e r a g e w i t hr e s p e c tt oi t sv o l u m e s of a r , t h en o n l o c a le l a s t i c i t yt h e o r yi s p r a c t i c a la n du s e f u li na n a l y z i n gc n t s h o w o v e r ，i nt r e a t i n gd i s l o c a t i o n p r o b l e m si n a ne l a s t i cm e d i u m ，a p p l i c a t i o no ft h en o n l o c a le l a s t i c i t y t h e o r yo n l yr e m o v e st h es i n g u l a r i t yo f t h es t r e s sf i e l dn e a rt h ed i s l o c a t i o n c o r e a n dt h es t r a i nf i e l di ss t i l ls i n g u l a rn e a rt h ed i s l o c a t i o nc o r e a n di t h a sb e e ns h o w nt h a tb o t ht h es t r e s sf i e l da n dt h es t r a i nf i e l da r ef i n i t e ，n o t s i n g u l a rw h i l eg e n e r a l i z e dn o n l o c a le l a s t i c i t yt h e o r y i s a d o p t e d t h i s i n d i c a t e st h es u p e r i o r i t yo ft h eg e n e r a l i z e dn o n l o c a le l a s t i c i t yt h e o r yo v e r t h en o n l o c a le l a s t i c i t yt h e o r ya n dt h en o n l o c a ls t r a i ng r a d i e n t st h e o r y i n f a c t t h et w ol a t t e rt h e o r i e sa r es p e c i a lc a s e so f t h ef o r m e r b a s e do nt h eb e a mm o d e lo fg e n e r a l i z e dn o n l o c a le l a s t i c i t yt h i s p a p e rs t u d i e st h es i z ee f f e c t so ft r a n s v e r s ew a v ep r o p a g a t i o no fc a r b o n n a n o t u b e s ( c n t s ) i naf r e es p a c e ，e m b e d d e di n as u r r o u n d i n ge l a s t i c m e d i u ma n dw i t hi n i t i a la x i a ls t r e s s f o rf e x u r a lw a v e sp r o p a g a t i n gi n s i n g l e w a l l e dc n t s ，t h ep h a s e a n dg r o u pv e l o c i t i e sa r eo b t a i n e d a n a l y t i c a l l ya n ds c a l e d e p e n d e n t i np a r t i c u l a r ，w a v e si ns i n g l e w a l l e d c n t ss u r r o u n d e db ya ne l a s t i cm e d i u mc a nn o tp r o p a g a t ef o rf r e q u e n c i e s l o w e rt h a nt h ec u t - o f ff r e q u e n c yd e p e n d e n to nt h es u r r o u n d i n gm e d i u m f o rd o u b l e w a l l e dc n t s ，t h e r ea r et w ow a v es p e e d sf o rt h ea c o u s t i ca n d o p t i c a lm o d e s ，a n dt h ec u t - o f ff r e q u e n c yi sd e p e n d e n to nt h ev a i l d e r w a a l s ( v d w ) f o r c eb e t w e e nt w ot u b e sa n d t h es u r r o u n d i n gm e d i u mw h e n i ti s p r e s e n t b u ti n d e p e n d e n to ft h es c a l ep a r a m e t e r s f o rv e r yl o w w a v e n u m b e r so rf r e q u e n c i e s ，t h es u r r o u n d i n ge l a s t i cm e d i u ms t r o n g l y a f f e c t st h ew a v ev e l o c i t y ，w h i l et h es c a l ee f f e c t sf o rh i g h e rw a v e n u m b e r s o rf r e q u e n c i e sa r en o t a b l e d i s p e r s i o nr e l a t i o n sa r ep r e s e n t e dg r a p h i c a l l y t os h o wt h es c a l ee f f e c t so fw a v es p e e dw i t ha n dw i t h o u tt h es u r r o u n d i n g e l a s t i cm e d i u m f o rf e x u r a lw a v e sp r o p a g a t i n gi nc n t sw i t hi n i t i a la x i a ls t r e s s ，t h e p h a s ea n dg r o u pv e l o c i t i e sa r ea l s oo b t a i n e da n a l y t i c a l l y ，f o u n dt ob e s c a l e d e p e n d e n t ，a n dd e p e n d e n to nt h et e n s i o no rc o m p r e s s i o nf o r mo f i n i t i a la x i a lf o r c e f o rd o u b l e w a l l e dc n t s ，i ti sf o u n dt h a tt h ev a n d e r w a a l s ( v d w ) f o r c eb e t w e e nt w ot u b e sh a ss i g n i f i c a n te f f e c t so nt h e c u t o f ff r e q u e n c y ，w h i l es c a l ep a r a m e t e r sd on o t m o r e o v e r ，t h e r ei sn o e x i s t i n gw a v ew h e nw a v ef r e q u e n c yi sl o w e rt h a nt h ec u t o f ff r e q u e n c y f i n a l l y ，d i s p e r s i o nc u r v e sa r ep r e s e n t e dg r a p h i c a l l yt os h o wt h ee f f e c t so f s c a l ep a r a m e t e r sa n di n i t i a la x i a ll o a d i n go nf e x u r a lw a v e sf o rc n t s k e y w o r d s ：c a r b o nn a n o t u b e s ，g e n e r a l i z e dn o n l o c a lm o d e l ， t r a n s v e r s ew a v e ，e l a s t i cm e d i u m ，d i s p e r s i o nr e l a t i o n 1 1 l 目录 第一章绪论1 1 1 碳纳米管简介1 1 2 碳纳米管的性能与应用前景2 1 2 1 良好的导热性能3 1 2 2 特殊的电学性能3 1 2 3 良好的力学性能3 1 2 4 碳纳米管的应用前景3 1 3 碳纳米管的研究方法与现状4 1 3 1 实验研究方法4 1 3 2 分子动力学方法5 1 3 3 连续介质力学方法6 1 4 本文主要的内容8 第二章基于非局部梯度混合型梁模型的碳纳米管基本方程1 0 2 1 引言1 0 2 2 非局部梯度混合型梁模型的建立l1 2 2 1 非局部梯度混合型理论的本构方程一1 1 2 2 2 非局部梯度混合型梁模型的推导。13 2 3 本章小结。l5 第三章自由空间中碳纳米管的波动性能研究1 6 3 1 引言1 6 3 2 碳纳米管中弹性波的传播特性。1 7 3 2 1 单壁碳纳米管中的弹性波1 7 3 2 2 多壁碳纳米管中的弹性波18 3 3 算例分析与结果讨论。2 2 3 4 本章小结2 4 第四章弹性介质中碳纳米管的波动性能研究2 5 4 1 引言2 5 4 2 弹性介质中单壁碳纳米管中的弹性波2 5 4 - 3 弹性介质中多壁碳纳米管中的弹性波。2 7 4 4 数值分析与结果讨论2 9 4 5 本章小结3 4 第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究3 5 5 1 引言3 5 5 2 初应力对碳纳米管中纵向弹性波的影响3 5 5 3 初应力对碳纳米管中弹性弯曲波的影响3 7 5 3 1 初应力作用下碳纳米管中弯曲波的控制方程3 7 5 3 2 初应力作用下单壁碳纳米管中的弯曲弹性波3 8 5 3 3 初应力作用下多壁碳纳米管中的弯曲弹性波4 0 5 4 数值分析与结果讨论。4 3 5 5 本章小结4 5 第六章总结与展望4 6 6 1 总结4 6 6 2 展望4 7 参考文献4 8 致 射5 2 攻读硕士学位期间发表的论文及主要的科研情况5 3 中南人学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 碳纳米管简介 纳米科技是在2 0 世纪末逐步发展起来的前沿、交叉性新兴学科领域，它的迅 猛发展在2 1 世纪促使几乎所有工业领域都产生了一场革命性的变化，对人类的文 明和社会的进步产生巨大推动作用【l l 。纳米科技是研究由尺寸在o 1 1 0 0 纳米( 1 纳米= 1 0 9 米) 之间的物质组成体系的运动规律和相互作用以及可能的实际应用 中的技术问题的科学技术。碳纳米管作为重要的纳米材料，其发展前景诱人，并 且以惊人的速度发展着。 1 9 9 1 年日本科学家i i i i m a l 2 j 在使用电弧法时意外地发现了碳纳米管，自此 碳纳米管便成为了碳家族中的一个重要成员。碳纳米管是晶形碳的一种同素异形 体，是由单层或者多层石墨片按照一定螺旋角卷曲而成的无缝纳米管状结构，其 相邻层间距与石墨的层间间距相当，约为0 3 4 n m ，碳纳米管的直径为零点几纳 米到几十纳米，长度一般为几十纳米到微米级【3 】。根据石墨层片的不同，碳纳米 管( c a r b o nn a n o t u b , t e s ，c n t ) 可以分为单壁碳纳米管( s i n g l e w a l l e dc a r b o n n a n o t u b e s 。s w c n t ，如图1 1 ) 、双壁碳纳米管( d o u b l e w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ， d w c n t ) 和多壁碳纳米管( m u l t i w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ，m w c n t ，如图1 2 ) 。 其中单壁碳纳米管根据其石墨层卷绕方式的不同，又可以分为扶手椅型 ( a r m c h a i r ) 、锯齿椅型( z i g z a g ) 和螺旋型( c h i r a l ) 1 4 】【5 】【6 】，如图1 3 。 图1 1 单壁碳纳米管图1 2 双壁碳纳米管 不同种类的碳纳米管可以由一对参数( n ，m ) 来描述，其中：9 = 0 。，m = 0 ， 锯齿椅型：o 。 生塑叁堂堡主堂垡笙塞 一 第四章弹性介质中碳纳米管的波动性能研究 二二_ = 二二：= ：竺：= ! ：= ： 差 了 童 蔓 皇 图4 - 3 弹性介质对弹性波色散关系的影响 图4 - 4 弹性介质中单壁碳纳米管里弹性波波速与经典理论下波速的比值随无 量纲系数材的变化关系 中南大学硕士学位论文第四章弹性介质中碳纳米管的波动性能研究 3 o 2 5 2 。o 1 5 产 d 0 5 o 力 o o o 1 k d 1 0 图4 5 弹性介质中单壁碳纳米管里弹性波群速度与经典理论下波速的比值随 无量纲系数材的变化关系 图4 6 弹性介质里双壁碳纳米管中横向弹性波的相速与其经典弹性理论下的 相速的比值随无量纲系数励的变化关系 中南大学硕士学位论文第四章弹性介质中碳纳米管的波动性能研究 对于双壁碳纳米管，图4 6 给出了弹性介质里双壁碳纳米管中两支弹性波的 相速与自由空间里单壁碳纳米管中两支弹性波的相速比值随着无量纲系数材的 变化关系，其中弹性介质系数与范德华力系数比值也分别取p c = 0 ，0 1 ，1 ，1 0 。令 碳管的线密度为碍+ ，横截面的特征系数为+ 厶。从图4 - 6 可以看出，低频 弹性波在= 0 时，在任何波数或者频率的情况下都存在，而当0 时，只有当 低频弹性波的频率大于截断频率中的低频，时才存在；而对于高频弹性波，发 生的条件更高，只有当其频率大于截断频率中的高频鳞，时才存在。同样，尺 度因子在低波数情况下对两支波的影响都不大。 4 5 本章小结 本章利用含有两个尺度因子的非局部一梯度复合型梁模型对弹性介质中碳纳 米管中波的传播特性进行了研究。复合型模型被应用到单壁碳纳米管与双壁碳纳 米管中波的传播特性的研究上去，并给出了数值例子。关于尺度效应与弹性介质 对波的传播特性的研究也给出了相关的验证。数值结果表明尺度效应对波的色散 关系在高波数情况下具有显著的影响力，但在低波数情况下影响很小；相反，弹 性介质影响了低波数情况下波的传播特性，它的存在提高的波的截断频率，弹性 系数越大，对波的色散特性影响也越大，而它在高波数情况下对波的传播特性影 响很小。 中南大学硕士学位论文第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 5 1 引言 非局部弹性梁理论近年来被广泛地应用到对碳纳米管的力学性能的研究中， 在此理论的应用过程中，有些条件在理论推导和运用过程中可能会不经意地被忽 视，因而添加一些基本的假设条件用以完善非局部弹性理论就显得很有必要。事 实上，在早期的对碳纳米管中横向弹性波的研究工作中，碳纳米管的初始应力往 往被忽略掉。近来，有研究者开始考虑在初始作用力的条件下，碳纳米管的波动 特性f 4 引，z h a n g 掣4 9 1 研究了初始应力条件下，双壁碳纳米管的横向振动问题， 研究结果显示碳纳米管的自然频率随着初始应力的增大而逐渐变小，而内层碳管 与外层碳管的振幅之比并不受到初始应力的影响。w a n g 和c a i 5 0 】研究了初始 应力对双壁碳纳米管的非轴向简谐共振的影响。其研究结果表明，初始应力对碳 纳米管的自然频率有明显的影响，但是对双壁碳纳米管的层间共振频率影响并不 明显，碳纳米管间的层间范德华力同样被考虑进去。碳纳米管经常被应用到微电 子系统中作为基本的结构元器件，例如超高频谐振器、电子发射器、高频振荡器 以及力学传感器等等【5 l 】【5 2 1 ，这些元件往往因为温度应力、材料的装配误差、轴向 外部应力等等原因而存在着初应力。因而对初应力问题的研究很有必要。 本文利用非局部梯度复合型模型，研究了初应力作用下碳纳米管中弹性波 的传播特性，其中着重研究了初应力作用下单壁碳纳米管与双壁碳纳米管中的弯 曲弹性波的传播特性，包括弯曲波的相速度与群速度，通过研究表明初始拉应力 与初始压应力对碳纳米管中弯曲弹性波的影响各不一样，且这种影响在低波数的 情况下很明显，而随着波数的增大，初应力对弹性波的影响也越来越弱。文中同 样还研究了一维弹性杆中的纵波的传播特征。 5 2 初应力对碳纳米管中纵向弹性波的影响 对于初应力作用下的一维碳纳米管弹性杆中的纵向波，其唯一不等于零的位 移为u i = u ( x ，) 。将纵向应变的表达式s = o u o x 代入非局部梯度混合型模型 的本构方程中，可以得到： 盯= 彳等咽罢一譬i c u ( 5 - 1 ) 对于一维碳纳米管弹性杆，其运动微分方程为： 中南大学硕士学位论文 第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 么o _ 缸z a 毗n o 虿0 2 u = m 鲁，a a x o l 一 ( 5 - 2 ) 这里加= 州表示单位长度碳纳米管的质量，即线密度，p 为碳纳米管的密度， a 为横截面面积；“为初始的轴向力，当n o 取正时表示轴向压力，n o 取负 时表示轴向拉力，当0 = 0 时，相应地回到无初应力的状态。 由方程( 5 1 ) 与( 5 2 ) 可以得到： 肌窘= ( 以一o ) 害+ ( 附一以巧2 ，丽0 4 u + m f i z 嘉 ( 5 - 3 ) 方程( 5 3 ) 即为初应力作用下碳纳米管中纵向波的控制方程。与此相似的 拥有向彭r 凼亍丽0 4 u 与瓦a 虿4 u 的波的控制方程已经被从各个方面给予推导t 5 3 5 4 1 o 下来，我们将考虑初应力对纵向波的影响。其位移用复数形式表示如下： 甜：u e 。( 。h 一圳，( 5 4 ) 这里f = j ，u 表示振幅，k 表示波数，c o 表示圆频率。由此控制方程( 5 3 ) 变为： m ( 1 + q k 2 ) 缈2 = 点么( 1 + g 后2 ) 七2 一七2 ( 1 + 彳七2 ) ( 5 5 ) 通过求解方程( 5 5 ) 并注意到相速1 ，= 撕，可以最终得到纵波的相速表达 式为： v = k ( 5 6 ) 由方程( 5 6 ) 可以很容易看出，当初应力o 0 时，表示碳纳米管受 初始压应力，此时纵波并不一定总是存在，从方程中可以得到此时纵波能够存在 的先提条件为： 矾 等繁， 7 ， 对于纵波的群速度，由关系式k = d c a d k 可以得到其表达式如下： 中南人学硕+ 学位论文第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 v g2f 2 一七+ 婴g 关蝴：；1 ( 5 - 8 ) i 。1 + l ? k 2 胁2 ( 1 + g 七2 ) 一0 ( 1 + f 七2 ) j 。 7 5 3 初应力对碳纳米管中弹性弯曲波的影响 5 3 1 初应力作用下碳纳米管中弯曲波的控制方程 基于第二章的理论，我们已经知道非局部梯度混合型理论的应力应变关系 表示如下： 一砰争叫白一名鲁) ( 5 - 9 ) 本节重点研究一维情况下梁的模型，应用经典的欧拉贝努利梁，弹性梁 的位移场可以用( u 10 ，u 3 ) 表示，其中： “：一z a w ( x , t ) ，( 5 - 1 0 ) 2 一z _ ， u 3 = w ( x ，) ( 5 - 1 1 ) 对于经典的欧拉- 贝努利梁，可以合理地假设其应力状态为= 吃= = 0 ，当 i j 时。唯一不等于零的应力为o x t ，根据方程( 5 9 ) 可知它满足以下关系式： 一彳争= e 卜g 争) ， 这里e 为碳纳米管的弹性模量，又根据关系式= 锄。苏并且将方程( 5 - 1 0 ) 与 方程( 5 1 1 ) 代入到方程( 5 1 2 ) 中可以得到： 一砰争一f ，t , 塑a x ：一g 斜 对于有初应力作用下的碳纳米管微梁里的弹性波，其波的运动微分方程可以 表示如下 娑一o 窑+ g ：所宴， 1 4 ) ( 5 - 1 4 ) i 一。虿+ g2 所可， 这里矿和g 分别表示梁上所受的剪切力和横向分布荷载；对于梁上的剪切力 3 7 中南大学硕士学位论文第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 v ，它与截面弯矩m 可以用以下表达式联系起来： 丝一v ：0 ( 5 1 5 ) 这里横向弯矩m 可以用横截面上的轴向应力通过在截面上积分而得，其表达式 如下： m 2 上z 幽 ( 5 - 1 6 ) 结合方程( 5 1 3 ) 与方程( 5 1 6 ) ，可知通过对方程( 5 1 3 ) 两边同时积分可 以导出弯矩扰度的表达式如下： m 一譬m ”= - e i ( w 一2 矿) ， ( 5 1 7 ) 这里系数j 表示横截面的转动惯量，彤表示一维碳纳米管微梁的弯曲刚度。联 合方程( 5 1 4 ) ，( 5 1 5 ) 与方程( 5 1 7 ) ，可以得到用微梁扰度表示的弯矩表达式 如下： m = 彳( 掰萨a 2 w + 虬窘一g ) 日( 窘一蟹窘) ( 5 舶， 再次将方程( 5 - 1 8 ) 代入到方程( 5 1 5 ) ，可以得到用扰度表示的剪力表达 式如下： 吲- 啬+ 眠窘一卦e i l ( o 弘3 w 一唠) 限 将方程( 5 1 9 ) 回代到方程( 5 1 4 ) ，最终可以得到初应力条件下，碳纳米 管的波动控制方程如下： 研( 窘、1 i 2 虿a 6 w j + 所( 害一牢嘉) + n o n t , 影2 兰一乎) - g 一砰窘c 5 锄) 5 3 2 初应力作用下单壁碳纳米管中的弯曲弹性波 这一节，我们主要研究初应力作用下，单壁碳纳米管中的弯曲弹性波的传播 特性。为便于计算，这里可以令微梁的横向荷载q = o ，且在碳纳米管微梁上传 播的是简谐弹性波，其波的复数形式可以表示如下： w ( x ，t ) = u e h 卅， ( 5 2 1 ) 中南大学硕士学位论文 第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 这里江历，u 表示弹性波的振幅，k 表示弹性波的波数，缈表示弹性波的 圆频率。 将方程( 5 2 1 ) 代入到方程( 5 2 0 ) 可以得到弯曲弹性波的控制方程如下： m o ) 2 ( 1 + 1 7 k 2 ) + 0 七2 ( 1 + 彳七2 ) 一e 腩4 ( 1 + 譬七2 ) - - o , ( 5 2 2 ) 将弹性波的相速表达式，= d o k 代入，可以得到初应力作用下单壁碳纳米管中的 弯曲弹性波的相速的解析表达式： ( 5 2 3 ) 从方程( 5 2 3 ) 可以很容易看出，当初应力o 0 时，表示单 壁碳纳米管受初始压应力，此时弹性波并不一定总是存在，从方程中可以得到此 时弹性波能够存在的先提条件为： ( 5 2 5 ) 从上式可以看出，对于单壁碳纳米管，在初始压应力的条件下，弹性波只是在大 波数或者小波长的情况下才能在碳纳米米管中传播，对于波数小于截断波数的弹 性波，在单壁碳纳米管中不存在。弹性波存在的最小波数我们称为截断波数，它 是由碳纳米管的尺度因子，厶所决定的。 对于经典弹性梁理论，已知其弹性波的相速表达式为v = 七日砌，通过与 方程( 5 2 3 ) 对比可以得到两者间的关系式如下： ( 5 2 6 ) 中南大学硕士学位论文第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 在方程( 5 。2 6 ) 中，可以把代数式e ( 1 + q k 2 ) ( 1 + 砰七2 ) 看做等效的弹性模量，则 可以很明显看出，当尺度因子厶大于尺度因子厶时，等效弹性模量相对原弹性模 量，其值增大；而当尺度因子厶大于尺度因子厶时，等效弹性模量相对原弹性模 量，其值变小。如果尺度因子厶= ，等效弹性模量与原值相比并没有变化。对 于弹性波，其能量通过群速度来传播，对于群速度，可以通过公式v 。= d e o d k 求 得，由此可以得到单壁碳纳米管中的群速度表达式为： 2f 2 一- 与百+ ：e i k o + 2 q k ) - n o l ( k ( 5 2 7 ) l 卜甬十面i 十2 kj m l 十f l 州， 川 v v g = 2 。+ 弘1 + 篇等禽糯 p 2 8 ， 由上述方程可以看出，弯曲弹性波的相速度与群速度均与小尺度因子，l ，乞以及初 应力o 有关。 5 3 3 初应力作用下多壁碳纳米管中的弯曲弹性波 ( 5 2 0 ) ，可以得到多壁碳纳米管中弯曲弹性波的控制方程如下： e 1 协( 0 4 w 。i g 等卜( 争一彳急) + 氓。( 一彳等) = 胪彳争， 一g 等卜争一彳蓦) 十( 一彳) 3 。， 机州咖舯l 挚一争i 取 等一譬0 引6 w n l + ( 等一乍籍) + “。( 争一彳等一争以廿， ( 5 - 3 1 ) 这里下标j ( j = l ，2 ，力一1 ) 代表多壁碳纳米管的第_ ，层碳管，马( 川) 表示两相 邻碳管之间的作用力，即单位面积上由第( + 1 ) 碳管对第层碳管的范德华力引 起的法向压力，根据前几章分析可以它可以表示如下： 中南大学硕士学位论文 第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 p j ( j + 1 ) = 勺( + 1 ) ( w j + i 一) ，j = l ，2 ，刀一1 ， ( 5 3 2 ) 这里巳( 川) 表示层间范德华系数。 多壁碳纳米管中弯曲弹性波的复数形式如下 w j ( x ，f ) = 一* 圳，歹= 1 ，2 ，刀， ( 5 3 3 ) 这里为弹性波第层管的振幅，将方程( 5 - 3 2 ) 与方程( 5 3 3 ) 代入到弹性 波的控制方程( 5 2 9 ) ( 5 3 1 ) ，可以得到以下由弹性波频率和波数表示的控制 方程： 【q 七4 ( 1 + g 七2 ) 一( 强国2 + n o 。k 2 ) ( 1 + 砰七2 ) 】u - - c 1 2l + 1 ：k 2 ) ( 一u ) ， ( 5 3 4 ) 弘七4 ( 1 + 譬七2 ) 一( 彩2 + 0 七2 ) ( 1 + 乎七2 ) 】2 巳( 川) 1 1 + 砰) ( u 川) 一u )( 5 3 5 ) - q 朋( 1 + 彳七2 ) ( - u , 川) ) ， e i k 4 ( 1 + 学七2 ) 一( m c 0 2 + n o 。k 2 ) ( 1 + 砰七2 ) m = 一铀枷i + l ? k 2 ) ( 以一u 一( 5 - 3 6 ) 本节中，为简化计算，取双壁碳纳米管作为多壁碳纳米管的特殊研究对象， 来研究初应力与尺度效应对弯曲弹性波特性的影响，即相应地取力= 2 ，同时令 c 1 2 = c ，并且已知c o = v k ，则方程组( 5 3 4 ) ( 5 2 6 ) 可以表示成矩阵的形式如 下： 一等+与+型mll+幽l?k2)mlk一毒码 2 铂七2 一 一v：一丝+一e12k2(1+l；k2) m 2 k 2 聊。m 2 k m 2 ( 1 + 彳七2 ) 出工尬耀阡力任u j 以有出，赞1 殳倚u l 与u 2 刚甩牛仔仕，必伺系裂仃罗u 武刀u ， 由此可以得到特征方程如下： 笋睁卦如+ 珈百n o l + 守n 0 2 y 2 + 訾一蔫【丢k + 警1卜惫 丢k + 警1 】 m 碍2+ 砰七2。现2+ 砰七2 。 怛2 ) 2 币1 + l ；k 2 第蔫+ 剡 = o 3 8 ) 这是一个关于相速二次方1 ，2 的二次方程，通过求解此二次方程可以得到弯曲弹性 l，一_、 0 ， 咿 n ，l u 0 = 5、，j，k u 中南大学硕士学位论文第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 波的相速解。如果令两层碳管之间的范德华力消失，即原双壁碳纳米管等效为两 个独立的单壁碳纳米管时，可以得到两个独立的相速表达式如下： 吩2 ， j = 1 ，2 ， ( 5 - 3 9 ) 由方程( 5 3 9 ) 可以看出，此时得出的相速解和方程( 5 2 3 ) 中单壁碳纳米管中 弯曲波的相速解是完全一致的。另一方面，如果另双壁碳纳米管间的范德华力趋 向于无穷大，则上述关于v 2 的二次方程变为一个简单的线性方程，通过求解可以 得到唯一解为： vo e k 2 ( 1 + 磅七2 ) + 厶 l + t ? k 2+ 铂+ ( 5 - 4 0 ) 方程( 5 - 4 0 ) 清楚地表示，当范德华力趋向无穷大时，双壁碳纳米管可以 看做一个单壁碳纳米管，此时它的线密度为+ ，转动惯量为+ 厶，均为原 来两层碳管的线性相加。 对于一般情况下，双壁碳纳米管管层间的范德华力既不可能为0 ，也不会 趋向于无穷大，它的层间范德华力系数可以表示如下： c ：3 2 0 x 2 r x e i r g c m 一2 ：0 0 9 9 18 2 rt p a ，( 5 41 ) 0 1 6 d 这里d = o 1 4 2 n m 表示碳原子晶格间距离，r 表示碳纳米管内管的管径，由方程 ( 5 - 3 8 ) 可以得到弯曲弹性波的两个相速解为： v 1 2 ：【丝掣娑型】l ，z ， ( 5 4 2 v l 。2 【一j ， l ) ， m = 一警( 鲁+ 鲁) 一舌( 去+ 去 + n 嘲o _ _ l + 鲁x c 5 弼， ：蕊东翌警 销， 怛) 2 繁 糍盟m a m 2 + 裂 中南人学硕七学位论文第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 5 4 数值分析与结果讨论 本节通过对具体的单壁碳纳米管与双壁碳纳米管进行实例计算，以研究初应 力作用下的碳纳米管里的弹性波的传播特性。本章中，考虑我们讨论( 5 ，5 ) 的 扶手椅型单壁碳纳米管，其初应力取为0 ，其弹性模量为e = 1 t p a ，泊松比 i = o 2 8 ，其密度为p = 2 2 4 9 c m 3 ，管壁厚度f = 0 3 4 2 n m 。图5 1 显示了在此 单壁碳纳米管中，弹性波相速与经典弹性理论下的相速比值在不同的值下随无 量纲常数材的变化关系，这里7 o = n o e a ，d = o 1 4 2 n m 。为便于比较，接下来 的计算中，取尺度因子五= 0 3 d ，1 2 = o 2 d 。由方程( 5 2 3 ) 我们已经知道，当 单壁碳纳米管受初始拉应力时，弹性波在任何波数下都可以在碳纳米管中存在并 传播，相反当单壁碳纳米管受初始压应力时，弹性波在小波数的情况下并不能再 碳纳米管中传播。且初始拉应力与初始压应力对弹性波的这种影响在小波数的情 况下很明显，但随着波数的增加，这种影响逐渐减小。图5 1 中的曲线很好地反 映了这一现象，图中红线对应的是初始拉应力的情况，蓝线对应初始压应力的情 况，压应力情况下，蓝线在小波数时并不存在；这两条曲线最终在高波数情况下 汇成一条，反映了初应力对弹性波的影响在高波数时消失。 图5 1 初应力作用下单壁碳纳米管里 弹性波波速与经典理论下波速的比值 随无量纲系数k d 的变化关系 2 0 j ，囊 0 0 图5 2 初应力作用下双壁碳纳米管里 弹性波波速与经典理论下波速的比值 随无量纲系数k d 的变化关系 ( 乃= 0 1 ，乃取一0 1 ，0 和o 1 ) 中南大学硕士学位论文 第五章初应力作用下碳纳米管的波动性能研究 鹞 抽 j 图5 3 初应力作用下双壁碳纳米管里弹 性波波速与经典理论下波速的比值随无量 纲系数材的变化关系( 以= - 0 1 ，以取 一o 1 ，o 和o 1 ) 图5 - 4 初应力作用下双壁碳纳米管 里弹性波波速与经典理论下波速的比值随 无量纲系数朋的变化关系( 以= o 1 ，圪取 - 0 1 ，0 和0 1 ) 图5 - 5 初应力作用下双壁碳纳米管里弹性波波速与经典理论下波速的比值随 无量纲系数材的变化关系( 乃= - 0 1 ，y 2 取- 0 1 ，0 和0 1 ) 对于双壁碳纳米管，取其内层碳管半径为足= 0 3 5 n m ，外层碳管半径为 r 2 = 0 6 9 n m ，弹性模量e = 1 t p a ，密度p = 2 2 4 9 c m 3 ，层间距离为0 3 4 n m ，范 德华系数c = o 0 6 9 4 t p a 。图5 2 与图5 3 描述了在此双壁碳纳米管中，当= o 1 时，弹性波相速与经典弹性理论下的相速比值在不同的一值下随无量纲常数旃 的变化关系，这里1 ，。对应截面面积为4 + 4 ，惯性矩为+ 的碳纳米管中的弹