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具有脉冲的超线性d u i f f i n g 方程的周期解摘要 摘要 具有脉冲的微分方程是研究具有瞬时变化的动力系统的一个基本模型本文讨论 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的调和解及次调和解的存在性及多解性我们采用相平 面分析的方法，讨论脉冲方程的解在相平面上的性质把脉冲微分方程看成是有限个微 分方程和有限个由脉冲形成的跳跃映射的组合，在这样的观点下，脉冲方程的p o i n c a r 6 映射是有限个无脉冲方程的流和脉冲形成的跳跃映射的复合，然后通过这样的分解来 研究脉冲方程的p o i n c a r 映射弹性性质、保面积性质及扭转性质在适当的条件下证明 脉冲方程的p o i n c a r 6 映射是相平面上的保面积同胚，然后应用p o i n c a r d - b i r k h o f f 扭转定 理证明p o i n c a r 6 映射无穷多个不动点，从而证明在一定条件下带脉冲的超线性d u i ：f i n g 方程有无穷多个调和解和次调和解 关键词t脉冲；相平面分析；超线性d u f l i n g 方程；周期解；p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定 理 作者。唐磊清 指导教师t 钱定边 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解a b s t r a c t a b s t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss e r v ea sb a s i cm o d d st os t u d yt h ed y n a m i c so f p r o c e s s e st h a ta r es u b j e c tt os u d d e nc h a n g e si nt h e i rs t a t e s t h i st h e s i sd e a l sw i t h t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s ( h a r m o n i c sa n ds u b h a r m o n i c s ) o f t h es u p e r l i n e a rd u f f i n ge q u a t i o nw i t hi m p u l s i v ee f f e c t s t h ep h a s e - p l a n em e t h o di s u s e at oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r i e so fi m p u l s i v ed i f f e n t i a le q u a t i o n s w ec o n s i d e rt h e p o i n c a r 6m a po fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na sac o m p o s i t i o no fs o m ef l o w sa n d s o m ej u m pm a p p i n g sc a u s e db yi m p u l s e t h e n ，u n d e rs o m er e a s o n a b l ea s s u m p t i o n ，w e h a v ep r o v e dt h ep o i n c a r 6m a pi sat w i s ta r e a - p r e s e r v i n gh o m e o m o r p h i s m t h e r e f o r e ，w e c a no b t a i nt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo ff i x e dp o i n tf o rp o i n e a r 6m a pw h i c h i m p l i e s t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s ( h a r m o n i c sa n ds u b h a r m o n i c s ) o f t h es u p e r h n e a rd u f f i n ge q u a t i o nw i t hi m p u l s i v ee f f e c t s k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；p o i n c a r d - b i r k h o f ft w i s t t h e o r e m ；s u p e r l i n e a rd u f f i n ge q u a t i o n ；p h a s ep l a n ea n a l y s i s i i w r i t t e nb yt a n g - l e i q i n g s u p e r v i s e db yp r o f q i a n - d i n g b i a n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明t 所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个入和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名t 学位论文使用授权声明 沙、t o , 1 ) 苏州大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 杜科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阎和借图，可以公布( 包括讨登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名 导师签名t 浊磊霹 b 鼽型； 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解第一章引畜 1 1 课题的目的及意义 第一章引言 具有脉冲的微分方程是研究具有瞬时变化的动力系统的一个基本模型本文考虑 具有脉冲的二阶常微分方程 fa ，+ 9 ( z ) = p ( t ) ， t 7 k ； z = “( z ( 一) ，一( 一) ) ， ( 1 1 ) 【= 以0 ( 亿一) ，一( 一) ) k = 1 ，q ， 其中p 是连续周期函数( 设最小正周期为t ) ，g 连续且满足局部l i p s c h i t z 条件。 0 s t l 勺 正a z ( r k ) = z ( 住+ ) 一z ( 一) ，一( 住) = 一( + ) 一一( n 一) ， ， 连 续，是= 1 ，g 。 脉冲微分方程的周期解的研究可以在一定的泛函框架中进行如j n i e t o 用不动 点理论证明了一些一阶微分方程周期解的存在性( 【8 l ， 9 1 【1 0 】) y d o n g 用拓扑度研究 了一类二阶次线性方程的周期解的存在佳( 1 1 1 】) 最近，d q i 缸和x l i 把脉冲微分 方程的周期解归结为一类算子方程的不动点，并由此得到了个用拓扑度研究脉冲微 分方程周期解的比较一般的泛函框架( 【4 】) 以上文章考虑的只是周期解的存在性，而且是一些半线性和次线性的二阶微分方 程我们注意到对超线性的二阶微分方程，已有许多无穷多个周期解的存在性结果 如在丁同仁的专著【1 】中就给出当g ( 茗) 满足超线性条件 h m 掣：佃( 1 2 ) f x l _ o o z 时d u f f l n g 方程 + 9 ( z ) = p ( t )( 1 3 ) 有无限多个调和解( 2 丌周期) 及次调和解( 2 k t r 最小周期) 证明这类结果的主要工具是 p o i n c a r d - b i r k h o f f 扭转定理 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解 第一章引言 一个很自然的问题是：带脉冲的超线性d u f f i n g 方程是否有无穷多个周期解本 文将对此问题进行研究一个可能的途径是通过方程的p o i n c a r 6 映射转换为方程的相 平面上的同胚的无穷多个不动点的相应研究为此，我们首先给出脉冲微分方程的相 平面方法的一些基础讨论，然后在适当的条件下证明脉冲方程的p o i n c a r 6 映射是相平 面上的保面积同胚，再应用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理证明同胚的无穷多个不动点的 存在性从而证明在一定条件下带脉冲的超线性d u f f m g 方程有无穷多个周期解 1 2论文各部分的主要内容 第二章对一般的脉冲时刻固定的方程，我们给出解的定义，分析脉冲方程的解 与一般方程的解差异，得到解的一些性质 第三章先对一般的微分方程给出p o i n c a r 6 映射的定义，叙述了p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理，并举了个反例，说明其局限性我们把脉冲微分方程看成是有限个微分方 程和有限个跳跃映射的组合在这样的观点下，脉冲方程的p o i n c a r 6 映射是若干个映 射的复合通过这样的分解来研究脉冲方程的p o i n c a r 6 映射的弹性性质、保面积性质 及扭转性质 第四章对具有次线性脉冲的超线性d u f l i n 方程，用相平面分析的方法研究脉冲方 程解的性质，绘出脉冲方程的p o i n c a r 6 映射在极坐标下的形式，再应用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理得出调和解及次调和解的存在性与多解性 2 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解第二章 脉冲方程及其解的性质 第二章脉冲方程及其解的性质 2 1脉冲方程解的定义 这一节我们考察脉冲时刻固定的脉冲方程初值问题 j = f ( t ，“) ，t t k ； 1 = 厶( h 一) ) ，七= 1 ，q ， u ( t o + ) = u o ， 其中假设 ( i ) 设n c 舻是开集，：r q 一”在h ，+ 1 】n 上连续，且 t ，占。，( ，口) 2a ，i a i t o ，初值问题 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解u = ( 旬t o ， u o ) 在，所上存在且唯一 注2 1 注意到脉冲方程的解是左连续的，那么初值条件u ( t o + ) = l i m t 幻+ u ( t ) 是自然 的当t o 不是脉冲点时，在t o 的邻近就是一般的不带脉冲的微分方程，此时u ( t o + ) = t ( t o ) j 当t = t o 时发生脉冲，则初值u ( t o + ) 对应于解的右半侧区间，圆 注2 2 定理2 1 中解的存在唯一区间不能随意推广到t o 的左半侧区间即在上述条 件下，定理的结论对t o 的左半侧不一定成立比如，对解的唯性有如下的例子 定义跳跃映射 西七：q _ + n ，“h 缸+ 厶( “) 显然，当乱是恒同映射时，脉冲方程即为一般的方程 设“1 w 2 ，且垂k ( u 1 ) = 吼( 2 ) = 童，再设解a ( t ) ，如( t ) 分别由初值( t o ，豇1 ) ，( t o ，面2 ) 确定，且满足毋1 h ) = u 1 ，l h ) = u 2 ，则妒1 ( t ) 也( t ) ，t o 0 ) 的两个同心的圆周g 和g 围定的一个闭的环域。哇o 设 f ：a o _ a n 是一对一的连续变换，它对环域山的作用是扭转的，而且是保面积的则它在内至 少有两个不相同的不动点 注3 1 在定理的叙述中映射，的连续性似乎与坐标的的选择无关，事实上，应该在极 坐标的意义下连续我们下面将给出一个反例说明这一点 倒子3 1 考虑环域 4 0 ： 口2 z 2 + ! ，2 b 2 ， 其中常数6 o 0 则山的外边界和内边界分别是两个同心圆g 和岛取极坐标 霉= r c o s 0 ，! ，= s i n 0 ， ( z ，可) - 4 0 7 具有脉冲的超线性d u f i e f i n g 方程的周期解第三章脉冲方程的p o i n c a r d 映射 嘶，一掣窑葬 它在区间上是一个分段线性的间断函数，满足 巾) = 一三，一( = 虿7 1 州字) = 叩( 掣+ o ) = 一 注意，r = ! 笋是函数，( r ) 的唯一间断点，相应的跳量为 一( 字+ 0 ) 叫学) = 一斯 然而，c o s a ( r ) 和s i n a ( r ) 在区闯上是连续的 现在，利用直角坐标仁，咖和( ”，定义映射 g ：( 毛y ) 一“；山一山， 其中 = r c o s ( o + 口( r ) ) = x c 0 6 0 * ( r ) 一y s i n 口( r ) ， = r s i n ( 0 4 - 口( r ) ) = y s i n c r ( r ) 一x c 0 6 口( r ) 由此不难推出下面的结论t j 在环域山上映射g 对p ，y ) 是连续的 幺映射g 把g 顺时针转动，而把g 逆时针转动吾，因此，在山上映射是扭转 的 曼映射g 在山上也是保面积的 这样，映射g 满足上述的扭转定理的条件，但由的g 定义可见，对任何一点 ，可) a o ：z = r c o s o ，y = r s i n o ， 我们有 g ：( 耳y ) 一( ，) ， 8 6 一 h +一2 口一 r 一 一 r 6 一 0 ( 或 t o ， 若对任意r 0 ，存在r 0 0 ，当l r 0 时，就有 l 让( t ) i r t o t s t l 此时，我们称方程( 2 3 ) 的解具有弹性性质我们说过，如果垂i 1 ( 。o ) 0 ，则无脉冲方 程以，孟圣i 1 0 0 ) ) 为初值，在h 一1 ，吨】上的解( 如果存在的话) 就可以被认为是 脉冲方程以h ，叠) 为初值，在l k 的左侧解因此当脉冲项符合一定条件时，脉冲方 程的解也有相应的弹性性质 引理3 1 如果( 2 3 ) 的解有弹性性质，且脉冲项如( u ) 是次线性的，即 l u l i l 。m o o 瞥_ o 七z 阻l 。 那么( 2 1 ) 的解也有弹性性质 证明：我们在 o ，t i 上考虑解的弹性性质，不妨假定 t o 0 r l r 2 啊 t 勺+ 1 设u = 妒( t ；u 0 ) 是( 2 1 ) 的满足条件“( o ) = u o 的解，则妒( t ) 可写成分段函数 i 加( t ) ，t 1 0 ，n 】； “= 妒( t ) = k ( t ) ，t ( t k ，7 k + 1 1 ，= 1 ，2 ，q 一1 ； 【如( t ) ， t ( c q ，卅 则其中奴( t ) ( o k q ) 为无脉冲方程( 2 3 ) 的解，满足初值条件机( ) = 对，这里 t 砖2 f 当黔妒( t ) 2 ( ) + 厶( u ( 住) ) ， 七= 1 ，2 ，g 1 1 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解第三章脉冲方程的p o i n c a r 6 映射 因脉冲是次线性的，故对任取定一正数e 0 d 时，有 ( 1 一o ) i t i d q 时， i 妒( t ) l = ( t ) i 面t ( 勺，明 再在区间( 勺一1 ，吲上考虑，u = 妒( t ) 是方程( 2 3 ) 满足初值条件“一1 ) = u 二1 的解， 对 西= m a x d , 击) ， 存在d q 一1 ，当i i j q - - 1 i d e 一1 时， i 如一k t ) i 南，t ( 勺一1 ，勺】 因此在区间( 勺一l ，刁上，对v d l ，jd 口一1 0 ，当i “# 1 l d q 时， l ( t ) i d ，t ( 勺一1 ，刁 按照上面的步骤，我们可以将区间逐步扩充到【0 ，刀 当0 或t 为脉冲点时，类似可得证毕 注3 2 从上述证明中可看到，若 1 i m 删 0 ，存在r o 0 ， 当l z o i = i ( 知，y o ) i t 0 时，j p ( 匈) i r 1 2 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解第四章主要结果 4 1主要定理 第四章主要结果 现在考虑带脉冲的超线性d u f l i n g 方程( 1 1 ) ， f 一一y j 矿= - g ( z ) + p ( o ， 1 霉k = 厶( 。( 亿) ，暑，( ) ) 【鲰= 以p ( ) ，可( ) ) ， 这样我们的主要定理可以表述为， 我们可以改写成如下的等价形式 t 亿 定理4 1 设方程( 4 1 ) 满足超线性条件( 1 2 ) ，且对vk z ，满足 例脉冲是次线性的，即 糖。心静= o ； 砂跳跃映射 圣：( 2 ，口) 一红+ 磊p ，刃，警+ 五0 ，功) ( 4 1 ) 是r 2 到r 2 上的保面积同胚，如果厶( 为口) ，巩( 茁，y ) 在r 2 上具有偏导数，则 f a ( z + i k ) 曼垒型1 d e ti 稿五) 8 ( 髯磊) i - l ， l 瓦万。j 那么( 1 1 ) ( 或( 4 1 ) ) 有无限多个调和解z = z j ( t ) ，并且满足 ，1 i r a 。( 0 1 ，d u m n g 方程( 4 1 ) 有无限多的m 阶次 调和解z = ( t ) ，并且满足 j l 。i r a 。( o ( s u t 0 时，在区间h ， r t + 1 ) 上，( 4 1 ) 可以写成极坐标形式； 矿1i三1008钾p啷+p州(t)s啪in0(sin1 ( g ( r c o s o )c o s o ) t 住 ( 4 4 ) 1 矿= 一 2 口+ + p ( t ) )住 l 钏 这样。在区间慨，v k + 1 ) 上，满足初值条件强h ) = 砖= 喜，f ) 的解 魂( t ) = ( 茹女( t ) ，弧( t ) ) 可以写成极坐标形式 r = “( t ；r k ，氏) ，0 = 靠( 如强，o k ) ( = r k e o s ( o k ) ，砖= r s i n ( 0 k ) 于是可以由流西飞，毗。定义- 西n ，n + i ：嬉，们一( 瓤( “；叩) ，讥( + 1 ；f ，叩) ) 得到以，。定义， 以，豫+ l ：( r ，0 ) 一( r k ( r k - ；r , o ) ，以( 他+ z ；r ，p ) ) 其中f = r c o s o ，町= r s i n o 显然妃，q + 。是在极坐标( r ，0 ) 下连续的映射 下面我们考虑跳跃映射 吼：( z ，) 卜p + 厶( z ，可) ，暑，+ 以( z ，掣) )( z ，y ) = ( r c o s o ，r s i n o ) 的提升虱为了叙述简便，我们略去下标，设圣为某一个跳跃映射； 圣：0 ，们一0 + i ( x ，) ，+ j ( x ，们)0 ，z ，) = ( r c o s o ，r s i n o ) 其中j ，为对应的脉冲 我们希望在定义区域内把圣表示成在极坐标下连续的映射，也就是说，我们希望 确定统一的覆盖空间对一般情况的同胚来讨论比较复杂，但如果脉冲是次线性的， 郧 。神l i m 。旦坐生i 铲= 。， 则当h 充分大时 a l c c 0 8 潲 。，黼， 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解 第四章主要结果 因此在充分大时，垂( z ) 的极角口1 为： 口一哪( z ) ) a r c c o s 黼 其中 z = ( z ，y ) = ( r o p ，r s i n p ) ，2 = ( 玑一z ) 于是我们可以把垂的提升壬表示成如下的形式： 西： ，) 一0 + i ，y + ，) 毒：( r ，口) h ( r l ，e 1 ) 其中r l = i 圣( z ) i 从而墨在极坐标下连续。且有 e l - 咻； 这样以，n 。和击+ l 都连续，于是脉冲方程的p o i n c a r d 映射可以表达成极坐标的 形式： 尹：( r o ，o o ) 一( r p ；z o ) ，口( 霉硒) ) ， 且在极坐标下是连续的 4 3几个引理 为证明我们的结论，还需要下面几个引理设无脉冲影响的方程( 4 3 ) 的满足4 0 ) = 匈的解的极坐标形式为 r = f ( 如匈) ，p = d ( 句如) ；f ( o ) = r o ，方( 0 ) = e o 则我们有： 引理4 1 ( 1 1 ) 在相平面上存在充分大的圆盘玩，使方程( 4 3 ) 的轨线在圆盘外是顺时 针绕原点o 转动的 1 6 具有脉冲的超线性d u f f r i n g 方程的周期解第四章主要结果 弓i 理4 2 ( 【1 】) 给定正整数m ，对任意大的正整数，存在充分大的常数j k 0 ，使得 当l z o f 凡，时，有不等式 乳( 知) = 百( m t ；劫) 一d ( o ；z o ) 一2 7 r 注4 1 事实上，任意给定两个时刻t l ，t 2 ( t 1 扁v 时，使得 联z 1 ) ) = o ( t 2 ；z ( t 1 ) ) 一口( t 1 ；z c h ) ) 0 ，使得当 i z o l 扁v 时，有不等式 。( 硒) = o ( m t ；z o ) 一口( o ；z 0 ) - 2 n r 证明：为了叙述简单，不妨假设 r 0 50 7 1 r 2 勺 t = r q + l ， 当 7 o 0 7 1 。 勺 t r o 时，z ( 如细) 的轨线在圆盘外，于是 口( 礓；z 0 ) 一日( 仉一1 + ；z 0 ) 0 ，1 k q + 1 又由引理4 2 知，当凰足够大，可使得 n ( 句) = p ( q ；2 缸) 一口( o + ；z o ) 一2 ( + q + 1 ) 7 r ， 对于跳跃映射的提升饥，由定义可知 一i 7 1 a 0 k ；，( 七z ) 1 7 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解第四章主要结果 证毕 q + l口 a ( z o ) = p ( ；幻) 一口( 一l + ；知) 】+ a 0 k k = lk = 0 4 4定理的证明 p ( 以；硒) 一 一2 k l _ ，r ，i z o l = d 1 “5 ) 另一方面，由引理4 3 ，存在6 l a , 1 ，使得 其次，在环域 ( 劲) = 口( t ；z o ) 一p ( 0 ；z 0 ) 一2 k i l t ， 1 7 - 0 i = 6 1 ( 4 6 ) a 1 ：a 1 1 2js h 上考虑( 4 4 ) 的p o i n a r 映射 尹：( 7 0 ，0 0 ) - + ( r ( t ；) ，p ( t ；z o ) ) 1 8 + d 一 训畴 + + m 丌 p 1 具有脉冲的超线性d u f f r i n g 方程的周期解 第四章主要结果 从定理3 5 证明知，p o i n c a r 6 映射p 可分解成若干个映射的复合： p = 如，no 圣1o 钆，no 圣g o 纸，t ，当丁1 0 ； p 之0 0 ，亿。西2o 西您，码o 圣口o 抽，r o 雪1 ，当n = 0 而方程( 1 1 ) 对应的无脉冲方程( 1 3 ) ，对任意v ( t o ，x 0 ) r r 2 的初值问题的解均存 在，唯一且关于初值连续，又是双向完全的，而且( 1 3 ) 是保守的，因此，每个九a + 1 都是一个保面积的同胚又由条件( i i ) 可知， 笔等= 塑等产乩0 ( z ，掣)a ( ，暑，) 1 从而吼是r 2 到r 2 的保面积同胚这样复合映射p 也是r 2 到r 2 保面积同胚又由 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 知。尹在环域4 1 上是扭转的，且_ p 是具有弹性的，利用丁伟岳改进的扭转 定理f 3 】推出tp 在环域a 上至少存在两个几何不同的不动点 ( = ( 风，咖) a 10 = 1 ，2 ) ， 则6 满足 口( t ；( ) 一口( o ；q ) = - 2 k l ， = 1 ，2 这样，z = z ( 句6 ) ，g = 1 ，2 ) 就是方程( 1 1 ) 或( 4 1 ) 的t 周期解 依照上面的方法，我们可以构造无限多的环域 也：a j s 例b j ，j = 1 ，2 ， 使得( 4 1 ) 有无限多的周期解z = 勺( t ) ，而且它们的初值分别满足勺( o ) = 白山，这样 只要取a j + l b ，并且 1 i mb j = o o ， j 一 就可以保证这些解协( t ) ) 满足。 器i z l ( 2 ) | 。要雠) i 。蜓s u p t i z a ) l 卜) o r0 t d 显 然，存在素的正整数g l ，使得 i n f ( 硒) - - 2 硒7 r i z o i = 8 1 因此，我们有 。( 匈) = o ( m t ，劲) 一0 ( 0 ，却) 一2 q l l r ，l z o i = 口1 ( 4 7 ) 另一方面，由引理4 3 ，存在常数6 l 口1 ，使得 ( 勾) = o ( m t z o ) 一o ( o ，7 - 0 ) 一2 q l r ， i z o i = 6 1 ( 4 8 ) 然后，在环域 4 1 ：口l i g i 6 l 上考虑( 4 4 ) 的p o i n a r 6 映射m 次迭代 缈：( r o ，o o ) h ( r ( m t ；z o ) ，o ( m t ；绚) ) 映射尹m 同样是保面积的，且由( 4 8 ) ( 4 8 ) 得知它在a 上是扭转的因此，映射矿 至少有两个不动点 6 = ( 出，破) a 1g = 1 ，2 ) 它们满足 o ( m t ；6 ) 一日( o ；c ；i ) = 一2 k o r ，i = 1 ，2 显然z = z ( t ；( ；f ) ，( i = 1 ，2 ) 都是方程( 4 1 ) 的m t 周期解由于p ( t ；) 对t 0 ，m 邪 是单调递减的，所以周期解z = z ( t ；q ) 在m t 时间内顺时针绕原点转动的圈数等于q 1 下面要证：g = z ( 如) g = 1 ，2 ) 的最小周期是m t 具有脉冲的超线性d u 船n g 方程的周期解第四章主要结果 假设不然令z = z 豫：f ) 的最小周期为n t ( o 1 因此周期解：= = ( t ( ) 在m t 时间内将顺时针绕原点转动8 o 圈由此推出 9 1 = 8 炳，其中整数炳 1 和s 1 这与q a 是素整数的事实是矛盾的因此周期解 z = z ( 如6 ) 的最小周期是m t 定理余下的证明如定理4 1 推论4 1 若 ；收瞥 ，惫“ 则定理4 1 和定理4 2 的结论仍然成立 2 1 具有脉冲的超线性d u f f f i n g 方程的周期解参考文献 参考文献 | l | 1 丁同仁常微分方程定性方法的应用f m 】，北京：高等教育出版社 【2 】张芷芬，丁同仁等微分方程定性理论【硐，北京：科学出版社 【3 】丁伟岳扭转映射的不动点与常微分方程的周期解f j 】数学学报，1 9 8 2 ，第2 5 卷： 2 2 7 - 2 3 5 1 4 1q i a nd i n g b i a n ，l if d m y u p e r i o d i cs o l u t i o n si o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h s a l i n e a ri m p u l s i v ee # e a s j m a t h a n a l a p p l 2 0 0 5 ，3 0 3 ：2 8 8 - 3 0 3 【5 】q i a nd i n g b i a n p e r i o d i cs o l u t i o n so fl i g n a r de q u a t i o n s 埘饥s u p e r l i n e a ra s y m m e t r i c n o n l i n e a r i t i e s 【j 】n o n l i n e a ra n a l y s i st m a ，2 0 0 1 ，4 3 ：6 3 7 - 6 5 4 【6 】q i a nd i n g b i a n p e r i o d cs o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e re q u a t i o n sw i t ht i m ed e p e n d e n tp o - t e n t i a lv i at i m em 叩【j 】j m a t h a n a l a p p l 2 0 0 4 ，2 9 4 ：3 6 1 3 7 2 f _ 7 】b a i n o vd r u m i a n d ，s i m e o n o vp a v e l i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：p e r i o d i cg o - l u t i o n sa n da p p l i c a t i o n s m e s s e x ，e n g l a n d ：l o n g m a ns c i e n t i f i ca n dt e c h n i c a l ，1 9 9 3 8 n i e t oj u a nj 。b a s i ct h e o r yj 碲n d n r 己s d n 口比i m p u l s i v ep e r i o d i cp r d 6 k ” 吖f i r s to r - d e r j 1 j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，2 0 5 ：4 2 3 - 4 3 3 1 9 n i e t oj u a nj 。p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，d rf i r s t - o r d e ri m p u l s i v eo r