（固体力学专业论文）无网格—有限元耦合法研究及其断裂力学应用.pdf

摘要 无刚格伽辽金法( e f g m ) 是基于移动撮小二乘法的一种用来求解偏微分方 程非常有效的方法，在处理诸如高度大变形、裂纹动态扩展等有限元法( f e m ) 较难解决的问题时有其独特的优势，但是存在处理边界条件复杂，计算量大的不 足，将无网格法同有限元耦合可以解决这些缺点，极大的提高计算效率。 本文首先分析研究无网格方法、无网格同有限元耦合方法在国内外的发展 历史和现状，对e f g m 法进行了较为深入的研究，探讨了权函数中参数的选取 对e f g m 法精度的影响。针对最为常用的高斯型权函数，有效地引入个综合 控制因子反映权函数的紧支性，并经算例验证了控制因子的有效性。其次，深入 研究基于积分弱形式的e f g m - - f e m 耦合方法，详细推导了刚度方程，指出其 理论推导中的不足，并进行了修正。再次，基于广义埴元的概念，提出e f g m f e m 喜接耦合方法，该方法不需要构造过渡区形函数，也没有引入拉格朗日乘 于t 实现简单，计算量小，算例证明其可以很好的保证精度，具有较好的工程应 用前景。最后，将e f g m - - f e m 直接耦合方法同直接位移法结合计算了典型结 构的应力强度因子，并同手册解进行比较，证明了方法的有效性及正确性。 同时t 本文使用a p d l 语言编制了前处理程序，使用c + 十语言编制主体计 算程序，使用m a t l a b 进行后处理，并实现t - - 者之问的接口，程序通用性好， 训算功能强，为程序的软件化奠定了坚实的基础。 关键侧：无网格伽辽金法综合控制因子e f g m f e m 耦合e f g m f e m 直接耦合法直接位移法应力强度网子 a b s t r a c t e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g m ) i sae f f e c t i v em e t h o df o rs o l v i n gp a r t i a l d i f t i ! r e n t i a le q n a t i o n sw i t ht h eh e l po fs h a p ef u n c t i o n sc o m i n gf r o mm o v i n gi e a s t s q u a r e sa p p r o x i m a t i o ni ti sw e l l s u i t e dt op r o b l e m si n v o l v i n gl a r g ed e f o r m a t i o na n d c r a c kp r o p a g a t i o nc t co nw h i c hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) c a r ln o tb eu s e de a s i l y b u te f g mi sc o m p u t a f i o n a l l ye x p e n s i v ea n di ti sh a r dt oi m p o s et h ee s s e n t i a l b o u n d a r yc o n d i t i o n c o u p l i n gt h ee f g ma n df e mc a nf e t c hu pt h ed e f e c to fe f o m a n di m p r o v et i l ee f f i c i e n c yh i g h l y a tf i r s t ，e f g ma n dk i n d so fn r e t h o d su s e dt oc o u p l ee f g mm a df e ma r e s t u d i e di nt h i sp m ，t h eb a s i so fe f g m ，f o re x a m p l e ，w e i g h tf u n c t i o na n dp a r a m e t e r s i n v o l v i n g t h ep r e c i s i o no f t h e m e t h o da r es t u d i e d ac o e f f i c i e n t u s e d t oc o n t r o l t h er e l a t i v e w e i g h ta n dc o m p a c td o m a i ni sp r o p o s e dn u m e r i c a le x a m p t e ss h o wm e t h o d sw i t ht h ec o n t r o l l i n g c o e f f i c i e n tc a nc o m p u t ed i s p l a c e m e n tf i e l da c c u r a t e l ya n de f f e c t i v e l y t h e n s t u d ) o nt h e e f g m - f e mc o u p l i n gm e t h o db a s e do nt h ew e a kf o r m so fc o n t r o le q u a t i o n si s c a r r i e do u t t h em a t h e m a t i c a la n dp h y s i c a lm e a n i n g se f t h ec o u p l e dp a r ta r 。d i s c u s s e d t h e n ，a r o wm e t h o dn a m e de f g m - f e md i r e c tc o u p l i n gm e t h o dw h i c hi sb a s e do nt h ec o n c e p to f g e n e r a l i z e d 。l 。m e n ti sb r o u g h tf o r w a r d t h i sm e t h o dd o e sr i o t n e e dc o n s t r u c tac o m p l i c a t e d t r a n s i t i o ns h a p ef u n c t i o no ri n v o l v ea d d i t i o n a lc o m p u t a t i o n a lc o s tl i k em e t h o d sc o u p l i n ge f g m a n df e mw i t hl a g r a n g em u l t i p l i e rn u m e r i c a ls t u d i e ss h o wt h a tt h ec o u p l i n gm e t h o dc a r tg e tt h e d i s p l a c e m e n tf i e l dc o r r e c t l ya n de f f i c i e n t l yw h i c hp r o v e di t i sap o t e n t i a lm e t h o d a tl a s t 山e e f g m f e md i r e c tc o u p l i n gm e t h o di su s e do nt h es t r e s sj n t e n s l t yf a c t o ra n a l y s i so fc l a s s i c s t r u c t t i r ea n dt h ec o m p u t e dr e s u l t sa c o m p a r e dw i t ht h e o r yv a l u e sw h i c hp m v e dt h ed i r e c t c o u p l i n gm e t h o di sc o r r e c ta n de f f e c t i v e i i h ec + l a n g u a g ei su s e dt om a k eu pt h em a i n l yc o m p u t i n gp a r tw h i l ea p d ll a n g u a g ei s u s e dl nt h ep r e p r o c e s s i n gp a r ta n dm a t l a bi si nt h ep o s t p r o c e s s i n gp m t l h ec o n n e c t i n gb e t w e e n t h e s e t h r e ep a r t si sc a r r i e do a t t o oa l lo ft h o s ep r o g r a m m i n gw o r k se s t a b l i s h ab a s eo fa g e n e r a l i z e ds o f t k e yw o r d s ：e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d c o n t r o l l i n gc o e f f i c i e n t e f g m f e mc o u p l i n g e f g m f e md i r e c tc o u p l i n gm e t h o d d i r e c td i s p l a c e m e n tm e t h o ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o r 砸j e 丁二业大学学旺论文第一意鲭论 1 1 选题意义 第一章绪论 随着科学的进步，计算力学的发展面临着诲多难以处理的问题”，例如： ( 1 ) 高度大变形问题，如冲压成型；( 2 ) 动态裂纹扩展问题；( 3 ) 内外边界奇 异问题：( 4 ) 高速撞击引起的几伺畸变问题；( 5 ) 高振荡，陡梯度问题：( 6 ) 自 适应计算问题：( 7 ) 相变问题等。对于这些问题，传统的计算方法如有限元法、 有限差分法等都难于应付，其主要原因是网格的存在妨碍了处埋与原始网格线不 一致的不连续性和大变形。这些基于网格的计算方法，在处理随时间变化的不连 续性和大变形时，常用的是网格重构。然而，这样不仅计算费用较高且往往导或 计算精度严重受损。于是，无稠格法应运而生，吲于采用基于点的近似，网格可 以彻底或部分地消除，使得法种新方法具有较大的灵活性，在处墨常规方法不易 解决的问题时可以完全抛尹网格重构，从丽保证了计算精度， 存固体力学，特别是在断裂力学领域，无躅格伽辽金法b “5 1 ( e f o m ) 量为 流行。它是求解偏微分方程的种非常有效的方法。由于没有单元的连续性问题， 可吼在场函数梯度较大的区域方便的添加节点。这使得e f g m 方法比有限元方 法( f e 峋更加灵活。在求解含裂纹的问题时，可围绕裂尖分布任意密度的节点； 当裂纹长度变化时，无须重新分布所有的节点，只需改变在裂尖附近点的分布即 可。但是两点限制了e f o m 法的广泛应用。 一、参数选取方法不成熟。e f g m 法基于移动最小二乘法f m l s a ) 。在 用m l s a 获得节点形函数时，需要事先确定一系列的基函数和权函数f 而不是 像自限兀那样通过单元内插值得到形函数j ，在县体计算日t ，影响域的确定，权 幽数参数的确定等等都无成熟的方法，已有的确定影口目域半径和权函数参数的原 则适应性较差。 二、计算量较大。在使用m l s a 计算形函数时，同f e m 相比要多求一次逆。 同时，由于所使用的形函数并不满足严格的插值条件，( x ，) = 乱，要精确地求 堕! ! 三些查堂堂焦堡苎一兰二! ! 堕 解所得的线性方程组，需要使用高阶的高斯积分；处理边界条件时也比较复杂。 这些因素综合导致了完全使用e f g m 方法所需的计算费用较大，在处理实际的 丁程问题时柏很大的限制， e f g m 和f e m 相耦台( e f g m f e i v l 方法) 则白以很好的解决上述第二个问 题。即只在关心的局部区域使用e f g m 方法，而在其它区域使用f e m 法。这种 耦合可以极大地减少计算时问，简化边界条件的处理，充分利用f e m 和e f g m 二者的长处，具有更大的工程应用潜力。 总结以e 论述可以看出，由于e f g m f e m 方法在解决不连续问题时所具有 的独特优势，使之在疲劳断裂问题的分析研究方面，前景远大，这也是本选题的 意义所在。 1 2 文献综述 1 2 1 无网格方法的研究历史及现状 无网格法最早发展于七十年代末，l u c ye 7 引入一种粒子方法称为光滑粒子 动力学，简称s p h ，用来模拟天文物理现象。g i n g o l d 和m o n a g h a n 使用畦种 方法处理无边界的旋转星体和云团。l i b e r s k y 和p e t s c h e k 。：悔该种方法扩展于固 体力学领域。s w e g l e 等人1 发现了s p h 方法不稳定的现象并给出一种解决方 案。j o n h s o n 和b e i s s e ll 1 1 1 等人提出了 些改善戍变计算的方法；a t t a w a ye ta l c ”1 通过一种接触算法将s p h 方法和有限元耦合起来。 无网格法的另一分支起源于n a y r o l e s 等”提出的离散单元法，简称d e m ， 该方法任用基函数和权函数来构造基于节点的局部近似函数，即基于当l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 提出的移动最小= 乘近似，简称m l s a 方法 6 1 。b e l y t s c h k o 等 3 1 将 d e m 进行r 发展，提出了无网格伽辽金法，简称e f g m ，该方法被证明是解决 断裂和裂纹扩展等问题的一种非常有效的方法1 4 , 5 1 。l i u 等人”提出了基于核函 数的再生核质点法。核函数的形式与s p h 的核函数相似，但包含了一修正函数， 西北工业大学学位论文 第一章绪论 用来增强协调性。b e l y t s e h k o 等证明了修正的核函数近似同最小二乘近似一致。 第三种无网格法的思想基于单位分解法。这些方法包括h p 一云团法邮1 和有限 单元的单位分解法( p u f e m ) 舻】。在h p 云团法中，构造了种基于m l s a 的 单位分解方法。m e l e n k 和b a b u s k a 对该法进行了进一步的增强。其他无网格方 法还有胞质点法( p i c ) 1 7 1 ，一般有限差分法“，有限点法 1 9 1 ，自然单兀祛 2 0 1 ， 小波伽辽金法1 2 ”等。 国内对无网格方法的研究始于2 0 世纪9 0 年代。1 9 9 5 年，清华大学的周维垣 教授对无网格方法的基本理论进行了比较全面的阐述，并首次将无网格方法应用 于岩土工程力学问题中。 清华大学工程力学系的陆明万和张雄 2 22 3 , 2 4 1 等于1 9 9 6 年丌始研究无网格方 法，受国家自然科学基金资助，取得了许多研究成果；( 1 ) 以紧支函数作为试函 数，以加权残最法为离散方法，建立了紧支试函数加权残量法及最小一乘配点型 无网格方法，并在此基础上建立了加权最d - - 乘无网格方法。( 2 ) 建立了基于子 域法的无网格方法，控制方程的残差在每个子域内予以消除( 3 ) 将其建立的无 网格法应用于求觯弹塑性问题、波动传播问题、对流一扩散方程等问题中，显示 了无网格法在求解某些特殊问题中的优势。 刘欣、朱德懋2 6 1 提出了求解节点影响域的四象限法则，并对边界奇异性半 解析无网格方法进行了初步探讨。 周瑞忠、周小平等研究了无网格方法的权函数问题，提出了求解权函数影 响域半径的自适应方法，算例表明采用该方法在处理非均匀离散时有一定的优 势。 庞作会等人”o 在1 9 9 9 年第一次详细的介绍了无网格伽j 辽金法。庞作会 1 在后续工作中又提出一种处理集中力边界的方法，通过一个d i r a c 函数将集中 力转换为分布力。 目前已有的主要无网格法小结如下： 西北工业大学学位论文 第一章绪论 名称代表学者近似方案离散方案背景网格 光滑质点流体动土 l u c y t桩函数近似 配点泣无 学方法( s p h ) 移动最小二荠 离射单元法( d e m n a y r d e sg a l e r k i a 法有 近似 无网格伽辽金堙1 移动最小二乔 b e l y t s c h k og a l e r k i n 法有 f e f g m ) 一 近似 无网格局部伽辽盆移动最小二荠p e t r o v - g a l e r k i r a t h t r i 无 法( m l p g i v l ) 近似法 移动最小i 荠 有限点法( f p m l o n a t e 配点法无 近似 再生核质点摧 “u 核重构近似g a l e r k i r t 方法有 ( r k p m ) 无网格配点涅 a l u r u 重构核近似配点法无 ( p c m ) h p云团湛移动最小二拜 o d e n g a l e r k i n 方法有 ( h p - c l o u d s ) 近似 单位分解法( p u m ) b a b u s k a 单位分解近似 g a l e r k i n 方法 有 紧支径向基丽数禹 紧支径向基西 张雄等配点法无 网格法数近似 表l 1 无嘲格法小结 1 2 ，2 耦合方法的研究现状 由于e f g m 中通过最 1 - - 乘法得到形函数，f e m 中通i 二：单元节点插值得到 形函数，所以一般情况下，在二者的边界上，节点的位移并不匹配。e f g m 和 f e m 结合时需要考虑二者的交界如何处理的问题。近些年来，国际上主要发展 了三种方法”“1 ：一是出i t e g e n 提出的，当节点的影响域和有限元中的单元一 致时，由移动最小：乘法得出的形函数与有限元中的形函数相同，h e g e n 将与 西北工业大学学位论文 薰一章鳍论 f e m 区域相邻的点的影响域耿为有限元单元，称为虚毕元，这些虚单元同f e m 区的单元是相容的；二是同样由h e g e n 提出的，根据变分原理，引用拉格朗日 乘子，使用拉格朗日插值处理f e m 区同e f g m 区的耦合边界；三是由b c l y t s c k k o 和o r g a n 提出的，他们在交界区域引入一种过渡单元。这种过渡单元的形函数是 由f e m 和e f g m 的形函数共同组成的，且具有线性的连续性。第一种方法实现 起来最为方便，但却由于e f g m 区与f e m 区相邻的节点的影响域须取为有限元 单元，影响域半径较小，由此得出的形函数及其导数出现较大振荡，给数值积分 带来较大困难，降低了解的精确度。第二种方法f e m 区域同e f g m 区域的计算 独立进行，编制程序较为方便，经证明电可得到较好的结果，但由于额外引入了 拉格朗日乘子，增加了计算量。第三种方法引入过渡区域，在理论上保证了两个 区域的形函数在公芪边界上连续，但在计算前须确定过渡区的大小，构造过渡区 域形函数( 一般情况下，该函数形式较为复杂) ，给计算带来较大不便。 1 3 本文主要研究工作及创新点 本文的主要工作主要体现在阻下几个方面： 一e f g m 的基本原理的研究 1 研究e f g m 法的基础，m l s a 方法，探讨基函数，权函数，影响域大小 等对计算精度的影响，研究了影响域内节点数对m l s a 方法拟合精度的影响： 2 研究e f g m 方法的基函数、权函数、影响域的确定方法，根据矩阵可逆 条件，找到适应f 生较好的参数选取方案。提出能够反映权函数紧支性的综合控制 因子，并经算例验证了控制园子的有效性： 二e f g m 与f e m 耦合方法研究 1 深入研究了已有的e f g m 与f e m 耦合的各种方法，探讨这些方法的长 处和不足； 2 对基于积分弱形式的耦合方法进行了详细推导，明确了耦合区域部分的 数学、物理意义，发展了一种基于广义单元概念的e f g m 司f e m 耦合的新方 法。 三e f g m - - f e m 法在断裂力学中的应用研究 l 研究如何使用e f g m - - f e m 法处理不连续问题、采用可视性准则确定节 西北工业大学学位论文 第一章绪论 点的影响域； 2 运用直接位移法求解典型结构裂尖的应力强度园子。 四e f g m f e m 法计算程序的编制 l 使用c 一+ 语言自行编制了具有较好通用性的e f g m f e m 程序； 2 编制了初步的前处理，后处理程序，为程序的进一步完善奠定了基础。 本文的创新点主要体现在以下两个方面： 1提出了能够反映权函数紧支性的综合控制因子，卢：! t c 2 发展丁一种e f q m 同f e m 的耦合新方法一直接耦合法。 1 4 章节简介 第一章绪论。对无网格方法的起源及发展历史，现阶段的主流方法进行了 概述，对无网格法的长处和不足进行分析，指出了研究e f g m 同f e m 祸合方法 的重要意义。 第二章基础理论介绍及研究。详细介绍了移动最小二乘法( m l s a ) ，e f g m 方法刚度方程的推导现有龄e f g m - - f e n 耦合方法以及计算廖力强度匿子必 需的理论。并研究了影响域内节点数对m l s a 方法拟合精度的影响。 第三章基于积分弱形式的无网格一有限元耦合方法研究。指出了基于本构 方程积分弱形式的耦台方法在理论推导中的不足，对其进行了修正，详细推导了 刚度方程，并使用一次，= 次和不连续算例验证了方法的正确性。 第四章无网格一有限元直接耦合方法。基于广义单元的概念提出一种新的 耦台方法，e f g m - - f e m 直接耦合法，使用具体算例验证了其在耦合边界上的连 续性，证明新方法能够很好的保证精度，且实现简单计算量小。 第五章e f g mf e m 宜接耦合方法在断裂力学中的应用。将直接耦合力法 应用于断裂力学领域，同直接位移法相结合，求解了典型结构的应力强度因子并 同手册解进行比较，证明了方法的正确性。 西北工业大学学位论文 第二章无阐格伽辽金法 第二章基础理论介绍及研究 2 1 移动最小二乘法 移动最小二乘法，又称移动最小二乘近似( m o v i n gl e a s ts q u a r e a p p r s x i m a t i o n ，简称m l s a ) ，最早由l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 提出，主要进行 数据拟台：n a y r o l e s 等人对其进行了发展，把它用于散射单元法，晶后 b e l y t s c h k o 将其用于更具应用6 u 景的e f g m 方法中。可以说m l s a 方法是e f g m 法 的基础，它的一些性质以及参数的确定对e f g m 法有着重要的影响。 移动最小二乘法使用空间n 上已知的一系列点“k 。来拟合该空间上未知 的函数“，近似的表示为； “( x ) = p ，( j ) 口，( x ) = p 7 ( x ) ( x ) ( 2 1 1 ) j = l 式中“5 ( x ) 表示函数“( z ) 的近似值，p ，( x ) 称为基函数，m 为基函数中的项数， 口( x ) 为相应的系数，它是空间坐标x 的函数，与般的最小二乘法的区别在于 参数a ( x ) 也是z 的函数，体现了移动的概念。对二维域来说，常用的基函数有 线形基p 7 0 ) = 1 ，x ，川 平方基p o ) = 1 ，x ，y ，j 2 x y ，y2 式( 2 1 1 ) 中的系数矩阵口( x ) 可通过使得范数，0 ) = ( p a i ) 7 w ( x ) ( p a i ) 取极小值得到，、即使得对函数的局部近似误差最小，其中 p 憷 p 2 ( x 1 ) p 2 ( x 2 ) p + ( x 1 ) p 。( x 2 ) p 2 ( x 。) 只。( z 。) 由掣：o 得到 o a ( x ) a ( x ) = a “( x ) 母( x ) _ o o w o 一恐) 0 一 m 2 0 积一) j q 吨 ： 1 o o 一 = 西北工业大学学位论文 第= 章无习格抽辽盘法 其中一( x ) = p 7 w ( x ) e ，b ( x ) = p 7 w ( x ) 可见，在求解“( x ) 的过程中引入了一个权函数矩阵。权函数w ( x x ，) ， i = 1 , 2 h 用来控制点x ，对点x 影响的大小，t ，i = 1 , 2 n 组成了的影响域。 w ( x x ) 的数学意义对其性质提出了一定的要求，稍后对其进行详细的讨论。 将( 2 1 2 ) 带入( 2 1 1 ) 中得到 “( z ) = j 口7 ( 曲4 一( x ) b ( x ) 订= 中0 ) 订 ( 2 1 3 ) 其中中( x ) ；p ( x ) 一。1 ( x ) b ( x ) = 仍，p 2 ，n 称为由移动最小二乘法得到的 形函数，其对空间变量的导数为 中。”二p ：# 一a ：；：；：p ，。x ) a 一。，b 。，+ p ，。：，爿一，。，b 。，c 。t ， = 1 ( z ) 。叫( ) 口( j ) +。(叫( x ) ，b ( x ) +。( z ) 爿_ ( z ) b ( z ) ， 式中一_ 1 ( 引。= 一a “( x ) 爿( 引，a - 1 ( x ) ，代表空间变量z 。 2 1 1 基函数的选择 常用的基函数主要是多项式基函数，如一次基，二次基等。多项式基函数 有计算简便，适应性强的特点。实际上，由泰勒展开知，绝大多数函数都存在泰 勒展开式，这是多项式基能够较好的逼近各种函数的理论基础。 由( 2 13 ) 、( 2l4 ) 式看出，t u l s a 拟合得到的近似解“6 ( z ) 及形函数曲( x ) 的 连续性与基函数p 7 ( x ) 和权函数w ( x ) 的连续性有关，如果基函数在域内有t 阶连 续导数，权函数有z 阶连续导数，则“( x ) 和中( j ) 有m i n ( k ，f ) 阶连续导数。所以 在选取基函数时，要考虑待解问题的连续牲要求，例如，使用e f g ! r i 方法求解位 移场时，要得到连续的位移场，采用一次基即可，但要得到连续的应力场，至少 须取二次基。在固体力学领域，基本的平衡方程中对空间坐标的导数不超过两次， 多数情形下二次基都可满足要求。 西北工业大学学位论兜 第二苹无网格御辽金法 2 1 2 权函数的选择 由i l s a 法的推导过程可阻看出，影响拟台局部性的有两个因素，一足权函 数本身的性质，二是影响域的大小。一般情况下，影响域的确定与权函数的确定 是相结合的。权函数应遵循以下原则来选取： ( 1 ) 权函数在求解域内非负； ( 2 ) 在x 的近处大远处小； ( 3 ) 同基函数其同保汪矩阵a ( x ) 可逆。 要求( 1 ) 较易满足，要求( 2 ) 决定了权函数应是x ，x ，之间距离d 的函数， 即w ( xz ) = ( d ) ，其中d 爿fx x ，j 为两点之间的距离。为了方便讨论权函数关 于变量x 的导数是否存在，将w 。o ) 写为( x ) = w ，( d2 ) ，且假设w ，( d2 ) 关于d 的 m 阶导数连续。w 。( d 2 ) 关于z 的导数为如下形式： 豢= 2 k d2 “等掣o x = 2 m 一2 “篓o d ( 21 5 ) m 砌 ( x x 。) d 在z 趋于置时极限不存在，因此只有在k 1 2 时上面的导数才存在。 m ( d “) 关于z 的二阶导数为： 挚瑙眺- 2 ) ( 一等删2 “箕o t , t 撇2 2 警。 。 ( 2 16 ) 可以看出，二阶导数存在要求k h 。通过求解w ( d2 2 ) 对x 的h 阶导数，总 结出如下规律： ( l ) 如果t 为正整数，则权函数对x 的m 阶导数存在： ( 2 ) 如果k 非整数，但k n 2 则权函数对x 的”阶导数存在。 k 的确定与所求解的微分方程中对x 求导的最高次数有关。在满足以上宏观 上的要求后，权函数的选择有一定的任意性。常用的权函数有高斯型权函数，圆 锥形权函数，样条函数等，下面对这些权函数进行简单的介绍。 高斯型权函数的形式为 西北工业大学学位论史 第二章无阿橹佃j i 金法 w ( d ，) = 一( 生) “一f 立) z t g 。 一g o l 一。一t 分 o ，d ， d 。 式中d ，是x 与x ，的距离，d ，= 忙一z 棚：d 。是x 的影响域半径；# 是控制权 函数相对权重的参数，= 1 时高斯型权函数的形状如图2 1 所示。 l2 1 0 8 口0 6 吧 圣o 4 0 2 0 - o2 + 高靳型较函数 t 、 、k 。 05 11 5 圉2 1 高斯型权函数的彤状 圆锥型权函数的形式为 w 一= p 7 2 ；乏 亿 式中d 。是x 与x ，的距离，d ，= 【i x - x ，d 。，是节点，的影响域半径；当i = l 时 圆锥型权函数的形状如图2 2 所示。 i 2 1 0 ：8 口 o o g 鲁 0 4 0 2 o 0 123456 d i 图2 2 圆锥型权函数的形状 西北工业大学学位论文 第二章无罔格伽辽金法 三次样条权函数的形式为 f2 3 4 孑2 + 盯3 孑i 2 w ( 孑) = 4 3 4 d + 4 d2 4 2 3 31 2 l 式中孑= 训，d = l i x - x ，其中d 一是节点影响域的半径。三次样条权函数 的形状如图2 3 所示。 o 8 o 7 0 6 一o 5 3 0 4 0 3 o 。2 0 1 0 0o 20 40 60 1 311 2 d i 图2 3 三次样条权函数的形状 2 1 3 影响域的确定 影响域的确定对m l s a 的计算精度有很大影响，如果影响域取得太大，局部 近似就很不明显，计算精度下降；如果影响域取得太小，又很容易导致n ( x ) 不 可逆或者形函数的导数在节点附近有较大波动，不利于e f g m 法中刚度方程的积 分计算 。理论上影响域司以为任意形状，常用的有圆形域和矩形域两种。2i 2 节中介绍的权函数的影响域都为圆形域，需要先确定影响域半径d 。且权函数只 与计算点距节点的广义距离| | z x 川有关。文献 3 5 提出一种矩形的影响域： w ( x x ，) = w ( ) “r ，) 其中。= 掣旷掣川删分别为计算点x 方同和y 方向的影响域 半径。采用矩形影响域的优点是可以将积分网格同计算点的影响域方便的联系起 西北工业大学学位论立 第二章无网格伽辽金怯 来，有利于提高积分的精度，但也存在实现复杂的缺点，本文采用圆形域c 具体的计算影响域的方法有如下几种： ( 1 ) 四象限法则 四象限法则是一种求解计算点影响域比较好的方法，方便而实用，刘于不增 加计算时间而保证计算精度是很重要的。该方法由刘欣、朱德懋，陆明万“等 人提出。其基本思想是： 1 ) 总节点数n 循环； 2 ) 对每个节点，以此节点为原点建立局部坐标系，确定吾象限与该点距离 最近的点，其自动计算得到的四个象限内的距离分别为h ，1 ，h h 。确 定 ，= m a x h 。h h m h ，。) 。为保证求解能正常进行，当采用线性基时，要求节 点影响域内至少包含不成一线的三个节点；当采用二次基时，要求节点影响域内 至少包含不成一线的六个节点； 3 ) 循环结束： 4 ) 每个h ，乘以一个系数a 。，节点的影响域半径d 。= 口。 ，一般取 口。= 1 2 1 , 5 。 通过对比任一节点i 和计算点9 之间的距离d 。与该节点影响域半径比的 大小，来确定该节点是否属于计算点的影响域。该方法在处理节点密度变化较大 的区域会出现“舍近求远”的现象问题。 ( 2 ) 多参数法 引入描述特征长度的参数c ，和影响域半径放大因子d 。计算点的影响域 半径定义为d 。；d 。c ，。特征长度。，须保证影响域内的点可以确保( 2 1 _ 2 j 式中 的矩阵a ( x ) 在计算点处可逆。该种方法引入较多的参数，增加了方法的灵活性， 但实现起来较为复杂，如d 的取法，c 。的取法无一定的确定规则等。在进行计 算时，需先得到计算点的影响域半径，然后根据计算点距邻近节点的距离确定节 点对该计算点是否有影响。 西北工业大学学位论义 第二章无别格曲口辽盎法 ( 3 ) 自适应方法 所谓自适应影响域半径，就是夺求解某一高斯点j d 的影响域半径时，人为指 定其影响域内应包含一定数量的节点q ，然后将尸与q 之间的最大距离作为铀 点p 的影响域半径。在文献：2 7 中根据经验建议计算采用线性基、二次基和三次 基时，节点影响城内的节点数分别为1 5 、2 5 和3 0 。使用出节点数确定的自适应 影响域半径，对于节点分布的疏密随意性或局部加密都具有较强的适应能力，且 取得了较好的计算结果。 与前两种方法相比，自适应方法实现起来较为简单，但根据经验得到的影响 域内的节点数无理论依据，在很多情况下计算结果并不理想。实际上，节点的密 度，分布形式，权函数的形式对影响域内应取的节点数都有所影响，本文通过对 a ( x ) 可逆性的分析，给出了影响域内的合适点数。 2 1 4m l s a 的两个特点 ( 1 ) 基函数中的任何函数都可以通过m l s a 方法近似再生。 考虑某个函数”( x ) = 口，p i ( x ) ，取只o ) 作为基函数，采用m l s a 进行拟台， 令日( x ) = 口，则j 。0 取得最小值，近似函数 “( x ) = p 。( x ) d ，( x ) = a ，p 。( x ) = ”( z ) 具体推导以多项式基为例，即采用多项式基时可以重生多项式函数。设“( x ) 为域n 内的真实函数，“6 ( x ) 为由移动最小二乘法得到得近似函数， “0 ) = p 7 ( z ) “扛) ，其中p ( x ) 为脚阶的多项式基。如果“) 为小于或者等于州阶 的多项式函数，则“5 ( x ) = “( 。 拟合节点的函数值“，= p r x ，) 卢，p o ( ) 的阶数为，f m 。则p ( x ) 7 可写为： p ( x ) = ( p o r ( z ) ，z ，x 4 ) ；“( z ) 表达式中的口( z ) 是通过对加权余量 r = w ( x - x ，) ( p7 ( x ，) “( x ) 一“，) 2 求最小值得到，很明显当d ( z ) 7 = ( 卢7 0 ，o ) 西北工业大学学位它文 第二章无网格伽辽金法 时，显取得晟小值零。于是 “( x ) = p j ( x ) 7 = p ( x ) 7 口 ( 2 1 1 0 ) ：p d( 2 1 1 1 ) “( x ) = p r ( z ) 一1 ( z ) 占( x ) 吾= p 7 ( x ) 4 ( x ) b ( x ) p a = p r ( x ) 爿1 ( x ) p 7 w ( x ) p a = p r ( z ) 爿一1 ( z ) a ( z 扣= p7 ( x 净= “0 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 ) 不具备插值函数的性质，近似函数不通过节点变量，即，0 ，) j ” 这个特点使得基于m l s a 的无网格方法在引入基本边界条件时比较困难。 2 1 5 矩阵a ( x ) 的可逆性 m l s a 能否很好的定义，即能不能得到形函数取决于求解系数a ( x ) 时，矩阵 a ( x ) 是否可逆。可以从爿( x ) 的构成来讨论影响4 0 ) 可逆性的因素及解决办法， 由式( 2 1 2 ) ，有 a ( x ) = p 。w ( x ) e 可以看出，a ( x 1 是否可逆，与基函数矩阵p ，权函数矩阵有关。文献 3 4 指出了a ( x 1 可逆的两个必要条件：基函数矩阵p 的秩为基函数的项数m ；影响 域内至少有m 个点，使权函数矩阵中有m 项不为零。 2 1 6 函数逼近问题的研究 如前所述，7 m l s a 方法是e f g m 法的基础，它的性质及参数对e f g m 法有着重 要的影响。为此，本节就此问题进行深入研究讨论了影响域内廿点数对拟合精 度的影响。 采用高斯型权函数白适应法获得计算点影响域半径d 。，令权函数中另 参数c = o 2 d 。 取简单算例分析，将函数，( x ) = s i a ( x ) 在区间 0 ，2 口 内离散为均匀的1 1 个 西北工业大学学位论文 第二章无刚格伽辽盘法 节点( 间距为z 5 ) ，使用m l s a 方法，二次基对该函数进行逼近。图2 4 给出影 响域内节点数不同( 分别为5 、8 、9 、1 0 ) 时的计算误差。 100 0 0 60 0 0 * 4 0 。o 2 0 图2 4m l s 拟台s i n ( x ) 时的误差 由图2 4 可以看出阻下四点： ( 1 ) 除拟合区间的始点及终点外，在其余区域，m l s a 方法可以达到较高的 精度。 ( 2 ) 在保证a ( x ) 可逆的情况下，m l s a 方法拟合的精度随影响域内节点数的 增加而降低。这是因为采用自适应法确定计算点得影响域时，影响域半径随着影 响域内节点数地增加而增加，导致拟合的局部性下降，精度下降。 ( 3 ) 在拟合的起点和终点，拟合精度急剧f 降。该处影响域内的节点只能 处于计算点的一侧，实际上降低了拟台的局部性，导致精度下降。 ( 4 ) 在影响域较小的情况下，在拟合节点处m l s a 方法与s i n ( x ) 的雨数值( 图 24 中误差接近零的点) 相似，即得到的形函数通过进行拟合的节点。但当影响 域增大时，此种性质消失。 2 2e f g m 方法 考虑弹性力学问题中的二维边值问题 西北工业大学学位论文 第二章乇恻格伽辽盒法 v2 “一，= 0 在域v 内 d n = t 在边界r 。上 在边界r 上 式中“) 为待求的场函数，为不含“的己知项，酉为在边界l 上已知的“ 值，, 为外法线，f 为在边界r r 上已知t 的值。目标是寻找满足基本方程和边界 条件的解u ( x ) 。 在u ( x ) 满足位移边界条件的前提下，方程( 22 1 ) 的伽辽金积分等效形式为 ( 出) 7 ( v f + 6 ) m 一( 国) 7 沁 n - - i ) d r = 0 ( 2 2 2 ) 将( 2 2 2 ) 式展开如下： ( 踟) 7 v g d u 2 + ( 血) 7 6 地一( 孤) 7 口。h d f + ( 出) 7 i d f = 0 ( 2 2 3 ) 将( 2 2 3 ) 式中的第一项进行分部积分，并考虑到试函数满足位移边界条 件，于是可得 小刚7 施i 麓：僚篡 眨z 。， = ( 西1 ) 7 仃一d r 一【d ( v “) 7 仃曲 将( 2 2 4 ) 式代入( 2 2 3 ) 式中司得 f ( 赢) 7 口”盯一占( v ”) 7 a d c a + ( 面) 7 自抽( 国) ”口”a t + f ( 执) 7 i 盯= o ( 2 25 ) 即 ，一j ( 甲“) 7a 锄+ ( 血) 。6 m + f ( 血) 7 f 汀= 。 ( 2 2 - 于是可以构造出弹性力学二维边值闽题的自然变分原理： = 【去j m 一【“7 6 趣一【“7 i 盯 ( 2 2 7 ) 如 n f 当“( z ) 不满足位移边界条件时，通过拉格朗日乘子法将位移边界条件引入， 可以构造出约束变分原理的能量泛函： h k 2 2 2 佗 但 心 西北工业大学学位论文 第二章无网格伽辽盒法 兀+ = f i ( “一玎) 订 上式中 ； 三f r 口d e 2 一 7 6 抛 p f 盯一l ( “玎) 灯 “= o 西 = 盯= d s = d b 五 ( 2 2 8 j ( 229 ) ( 22 1o ) ( 22 “) 其中( d 为由移动最小二乘近似产生的形函数、_ 为位移边界上拉格朗日插 值函数，b = 中，a 将式( 2 2 ，9 ) ( 2 2 1 1 ) 代入式( 2 2 8 ) 中可得 = 妒8 7 d b h d r 2 妒砒扪一p 们盯一穿川西d 一百) d r ( 2 2 ，1 2 ) “、a 、口的变分为 巍= 中商 6 丸= 媳6 九 出；b 蕊 对式( 2 2 i2 ) 求变分，将式( 2 21 3 ) ( 221 5 ) 代入，可得 舰= 嘲7l b 7 d b d f 2 d 科。7 6 地一僦f f 由7 i 订 一掂cn 7 ( 巾女一i ) 打一品7c 中7 n a t - 五 _ _q _ 令矾= 0 ，则可得到如下方程组 p 印国d 一m 旷i = 上们艘+ t 妒 a f t ，o a f 女= 扩g d i - 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