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压电材料的本征模量、本征模态和能量破坏准则 摘要 本文主要致力于不同材料常数的模态分析及其在强度理论中的 应用。众所周知，在一般的本构方程中，每个方向上的应变、电位 移都与不同方向上的应力、电场强度有关，也就是说，应变、电位 移和应力、电场强度之间是相互耦合的。这种耦合现象对分析研究 造成了极大的不便，为了解决这个问题，作者利用求出材料常数矩 阵的本征模量和本征模态的方法，使其解耦。本文分别对压电材料、 弹性材料和介电材料都作了详细的模态分析。 另外，由于压电材料的强度理论还很少有人研究与讨论过，作 者利用前面所求出的材料系数矩阵的本征模量和本征模态，提出了 基于本征模态应变能的材料强度理论。 该理论的依据是假设材料各 t 型本征应变能的线性组合为一个常数。为了验证此理论的可靠性， 作者以锆钛酸铅( p z t - 4 ) 为范例，通过数值计算，发现计算出的理 论曲线与实验测得的数据吻合的非常紧密。同时，作者也对介电材 料的本征模态应变能做了分析，但由于目前还没有可供参考的实验 、 数据，所以无法对其进行理论值与实验值的校核f 关键词- - 本征模量，本征模态，本征应力，本征应变，本征模态应变能，强度理论 本文由国家自然科学基金项目资助 e i g e n v a l u ea n de i g e n v e c t o ro fl i n e a r p i e z o e l e c t r i cm a t e r j a lc o n s t a n t sa n di t s a p p l i c a r i o ni ns t r e n g t ha n a l y s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nt h em o d a la n a l y s i so fd i f f e r e n tm a t e r i a l c o n s t a n t sa n di t sa p p l i c a t i o ni ns t r e n g t hc r i t e r i o n a sw ek n o w , t h es t r a i n ( e l e c t r i cd i s p l a c e m e n t ) a n ds t r e s s ( e l e c t r i cf i e l ds t r e n g t h ) a r ec o u p l e di n t h ec o m m o nc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n s ot h ea u t h o rw o r k so u te i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r so f m a t e r i a lc o n s t a n t st os o l v et h ep r o b l e mo f c o u p l i n g a n dw e p r e s e n t t h em o d a l a n a l y s i so f d i f f e r e n tm a t e r i a lc o n s t a n t s ，s u c ha s p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，e l a s t i cm a t e r i a la n d d i e l e c t r i cm a t e r i a l b e c a u s et h es 打e n g t hc r i t e r i o no f p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sh a s n o tb e e n d i s c u s s e db e f o r e ，t h ea u t h o r p r e s e n t s a s t r e n g t h c r i t e r i o nb a s e do n e i g e n s t r a i n - e n e r g y t h ea s s u m p t i o n o ft h i s t h e o r y i st h a tt h el i n e a r i n t e g r a t i o n o f e v e r ye i g e n s t r a i n - e n e r g y i sa c o n s t a n t u s i n g t h e p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，p z t - 4 ，a sa l le x a m p l e ，t h r o u g hn u m e r i ca n a l y s i s ， w ef i n dt h a tt h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t sf i tt h ee x p e r i m e n t a ld a t a v e r y w e l l k e y w o r d s ： e i g e n v a l u e , e i g e n v e e t o r , e i g e n s t r e s s , e i g e n s w a i n ，e i g e r t r s t r a i n - e n e r g y ，s t r e n g t t ac r i t e r i o n a c k n o w l e d g e m e n t - t h i s w o r ki s s u p p o r t e db y t h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c e f o u n d a t i o no f c h i n a 上海交通大学硕士学位论文 第一章 1 1 引言 第一章绪论 现代复合材料的出现使各向异性体弹性力学的研究工作在原有工作的基础上获得 了很大的发展和应用。然而，弹性力学本身的一些弊端也目益显现出来。举例说，与 坐标系选择有关的弹性模量并没有起到作为表征物体弹性性质的客观数字特征的作 用；又如，按照传统的弹性力学本构关系，材料中各个方向上的应力和应变并不是相 互独立的，也就是说，某一个方向上的应力不但会引起这个方向上的应变，还会导致 材料的其它方向上产生应变，反之，材料某一方向上的应变也不是单纯由这个方向上 的应力引起的，而是由各个方向上的应力联合作用而形成的。为此，本文引入了材料 常数的本征模量和本征模态的概念。如同我们所熟悉的材料的主应力和主方向一样， 我们也可以求出几个方向，使每个方向上的应力只与本方向上的应变成正比关系，而 与其它方向上的应变无关，这样一来，弹性力学中的本构关系就变成了六个无耦合的 方程式。这些正比关系式中的系数就是前面提到的本征模量，而这些方向也就是材料 常数的本征模态了。 材料、信息、能源一同被称为当代工程技术的三太支柱。近年来，随着空间技 术、军事工业、原子能工业、海洋开发和新兴化工产业的发展，对材料强度提出了更 苛刻、更严格的要求。这就迫使我们对材料的强度理论进行更加深入的研究。强度理 论通常从宏观和微观两个方面进行研究。宏观强度理论基本上是一种实验理论，或称 作经验理论。最早的宏观强度理论可以追溯到一个多世纪以前，然而，结合着各种加 载伴随条件，用力学参量表征宏观强度理论的研究一直在不断进行，为强度设计提供 着简单实用的依据。材料宏观破坏是和其内部组织的演化相联系的。对韧性材料，微 观强度理论以位错论和微孔洞为主体，以脆断材料的微观研究和材料中的微裂纹、材 料结合强度等为基础，经过四十多年的发展，已经广泛地用来解释金属材料的变形与 断裂，成了理解金属材料力学行为的钥匙。断裂力学是在研究第二次世界大战以来大 量舰艇、桥梁、飞机的灾难性断裂破坏中发展起来的。对许多材料，断裂韧性是由材 上海交通大学硕士学位论文第一章 料的强度和韧性的综合效应决定的，近年来发展的损伤理论对研究材料性质劣化的演 化过程提供了新的方法。 强度设计的原理是宏观理论，所包括的各种强度理论分别体现了不同时期生产力 的发展水平。最早提出的强度理论是最大正应力理论，适应了当时以脆性材料为主要 工程材料的实际情况和设计需要。随着大量具有较好延性的金属材料在工程实际中的 应用，逐渐发展了撮大剪应力理论、畸变能理论。本文所研究的对于压电材料和弹性 材料的基于本征模态应变能的强度理论也是属于宏观理论的范畴。 1 2 本文的研究内容及目的 本文主要是对压电材料基于本征模态应变能的强度理论进行探讨。众所周知，有 许多不同的针对于弹性材料的强度理论在以往的书籍和文献中被提出。虽然它们至今 仍在工程上被广泛应用，但是现有的宏观强度理论，包括关于各向同性体的和各向异 性体的，都是以关于某种因素对材料强度起决定作用的半经验假设为基础建立起来 的，而这些假设本身是弹性力学所无法容纳的，因而弹性力学也就无法指导这些宏观 强度理论。为了使弹性力学能够在自身的体系中，在保持只对物体及运动作理想抽象 的大前提下，建立起隶属于自己的普遍强度理论，k e l v i n ( 1 8 5 6 ) ，r y c h l e v s k i ( 1 9 8 4 ) ，陈绍汀( 1 9 8 4 ) ，a r r a m o n 、m e h r a b a d i 、m a r t i n 、c o w i n ( 2 0 0 0 ) 发展了 k e l v i n 的弹性模态的强度理论。这个理论很好的解决了复杂的三维问题，更能适应大 多数工程设计的需要。但是，所有这些强度理论都是关于弹性材料的，而对于压电材 料的强度，还没有人进行过深入的研究。本文的目的正是讨论压电材料的强度理论， 以理论值与实验值进行比较，从而验证它的正确性。 作者提出的关于压电材料的基于本征模态应变能的强度理论是利用由压电方程 的系数矩阵导出的本征值和本征向量来进行分析的。对于本征值和本征向量的研究始 于l o r dk e l v i n ( 1 8 5 6 ) ，这种方法类似于振动中的模态分析，本文在第二章中，求出 了各种不同材料的特征值和特征向量，并对其进行了详细的解释和说明。根据陈绍汀 ( 1 9 8 4 ) 和c o w i n ( 1 9 9 0 ) 的研究结果，对于各向异性体，由本征值和本征向量所计 算出的本征应力和本征应变的性质可以被归纳为以下三个方面： 上海交通大学硕士学位论文第一章 每一个本征应力只和与其对应的本征应变有关。也就是说，以本征应力 和本征应交考察各向异性体时，物体等于是由六个相互没有任何联系的、独立 的、分别以本征弹性模量为刚度( 柔度) 的离散弹簧系统。 任意一点的应力( 应变) 都可以被分解为不超过六个的本征应力( 应变) ， 这种分解也被称为“谱分解”。 本征应力可以用来作为强度讨论时的重要参量。 由于本文讨论的是压电材料，由第一类压电方程 s = j 4 t + d e ( 1 - 2 1 ) d = d t + 占7 e 。( 1 - 2 2 ) 我们可以知道，系数矩阵除了3 6 个弹性常数以外还多了1 8 个压电常数以及9 个介电 常数，但是由他计算出的本征应力和本征应变仍然具有以上所述的三个性质。为了求 得本征应力和本征应变，本文介绍了两种可供选择的方法，分别由陈绍汀( 1 9 8 4 ) 和 c o w i n ( 2 0 0 0 ) 提出。最后，由 洲= 当7 垤( 4 ( f = l ，k ) ( 1 - 2 - 3 ) z 其中7 1 ( ”为材料的第i 个本征应力，s ( 0 为第i 个本征应变，且当材料为弹性材料时 k 6 ，为压电材料时 9 ，我们可以算出材料的各个本征模态应变能。假设材料的 总本征模态应变能u ，即各个本征模态应变能的线性组合应为恒定值砜，则在外力 和电场的作用下，只要总本征模态应变能超出了这个恒定值，即 u u o ， ( 1 - 2 - 4 ) 材料就一定会发生破坏。最后，作者在第三章中利用压电材料锆钛酸铅( p z t 一4 ) 作 为例子，将由本理论所计算出的材料破坏时外加载荷的理论值与实验测得的值进行了 对比，发现理论结果与实验结果很好的吻合在一起。 压电材料的发展正处于方兴未艾的时期，由于它具有的正压电效应、负压电效 应、热释电效应以及光学效应等多种性质，它已被广泛地应用于电子、激光、超声、 水声、微声、红外、导航、生物等各个技术领域，影响和促进了新技术的发展。本文 提出并讨论的基于能量法的强度理论，对压电材料的强度作了详细的分析，这对于压 电材料的发展以及其在工程实际中的运用都是具有深刻意义的。 上海交通大学硕士学位论文第二章 第二章不同材料常数的本征模量和本征模态 2 1 压电材料概述 早在18 8 0 年，p 居里和j 居里兄弟就发现，在某些晶体的特定方向上施加压力 或拉力，晶体的一些对应的表面上分别出现正负束缚电荷，其电荷密度跟施力大小成 比例，这种现象称为“压电效应”。这些具有“压电效应”的材料被称为压电材料。 关于压电材料的广泛应用，是从四十年代中期开始的，随着近代科学技术的发展，这 些应用获得了飞跃的发展。较主要的应用是：利用正压电效应研制成功的压电引信； 利用逆压电效应研制成功的各种用途的超声波发射器以及压电扬声器；利用正、逆压 电效应研制成功的压电陀螺、压电线性加速度表；利用压电振子的谐振特性和伸缩特 性，研制成功压电谐振器、压电振荡器以及压电继电器、位移发生器等器件；利用部 分压电材料具有的线性和非线性热释电效应，研制成功红外探测器、红外摄像管以及 热释电发电机。 为了适应现代科学技术发展的需要，各种新老器件都对材料提出更高的要求，进 一步促进了人们研究和探索性能更优良的新型材料，目前已经研制成功许多新型的压 电材料。在单晶方面，主要有类钛铁矿型结构的铌酸锂、钽酸锂；钨青铜结构的铌酸 钡钠、铌酸锶钡和铌酸钾锂等重要晶体。六十年代研制成功同时具有半导体特性和压 电特性的压电半导体晶体，如硫化镉、氧化锌、砷化镓等。此外，利用薄膜工艺制作 的这类压电半导体薄膜材料已用于超高频换能器，把压电应用扩大到微波领域。七十 年代确立了统一的晶体生长理论，晶体生长工艺不断改进，用气相法、提拉法、溶液 析出法均获得了性能优良的晶体。 1 9 4 3 年发现了钛酸钡陶瓷，1 9 4 7 年利用其压电效应制成拾音器，开创了压电陶 瓷的应用。b 贾菲( b j a f f e ) 于1 9 5 4 年颁布了锆钛酸铅( p z t ) 二元系压电陶瓷，它 具有优良的压电性，使压电陶瓷的应用展开了新的一页。 2 2 压电效应 上海交通大学硕士学位论文第二章 压电效应是一八八零年由居里兄弟在口石英晶体上首先发现的，它是反应压电晶 体的弹性和介电性相互耦合作用的。 2 2 1 正压电效应及其表达式 当压电晶体在外力作用下发生形变时，在它的某些相对应的面上产生异号电荷， 这种没有电场作用，只是由于形变产生的极化现象称为正压电效应。正压电效应的一 般表示式为 d = d t ( 2 - 2 1 ) d = e s ( 2 - 2 - 2 ) 写成矩阵形式 d 1 2 d 2 2 d ” 毪疆i 搀1 1 e 2 3p 2 4口2 5p 2 6l l c r e 3 2e 3 3e 3 4已3 5 p 3 5 j ia ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) 其中d 为点位移，d 为压电应变常数矩阵，e 为压电应力常数矩阵，t 为外力，s 为 应变。t 与三维空间中应力的对应关系如下：正付盯，己付q ，正h 盯：， l f 。，正+ k ，瓦h f 。；同样s 与三维空间中应变的对应关系为：s h ， s 1 h s y ，s ，h s ：，s 4 b y h ，s 5 婷7 s 6 姊7 q 。 2 2 2 逆压电效应及其表达式 正l正瓦瓦瓦 ，。l 1，lj 2 d d d 吐如以 l = 1lj n 肪职 。l 一 一 = 1，lj 历巩肌 。，l 上海交通大学硕士学位论文第二章 当压电晶体施加一电场时，不仅产生了极化，同时还产生了形变，这种由电场产 生形变的现象称为逆压电效应。逆压电效应的产生是由于压电晶体受到电场作用时， 在晶体内部产生了应力，这种应力成为压电应力，通过它的作用产生压电应变。逆压 电效应的一般表示式为 s = d e( 2 2 5 ) t = p e( 2 2 6 ) 写成矩阵形式 2 3 电介质的介电性 d l ld 2 1 d 1 2d 2 2 d t 3d d l d 2 4 d t 5d 2 5 d 1 6d 2 6 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 电介质材料中既有晶体，也有非晶体，还包括气体、液体等，压电晶体都是各向 异性电介质。电介质的特征是以感应极化而不是传导的方式来传递电的作用和影响， 即在电介质中起点作用的是束缚电荷，它们在电场作用下，正、负束缚电荷的重心不 再重合，从而产生电极化，其结果产生电的作用，并传递开来。电介质的介电关系式 为 d = s e( 2 3 1 ) 即 蟊西历 l “如氏屯如氏 巨乓毛 1，l旷jjnlj 引 。： n 硒 p p e 已 p p 扎 n 幻 “ 抟 拍 p p 已 p 口 p i； 自自“既幽幽 墨是墨墨&五正五瓦正瓦 上海交通大学硕士学位论文第二章 其中e 为介电常数矩阵。 2 4 四类压电方程 毛2 e 2 2 6 3 2 ( 2 3 2 ) 压电体可以看成是一个热力学系统，根据热力学理论以及( 2 2 - 1 ) ( 2 2 - 8 ) 和 ( 2 3 1 ) ，可推导出四类压电方程如下： 第一类压电方程 s = 5 57 1 + d e( 2 4 1 ) d = d t + 占7 e( 2 - 4 2 ) 其中s 6 是电场强度为零或恒定时的弹性柔顺常数矩阵，占7 是外应力为零或恒定时的 介电常数矩阵d 为压电应变常数矩阵，d 为d 的转置。 第二类压电方程 丁= c 5 s e t e( 2 4 3 ) d = 8 s + 占5 e( 2 4 4 ) 其中c 5 为短路弹性刚度常数矩阵，占3 为夹持介电常数矩阵，e 为压电应力常数矩 阵，e 为p 的转置。 第三类压电方程 s = s d t + g 。e ( 2 - 4 - 5 ) e = 一g t + 口7 d ( 2 4 - 6 ) 其中s 。为开路弹性柔顺常数矩阵，g 为压电电压常数矩阵，g 为g 的转置，卢7 为自 由介电隔离率矩阵。 第四类压电方程 丁= c 。s 一 d( 2 - 4 7 ) e = 一h s + 口8 d ( 2 - 4 _ 8 ) 1，lllllj 臣毛 。l、j 协 拈 孙 占 占 占 l 2 3 一旧旧卜 = 1j 口厉凸 。l 上海交通大学硕士学位论文 第二章 其中c 。为开路弹性刚度常数矩阵，卢8 为夹持介电隔离率矩阵，h 为压电刚度常数矩 阵，h 为h 的转置。 2 5 不同材料的本构关系 2 5 1 压电材料的本构关系 压电晶体都是各向异性电介质，为了方便以后的研究工作，我们在这里选择第一 类压电方程进行讨论。将( 2 4 1 ) 、( 2 - 4 2 ) 写成矩阵的形式，即 2 5 2 弹性广义虎克定律 岛5置6 s 2 5 $ 2 6 s 3 5s 3 6 $ 4 5 $ 5 5s 5 6 硝， 丸 哦， 吐。 一， 而。 毛l 占2 l ( 2 5 1 ) 由( 2 5 - i ) 我们可以清楚地看到，压电方程中包含了所有的力学参量和电学参 量，是最普遍的情况。只要将其中的电学参量去除，即不考虑正、负压电效应和介电 效应，就可以很容易的获得弹性体应力分量和应变分量之间存在的线性关系，即广义 虎克( h o o k e ，r ) 定律，对于各向异性材料，广义虎克定律的一般形式是： s = 占5 r( 2 5 2 ) 写成矩阵形式 s i s 2 s ， s 4 s ， s 6 ( 2 5 3 ) 五正五五正瓦置b日 氏如如如如氏轧屯屯如九九如屯铴c!即啊蛳m-暑即却咖咖 m勋啪舶跚即础如如即印印t甚印趾如如如轧黝蛳趴吼即巾如幽 s岛最函受风口协肪 五疋己t以瓦 =oiiiioooooi儿 侣 斯 弘 帕 铂 酷 j f s s j j 拈 ” 盱 ” 格 j j s s s 5 抖 * h h j s s s s s j ” 盯 竹 。 上海交通大学硕士学位论文第二章 由于柔度矩阵的对称性，即s 。= s ( f ，j = l ，6 ) 可知，对于任何弹性体，独立的弹 性系数最多只能有2 1 个。 2 5 3 具有不同对称性材料的广义虎克定律表达式 一般说来，工程上常见的各向异性体并不是完全各向异性的，只要物体内部的组 织有一定的对称性，那么物体的弹性也会有相应的对称性，通常称为弹性对称。比如 单晶体是各向异性体，但往往都有一定的弹性对称，也就是说对其每一点具有一定的 方向，在这些方向上材料的弹性是对称的。在有弹性对称的情况下，各向异性广义虎 克定律中的独立常数数目将会减少。 下面针对几种最常见的弹性对称情况介绍一些简单的结果。 ( 1 ) 具有一个弹性对称面的情况 假如在均匀物体内每点都有这样一个弹性对称面，而且对所有点的弹性对称面是 互相平行的。若使z 轴与此弹性对称面垂直，则( 2 5 3 ) 式可简化为： s i s 2 马 s 4 墨 s 6 ( 2 5 4 ) 其中只剩下1 3 个独立的弹性常数。单斜晶系的晶体( 例如正长石) 便具有这类弹性 对称。 ( 2 ) 正交各向异性材料 假如对于均匀物体的每一点都有三个互相垂直的弹性对称面，那么可使坐标轴 x ，y ，z 分别与它们垂直。这时( 2 5 - 4 ) 式可进一步简化为： $ 5 5 o ( 2 5 5 ) 五i z 。l z i =iiiiiiiiiiiii业 6 6 6 6 o o o o oo 0 o 00 0 0 o o 0 0 五瓦五正瓦 矿ooooooooiiiiiii儿 o 0 o 0 0 0 0 o o o 0 o 0 o o 0 il i 0 0 o 蜀斑& & 风风 上海交通大学硕士学位论文 第二章 其中独立的弹性常数只剩下9 个，这种情况常称为正交各向异性。某些类型的纤维增 强复合材料、木材等均属于此类材料。 ( 3 ) 横观各向同性材料 这类材料在某个横向平面( 或曲面) 内是各向同性的，但在垂直于平面方向上的 材料性质则不同。这时独立的弹性常数仅剩下5 个，取坐标面x ，y 为各向同性面，虎 克定律为： 艨 ( 2 5 - 6 ) ( 4 ) 各向同性材料 各向同性材料的特点是材料的力学性能不具方向性，或者说材料在各个方向上具 有相同的性质，例如金属材料即属于此类材料。此时，独立的弹性常数只剩下2 个， 虎克定律简化为： s l s 2 岛 s t s s s 6 0o0 z ooo i l 咒 ooo l 正 2 ( s 。一) oo 0 瓦 。 她。_ ：) o 惦 0o 2 ( s 。一业瓦 ( 2 5 7 ) 2 6 各向同性弹性体的球形应力( 应变) 张量和偏斜应力( 应变) 张量 由弹塑性力学的基本知识可知，在一般情况下，某一点的应力状态可以分解为两 部分。一部分是各向等拉或等压的球形张量盯o ，另一部分则称为偏斜应力张量，简 称为应力偏量，记作盯。，且 盯。= ；p 。坞：坞，) ( 2 6 1 ) 1 0 0 o o 0 o q缸 o o o o o 0 o o 0 o i 钆0 o o i i i 0 0 o i i i o 0 o i l i 屯o o o !i l 1 o 0 o i l l 0 0 o 上海交通大学硕士学位论文第二章 ( 盯。一仃。 盯：盯， l 盯= 盯- - 0 o = f盯2 l仃2 2 一口。仃2 3i ( 2 - 6 2 ) 【 盯，盯，2 盯3 3 一盯。j 由于在后面的讨论中，作者均采用了应力在六维空间中的表示形式t ( f = 1 ，6 ) ，现 给出( 2 - 6 - 2 ) 中应力在三维空问中的表达形式o ，= l ，3 ) 与z 之间的对应关系： 吼= 互，盯2 2 = 疋，盯3 3 = l ，盯= 瓦，吼，= 己，q 2 = 瓦 ( 2 - 6 3 ) 球形应力张量是一种平均的等向应力状态，对于各向同性材料，它仅引起微元体积膨 胀或收缩，实验证明，对金属等材料，体积膨胀( 或收缩) 基本上是纯弹性变形。应 力偏量表示实际应力状态对其平均应力状态的偏离，它引起微元形状畸变。又由实验 证明，材料屈服后的塑性变形基本上是畸变变形，所以应力偏量在研究塑性变形中起 着重要作用。 与应力相似，应变张量也可以分解为应变球张量占。和偏斜应变张量占之和，即 占o = ；g ij + 2 2 + 占 ) ( 2 - 6 4 ) 日，一占。毛：目， 占= 5 一。= i s 2 l占n 一占。占2 3 i ( 2 6 ，5 ) l 毛1 岛2 s ，一占。j 应变在三维空间中的表达形式毛( f ，_ ，= 1 ，3 ) 与其在六维空间中的表达形式s ( f = l ，6 ) 之间的对应关系为： 占i l = s i , s 2 2 = s 2 ，岛3 = s 3 占2 3 = 甄，占1 3 = s 5 ，毛2 = s 6 ( 2 - 6 6 ) 2 7 本征模量和本征模态 材料本构关系中的系数矩阵是与坐标系的选择有关的，是使物体承受简单的应力 ( 电场强度) 状态，通过测定各应变分量( 电位移) 而求得的。其实这种应力状态并 不简单，它与由它引起的复杂应变状态并不成正比关系。若有这样一种应力( 电场强 度) 状态，它对于材料能产生与它成正比的应变( 电位移) 状态，那么这种应力( 电 场强度) 、应变( 电位移) 状态显然在本质的意义上达到最单纯的地步，其比例常数 上海交通大学硕士学位论文第二章 单独的体现了两个状态之间的比例关系。这个比例常数不随坐标系的改变而改变，是 反映材料性质的客观数字特征，本征模量就是这样一个比例常数。 本征模量和本征模态的概念是由k e l v i n 首先提出的，他算出了具有不同对称性 的弹性体的本征模量和本征模态，并对它们作了简要的总结。本征模量和本征模态的 性质已经在1 2 中作了详细的叙述，本节中，作者将对各种不同的材料进行计算。 2 7 1 本征模量和本征模态的定义 假设我们可以在材料的维应力( 电场强度) 、应变( 电位移) 空间中，寻找一 个方向，在该方向上应力( 电场强度) 和应变( 电位移) 成正比，即 s = a t ，( 2 7 1 ) 写成矩阵的形式为 s i 岛 ： s a 1 0 0 人2 00 oo 其中a 为未知常数矩阵，且对于压电材料，s 包括应变和电位移，丁包括应力和电场 强度，n = 9 ；对于弹性材料，s 代表应变，丁代表应力，n = 6 ；对于电介质，s 仅 代表电位移，丁仅代表电场强度，n = 3 。由本文前面所述，我们知道 s = s t ，( 2 7 - 2 ) 其中，s 、r 的定义与( 2 7 1 ) 式相同，对于压电材料，s 包括柔度系数、压电常数 和介电常数；对弹性材料，s 包括柔度系数；对电介质，s 仅包括介电常数。将( 2 7 2 ) 代入( 2 7 1 ) 中，得到 b a ，矿= 0 ，( 2 7 3 ) 要使此方程有非零解，则系数行列式应为零，即 b a l = 0 ，( 2 7 4 ) ( 2 7 _ 4 ) 式求出的a 就是系数矩阵5 的本征值，由式( 2 7 3 ) 求出的丁便是本征向 量，即上文中所提到的本征模量和本征模态。本征模量和本征模态是由材料常数矩阵 确定的，所以它们是材料的固有性质。由于s 是实对称正定阵，其特征值全为正实 五疋；0 丌ijjjjjjo儿 o o o ， 上海交通大学硕士学位论文 第二章 数。我们称特征值 ( f = l ，j i ) 为材料的第f 型本征模量；丁( 。( f = l ，七) 为材料的第 i 型本征模态。( 压电材料女9 ，弹性材料后6 ，电介质k 蔓3 。) 有了7 1 ( “，我们还 可以很容易地利用公式 s o ) = 丑丁( )( 2 7 5 ) 求得s ( j ) 。 2 7 2 不同压电晶体的本征模量和本征模态 一、立方晶系( 2 3 点群) 在立方晶系中，( 2 7 3 ) 的形式变为 ls i i a丑2s 1 2 0000 i 2j l l as t 2 0000 i 而2s 1 2s 1 i 人0 0o0 f 000 j “一a 00 西4 10000 o 4 4 一a 00 1 0000 0 $ 4 4 一a 0 l 000 d j 4 00 岛，一a l 0000 d 1 4 00 【0 0000 九0 我们求得的本征模量及它们的重根数均被列在表1 中。 0 0 0 0 吐。 0 0 毛1 一a 0 0 0 0 0 0 吐。 0 0 晶l a = 0 ( 2 7 6 ) 与_ 。+ 2 而：对应的本征模态以及由它所求得的应变和电位移向量为 = 【1 110 0 0 00 o r s ”= l l l + 2 s 1 2q 1 + 2 s 1 2j 1 】+ 2 s 1 2 00000 o r 可见，此时只有球形应变张量，即材料只有体积变形而没有形状畸变。第二个本征模 量 一s 。：是一个二重根，它对应的本征模态以及应变和电位移向量为 t 2 = - 1 10 00000 o r ， t o = - 1 0100 0 0 0 0 1 7 00 00 o r 000 o r 1 3 五五五t i 瓦日岛日 o 0 o o 比 占 置 一 一 i s 量 o q n 一柑 卜h = = s n o 上海交通大学硕士学位论文 第二章 此时材料发生形状畸变。第三个本征模量；屯+ ；+ 三重根， ! ( 4 ) ：b ： 0 1 ： s = s ( 5 ) = ；面五鬲百面是 0o o 一( - s 。帼，一扛再百i 丽比4 。o oo o o 一( - - 。 4 4 + 6 - - 扛丽i j 磊：忑i 比矾。 0oo 0o0o 1 j ；露乒 o0 l1 j l l + j s “+ 1 2 oo 1o ol o 0 11 互毛l + j + l 2 表1 主方糸六方采和四方采本狂辏量的性质 7 。17 本征模量的 晶系本征模量备注 重根数 毛l + 2 s 1 2 1 $ 1 1 一s 1 2 2 11 i 毛l + j 轧+ 立方晶系 三1 、q 2 1 2 s 4 4 6 i | q - s ：+ 4 吒 3 j 毛，+ j 粕一 圭捣- - 2 s 4 4 s l l + g ：4 + 蛾 3 1 4 一 叫jju 万 一一 十 厢慨 占 ，一2 一 + 咄吒 l 一2 + 瑟瓯忆 一+ 磊础 一2 4 一一 + 瓯忆 日 f l 一2 一 + 以 1 2 + 上海交通大学硕士学位论文第二章 2 q 1 2 马2 1 l e 3 3 l 毛i 一 2 1111 i 占1 1 + 互s 1 2 + j s ”+ 互 k + 2 s 1 2 2 s i 舟3 + 1 v 2 , t 2 2 s 1 2 5 + j j 2 3 + 8 j 矗 111 j j ij + j 置2 + j j 郛一 l 六方晶系 1 k j + 2 s l 2 2 s 】l s 3 3 + i 1 2 s 丧一2 s ，：s 。+ s 品+ 8 。三 i 毛l + i j “+ 山 ；占j 一2 s 。6 t ，+ s 矗+ 4 d 矗 2 l1 t + j 一 1 j 6 2 1 2 j 4 4 q l + 2 + 4 d 二 2 占6 6 1 1 占孙 q 1 一s 1 21 111 j _ i + j j l 2 + 互占3 3 + 三s j + 2 _ - 毛z 一2 s l i s 3 3 + j 三 2 一2 s 1 2 与3 + 砖+ 8 s 是 1 111 四方晶系 i 函l + i 毛2 + j s ，3 一 三k + 2 一2 + s 三 1 2 一2 s 1 2 s ”+ + 8 碚 t + j 轧+ 2 1 d e 2 j 一2 j “毛i + 2 + 4 a t 2 + 11 j 毛- + j 一 2 三占j 一2 + s 五+ 4 吒 1 5 - 上海变通大学硕士学位论文第二章 s ( 6 ) =00 0o0 扣露 0o ll j 毛l + 互+ i 2 此时材料产生剪切应变，并伴随有电位移。最后一个本征模量 ；毛。+ j 1 钆一1 2 g 。2 二五i i 五i i 面也是三重根，它对应的本征模态以及应变和电 位移向量为 7 1 ( 7 一 ， 8 一 r ( 9 s ( 7 j = ooo o 一( s 。蝎。+ 再再百五蕊比“o o 00 0 一( _ 蝎。+ 佤再百五磊地吐。0 ol o o 一- - $ 4 4 + 占1 1 + 扛再i j i 磊i 忆。o o o 00 o0o ：j 0000 s o ) ：o0o l ，1 i 跪一i 5 “占 + 硝一 l 三钆 1 i 1 三 - + j 3 矿 oo 1 再丽2 s 6f 葡一l l + 2 1 | j s 五+ 4 d 矗 o0 o0 11 j 日，+ j 一 1 2 l1 - + j 一 l 一 2 0 _ 1 6 磊蛾愿 占 * s 1 2 一 + 矗稚 ，2 + =叫j时bi i i i f i | 一+ 磊以 一2 4 一一 + 瓯忆 一+ 磊峨 一一 + 厢忆 占 “ 占 ，一2 一 一 观 ，一2 + 一+ 磊嘶 一一 十 一晶矗 占 l 一2 一 一 吐靠 l 一2 + 丽峨厢慨 上海交通大学硕士学位论文第二章 此时材料也产生剪切应变，并伴随有电位移。 二、六方晶系( 6 2 2 点群) 对于六方晶系，( 2 - 7 3 ) 的形式变为 5 i i a5 1 23”0 00000 。1 2置l 一人3 1 3 000000 5 1 35 1 3屯3 一a 000000 00 0 $ 4 4 一a 00 吐4 00 000 0 $ 4 4 一a 00 d 1 4 0 0000 0 ( s l i j 1 2 ) 一人0 00 000 吐4 00 蜀l a 00 0000 吐4 00 1 一a 0 0000000 0 最，一a ：0 ( 2 7 7 ) 求得的本征模量也列在表l 中。对于这种情况，有7 个不同的本征模量。占。对应的本 征模态以及应变和电位移向量为 ! ”= i o 0 0 000 00 i r ， s ”= 【o 0000 0 0 0 占”r ， ：“+ j 1 + 五| 、f t 2 一二十- 2 蕊和；毛，+ i 1 一j 1 占1 2 - 一蛳q - 十十州- 2 i 所对应 的本征模态以及应变和电位移向量分别为 ( ”= o 00 00100 o r ! - 。( ”+ 俪丽) 风o 。 7 “1 = 。( s 。一毛。+ 4 4 d 三+ ( s 4 4 - s t l ) 2 ) 2 d 。o ，。o l ! = 0 。( 驴一厮丽 肚。t 。 7 1 如) = 。( s 。一占。一4 4 d l j + ( $ 4 4 - 6 1 1 ) 2 ) 2 d 1 。o 。 7 妒) ： 。 i ： ；兰三：三； u 。i l 厍五鬲百面j “； 1 q 1 + = + - 1 7 - 五已五五瓦五巨易马 下l 一+ 磊蛾 一一 + 一靠文，jy 兰竖至望盔堂堡主兰堡堡塞 笙三童 一4 ) ： 一”： o0 0 o o 。 i 三： 1 。 oo o o 伊一互吼卅卜o o b 瓜i 鬲百面j ” 。 i 1 商- 一：2 _ 4 毛i + d 矗一2 + 4 d 1 2 4 1 1 ) 。 oo o l 互跪一j 氏+ 硝一l 厶。o o 【：厂 瓯砑o 1 矗+ 峨 11 j 毛+ 三一 1 。8 。1 。2 。1 。- - 。2 。s 4 。1 4 。占。1 。1 。+ 2 1 吐+ 噼 l 与l + j 一 2 1 - 2 s 4 4 s i , + o 1 吐+ 4 以 此时材料只存在由剪应变引起的形状改变，并伴随有电位移。另外两个本征模量 扣+ 弘1 + 产1 + 舻1 2 面i i 再i 瓦丽和 ；+ 三置：+ ：一j 1v t - 2 ，t q ：一q ，t 2 一q 幽，+ 2 + q 2 i 对应的本征模态以及应 变和电位移向量分别为 ，( 7 ) = 1 8 丁l叫i丫i叫l丫l叫i + 一2 + 毛 l 一2 1 2协 + 丽嫠 罄 一2 一2 卜i 卜i 气一+ a 一+ + 一 他 + 一 幢 堡拙堡拙 堡卜兰卜 生。坐。 一 一 圭童至望查兰堡主堂焦堡奎 笙三童 r 佴) = s ( 7 ) ： j 一一而z + s 矗+ 2 s 三一占：f j 3 3 + 3 fs l t 一3 s 1 2 一s + 毛。 ：+ s 是+ 2 5 三一 ：f j 3 3 + 毛3 f i 一3 s t 2 一s + 1 o o o o o o f s j s 。：+ s ：+ 5 s 。：s ：+ s jf s 。+ 、i i i i i i ：i i i 于i j i ( j j ：i i i i j i i 碉+ + 瓜i 了哥j 瓦再磊碉+l l 屯。( ：s j + s j + s ，：( 一s 。+ 、 ；：i i ：i ：i ，? 二i i e j j ：i i i ：i ：i 而 ) 毛，( 一函，+ ，s ：+ s ，+ i i j ：i i i ：j i ：i i 二i i ；j i i i ：j ：i i ：司 s 3 ，+ - 1 9 - 上海交通大学硕士学位论文 第二章 s ： s n + j 12 一j 之一2 s 三+ 5 【j ”+ 拓了i 焉f 可i 再磊i 石翮 此时材料产生的形状畸变是由主方向上的拉伸( 压缩) 引起的，没有电位移。最后一 个本征模量 ，一5 ：对应的本征模态以及应变和电位移向量为 丁( ”：- l l0 00 000 o f 基扣= 【- 毛i + s 1 2 1 一j 1 2 0 0 0000 o y 。 三、四方晶系( 4 2 2 点群) 对于四方晶系，( 2 7 3 ) 的形式变为 & 1 一人 s 1 2 s 1 3 0 0 0 0 o 0 s 1 2 丑l a s t 3 o o o 0 o o = o ( 2 7 8 ) 2 0 3 f 2 f+ 33 sf+ 2 j2 卜 4一 r” ， + 0 0 0 o o o z s+ g + 珏 s一 2 s3 5 正e e瓦正瓦臣邑岛 o o o 0 0 0 0 o 一，岛 。o o 九o o “o 一 八 o o o 丸o o 一，o o 目 八 0 0 o o o o o o a o o o o 一0 o 吐o 一 a o o o 一。o o 叱o o 八 一，o o 0 o o o 圭塑三至堕盔堂堡主兰堡堡兰 苤三童 和前面两种情况一样，求出的本征模量也列在表1 中。对于这种情况，和六方晶系一 样，也有7 个不同的本征模量。对应的本征模态以及应变和电位移向量为 t 1 = 【0 0 00 010 0 o j r s ”= 【0 000 0 00o n 此时仅有剪切应变引起材料变形。二重根：+ j 1 轧+ 三1 、f s 。2 f 五i i 了瓦面和 ；毛，+ j 1 轧一j 1 、2 f i i i _ 瓦而所对应的本征模态以及应变和电位移向量分别 为 ! t z ，：。! 坚二鱼! ， i i i ：；j 丑。 7 ， 一 f2 d 1 。 一。 。i 一：) ： 一，) ： 一“： 。oo 。一! 坚二兰! ! ! ! ；i ：i 丑 2 d 1 4 00oo 0 0o o o0o s “+ 占1+ 扛再瓦二了 一s “- 4 - 占 2 凼。 + 压再瓦= 了 oo1o 0o10 ooloo l j 耋趁灿 ：届五焉丽】” 11 i 目l + j 矗t + 1 2 恺1 ，主2 纠2 2