（应用数学专业论文）不确定变时滞中立型系统的指数稳定与控制.pdf

中文摘要 摘要 在所有的实际系统中，时滞是广泛存在的一种物理现象，而且时滞随时间变 化也是普遍现象。另一方面，在大多数实际工业过程控制系统中，不可避免地存 在各种不确定性，诸如结构性的参数不确定性、工作环境的变化、降阶及线性化 近似以及外部干扰的不确定性等。这些时变时滞性和不确定性的存在往往使得对 系统分析变得更加困难。中立型时滞系统的研究是近几十年控制领域兴起的一个 热点，并且已经引起越来越多的研究者的关注。因此，对不确定变时滞中立型系 统的研究具有更加实际的意义。 本文研究了不确定变时滞中立型系统的指数稳定性和控制问题。利用 l y a p u n o v 第二方法，结合线性矩阵不等式以及矩阵分析等工具，研究了系统时滞 相关的指数稳定性、指数稳定鲁棒控制器的设计及指数稳定巩控制问题。主要内 容如下： 第一章概述了研究的背景以及中立型时滞系统稳定性和控制问题的研究现 状。第二章给出了相关的预备知识。第三章研究了不确定变时滞中立型系统的指 数稳定性问题，基于l y a p u n o v 稳定性理论和l m i 方法，提出了该系统的全局指数 稳定的充分条件，该充分条件是用l m i 的形式表示的。最后给出算例验证了本文 结果的有效性。第四章研究了不确定变时滞中立型系统的鲁棒控制问题。通过构 造适当的l y a p u n o v 泛函，设计线性无记忆状态反馈控制器，使得该闭环系统是指 数稳定的。结论以线性矩阵不等式形式描述，可以用m a t l a b 中的l m i 工具箱 求解。第五章研究了不确定变时滞中立型系统指数稳定玩控制问题。目的是对所 有容许的不确定性和时变时滞性，设计线性无记忆状念反馈控制器，使得闭环系 统是指数稳定的且满足给定的以性能指标。首先讨论无扰动闭环系统的指数稳定 性，在此基础上，得到了系统具有矾性能指标的充分条件。并将其转化为线性矩 阵不等式的形式，从而可以很方便地利用m a t l a b 工具箱进行求解。最后给出算 例验证本章结论的有效性。最后，对本文进行了总结并对不确定变时滞中立型系 统的指数稳定性及控制研究进行了展望。 关键词：中立型系统；时变时滞：不确定性；指数稳定性；l y a p u n o v 方法 英文摘要 e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dc o n t r o lf o ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t h t i m e v a r y i n gd e l a y s a b s t r a c t t h e r ee x i s t sw i d e l yt h et i m e - d e l a yp h e n o m e n o ni na l m o s ta l lr e a l s y s t e m s f u r t h e r m o r e ，t i m e - d e l a yi su s u a l l yv a r y i n gw i t ht h ec h a n g eo f t i m e o nt h eo t h e rh a n d ， t h e r ee x i s t sa l lk i n d so fu n c e r t a i n t i e si nm o s tp a r t i a li n d u s t r i a lp r o c e s s e sc o n t r o ls y s t e m s ， s u c ha ss t r u c t u r e dp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ，c h a n g eo ft h eo p e r a t i n ge n v i r o n m e n t , m o d e l r e d u c t i o na n dl i n e a r i z a t i o na p p r o x i m a t i o n sa n de x t e r n a ld i s t u r b a n c e su n c e r t a i n t i e s ，e ta 1 u s u a l l y , i ti sm u c hm o r ec o m p l i c a t e dt oa n a l y s i st h ee x i s t e n c eo ft h e s et i m e - v a r y i n g d e l a y sa n du n c e r t a i n t i e s t h es t u d yo fn e u t r a ls y s t e m sw i 也f i m e d d a y sb e c o m e sa h o t s p o ta n dh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r er e s e a r c h e r s t h e r e f o r e ，m o r ev a l u e sc a nb e o b t a i n e df r o mt h er e s e a r c hi n t ot h eu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s t h i sp a p e rs t u d i e st h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dc o n t r o lf o rt h eu n c e r t a i nn e u t r a l s y s t e m sw i mt i m e - v a r y i n gd e l a y s b yu s i n g t h el y a p u n o vs e c o n dm e t h o d ，l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e sa n dm a t r i c e sa n a l y s i s ，w ew i l ls t u d yt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , d e s i g no f e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yr o b u s tc o n t r o l l e r , e x p o n e n t i a ls t a b l eh 。c o n t r o lf o rt h es y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e ra n ds t a t eo fs t u d yi nt h e t i m e d e l a ys y s t e m so fn e u t r a lt y p ea r ep r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h e c o r r e s p o n d i n gp r e l i m i n a r yi n f o r m a t i o ni sg i v e n i nt h et h i r dc h a p t e r , t h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo ft h eu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t hf i m e v a r y i n gd e l a y si ss t u d i e d b a s e do n t h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h , as u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rt h es y s t e mi sp r e s e n t e d t h i ss u f f i c i e n t c o n d i t i o ni sf o r m u l a t e da sl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s n u m e r i c a le x a m p l e sd e m o n s t r a t e t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d i nt h ef o r t hc h a p t e r , t h er o b u s tc o n t r o lo ft h e u n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y si ss t u d i e d t h r o u g hc o n s t r u c t i n g p r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o n ，d e s i g nal i n e a rm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rs ot h a t 英文摘要 t h ec l o s e d - l o o ps y s t e mi se x p o n e n t i a ls t a b l e t h er e s u l t sa r ee x p r e s s e di nt e r m so fl i n e a l m a t r i xi n e q u a l i t i e s ，a n dc a r lb es o l v e de a s i l yb yu s i n gl m it o o l b o xi nm a t l a b i nt h e f i f t hc h a p t e r , t h ep r o b l e mo ft h ee x p o n e n t i a ls t a b l e 玩c o n t r o lo ft h eu n c e r t a i nn e u t r a l s y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y si sc o n s i d e r e d t h ep u r p o s ei st od e s i g nal i n e a r m e m o r y l c s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rs ot h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e mi se x p o n e n t i a l s t a b l ea n ds a t i s f y h 。p e r f o r m a n c ei n d e xf o r a l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e sa n d t i m e - v a r y i n gd e l a y s t h ee x p o n e n ts t a b i l i t y o ft h ec l o s e d l o o p s y s t e mw i t h o u t d i s t u r b a n c ei sc o n s i d e r e d b a s e do nt h i s ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i ss y s t e mw i t h 以 p r o p e r t yi so b t a i n e da n di t i ss h o w nb yac e r t a i nl m i rc a nb ee a s i l ys o l v e db y m a t l a bt o o l b o x n u m e r i c a le x a m p l ed e m o n s t r a t e st h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d m e t h o d i nt h el a s t ，t h i sp a p e ri ss u m m a r i z e da n ds o m ee x p e c t a t i o n so ft h eu n c e r t a i n n e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y sa l eg i v e n k e yw o r d s ：n e u t r a ls y s t e m s ；t i m e - v a r y i n gd e l a y s ；u n c e r t a i n t y ；e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y ；l y a p u n o vm e t h o d 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博士硕士学位论文= = 丕碴庭变吐溢生童型丕统鳆指麴氇庭皇控制：除 论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已 经公开发表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：子孟岛渺弓月呷日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密口( 请在以上方框内打“、， ) 论文作者签名：寺品劢导师签名：杨观 嗍：硝钙月7 同 不确定变时滞中立型系统的指数稳定与控制 第1 章绪论 1 1 引言 时滞是自然界中广泛存在的一种物理现象，在各种各样的控制系统中都是普遍存在 的，比如在涡轮喷气机、微波发生器、核反应堆和轧钢系统中均存在时滞现象。时滞也 就是指信号传输的延迟，它是作为物理系统的一个固有特性而存在的。实际上任何闭环 控制系统中都存在滞后现象。时滞系统的运动规律不仅与系统当前的运动状态有关，同 时还与系统过去的运动状态有关。在数学上，描述时滞系统一般采用时滞微分方程。时 滞的存在使得对系统的分析和综合变得更加复杂和困难，它是个不可忽略的部分。随 着控制系统变得越来越复杂，控制精度越来越高，对时滞系统的研究不仅具有理论研究 的价值，同时也是实际系统设计和应用的迫切要求。 对于一类特殊的问题，例如：输送流体的管道处理过程以及无损耗传输线问题。通 过h a l e 和l u n e l 【l 】提出的技术，这类系统可以用中立型微分方程描述，称为中立型时滞 系统。 中立型时滞系统是一种特殊的时滞系统，这种系统能更深刻和更精确地反映事物变 化的规律，揭示事物的本质。因此可以利用中立型时滞系统更精确地来描述实际问题， 例如涡轮喷气发动系统，横向切削以及微小运动物体的连续传感加热等问题【2 1 。化工工 程中的反应器可以用以下中立型时滞系统描述【3 l ： j ( f ) 一詹( f 一矗) = 4 工( f ) + 以x ( t 一矗) 其中彳，4 ，是疗n 维的实常数矩阵，并且系统时滞h 是一个正常数。值得注意的是， 由于考虑到中立项的存在，使得这种系统的分析比通常的时滞系统更加困难。主要的困 难在于中立型时滞系统几乎总是在复杂平面的垂直带上有无限频谱( 称之为中立根轨 迹) 4 - 5 】，因此在许多现存的文献中，作者一般假定要么系统不存在不稳定的中立型根 轨迹，或者它们可以首先通过微分反馈来保证不稳定的中立型根轨迹位于复杂平面的左 半平面。文献 3 和 6 分别研究了这种系统的指数稳定性和渐近稳定性。在控制理论领 域，对于这类系统的稳定性和控制的研究是近几十年才兴起的，因此，对于中立型时滞 第1 章绪论 系统的研究具有极大的理论意义和实用价值。 实际系统中不可避免的存在不确定性，比如工作条件或系统环境的变化，数据误差， 元器件的老化或坏损等，这些不确定因素的存在常常会使得被控对象本身的特性随之发 生变化，从而导致系统丧失许多性质。现代控制理论方法是基于对象系统的一个精确的 数学模型，根据具体的需要，通过对系统数学模型进行分析来达到实际的要求，而在建 模过程中，也存在着种种不确定性。由于以上两种不确定性的存在，使得现代控制理论 方法得到的结果很难应用于实际工程中。另外，在解决实际问题时，许多简单的装置被 看作时变时滞过程，许多变周期例子也可用时变时滞系统模型更好地模拟。相对于常时 滞系统，时变时滞系统更加复杂，分析更加困难。因此，对于不确定变时滞中立型系统 的研究这个课题就摆在了我们的面前。 对于一个系统而言，我们首先要关注的是这个系统的稳定性问题，稳定性是控制系 统能够正常工作的首要条件。然而，中立型系统中的不确定性和时变时滞性，对系统的 影响首先是稳定性。对于大多数控制系统来说，系统中存在的不确定性和时变时滞性总 是产生消极作用，使得系统由稳定变为不稳定。在控制理论领域，关于不确定变时滞中 立型系统的稳定性和控制的研究是近年来研究的一个热点。然而，对于不确定变时滞中 立型系统的稳定性和控制的研究大多数是关于研究系统的渐近稳定性，关于不确定变时 滞中立型系统的指数稳定性的研究还较少。由于指数稳定比渐近稳定具有更高的收敛速 度，从而可以使系统更平稳的趋向于平衡。因此，研究中立型时滞系统，特别是不确定 变时滞中立型系统的指数稳定性分析和控制问题，不仅是控制理论本身发展的需要，而 且也是实际应用的需要。因此本课题的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。 1 2 不确定变时滞中立型系统稳定性与控制的研究现状 时滞在实际生活中是广泛存在的，由于对时滞系统的分析和控制的困难性，使得对 时滞系统的稳定性分析一直是控制领域中研究的一个热点和难点。 许多学者从各种途径出发，得出了很多用于判断时滞系统稳定的判据。根据稳定性 准则是否与时滞相关，时滞系统的稳定性准则被分两种类型：时滞独立稳定性准则和时 滞相关稳定性准则。相比较而言，时滞独立稳定性准则由于忽略了已有时滞信息而具有 不确定变时滞中立型系统的指数稳定与控制 更大的保守性，特别在小时滞系统当中更为明显。 目前，对时滞系统的研究大致可以分为频域和时域方法两种。频域方法，例如经典 控制理论中的奈奎斯特法和波特图法【刀。虽然它们能够容易地得出理论上时滞系统的稳 定性条件，但由于其求解的复杂性，几乎不能用于实际工程当中。时域法主要有 l y a p u n o v 8 j 泛函方法和r a z u m i k h i n 型定理f 8 ，l 川给出的l y a p u n o v 函数法，它们分别由 k r o s o v s k i i 和r a z u m i k h i n 创立于五十年代末。这种方法是时滞系统稳定性分析中非常重 要的一般化方法，九十年代以前由于没有可行的l y a p u n o v 泛函和l y a p u n o v 函数构造方 法，而没有得到普遍应用。九十年代以后，由于利用l m i 解析方法构造l y a p u n o v 泛函 和l y a p t m o v 函数的方法，使得这两种方法在时滞系统的稳定性分析中得到了广泛的应 用。 在近几十年里，研究者们从频域和时域两个方面对中立型系统的稳定性分析进行了 大量的工作，并且取得了可喜的成果。以往的文献中，l y a p u n o v 方法、特征方程法和 状态解方法等被用于寻找此类系统的渐近稳定性准则f 1 抛刁。 文献 1 2 ，1 3 给出了在频域范围内判断中立型时滞系统稳定性的方法。相对于只能 处理简单系统的频域分析方法，时域分析方法由于可以处理变时滞性和不确定性以及易 于计算等优点使其在实际工程应用中更加具有优势，近年来，有关中立型时滞系统的结 论许多都是用时域的分析方法取得的【1 4 - 2 2 。因此，本文将通过时域的方法对不确定变时 滞中立型系统进行指数稳定性分析与控制研究。 在研究中立型时滞系统稳定性问题时，一种常用的方法就是l y a p u n o v 第二方法， 这种方法基于l y a p u n o v 稳定性理论，通过选取适当的l y a p u n o v 函数，来获得相应的稳 定性判据。l y a p u n o v 第二方法已经成为人们分析中立型时滞系统的有利工具。l y a p u n o v 方法的优点主要体现在：方法统一，所得结论最后都可以转化为一个类的r i c c a t i 方程 的解；处理范围广泛，不管是参数摄动还是时变时滞系统，都可以处理。根据众多学者 的研究，目前最为普遍使用的是一种特殊的l y a p u n o v 函数，其形式如下： 矿( x ( ，) ) = x 7 ( t ) p x ( t ) + l 。x 7 ( s ) q x ( s ) d s 式中p ，q 是j 下定对称矩阵。然后求导可以获得系统的稳定性条件： 第l 章绪论 q + 掣p 爿 t o ( 2 1 ) 对于微分方程( 2 。1 ) ，如果存在工r “使得f ( t ，工) = 0 ，则x ( t ) = z 是方程( 2 1 ) 的定常解。我们称石为该系统或微分方程( 2 1 ) 的平衡点。 定义2 1 1 如果对于任意给定的g 0 ，存在8 ( 6 ) 0 ，使得对于任意满足 _ t o 则称平衡点工。= 0 是稳定的。 定义2 1 2 如果平衡点，= 0 是稳定的并且有 墼) 0 = o 成立，则称j = 0 是渐近稳定的。 定义2 1 3 如果，= 0 是渐近稳定的并且存在正数a o 和名 0 使得 l i z ( 1 ) 1 1 - _ t o 成立，则称，= o 是指数稳定的。 定义2 1 4 4 5 1 如果存在厂 0 和厂( r ) 0 满足以下条件： 愀f ) l | 0 则称系统( 2 1 ) 在平衡点是指数稳定的，称为指数稳定度。 稳定性问题是自动控制系统设计中的一个基本问题。事实上自动控制理论的 发展就是从m a x w e l l 对于w a t t 离心调速器的稳定性分析开始的。在设计一个控制 系统时，总是要保证陔系统具有某种意义下的稳定性，然后才考虑系统其它方面 的问题。目前在各种稳定性理论中占有主导地位的是l y a p u n o v 建立的稳定性理论。 第2 章预备知识 本文中我们用到的l y a p u n o v 稳定性理论是以l y a p u n o v 第二方法为内容的稳 定性理论。下面我们不加证明的给出l y a p u n o v 第二方法中的三个基本定理。 定理2 1 1 若存在正定函数v ( t ，x ) ，它沿着微分方程( 2 1 ) 对时间t 的导数是 负定的，则方程( 2 1 ) 的解x 兰0 是稳定的。 定理2 1 2 如果对定理2 1 1 的条件再加上如下两条： ( 1 ) v ( t ，x ) 具有无穷小上界； ( 2 ) v ( t ，x ) 是负定函数。 则方程( 2 1 ) 的解工兰0 是渐近稳定的。 定理2 1 3 如果存在一个函数矿( f ，功，定义区域，岛，u x l l o ) ，并且满足 以下条件： ( 1 ) v ( t ，0 ) 暑0 ，v ( t o ，x ) 在x = 0 的任意邻域可取到正值： ( 2 ) 在集合 ( f ，x ) l y ( f ，力 o ，f f o ，b l l - 0 的开区i b j 内有界，即 i ，( s ) l 6 ，r e ( s ) 0 则这个界限的上确界定义为f ( s ) 的矾范数，公式化如下： 炉( s ) k = s u p i f ( s ) i ：r e ( j ) 0 第2 章预备知识 若设r ( j ) 为稳定的从系统干扰输入信号到被控输出信号的传递函数，如果能 设计控制器使0 丁( s ) 忆达到最小值。那么具有有限功率谱的干扰对系统的误差影响 将会降到最低程度。 考虑如图2 1 所示的系统，吃标准设计问题就是选择一个实有理和j 下则的反 馈控制器“= k ( s ) y ，确保在用此控制器后被控对象g 内部稳定的前提下，使得由 干扰输入到被控输出的传递函数丁( s ) 的也范数满足约束条件8 丁( s ) k 1 。 wz 图2 1 也标准设计问题 f i g 2 1t h es t a n d a r dq u e s t i o no f 玩c o n t r o l 其中，z y i q , 缈乙，”i p 分别是控制输出、测量输出、干扰输入和控制输入。 控制输出向量z 通常包括误差信号和加权控制输出，干扰输入向量缈通常包括干 扰、噪声和指令，测量输出向量y 通常包括可测的并且可用于反馈的所有信号，控 制输入向量”通常指可以改变系统行为的所有信号。 也标准设计问题的系统结构描述如下： 嘲= 黜嘲嘲圳s 肥l u ( s ) 【y ( s ) jl g 2 ( s ) g 2 z ( s ) 儿“( j ) j j 显然有 丁o ) = g l 。( j ) + g i ：( s ) k ( s ) i - g 2 ：( s ) k ( s ) 】- ig 2 ( s ) 不确定变时滞中立型系统的指数稳定与控制 2 3 线性矩阵不等式的介绍 在过去的十余年内，由于线性矩阵不等式的优良性质以及解法的突破，使其 在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。在此之前，绝大多数的控 制问题都是通过r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式的方法来解决的。但是解r i c c a t i 方 程或r i c c a t i 不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。这给实际应 用时解决问题带来极大地不便，而线性矩阵不等式方法可以很好地弥补r i c c a t i 方 程方法的上述不足 4 6 1 。在解线性矩阵不等式时，不需要预先调整任何参数和j 下定 对称矩阵。所以本文的结论都是采用l m i 的形式描述的，下面简单介绍l m i 的基 本概念。 一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( x ) = 层+ 而e + + k o ( 2 2 ) 的一个表达式。其中五，靠是辨个实数变量，称为是线性矩阵不等式( 2 2 ) 的决 策变量，工= ( 五，l ，) r i 耐是由决策变量构成的向量，称为决策向量。 f = f r l - n 。l ，i = 0 , 1 , - - - , 班是一组给定的实对称矩阵，式( 2 2 ) 中的不等号“ ”指 的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有非零的向量，伊f ( 曲， o 。所有满足线性矩 阵不等式( 2 2 ) 的x 的全体构成一个凸集。 显然，多个l m i s 可用一个l m i 表示，即 互( x ) 0 ，互( z ) 0 ，l ，( 石) 0 称为一个线性矩阵不等式系统，等价于 巧( x ) e ( 工) d 乞( x ) o 在控制领域中，许多问题初看起来不是线性矩阵不等式问题，但是都可以通 过适当的处理转化为用线性矩阵不等式来描述的优化问题。这里我们只介绍三类 标准的线性矩阵不等式问题及其求解：一是可行性问题( l m i p ) ；二是特征值问题 第2 章预备知识 ( e v p ) ；三是广义特征值问题( g e v p ) 。在m a t l a b 的l m i 工具箱中给出了这三类 问题的求解器。控制系统中的一些性能指标，稳定性判据可以转化为l m i 这三类标 准问题，其原因在于：一方面用l y a p u n o v 方法容易得到凸的或拟凸的条件，另一 方面l m i 本身能表示范围广泛的不同类凸约束。 求解线性矩阵不等式问题的算法主要有椭球法和内点法。其中内点法的优点 很明显，它不需要给出迭代的初始可行解并且能够求解拟凸问题。m a t l a b 软件 开发出功能强大的l m i 工具箱的算法就是基于内点法，它提供了与前述相对应的三 类标准的线性矩阵不等式问题求解函数：f e a s p ，m i n e x ，g e v p 。此外，该工具箱还 可以用于： ( 1 ) 多目标控制器综合，包括l q g 综合、以综合和极点配置综合； ( 2 ) 系统鲁棒性的分析和测试，包括检测时变线性系统的二次稳定性，带有参 数的l y a p u n o v 稳定性以及带有非线性成分的p o p o v 准则； ( 3 ) 系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值问题等方 面。 线性矩阵不等式的求解可以化为凸优化问题的求解。内点法、椭球法等是求 解线性矩阵不等式的有效算法。 由于目前许多控制系统分析设计问题及特殊约束条件均可以转化为一组线性 矩阵不等式的可解性问题来处理，考虑到无需参数调整给应用带来了极大的方便， 因而以线性矩阵不等式为工具进行研究工作己经越来越成为目前控制理论界的潮 流。出现了许多求解线性矩阵不等式的优秀工具软件，与此同时，l m i t 具箱还提 供了两个交互的图形用户界面( g u i ) ：l m i 编辑器和m a g s h a p e 界面。用户可以在 l m i 编辑器中很方便地描述线性矩阵不等式。而对应三类标准的线性矩阵不等式问 题的函数求解器简单介绍如下： 1 f e a s p $ i 数 对于如下的线性矩阵不等式 4 ( x ) b ( x ) + 见歹 不确定变时滞中立型系统的指数稳定与控制 f e a s p i 函数将在上面的约束下搜索决策变量工，使得满足上式的名最小化。显然，如 果k o 则线性矩阵不等式彳( 工) b ( x ) 有解，并且对应的石即为一组可行解。 2 m i n c x 函数 该问题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵尺为的最大特征值的最小化 问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是 m i n 力 踉j g ( x ) 2 i 【h ( x ) 0 也可以转化为以下的一个等价问题 m i nc r x s j ，f ( 力 0 其中c 为决策系数，x 为决策变量。 3 g e v p 函数 求解如下的广义特征值最小化问题 m i n2 f g ( 曲 0 【h ( x ) o g e v p 函数在以上约束有解时给出名的最小值。 2 4 相关引理 引理2 4 1 【1 0 1s c h u r 补定理 对于给定的对称矩阵s = 眨鼢其帆是维的。以下三个条件是等 价的 ( 1 ) s 0 ： ( 2 ) s i l 0 ，蔓2 一是l s i s 1 2 0 ； ( 3 ) 是2 o ，墨l - s , 2 是2 _ 足l 0 是给定的适当维数的常数矩阵，p 是对称矩阵变 量，则应用引理2 4 1 ，可以将( 2 3 ) 的可行性问题转化为一个等价的关于矩阵p 的 线性矩阵不等式 p + ? + q 朋 o 【 b 厂prj 一 的可行性问题。 引理2 4 2 【1 0 】给定具有适当维数的正定矩阵r = r r , q = q r 和适当维数的矩阵 日，昱，f ，并且f 满足f r f r ，则 p + h f e + e 7 f r h r 0 使得 d + t h h r + a 一1 e 7 r e 魄 眦 啦媚，竺y麓 第3 章不确定变时滞中立型系统的指数稳定性分析 第3 章不确定变时滞中立型系统的指数稳定性分析 3 1 引言 稳定性分析是控制理论中一个重要的基础问题，稳定性分析的任务是寻找使 系统稳定的充分条件，为设计控制器提供一定的条件。在时域分析方面，l y a p u n o v 第二方法是分析中立型时滞系统稳定的主要的有力工具。近几年，随着r i c c a t i 方 程和线性矩阵不等式理论的发展，使得很多学者尝试着把这些理论推广应用到中 立型时滞系统中，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，得出以线性矩阵不等式表示的 中立型时滞系统的稳定性准则2 0 , 2 2 之5 】。线性矩阵不等式可以用m a t l a b 中提供的 l m i 工具箱方便地求解。 实际生活中，与常时滞模型相比较，变时滞2 6 - 2 9 系统模型能够更好地模拟实 际系统。由于系统本身和建模过程中不可避免的存在不确定性【3 0 4 7 1 ，因此当标称 系统( 即忽略了不确定性的系统) 稳定时，保持不确定系统稳定的时滞的允许摄 动范围的大小，相对来说是很重要的。因此，对于不确定变时滞系统稳定性的研 究对于解决实际问题有很大的帮助。目前相对于常时滞系统来说，对于变时滞的 中立型系统的研究还比较少。而且对于具有不确定性和时变时滞性的中立型系统， 多数是研究系统的渐近稳定性f 2 9 - 3 0 ，关于系统的指数稳定性f 3 l 】研究还比较少。 本章将讨论不确定变时滞中立型系统的指数稳定性分析。通过构造适当的 l y a p u n o v 泛函，用线性矩阵不等式的形式给出基于l y a p u n o v 第二方法的系统的时 滞相关指数稳定的充分条件。最后通过数值算例说明了所得结论的有效性。 3 2 问题描述 考虑如下不确定变时滞中立型系统： j ( f ) = ( 4 + a a ( t ) ) x ( t ) + ( b + a b ( t ) ) x ( t r ( f ) ) + c x c ( t j i z ( f ) ) x ( f ) = 烈，) t 【- d ，0 】 ( 3 1 ) 其中，工( f ) 是甩维状态向量，f ( f ) ，h ( t ) 为有界变时滞，假设满足如下条件： 不确定变时滞中立型系统的指数稳定与控制 j 0 r ( ) 三们? 1 ( 3 - 2 ) 【0 h ( t ) h 0 ，使得 g = p + p a + 2 净+ 圣+ e ：e 。p b + e e b p ca 1 良p d 卑 一o i e - 2 暗龟+ 磁e b 0b 。夏0 一吼p 。2 厉夏c 7 夏0 宰幸 搴 一页初 幸 母 一i 成立，则系统( 3 。1 ) 的平衡点是指数稳定的。而且 0 x ( f ) 8 0 ( 3 3 ) 竺! 二丝兰些竖壁兰型l 。 4 ) 厶( p ) 其中，q 2 i ，n 卸f ( 1 一于( f ) ) ，呸2 噶( 卜五( f ) ) ，i l 肘一i i = 一s ，u 幺p 卯i i x ( s ) i i ，i i 鸠忙罢。愀s ) 0 。 证明 定义如下正定的l y a p u n o v 函数 y ( x o ) ) = k + + 以 其中k = p 2 玎工( f ) 取( f ) ，匕= f - 巾) p 撕x r ( s ) 缈o ) 幽，匕= 卿，p 2 8 ，( s ) 戤( j ) d s 沿着系统( 3 1 ) 的轨迹，对y ( x ( f ) ) 作时问t 的导数 第3 章不确定变时滞中立型系统的指数稳定性分析 坟= 2 r e 2 斤j 7 ( t ) p x ( t ) + 2 e 2 阿工r o ) p ( 么+ 4 0 ) ) 顶f ) + ( b + 8 ( ，”j 啦一f ( ，) + c 戈9 一 ( f ) ) 吃= p 2 疗工ro ) q 舅( f ) 一( 1 一矿o ) ) e 2 7 卜7 m x ro r ( t ) ) q x ( f f o ” 成= p 2 ”j ro ) r 圣( f ) 一( 1 一五( f ) ) p 2 7 卜6 “ j r ( f h ( t ) r 2 ( t - h ( t ) ) i j r o ) = 攻+ 攻+ 吃 = p 2 一 工7 ( f ) 【2 ，罗+ ( 么+ ( 彳) o ) ) r p + p ( 4 + 4 ( f ) ) + q + ( 彳+ ( 彳) o ) ) rr ( a + 彳o ) ) 】工( f ) + x r ( f ) 【p ( 艿+ 丑o ) ) + ( 么+ 4 ( ) ) 7 r ( b + a b ( t ) ) x ( t - r ( t ) + ，( f ) 尸c + ( a + 4 0 ) ) 。r c y c ( t 一 ( f ” + x 7 ( f f o ) ) 【( 一( 1 一于o ) ) e 一2 7 7 q + ( 召+ b ) rr ( b + a b ) l x ( t - r ( t ) ) + 工2 ( f f o ) ) ( b + 口) 7r c p o 一五( f ) ) + j r o 一 o ) ) 【一( 1 一再( f ) ) 口之抽r + c r 尺c 】j o 一 ( f ) ) + 工r ( f f o ) ) 【( b + 8 ) ) 7 r ( a + ( 么( f ) ) + ( b + 艿) 7 p x ( t ) + j r ( f 一 o ) ) 【c r 尺( 彳+ ( 彳( f ) ) + c r p 】x ( f ) +