（固体力学专业论文）圆柱壳结构开孔问题的研究.pdf

哈尔滨f ：样人学顶十学位i 仑文 摘要 本文从d o n n e l l 圆柱壳控制方程出发，在陈学潮最小二乘配点泫分析 圆柱壳丌孔的应力集中的基础上，采用加权残值法中的最小二乘配点法， 对于丌有圆孔的圆柱壳在轴向拉伸荷载或封闭内压作用f 的应力集中问题进 行了分析研究，编制了计算机程序，给出了开孔率s 0 6 1 拘数值解。并 将所得结果与解析解及a n s y s 计算结果进行了比较，得到了较为精确的结 果，验证了算法的可行性及程序的通用性。取不同的开孔率和不同的泊松 比，对丌孔圆柱壳进行了分析计算。同时对于轴向拉伸荷载作用下的开有加 强孔的圆柱壳进行了程序计算，并将其与非加强孔的解进行了比较。得出了 如下结论： ( 1 ) 对于一般孔： 在自由孔口条件下，孔口应力集中系数与壳体的半径厚度之比以 及壳体的曲率参数a 2 夕缶有关； 泊松比对孔边应力集中因子的影响不大； 解答的精度和收敛的速度很大程度上取决于所选的试函数； 本文适用于开孔率s 么圆柱壳求解。 ( 2 ) 对于加强孑l ： 孔1 ：3 最大膜应力集中系数显著降低，并且随着开孑l 率的增大，降低的 幅度越大，膜应力集中系数沿孔边分布变化趋势平缓； 在，方向上，随着距离孔口越来越远，最大膜应力集中系数的降低趋 于平缓。 本文为计算开孔圆柱壳的应力集中系数提供了较为简便的数值算法，具 有实际意义。 关键词：丌孔圆柱壳；加权残值法；最小二乘配点法；试函数；加强孔 f 喻尔滨一挫大学硕十学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e lt h ep r o b l e m sa r es t u d i e da b o u ts t r e s sc o n c e n t r a t i o ni nat h i n c y l i n d r i c a ls h e l lw i t h af r e ec i r c u l a ro p e n i n gu n d e ra x i a lt e n s i o no ri n t e r n a l p r e s s u r e 。b a s e do nd o n n e l l sg o v e r n i n ge q u a t i o no fl i n e a rs h a l l o ws h e l lt h e o r y a n dt h e p a p e r a p p l i c a t i o no ft h em e t h o do ft h e l e a s ts q u a r e sa n dp o i n t c o l l o c a t i o nt os t r e s s e sc o n c e n t r a t i o n si na c y l i n d r i c a ls h e l lw i t hac i r c u l a r o p e n i n g t h ec o m p u t e rp r o g r a ma n dt h er e s u l t so f 姐6a r cg i v e n - b y c o m p a r i s o nt ot h er e s u l t sw eg e t ，t h ea n a l y t i c a lr e s u l t sa n dt h ea n s y sr e s u l t s ，i t s h o w sg o o dc o n s i s t e n c ya n da c c u r a c y t h ef e a s i b i l i t yo ft h i sm e t h o da n dt h e u n i v e r s a l i t yo ft h ep r o g r a ma p p r o v e 、 a n a l y z i n gat h i nc y l i n d r i c a ls h e l lw i t haf r e e c i r c u l a ro p e n i n gb a s e do n d i f f e r e n t o rd i f f e r c n t p o i s s 。n sf a r i oa n dat h i nc y l i n d r i c a ls h e l lw i t ha s t r e n g t h e n e d c i r c u l a ro p e n i n gu n d e ra x i a lt e n s i o n ，w ec a nd r a wt h ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n ： ( 1 ) t h en o r m a lo p e n i n g ： ，r h es t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r sr o u n dt h eo p e n i n ge d g eo fac y l i n d r i c a l s h e l l w i t ha f r e ec u t o u ta r er c l a t e d l o a n d ”乡石 t h ep o i s s o n sr a t i od o e sn o ti n f l u e n c et h es t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r s m u c h ( 要) t h ea c c u r a c ya n dt h ec o l l e c t i o nr a t el i eo nt h et r i mf u n c t i o nw es e l e c t t h es o l u t i o n sa r ea p p l i c a b l ef o r s ( 2 ) t h es t r e n g t h e n e do p e n i n g ： 廷) t h em a x i m a ls t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o rr o u n dt h eo p e n i n ge d g er e d u c e o b v i o u s l y t h ec h a n g i n gt r e n do fm a x i m a ls t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o rr o u n dt h e o p e n i n ge d g eb e c o m e sn o ts h a r p i nt h ed i r e c t i o no f ，t h ec h a n g i n gt r e n do fm a x i m a ls t r e s sc o n c e n t r a t i o n f a c t o rb e c o m e sn o ts h a r pf a ra w a yf r o mt h eo p e n i n g 哈尔滨i 群人学硕十学位论文 w eo f f e ras i m p l em e t h o dt og e tt h es t r e s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r si nat h i n c y l i n d r i c a ls h e l lw i t haf r e ec i r c u l a ro p e n i n gi nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：c y l i n d r i c a ls h e l lw i t ho p e n i n g , ；m e t h o do fw e i g h tr e s i d u a l s t h em e t h o do ft h el e a s t s q u a r e sa n dp o i n tc o l l o c a t i o n ；t r i a lf u n c t i o n s t r e n g t h e n e do p e n i n g 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开 发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ：垃遣 日期：2 0 0 5 年2 月1 0 日 哈尔滨! 程人浮硕士位论文 1 1前言 第一章绪论 壳体是, 十s t j 度大、重量轻的二维承载结构，在船舶与海洋工程、航空、 航天、电力、核工程、石油化工、压力容器以及土木等工程中得到广泛的应 用。为满足工程设计的实际需要，必然要在壳体结构上开各种形状的孔。壳 体开孔以后，由于其截面尺寸受到削弱及其结构的几何连续性遭到破坏，在 承受外部载荷作用时，孔口附近区域的薄膜应力将大幅度增加。不仅如此， 由于壳体存在着曲率，这就使得开孔在影响壳体中面内变形状态的同时，还 将引起壳体沿法向的变位，进而产生弯曲变形，这就破坏了壳体无孔时的无 矩应力状态而造成比较大的弯曲应力，产生明显的应力集中现象。应力集中 区域由于有膜应力和弯曲应力的双重影响，因而其最大应力可能超过其平均 应力的几倍甚至十几倍，由此会大大降低结构的承载能力，同时也将会减少 循环载荷作用下结构的使用寿命。所以分析壳体结构由于开孑l 引起的应力集 中问题在工程实践中具有十分重要的意义，对于应力集中问题的研究在固体 力学的领域中一直是非常重要的课题之一1 1 l 。 圆柱壳开孔问题的分析是对圆柱壳接管等问题进行分析和研究的基础， 长期受到学术界和工程界的重视。含有圆孔的圆柱壳的应力状态的理论分析 自l u r i e 闭发表第一篇论文后，国内外学者在这方面作了大量的工作，有用变 分法求解，有用实验方法求孔口附近的应力状态。随着计算机出现和发展， 用有限元求其近似解尤其多。但是，用解析解求解困难重重，其结果也有差 异，特别是对于复杂问题更难以实现，用有限元求解计算机机时耗费大。随 着数值解法的发展，加权残值法在固体力学得到了较大的发展，在我国自文 献“加权残数法解固体力学问题发表后，此方法在固体力学各个领域的 应用日益增多。1 9 8 8 年陈学潮”1 发表了最小二乘配点法分析圆柱壳开孔的 应力集中，用加权残值法解圆柱壳开孔问题。 针对以上情况，本文用a n s y s 软件对圆柱壳开孔问题进行数值分析， 同时在陈学潮m 最小二乘配点法分析圆柱壳开孔的应力集中的基础上编 制计算机程序，进行开孔圆柱壳在不同的外部载荷作用下，孔口附近的应力 计算。最后将两种方法的计算结果相比较，并与已有的理论解”1 相对比。在 此基础上，对丌有加强孔的圆柱壳受轴向拉仲荷载作用下的膜应力进行了试 算，并与非加强孔进行了比较。 1 2国内外研究动态、文献综述与分析 所谓薄壳是指中面曲率半径远远大于厚度的壳体，工程上一般要求壳体 b 的厚度比值! 苫2 0 。对于薄壳开孔的应力集中问题的研究，自苏联学者 h r lypbe 于1 9 4 6 年给出了薄圆柱壳开4 , 孑l f 7 题的渐进解答后的五十年中，国 内外诸多的专家学者为深入研究这类课题而投入了的大量的人力和物力，从 事理论分析、计算及对模拟载荷作用下的实际壳体或模型进行电测、光测等 实验研究工作，并积累了大量的文献。 1 iypbe 采用扁壳理论中的d o n n e l l 基本控制方程，用摄动级数的形式 ，厅 考虑了壳体曲率的修正，研究了开孔率鲁、仨量级情况下开孔周边应力的 y 分布规律，给出了薄圆柱壳小开孔问题在承受轴向拉伸和承受内压载苟作用 之下的幂级数渐进解析解。这个解答只有在开孔率趋近于零的情况下才是精 确的。尽管此解的适用范围受到一定限制，但其求解方法仍然得到了推广。 在这之后，w i t h u m ，s h e v l i a k o v 等人利用相类似的方法，对小开孔薄圆 柱壳承受扭转荷载作用的应力集中问题进行了求解，给出了开孔附近应力集 中系数的数值结果，同时得出了开孔圆柱壳应力集中系数大于平板应力集中 系数，且与壳体结构参数 坠有关的结论。 、r h 六十年代，v a nd y k e ，e r i n g e n 和n a g l l d i ，l e k k e r k e r k e r 等将d o n n e l l 方程 的解用h a n k e l 函数展开，分别采用不同的方法满足开孔边界的边界条件，得 到了开孔率7 妄形范围的解。我国学者钱令希对圆柱壳及球壳小开孔的应 ，t 力集中问题进行了理论分析，用f o u r i e r - - b e s s e l 函数展开的方法给出了圆 柱壳开孔问题孔边位移和应力的一般解。虽然他们在满足边界条件时采用了 一些不同的方法，但是在描述开孔的边界条件时，仍假定开孔的边界线在圆 柱壳的展开面上是一个圆。这一假定只适用于圆柱壳开小圆孔的情况。龙驭 球等人也采用摄动法对扁壳开圆孔附近的应力分布进行了研究，在以球壳为 初始解的綦础上，通过h a n k e l 变换求出了各阶修j f 解，并给出了数值结果。 v e n k i t a p a t h v 、m u r t h y 以及s a v i n 等人对圆柱壳开椭圆孔的问题进行了研究， f 分别得到了相应问题的摄动解。1 9 7 0 年，a 丌m y r o e _ ! i 以1 一导( e 。、毛分 e l 别为壳体的纵向和横向的弹性常数) 为小参数，用摄动法对f 交异性开圆孔 圆柱壳孔口附近的应力分布进行了研究。1 9 7 4 年，m u r t h y 等人在研究薄圆柱 壳含椭圆孔及裂纹情况下的应力分布时，用椭圆坐标系下的m a t h i e u 函数， 以椭圆率和壳体曲率参数表示了圆柱壳在轴向拉伸载荷作用下的应力集中系 数，同时指出其解答只适用于小开孔情况。o t i n g l i f f 和s i c h a o 也分别研 究了圆柱壳开椭圆孔在轴向拉伸和扭转荷载作用下的应力集中问题，他们通 过椭圆坐标系下m a t h i e u 函数对孔边的应力集中系数进行了求解，并给出了 数值计算结果。 八十年代，徐秉汉等对壳体结构丌孔问题进行了理论分析和实验研究。 他们在对开孔圆柱壳及球壳在各种不同边界条件下的应力集中问题作了大量 的有限元分析和实验的基础上，对壳体结构的开孔问题的理论和实验研究作 了较为详细和全面的论述。1 9 8 7 年，裴俊厚对圆柱壳沿母线方向开两个圆孔 的应力集中问题进行了解析分析，并给出了该问题的计算方法和数值结果。 八十年代后期至九十年代中期，胡超利用刘殿魁等人提出的复变函数方 法对圆柱壳开任意形状的小孔问题进行了分析，给出了关于圆柱壳任意形状 小开孔应力集中问题的一般解。张丕辛、黄克智、陆明万在进行误差分析的 基础上给出了修正的m o r l e y 圆柱壳控制方程，并给出了适合圆柱壳开孔问题 的边界条件的解答。s t e e l e 给出了可在圆柱壳展开面上描述开孔边界线的n s 曲线坐标系，并应用该曲线坐标系中的d o n n e l l 圆柱壳基本方程求解开孔问 题。但由于此方法过于复杂，而无法直接求解，故只好采用近似方法。薛明 德等人从高精度修正的m o r l e y 圆柱壳基本控制方程出发。以开孔率玉及壳 r l 体的厚度半径之比詈为小参数，用摄动的方法对薄圆柱壳开大圆孔的边值问 题进行了渐进求解。1 9 9 7 年，宋天舒利用复变函数和保角映射的方法，研究 丌任意形状大孔的薄圆柱壳在不同外部载荷作用下，孔口附近应力集中问题 的一般解法，同时为工程实践中的大开孔圆柱壳结构的强度设计，完善有关 的设计规范，提供理论依据。 3 1 3 壳体结构开孑l 问题的求解方法 壳体结构开孔应力集中问题的求解，在七十年代以前主要是采用解析的 方法，就是在给定的外载荷条件下，寻求满足该结构的基本控制方程及边界 条件的解析表达式。如分离变量法，摄动法，积分变换法等，但这类问题能 够得到显式解的情况很少，主要是渐进解。七八十年代以来，由于超级电子 计算机的出现及应用，有限单元法、边界单元法、有限差分法、加权残值法 等数值计算方法得到了发展，使人们得以解决许多以前用纯解析的方法无法 解决的问题1 1 ) 。 壳体开孔应力集中问题的求解方法主要有： ( 1 ) 分离变量法 用该方法求解壳体结构开孔问题时，首先要根据开孑l 的形状选择合适的 坐标系。空间曲线坐标系有十三种，而求解壳体开孔问题而能够进行分离变 量的只有极坐标系和椭圆坐标系。壳体的控制微分方程经算子分解降阶后可 化成几个h e l m h o l t z 型方程，在上述两种二维曲线坐标系内分离变量，并可 利用这两种坐标系下相应的特殊函数取构造偏微分方程的解，然后设法满足 给定的边界条件，从而使具体问题得以解决。 分离变量法能够解决的问题非常有限。因为用该方法获得的壳体方程的 解在满足开孔的边界条件时，由于数学上的困难将受到限制，只能求解壳体 开小圆孔和开小椭圆孔的问题，而无法求解壳体展开面上非圆非椭开孔的边 值问题。 ( 2 ) 积分变换法 该方法的优点在于其适用范围广。控制方程可以是非齐次的，方程中还 可以包含奇异函数。对控制方程进行适当的积分变换，可将偏微分方程转化 成常微分方程，将时域内的动力方程转化为频域内的静力方程，从而使所求 问题得以简化。然后通过求逆变换来得到问题的解。 ( 3 ) 摄动法 该方法在壳体开孔问题的研究中，一般咀壳体曲率参数或开孔率为小参 数，进行渐进求解。摄动法可用来求解薄圆柱壳大开孔的边值问题。 ( 4 ) 复变函数方法 浚方法对求解板壳结构的开孔问题特别是非圆开孔问题有其独特的优 越性。应用复变函数方法解决问题，在给出陔问题的一般解后，可以结合保 4 喻尔滨 稃人颂 “j 7 位论文 角映射的方法去满足年h 应的边界条件。 ( 5 ) 数值解法 壳体问题不可避免要求解高阶微分方科，加上壳体几何结构的复杂性、 边界条件及外载荷形式的描述等因素的限制，能够利用算子理论将壳体的控 制方程降阶，并最后得到关于壳体边值问题解析解的情况并不是很多，而许 多问题要用数值方法去求解。由于高速电子计算机的出现和广泛应用，数值 解法在近二十年来得到了迅速发展。板壳结构开孔问题中常用的数值解法主 要有：有限单元法、边界单元法、有限差分法及加权残值法等。 1 有限单元法 有限单元法是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具 有一定大小的单元，这些单元仅在有限个结点上相连接，并在结点上引进等 效力代替实际作用于单元上的外力。对于每个单元，根据分块近似的思想， 选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量 原理( 或用变分原理) 建立单元结点力和结点位移之间的关系。最后，把所 有单元的这种关系式结合起来，就得到一组以结点位移为未知量的代数方程 组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散结点上的位移。由于有限单 元法的分割和结点的配置比较灵活，即使边界较复杂，也可使边界结点落在 实际边界上，因而可给出边界的较好的逼近，且可以在应力集中区域配置较 多的结点，以提高解的精度。 随着有限元理论基础的日益完善，出现了很多通用和专用的有限元计算 软件。a n s y s 程序即是应此要求而发展起来的计算机仿真设计工具。 2 边界单元法 该方法是在有限元法之后发展起来的一种数值计算方法。其基本思想是 将问题的控制方程转换成边界上的积分方程，然后引入位于边界上的有限个 单元将积分方程离散求解。经离散化后的方程组只含有沿边界上的结点未知 量，因而降低了问题的维数，求解方程的阶数较低，故数据准备方便，计算 时间短。另外，它引用了问题的基本解，具有解析与离散相结合的特点，因 而计算精度较高。 3 、加权残值法 该方法是新兴的计算力学方法。它可以直接从微分方程式中得出近似 解。用这种方法解微分方程时，首先假定一个试函数作为方程的近似解，其 中含有已确定的试函数项和待定的系数或待定的函数。接着将这试函数代入 微分方程及其边界条件等，一般不能满足，便出现了残值。为使试函数中的 岭尔滨 ：程人学硕十1 7 信论父 待定系数或待定函数所组成的试函数近似解能满足微分方程及其边界条件， 组成消除残值方程绢。在消除残值方程中引入权函数去乘残值，然后在一定 域。l i 消除残值。便得到了待定的系数，试函数形式便被确立，它就是满足控 制微分方程及边界条件的近似解。 在这种方法中，必须利用结构物理学理论中的控制微分方程式，解微分 方样时关键的一步就是选择作为方程近似解的试函数，试函数选择得当与否 会影响计算结果及解的收敛速度。例如可将己获得的解析法的解作为确定试 函数的参考，适当的采用。由于板壳力学应用广泛，所以加权残值法在此领 域中发展较多。 1 4 本文的研究工作 本文采用d o n n e l l 型薄壳理论及加权残值法，对薄圆柱壳开孔的应力集 中问题进行分析研究，编制了求解薄圆柱壳开孔应力的计算程序，给出了薄 圆柱壳开孔应力的数值解。本文所做的主要工作如下： ( 1 ) 首先建立曲线坐标系，对壳体的基本方程进行推导，得出圆柱壳的 d o n n e l l 控制微分方程及边界条件，并转化到极坐标下。 ( 2 ) 应用加权残值法，设定试函数，代入到控制微分方程及边界条件， 得到消除残值方程组。根据此方程组编制计算机程序，求得试函数中待定系 数，从而得到试函数，并由此求得孔边应力集中系数。程序编制主要采用 m a t l a b 程序。 ( 3 ) 为说明问题，对具有不同开孔率的开孔圆柱壳，在承受轴向拉伸或 封闭内压外载荷条件下，自由孔边界上的膜应力集中系数和弯曲应力集中系 数进行了数值计算，并将所得结果与理论解“1 及a n s y s 计算结果进行比较。 ( 4 ) 在上述程序的基础上，对于开有加强孔的圆柱壳在轴向拉伸荷载作 用下，求解其孔边膜应力，并与均匀厚度圆孔所得结果进行对比。 6 哈尔滨 捌人学颇l 学位论文 第二章圆柱壳基本方程的推导 2 1壳体的一般方程嗍 壳体作为承载结构，主要承受沿壁厚均匀分布的拉压应力或剪切应力， 在一定的支撑条件下，有可能使壳体中的弯矩与扭矩都比较小，相对于平板 而言，壳体的变形也较小，设计合理的壳体，可以很小的厚度束承担相当大 的荷载。因而壳体结构比平板结构在强度和刚度方面具有更大的优越性，因 此在航天，航空，船舶，化工设备，土建工程及锅炉压力容器结构中得到广 泛应用。 2 1 1 坐标系的选取 在正交曲线坐标系筇y 中，在口坐标线上，当坐标改变d 口而卢及y 保持 不变时，新坐标( a + d a ，声，r ) 所对应的点岛将与( 口，卢，r ) z z 删e 点位 于同一d 线上，用出，代表弧长p e ，则有： 三 d s l = ( d x2 - i - d y2 + d z2 ) 2 ( 2 一1 ) 因： z = 五( a ，声，y ) ，y = ，2 ( 口，多，y ) ，z = 五( 口，芦，y ) a = 墨( 五弘办= e ( 墨y ，办y = e ( 弓y ，力 同时，因为在8 坐标线上，坐标卢和y 保持不 变，则有d 芦= d r = 0 ，故可得： 图2 1 正交曲线坐标系 d x 。兰d 砂；兰地出：兰妇 ( 2 _ 2 ) d 口d 口 d 口 将( 2 - 2 ) 代入( 2 - 1 ) 中得： _，j，i 7 、虹 泛j牮 ， i j j 也 。 、三二， 、i d = f ( 亳d a ) 2 + ( 毫d 。) 2 十( 毫d a ) 2 j2 ( 篆) 2 + ( 曩) 2 + ( 煮) 2 2 d a 令d s l = h 1 d a 贶h 。，( 詈) 2 + ( 罢) 2 + ( 鲁) 2 2 其几何意义为：当d 坐标改变时，线的弧长增量与a 坐标的增量的比 倌。称为d 方向的柿密系数，同样在疗方向和y 方向也有如上关系。用d s 。和 d s 3 分别代表弧长觋和鹏，有： d s 2 = h 2 d 卢，d s 3z h 3 d y 热 叫”盼j 叫盼盼j j ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 在空间正交曲线坐标系中，弹性体变形后，任意一点p 的位移在c t ，卢，y 三 个坐标方向的分量分别用, 1 | ，u ：，如表示，沿坐标方向的正应变分别用e i ，岛，巳 表示，剪应变分别用岛，屯，e a 表示。在任一点p 处取一微小六面体( 图2 2 ) ， 其所有棱边均沿坐标线a ，卢，y 方向，以尸q 为其对顶线，p 坐标为( c t , 肛y ) ， q 坐标为( t 2 + d a ，卢+ d 成r + d r ) ，在卢面内，心与号q 2 的交角为： f h ，+ 堕d y1 d a h ，d 口 d 吼，。丝1 2 二盟。 二生二二。上垫d 口 ( 2 5 ) ，h3d丑h3 a ， 于是艘在芦面内的曲率半径为： 耻堕h 。d c t = 去号，r n ；去j l ( 2 - 6 )丽百。i l l 尔滨f ：秣人学硕 学位l j 乏 i l 降 到p 日，p 只，p b i 个棱边在不同坐标面内的，、个曲率及曲率半径，如卜j ： d 如2 畸i 。三l ；_ d 癫、 1 a h ， h 、h2a p 1a h 。 爿2 日3a y 1 d h ， 3 h 1a a d 嘲j d 也。 1 a 以、 h l h 3o y ：j 一堕i ( 2 1 ) h z h la a 1 o h 3i h 3 h 2a 卢i j d 彘、 mj 一，多甭著 r 、b 图2 2 微小六面体 下面计算变形分量，并用位移分量表示，棱边尸写沿口方向的正应变岛由 “，“：，“3 引起，鹚的总的正应变为： 岛。土亟+ 叁+ 叁；喜堕+ 占塑 上堕双 h 1a a 墨2 墨3啊a 口 日l h 2a 卢2 。日1 日3a y ”3 ( 2 - 8 ) 再研究剪应变，以直角号码的剪应变q 。为例，其由明及p 只在y ( 或 a ，卢) 面内相互合拢的转角相加而得，它们由“。，“：引起。明向鹧的转角为： 。，上堕一旦 h 1d 口r i z 同样可得鹧向明的转角为： 疗1 一堕一生 。h 2 邮r 2 1 ( 2 - 9 ) 十1 0 ) ，并将去，去代入得： ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 致 出 州 “ 刮 上土如上 k = 葛 昔 上上上氏 ! 宣笙垦! ：矍叁堂堡上主笪堕塞 2 鲁杀( 薏) + 瓦hl 州0 ( u i ) 将( 2 - 8 ) 及( 21 1 ) 式中的角标1 ，2 ，3 轮换，同时将坐标a ，卢，y 轮换，共得出 用位移分量“，“：，表示的六个形变分量如f ： q3 可蔷+ 丽方“2 + 面亏屿 乞2 瓦万+ 瓦i 百叱+ 而- d - 口- a hh h h h 2 印 23a y 。21 d 口1 e 3 _ _ = _ 二+ 一二h 1 + _ 二h 。 h 38 yh 3 h 18 a i h 3 h a 转1 q ：一h 日2 。0 a ( 日u z ：i + i h ：i 。a 卢l ( 酉u 1 ) 2 每专( 考) + 鲁杀( 惫) 2 瓮嘉( 老) + 鲁专( 薏) ( 2 1 2 ) 上式为弹性体在三维空问的正交曲线坐标系中变形后任一点的几何方程。 2 2 薄壳理论”1 2 2 1 薄壳理论的基本假设 变形 i 垂直于中面的直法线，变形后仍保持为直线，并垂直于变形后 的中面，同时其长度仍保持不变； 垂直于中面方向的挤压应力较小，由它所产生的应变可忽略不计： 体积力和表面力可一起折算为中面上的载荷。 1 、壳体的正交曲线坐标系 过壳体上任一一点m 的法线的无数法平面于中面相交，曲率最大的曲线， 以及与它正交的曲率最小的曲线在m 点的曲率称为中面在m 点的主曲率，用 t n 哈尔溅f 群，、? 硕i ：学位论文 k 及k ，表小，相应的曲率半径称为。ir 而在m 点的主曲率半径，用r 及r 农 示。且e ：三，k ；二，切线方向总是沿中面的曲率方向，称为中面的曲率线。 尺，r 建立壳体坐标，以中面的曲率线为a 一坐标线及芦一坐标线，以中面的法 线为y 一坐标线( 指向曲率中心) ，如图2 3 蔷一：一：弄- l ，m 古 二一一7 | f r j ! y 。 i 图2 3 壳体坐标 壳体中面内任一点m 沿a 及卢方向的拉密系数分别用a 和b 表示，即 ( h 。) = 爿 ， ( h ：) 伽- b 在中面上的点 l 和q 之间的微分弧长为： 菠= 鼓墙；= a 髓七磅a 学 由前可知通过壳体内任一点p ( a ，卢，y ) 沿a 方向的微分弧长为两；h l d a ，且 箕；生! m m l 墨 ( 2 一1 3 ) 式中蜀为中面上在膨点沿口方向的主曲率半径，将蘑一q d 口，赢医一a d a 代入( 2 - 1 3 ) 式，得 啊= 爿( 1 一墨y ) ( 2 1 4 ) 同样得：仃：= 口( 1 一y ) ，h 3 = 1( 山于y 坐标为一直线，其量纲为长度， ， 一 p 喻尔滨i 样人学坝f 一学位沦之 于是弧长和坐标均具长度量别) ( 2 一1 5 ) 将( 2 14 ) ( 2 - 1 5 ) 代入h ，、h ，、h ，的关系式中得 佰 ( y = 0 ) 上： 旦仁里1 + 旦他丝1 ：一k a b ( 2 1 6 ) a 口爿a ajd 卢bd p j 式中：k = 墨丘称为高斯曲率 ( k 1 a ) r k 2 等，去( k ：矗) = k i 罢 c z ， ( 2 1 6 ) 式称为高斯条件，( 2 一1 7 ) 式称为科达齐条件。 应用假设将壳体中任意点的位移用中面上的位移表示，再将壳体中面 变形用中面位移表示，则得壳体几何方程；应用假设先简化虎克定律，再 将各内力用中面形变表示，导出壳体物理方程；应异 假设，取中面微分上 所作用的中面横向及切向载荷与内力的平衡条件，导出壳体平衡微分方程。 2 2 2 壳体的几何方程 由假设，采用上述曲线坐标系，则巳；o 及巳 ( 2 1 2 ) 第三式，得堕；0 d y = 0 ，；0 。由e 3 = o 及 ( 2 - 1 8 ) 设中面上各点在中面法线方向( 即y 方向) 的位移为w ，以指向曲率中心时 为f ，则由( 2 1 8 ) 式对y 积分得： “，= h ，( ，卢) = w ( 2 1 9 ) 由巳1t0 及e 2 31 0 ，式( 2 1 2 ) 第五及第四式，并应用( 2 1 4 ) 及( 2 1 5 ) ， 经微分运算后得y o 处( ( 9 1 ) 。“及( ：) 。一p ) ： 嚣l2 一即一去詈 胤。吣v 一言嚣j z 。， 因为壳体上坐标a ，声已确定的某一点，在y ：0 附近的有如下泰勒展开： 1 2 “小“0 ) + 愕卜丢脚h “小叫啪恃0 丢( 科- 0 + j 0 - 半，m i o - 芋( 2 - 2 1 ) ”( 1 一k y ) “一二詈 ”( 1 一墨r ) r 一言詈j ( 2 2 2 ) 将( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 2 ) 代入( 2 1 2 ) 式中的一、二、六式，利用 科达齐条件，约简( 1 一岛y ) ，同时取南“虽后化简得： 岛皇q r 咒，e 2 = p 2 一，z 2 ，p l2 = 1 2 一y z 12(2-23) 其中： q = 一1 i o u + 五v 石o , 4 aa 一即 1 8 8ba 8 1 j j z = 一l 石o v + 一u 石o b ba b 一w a 口a 口 一z 。 龟。鲁去( 砂詈吾( 三) 1 州0 ( k - u + 去罢) + 去( m 面10 w j - ) o a 筋。去啬卜吉嚣) + 去( 脚+ j 1 。a w a ，l 。o b i 2 吾隋杀( 鲁v + 吉嚣) + 鲥ad 烈( k 爿1 嘉罢) 】 ( 2 - 2 4 ) l l 介尔滨挂人 坝 “学位论文 壳体中曲卜六个形变分暹f 。，f 二s z ，z ：，新：必须满足薄壳中阳变 形的连续性，即： 2 2 3 壳体的物理方程 白= 考( 盯，一一盯。) ，e ：- 吉( 盯：一p 盯，) ，e ，：；兰毛 尘f 。： 解得： q ；毒( e 1 + , u e 2 ) ；寿( e 2 + e 1 ) = 丽e “z 珈) 将q ，e ：，岛代入上式得薄壳主要应力： q 。毒 ( ：) 一( 五妒z z ) 川 、1 ：= 万e 陋堆毛) - ( 射麓) 叫孓 ( 2 _ 2 7 ) _ ：= 丽e ( z 一2 z 。：y )j 通过壳体任意一点0 沿两个主曲率方向作两对法截面，它们在中面上的距离 分别为d s ，：a d a ，d s ，；b d 口，如图2 4 。在离开中面为y 的地方，墩一微小 1 4 雠一妒 i 叫一8 o ，l一，、一1一v ； 拦甓等卜 ，一 ) 1 2 口一口 照搬 监明山 川 d a 一 乇一 1 訾q 气 呜 一 一口卜卜-堕把 矾一妒 四一掘t川1 十 。碟书蛆。警锉蔫辫 圻 埘 根h f p 掣熊印 器 塑乩 些币 阪 上加 哈尔滨1 样人+ 7 ：坝l 学位论文 条形田i 积，法线朝a 的条形微面积为d f j = d s ，h ，d y ，法线朝向卢的条形微面 积为d = d s ，1 h ，d y 。在犯上作用有应力盯。，r 。：，在峨上作用有应力 j 2 ，f 2 1 ，f 2 3 ，故有： d = b ( 1 一k j y ) d p h ，d y ，d e ；a ( 1 一k 1 y ) d c t 。h 3 d y ( 2 - 2 8 ) r 图2 4 沿中面单位宽度的截面，由q 所合成的内力为： n i2 瓤q 识2 黩q ( 1 k z y ) d y m 1 。瓤吼蜗”黩q ( 1 一k 2 7 弦d ? ( 2 _ 2 9 ) 式中d s ：为中面宽度，e 为法截面的面积，其法线方向朝口坐标线， 将( 2 2 7 ) 代入，取1 一墨y - 1 ，1 一恐y - 1 ，积分锡： 1 ；可e h ( ：) ，2 - 品( ) 同理，由。，r 】，o - 2 ，毛，所合成的内力为： s ：；跏币e 丽h ，m ，；一。( 而+ ) m 2 ；一d ( 也+ 弘五) ，m 。2 暑m 2 。置一( 1 一p ) 石： d ：墅： 1 2 ( 1 一肛2 ) f a 尔滨1 稃人学硕e 学位论文 i ，：，s ，：= s ：，为。p 面内，j 或薄膜内力；m 。，m ：，m ：；m ：，q 【，q 2 为弯旧内 力，其i f 如图2 5 所示。