（固体力学专业论文）变分法在离子声波方程中的应用.pdf

摘要 变分法在离子声波方程中的应用 摘要 随着计算机科学的迅速发展，大型线性方程组的求解已经不 成问题；但对于非线性方程，尤其是强非线性方程，迄今为止还 没有一种通用的有效求解方法。自2 0 世纪6 0 年代开始，非线性 科学得到了突飞猛进的发展。由于非线性方程问题的复杂性和特 殊性，非线性方程没有统一的求解方法，因而出现了求解非线性 方程的各种方法，所有这些方法都有一定的局限性。 本文把变分法应用于非线性离子声波方程，建立了其相应的 变分原理。变分原理的建立除了在求解近似解析解方面有很大的 实际价值外，它还能揭示方程的本质特征，因而变分法得到普遍 的关注。 我们知道，大多数非线性波方程含有一阶导数，迄今无法寻 求含一阶偏微分方程的变分原理。为了克服这个困难，我们引进 适当的变换，使得变换后的方程就存在变分原理。 本文第一章首先介绍变分法的一些基本概念；一般来讲，建 立非线性方程的变分原理比较困难的，为了阐述建立变分原理的 方法，在第二章，我们给出了几个具体的例子来说明如何从场方 程出发来建立其相应的变分原理。本章也简单介绍了变分反问题 的一些基本方法。 通过几个例子( 非线性y a n g m i l l 方程和电化 摘要 学方程) 显示半反推法是建立变分原理的有效方法；第三章介绍 了求解非线性方程的几种常用方法，包括传统的摄动法和约化摄 动法；第四章讨论了k d v 方程变分原理的建立，并应用r i t z 方法 得到了孤立波解。与精确解比较说明变分法是求解非线性波动方 程的有效方法之一；基于离子声波方程的复杂性，很难直接建立 其相应的变分原理。为此在第五章，我们引进了一个特殊函数， 建立了以特殊函数等为独立变量的广义变分原理。对变分原理进 行适当的简化后，应用r i t z 方法，得到了离子声波方程的一个新 孤波解，该孤波解揭示了波的振幅、波速以及孤子宽度之间的相 互关系。 关键词非线性波动方程，离子声波，孤波解，变分法，r i t z 法 v a r i a t i o n a la p p r o a c ht oi o na c o u s t i c 、7 l 硝v e e q u a t i o n s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e rs c i e n c e ，t h e r ee x i t sn o d i f f i c u l t yi ns o l v i n gl i n e a re q u a t i o n sn o w , h o w e v e r , w eh a v en o u n i v e r s a la p p r o a c ht on o n l i n e a r e q u a t i o n se s p e c i a l l yt h o s ew i t h s t r o n gn o n l i n e a r i t y t h en o n l i n e a rs c i e n c eh a sb e e nc a u g h tm u c h a t t e n t i o ns i n c e19 6 0 s ，a n dt h en o n l i n e a r e q u a t i o n sa r eb e c o m i n g r i c h e ra n dr i c h e r t h en o n l i n e a r e q u a t i o n s h a v es o m e s p e c i a l c h a r a c t e r s ，a n dv a r i o u sd i f f e r e n tm e t h o d sw i t hm e r i t so nt h eo n eh a n d a n dd i s a d v a n t a g e so nt h eo t h e rh a n da r ei n t r o d u c e dt os o l v ev a r i o u s n o n l i n e a re q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ea p p l yt h ev a r i a t i o n a lm e t h o dt ot h ei o na c o u s t i c w a v ee q u a t i o n s ，a n di ti ss h o w nt ob eag r e a ts u c c e s s i na d d i t i o nt o t h et r e m e n d o u sp r a c t i c a l i m p o r t a n c e o fv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e si n e s t a b l i s h i n ga p p r o x i m a t em e t h o d s ，t h e r ea r es o m er e a s o n so fan l o r e f u n d a m e n t a ln a t u r ew h i c hm o t i v a t e v a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o ni n s c l e n c e a si ti sw e l lk n o w nt h a tt h e r ee x i s t sn ov a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n i l l f o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hf i r s t - o r d e rd e r i v a t i v e sw h i c ho c c u r si n m o s tn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i no r d e rt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t y , a t r a n s f o r m a t i o ni si n t r o d u c e d t h et r a n s f o r m e de q u a t i o n sa d m i ta v a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n c h a p t e r 1i n t r o d u c e ss o m eb a s i cc h a r a c t e r so ft h ev a r i a t i o n a l p r i n c i p l e i ti sa l w a y sd i f f i c u l t yt oe s t a b l i s hav a r i a t i o n a lp r i n c i p l e f o rn o n l i n e a re q u a t i o n s ，s o m ee x a m p l e sa r eg i v e ni nc h a p t e r2t o i l l u s t r a t et h ew a yh o wt oc o n s t r u c tv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n sd i r e c t f r o mt h ef i e l de q u a t i o n s i ti ss h o w nt h a tt h es e m i i n v e r s em e t h o di s v e r ye f f e c t i v ea n dc o n v e n i e n tt oc o n s t r u c tv a r i a t i o n a lf o r m u l a eo f s o m en o n l i n e a re q u a t i o n s ，e g ，y a n g m i l le q u a t i o n ，t h en o n l i n e a r e l e c t r o c h e m i c a l e q u a t i o n a n do t h e r s i n c h a p t e r3 ，v a r i o u s a p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l m e t h o d s i n c l u d i n g c l a s s i c a l p e r t u r b a t i o n m e t h o da n dr e d u c t i v ep e r t u r b a t i o nm e t h o da r ei n t r o d u c e d c h a p t e r4 d i s c u s s e st h ee s t a b l i s h m e n to fav a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o nf o rt h e w e l l k n o w nk d ve q u a t i o n t h er i t zm e t h o di sa p p l i e dt os o l v ei t s a p p r o x i m a t es o l i t a r ys o l u t i o n c o m p a r i n g o ft h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o nw i t ht h ee x a c to n er e v e a l st h ee f f e c t i v e n e s so ft h e v a r i a t i o n a lm e t h o d c h a p t e r5d i s c u s s e st h en o n l i n e a ri o na c o u s t i c w a v e e q u a t i o n s i nd e t a i l s i no r d e rt oe s t a b l i s hav a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n ，as p e c i a l f u n c t i o ni si n t r o d u c e d a g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e i se s t a b l i s h e d b a s e do nt h ee s t a b l i s h e d v a r i a t i o n a lt h e o r y , an e w a p p r o x i m a t es o l i t a r ys o l u t i o ni so b t a i n e db y r i t zm e t h o d ，r e v e a l i n gt h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h ev e l o c i t y ，h e i g h t a n dt h es o l i t a r yw i d t ho ft h ew a v e l i uh o n g m e i ( m e c h a n i c so fs o l i d s ) s u p e r v i s e db yp r o f h ej i h u a n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，s o l i t a r yw a v e ，i o na c o u s t i c w a v e ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ，r i t zm e t h o d v 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文， 是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已 明确注明和引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对所写的 内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 庋恤梅 日期： 跏6 年f 月j d 日 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 或借阅。本人授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论 文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密囱。 学位论文作者签名 壶】红拇 日期：“年1 月i o e t| 狲，佯 粼础 秘 汐 教 ” 毹 期 b 日 日 第一章绪论 第一章绪论 随着非线性科学研究的进展，非线性方程( 包括非线性常微分方程、非 线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等) 的求解已成为广大物理学、 力学、地球科学、生命科学、应用化学、应用数学和工程技术科学工作者研 究非线性问题所不可缺少的。 非线性方程没有统一的求解方法，它是应用数学的一个研究范畴。在一 般非线性方程专著中基本上是从群分析或变换群的方法论述，有些非线性方 程即便求出解析解，也是以隐函数形式出现，不便于应用。而非线性方程在 实际应用中有着广泛的意义，对非线性方程解的研究成为广大科研工作者致 力解决的重要问题。 而变分法是解微分方程的一种重要的近似方法，它把解微分方程问题转 化为一个泛函的极值问题，通过求变分问题的极值( 驻值) 而给出方程的近 似解。 1 1 变分法的研究现状及其发展 变分法的历史非常悠久，历史上最早的变分原理是由p f e r m a t 提出来 的，f e r m a t 原理是根据当时的光学、哲学、神学和审美学的原理而提出来 的，用数学公式可表示为 ，= e 警一咖 ( 1 ， 式中，是光线速度。 变分法的发展初期是和微积分的迅速发展分不开的，除了牛顿在1 6 8 7 年的工作外，1 6 9 6 年和1 6 9 7 年b e r n o u l l i 提出了最速下降线( b r a c h i s t o e h r o n e ) 问题及短程线( g e o d e s i cl i n e ) i i n 题。 最速下降线问题可用数学公式表示为 第一章绪论 ，= e 矗x m i n ( 1 2 ) 许多当时最著名的数学家，诸如c a l i l e o 、l e i b n i z 、n e w t o n 及j a c o b i 等都参加了该问题的研究，从而大大促进了变分法的发展。 2 0 世纪变分法发展非常迅速，这主要表现在弹性力学方面，如1 9 5 0 年 钱令希提出了余能原理；同年又出现了h e l l i n g r e i s s n e r 广义变分原理【1 2 ，3 1 ， 1 9 5 4 年又出现了胡海昌鹫津久一朗( h u w a s h i z u ) 广义变分原理【2 1 4 】；1 9 6 4 年 钱伟长系统地论述了拉氏乘子法并第一次用拉氏乘子法推导得到了胡鹫广 义变分原理【l 】，这无疑是一次重大飞跃。1 9 8 3 年钱伟长首次发现临界变分 现象，并应用高阶拉氏乘子法消除了临界变分现象，从而得到了更为一般的 广义变分原理【l 】，这是固体力学变分法的重要里程碑。在此之前，建立广义 变分原理都是用先验的方法，即先列出泛函，然后证明泛函取驻值是否满足 场方程和边界条件。 流体力学的第一条变分原理是k e l v i n 于1 8 4 9 年提出来的。对于理想流 体，在相同的边界条件下，不可压势运动具有最小动能【5 】。1 8 6 8 年h e l m h o l t z 提出了不可压粘性流体的最小能耗原理。1 9 2 9 年b a t e m a n 提出了第一条可 压无旋理想流体的变分原理【5 】。 h a m i l t o n 原理在流体力学中的应用在上世纪5 0 年代和6 0 年代是一个热 门话题。许多学者( 如h e r i v e l ) 都想套用h a m i l t o n 原理来建立流体力学的变 分原理。结果证明对于理想流体在l a g r a n g e 空间中的流动，h a m i l t o n 原理 是成立的：而在e u l e r 空问中，这种努力曾不断遇到困难【6 l ，例如，t 9 5 5 年 h e r i v e l 曾在e u l e r 空间中导出过理想流体的h a m i l t o n 型变分原理，但它并 不能代表理想流体的所有流动，对于均熵流只能得到无旋方程，然而根据 c r o e e o 定理，均熵不一定无旋【7 1 。1 9 6 3 年林家翘8 1 对h e r i v e l 现象作认真研 究，对h e r i v e l 变分原理加了三个所谓的林家翘约束后，变分原理可应用于 般的流体。1 9 6 8 年s e l i g e r 和w h i t h a m 9 1 进一步发展了林家翘约束理论。 1 9 8 3 年e c e r 和a k a y l l 0 1 为减少林家翘数作了很多努力，从而使得林家翘约 束理论变得实用，并进行了大量的二维有限元计算，取得了很好的成果。1 9 9 3 2 芬 第章绪论 年刘高联1 应用林家翘约束理论建立了变域变分理论，谢定裕1 1 2 和 f i n l a y s o n 5 】分别将林家翘约束理论用于分层流体变分原理和磁流流体的变 分原理的建立。1 9 8 4 年钱伟长【1 3 】运用权余法和拉氏乘子法，推导出了粘性 流体力学的广义变分原理。 从数学的角度看，变分法研究的是极值( 或驻值) 性质。变分法的一个最 重要的优点是我们能够利用变分直接方法来解决工程上的一些问题，它已经 广泛应用于数学、物理、力学、控制论等各个领域，是研究物质系统的能量 ( 泛函) 与方程之间的关系的一门科学。 根据泛函求极值的方法为我们许多领域的问题提供了不同的概念，求解 一些泛函的极值问题完全等价于求解某些与之相应的微分方程。所以。这种 方法对不同领域中的许多数学物理问题赋予了一种完全不同的新观点。例 如，在光学中，一束光线在真空中从一点到另点所需的时间相对于一族“容 许”的光程取极值等价于辐射光程的m a x w e l l 方程。这就是著名的f e r m a t 原 理。在质点力学中，对于动能和位能的差值( 即拉格朗日函数) 在二点之间沿 一族“容许”的路径积分而取极值所得到的路程与应用牛顿定理推导而得出 的正确路程完全一致，这就是h a m i l t o n 原理。在弹性力学中，我们首先需要 研究的是所谓的最小位能原理。这原理是对一个物体的总位能相对于一族 容许的位移场取极值，使满足物体的平衡方程。 1 2 非线性方程的研究状况及其发展 自2 0 世纪6 0 年代开始，非线性科学飞速发展，因而非线性科学的内容 也日趋丰富，在物理学、力学、地球科学、生命科学、应用化学等各个学科 中有着广泛的应用，随着生产力发展的需要，人们必须深入到非线性问题的 研究领域中去。以力学学科为例，正如钱伟长在“关于非线性力学”f 1 4 】 文中指出的，本世纪4 0 年代人造纤维与塑料的问世( 它们的本构关系是非线 性的) ，航空工业采用薄的固体材料( 因而产生大变形) ，飞机飞行速度要突破 “声障”( 跨声速方程) ，这就是非线性力学出现的工业与生产背景。在非线 性领域中，由于叠加原理不适用了，原先那些数学方法有些就失效了。尽管 线性方程定解问题的适定性( 存在性、唯一性和稳定性) 在非线性方程中同样 第一章绪论 存在，但非线性方程的适定性问题要复杂得多，并且非线性方程有许多自身 的特点，这就导致了非线性方程没有统一的求解方法。 由于非线性方程在实际应用中有着广泛的意义，从而对非线性方程解的 研究成为广大科研工作者致力解决的重要问题。渐近分析是理论研究中进行 近似计算的有效方法，渐近方法中的奇异摄动理论是解决弱非线性问题行之 有效的手段之一。目前，国际上有关渐近理论与摄动方法的书籍大体上有两 类：一类是b e n d e r 和o r s z a g 的高等应用数学方法1 1 5 1 和n a y f e h 的摄 动方法i l6 】为代表。另外，在很多文献中着重给出了一些求解物理学中的 非线性方程的方法，主要有试探函数法、摄动法、行波解、相似变换和自相 似解、特殊变换法、散射反演法及b a e k l u n d 变换等各种方法【1 7 1 8 】。对于目 前常用的数值方法在求解强非线性方程时会遇到一些困难，如对初始近似非 常敏感，当初始近似解在真解附近时，则容易收敛；但当初始近似解远离真 解时，迭代过程很难收敛。有些非线性方程即便求出精确解，也是以隐函数 或特殊函数的形式出现，不便于应用与理解。 1 3 本文的主要工作及其意义 本论文将从变分法的角度来研究某些非线性方程，通过建立起非线性方 程的变分原理来研究所讨论的方程。为此，我们建立了一些常见的非线性方 程的变分原理，通过对变分原理的研究可更深入地了解这些非线性方程及其 解的主要特征，进而得到非线性方程的近似解，为解非线性方程提供一个有 效的解题思路。 首先，并不是所有的微分方程都能找到相应的变分原理，本文将对如何 建立变分原理作一简单论述，通过各种方法进行类比，然后结合实例，如 y a n g m i l l 方程、非线性电化方程等，建立相应的变分原理。 其次，大部分非线性方程都存在某些基本特征，这些基本特征可用非线 性分析方法近似地求得，本文对某些非线性方程的各种解法做出比较，再结 合建立起的变分原理，利用r i t z 法来求解非线性方程。寻求离子声波方程 的孤立波解一直是人们关注的问题之一，本论文将从变分法入手，得到了一 个新的孤立波解。 4 第二章建立变分厚理的方法 第二章建立交分原理的方法 建立变分原理目前还没有普遍适用的方法，是变分学中一个很难的课题， 特别是对于强非线性方程，很难建立其相应的变分原理。建立变分原理有很 多种方法，有经典反推法 1 9 , 2 0 , 2 1 , 2 2 】、变量变换法 2 3 , 2 4 】、积分算子法【2 0 】、钱 伟长权余法等。刘高联在流体力学变分原理的研究上也做了很多工作， 特别是在流体力学反问题和杂交问题的变分原理的建立做了很多创造性的 工作【2 5 1 。文献【6 】提出了一种建立广义变分原理的方法一半反推法。 本章将用具体例子阐述如何应用半反推法建立非线性方程的变分原理。首 先介绍一下变分法的概念。 2 1 变分法的概念2 6 1 变分法是解微分方程的一种重要的近似方法，它把解微分方程问题转化为 一个泛函的极值问题，即变分问题，通过求变分问题近似解而给出方程的解。 最近应用变分法求解非线性方程得到了普遍关注，如在文献【1 5 】中讨论了如 何应用变分法求解非线性s c h r s d i n g e r 方程。 为了阐述变分法的基本思想，我们首先考虑泛函的基本概念。一个自变量 x 的函数y = y ( x ) ，它随自变量x 变化，如果有另一个变量，其值取决于函 数关系) ，( 力，称，是y ( x ) 的泛函，记为m ( x ) 】。注意它依赖于y o ) ，而不是 简单的y 值。 例如一个质点沿光滑的轨道y = y ( z ) 从彳点自由下滑到b 点，如下图所示。 第二章建立变分原理的方法 所需时间 图2 1 ，= p = 片= r 器 ( 2 1 ) ，的大小与轨道y ( x ) 有关，时间，取决于整个轨道形状则不是y 值，即取决 于函数关系y = y ( 功，j 称为y ( x ) 的泛函。 如果我们要选取一个适当的轨迹y = y ( x ) ，使质点从a 自由下滑到b 所需 时间最短，这就是求泛函，【j ，o ) 】的极值问题。泛函的极值问题称为变分问 题。在物理学中变分原理有广泛的应用，例如光学中的f e r m a t 原理：光从 某点传播到另一点所取的实际路程是使花费的时间为极值，力学中的最小作 用量原理。在数理方法中，交分法也是一种重要的求解特征值、特征向量的 有效方法。 2 2 变分问题的求解【2 7 1 求解变分问题方法分为两类：一类是间接方法，将变分问题转化为微分方 程( 称e u l e r 方程) 再求解；另一类是直接方法，是指不通过求解e u l e r 方程 而直接从泛函出发，根据问题分析，直接引入含有几个待定系数的试函数， 利用极值条件，求得待定系数值。 6 第二章建立变分原理的方法 2 2 1e u l e r 方程 泛函的极值( 或驻值) 的必要条件称为e u l e r 方程。e u l e r 方程是将变分 问题转化为微分方程的求解。 为简单起见，设泛函，只依赖于自变量x 函数y ( 和导数y ( x ) ，即 且满足固定边界条件 j ( y ( x ) ) = ef ( 圳，) ，协 y ( x o ) 2 y o 灭而) = m ( 2 2 ) ( 2 3 ) 设f 对x ，y ，y 是连续可导的，当函数) ，( 功有微小变化y 专) ，+ 砂( 毋称为变 分) ，泛函变化可写成如下形式： j ( y + 6 y ) 一，( 力= d f ( 砂+ 8 y y + 8 y ) 一f ( w ，y ) 协 * e ( 爹砂+ 可o f 进 ( 2 4 ) 泛函的变分可表示为 洲= e 髻聃爹涉 应用积分算子与微分算子的可交换性，即 则式( 2 5 ) 中 8 y ：万要) ，：要( 万y ) 出 出 e 雾撇= e 爹丢皿 7 ( 2 5 ) 第二章建立变分原理的方法 = 爹砂睫一l r , 可o f 石d c 砂逑 取固定端点变分为零，a y ，而= o ，万y i 嗍= o ，则有 e 爹砂镊= 一e 丢彰，锨 将式( 2 7 ) 代入式( 2 5 ) 得到 = r 学一丢c 城= 。 由变分曲是任意的，上式为零的必要条件是 万a f 一旦, i x 舀o y = 。 砂 、“ 【y ( x o ) = y o ，八五) = m ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 这就是对应泛函( 2 2 ) 变分问题的e u l e r 方程。 对于较复杂一些的泛函，其e u l e r 方程可以仿照式( 2 9 ) 推导过程给出， 饲如 ( 1 ) 泛函- ，取决于y ) 和z ( x ) 两个函数的情况 ，= 【y ( x ) ，z ( 瑚= r f ( 训，毛y , z t ) t 盘 ( 2 ，1 0 ) 由万r f ( x ，y ，乞y ，z ) 出= o 给出e u l e r 方程 f a f d 【a f a y d ra y j ) = o j 、 一 一d 【a f d x = ol 出、瑟“ ( 2 1 1 ) 第二章建立变分原理的方法 ( 2 ) 泛函取决于y ( x ) 及y 的高阶导数，由 导出e u l e r 方程 je f ( x ，y ，y ，) ，。，y ”) a x = 0 由 ( 2 1 2 ) i d f 一夏d 匆a f ) + 万d 2 匆o f ) 一善( 争= 。 ( 2 1 3 ) ( 3 ) 泛函取决于多元函数u ( x ，力，由 导出e u l e r 方程 2 2 2 r i t z 方法 占r f ( w ，“，也，u , ) a x d y = 0 ( 2 1 4 ) 瓦o f 一瓦0 尉0 f 一面0 剖0 f = 。 ( 2 1 5 ) 这是一种直接方法，它是根据问题分析给出试函数。其特点是试函数必须 满足边界条件。试函数中包括几个待定系数，即假设 y ( x ) = f ( x ，q ，岛) ( 2 1 6 ) 使泛函，成为c l ，c 2 ，的多元函数。泛函的极值( 驻值) 问题转化为多元函数的 极值( 驻值) 问题： 堂：o 钯 求解方程组( 2 1 7 ) 即可得到q , c 2 ，的值，从而得到问题的近似解。 9 ( 2 1 7 ) 第二章建立变分原理的方法 下面举例说明r i t z 方法的具体应用。 考虑泛函 m 例= f “一y 2 2 x y ) d r ( 2 1 8 ) 求y ) 取，极小值，其中y ( o ) = o ，y o ) = o 。 根据边界条件选择试函数： 只= a k ( 1 - x ) x i - l 取打= 1 ，2 来计算近似值。先求行= 1 的情形，此时有 代入泛函中，得 令 从而得 于是得以下近似解 咒( x ) = a i ( 1 一x ) x ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) j ( a d = f 彳( 1 2 x ) 2 一砰( 1 一x ) 2 2 a 1 ( 1 一x ) x z d x 3 2 1 2 而听一i q ( 2 2 1 ) 再求，l = 2 的情形，此时设 蔷= 。 5 q 。丙 m ( 加素( 1 一班 l o ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 第二章建立变分原理的方法 弘( x ) = a l ( 1 - x ) x + a 2 ( 1 一x ) x 2 = x ( 1 一x ) ( q + a l x )( 2 2 5 ) 代入泛函中，且令 从而得 于是得以下近似解 堂：0 旦：0 a 岛d 瓯 7 l7 q 2 了丽，吒5 石 y 2 ( x ) 卟咖岛+ 雨7x ) 对于泛函( 2 1 8 ) 的解析解为 y ( x ) = 罢一x s i i l l 近似解与精确解的比较如下图所示： 图2 - 2 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 第二章建立交分原理的方法 从上图可以看出，r i t z 法是一种有效的方法，上例中二阶近似的精度已经相 当高了。 2 3 变分反问题 把微分方程及边界条件转化为泛函极值问题，称之为变分反问题。变分问 题一直被学术界所重视。1 9 7 8 年的i u t a m 会议上一些学者提出一些新的建立 变分原理的方法，如a t h e l 等 2 s 1 提出了建立耗散系统的变分原理。由于奇数 阶导数不存在相应的变分原理，所以在处理时需要引入伴随变量。刘高联在 变分反问题也做了大量工作，提出各种流体力学反问题和杂交问题的变分原 理。最新变分反问题的进展可参考s i e n i u t y c z 和f a r k a s 的专著【2 9 1 。在文 献 2 9 】中研究了各种变分反问题，包括n a v i e r - s t o k e s 方程的变分原理。本 文将应用半反推法建立问题的变分原理。 半反推法的基本思想是构造某一形式的试泛函，然后使其e u l e r 方程满足 场方程。在文献【6 】中，对如何寻找试泛函有详细的论述。半反推法主要由 三条路线组成：第一条，从已知的场方程及边界条件出发构造多变量的广义 变分原理；第二条，从已知的单变量或少变量的变分原理出发构造多变量的 广义变分原理；第三条，通过构造一个适当的能量试泛函来建立多变量广义 变分原理。 下面以几个非线性方程为例阐述半反推法的基本思想。 2 3 1y a n g m i l l s 方程 我们考虑y r a n g m i i l s 方程f 17 1 如下形式： 2 ) ，。一，p 2 2 2 y = o 2 ，一e 2 口2 p 2 y 2 z = o 上述方程中各变量的物理意义见文献【1 7 】。 该方程是耦合的方程组，f h ( 2 3 0 ) 式我们可以设泛函的形式可表示为 1 2 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 第二章建立变分原理的方法 j ( ) ，z ) = ( 圭2 y “+ 三e 2 p 2 2 2 y 2 + f ) d x ( 2 3 2 ) 式中f 为z 或其导数的待定函数。 上述试泛函的特点是：对y 独立变分即可得到方程( 2 3 0 ) ，这样f 只是z 的函数对z 独立变分，我们得 e 2 p 2 砂2 + _ 8 f ：0 0 z 式中s f 为对z 的变分导数，可定义为 占z 8 fa faa f铲a f 瓦2 i 一瓦瓦+ 丽忑 我们的目标是使方程( 2 3 3 ) 与方程( 2 3 1 ) 等价，为此我们设 娑：_ c 2 秒：一嬖：， 瓦一矿矿一争矿 从上式( 2 3 4 ) 我们可确定f ，得 f ：三笆：，： 2 口2 这样我们得到了以下的一个变分原理： ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 彤，力= ( 矿1y + 寺2 严+ 圭e 2 p 2 2 2 y 2 ) 凼 ( 2 3 6 ) 我们取泛函j ( y ，z ) 的变分8 j ( y ，z ) = o ，则有 州y ，加艿且矽1y + 寺2 + 主9 2 p 2 2 2 y 2 ) 办 第二章建立变分原理的方法 = 妒y 曲。口f 1 2z 6 z + e 2 p 2 2 2 y 缈+ e 2 p 2 秒2 8 z ) d x = f ( - p 2 y u 。o y 一万) b 2z s z + e 2 p 2 2 2 y 艿y + e 2 p 2 砂2 占z ) 出 = f 【- ( p 2 y 。_ e 2 p 2 2 2 力砂一学z 协z e 2 矿纠2 ) 万z 】出= 。 由8 y 及8 z 的任意性，我们得到e u l e r 方程 芦2 少一e 2 p 2 2 2 y = o 譬办z - e z p 2 z y z = o 口 ( 2 3 7 ) ( 2 3 s ) ( 2 3 9 ) 化简( 2 3 8 ) 及( 2 3 9 ) 1 1 p 得( 2 3 0 ) 及( 2 3 1 ) 。这也正表明了( 2 3 0 ) 及( 2 3 0 这个耦合 方程组是变分问题( 2 3 6 ) 的e u l e r 方程。 2 3 2 非线性电化学系统 近年来，很多学者对非线性电化学的研究做出了一些模型【3 0 ，3 1 1 ，s c o t t 等【3 0 】 得到固体聚合物电解质的一个近似模型，其方程如下： 碧一脚e x p ( m ，护。 窘一鸩c e x p ( m s 护。 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 其中叩是标准超电势，c 是标准电流密度，z 是标准距离，m 、鸠及坞是 常参数。 其边界条件： 刁( 0 ) = o ，c ( o ) = c 0 1 4 ( 2 4 2 ) 第二章建立变分原理的方法 c ( o ) = 0 , 1 ( 1 ) = 巨( 2 4 3 ) 对于方程( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 看起来似乎很简单，但是要求它的数值解或者解析解 都很难的。c h e n g 等应用a d o m i a n 分裂算法【3 2 1 讨论了这个问题，但在这个 过程中，计算a d o m i a n 多项式相当繁琐且得到的解是弱收敛的。而交分法 可克服这些缺点，我们应用半反推法【6 】来建立其变分原理。 由( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 得到 其中墨，局是常数。 把( 2 4 4 ) 代n ( 2 4 0 ) 得到 。：等，7 + 即+ 玛 弘茁刁似i 豺k 2 ( 2 4 4 ) 碧一( 蚴+ m k z + m i k 2 ) e 坳= 。 ( 2 4 5 ) 由( 2 4 5 ) 式我们可以设其泛函形式表示为 对玎独立变分得 于是有 坳) = 琏( 2 一篆( 铆局妙调出 ( 2 4 6 ) 碧叫即峨炉”+ 等= 。 ( 2 4 ，) 孚：一m m 7 7 m 辨 _ ，w p 。 面 “( 2 4 8 ) 第二章建立变分原理的方法 由于 因此 i m 2 r l e u m 却如= 万i m z r l e u m 砌= 万静d 。蚴) = 艿瞪叩抄一瓦m _ _ l 。2 e m j 4 姥( 2 - 4 9 ) 肛一( 等秒一坞m 2 。e u j 4 ) 于是得n ( 2 4 5 ) 对应的变分原理 坳) = 畦2 + 鸠砖叩一方酬川忙 + 嵯( 料k 2 ) e x p ( m s 撒 求其e u l e r 方程得 j d l = 一d ( d l ) ：m 2 玎e x p ( m s 叩) d 如 z 、d r l 。 。l“ ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) + m ( 蜀z + 岛) e x p ( m s , z ) 一导南：o( 2 5 2 ) a g 化 通过化简，我们可发现( 2 5 2 ) 与( 2 4 5 ) 是等价的。 2 3 3 化学反应 考虑一化学扩散反应【3 3 】 要- v d , v “也 研 4 1 6 ( 2 5 3 ) 第二章建立变分原理的方法 其中c 是化学反应含量，一也是每单位体积的化学反应率，见是有效扩散 系数 假设此反应的扩散反应过程是稳定的，方程( 2 5 3 ) 可化为 其边界条件为 见( 矿0 2 c , + ，2 _ o 咖e ) = 也 罢o o f = c , o r 引入变量c = 一c s 和r = f i r o ，于是我们便得到n - f 2 r n t 3 3 1 祟o r + 三r 箜o r = 2 c “ z 篆( o ) = 0 ，c o ) = 1 这里= j 再i 7 面，毛是化学反应常数。 对于式( 2 5 6 ) 变形得 由于 r 2 磐+ 旯箜：r 2 2 c 一 觎2觎 ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 6 彦2 c 篆，2 d r ；p 2oor-c2 c d r s ， j a 臣n 笙+ l 搬= 触2 c ”艿c d r ( 2 6 。) 1 7 第二章建立交分原理的方法 于是得到下面的变分原理 旧= 睁2 ( 篆) 2 + 等凇 ( 2 6 ) 式( 2 6 0 相应变分问题的e u l e r 方程 生a c 旦o r ( 寿o c = 。 、 o ， 其中g = a c l a r ，l 为l a g r a n g e 函数： ( 2 6 2 ) 上：! r ：( 等) 2 + 璺c 州 (263)2 、觎刀+ 1 、7 这样我们可得到泛函( 2 6 1 ) 的e u l e r 方程： c ”一b - 塞r ( r 2 历o r ) = 。 ( 2 6 4 ) 方程( 2 6 4 ) 与( 2 5 s ) 等价。 对微分方程转化为变分问题，这样就可利用r i t z 方法求得近似解，从 而得到原微分方程的近似解。 利用r i t z 方法，可以选择满足边界条件簧( o ) = o 和c ( 1 ) = l 的试函数， 进而得到其近似解。 为了说明问题，讨论= 1 时近似解与精确解的比较，讨论珂= l 和n = 5 的 情况。 1 ) 当n = l 时，取一阶近似，由边界条件令 c = a + n a ) r 2( 2 6 5 ) 第二章建立变分原理的方法 把( 2 6 5 ) 代入( 2 6 1 ) 并结合n = 1 ，得 ) = 琏r 2 ( - 2 a r + 2 砰+ i 2 硝州l 叫购2 瑚 由r i t z 法，令 由此得 因而得一阶近似为 尝= o a = 0 8 4 7 8 2 6 l 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) c = o 8 4 7 8 2 6 1 + 0 1 5 2 1 7 3 9 r 2 ( 2 6 9 ) 取二阶近似，同样由边界条件，令 c = a + 掀2 + ( 1 一口一b ) r 3( 2 7 0 ) 同样把( 2 7 0 ) 代n ( 2 6 1 ) 并结合n = l ，由r i t z 法得到二阶近似为 c = 0 8 5 1 4 6 8 7 1 + 0 1 3 3 7 1 9 3 1 r 2 + o 0 1 4 8 11 9 8 r 3 r 2 7 1 ) 由此我们可以进行比较，如图2 2 所示 1 9 第二章建立变分原理的方法 图2 2 2 ) 当行= 5 时，同理可以得到一阶近似和二阶近似，如图2 - 3 所示： 图2 - 3 由以上几个例子可看出，变分法是求解非线性方程的有效数学工具，而 半反推法在建立变分原理的有效方法之一。 第三章求非线性方程的一些解法 第三章求非线性方程的一些解法 尽管绝大多数非线性方程很难求其精确解，但一般来讲，大部分非线性 方程都存在某些基本特征，这些基本特征可用非线性分析方法近似地求得， 如果再结合数值方法，则可求解绝大多数非线性方程。 对于一般相对简单和经典的非线性方程，主要是常微分方程、差分方程 和函数方程的求解，这些利用简单变换和直接积分的方法求解。 下面针对其中的方法并结合文献【1 6 1 7 】对一些具体非线性方程的解法 作一阐述。 3 1 摄动法 摄动法【1 6 】是求解非线性方程的一种重要的方法，这在很多文献中都出现 过，这种方法的第一步是在方程中引进无量纲的小参数f ( 0 0 时，其行波解为 恍地氆) c n 2 ( 1 膝睁删觚 ( 4 5 ) 第四章k d v 方程 其中岛为积分常数，而 当p 0 时，其行波解为 七： 1 - - u 2 ： 、| 砘一蜘 ( 4 6