（控制理论与控制工程专业论文）基于积分不等式方法的时滞相关鲁棒控制研究.pdf

摘要 时滞现象大量存在于各种工程系统中，时滞的存在常常导致系统不 稳定或性能恶化。因此，对时滞系统的研究具有重要的理论意义与应用 价值，近几十年来已引起人们极大地关注。为获得含有时滞信息的、保 证系统稳定的时滞相关条件，各种模型变换方法相继出现。本论文首先 分析了这些模型变换方法的本质特征，提出了一种研究时滞相关稳定性 的新方法一积分不等式方法，然后将这一方法应用到线性时滞系统、中 立型系统、线性时滞广义系统、线性离散时滞系统中，讨论了系统鲁棒 稳定化、鲁棒皿。控制、无源控制等综合问题。 本论文首先建立了一系列积分不等式，然后利用这些积分不等式讨 论了具有时变时滞线性系统的时滞相关稳定性，针对时变时滞连续但不 可微( c a s ei ) 、连续且可微( c a s e ) 两种情况分别获得了线性时滞系统稳 定的两类时滞相关条件，同时建立了这两类时滞相关条件之间关系：当 日 口j 导且导数小于1 时c a s e 获得的条件较c a s ei 具有更小的保守 性；而当导数大于1 时c a s ei 与c a s e 获得的条件是等价的。另外从理 论上证明了积分不等式方法获得的时滞相关条件较模型变换方法具有更 小的保守性。 利用积分不等式方法讨论了中立型系统的时滞相关稳定性，针对中 立型时滞与状态时滞相等与不相等两种情形，通过构造新的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，分别获得了保证系统稳定的、具有更小保守性的时滞 相关条件。 利用积分不等式方法讨论了同时具有输入时滞与状态时滞线性系统 的稳定性化，从稳定性的角度回答了最近由法国科学家r i c h a r dj p 在 知名杂志a u t o m a t i c a 上提出的“关于同时具有状态时滞与输入时滞的线 性系统，当系统矩阵对不能控的条件下如何利用输入时滞项对系统进行 有效地控制”这一公开问题( o p e np r o b l e m ) ，只要给定的线性矩阵不等 式有解，无论系统矩阵对是否能稳，就一定存在无记忆状态反馈控制器 使原系统渐近稳定。同时给出了基于参数调节与迭代算法的两种控制器 设计方法。 利用积分不等式方法讨论了线性时滞系统的时滞相关三k 控制，获 得了系统不仅内部稳定而且具有给定的h o o 扰动抑制水平的时滞相关条 件，然后利用这一条件分别得到了基于参数调节、矩阵分解以及迭代算 法的h 。控制器设计方法。特别地，引入矩阵分解思想，获得了一种新 的王k 控制器设计方法。 利用积分不等式方法讨论了线性时滞系统的时滞相关无源控制，引 入左零化因子概念，获得了系统在无记忆状态反馈作用下无源的时滞相 关条件。实例表明，这一条件具有更小的保守性。 利用积分不等式方法讨论了线性时滞广义系统的时滞相关h 。控制， 得到了系统在慢子系统的状态反馈作用下能获得给定的日o 。性能的时滞 相关条件。实例表明，与全状态反馈相比，慢子系统的状态反馈能够获 得更优的h 。性能。 将积分不等式方法推广到离散情形，讨论了线性离散时滞系统的 时滞相关上k 控制。一方面建立了一个基于二次型项的有限和不等式， 另一方面利用这一不等式获得了系统在无记忆控制器作用下具有给定 的上k 性能的时滞相关条件。同时引入迭代算法，给出了无需调节任何 参数的无记忆控制器设计方法。 论文中例举了丰富的数值例子对积分不等式方法的有效性进行了验 证。 关键词线性时滞系统，时滞相关，鲁棒控制，积分不等式，线性矩阵 不等式 a b s t r a c t t i m ed e l a y sa r ef r e q u e n t l ye n c o u n t e r e di nav a r i e t yo fd y n a m i c s y s t e m s ，a n dt h e ya r eo f t e ns o u r c e so fi n s t a b i l i t ya n dd e g r a d a t i o ni n c o n t r o lp e r f o r m a n c ei nc o n t r o ls y s t e r h s s ot h es t u d yo fd y n a m i cc o n t r o ls y s t e m sw i t hd e l a y si si m p o r t a n tb o t hi nt h e o r ya n di np r a c t i c e ) a n dh a st h u sb e e no fg r e a ti n t e r e s tt oal a r g en u m b e ro fr e s e a r c h e r sf o r t h el a s tf e wd e c a d e s i np a r t i c u l a r ，d e l a y d e p e n d e n tc r i t e r i a jw h i c h e m p l o yi n f o r m a t i o na b o u tt h ed e l a y ，h a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n av a r i e t yo fm o d e lt r a n s f o r m a t i o na p p r o a c h e sf o rd e s i g n i n gt h e m h a v eb e e np r o p o s e da n dc o n t i n u et oa p p e a rf r o mt i m et ot i m ei n t h el i t e r a t u r e t h i sd i s s e r t a t i o nc l a r i f i e st h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i c so f t h e s em o d e lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d sa n dp r e s e n t sar e f i n e dm e t h o d ， c a l l e dt h ei n t e g r a li n e q u a l i t ya p p r o a c h ( i i a ) ，f o ra n a l y z i n gt h ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fs y s t e m sw i t hat i m ed e l a y t h e n ，b a s e do n t h en e wm e t h o d ，an u m b e ro fs y n t h e s i sp r o b l e m s ( r o b u s ts t a b i l i z a - t i o n ，h ac o n t r o l ，p a s s i v ec o n t r 0 1 ) e t c ) a r ei n v e s t i g a t e df o rv a r i o u s t i m e - d e l a ys y s t e m s ，i n c l u d i n gn e u t r a ls y s t e m s ，d e s c r i p t o rs y s t e m s ， a n dd i s c r e t e - t i m es y s t e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s o m ei n t e g r a li n e q u a l i t i e sa r ef i r s te s t a b l i s h e d t h e n ，i n t e g r a li n e q u a l i t i e sa r ee m p l o y e dt oa n a l y z et h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fs y s t e m sw i t hat i m e v a r y i n gd e l a y t w ot y p e s o ft i m e d e l a ya r ed i s c u s s e d ：( i ) ic o n t i n u o u sb u tn o td i f i e r e n t i a la n d ( i i ) c o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a l ；a n dt w oc l a s s e so fd e l a y d e p e n d e n t s t a b i l i t yc o n d i t i o n s ，o n ef o re a c ht y p e ，a r eo b t a i n e d m o r e o v e r ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s et w oc l a s s e si sa l s oe x p l a i n e d ：w h e nt h e d e l a yi sd i f f e r e n t i a l ，i ft h eu p p e rb o u n do ni t sd e r i v a t i v ei sl e s st h a n o n e t h ed e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o n sf o rt y p e a r el e s sc o n s e r v a t i v e i i i t h a nt h o s ef o rt y p ei ；o t h e r w i s e ，t h ec o n d i t i o n sf o rt h et w ot y p e s a r ee q u i v a l e n t o nt h eo t h e rh a n d ，i ti st h e o r e t i c a l l yp r o v e dt h a tt h e i i ay i e l d sr e s u l t st h a ta r el e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h o s eo b t a i n a b l eb y m o d e lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d s t h ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yo fl i n e a rn e u t r a ls y s t e m si sa l s o d i s c u s s e d b ye m p l o y i n gt h ei i a a n dc o n s t r u c t i n gan e wl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ，n e wr e s u l t s n e u t r a ld e l a yi se q u a lt ot h es t a t e a r eo b t a i n e df o rt w oc a s e s ：( 1 ) t h e d e l a y , a n d ( 2 ) i ti sn o t n u m e r i c a l e x a m p l e sd e m o n s t r a t et h a tt h e s er e s u l t sa r el e s sc o n s e r v a t i v et h a n t h o s ep r o d u c e db ye x i s t i n gm e t h o d s f o rl i n e a rs y s t e m sw i t hb o t hi n p u ta n ds t a t ed e l a y s jo n eo ft h e o p e np r o b l e m sr e c e n t l yp u tf o r t hb yj p r i c h a r di nt h ej o u r n a l “a u t o m a t i c a ，n a m e l y , “h o wc a nt h ei n p u t d e l a yt e r mb eu s e dt o a c h i e v ee f f i c i e n tc o n t r o li ft h ep a i r so ft h es y s t e mm a t r i xa r en o t c o n t r o l l a b l e ”，i ss o l v e dw i t hr e g a r dt os t a b i l i t y ；a n di t i sc o n c l u d e d t h a tt h e r ea l w a y se x i s t sam e m o r y l e s sc o n t r o l l e rs u c ht h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ) p r o v i d e dt h a tt h eg i v e nl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t yi sf e a s i b l e ，e v e nt h o u g ht h ep a i r so ft h es y s t e m m a t r i xa r en o ts t a b i l i z a b l e m o r e o v e r ，t w om e t h o d so fd e s i g n i n ga m e m o r y l e s sc o n t r o l l e r ，o n eb a s e do np a r a m e t e rt u n i n ga n dt h eo t h e r b a s e do na ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ，a r ed e s c r i b e d t h ed e l a y d e p e n d e n th ) oc o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m sw i t hs t a t e d e l a y si s a l s oc o n s i d e r e d b ye m p l o y i n gt h ei i ai nc o m b i n a t i o n w i t hm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c k ，an e w d e l a y - d e p e n d e n tb o u n d e dr e a l l e m m a ( b r l ) i so b t a i n e dt h a tg n a r a n t e e st h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d 1 0 0 ps y s t e m i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dh a sag i v e nh o ep e r f o r m a n c e b a s e do nt h eb r l ，t h r e ea p p r o a c h e st od e s i g m n ga nh o ec o n t r o l l e r a r ep r e s e n t e d 畛一。一。萄缒激谶谚国黼睽雠誉鍪戮 孵紫；=器 嚣一 帅糍落 m a t r i xd e c o m p o s i t i o ni sp r e s e n t e d t h ed e l a y d e p e n d e n tp a s s i v ec o n t r o lo fl i n e a rs y s t e m sw i t h s t a t e d e l a y si sa l s od i s c u s s e d b ye m p l o y i n gt h ei i ai nc o m b i n a t i o nw i t h t h ec o n c e p to fl e f ta n n i h i l a t i n gf a c t o r ，an e wd e l a y - d e p e n d e n tp a s s i v i t yc r i t e r i o ni so b t a i n e dt h a te n s u r e st h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d l o o p s y s t e mi sp a s s i v eu n d e ram e m o r y l e s sc o n t r o l l e r n u m e r i c a le x a m p l e s s h o wt h a tt h i sc o n d i t i o ni sl e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h o s eo b t a i n e db v t h ed e s c r i p t o rm o d e lt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d f u r t h e r m o r e ，t h ei i ai nc o m b i n a t i o nw i t hs l o w s t a t ef e e d b a c ki s e m p l o y e dt oh a n d l et h eh ) 。c o n t r o lo fl i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e m sw i t h s t a t ed e l a y s ；a n dd d a y d e p e n d e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e dt h a tg u a r a n t e et h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d l o o ps y s t e mh a sag i v e nh p e r f o r m a n c e n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ec o n d i t i o n st ob el e s sc o n s e r v a t i v et h a n t h o s eo b t a i n e du s i n gf u l l s t a t ef e e d b a c k f i n a l l y ) t h e 如c o n t r o lo fl i n e a rd i s c r e t e t i m es y s t e m sw i t hs t a t e d e l a y si sa n a l y z e d t oe x t e n dt h ei i at od i s c r e t e t i m es y s t e m s ，an e w f i n i t e s u mi n e q u a l i t yf o rq u a d r a t i ct e r m si sf i r s te s t a b l i s h e d i ti s u s e di nc o m b i n a t i o nw i t hm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kt od e r i v ed e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o n st h a tg u a r a n t e et h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d l o o p s y s t e mh a sag i v e n 比p e r f o r m a n c e s i n c et h ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e d u s i n ga ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ，n op a r a m e t e rt u n i n gi sr e q u i r e d a l a r g en u m b e ro fe x a m p l e sa r eg i v e nt h a ts h o wh o we f f e c t i v e t h ei n t e g r a li n e q u a l i t ya p p r o a c hi s k e yw o r d sl i n e a rs y s t e mw i t hd e l a y , d e l a y d e p e n d e n t ，r o b u s t c o n t r o l ，i n t e g r a li n e q u a l i t y , l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y v lr-， r； 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：逝 日期：_ 三! 笪年月上日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：醴釜 导师签名日期：年一月一日 记号 r “。m p t p + p “ d e t ( p ) r a n k ( p ) a 。i 。( p ) p o ( p 兰0 ) ，( 厶) c o l ) d i a g ) d e g ( - ) 入m i 。( p ) u 上 c 2 o ，o 。) f 2 阳 符号说明 意义 全体几m 阶实矩阵集合 矩阵p 的转置 矩阵p 的共轭转置 矩阵p 的逆 矩阵p 的行列式 矩阵p 的秩 矩阵p 的最小特征值 p 为正定( 半正定) 矩阵 具有适当维数( 或n 维) 的单位矩阵 列向量 对角矩阵 多项式的最高次数 矩阵p 的最小特征值 矩阵u 的正交补 在f 0 ，) 上平方可积的函数集合 平方可加的序列 z ( ) ，k = 1 ，2 ，) 集合 xy l y tz l 第一章绪论 时滞现象大量存在于自然科学与社会科学中，如核物理学、电路信号系统、生 态系统、化工循环系统、遗传问题、商品销售问题、运输调度问题、工业生产管理 等( 参见f 4 7 ，5 l 】) 。时滞常常是引起系统不稳定以及导致系统性能恶化的重要因素， 因此，对时滞系统的研究具有重要的理论意义与应用价值 5 1 ，9 2 】。近二十年来，时 滞系统鲁棒控制的研究非常活跃，并已深入到各个分支，如：时滞系统的时滞相 关稳定性分析与设计、士乙控制、无源与耗散控制、可靠控制、保成本控制、王k 滤波、k a l m a n 滤波以及随机控制等。不管哪个分支，稳定性都是基础。因此，从 稳定性入手探索新的研究方法对于推动时滞系统这一领域向前发展具有重要的意 义。这一章，首先分析几种主要的研究稳定性的模型变换方法，找出这些方法的本 质特征，进而提出一种新的研究方法，称为积分不等式方法。 1 1 稳定性研究方法回顾 考虑线性时滞系统 a + 訾 ) ， ( 1 1 ) 妒( f ) ，t 一h ，o 】 、7 其中：x ( t ) e 科为系统状态；h 兰0 为时滞；妒( t ) 为初始条件；矩阵4 0 ，a 1 辩“ 称为系统矩阵。 很明显，系统( 1 1 ) 的状态不仅与当前时刻有关，而且也与过去一段时间有关。 目前，讨论系统( 1 1 ) 的稳定性主要有频域与时域两种方法。 ( 1 ) 频域方法 当h = 0 时，系统( 1 1 ) 为无时滞系统，频域方法对于这类系统的讨论非常成 熟。众所周知，这类系统稳定的充要条件是a ( a o + a 1 ) 0 时，很自然 地想到也用频域方法来讨论这类系统的稳定性，得到的结论是：系统( 1 1 ) 稳定的 充要条件是特征方程 ，( a ) = d e t ( m a o a l e “1 ) = 0( 1 2 ) 的根均具有负实部。然而，方程( 1 2 ) 是一超越方程，求解并不容易，并且当系统 存在不确定性以及时滞髓时间变化时，求解非常困难。因此，用频域方法研究时常 暨案缫的畿翻躺舞掬峨鹬雾囊睡l i 。“。 。“1 “ 釜，。一，。一w 。一一u ”谚，”一m 一。- ”。一：一参”，n 一。r t 一一。一”* 一”一一“m 4 ”，p “7 。t l：1，j_：_，1：，l，ij 1： ：，j潮11|灌硼捌 竺 博士学位论文第一章绪论 f 2 ) 时域方法 时域方法主要是基于两个著名的定理：l y p a u n o v k r a s o v s k i i 稳定性定理和 r a z u m i k h i n 稳定性定理。这两个定理分别是由俄国数学家k r a s o v s k i i 和r a z u m i k h i n 于上世纪5 0 年代建立的。其主要思想是通过构造一个合适的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函( 称为y 泛函) 或l y a p u n o v 函数( 称为矿函数) ，获得系统( 1 1 ) 稳定的充分条件，这一方法具有非常重要的理论意义。但是，如何构造这样的y 泛函或y 函数，却没有定论。直至上世纪9 0 年代，m a t l a b 工具箱的出现使得构 造y 泛函或y 函数非常方便，从而极大地推动了这一方法的应用与发展，一大批 优秀结果相继出现( 参看9 2 1 及其参考文献) 。 在这些优秀成果中，两类充分条件备受关注：一类条件独立于时滞大小，即 与时滞大小无关，被称为时滞无关( d e l a y i n d e p e n d e n t ) 条件。这时，l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函一般取为 ， ( t ，z 。) = x t ( t ) p x ( t ) + z t ( s ) q x ( s ) d s( 1 3 ) 其中p j q 均为n n 阶正定对称矩阵。对( t ，孔) 沿系统( 1 1 ) 求导数并令其小 于0 ，即得到系统( 1 1 ) 稳定的时滞无关条件为 p 帮棚竺 0 ，有如下不等式成立 一营目馨堕。莎| 酝+ 拶霞。鹋 。( 1 1 硼如 曲以 r ， 广厶 e 矧 卜 觏 乩 导 求 力q 统 系 沿z 中 矿 其 对 j i司。jl习翻 “ 州 竹 、 十 睡弘 ，盼 黔夥 博士学位论文 第一章绪论 得到 q 1 冬h x 丁( t ) p a l a o r 一1 a t a t p x ( t ) + x t ( s ) r z ( s ) d s ， j t - h r t - h ”2sh z 丁( t ) p a l a l r i l a t a t p x ( t ) + x t ( s ) r 1 x ( s ) d s 将其代入式( 19 ) ，这样式( 1 9 ) 中的积分项被抵消，从而获得时滞相关条件。 上述处理过程，从本质上可以归纳为以下两点： 1 ) 模型变换的目的是让系统方程中产生积分项，这样对y 泛函沿系统求导数 就导致交叉项与二次型积分项的同时出现； 2 ) 对交叉项的界定可以抵消y 泛函导数中的二次型积分项，从而获得时滞相 关条件。 2 0 0 0 年，美国s o u t h e r ni l l i n o i s 大学g uk e q i n 教授撰文指出f 参见文献 c 4 8 ，4 9 ) ，这种模型变换将导致变换后的系统产生新的动态而与原系统不等价。因 此，模型变换i 很快被另外的模型变换所取代。 模型变换 雄) = ( a o + a 1 ) ) 一a 。( 。吣) d s ( 1 1 1 ) 这时，取如下l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 v ( t ，轧) = v l ( t ，x t ) + k ( ，z )( 1 1 2 ) 其中 9 4 ( t , x t ) = 。巩s 眦) d s 枷 对v ( t ，n ) 求导数，得到 y ( t ，x t ) = 垂+ q 3 一s t ( s ) r ( s ) d s( 1 1 3 ) ，c j t - h 其中 垂：= x t ( t ) 【2 p ( a o + a 1 ) + q x ( t ) 一z t ( t h ) q x ( t h ) + 士( ) r 士( ) ， r c r 1 3 ：= 一2 x t ( t ) p a l ( s ) d s j t - h 类似于模型变换i 的处理方法，通过对交叉项目3 的界定，同样可抵消y 泛函导 数( 1 1 3 ) 中出现的二次型积分项，从而获得时滞相关条件。 博士学位论文第一章绪论 模型变换方法，在本质上与模型变换i 方法是一致的。不同的是，经模型 变换后得到的系统与原系统等价。另外，将系统( 1 1 ) 模型变换为( 1 1 1 ) 以后， 在处理v ( t ，礼) 的导数中的项 矿( t ) 冗i ( t ) 时，不是将系统( 1 1 1 ) 代入，而是将 系统( 1 1 ) 代入。也就是说，对系统( 1 1 ) 中的状态时滞项z ( t h ) 用l e i b n i z n e w t o n 公式替换后得到系统( 1 1 1 ) ，但是v ( t ，z ) 的导数中的x ( t h ) 不再用 l e i b n i z n e w t o n 公式进行替换，这种处理方法的不一致性也将产生保守性。 2 0 0 1 年，以色列a v i vu n i v e r s i t y 学者e m i l i ad i d m a n 2 2 提出一种新的模 型变换，引起广泛关注。这种模型变换被称为广义模型变换，即 僻三邢m 勘圳。 f r i d m a n 引入如下广义l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函 f 0，一 y ( t ，观) = 丁( ) e p o ) + y t ( s ) r y ( s ) d s d t ? + x t ( s ) q x ( s ) d s ( 1 1 5 ) j 一 j t + 日 j t - h 其中 e 。，= i 暑 ，e = 墨习，p = 竺三 对其沿系统( 1 1 5 ) 求导数，有 v ( t ，砚) = e + r 1 4 一y t ( s ) r y ( s ) d s( 1 1 6 ) r t j 一h 其中 跺文十k 0a 。计曙翻。卜啪雄叫， 仉：2 一z ( 。e r c t ，p t 量 可c s ，d s 同样地，对交叉项吼进行界定a p , - 抵消v 泛函导数( 1 1 6 ) 中的积分项，从而得 到时滞相关稳定条件。 分析上述三种模型变换方法的本质特征，可以看出：为获得时滞相关稳定条 件，在l y a p u n o v - k r a s o v s k i iv 泛函中引入双积分项，这样就不可避免地在v 泛 岱酾簿姨譬幽瑚氅浃型秩劳喷i 嚣 ， 博士学位论文 第一章绪论 f a ) 为处理y 泛函的导数中出现的二次型积分项，导致模型变换的产生； f b ) 模型变换的目的是让y 泛函的导数产生交叉项； f c ) 通过对交叉项的界定可以抵消y 泛函导数中的二次型积分项。 让y 泛函的导数出现交叉项是模型变换方法的本质特征，但是对交叉项的界 定，必将导致所得结果的保守性，因为迄今为止还没有找到一种恰如其分地界定 交叉项的方法。为了减小保守性，一系列的努力围绕着如何界定交叉项而展开。例 如，1 9 9 9 年，韩国学者p a r k 8 9 1 通过引入一个自由矩阵，推广了前面的基本不等 式f 1 1 0 ) ，导出了下面的p a r k 不等式。 p a r k 不等式：对v a ，b 黔，v r = r t 0 ，v m 鼢一，以下不等式成立 - - 2 a t b a # r 。棚+ ，鬻。一i a 纠 2 0 0 1 年，m o o nf 8 3 顺着p a r k 不等式的证明思想，引入多个自由矩阵，进一 步推广了p a r k 不等式，导出了下面的m o o n 不等式。 m o o n 不等式：对v a 瓞n 。，b r “，v n r n a x 2 6 ，x 时a “n ，y 辩。“6 以及z 靴一n a ，如果f 莠： 20 ，则 一z n 7 。 ： 1 y r x 一ty z a 。 c - - s ， 虽然利用p a r k 不等式或m o o n 不等式，结合模型变换或模型变换，一 系列具有较小保守性的时滞相关条件( 包括稳定性分析与控制综合) 相继出现，但 是这些条件仍然具有保守性。一方面模型变换带来了保守性；另一方面对交叉项 的界定也不可避免地产生保守性。 1 2 积分不等式方法的提出及其意义 追根溯源，模型变换思想产生于如何处理矿泛函导数中的二次型积分项。如 果我们能直接对这个二次型积分项进行界定，则一方面可以避免对系统进行模型 变换，另一方面对交叉项的界定也将成为多余，这样得到的条件就有可能具有更小 的保守性。下面针对( 1 1 3 ) 或( 1 1 6 ) 中的二次型积分项建立一系列积分不等式。 积分不等式i ：设z “) e 鼢具有一阶连续导数，则对v r r “，y ：= 舰 如 e 黔2 “，ze 职2 “2 ”以及h 0 ，如果 譬； 0 ，就有以下积分不等式 成立 肛叫踟吲r r 晒孵m r + - m 2 k j ) + 孤( ) ( 1 1 9 ) 博士学位论文第一章绪论 买中f ( t ) ：= c o l x ( t ) ，z ( 一h ”。 证明：因为 r 开y 1 l y tz l 0 于是 脯州列融卜 即 ，cr c x t ( s ) r 士( s ) d s + 2 f t ( t ) y t z ( s ) d s + 丁0 ) z f ( ) 0 j t - hj t - h 整理上式即得( 1 1 9 ) 。 口 如果r 可逆，因为 ：y r ；。y = 言r 苫y 1 言r 言y 。 于是利用积分不等式i 得到如下的积分不等式。 积分不等式：设z ( f ) 黔具有一阶连续导数，则对任意正定矩阵r 鼢“，以及y ：= m 1m 2 】融”“，h20 ，以下积分不等式成立： 一鼬h s ，r x ( s ) d s 0 ，则积分不等式i 与积 分不等式得到的时滞相关条件是等价的。 值得一提的是，上述积分不等式也可由p a r k 不等式或m o o n 不等式得到证 明，并且这一证明过程正好说明了积分不等式的优点。为便于后续章节的叙述，下 面分别给出这一证明过程。 ( i ) 利用m o o n 不等式证明积分不等式i 由l e i b n i z n e w t o n 公式 ，圣( s ) d s j t - h 对任意1 ，2 黔“，有 。_ 2 ( 川t ) n t 仃( t 叫孵) 叫t 叫一。) d s = 2 丁( t ) 7 ，一，】f ( ) 一2 f t ( ) r ( c ( s ) d s( 1 2 2 ) 其中n ：= 【n i 2 】。对式( 1 2 2 ) 中的积分项应用m o o n 不等式( 11 8 ) ，得到 一。z e 7 c 。v 丁圣c s ，a s ( 。 ；窨 1 y r r ry - z n d s = 圣t ( s ) r x ( s ) d s + 2 7 0 ) ( y t n 7 ) i x 一卅+ h f 丁( t ) z ( t )( 1 2 3 ) 将( 1 2 3 ) 代入( 1 , 2 2 ) ，即得到积分不等式i 。 ( i i ) 利用p a r k 不等式证明积分不等式 对式( 1 2 2 ) 中的积分项应用p a r k 不等式，得到 一f t h2 e t ( t ) n t z ( s ) d s - f 。矧1 r 。脚r 胪m 。，) 如 = 圣丁( s ) r x ( s ) d s + 2 t ( ) 7 m t r 一卅( ) + h e t ( t ) t ( m t r + i ) n 一1 ( r m + j ) ( t )( 1 2 4 ) 将( 1 2 4 ) 代入( 1 2 2 ) ，得到 0s 5 ：t ( s ) r x ( s ) d s + 2 t 0 ) 丁( n 巧7 r + j ) 一卅0 ) + r ( t ) r ( 肘。t r + ，) r 一1 ( r i m + ) f ( t ) 令y ：= ( r m + i ) n = 【 如】，整理上式即得积分不等式。 博士学位论文第一章绪论 注释1 1 在用p a r k 不等式证明积分不等式的过程中，式f 1 2 2 ) 中的两个 自由矩阵m ，飓以及p a r k 不等式中的自由矩阵m 经重新组合以后成为两个自 由矩阵尬，尬。同样地，在用m o o n 不等式证明积分不等式i 的过程中，式( 1 2 2 1 中的两个自由矩阵1 ，飓完全自由，根本就没有出现在积分不等式i 中。这一点 非常重要，特别是在控制综合问题中，过多的自由矩阵有时并不能改善控制性能， 相反，只会给控制综合问题求解带来困难，这也正是引入积分不等式的真正意义 ( 参见第5 2 页注释4 7 的分析1 。 1 3 本文内容 本文内容分为二大部分：第一部分为线性时滞系统的稳定性分析，包含第二 章与第三章；第二部分为线性时滞系统的控制综合，包含第四章至第八章。 第二章利用积分不等式方法讨论了具有时变时滞线性系统的时滞相关稳定性， 针对时变时滞连续不可微( c a s ei ) 与连续且可微( c a s e ) 两种不同情况分别建立 了一系列时滞相关条件，证明了在c a s e 条件下，当时滞导数大于等于1 时c a s e 获得的条件与c a s ei 是等价的，而当时滞导数小于1 时c a s ei i 获得的条件较 c a s ei 具有更小的保守性。另外，从理论上证明了积分不等式方法得到的结论包 含广义模型变换方法得到的结论作为其特殊情形，充分体现了积分不等式方法的 优越性。 第三章讨论了中立型系统的时滞相关稳定性，利用积分不等式方法，通过构 造新的更一般的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，建立了具有更小保守性的时滞相关条 件。另一方面，理论分析表明：对于线性时滞系统的时滞相关稳定性，自由矩阵的 引入并不是多多益善的，过多的自由矩阵并不能降低所得结论的保守性，相反需 要耗费更多的计算机运行时间。 第四章针对最近法国科学家r i c h a r dj p 在a u t o m a t i c a 上提出的关于同时 具有输入时滞与状态时滞的线性系统，在系统矩阵对( m a t r i xp a i r s ) 不能控的条 件下，如何利用输入时滞项对系统进行有效地控制这一“o p e np r o b l e m ”进行了 讨论。利用积分不等式方法，获得了系统在无记忆状态反馈作用下可稳定化的时 滞相关条件，这一条件不必要求系统矩阵对是否能控或能稳，并用实例从稳定性 的角度回答了r i c h a r d 的“o p e np r o b l e m ”。另外，将前面的结论应用于只含输入 时滞的线性系统，获得了系统在无记忆控制器作用下可鲁棒稳定化的时滞相关条 件，所用的控制器较用a r s t e i n 模型退化方法得到的具分布时滞的控制器结构简 单，易于实现。同时也讨论了只含状态时滞的线性系统的鲁棒稳定化问题，利用积 分群擎畿努法，获得了分别雀秃记髂袄卷发镄以及有记忆状态蔹镄翁稀攫渤器酌 囊 ! ：， 镯 一： 囊 博士学位论文第一章绪论 作用下系统可鲁棒稳定化的时滞相关条件，数值例子表明了这些条件具有更小的 保守性。 第五章讨论了线性时滞系统的时滞相关鲁棒日。控制，寻求无记忆亡k 控制