（信号与信息处理专业论文）全相位数字滤波器的ip核设计.pdf

中文摘要 全相位数字滤波器是全相位思想和数字滤波相结合的产物，因此它表现出了 良好的特性，消除了吉布斯效应。另一方面，随着半导体工艺的快速发展，i c 设计进入s o c 时代，i c 设计方法也随之发生了巨大的变革，i p 核技术逐渐成为研 究热点。在这种背景下，本文设计了全相位数字滤波器的i p 软核，将全相位数字 滤波器和i p 核技术结合起来。 本文首先详细介绍了一维加窗全相位数字滤波器的设计过程，比较了全相位 数字滤波器的三种实现结构的优缺点。鉴于时域等价结构全相位数字滤波器的成 本和计算复杂度最低，本文最终决定选择时域等价结构的二维可分离低通全相位 数字滤波器作为本文的设计内容。 根据面积与速度的平衡和互换的原则，分析了全相位数字滤波器的设计公 式，使i d c t 、d c t 、d f t 三种全相位数字滤波器有机地统一在同一结构之下， 用速度换面积的方法实现单位脉冲响应的产生模块以及列率响应的 i d f t d c t i d c t 变换模块。从而节省了电路面积，降低了成本。由于乘法器占用 面积较大，为了节省电路面积，考虑在满足速度要求的情况下，减少乘法器的使 用，没有采用1 6 个乘法器的方案，而采用了4 个乘法器的方案。而且对图像的行 和列分别作滤波的过程采用了同一组乘法器，进一步节省了电路面积。为了保证 图像数据一个时钟周期一个图像数据不问断地输入，采用了两组移位寄存器对输 入图像数据进行移位。 之后用硬件描述语言对全相位数字滤波器的i p 核模块进行了实现，并详细介 绍了各主要模块主要逻辑的实现方法。最后对所设计的i p 核模块进行了仿真，证 明了设计的正确性，同时也发现单位脉冲响应的产生模块精度有待提高，可作为 下一步的工作进行研究。 关键词：i p 核；全相位数字滤波器；硬件描述语言；仿真 a b s t r a c t a sag o o di n t e g r a t i o no fa l lp h a g ep 1 1 i l o s o p h ya n dd i g i t a lf i l t e 血g ，a l lp h a s e d i g i t a l6 l t e r ( a p d f ) r 印r e s e m sg o o dc h a r a c t e r i s t i c s ，a n de l i m i i l a t e st h eg i b b se 仃e c t o nt l l eo m e rh a n d ，w i 也t h ef a s td e v e l o p m e mo fs e m i c o n d u c t o rt e c l l i l i q u e ，t 1 1 et i i i l e s o fs o cc o m e s 7 r h et e c t 血q u eo fi cd e s i g nw i l lh a v eag r e a tc h a i l g e ，a n dm o r e r e s e a r c ho ni pt e c m q u ew i l lb ed o n ei 1 1t h e 彻= u r e u n d e rt h i sb a c k g r o u n d ，“sp a p e r s t u d i e s 也ed e s i g l lo fi ps o rc o r et oi n t e g r a t ea p d f 粕dm ei pt e c m q u e t m sp 印e ri n t r o d u c e st h ed e s i g np r o c e s so fw i n d o w e da p d fi no n e - d i m e n s i o ni i l d e t a i lf i r s t l y ，锄dt h e nc o m p a r e st h es t r o n ga n dw e a l 【p o i n t so ft h et h r e er e a l i z a t i o n s t l l l c t u r e so fa p d f s e e i n gt l l a tt 1 1 ec o s t 锄dm ec a l c u l a t i o nc o m p l i c a t i o no ft i 】 1 1 e - d o m a i ne q u i v a l e n c er e a l i z a t i o ni s t l l el e a s t ，t h j sp a p e rd e c i d e st o d e s i g n t 1 1 e t i m e - d o m a i l l e q u i v a l e n c e r e a l i z a t i o no fm e s 印a r a b l e l o w p a s s a p d fi 1 1 觚o d i m e n s i o n w ea n a l y z et h ed e s i 盟f - o 册u l ao fa p d f ，b a s e do nt 1 1 ep r i n c i p l eo f b a l a l l c ea l l d i n t e r c h a n g eb e 觚e e nm ea r e aa 1 1 dt h es p e e d ，a 王1 dt h e nf m dm a ta p d fb a s e do ni d c t ， d c ta n dd f tc a nb eh n p l e m e m e di i las 锄ec 讹u i ts t m c t l 鹏s ot h ea r e ao ft h e m o d u l ew 垃c hp r o d u c e st h e 丘l t e rr e s p o n s ea 1 1 dm em o d u l ew 1 1 i c hi n l p l e m e m s i d f t d c t i d c to ft h e 舶q u e l l c yr e s p o i l s ec a nb el e s s b e s i d e s ，b e c a u s et h ea r e ao f t l l em u l t i p l i e ri sl a r g e ，t or e d u c em ea r e ao ft h ec 址pw ed e c i d et ou s ef o l l rm u l t i p l i e r s b u tn o ts i x t e e l lm u l t i p l i e r st or e a l i z et h em o d u l eo ff i l t 嘶n gw h e i lt h es p e e dc a nm e e t o l l rn e e d s a n dt om a k et h ea r e al e s s ，t l l ef i l t e r i n gp r o c e s so f m er o wa i l dm el i l l eo f t h ei i i l a g ei si nt h es a m em u l t i p l i e r s f i n a l l y ，t oe n s u r et h a tm eh a g ed a t ai i l t om e f i l t e rc a nb eo n eb yo n ec o n t i n u o u s l y ，w eu s et w o 目o u p so fs l l i rr e g i s t e r s a n dt 1 1 e nt l l i sp a p e rr e a l i z e st h ei ps o rc o r eo fa p d fu s i n gh a r d w a r ed e s i g n l a n g 眦唱ea r l di n t r o d u c e s 也em 也l o g i cc i r c u i t so fm em a mm o d u l e si nd e t a i l i n 也e e n d ，t 1 1 i sp a p e rp r o v e st h a tt h ed e s i g no ft h ei pc o r ei sc o n e c tb ys i m u l a t i n gt h ei p c o r e 协e m u l a t o r a tn l es a m et 疏e ，t h i sp a p e rf i n d sm a tt h ep r e c i s i o no ft h ef i l t e r r e s p o n s ef o n nm em o d u l es _ h o u l db ei m p r o v e d ，s o 恤sc a i lb et l l en e x tw o r ki i lm e f l l t l j r e k e yw o r d s ：i pc o r e ；a l lp h a s ed i g i t a lf i l t e r ；h a r d w a r ed e s i 朗l a n g u a g e ； s i m u l a t j o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：惹闶1 7 签字日期：伽曙年乡月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权丞鲞叁堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 么rk 阔，?导师签名：1 委弛1 主 签字目期：勿矿夥年多月易日签字日期：砌劳年易月f o 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 数字滤波器设计的发展概况 在数字信号处理( d s p ) 系统中，数字滤波器起到了十分基础的作用l l 弓j 。 数字滤波器最初是采用和模拟滤波器相同的分析性设计方法。分析性设计技术需 要较小的计算量，然而所设计的滤波器仅限于经典的无限脉冲响应滤波器( i i r ) 。 i i r 数字滤波器是利用模拟滤波器的成熟理论及设计图表进行设计的，因而保留 了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但是设计中只考虑了幅度特性，没考虑 相位特性，所设计的滤波器相位特性一般是非线性的。为了得到线性相位特性， 对i i r 滤波器必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本也高。 随着d s p 领域的发展，f i r 滤波器发展起来。应用最广泛的f i r 滤波器是 线性相位滤波器，这种滤波器不存在相位失真。然而在相同阶数的情况下，f i r 滤波器的频响要差于i i r 的频响。换句话说，要达到同样的频响特性，f i r 滤波 器需要更高的阶数。然而由于数字滤波器价格低廉，使得人们不太关注f i r 滤波 器的这一缺点。f i r 滤波器的设计方法主要包括窗函数法、频率采样法和契比雪 夫逼近法等。 窗函数法所设计的滤波器的单位脉冲响应是由理想频响和有限长度窗函数 相乘得到的。调整窗口长度可以有效地控制过渡带的宽度。减少带内波动以及加 大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。如果能找到窗函数形状，使其 谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就减小了；旁瓣的减小可使通带、 阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但是这总是以加宽过渡带为代价的。尽管窗 函数法能得到与理想频响近似的频率响应，但需要较多的频率采样点数，靠加窗 截取单位脉冲响应改善纹波，不仅牺牲了过渡带频率特性，也使频率采样点上的 响应失去控制一j 。 窗函数设计法是从时域出发的一种设计方法，但一般设计指标是在频域中给 出的，因此，频率采样法更为直接，尤其是对于滤波器频响公式较复杂，或其不 能用封闭公式表示而用只能一些离散值表示时，其优势更为明显。这种方法是对 滤波器的频响函数在频域内点等间隔采样，再对这点值进行i d f t ，从而得 到滤波器的单位脉冲响应。这种方法直接从频率域进行设计，比较直观，也适合 于设计具有任意幅度特性的滤波器，而且能精确实现采样点的频率响应。但是， 它需要插入过渡点以改善纹波，截止频率不易控制，过渡点也需要优化设计，通 带、阻带误差也不易控制。如果增加采样点数，对确定边界频率有好处，但 第一章绪论 加大会增加滤波器的成本。因此，它适台于窄带滤波器的设计。 契比雪夫逼近法是把滤波器设计看成一个优化问题，代价函数通常是理想频 响和设计频响之间误差的函数。契比雪夫滤波器设计问题和应用数学领域中的最 佳逼近问题类似。在研究契比雪夫滤波器设计问题的时候，实函数的培佳逼近发 展得比较成熟，已有了雷米兹最佳逼近算法陋】。利用契比雪夫逼近法设计f m 滤 波器，由于采用了等纹被逼近，误差均匀地分布在频带中，对同样的技术指标， 这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误 差最小。这种方法可咀得到优良的滤波特性，这是，种滤波器的优化设计方法。 线性相位滤波器的传递函数可以看成是一个实函数。然而对于非线性相位和复数 滤波器，契比雪夫设计仍然是个困难的问题。而且，即使是用契比雪夫方法设 计兀r 线性相位滤波器，也不能精确控制特定频率点上的响应，而且设计过程复 杂。 若希望既不插入过渡点，也不增加频率采样点，在改善纹渡的同时，保持采 样点的频率响应不变，这是传统的滤波器设计理论难以解决的问题。 1 2 重叠思想及全相位数字滤波器 重叠思想的应用之是m a l v a r 针对块信号处理提出的重叠正交变换l 矗。8 】 。( i a p p e do m l o 窑o n a lm m s f o r n l ：l o t ) ，它是为了解决图像和语音编码中的块效应 而提出的。用1 t 作图像压缩是将一幅大的图像分成8 x 8 或1 6 x1 6 的块分别实 现的。由于截断而产生的块效应在重建的图像上表现为较明显的方格，在重建的 语音信号中则表现为周期性的噪声。重叠正变变换包含了相邻块的玎，使得 这种正变变换的基函数具有由中间向边界逐渐衰减的特性。这使l ( ) t 在低比特 率的矧像和语音编码中能有效抑制边界不匹配误差。1 v a r 指出，l o t 等价于 一个有效的正交镜像滤波器组，其分析和综合滤波器有相同的f m 响应重叠 思想在数字信号处理中运用十分广泛。 以重叠变换在数字滤波中的应用为例，文献 10 1 i 是重叠正交变换在滤波 器组中的应用文献 1 2 将重叠变换引申到阿达玛变换，文献 13 将重叠变换应 用于自适应滤波中。 全相位思想可以说是重叠相位思想在数字滤波领域的应用。重叠相位思想隐 台在窗函数的构造中| l “j l ：如果仔细观察常见窗函数的频率表达式，则可以看到， 它和全相位滤波思想有类似之处。设窗长度为j 而且关于( 一1 ) ，2 对称，则 矩形窗的频率响应为p j ： 一j 苎i l 。 玎名( p ”) = f t 旯( 玎) = h 名( h ，) p 。2 2 第一章绪论 而汉宁窗的频响可表示为： ( 雩p ) 军f t 【( 甩) 】 霉 0 5 哪) + o 瑚吲w 一器) + m + 惫妒爿v 霉 o 5 ( w ) + o 2 5 【( w i 手等) + ( w + i 手麓) 】 寥1 ： l j v 1 月一i j i ，一_ 霭( w o 由此可见，汉宁窗的频响相对子矩形窗的频响，其相位没有发生变化，而其 幅度函数是矩形窗幅度函数的加权移位结果之和。不难发现，哈明窗、布莱克曼 窗的频响表达式也隐含着类似的规律。重叠相位思想的应用使得窗函数的性能更 好。 全相位思想具有相似的原理。对于分段长度为的时间序列中的一点x ( 疗) ， 存在也只存在个包含该点的具有不同截取相位的维数据向量。例如，若将 信号时间序列分段为长度为= 4 的信号序列段，则有4 个数据段包含信号时间 序列中的一点x ( 刀) ： 功z ( 玎+ 1 ) x ( 栉+ 2 ) x ( 以+ 3 ) x ( ”一1 ) x ( 功x ( 刀+ 1 ) x ( 珂+ 2 ) x ( 刀一2 ) 善( 拧一1 ) 月) 工( 一+ 1 ) 戈( ，l 一3 ) x ( 刀一2 ) x ( ”一1 ) z ( 哟 哟在第七个数据段中的位置是露( 七；l ，2 ，3 ，4 ) ，因此，x ( 刀) 将遍历数据段中的 所有时刻。全相位滤波是将每段个输出结果中对应x ( 以) 的输出的算术平均作 为系统输入为缸哟时的输出，因此，全相位变换域滤波的本质是输入信号在变换 域滤波的加权平均。本论文中以下的章节称用全相位思想设计的数字滤波器为 a p d f ( a l lp h a s ed i g i t a lf i l t e r ) 。 正是因为应用全相位思想，全相位数字滤波器无论其纹波、过渡带都有良好 的表现，更为重要的是它有效地消除了吉布斯效应，阻带内的频率响应也都为正 值。因而是一种性能良好的滤波器。 1 3i p 核发展概况及i p 核设计技术简介 半导体工艺的快速发展，使i c 设计逐步进入s o c ( s y s t e mo n ac h i p ) 时代，i c 设计方法也随之发生了巨大的变革。以前基于单元库的设计方法已不能满足日益 复杂的电路对设计的要求，i c 的设计开发已成为集成芯片市场扩大的瓶颈【i7 1 。 使用已经过验证的核进行设计开发即i p ( i n t e l l e c t u a lp r o p e 啊) 技术已逐渐成为业 幂研究热点。有了i p 技术，i c 设计开发就不用一切从零开始，i c 设计师可以使 功能模块，利用已有的知识、经验，进行芯片的有效集成，从而完成i c 设 第一章绪论 计。 i p 核的出现是集成电路设计产业分工的结果，一些公司专注于自己的技术 特长，开发不同类型的、经过验证的i p 核，而另一些公司在复用这些i p 核的基 础上设计集成电路。i p 核的重复使用既缩短了系统设计周期，又提高了系统设 计的成功率。因此研发可嵌入式的、能重复利用的i p 功能模块具有广泛的应用 前景和现实意义。 目前国内拥有多条i c 的工艺生产线，在整体制造能力上已经接近国际先进 水平。由于i p 的最终实施通常是依托于工艺生产线进行的，因此我国的整体制 造能力为i p 的实现提供了可靠的保证。但目前国内总体来说在i p 模块的设计开 发和应用方面做的不够。中国的i p 核产业起步较晚，规模很小，i p 核产业存在 设计种类少、经过验证的i p 核寥寥无几等问题，对s o c 设计和产业化形成了瓶 颈。截止到目前为止，国内纯粹依靠i p 核经营的公司屈指可数，多数公司在涉 足i p 核行业时极为谨慎，经常是a s i c 经营、i p 核经营、设计服务经营同时进 行【1 8 】。 近年来，国家在“十五”计划中将电子信息产业和大规模集成电路的开发列 为关系国家发展、安全的战略地位。为搞好大规模集成电路的开发，科技部于 2 0 0 0 年启动了“十五”国家8 6 3 计划超大规模集成电路s o c 专项工作，希望通 过这一努力，初步建成具有自主知识产权、品种较为齐全和管理科学的国家级i p 核库。通过项目的研究，掌握国际先进水平的s o c 软硬件协同设计、i p 核复用 和超深亚微米集成电路设计的关键技术。 i p ( i n t e l l e c t u a lp r o p e r 哆) 核是一个用于f p g a 或a s i c 产品的逻辑模块或数据 模块。作为设计复用( d e s i 盟r c u s e ) 的基本单元，i p 核代表了目前正在成长的e d a 工业的趋势，即先前设计的部件能被重复使用而不是只能用一次，这样就可以大 大提高产量和缩短设计周期。理想的i p 核应该是完全可移植的，就是说能被轻 易的嵌入到任何的用户技术和设计方法中。一般来说，i p 是一个已经完成了设 计和验证的电路模块，就其本质来讲即是一个能提供正确接口信号的功能模块。 作为预先设计好的集成电路功能模块，它能够快速有效地集成到系统芯片中。按 其存在形式，i p 核可以分为硬核( h a r dc o r e ) 、固核( f i i mc o r e ) 和软核( s o j f lc o r e ) 三种，其中，软核为能综合的h d l 描述，硬核为芯片版图，固核为门级h d l 描述。 所谓的硬核是指经过预先布局且不能由系统设计者修改的i p 。硬i p 核的电 路布局及其与特定工艺相联系的物理版图是固定的，包括全物理的晶体管和互连 掩膜信息，完成了全部的前端和后端设计并已被投片验证正确，特点是提供可预 测的性能和快速的设计，可以被新设计作为特定的功能模块直接调用。硬核设计 有效地保护了设计者的知识产权，但由于硬核的布局不能被系统设计者修改，所 4 第一章绪论 以也使系统设计的布局布线变得更加困难，特别是当一个系统中集成多个硬核设 计时，系统的布局布线几乎不可能。i p 硬核由于依赖特定的工艺库，目前国内 还没有专门设计i p 硬核的公司，其主要来源是外国的i p 专业供应商、设计服务 公司和f o u l l d r y 厂。 固核由r t l 寄存器传输级的描述和可综合的网表组成，固i p 核在软核基础 上开发，是介于硬i p 和软i p 之间的i p ，是一种可综合的、并带时序信息以及布 局布线规划的设计，以r t l 代码和对应具体工艺网表的混合形式提供，固i p 既 不是独立的，也不是固定的，可以根据用户的需要进行修改，使其适合于某种可 实现的工艺。与硬核相比，固核可以在系统级重新布局布线。 软核是一个仅仅以软件形式存在的可综合的完全用h d l 语言描述出来的i p 模块。软i p 核通常为抽象的、较高层次的功能描述，用硬件描述语言h d l 或c 语言写成，是对设计的算法级描述或功能级描述，包括逻辑描述、网表和用于功 能仿真的行为模拟以及不能物理实现的用于测试的文档，软i p 需要综合、进行 布局布线等。特点是灵活性大、可移植性好，用户能方便地把r 1 1 l 和门级h d l 表达的软i p 修改为应用场合所需要的设计，综合到选定的加工工艺上。但与硬 i p 相比，可预测性差，设计时间长。在目前的综合工具的水平下，可综合软核 在寄存器传输级( r t l ，r e g i s t e rt r a i l s f e rl e v e l ) 完成描述。由于其与制造工艺库完 全没有关系，可以作为国内在集成电路设计领域追赶国际先进水平的突破口。 一个真正的i p 设计有许多特性，如可扩展性、可分割性、软件独立性、可 测性等。关于i p 设计，各个e d a 和器件厂家都有自己的标准。统一的i p 设计 规范还在进一步制定中。i p 设计随着片上系统的发展而成为目前a s i c 设计中一 个非常活跃的领域。 i p 模块的再利用，除了可以缩短s o c 芯片设计时间外，还可以提高设计效 率、节省人力的要求、降低设计成本、提高可靠性，以及满足面市时间 ( t i m e t o m a r k e t ) 等。研究开发可嵌入式的、能重复利用的i p 功能模块，将在集 成电路设计和现代s o c 电子系统研发领域具有广泛的应用前景和现实意义。 1 4 本文的主要研究工作 如前所述，全相位数字滤波器是全相位思想和数字滤波结合的产物，因此它 表现出了良好的特性，消除了吉布斯效应。另一方面，随着半导体工艺的快速发 展，i c 设计进入s o c 时代，i c 设计方法也随之发生了巨大的变革，i p 核技术逐渐 成为研究热点。在这种情况下，本文设计全相位数字滤波器的i p 软核，将全相位 数字滤波器和i p 核技术结合起来。 本文的主要研究工作为设计一个频响、长度、加窗、d c t i d c t d f t 均可选 第一章绪论 择的、通用的二维可分离低通全相位数字滤波器的i p 软核。本系统拟达到的性 能指标为： 滤波器长度：长度2 一1 为3 3 l ，即变换的点数为2 1 6 ； 所期望的维滤波响应向量瓦：只有o 和1 两个数值，为低通滤波器； 加窗类型：矩形窗、三角窗、汉明窗、汉宁窗、凯塞窗等，均为单窗； 滤波器类型：d f t 全相位数字滤波器、d c t 全相位数字滤波器、i d c t 全相位数字滤波器。 1 5 本文章节安排 第一章首先介绍了数字滤波器设计的发展状况，然后介绍了重叠思想及其与 全相位数字滤波器的关系，指出了全相位数字滤波器的优点。之后介绍了i p 核 的发展状况、i p 核设计技术、本文的主要研究工作及章节安排。 第二章全面介绍了全相位数字滤波器的设计方法，并分析了全相位数字滤波 器的三种实现结构的优缺点。之后介绍了可分离和不可分离全相位数字滤波器的 设计方法。 第三章首先介绍了i p 核设计的指导原则：速度和面积的平衡与互换、硬件 原则、同步设计原则。随后根据这几个原则对二维可分离低通全相位数字滤波器 的结构进行了分析和设计。 第四章首先介绍了硬件描述语言，然后详细介绍了所设计i p 核电路的各个 功能模块的具体实现。 第五章首先介绍了i p 核验证的类型，即功能验证、逻辑验证和电路验证。 然后介绍了目前主要的验证技术：形式化验证和基于t e s t b e n c h 的验证。之后介 绍了m o d e l s i i l l 仿真软件的特点。最后对所设计l p 核进行了基于t e s t b e n c h 的验 证，证明了设计的正确性。 第六章对全文进行了总结和展望。 6 第二章全相位数字滤波器 第二章全相位数字滤波器 2 1 列率概念的引入和时域列率滤波 频率词适用于正弦( 周期) 函数。而非正弦正交函数由方波或矩形波组成， 属于这样的函数组的各个函数可以用一个被称为列率的参量来区别，其定义为： 每单位时间内过零点平均数的一半。列率用于区别那些在一个区间内的过零点非 等间隔的分布，同时又不一定是周期性的函数引。 用离散变换对数字信号进行列率滤波的传统方法是：从数字序列中截取一段 数据组成一个维向量x ，经过变换t 。j 的运算后它成为变换域中的向量a ， 通常称彳为x 的列率谱。，是所期望的数字滤波器的列率响应，也是维， 它与彳做对应元素相乘的运算，形成在变换域中的已滤波向量氐，对巩施以 反变换巧1 ，就得到时域的已滤波信号y ，如图2 1 所示。上述的列率滤波可只 在时域中通过矩阵运算进行，即k = 日。 图2 1 传统列率滤波器原理图 下面推导在给定正交变换和列率响应条件下，滤波矩阵日，的数学表达式。 设的离散正交变换的正变换t 和逆变换啄1 矩阵分别为反和风。则有： ，一l ，一l k ( m ) = 风( m ，) ( ，刀) 目( 纠蜀( ，2 ) ， 聊= o ，i ；m 一 = 0 ，= ；0 令 一l 风( m ，z ) = 鼠( ，z ，) 口( ，z ) r ( ，) ， 聊，胆o ，1 ；肛( 2 1 ) ，= o 则 ，一i y ( ，1 ) = 日( ，l ，n ) x ( 胛) ， m = o ，i ；n 一 即 n = o 瓦= 日x ( 2 2 ) 式( 2 1 ) 即是滤波矩阵的数学表达式。显然，对于不同的正交变换和列率响应， 第二章全相位数字滤波器 它将有不同的形式。下面我们分析一下在几种有代表性的正交变换中它的具体表 现形式。 1 ) 对于离散傅立叶变换，我们有如下关系： 口 ，( 聊，刀) = ( 朋，1 ) 口v ( ，z ，z ) = 口( ，2 ，聊) 由式( 2 1 ) 得： ，一l h v ( ，z ，胛) = 风( 历一，z ，z ) 目( ，) = 厶( 所一玎) ( 2 3 ) ，= o 式中厶( m 一，z ) 是列率响应r 的i d f t 谱中标号为( 所一，z ) 的谱分量。在一 般情况下，列率响应日取实对称向量，亦即日( 厅) = 昂( 一咒) ， 以= o ，1 ，一1 ，此时其i d f t 谱亦为实对称向量，即有厶( 一，z ) = 厶( 玎) 。 从而日。可以写成： hn = 厶( o ) 厶，( 1 ) 厶( 2 ) 厶( 一1 ) 厶( 1 )厶( 2 )厶( 一1 ) ( o )厶( 1 )厶( 一2 ) 厶( 1 )厶( o )厶( 一3 ) ；i! 厶( 一2 ) 厶( 一3 ) 厶( o ) ( 2 4 ) 风( 聊，刀) = 风( m ，) 风( 刀，) 目( ，) ( 2 5 ) ，= 污譬每一三竺- 1 ( 撕， 日( 。= 击善风( 叫) 瓦( ，) = 嘉厶( ，z ) ( 2 - 7 ) 第二章全相位数字滤波器 姒棚) = 击篓肭剐) = 击舯) 当m o ，z o 且肌，2 时： 巩) = 击善 风栅) + 屏沏一d 蠊“) 。赢厶觑棚 厶，j 叫 当聊0 ，z o 且，z = 刀时： 风( m ) = 击篓胁，7 ) 剐) + 击篓剐刖) 2 赤 厶( 2 m ) + 2 厶( o ) 】 由式( 2 6 ) 容易看出余弦谱的几个性质，即 厶( 一，z ) = 厶( ，z ) ， 刀= o ，i ；心一 厶( 以) = 0 厶( + 胛) = 一厶( 一，z ) ， 咒= 0 ，1 ，一l 由式( 2 7 ) 式( 2 一1 3 ) 可以得出滤波矩阵日，的结构。 日( m ) = 击 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 - l o ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 风( o ) 撖( 1 ) 玩( 2 ) 撖( 一1 ) 撖( 1 ) 撖( o ) 厶，( 1 ) 厶( r 一2 ) 撖( 2 )厶( 1 ) 慨( o ) 厶( 一3 ) ；。i 撖( 一1 ) 厶( 一2 ) ( 一3 ) ! 玩( o ) 1 + 了示 0 厶( 2 ) 厶( 3 ) o o 0 ( 3 ) o 厶( 4 )氓( 一1 ) ； 一厶( 一1 ) 一 ( 2 ) ( 2 1 4 ) 上式中日。写成了两个矩阵之和，矩阵中的元素为列率响应的余弦谱分 量。这两个矩阵都是实对称矩阵，从而日、也是实对称矩阵，其对称性 由式( 2 7 ) 式( 2 一1 1 ) 很容易得到证明。 3 ) 与离散逆余弦变换的情况相似，在离散余弦变换日。，中也应具有式( 2 5 ) 的形式： ，一l 巩( m ，胛) = 风( 历，) 风( 刀，) r ( ，) ，= o 所不同的是：这里风( f ，) 为i d c t 矩阵。 9 第二章全相位数字滤波器 将i d c t 矩阵代入上式得： 风c m ，= 扣+ 喜2 c o s 紫c o s 警删 = 专c 掣+ 哗+ 竿+ 与心彤， 我们在这里定义一个( + 1 ) 阶的准i d c t 矩阵为： 厅 柏) _ 专 例小叫，一l 仁 c 。s 芍，川，2 ，- _ 0 ，1 ，一， 将式( 2 16 ) 代入式( 2 15 ) 得： 巩撕) - 赤l 荟以垅+ ，z + 1 ，) 日“) + 善纵聊一d 民u ) j 1l l 1一li 2 击【厶( m + 川) + 厶( 聊叫】 ( 2 邯) 式中， ( 玎) 为列率响应f 的准i d c t 谱的第，1 个分量，准i d c t 变换定 义为： = ，( 2 - 1 8 ) 由式( 2 1 6 ) 容易得出准i d c t 谱的几个性质： 厶( 一刀) = 厶( 咒) ，z = o ，1 ，一l( 2 1 9 ) 厶( + 刀) = 厶( 一，z ) ，咒= o ，l ；m 一( 2 2 0 ) 根据式( 2 1 7 ) 式( 2 2 0 ) 可知：滤波矩阵日的结构为 ( 1 ) 厶( 2 )厶( 3 ) 厶( ) ，i 厶( 2 ) 厶( 3 )厶( 4 )厶( 一1 ) l 何，咒) 2 击l 厶! ( 3 ) 厶! ( 4 )厶! ( 5 ) ( _ 一2 ) i | - ( ) 厶( 一1 ) 厶( 一2 ) 厶( 1 ) j i 厶( o ) ( 1 )厶( 2 )厶( 一1 ) ，l ( 1 ) 厶( o ) ，( 1 )厶( 一2 ) + 击l 厶! ( 2 ) 厶( 1 )厶j o )：一厶( 誓一3 ) i： l 厶( 一1 ) 厶( 一2 ) 厶( 一3 ) 厶( o ) ( 2 - 2 1 ) 上式中日，写成了两个矩阵之和，矩阵中的元素为列率响应的准i d c t 谱 分量，这两个矩阵都是实对称矩阵，从而日也是实对称矩阵，其对称 性由式( 2 1 9 ) 和式( 2 2 0 ) 很容易得到证明。 l o 第二章全相位数字滤波器 2 2 全相位列率滤波器的单位脉冲响应 从 x ( n ) ) 中相继延时截取段皆包含样点x ( n ) 的维数据向量： 五= ( o ) ，西( 1 ) ，- 西( 一1 ) 1 ， ，= o ，1 ，一1( 2 2 2 ) 对所有这些向量分别进行时域列率滤波，且均取在点顶k ) 的响应，将这个响 应的平均值y ( ，2 ) 作为文，z ) 的全相位滤波输出，可得： 1 ，一l _ 一1 ，一1 y ( 珂) = 寺日( i ，m ( ，z f + ) = 五( m ( ，z 一) ( 2 2 3 ) o ，= o = 0 j 一( 一1 ) 其中， 矗 ，( ) = 专善蹦卜m 专善7 眦h ) ， = 0 ，1 ，一1 ( 2 2 4 ) = 一1 ，2 ，一+ 1 为全相位列率滤波器的单位脉冲响应。 显然，若日为对称矩阵即若有日( f ，) = 峨( ，f ) ，则 五 ，( 刀) = 五 ，( 一咒) ， 刀= o ，1 ，一1( 2 - 2 5 ) 即办( 胛) 具有零相位特性。 从2 1 节的讨论可知：对于d f t ，i d c t 和d c t ，它们的滤波矩阵日都是实 对称矩阵，因此相应的f i r 数字滤波器都是零相位的。 1 ) 对于d f t 的情况： 若列率响应r 为实对称向量，即日( ，z ) = r ( 一，z ) ，刀= l ，2 ，一1 ， 由式( 2 2 4 ) 可得： 氐= 厶 ( 2 2 6 ) 其中： = ( o ) ，( 1 ) ，( 一1 ) 1 = 【厶( o ) ，厶( 1 ) ，厶( 一1 ) 1 为加权矩阵，在d f t 情况下，它是一的对角线矩阵，等对角 线上的元素为 帅瑚= 等 ( 2 - 2 7 ) 式( 2 2 6 ) 中 是列率响应，的i d f t ，即 l n = 弋f n 将上式代入式( 2 2 6 ) 可得： 第二章全相位数字滤波器 2 t 叫瓦= g 氕( 2 2 8 ) 其中g = t 叫称为过渡矩阵。 2 ) 对于i d c t 的情况，同样得到 h n = wnf q 与d f t 情况相似，在i d c t 情况下，加权矩阵，也是对角线矩阵，其对 角线上元素为： 吲郴卜 每乩2 ，抄， ( 2 - 2 9 ) 其中，厶为列率响应r 的余弦谱，即 = 氐民。其中瓜是d c t 矩 阵。定义i d c t 情况下的过渡矩阵为 瓯2 风 ( 2 3 0 ) 瓯元素的表达式为： 丢， m ：o ，刀：o ，1 ，一1 ”v “一u b 一”1 学啷掣硝2 ，m 删，1 ，- 1 q 。d ：一c o s _ 二二，卵= l 2 一1 ，z = o 1 - 一1 n 二2 n ： j：。j” 。 3 ) 对于d c t 的情况，同样得到： 2 嘛 2 ，2 瓯民 ( 2 3 2 ) 式中， 为( + 1 ) 1 阶矩阵，为( + 1 ) 阶矩阵。 吸( m ，z ) = ， = 刀 ( m + 九) 2 = 1 ，l m ，m n ( m + ) 2 = 1 ，刀= e l s e 如前所述， 为列率响应，的准i d c t 谱。即 l n = r q fk 2 3 加窗全相位滤波 加窗是对信号的一种调制。加窗a p d f 在直接列率域实现表现为对a p d f 的 输入加窗巩( 门) 和对其滤波输出加窗碥( ，z ) ，其中，z = o ，1 ，一1 。设的 1 2 蔫志志 第二章全相位数字滤波器 离散正交变换的正变换和逆变换矩阵分别为和口：。对x ( 甩) 的全相位数据矩阵 x 一州。的每个列向量加窗b ：进行相同的滤波： z 缸) = 巧( f ) 碟( f ) = 瑶( f ) h ( f ，) 曰j ( ) _ ( 歹) = 坼( f ，) _ ( ，) ( 2 3 3 ) ，= 0，= o 其中f ，= 0 ，l ，一1 。即 髟= 日j x ，k 0 ，l j n 一 式中 巩( f ，) = a ( i ，后) ( 尼，) 瓦( 后) ， f ，户o ，玉；弘 ( 2 3 4 ) 峨( f ，) = 巩( f ，) 碟( ) 当对经滤波后的每个列向量加窗曰；时，有 z ，( i ) = 巧( f ) 瑶o ) = b ；( i ) 日( i ，) 占j ( ) _ ( ) = 群( f ，) _ ( ) ( 2 3 5 ) j = o= o 其中f ，= o ，1 ，一1 。式中 h 焉( f ，歹) = b ；( j ) h ( i ，) b j ：，( ) ， f ，_ o ，i ；a 乙( 2 - 3 6 ) 对于x ( ，z ) 点，得到个不同的滤波值： 巧( n ，= o ，1 ，一1 全相位滤波是取这个滤波值的均值作为“以) 的滤波输出，即： y ( 刀) 2 专荟，( d ( 2 钟) 从以上的推导可以看出工( ，z ) 的加窗全相位滤波输出是全相位数据矩阵所有 列向量加窗曰j 的滤波得到的列向量再加窗峨在该点的输出的均值。 由式( 2 3 5 ) 式( 2 3 7 ) 得： y ( ，2 ) = 寺哪( ，) x ( ，z 一，+ 歹) = ( r 沁( 刀一f ) = ( ，z ) 事z ( 刀) v ，= o ，= 0f = 一f ，一1 ) 式中 姒加鬃二 ，l = 0 ，1 ，一1 ( 2 3 8 ) 刀= 一l ，- 2 ， 一1 ) 由式( 2 3 8 ) 可得出加窗全相位数字滤波器的单位脉冲响应公式如下： 1 对于基于i d c t 域的加窗a p d f 有f 2 0 】： ( 刀) = 万杰胃 砩( ，z ) 碟( 。) + ，篓。磉( ，) 碟( ，一纠厶( 刀) + 万击胃 第二章全相位数字滤波器 。厶o + 2 ，) 砖仰+ ，) 碟( ，) 一砖( 一，) 或( 一玎一明 ( 2 - 3 9 ) 姒o ) 2 志2 厶( o ) 荟曰翩b + j 了麦万善厶( 2 ，) 磉( ，) 碳( 7 ) 一瑶( 一7 ) 巩( 一，) ( 2 - 4 0 ) 对于基于d c t 域的加窗a p d f 有： 当，z 和同奇偶时： “( ，2 ) 2 丙麦万荟厶+ 2 7 + 1 ) b j 仰+ ，) 碟( 7 ) 一b ；( 一1 7 ) 磷( - 1 一以一明+ 万南 善b ；( 7 ) 砖( 7 一蝴厶( 刀) ( 2 。4 1 ) 当刀和不同奇偶时： “( 刀) 2 万古荟厶( ，2 + 2 7 + 1 ) 瑶( 船+ ，) 巩( 7 ) 一碟( 一1 7 ) 碥( 一1 一咒一，) + 志瑶( 竿州础( 竿胍( ) + 丙麦胃 善砖( 7 ) 磷( ，哪) 厶( 门) ( 2 _ 4 2 ) 图2 2 直接列率域实现结构 1 4 、| n y ( 胛) 第二章全相位数字滤波器 2 4 三种实现结构 、2 4 1 直接列率域结构 由式( 2 3 3 ) 式( 2 3 7 ) 的推导可得如图2 2 所示的直接列率域实现结构。 2 4 2 时域等价结构 由于前面所述的a p d f 的设计方法所得的滤波器是零相位滤波器，因而可以 由简化的横向滤波器结构实现，如图2 3 所示。 图2 - 3a p d f 的时域横向滤波结构实现 设k = 吼f ，瓯表示将目变换到的矩阵。而“可表示为： 氐= 【( 一1 ) ，“( 一2 ) ，( o ) t 将上式代换图2 - 3 中的( 一1 ) ，( 一2 ) ，( o ) 得到如图2 4 所示的 基于d c t i d c t d f t 域的时