（控制理论与控制工程专业论文）基于倒立摆系统的控制算法研究.pdf

摘要 倒立摆是一个典型的快速、多变量、非线性、强耦合的自然不稳定系统。在 控制过程中能反映控制理论中的许多关键问题，如镇定问题、非线性问题、鲁捧 性问题以及跟踪问题等。对倒立摆系统的研究在理论上和工程应用上具有着深远 的意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 本论文围绕一级、二级倒立摆系统，对包括模糊控制、神经网络在内的软计 算以及它们之间的互相结合作了较为系统的讨论，研究了倒立摆系统的各种智能 控制算法。对于一级倒立摆，利用神经网络的学习能力训练模糊控制器的隶属度 函数，通过自适应神经模糊推理系统建立模糊控制器对倒立摆系统进行控制；对 于二级倒立摆，运用最优控制方法设计融合函数减少模糊控制器的输入变量维数， 成功解决了“规则爆炸”问题，利用专家知识设计m a m d a n i 型模糊控制器的隶属 度函数和模糊规则，提升了模糊控制器的性能。 最后通过编程实现了对倒立摆系统的实物控制，取得了令人满意的控制效果。 控制结果表明，对不同的智能控制算法进行结合集成，能够综合吸取两种算法的 优点，而将两者的缺点互相抵消。 关键词：倒立摆模糊控制神经网络融合函数 a b s t r a c t i n v e r t e dp e n d u l u mi sat y p i c a lf a s t ，m u l t i v a r i a b l e ，n o n - l i n e a r i t y ，s t r o n g 。c o u p l i n ga n d n a t u r a l l yu n s t a b l es y s t e m d u r i n gi t s c o n t r o lp r o c e s s ，i tc a nr e f l e c tm a n yc r u c i a l q u e s t i o n si nt h ec o n t r o lt h e o r y ，s u c h a sc a l mq u e s t i o n ，n o n - l i n e a rp r o b l e m ，r o b u s t q u e s t i o na sw e l la st r a c k i n gq u e s t i o na n ds o o n t h er e s e a r c ho ni n v e r t e dp e n d u l u m s v s t e mh a st h ep r o f o u n ds i g n i f i c a n c ei nt h e o r ya n dp r o j e c ta p p l i c a t i o n t h ec o r r e l a t i v e s c i e n t i 矗cr e s e a r c ha c h i e v e m e n th a sa l r e a d ya p p l i e dt oa s t r o n a u t i c ss c i e n c et e c h n o l o g y a n ds u b j e c to fr o b o ta n ds om a n yd o m a i n s t h i st h e s i se n c i r c l e dt h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，d i s c u s st h es o f tc o m p u t i n g w h i c hi n c l u d i n gf u z z yc o n t r o l ，n e r v en e t w o r k ( n n ) ，a sw e l la st h e i rm u t u a lc o m b i n a t i o n s y s t e m a t i c a l l y ，s t u d yt h ei n t e l l i g e n tc o n t r o la l g o r i t h mo ft h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m t o w a r d st ot h es i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u m ，u s i n gt h el e a r n i n gc a p a b i l i t yo f n e r v en e t w o r k t ot r a i nm e m b e r s h i pf u n c t i o no ft h ef u z z yc o n t r o l l e r ，e s t a b l i s h i n gaf u z z y c o n t r o l l e rt o c o n t r o lt h ei n v e r t e d p e n d u l u m t h r o u g h t h e a d a p t i v en e u r o f u z z y i n f e r e n c e s y s t e m ( a n f i s ) t o w a r d st o d o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u m s ，i tr e d u c e st h ei n p u tv a r i a b l e d i m e n s i o no ft h ef u z z yc o n t r o l l e rb yd e s i g n i n gaf u s i o nf u n c t i o nu s i n go p t i m i z a t i o n c o n t r o lt h e o r y s o l v et h eq u e s t i o no f r u l ee x p l o s i o n ”s u c c e s s f u l l y ，a n dd e s i g n t h e m e m b e r s h i pf u n c t i o na n dt h ef u z z yr u l eo f m a m d a n if u z z yc o n t r o l l e ru s i n gt h ee x p e r t k n o w l e d g e ，p r o m o t e dt h ep e r f o r m a n c eo ff u z z yc o n t r o l l e r f i n a l l yr e a l i z e d t h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m sp r a c t i c a l i t y c o n t r o lt h r o u g h p r o g r a m m i n g ，a n do b t a i n e dt h es a t i s f y i n gc o n t r o le f f e c t t h ec o n t r o lr e s u l ti n d i c a t e d t h a t t h ec o m b i n a t i o no ft w oo rm o r ed i f f e r e n ti n t e l l i g e n tc o n t r o la l g o r i t h m ，c a na b s o r b s t h e i rm e r i t s ，a n dc o u n t e r b a l a n c e st h e i rd e f e c t sm u t u a l l y k e y w o r d ：i n v e r t e dp e n d u l u m f u z z yc o n t r o l n e r v en e b v o r kf u s i o nf u n c t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名：二隧 导师签名：乏枇 c 厂r 1 叫h 同期翌2 ：! ：2 同期立望1 2 ：! ：2 第一章绪论 第一章绪论 简要介绍倒立摆系统的研究意义和目的以及国内外的研究发展状况，最后， 简要介绍了本论文所作的工作。 1 1 倒立摆研究意义 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构 简单，物理参数和结构易于调整的优点， 不稳定、多变量、非线性和强耦合特性， 然而倒立摆系统本身所具有的高阶次、 是一个绝对不稳定系统，必须采用十分 有效的控制策略才能使之稳定。倒立摆系统是研究变结构控制，非线性控制，目 标定位控制，智能控制等控制方法理想的实验平台，被誉为：“控制领域中的一颗 明珠”n 1 。 研究倒立摆系统除了很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽 象的控制概念如稳定性、能控性、快速性和鲁棒性，都可以通过倒立摆系统直观 的表现出来。同时其动态过程与人类的行走姿态类似，其平衡与火箭的发射姿态 调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和 直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技 和机器人学等诸多领域。 倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系 设计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生 了直线二级倒立摆、多级倒立摆，柔性连接直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立 摆和环形并联多级倒立摆的实验设备。因此，倒立摆系统成为控制领域中不可或 缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。 1 2 国内外研究情况简介 对于倒立摆的研究主要集中在两个方面： ( 1 ) 研究控制器使倒立摆系统稳定并可以定位在特定位置。 ( 2 ) 倒立摆系统的自动起摆。 1 2 1 研究使倒立摆稳定的控制器 1 9 7 6 年m 嘶e t c 2 1 发表的研究论文，首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化， 2 基于倒立摆系统的控制算法研究 利用状态空间方法设计比例微分控制器。1 9 8 0 年，f u r u t ae t c 【3 l 等人基于线性化方 法，实现了二级倒立摆的控制。1 9 8 4 年，f u r u t a 等人首次实现双电机三级倒立摆 实物控制【4 1 。 19 8 4 年，w a t t e s 研究了l q r ( l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r ) 方法控制倒立摆【s l 。 l q r 方法主要基于系统的线性化模型和二次性能指标： j = f ( f 皑+ 矿 p 式( 1 1 ) 实际上是寻找一个最优的状态反馈向量k ，从而设计一个最优反馈控制器。 w a t t e s 验证了改变权重矩阵可以得到不同的状态反馈向量，从而产生不同的控制 效果。控制器原理框图如图1 1 所示。 图1 1 最优的状态反馈控制器框图 八十年代后期开始，倒立摆系统中的非线性特性得到较多的研究，并且提出 了一系列基于非线性分析的控制策略。 1 9 9 2 年，f u r u t a 等人【6 】提出了倒立摆系统的变结构控制。1 9 9 5 年，f r a d k o v 等 人r 7 】提出的基于无源性的控制。另外w i k l u n d 等人【8 】应用基于李亚普诺夫的方法控 制了环形一级倒立摆，y a m a k i t a 等人【9 】给出了环形二级倒立摆的实验结果。 e g g r o s s i m o n 等【lo 】通过设计一种新型滑动模面，使摆的角度成为基座转动角 度的函数，从而实现了平面式倒立摆的滑模控制。y r c h e n 等【】采用滑模控制方 法设计了两并行二级倒立摆的离散滑模控制器，并通过计算机实时控制实验，同 时实现了小车位置、摆1 角度及摆2 角度的跟踪。张克勤等【1 2 】利用倒立摆的特征 值，设计了一种全鲁棒滑模面，实现了具有单输入的三级倒立摆全鲁棒滑模控制。 近年来随着智能控制方法的研究逐渐受到人们的重视，模糊控制、神经网络、 拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能算法应用到倒立摆系统的 控制上： 1 9 9 7 年，t h h u n g 等【1 3 1 设计了类p i 模糊控制器应用于一级倒立摆控制，具 有系统结构简单对硬件依赖小的特点。1 9 9 5 年，l i t m 】利用两个并行的模糊滑模来 分别控制小车和摆杆偏角。1 9 9 6 年张乃尧等【1 5 】采用模糊双闭环控制方案成功地稳 第一章绪论 定住了一级倒立摆。 d e r i s 1 6 】利用神经网络的自学习能力来整定p i d 控制器参数。1 9 9 7 年， g o r d i l l o ”】比较了l q r 方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比 遗传算法控制效果更好。1 9 9 3 年，b o u s l a m a 1 8 】利用一个简单的神经网络来学习模 糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。还有一些文章利用神经网络的实 时学习能力来控制倒立摆【1 9 , 2 0 2 1 1 。 ： 1 9 9 4 年，北京航空航天大学张明廉教授【2 2 1 将人工智能与自动控制理论相结合， 提出“拟人智能控制理论 ，实现了用单电机控制三级倒立摆实物。 北京师范大学李洪兴【2 3 1 教授采用变论域自适应模糊控制理论研究四级倒立摆 控制问题，成功实现了三级倒立摆实物系统控制【2 4 1 。 总而言之，倒立摆系统是检验控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。 目前应用在倒立摆上的算法有以下几类：经典控制( l m i ，p d ) ；现代控制( 极 点配置法，l q r 法) ；h 。控制；变结构控制；模糊控制；神经网络控制：拟人控 制等。 1 2 2 倒立摆自起摆 倒立摆起摆问题：倒立摆在静止状态下，由于重力作用摆杆是竖直垂下状态。 使摆杆从垂下状态到竖直向上状态的过程就是倒立摆的起摆问题。 较早研究起摆问题的文献有：1 9 7 6 年，m o r i 2 5 】等人提出包含两个控制器。一 个控制器用来自起摆，另一个用来镇定进入平衡态附近的倒立摆系统。1 9 9 6 年， k j a s t r o m 2 6 1 研究了用能量控制策略，实现了一级倒立摆的起摆。b o r t o 2 7 】实现二 级环形倒立摆起摆控制。 朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控 制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控制【2 8 1 。李祖枢等人利用拟人智能 控制理论研究了二级倒立摆的起摆和控制问题 2 9 , 3 0 】。 目前用于倒立摆起摆的控制方法主要有：能量控制，启发式控制，拟人智能 控制等。 1 3 论文主要工作 本论文的主要工作是研究了直线倒立摆系统的智能模糊控制问题，本文后面 提到的倒立摆都指直线倒立摆。用m a t l a b 和s i m u l i n k 对一级倒立摆、二级倒立摆系 统建模并设计智能模糊控制系统进行控制仿真，然后通过计算机进行算法编程实 现了倒立摆实物系统的控制。具体内容如下： 基于倒立摆系统的控制算法研究 ( 1 ) 详细论述了一级倒立摆和二级倒立摆的数学建模方法，推导出他们的非线 性微分方程，以及线性化后的状态方程，并且分析倒立摆系统的可控性、可观性 及相对可控性。 ( 2 ) 讨论了倒立摆系统的智能控制方法。对于一级倒立摆，将模糊控制与神经 网络融和，利用神经网络的学习能力来训练模糊控制器的隶属度函数，提高了整 个系统的学习能力和表达能力；对于二级倒立摆，通过融合函数降低输入变量维 数，解决了“模糊规则爆炸”问题，利用专家知识设计m a m d a n i 型模糊控制器的隶 属度函数和模糊规则，并且利用遗传算法优化模糊控制器的参数，提升了模糊控 制器的性能。 ( 3 ) 介绍倒立摆实物系统，通过编程实现了对倒立摆系统的实物控制，取得了 令人满意的控制效果。给出了一级、二级倒立摆稳定时和受干扰时系统各状态变 量的响应曲线。 ( 4 ) 对论文的工作进行总结和下一步工作的展望。 第二章倒立摆系统建模和定性分析 第二章倒立摆系统建模和定性分析 简要介绍了倒立摆系统特性。建立了一级、二级倒立摆系统的数学模型，对 倒立摆系统进行定性分析。分别利用力学分析方法和l a g r a n g e 方程建立了倒立摆系 统的微分方程，并在平衡位置附近线性化，推导出倒立摆系统的线性状态方程。 应用自动控制相关理论分析了倒立摆系统的能控性、能观性及相对能控度，证明 倒立摆系统开环是不稳定的，但在平衡位置是能控的和能观的，同时二级倒立摆 的相对能控度比一级摆小很多，说明其控制难度更高。 2 1 倒立摆系统特性分析 倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下 特性： ( 1 ) 欠冗余性。一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构， 比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠 性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆 控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控 制性能。 ( 2 ) 不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械 传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。 ( 3 ) 耦合特性。倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间 都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控 制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。 ( 4 ) 开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖 直向下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点， 开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。 针对以上倒立摆系统的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中 一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处 的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等 等。将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样可以通过 力学原理建立系统较为精确的数学模型。 为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的模 型是必不可少的。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法【3 1 ，3 2 ，3 3 】：牛顿力 学分析方法，欧拉一拉格朗日原理【3 4 】( l a g r a n g e 方程) 。 6 基于倒立摆系统的控制算法研究 2 2 倒立摆系统数学模型 2 2 1 一级倒立摆系统数学模型 下面讨论采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模 型。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统，如图2 1 所示。 图2 1 直线一级倒立摆系统 表2 1 一级倒立摆参数表 符号含义 x 小车相对初始位置的位移 9 摆杆与竖直向上方向的夹角 ， 作用在倒立摆系统上的控制量( 力) 巾摆杆与垂直向上方向的夹角 必 小车质量 m一级摆杆质量 三 一级摆杆长度 z 一级摆质心到转轴d 。的距离 ， 一级摆杆转动惯量 b 小车的滑动摩擦系数 取值( 单位) m r a d n r a d 1 0 9 6 k g o 1 0 9 k g 4 0 c m 2 5 c m 0 0 0 3 4 k g * m 牛m 0 1 n * s m 系统中小车和摆杆的受力分析图如图2 2 所示。其中，n 和p 为小车与摆杆相 互作用力的水平和垂直方向的分量。 第二章倒立摆系统建模和定性分析 图2 2 ( a ) 小车隔离受力图( b ) 摆杆隔离受力图 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而 矢量方向定义如图2 2 所示，图示方向为矢量正方向。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： m a = f 一掀一n 式( 2 - 1 ) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ：聊乓( x 砒i n p ) 式( 2 - 2 ) d t 二 即： ：m 戈+ 朋，痧c o s 9 一所，痧2s i n o 式( 2 3 ) ： 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： ( m + 聊) 戈+ 撕+ 聊，痧c o s o 一聊，矽2s i n 0 ：f式( 2 4 ) 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以 得到下面方程g p - m g = m 乓u c o s 9 )式( 2 5 ) d t 即：p m g ：一聊z 痧s i n 0 一朋，矽2c o s o式( 2 6 ) 力矩平衡方程为： 一p i s i n 0 一n l c o s o = 彬 式( 2 7 ) 注意：此方程中力矩的方向，由于0 = 万+ 矽，c o s = 一c o s 0 ，s i n # = - s i n 0 ， 故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去p 和n ，得到第二个运动方程： ( i + m 1 2 ) 矽+ 叫s i n 0 ：一扰反c o s p 式( 2 8 ) 8 基于倒立摆系统的控制算法研究 设0 = 万+ 矽( 矽是摆杆与垂直向上方向之间的夹角) ，假设矽与l ( 单位是弧度) 相比很小，即1 ，则可以进行如下近似处理： 令c o s 口：一1 ，s i n 0 ：一矽，( 辈) z ：0 。 口f 用u 来代表被控对象的输入力f ，线性化后两个运动方程如下： r1 j ( ，+ m l z ) 一m g l q b = m 成式( 2 9 ) i ( m + 朋) 戈+ 掀一m l # = u 对方程组( 2 9 ) 进行拉普拉斯变换，得到： ( “耐2 ) o ( s ) s 2 _ m g l o ( 加删妒 式( 2 - 1 0 ) l ( m + 肌) x ( s ) s 2 + 6 y ( s ) 一m l o ( s ) j 2 ：u ( s ) 、。 注意：推导传递函数时假设初始条件为0 。 由于输出为角度矽，求解方程组( 2 1 0 ) 的第一个方程，可以得到： x ( s ) ： 攀一与】( s ) 式( 2 11 )ml s 二 把上式代入方程组( 2 1 0 ) 的第二个方程，得到： ( m + 肌) 【里! 旦竺尘一妥 ( j 弘2 + 6 望! ! 篓尘一百g 】o 弘一聊t o ( j 必2 ：u ( s ) 式( 2 1 2 ) m l s z m l s 二 整理后得到传递函数： 西0 ) u ( s ) m j j 2 g s 4 + b ( i + m 1 2 ) j 3 一 g ( m + m ) m g l s 2 g 其中： g ： ( 嬲+ ，1 ) ( ，+ 搬z 2 ) 一( 朋z ) 2 】 系统状态空间方程为： i 文：a x + b h 【y = c x + d u 对戈，多解代数方程，得到解如下： b m g l 一s g 式( 2 1 3 ) 式( 2 。1 4 ) 式( 2 1 5 ) 第二章倒立摆系统建模和定性分析 9 戈：二墨! 之戈+ 竺吐矽+ 1 4 甜 j ( m + 聊) + 慨，z，( m + 朋) + 砌严，( m + 聊) + 朋砌，z 式( 2 1 6 ) 矽= 多：二二! 匕戈+ ! 堡坚垒丝芝矽+ 匕甜 整理后得到系统状态空间方程： o 塑之 ， i ( m + ，1 ) + m m l 二 o 二匕 i ( m + 朋) + m m l 二 u ， 2 9 1 2 i ( m + 研) + 朋砌， 0 型! 丝竺! i ( m + ，竹1 + m m l 少= i = 三 三： 三 o o o卧 x 加卜 乒j 把表2 1 中参数取值代入( 2 1 7 ) 式和( 2 1 8 ) 式得到： l0100 i 10 - 0 0 8 8 3 0 6 2 9 30 a = i l0 001 i 10- 0 2 3 5 7 2 7 8 2 8 50 曰= o 0 8 8 3 20 2 3 5 6 6 2 m l i ( m + 聊) + m m l 二 式( 2 - 1 7 ) 式( 2 1 8 ) 式( 2 1 9 ) 式( 2 z o ) l o堕卅o o 竺砌。 面 工一x矽 1 0 基于倒立摆系统的控制算法研究 2 2 2 二级倒立摆系统数学模型 图2 3 二级倒立摆系统示意图 二级倒立摆系统如图2 3 所示。二级倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转 轴固定在小车上的摆体组成。在轨道一端装有用来测量小车位移的光电编码器。 摆体与小车之间、摆体与摆体之间由转轴连接，并在连接处有2 个光电编码器分 别用来测量一级摆和二级摆的角度。一摆、二摆可以绕各自的转轴在水平导轨所 在的铅垂面内自由转动，而小车则由交流伺服电机、皮带轮、传动带带动在水平 导轨上左右运动，从而使倒立摆稳定在竖直位置并且可以沿着导轨倒立行走。 图2 4 二级倒立摆运动分析示意图 系统中的符号含义及其取值见表2 2 ： 第二章倒立摆系统建模和定性分析 表2 2 二级倒立摆系统符号参数表 符号 m m l m 2 含义 小车质量 一级摆杆的质量 二级摆杆的质量 质量快的质量 一级摆质心g 1 到转轴d l 的距离 二级摆质心g 2 到转轴仍的距离 一级摆杆的长度 二级摆杆的长度 小车与导轨间的滑动摩擦系数 一级摆绕转轴d 1 转动的摩擦阻力矩系数 二级摆绕转轴仍转动的摩擦阻力矩系数 当地重力加速度 倒立摆系统的控制量( 力) 取值( 单位) 1 3 2k g 0 0 4 k g 0 1 3 2 k g 0 2 0 8 k g 0 0 9 m o 2 7 m o 1 6 m 0 4 0 m 2 3 6 7 8 2n * s m 0 0 0 3 4 2 5n 幸s 掌m 0 0 0 3 4 2 5n 木s 宰m 9 8 m s e c 。 n 拉格朗日方程为： l ( q ，口) = t ( q ，口) 一v ( q ，e 1 ) 式( 2 - 2 1 ) 其中，三为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，丁为系统的动能，y 为系统 的势能。拉格朗日方程由广义坐标q ，和三表示为： 瓦d 可a l 一瓦a l 2 船2 2 ) d t 8 q 。l 、。 1 ，1 ， 其中，i = l ，2 ，3 刀，z 为系统沿该广义坐标上的外力，在本系统中，设系统 的三个广义坐标分别是石，q ，岛。 首先计算系统的动能： 丁= + 乙1 + 乙2 + 乙x - - 戈( 2 - 2 3 ) 其中乙为小车动能，乙。摆杆1 动能，l ：摆杆2 动能，乙质量块动能。 而l 。= 巧，+ 砭。，其中。摆杆1 质心平动动能，丁：。摆杆1 绕质心转动动 能。 乙：= t ：+ 巧：，其中：摆杆2 质心平动动能，丁：摆杆2 绕质心转动动能。 = 去旅2 式( 2 2 4 ) 艺。：三聊。 ( ! 掣) 2 + ( ! ! 鱼 ；里) 2 】= 三m l 戈2 - m 1 气戈qc 。s q + l m l l ? o ? 式( 2 - 2 5 ) c 。= 三( 三铂宁) 印= 吾搠，彳印 式( 2 2 6 ) m以如历岛而力尼g 1 2 董! 型皇塑墨竺箜丝鱼! 篁鲨婴窒 _ - _ p _ _ _ _ - _ 一一 则： r m 1 = 艺。+ 艺。= l m l 戈2 - m 1 气戈q c 。s q + 吾肌。乎年 式( 2 - 2 7 ) 同样可以求出： 艺2 ：三肌2 ( d ( x - 2 1 1s百inal一-12 s i n 02)2+丢搠2(d(211coso广1+12 c o s 0 2 ) ) = 三掰2 一2 气乌c 。s q 一，2 乞c 。s 0 2 ) 2 + i 1 研2 ( 2 气qs i n q + 乞乞s i n 乞) 2 式( 2 2 8 ) 艺2 = 去( 吾聊2 嗟) 鳄= i 1m 2 学鳄 乇2 = 艺2 + 艺2 = 丢所2 ( 主2 2 - 童( 2 l l e 1c 。s q + 么复c 。s 吃” + 万1 聊2 ( 4 平砰+ 4 31 2 2 ) z 2 + 4 1 1 1 2 0 1 0 2c 。s ( 吃一q ) ) 乙：扣华) 2 + c 等掣) 2 ) = 吾赫2 2 珑气呜c 。s e l + 2 聊3 乎孽 因此，可以得到系统总的动能为： 丁。+ 乙l + r m 2 + t 聊 = 1 m i c 2 + l m l k 2 - m l l l k 0 1c o s q + 吾m 。乎管 + 吾聊2 2 - 2 圣( 2 1 l e j lc 。s q + 乞乞c 。s 吃) ) + 吾删2 ( 4 乎督+ 4 3 ，1 2 2 。t j 2 2 + 4 1 乞q 嚏c 。s ( 吃一o p + 万1 所2 ( 4 乎砰+ 4 3 ，2 2 t 。j 2 2 + 4 f 1 乞乌吃c 。s ( 乞一o p 式( 2 2 9 ) 式( 2 3 0 ) 式( 2 3 1 ) 式( 2 3 2 ) 系统的势能为： 。 v = v m l + 2 + = m 1 幽c 。s 0 1 + 2 m g l lc 。s 毋1 + m 2 9 ( 2 1 lc 。s q + 乞c 。s 0 2 ) 式( 2 3 3 ) 从而拉格朗日算子： 一 箜三童型皇塑丕丝垄堡塑塞丝坌堑 ! ! _ _ _ _ _ - _ _ _ - - - - _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - - _ - _ l _ _ 一 一 = m 2 2 + 1 m 1 2 2 _ m l 鸺c 。s q + ；朋。乎孽 + 丢珑2 ( j 2 2 地气皇c 。s q + 乞岛c 。s 唿) ) + _ 1 ( 4 l ? 0 7 + 4 31 = z 2 0 2 2 + q 乞q 岛c 。s ( 0 2 一q ) ) + 吾疵2 2 珑鸺c 。s o l + 2 朋乎孽 一m l g l lc o s 0 1 2 m g l lc o s o l m 2 9 ( 2 1 1c o s 0 1 + 乞c o s 0 2 ) 由于因为在广义坐标b ，晚上均无外力作用，有以下等式成立： 丢针着枷 丢c 静茜 式( 2 3 4 ) 式( 2 3 5 ) 式( 2 3 6 ) 展开( 2 3 5 ) 、( 2 3 6 ) ，分别得到( 2 3 7 ) 、( 2 - 3 8 ) 式： 6 朋2 乞s i n ( q 一吃) + 4 ( m 1 + 3 ( m 2 + m ) ) 1 1 6 j 1 3 ( - 2 m 2 1 2 1 9 2c 。s ( 吃一q ) 一3 ( m 1 + 2 ( m 2 + m ) ) ( g s i n 0 1 + 戈c o s q ) ) = o 式( 2 3 7 ) 6 m 2 f 2 0 2 2s i - ( 0 1 一0 9 + 4 ( m 1 + 3 ( m 2 + m ) ) l l ：1 3 ( - 2 m 2 乞唿c 。s ( 乞一q ) 一3 ( m 1 + 2 ( m 2 + 聊) ) ( g s i n q + 戈c o s q ) ) = o 式( 2 3 8 ) 将( 2 - 3 7 ) 、( 2 - 3 8 ) 对b 、0 2 求解代数方程，得到以f 两式： 岛= ( 3 ( 一2 m l g s i n q 一4 掰2 9 s i n q 一4 m g s i n q + 3 m 2 9 c o s ( 一q ) s i n 吃 + 6 m 2 气c 。s ( o l 0 2 ) s i n ( q 一吃) 管+ 4 朋2 ，2s i n ( q 一乞) 蟹一2 m 1 5 e c 。s q - 4 m 2 戈c o s o ：一4 m 2 c o s 0 1 + 3 m 2 5 c o s ( 0 1 一吃) c o s 吃) ) ( 2 1 1 ( - 4 m 1 1 2 m 2 1 2 m + 9 m 2c o s z ( q 一乞) ) ) 式( 2 3 9 ) 1 4 基于倒立摆系统的控制算法研究 0 2 = - ( 一昙m 2 ( m 1 + 3 ( m 2 + 埘) ) 乎，2 ( 一3 9 s i n 吃一6 气孽s i n ( q e 2 ) 一3 2 c 。s 吃) + 吾聊2 乎乞c 。s ( e l 一乞) ( 6 ，您乞蟹s i n ( q e 2 ) 一3 ( m 1 + 2 ( 埘2 + 聊) ) ( g s i n o l + 戈c 。s q ) ) ) ( 一萼聊2 ( + 3 ( + 聊) ) t 2 t 2 + 4 m 三乎学c o s 2 ( 0 1 一吃) ) 式( 2 4 0 ) 表示成以下形式： q 2 f l ( x ，e l ，e 2 ，j ，e l ，e 2 ，j ) 式( 2 4 1 ) 0 2 = 厶( 工，q ，e 2 ，戈，q ，如，戈) 式( 2 4 2 ) 取平衡位置时各变量的初置为零， ，q ，e 2 ，戈，乌，嘭，支) = ( o ，o ，0 ，0 ，0 ，0 ，o ) 式( 2 4 3 ) 将( 2 4 1 ) 式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令 。= 吾i x ：。，q ：。，吃：。，戈：。，q ：。，乞：。，茗：。= 。 式c 2 4 4 ) 访徘。，伊吩叭地印分蛳：。 ：翌竺! 兰二兰竺2 兰二竺! 式( 2 - 4 5 ) = - = = 二一 心i 一4 i 2 ( - 4 m 1 3 m 2 1 2 m ) 1 1 。7 ”鼽。，伊分叭。，印呼叫：。 9 m 2 9 2 ( 4 m 1 - 3 m 2 1 2 聊) 气 卦_ o 掣吩叭_ 0 ，守分蛳= o = 。 盼瓤地铲分吣扎分叭= o = 。 忙瓤= o ，掣分雌_ o ，徊分蛳= o = 。 式( 2 4 6 ) 式( 2 4 7 ) 式( 2 4 8 ) 式( 2 4 9 ) 第二章倒立摆系统建模和定性分析1 5 _ 7 = 象i x ：。，q ：。，唿：。，j ：。，乌：。，唿：。，戈：。 3 ( 一2 m 1 一m ，一4 聊) = = - - - - - - - - - - - - - - 二= - - - - - - 二= = - - - - - - - 一 2 ( 一4 m 1 3 m 2 1 2 m ) t 1 带入( 2 3 9 ) 式，得到线性化之后的公式： q2 2 q + 3 吃+ 7 量 将( 2 4 2 ) 式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令 式( 2 5 0 ) 式( 2 5 1 ) = 乱悱o l 。蚪桃0o 1 ：o , o 2 ：0 , 5 i ：0 = 。 鼬2 ) 缸l 肛o ，= o ，吃2 o ，扣，= = = 。 一p 一7 谤貅。，铲吩毗。，唧瑚 2 9 ( m i + 2 ( m + 朋) ) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - 二= - - - - - - - - - - - 二= 二- - - - - - - - - - - - - - 一 4 聊2 乞一可1 6 ( 朋l + 3 ( 班2 + 朋) ) 乞 学鼽观掣分吣北印卿刎 4 9 ( + 3 ( m ， + 研) ) ：= ：，- - - - - - - - _ - - - - - - = - - - - _ - - - - - - ：= = - _ - _ - - - - - - - - - - 一 3 ( 4 m 2 1 2 一万1 6 ( ，+ 3 ( m 2 + 聊”乞) 式( 2 5 3 ) 式( 2 - 5 4 ) 砭4 = 誓b 个呜扎刎牛。，唿。，矧= 。 越5 5 ， 砭5 = 詈b 印呜。，刎牛。，乞。，剐= 。 式( 2 瓠， t 6 = 薏b 印呜地刎印。，唿。，刎= 。 船5 7 ， ”乱。扫铲扣畔。卿刎 1 6 基于倒立摆系统的控制算法研究 ：塾：竺兰：竺二垫! 二竺三：型 4 m 2 乞1 9 6 、 m 1 + 3 ( m 2 + m ) ) 2 带入( 2 4 0 ) 式，得n - 乞2 龟2 q + k 2 3 唿+ t 7 戈 现在得到了两个线性微分方程，由于采用加速度作为输入， 一个方程： “= 王 取状态变量如下： x l2 x x 2 = o l x 3 = 0 5 x 4 = 孟 x s = q 黾= 0 2 由( 2 5 1 ) 、( 2 - 5 9 ) 、( 2 - 6 0 ) 式得到状态空间方程如下： 1 之 ， 弋 弋 00olo0 ooo010 oooo 01 0o00 0 0 o 2k 1 3 oo o o k 2 2k 2 3 o0 o x q 吃 戈 o l ， 唿 + o o o 1 7 k 2 7 把表2 2 中的数据代入上式得到系统的状态空间表达式为： 式( 2 5 8 ) 式( 2 - 5 9 ) 因此还需要加上 式( 2 6 0 ) 式( 2 6 1 ) 式( 2 6 2 ) 吻移勘穆 1j o o 0 o o o o 0 o o 0 1 o 1 0 l o 0 。l 一一 1；j x q 吃p。l 第二章倒立摆系统建模和定性分析 而 而 矗 黾 民 工 o l 乞 o o o o 一2 1 1 9 2 7 5 0 7 2 7 r 1 00 00 o q = l0 10 000l l o o1o o o j 2 3 1 相关定理简介 z q 吃 戈 q 吃 lo o o1o ool o 0o o oo o oo 2 3 倒立摆系统的定性分析 + o o o l 5 7 0 1 2 0 0 2 6 7 u 式( 2 6 3 ) 式( 2 - 6 4 ) 在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特 性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。 系统的稳定性分析一般可以应用l a s a l l e st h e o r e m 或者李亚普诺夫稳定性理 论，最常用的是后者。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统 线性模型分析。一般摆杆竖直向上位置是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器 来镇定系统，因而可以采用平衡点附近位置近似的线性模型来分析。 在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线性控制理论中几个关于能控性、能 观性的判定定理【3 5 3 6 ，3 7 1 。 定理1 ( 能控性判据) 刀阶线性定常连续系统岩= a x + b u 状态完全能控，当 且仅当系统的能控性矩阵： s = iba ba z b a 力- 1 bl式( 2 6 5 ) 满秩，即r a n k ( s ) = n 。 定理2 ( 能观性判据) 拧阶线性定常连续系统 f 拶“ 状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵： 式( 2 6 6 ) 死膨局崩知 。一 1 8 基于倒立摆系统的控制算法研究 y ：cc a c a 下 式( 2 6 7 ) l j 满秩，即r a n k ( 功= ，l 。 定理3 ( 相对能控性判据) 对于衡量系统控制器设计的难度，或者说衡量系统 本身可控性的相对程度，一般称之为相对可控性【3 甜。对于线性定常连续系统 岩= 从+ 艿甜，矩阵a 的最小奇异值与最大奇异值的比值为系统的相对能控度， 记作万，艿值越小系统的相对可控性越差，控制器的设计越困难。 2 3 2 一级倒立摆系统定性分析 一级倒立摆系统的特征方程为d e t 2 1 一a l = 0 ，经过计算得到系统的开环 特征根： ( 0 - 0 0 8 35 2 7 2 6 - 5 2 7 8 ) 系统有一个极点在平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳 定的。 对一级倒立摆系统线性状态方程式( 2 1 7 ) ，根据定理1 和定理2 得n - r a n k lb彳艿 么2 口 4 3 口l = 4 ， l 二 式(