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硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 摘要 电大尺寸问题的精确计算是当今计算电磁学中的一个重要课题。由于雷达工作在微 波频段，常见军用目标如导弹、飞机等除了外形复杂之外，超大的电尺寸也增加了计算 和分析的复杂度。因此，工程上迫切希望能够有效的求解这样的问题，这就不仅对单机 的计算能力提出很高的要求，而且更要求计算方法快速高效准确。基于电场积分方程的 矩量法是解决上述问题的有效数值方法之一，但当对目标离散的密度很高，或者离散的 间隔趋近于零时，相应的电场积分方程矩阵就会有较高的条件数，降低了迭代收敛速度 并且会造成数值误差的累加，因此，一种良好条件数的电场积分方程被提出来解决这种 问题。 本文首先对这种良好条件数电场积分方程进行了理论分析，算例证明其可以很好的 解决传统的电场积分方程所遇到的低频问题，接着我们首次将基于高阶曲单元的曲面基 函数应用到良好条件数电场积分方程上，相比平面良好条件数电场积分方程，对于同一 目标，其所需未知量更少，存储更小，同时还保持了计算结果高精度，文中给出算例验 证我们方法的稳定性和高效性。 其次，将高阶曲单元良好条件数电场积分方程与多层快速多极子远场展开的方法来 计算电大尺寸问题，同时为了进一步降低内存，远场结合了球谐函数展开。由于其构成 的矩阵条件数好，与传统电场积分方程相比，其求解速度快，性态稳定。 最后，我们使用奇异值分解技术修正多层快速多极子算法，解决了多层快速多极子 在分组较小时所出现的低频问题，降低了分组大小，从而节约了内存。同时，还将高阶 曲单元良好条件数电场积分方程与其结合，加快求解速度，节约求解时间，文中的算例 验证了我们算法的正确性和高效性。 关键词：矩量法良好条件数电场积分方程多层快速多极子球谐函数奇异值分解 低频问题 a b s t r a c t硕士论文 a b s t r a c t t or e a l i z ee f f i c i e n ts o l u t i o no fe l e c t r o m a g n e t i c ( e 旧s c a t t e r i n gf r o mc o m p l e xt a r g e th a s v e r yp r a c t i c a lv a l u ef o r t h ed e s i g no fr a d a rs y s t e ma n di d e n t i f yo fr a d a rt a r g e t s n l ee f f i c i e n t s o l v e rf o re m s c a t t e r i n gf r o mc o m p l e xt a r g e ti sm o r ea n d m o r ei m p o r t a n t h e n c e ，i ti st h e i m p o r t a n tg o a lo fs c a t t e r i n gr e s e a r c ht of i n ds o m ee f f i c i e n tm e t h o d s 。n em e t h o do fm o m e n t s ( m o m ) b a s e do ns u r f a c ei n t e g r a le q u a t i o n si so n eo fm o s te f f i c i e n tn u m e r i c a la p p r o a c h e sf o r s c a t t e r i n gp r o b l e m s h o w e v e r ，i ft h ec o n v e n t i o n a lr w g b a s i sf u n c t i o ni su s e dt od i s c r e t i z e t h ee f i e ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ee f i es u f f e r sf r o mi n s t a b i l i t ya tl o wf r e q u e n c i e s ，s i n c e t h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ee f i eh a sa nu n b o u n d e di n c r e a s ea st h ed i s c r e t i z a t i o ni n t e r v a l t e n d st oz e r o h e n c e ，aw e l l - c o n d i t i o n e de f i e ( w e f i e ) t oo v e r c o m et h es h o r t c o m i n g so ft h e e f i ei sp r e s e n t e da n dd i s c u s s e di nt h i sp a p e r f i r s to fa l l ，w e f i ei st h e o r e t i c a l l ya n a l y z e di nt h i sp a p e r n u m e r i c a lr e s u l t sp r o v et h a ti t c a ns o l v et h el o wf r e q u e n c yp r o b l e mw h i c hi sa l w a y sm e ti nt r a d i t i o n a le f i e t h e nw ef i r s t p r o p o s e dan e ww e f i ew i t hc u r v er w g w h i c hi sn a m e dc u r v e w e f i e ( c w e f i e ) b y c o m p a r e dv i i t hw e f i e b a s e do nt h ep l a n er w g ，c w e f i en e e d sl e s su n k n o w n sa n dm e m o r y r e q u i r e m e n tw i t h o mc o m p r o m i s i n ga c c u r a c ya n dn u m e r i c a ls p e e d t h en u m e r i c a lr e s u l t s v a l i d a t et h es t a b i l i t ya n de f f i c i e n c y s e c o n d l y ，m u l t i l e v e lf a s tm u l t i p o l ea l g o r i t h m ( m l f m a ) i se m p l o y e di nt h i sm e t h o df o r e l e c t r i c a l l yl a r g eo b j e c t s a tt h es a m et i m e f a rf i e l di sc o m b i n e d 、i ls p h e r i c a lh a r m o n i c s e x p a n s i o no ft h ek - s p a c ei n t e g r a l st or e d u c et h em e m o 巧b e c a u s er e s u l t i n gm a t r i xi sw e l l c o n d i t i o n e d ，t h em e t h o do w n sf a s t e rs o l v i n gs p e e da n dm o r es t a b l ec h a r a c t e rc o m p a r e d 谢t h t h et r a d i t i o n a le f i e f i n a l l y ，w eu s es v dt om o d i f yt h em l f m a t os o l v et h el o wf r e q u e n c yb r e a kd o w n p r o b l e mw h e nt h ef i n e s tg r o u ps i z ei ss m a l l a tt h es a n l et i m e , w ec o m b i n ei tw i t hc w e f i e t or e d u c et h es o l v i n gt i m e n en u m e r i c a le x a m p l e sd e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo fo u rm e t h o d k e y w o r d s ：m o m ，w e f i e ，m l f m a ，s p h e r i c a lh a r m o n i c s ，s v d ，l o wf r e q u e n c yp r o b l e m 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 l 绪论 1 1 本文的研究背景 伴随着复杂三维目标的电磁散射特性得到越来越多的关注和重视，它的应用面也在 不断的扩大，如军用目标隐身、反隐身，雷达探测，作战仿真等，但是如何才能对这些 复杂模型进行高效求解其电磁散射特性，已成为所有从事这方面研究的学者和工程师所 共同关心和关注的问题。复杂三维目标电磁散射的高效求解包含两方面的含义： 第一：能够在有限的计算机资源条件下实现比较快速的计算； 第二：计算结果应与测量值吻合，具有较高的精度。 一直以来，高频方法( 如几何光学法( g o ) ，几何绕射理论( g t d ) ，物理光学法( p o ) ，物 理绕射理论( p t d ) ，复射线法( r 及s b r 方法等) 由于具有计算快速、所需的计算机存储 量少的优点广泛用于分析外形光滑目标的电磁散射特性，但存在的问题是由于目标几何 结构的宏观电大尺寸和细节上的电小尺寸并行，一些关键部件的重要电磁互耦关系被忽 略，结果导致其精度低，有时计算所得曲线走势与测量值也不吻合。 另一方面，传统的积分方程法如矩量法b , 2 】作为一种严格的数值方法，计算结果精度 高，但计算量大、所需存储量高，仅仅用于低频或谐振区目标的散射分析。例如，对于 一个未知量为5 万的散射问题，用单精度型矩量法求解需要2 0 g m b 的内存。所以，寻 找一种严格、快速、高效、精确的分析手段已成为散射研究的重点目标。 随着工程的要求越来越高，推动着对于各种复杂目标的电磁散射研究不断的向前发 展。经过数十年的发展，用于电磁散射研究的方法己有很多。分类的方法众多，在这里， 我们仅从求解的方程形式上看，主要分为微分方程和积分方程两种。微分方程方法常用 的有：有限元法( f e m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 等。积分方程法常用的有：体积分方程法 i e m ) 和表面积分方程法( s i e m ) ，如边界元法( b e m ) 和矩量法( m o m ) 。它们二者互有 优缺点：微分方程适用面广，能够求解复杂的边值问题，但是未知量很大，可是其得到 的矩阵却是个稀疏阵，后续工作量小，最大的不足是求解无限区域问题时，需要加吸收 边界条件，进行网格的截断，误差较大；积分方程可以处理复杂矢量散射问题，未知量 少，可是却是个稠密阵，后续工作量大，占用较大内存，然而由于其直接满足辐射条件， 误差较小。 在近几年中，我们所关注的积分方程方法中，快速多极予方法( f m m ) 和多层快速多 极子方法( m l f m a ) 【3 ，4 】是最令人瞩目的一种高效方法。它们使矩量法求解电大尺寸复杂 目标的电磁散射成为可能。特别是由于美国依利诺依大学w ：c c h e w 研究组的工作， 使得快速多极子法在电磁散射领域获得了极大发展与完善。据报道他们所开发的 f i s c ( f a s ti l l i n o i ss o l v e rc o d e ) 软件已成功求解了v f y - 2 1 8 模型飞机在8 g h z 频率平面波 l 1 绪论 硕士论文 照射下的雷达截面积( r c s ) ，未知量高达9 9 9 万。该软件的主要方法正是基于矩量法的 快速多极子方法及其多层快速多极子方法。 1 2 研究工作的现状和意义 1 9 8 2 年，s m r a o ，d r w i l t o n 和a w g l i s s o n 提出了以相邻的三角对作为分域 基函数，这就是众所周知的平面r w g 基函数，它可以精确的离散任意结构目标，它把 通过三角形贴片边上的电流表示为常数。然而当对目标离散的密度很高时，或者离散的 间隔趋近于零时，传统的电场积分方程( e f i e ) 算子的奇异值在零和无限大之间累加，因 此相应产生的e f i e 阻抗矩阵具有很大的条件数，导致在迭代的过程中收敛的很慢并且 造成数值误差的累加。对于低频问题来说，e f i e 的不稳定性以及低频崩溃的现象将影 响到结果的精度i 川。 所以，一种良好条件数的电场积分方程( w e f i e ) l 纠j 被提出来解决上述问题。它通过 e f i e 自身规律特性，即e f i e 算子的平方项在零或无限大时没有特征值的累加，从而能 生成一个性态良好的e f i e 方程，保证了其对目标离散的密度很高时，或者离散的间隔 趋近于零时具有快速稳定准确特性。 同时，对于w e f i e ，使用平面三角形剖分离散物体，若要得到足够精确的解，必须 使用很小的三角形贴片，这样会导致散射体产生较大的未知量，占用很大的内存，限制 了我们对于电大尺寸问题的计算，所以在本文中，我们还引入了高阶曲单元良好条件数 电场积分方程( c w e f i e ) ，使用曲面三角形剖分【1 0 】，使得对同一个目标物体，在保持相 同精度的情况下，只需要较少的三角形数便可以实现，相对于平面三角形剖分，节省了 大量内存，为计算电大尺寸物体奠定了坚固的基础。 为了使w e f i e 和c w e f i e 方法的求解效率更高，我们引入了多层快速多极子，将其 计算复杂度由o ( n 2 ) 降至o ( n l o g ) ，接着，为了进一步的降低内存使用，我们在远场 结合了球谐函数的展开，大大节省了这部分内存的存储量。 最后，为了能使多层快速多极子分组降得更低，我们使用s v d 修正多层快速多极子 的低频崩溃现象【1 1 】，扩大了快速多极子的使用范围，进一步的降低了内存的使用，提高 了单机的计算能力。同时，还将高阶曲单元良好条件数电场积分方程与其结合，加快求 解速度，节约求解时间，提高求解效率。 1 3 研究内容 在强烈的工程需求背景和当今计算电磁学发展的趋势下，本文对良好条件数电场积 分方程，高阶曲单元良好条件数电场积分方程和使用s v d 修正多层快速多极子，进行 了深入的研究。本文研究内容主要包括： ( 1 ) 回顾了矩量法的基本原理，阐述了快速多极子方法的原理及当前研究动态； 2 硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 ( 2 ) 深入研究了平面良好条件数电场积分方程，并首次将基于高阶曲单元的曲面 r w g 基应用到良好条件数电场积分方程上，相比平面良好条件数电场积分方程，对于 同一目标物体，其所需未知量更少，存储更小，同时还保持了计算结果高精度； ( 3 ) 将高阶曲单元良好条件数电场积分方程与多层快速多极子远场展开的方法来计 算电大尺寸问题，同时为了进一步降低内存，远场结合了球谐函数展开； ( 4 ) 使用s v d 修正多层快速多极子，进一步降低分组大小，从而达到节省内存的目 标，满足日益迫切的工程需要，拓展单机的计算范围。同时，还将高阶曲单元良好条件 数电场积分方程与其结合，加快求解速度，节约求解时间，提高计算效率。 3 2 矩量法简介硕士论文 2 矩量法简介 2 1 概述 本文中所提出的w e f i e 和高阶曲单元w e f i e 的求解即计算机算法实现是基于矩量 法( m o m ) 【i2 】的，矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法。它既适用于求解 微分方程，又适应于求解积分方程。由于已有有效的数值计算方法求解微分方程，故目 前矩量法大都用来求解积分方程。对于不同的问题应选取不同的基函数与测试函数，采 用不同形式的矩量法才能奏效。 矩量法作为求解积分方程的主要方法之一，由于所用的格林函数直接满足辐射边界 条件，无需像微分方程的解法，如时域有限差分法( f d t d ) 、有限元( f e m ) ，必须设置 吸收边界条件( 如p m l ) 。并且矩量法数值精度比较高，能够得出相对较为精确的数值解， 该方法在求解复杂结构目标的电磁散射、微带天线电流分布及辐射和微带电路的传输特 性等许多方面，有着广泛的应用。由于计算机内存需求和求解时间的限制，传统矩量法 仅限于计算低频区和谐振区目标的散射问题。对于有些数值方法所要求的特殊剖分或者 电大尺寸结构等其他原因，造成计算未知量很大，这时因为需要极大的存储量而难以实 现。近十几年来，由于各种快速方法的提出和计算机性能的快速提高，以矩量法为基础 的一些高效方法，如快速多极子方法等加速方法的引入，已经可以很好的求解电大尺寸 目标散射问题。 本章将具体介绍矩量法和多层快速多极子方法的基本原理和相关内容，作为本文后 续章节的基础和铺垫。 2 2 矩量法的基本原理 矩量法的离散步骤可以如下表示，设有算子方程 三( 厂) = g ( 2 2 1 ) 式中三为算子，算子方程可以是微分方程、差分方程或积分方程，g 是已知函数如激励 函数，厂为未知函数如电流。我们假设算子方程的解是存在的并且唯一的，从而有逆算 子f 1 的存在，则使厂：一( g ) 成立。算子l 的定义域为算子作用于其上的函数厂的集合， 算子三的值域为算子在其定义域上运算而 ! 导的函数g 的集合。 假定两个函数石和五以及两个任意常数q 和口2 有如下关系： 三( q 石+ 呸五) = q 三( z ) + 呸( 以)( 2 2 2 ) 则称三为线性算子。 在应用矩量法处理问题的过程中，需要求内积( 厂，g ) 的运算。我们将内积定义为 4 硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 厂，g ) = l 厂( x 培( x ) 出 ( 2 2 3 ) 式中g ( x ) 是g ( x ) 的复共轭。 在希尔伯特空间h 中两个元素厂和g 的内积是一个标量( 实数或复数) ，记为( f ，g ) 。 内积满足下列关系： ( 1 ) ( f ，g ) = ( g ，f ) ( 2 2 4 ) ( 2 ) ( q f + a 2 9 ，h ) = a l ( 厂，h ) + a 2 ( g ，办 ( 2 2 5 ) 撅鬈篇 叫， 式中a 。，a 2 为标量，厂为f 的共轭量。 下面应用线性空间合算子的概念来诠释矩量法的含义。假设有一算子方程为第一类 f r e d h o l m 积分方程： ig ( z ，z ) ( z ) 出= g ( z ) ( 2 2 7 ) 式中g ( z ，z ) 为核，g ( z ) 为己知函数，f ( z ) 为未知函数。首先用线性独立的函数z 0 ) 来 近似表示未知函数，即： f ( z ) 无( z ) ( 2 2 8 ) n = l 吼为未知系数，五( z 为算子域内的基函数。为正整数，其大小根据实际计算要 求的精度确定。将f ( z 7 ) 的近似表达式代入算子方程的左边，可以得到 吒眈( z ) 】g ( z ) ( 2 2 9 ) 由于f ( z ) 用近似式表示，所以算子方程的左边近似值与右边精确值g ( z ) 之间存在如 下的关系： ( z ) = e a 。l l ( z 。) 卜g ( z ) ( 2 2 1 0 ) n = l ( z ) 称为余量或残数。如果算子方程的加权平均值为零，即： ( ( 2 ) ，既 = 0 ( 珑= l ，2 ，)( 2 2 1 1 ) 式中既是权函数序列，这就是加权余量法。将上式展开便可得到典型的矩量方程。所 谓内域基，是指基函数z 必须在算子l 的定义域内选择并且满足边界条件。 矩量法是数值求解场问题的统一的处理方法，对于算子方程三( 力= g 的矩量法解， 可以归纳成统一的求解步骤，它包括三个基本的求解过程。 ( 1 ) 离散化过程 5 2 矩量法简介硕士论文 这一过程的主要的目的在于将算子方程化为代数方程，其具体步骤如下： 1 在算子三的定义域内合适地选择一组基函数( 或称为展开函数) 彳，石，五，它们 是线性无关的。 2 将未知函数厂( x ) 表示为该组基函数的线性组合，并且只取其中有限项近似，即： 厂( x ) = 五 ( x ) = a l ( 2 2 1 2 ) 3 将式( 2 2 1 2 ) 代入式( 2 2 1 ) ，利用所选取算子的线性，将算子方程转化为代数方程： 三( ) = g ( 2 2 1 3 ) n = i 于是，求解f ( x ) 的问题就可以转化为求解z 的系数的问题。 ( 2 ) 取样检验过程 为了使f ( x ) 的近似函数厶 ) 与f ( x ) 之间的误差极小，必须进行取样检验，在抽样 点上使加权平均误差为零，从而确定未知系数，这一过程的基本步骤为： 1 在算子三的值域内适当地选择一组权函数( 又称检验函数) 呒，它们也应该彼此线 性无关。 2 将既与式( 2 2 1 3 ) 取内积进行抽样检验，因为要确定个未知数，需要进行次 抽样检验，则 但( 五) ，w m = ( g ，呢) ( 朋= 1 ，2 ，) ( 2 2 1 4 ) 3 利用算子的线性和内积的性质，将( 2 2 1 4 ) 化为矩阵方程，即 口。( 三( ) ，既) = ( g ，既) ( 肌= 1 ，2 ，)( 2 2 1 5 ) n = l 将它写成矩阵形式 式中 6 k 。】= 】= p 。k 。】= k 。】( 历= 1 ，2 ) ( 2 2 1 6 ) q 口2 ： a n ( 三( 彳) ，彤) ( 上( 石) ，吸) k 。】= ( g ，形) ( g ，呒) ( g ，) 仁( 五) ，彤) 仁( ) ，彤) ( 三( 以) ，)( 三( ) ，) ( 三( 彳) ，) ( 三( 厶) ，) ( 三( 厶) ，) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 硕十论文 良好条件数电场积分方程的研究 于是，求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。 ( 2 ) 矩阵的求逆过程 得到了矩阵方程以后，通过常规的矩阵求逆或求解线性方程组，便可以获得矩阵方 程的解 【】【k 】- 1 g m 】( 2 2 1 9 ) 式中i r a n r l 是矩阵p 。】的逆矩阵。将求得的展开系数代入到式( 2 2 1 2 ) 中，就可以 得到原来算子方程( 2 2 1 ) 的解 厂( x ) 厶o ) ( 2 2 2 0 ) n = l 以上所述是矩量法求解算子方程的基本过程，在矩量法的所有应用中，通常都要遵 循这个统一的过程。 接下来，我们采用平面三角形贴片模拟目标几何表面，基函数选择为平面r w g 基 函数进行展开。它的数学表达式如下： a 。( r ) = 乙 2 群 厶 2 o p + r 譬 p = r r - 其它 ( 2 2 2 1 ) 钟表示相应三角形的面积。各符号含义如图2 1 1 所示。r w g 基函数的表面散度为 v ，a 。= 丢r 在芽内 k 一。 一名r 在巧内 a ： “ 0其它情况 一 少夕 t ： l n 文l 图2 1 1r w g 基函数示意图，两个公用边的三角形组成一个基函数单元 ( 2 2 2 2 ) 7 2 矩量法简介硕士论文 基函数扩展后，电流可以表示为 j ( r ) a a 。( r 5 ( 2 2 2 3 ) 同时，导体散射场的公式为： 瓜奎卜叩一丢舯卜 亿2 甜， 从而得到我们所需的雷达散射截面( 用符号。表示) 6 ：l i m 4 n r 2 忑 e 石s 1 2 ( 2 2 2 5 ) r - - o o ie 71 2 、 e 平面和h 平面的雷达散射截面分别为： 旷熙群。) 旷咿饕 q 2 2 6 其中 层s = e s , 乓s = e s n o = c o s 0c o s q 文+ c o s es i n 9 多一s i n e 艺 ( 2 2 2 7 ) 2 一s m q o x + c o s q o y 从r c s 的定义可以看出，其大小不仅跟散射体的结构有关，还同入射波的频率，入射 波的极化方式，以及接收的极化方式有关。r c s 通常以平方米为单位给出，并常表达为 对数形式，即相对于一平方米的分贝数 r c s = 1 0 x l o g l o ( o )( 2 2 2 8 ) 2 3 多层快速多极子方法的基本原理 快速多极子技术n 3 ，“3 的数学基础是矢量加法定理。即利用加法定理对积分方程中的 格林函数进行处理。通过在角谱空间中展开，利用平面波进行算子对角化，最终将稠密 阵与矢量的相乘计算转化为几个稀疏阵与该矢量的相乘计算。 快速多极子方法的基本原理是：将散射体表面上离散得到的子散射体分组。任意两 个子散射体问的互耦根据它们所在组的位置关系而采用不同的方法计算。当它们是相邻 组时，采用直接数值计算。而当它们为非相邻组时，则采用聚合一转移一配置方法计算。 对于一个给定的场点组，首先将它的各个非相邻组内所有子散射体产生的的贡献“聚合” 到各自的组中心表达；再将这些组的贡献由这些组的组中心“转移”至给定场点组的组中 心表达；最后将得到的所有非相邻组的贡献由该组中心“配置”到该组内各子散射体。对 于源点组来说，该组中心代表了组内所有子散射体在其非相邻组产生的贡献；对场点组 r 硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 来说，该组中心代表了来自该组的所有非相邻组的贡献，从而减少了散射中心的数目 ( 如图2 3 1 所示) 。 图2 3 1 将两元素的直接作用分解成三部分：聚合、转移、配置 下面我们将给出快速多极子技术基本思想。它以加法定理n 嗣为出发点， 中的自由空间标量格林函数展开成： 嚣x + d ：巫4 z c 戎删w 哟小x 一= 一( 1 - ) r j 托p 。 一打r l 仃 l r m ，+ l ，利用式( 2 3 1 ) ，得到 鲁= 警够戎小( 铲训埘 ( 2 3 7 ) 对于e f i e 的并矢格林函数可以表达为 嘶冲i 甲1v 嵩 ， 2 矩量法简介硕士论文 其在角谱空l 司中的表达式是 醌r i ) = i - j k 够矗2 舡狐饥k 脚( ；冈未) ( 2 3 9 ) 而对于通常的e f i e 可以表示为， 一篆舻弘q 用( ；w 。j ) 瓜j ( r 可归锄搬慨 ( 2 3 1 0 ) 加入所选取的基函数则可表示为 一篆够服却m 舭朋( ；肼幻j j s o a , , e - j l , - 舔钒叫1 ) 其中，o c 朋为转移因子，代表远区组问组中心的转换作用。 将并矢格林函数及磁场积分方程的格林函数处理表达式代入积分方程( 2 3 1 1 ) ，得到 矩阵矢量相乘的最终f l v i i v i 表达： i vz 删= z 棚a n + 铷唧( ) r 朋( k ，；朋) k ( 龛) j 2 ( 2 3 1 2 ) n = l q b pn ( j qq t b pn ( j q 其中 r m p ( k ) = 巩p 母( i 一研a m d s 嘶= 舻鸭( i 一研a 。搬 矧3 r 腭( k ，) 2 c 去j 喜( ( 2 “1 ) 巧”( 乞) 曰( 瓦；朋) ( 2 3 1 4 ) 其中辱代表来自附近组的贡献。k ( ) ，r 坤( j ) 分别被称为为聚合因子和配置因子。由 于石e = 0 ，即l 只与0 ，巾有关，与r 无关，并且它与远场的计算有类似的地方。所 以l 又被称为辐射方向图，r 。则被称为接收方向图。 由于远区场与源之间的耦合是通过各自组中心实现的，同时快速多极子方法使待计 算的“子散射体减少，即相应的未知量减少，所以f m m 加速了矩阵矢量相乘计算， 也大大降低了算法对内存的需求。对于快速多极子，适当的分组可以使其计算量、存储 量降低到o ( n j 1 胡量级。快速多级子技术中的组不能太大也不能太小，太大则导致聚 合和发散的过程都不能有效的进行，太小则会导致转移的过程又不能有效的计算，所以 恰当的分组尤为重要，将直接决定算法的效率。 不同于快速多极子算法只有一层分组， m l f k 似是需要多层分组的。分组的步骤为： ( 1 ) 首先用一个足够大的立方体，将目标体包围住。该立方体就定义为第零层的 第一个且是最后一个组结点，立方体的中心就为该组的组中心： ( 2 ) 其次，把该立方体等分为八个子立方体，这些立方体的结点形成第一层组结 点，我们定义其中的某些不含目标结构的子散射体的立方体称为无效的组结点或者 空组，反之称为有效的组结点或者非空组； 硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 ( 3 ) 然后再对每个子立方体进行与上一步相同的细分，并以此类推直到最细层立 方体的尺寸达到合适的大小为止，一般为o 2 九一0 5 九之间，这就是第层； ( 4 ) 其中最细层的组结点个数不会超过2 孔。最细层子立方体的边长的尺寸约等于 o 。2 久o 5 九。 在多层快速多极子算法中分组常采用的树形结构。对第九层，每个非空组单元编号 为吃x ，m 取值为1 m 螈，心是此层单元非空组总数。对其中的每个单元，存储 三个线性表( 此处线性表是一种数据结构，相当于一维向量) ，第一个是近邻组单元的 相互作用壕，当建好树形结构后，这一线性表结构需要在最细层使用。第二个表结构 是保存在此层用快速多极子计算的组单元焉，即在此层是远场，但它们的父组在父层 却是近场作用。第三个表结构保存此组单元的子组单元焉，很明显在最细层没有这一 结构。我们给组的编号方式是m o r t o n 序编号，这样可以在多层快速多极子方法中便于 检索父组和子组。 多层快速多极子中，矩阵矢量乘的第一步是层层上聚的过程也就是分层的多极子的 聚合过程。假设在第三层已求得聚合因子( ) 和协( 正) ，其中f ，= 1 ，n ( n 为未 知量的数目，k 为角谱域空间单位矢量) 。其中在第上层，t 需取k ，个方向。 由 s 。z ( 蠡) = 吒似( 良) ( 2 3 1 5 ) 可获得第三层第所组的所有聚合因子，共有k ，项，接着使用拉格朗日内插的方法可以 得到： 。 x ， s m ；_ l ( m ，) = e - k l t - t ) n 。r , n m t 一1 吒s 。肛。) ，= 3 ，三 ( 2 3 1 36 ) c i 啦i n = l 可求出第三一1 ，一2 ，一3 ，2 层中各组单元的聚合因子。 矩阵矢量乘的第二步则为层层下推，求解局域展开。该步骤由以下递推公式实现： b i n ! 艰h i ) = 萎 、1 - i 陟k 一。( 受( 矿) 2 月4 + 萋砰( 蠡i n 叫) s i n ；( 如)( 2 3 1 7 ) 一l h l l t u m m l 甜“| 4 上式的意义为局域多极展开，包含两部分。第一部分来自当前组所属的父层组贡献， 其中的关键是使用了平移( 即p m 4 项) 和外插( 即利用呢_ ，) 。第二部分则 来自于当前组本层的堂兄弟组的贡献( 当前组的堂兄弟定义为在本层互为远区组，但是 两组各自所属的父层组之间属于近场组) 。这部分形式上与快速多极子的转移因子相一 致。第二步直观上就像一层层地往下推进( 即外插) ，从而求解局域多极展开，获得各 层的玩，( k h l ) ，= 2 ，3 ，三。 第三步为第三层对第三+ 1 层( 三+ l 层为单元子结点所在层) 的配置，从而获得矩阵 矢量乘的远区组作用部分我们所需要的结果。 2 矩量法简介硕士论文 口l = 艺，。舡l 。) ( 屯) ( 2 3 1 8 ) n - - i 第四步则为求矩矢乘法的近场部分结果，即由 d 2 = 乙 ( 2 3 1 39 ) 吃e f e g 五 即近作用部分的稀疏矩阵与矢量的乘积，算出式( 2 3 3 ) 中的第一项。 最后一步则由 乙= q + 口2 ( 2 3 2 0 ) i = l 两矢量之和，可获得矩阵矢量乘的最终结果。 从上述步骤可看出用多层快速多极子算法实现矩阵矢量乘的关键是分层多极聚合和 分层局域多极子展开。 2 4 本章小结 本章给出了矩量法、快速多极子的基本原理及其相应的公式描述，给出了散射场的 定义方式，及其求解方法，奠定了整篇论文的物理基础。本章内容在后面我们将重点讲 述的良好条件数电场积分方程的求解中占有很重要的位置，矩量法的使用能够提高散射 场的求解精度。快速多极子使本方法能够应用于求解电大尺寸结构的散射体，为本方法 的广泛使用奠定了基础。 1 2 硕士论文良好条件数电场积分方程的研究 3w e f i e 和高阶曲单元聊e f i e 的形式及应用 基于面积分方程( s i e ) 的矩量法( m o m ) 对于散射问题是很有效的。s i e 的两种基本形 式电场积分方程( e f i e ) 和磁场积分方程( m f i e ) 可以用来分析三维导体问题。不像m f i e 仅适合闭合导体，e f i e 对于闭合和开放体都适合。然而，e f i e 的离散化会产生一个大 的条件数方程，导致它在求解的过程中收敛很慢。此外，如果用传统的r w g 基函数来 离散化e f i e ，在低频时其数值是不稳定的。 因此，一种有效的w e f i e 被提出和讨论用于解决e f i e 的这种缺剧鲫】。在这章中， 我们将对这种w e f i e 进行深入的理论分析和研究，最后将通过数值试验证明其稳定性 和准确性。 同时，我们还首次将基于高阶曲单元的曲面r w g 基函数应用到w e f i e ，和平面 r w g 基函数相比，平面单元不适合模拟表面曲率变化较大的目标【1 6 1 ，因为此时它必须 依靠增加单元数来实现对表面的拟合。这常常会产生很大数量的单元数目，从而增加了 计算量。而且即使增加了单元数目它的拟合精度也是很有限的。相比而言，高阶曲单元 贴片能够更好地模拟三维形体的曲面特性。这种拟合方式灵活实用，能拟合曲率变化很 大的曲面及其尖点等突变结构。对于同一个三维目标，它所需的贴片数目要比平面贴片 少，因而所需未知量更少。在保持相同的精度时，高阶曲单元基函数可以用较大的贴片 剖分目标物体，从而可以大大减少未知量的数量。这样可以在单机上计算更大电尺寸的 目标。 3 1w e f i e 的基本原理 3 1 1w e f i e 公式及其矩阵离散 任意形状的三维导体电磁散射的n 型e f i e t l 7 1 的方程形式如下： 丁( j ) = z ，e x f i ( 3 1 1 ) 式中j 是等效电流，z 为自由空间的特性阻抗，e 。是入射电场，矗是外表面的单位法线 向量。 即) 一腼巾+ ( 乒1v ( v j ) ) i g o 西 ( 3 1 2 ) 其中g o 为自由空间的格林函数。 在( 3 1 1 ) 式两边再次同时作用丁算子，可以得到丁2 算子： 丁2 ( j ) = ，( 三e 二) ( 3 ，3 ) 3w e f i e 和高阶曲单元w e f i e 的形式及应用 硕士论文 由于丁2 算子满足t 2 = 一 + k 2 ，其中k 算子为m f i e 的积分算符，从而具有第二类积分 算子的谱域特性1 3 1 ，保证丁2 算子对e f i e 的稳定求解。 在这里，定义一个中间变量u 和b ，可以分别表示为： 丁( j ) = u ( 3 1 4 ) 1 。w x 矗：b ( 3 1 5 ) z 那么通过( 3 1 3 ) 式可以得到： 丁( u ) = 丁( 6 ) ( 3 1 6 ) 选用测试基厶= ，x f i ( f i 为外表面的单位法线向量，t 为三角形棱边的单位切向矢量) ， 基函数g ，仍为r w g 基，可以将中间变量u 展开为： 矽= u 岛 ( 3 i 7 ) _ 一 专f 五= 6 = 岛岛 ( 3 1 8 ) 通过( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 式可以得到： 【w w l j ) = 【形】 y ) ( 3 1 9 ) 其中： = ( 北讲j l 。g j g ( r - r ) d s + ( _ ，m ) l v 7 g j - 【g ( i 十) = r t ) 一g ( r , ( - ) - r ) d s 。 ( 3 1 1 0 ) ( ，t 一为的两个端点，方向由_ 指向q ) k = ( 1 , ) j t e d ( 3 1 1 1 ) 3 1 2 算例分析 在这部分，我们将提供一些数值算例证明我们结果的有效性。在本文中，我们使用 的迭代方法都是g m r e s ( 3 0 ) 方法。所有的算例都是在c o r e - 28 4 0 0 处理器，3 g h z 主频， 4 g b 内存下进行的，迭代的收敛精度为1 0 一。同时，在文章中，e f i e 代表的是平面r w g 基展开的e f i e 。 算例1 ：为了验证w e f i e 方法的正确性和稳定性，我们计算一个半径为l m 的金属 球，分别计算其在3 m h z ，3 0 0 k h z ，3 0 k h z 下的双站r c s 。在这里，我们的平面w e f i e 和e f i e 使用的都是双精度。图3 1 1 ( a ) ，3 1 1 ( b ) ，3 1 1 ( c ) 给出了我们的计算结果，和m i e 结果相比较，我们可以发现，w e f i e 可以计算到3 0 k h z ，而e f i e 计算到3 0 0 k h z 就出现 了误差。验证了我们算法的可行性和有效性。在我们的研究中发现，当频率低到3 0 k h z 以下时，由于数值误差，平面w e f i e 也会发生低频崩溃现象。 1 4 硕士论文 良好条件数电场积分方程的研究 7 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 3 0 1 5 0 1 7 0 1 9 0 - 2 l o - 2 3 0 - 2 5 0 03 0 6 09 01 2 01 5 01 8 0 t h e t a ( d e g r e e ) 图3 1 1 ( a ) 频率为3 m h z 金属球的双站r c s o3 06 09 01 2 01 5 01 8 0 t h e m ( d e g r e e ) 图3 1 1 ( b ) 频率为3 0 0 k h z 金属球的双站r c s iil出弓济u豳 (uis日p)u笛 3w e f i e 和高阶曲单元w e f i e 的形式及应用 硕士论文 03 06 09 01 2 01 5 01 8 0 t h e m ( d e g r e e ) 图3 1 1 ( c ) 频率为3 0 k h z 金属球的双站r c s 为了进一步研究w e f i e 的稳定性和准确性，我们对不同频率和不同剖分密度下的 半径为l m 的金属球进行了分析，从表3 1 1 中可以看出，相比e f i e ，w e f i e 所需要的 迭代步数更少，并且，在相同频率下，当未知量增加时，w e f i e 的迭代步数差不多是 相同的。 1 6 表3 1 1 不同频率和未知量的半径为l m 金属球的w e f i e 和e f i e 的迭代步数对比 迭代步数 频率( h z )未知量 e f i e w e f i e 3 9 7 21 8 31 3 4 7 5 82 0 01 2 3 0 0 m 6 3 1 52 0 8l l 7 9 8 9 2 4 01 0 9 3 0 6 26 1 6 9 27 7 5 3 0 m 4 7 5 81 0 75 7 9 8 9 “95 3 m 9 3 0 4 25 g田日p)su笛 碗论文良好条件电场积* 方程的研究 4 7 5 8 算例2 ：为了验证w e f l e 方法对于复杂模型的仍然适用，这罩选用了n a s a 核作为 数值实验的模型”9 1 ，平面波垂直入射，频率为3 g h z ，未知量为3 6 6 0 。图312 为n a s a 核的a l m o n d ， 目3l _ 2a l m o n d