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海水声衰减与声速测量技术研究木 摘要 本文研究了混浊海水的声衰减与声速测量技术，提出了一些新思路与方法，并研制了相 应的仪器设备。 对于声衰减测量，涉及到声衰减测量模型的建立，本文提出了两种基于多次回波的比较 方法。经实验与实地测量，表明对于混浊海水声衰减测量是有效的。而且可以方便地用硬件 实现。 声速测量取决于声传播时间( 声时) 以及声传播距离( 长度) 的测量。 对于声时测量，本文对多次平均法作了清晰的分析。在此基础上，进行了计算机数值实 验，指出了应用中所应注意的事项。同时结合有关文献，提出了适合声时测量或适合本文要 求的其他方法。 对于长度测量，本文提出了将声学测量中的脉冲回鸣法用于激光测距的思路。同时提出 精确定位触发声源位置的途径。又提出可显著增加光程筹的脉冲干涉仪方案，以及利用扫描 隧道显微镜或原子力显微镜，测量精度可达亚原子尺寸的原子尺。 声衰减的测鼙离不开幅度测繁，本文提出了止弦函数拟合的具体过程。为了更清晰的说 明问题，重新对连续f o u r i e r 交换与离散f o u r i e r 变换的天系进行了推导，并对瑚f o u r i e r 变 换方法计算止弦函数的幅度与相伉的过科进行了详细的分析。义提出了宽频测试的方案及应 用时的注意事项。 方法与理论需要堤终的测蛩仪器玄体现。在仪器设计部分，本文对仪器的软硬件原理及 结构作了详细的说明。同时对仪器j 殳计的思路进行了概括。 在现场实验中本文对实验概况进行了简述。同时给出了有关图片及测量结果曲线。 在最后，本文对所作 作进行了总结= 片指明了进一步l ：作的方向。 关键词：声衰减多次回波，卢速，时间间隔平均法，时问幅度转换，f o u r i e r 变换，正弦 函数拟合，脉冲干涉仪，原子尺，操作系统，硬件结构 海军研究项目 r e s e a r c ho ns o u n da t t e n u a t i o na n ds o u n dv e l o c i t ym e a s u r i n g t e c h n i q o f s e a w a t e r * e c l a m q u e o tb e a w a t e r a bs t r a c t s o u n da t t e n u a t i o na n ds o u n dv e l o c i t ym e a s u r i n gm e t h o do fm u d d ys e a w a t e ra r ei n v e s t i g a t e d i n t h i sp a p e es o m en e wt h o u g h t sa n dm e t h o d sa r ep r e s e n t e d a n dr e l a t i v ei n s t r u m e n t sa r e d e v e l o p e d s o u n da t t e n u a t i o nm e a s u r e m e n tr e l a t e sw i t ht h em e a s u r i n gm o d u l es e t t i n go fs o u n d a a e n u a t i o n t h i sp a p e rb r i n g sf o r w a r dt w oc o m p a r i s o nm e t h o d sw h i c hb o t hb a s e do nm u l t ie c h o e s e x p e r i m e n t sa n df i e l dt e s t ss h o ws o u n da t t e n u a t i o nm e a s u r e m e n t f o rm u d d ys e a w a t e ri se f f e c t i v e ， a n dc a l lb er e a l i z e de a s i l yb yh a r d w a r e s o u n dv e l o c i t ym e a s u r e m e n td e p e n d so nt h em e a s u r i n go fs o u n dt r a n s m i t t i n gt i m ea n ds o u n d t r a n s m i t t i n gd i s t a n c e t h i sp a p e rg i v e sc l e a ra n a l y s i so fm u l t it i m e sa v e r a g i n gm e t h o d ( t h et i m e i n t e r v a la v e r a g i n g m e t h o d ) f o rs o u n dt r a n s m i t t i n gt i m em e a s u r e m e n t b a s e do ni t ，c o m p u t e rn u m e r i ce x p e r i m e n t s h a v eb e e nd o n e ，a n dr e l a t i v en o t i c e sa r ep o i n t e d c o m b i n i n gw i t ho t h e rr e l a t i v el i t e r a t u r e s ，o t h e r m e t h o d sf i tf o rs o u n dt r a n s m i t t i n gt i m em e a s u r e m e n to rf i tf o rt h i s p a p e r sr e q u i r e m e n ta r e p r e s e n t e d a l s of o rd i s t a n c em e a s u r e m e n t , n e wt h o u g h to fu s i n gt h es i n ga r o u n dm e t h o do fs o u n d t r a n s m i t t i n gt i m em e a s u r e m e n tt om e a s u r ei a s e rd i s t a n c ei sp r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ，m e t h o do f a c c u r a t e l y p o i n t i n gt h es o u r c ei sg i v e n a ni d e ao fap u l s ei n t e r f e r o m e t e r , w h i c hc a r li n c r e a s e o p t i c a lp a t hd i f f e r e n c ed r a m a t i c a l l y ，i sa l s op r o p o s e d a d d i t i o n a l l y 。a ni d e ao fak i n do fa t o mr u l e r u s i n gt h es t m o ra f mi si l l u s t r a t e d ，a n dt h i sr u l e r sp r e c i s i o nc a nr e a c ht h el e v e lo fs u ba t o m s s i z e s o u n da t t e n u a t i o nm e a s u r e m e n tr e l a t e sw i t ha m p l i t u d em e a s u r e m e n t t h i sp a p e rp r o p o s e s d e t a i lp r o c e s so fs i n ef u n c t i o nf i t t i n g i no r d e rt oe x p l a i nm o r ec l e a r l y , t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n c o n t i n u o u sf o u r i e rt r a n s f o r ma n dd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r mi sd e d u c e da g a i n a n dt h ep r o c e s so f c a l c u l a t i n gt h ea m p l i t u d ea n dp h a s eu s i n gf o u r i e rt r a n s f o r mm e t h o di sa n a l y z e di nd e t a i l s c h e m e f o rw i d e b a n dt e s ta n dn o t i c ew h i l ea p p l y i n gi ta r ep r e s e n t e d i nt h ei n s t r u m e n td e s i g ns e c t i o n ，t h ep r i n c i p l ea n da r c h i t e c t u r eo ft h es o f t w a r ea n dh a r d w a r e o f t h i si n s t r u m e n ta r ed e s c r i b e di nd e t a i l a l s o ，t h ei d e ao f t h ei n s t r u m e n td e s i g ni ss u m m a r i z e di n b r i e f t h i sp a p e rs i m p l yd e s c r i b e se x p e r i m e n t s c o n d i t i o n s o m er e l a t i v ef i g u r e sa n dt e s tr e s u l t s c u r v e sa r eg i v e n i nt h ee n d c o n c l u s i o n sa r ed r a w na n dd i r e c t i o no ff o r w a r dw o r k si sp o i n t e do u t k e y w o r d s ：s o u n da a e n u a t i o n ，m u l t ie c h o e s ，s o u n d t i m e t o a m p li t u d ec o n v e n e r ，f o u r i e rt r a n s f o r m ，s i n e r u l e r , o p e r a t i n gs y s t e m ，h a r d w a r ea r c h i t e c t u r e n a v yr e s e a r c hp r o j e c t v e l o c i t y , t i m e i n t e r v a la v e r a g i n gm e t h o d ， f u n c t i o nf i t t i n g , p u l s ei n t e r f e r o m e t e r , a t o m 第一章概论l 第一章概论 1 1 引言 根据课题要求，对海水的声衰减系数进行测量，为声纳的探测与识别的作用距离估计提 供依据，同时为开展混浊海水声衰减系数的测量积累水文资料。 在测量混浊海水衰减的过程中，泥沙浓度与温度的变化会同时表现在声速的变化上，并 且最后还需根据声速的变化对混浊海水衰减进行修正。因而本文将着重研究物质声速与衰减 的测量问题。 媒质声速与衰减测量是声学研究的基本问题 1 】 2 9 4 9 1 1 5 0 。随着具体应用要求的不断 提高，经典的声速与衰减测量技术已经越来越显出其固有的局限性，因而不断提高其测量精 度一直是媒质声速与衰减测量研究的主要内容之一。本课题要求能在现场测量动态海水的声 速与衰减，并进一步算出所需的声传播问题。相对于一般的实验室测墙与l ：业测量，提出了 更高的方法理论与技术要求。 声速的测量包含两部分的测量内容。 一是声传播时间的测量。 声传播时间的测量有很多经典测量方法【9 】。这些经典测量方法对声学的发展以及解决 工业测量问题作出了相当大的贡献。但是随着现代技术的1 5 速发展，精度更高的测时方法不 断涌现出来【7 】【1 l 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】【1 5 【1 6 】【1 7 】【1 8 】【1 9 【2 0 】【2 l 】 2 2 】，冈而声时测量有了更多的选 择空间。但是这些方法用于具体的卢时测蹙，无论理论及实现均需作进一步的探讨。 二是声传播距离的测量。 距离的高精度测量一般采用激光干涉仪【2 5 】【2 6 】 2 7 】【2 8 】，进一步提高测量精度的途径一 般是对干涉条纹作进一步的电子削分【2 5 】，或采用双频多酱勒效应 2 6 】，或是增加光程差 2 8 】， 或采用波导多模干涉 2 7 1 。如何更进一步提高测试精度一直是测逶领域不断追求的目标，因 为最终的加工过程必将涉及剑纳米尺度直至原子级别的加上。同时如何高精度定位触发声源 位置也是卢传橘距离测繁的需要研究的主要问题。 卢衰减的测量包含衰减测域的模璎以及信号幅度的高精度测试技术。衰减的测鲑有很多 实验室方法【l 】【2 】，但是对于本课题提出的要求很难实现。因而必须研究适合本要求的方法。 同时系统中各个环节噪卢的影响也非常重要，如何尽鼍减小其影响也需进一步的研究。 本论文根据课题要求，需同时测量出动态流动海水的声速与衰减。因而测试仪器的设计 也是本论文研究的重要内容。本文结合电子技术，计算机技术等现代技术手段，提出了现代 声学测量仪器设计的新理念。 经过课题方案预审，室内实验，海上测量，测量报告经过与其他方法的对比，通过了有 关部门的鉴定。 1 2 本文主要工作 ( 1 ) 本文第二章( 衰减测量) 建立了基于比较法基础上的两种比较法衰减测量模型。 一是前后脉冲比叠加比较法，二是三参数( 口，7 ，) 拟合比较法。提出标定实验 过程，并同时提出声系统设计方案。并对误差进行了详细的分析。 ( 2 )本文第二章( 声时测量) 对多次平均法的原理特别是其误差作了详尽的分析以 及如何正确应用于声时测量，同时在有关文献的基础上提出其他不同的高精度 声时测量方法。如声信号相位检测方法，计时谐波相位检测，时间幅度转换， 第一章概论2 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 线性相位拟合等。这些方法不仅用于声时的测量，其中的时间幅度转换方法还 可提供精确的延时功能。 本文第四章( 长度测量) 简单介绍了长度测量的高精度测量方法。其中提出了 将声时测量中的脉冲回鸣法用于激光测距可大幅度提高测距精度，同时提出了 高精度定位触发声源的曲面拟合与投影方法。另外提出了可显著提高光程差的 脉冲干涉仪方案，以及利用扫描隧道显微镜或原子力显微镜，测量精度可达亚 原子尺寸的原子尺。 本文第五章( 幅度测量) 介绍了几种幅度测量常用的几种方法，其中导出了两 点法与正弦波拟合的公式。为了更有利于说明问题，对连续f o u r i e r 变换与离 散f o u r i e r 交换关系进行了重新推导，指出用加窗f o u r i e r 变换可显著提高幅 度测量精度。同时对量化噪声及如何尽量减小系统噪声对幅度测量的影响进行 了简要说明。 本文第六章( 仪器设计) 对超声仪器的结构( 软硬件) ，设计思想，现状和发展 以及我们所作的工作进行了充分的探讨。详细绘制了本测量系统的结构图原理 图，软件框图并提供了软件界面。 本文第七章( 现场测量) 对现场测量的情况进行了简述，并提供了现场测量的 声信号时域与频域图，以及测量区域悬浮泥沙浓度( 含沙量) b 与卢衰减系数 q 关系测试结果曲线。 本文第八章( 总结与展望) 对本文作了简要的小结，并指出了本文今后进一步 的努力方向。 第二章衰减测量3 第二章衰减测量 2 1 引言 本章建立多次反射的声衰减测量模型，最终采取与标准液体声衰减相比较的方法。 液体介质声衰减系数的测量方法很多【1 】【2 】【3 】【4 】，例如：移板法，多次反射法，一发一 收法，一发双收法，混响衰减法等。 但是由于实际使用条件，衰减值小，在常规的球面波传播条件下，几何扩展衰减要比吸 收衰减大得多，要有足够远的测量距离才能达到精度要求。例如，频率4 5 0 k h z ，要有近十 米的距离，才有可能检测出一定量值的吸收衰减。在海上深水测量中，远距离测量操作十分 困难，这显然是不适合的。因此要设法既要缩短测量距离，又要突出吸收衰减的量值。因此 使用多次反射法来等效延长距离是比较合适的。 在实验室用的多次反射法是在平面波声场和刚性反射条件下的方法，它没有几何扩展损 失和反射损失。这在数m h z 以上频率是能近似满足平面波声场条件的，但在我们使用的频 率及海上测量环境，平面波声场和刚性反射条件难以满足。因此，我们采用多次反射法和比 较法相结合的方法。同时。再加上统计平均，以提高精度。 此外，还有一些困难。 ( 1 ) 测量衰减是深度从儿米剑海底的分布( 儿十米) ，测域屯系统的电缆很长。必须 使用绞车。 ( 2 ) 高频的长线传输引起的信号失真和损失很人，匹配困难。 ( 3 ) 多次反射的脉冲波列，信号最大和最小的动态范围大，线性要求高。 2 2 测量方法 使用多次反射法有儿个优点： ( 1 ) 把短距离的多次卢反射等效为远的收发测谴距离： ( 2 ) 短距离的声系统便于操作： ( 3 ) 短距离容易获得等效平面波声场或易丁：获得聚焦声场，减少几何衰减，突出吸 收衰减，提高测量的精度和可信度。 见图2 1 ，t 是平面活塞发射换能器( 如1 8 0 ) ，s 是平面活塞接收换能器( 同类型) ， 严格相对，平行放置，间隔为x ， 平面活塞发射换能器t 平面活塞接收换能器s 图2 1换能器布置 第二章衰减测量4 当邻近区距离为x g ( l o m ) ，n x l ，戗 1 ，这些误差域可以减 少。但是由于放大电路噪卢和不稳定性，采样a f t ) 的域化噪声，以及其他电路有限精度都 是产生幅度误差的原因，估计有5 1 0 2 6 3 测量方法误差 本方法由于采用多次反射法和比较法，用等效平面波卢场，减少几何扩展的影响，延长 了传播距离增加了衰减量，从而有利于提高测量精度，再用混水和清水比较，消除了声场扩 展规律和反射系数等未知因素。该方法最大限度地提高了测量精度，从而给出上述的误差数 学模型。例如比一发双收方法，精度要提高很多。 2 6 4 声场( 清水介质测量) 的随机误差 随机误差是偶然误差，它可能是该测量误差的主要来源，但是它可以通过多次平均来减 少。由于信噪比不够引起的误差，可以归属为这类误差。 根据模拟试验，这类误差估计有5 - 1 0 ， 第二章衰减测量1 1 2 6 5 混水声衰减系数相对误差计算 脉冲数，7 = 7 。测量距离d = 0 7 1 。清水声衰减系数= 0 0 5 4 9 。清水声衰减系数 相对误差堕，融6 ：o 1 5 。测量距离相对误差卑，耐：o 。0 2 。声脉冲信号相对误差 口6 d 丝8 a ：0 1 0 。 彳 混水声衰减系数相对误差垦奠可由( 2 2 1 ) 计算 口4 鞭 悠 霞 罂 搽 1 滔 懈 超 * 赆 l 08 卜” j6 施。 口。04 - ( j2 ： “。+ “一 o 。 02468 1 0 混水相对清水卢衰减系数倍数堕 口“ 图2 3混水卢衰减系数相对误若 从上图可看出，混水卢衰减系数测繁相对误差随混水声衰减系数增加而减小，衰减系数 越小误差越人。混水衰减系数比清水高二倍以上时，清水测苗相对误差一般在2 0 。因此， 可以人致估计，混水卢衰减系数测量不确定度( 测鼙相对误若) 在2 0 左右。 2 7 小结 本章提出了符合本课题要求的测量声衰减的两种比较方法与模型，对其进行了详细的理 论推导与误差分析，指明了对应声系统设计时的注意事项。经室内实验和第七章的现场测量 证实了此方法的有效性。 第三章声时测量1 2 第三章声时测量 3 1 引言 厂 声速的测量c 取决于声程与声时r 的测量，即c = = 。 f 声时的测量主要取决于计时脉冲的间隔精度，有很多方法可以进一步提高计时脉冲间隔 内的精度，主要有以下几种： ( 1 ) 多次测量或多次发射，如回鸣法，脉冲重合法，脉冲叠加法，数字平均法等。 ( 2 ) 单次测量，如相位拟合，插值法，精测尾时( 可以看作是插值法的一种) 等。 本文要求同时测量声速与幅度，因而采用了单次测量，但本文同时对上述方法中的一些 作了进一步的阐述与说明。 多次测量中回鸣法，脉冲重合法，脉冲叠加法，插值法等的原理可见参考文献【8 】【9 】，下 面对近年出现的一些新方法( 数字平均法，声信号相位检测方法，计时谐波相位检测，时间 幅度转换和线性相位拟合等) 作分析说明。 3 2 数字平均法 3 2 1 误差分析 数字平均法最初由l e w i sl l a c y 和a c d a n i e l 5 】从实验中发现，j d a i n d o w 和 r c c h i v e r s 6 进一步将之与同呜法作了比较，惠1 1 孚公司【8 将其j | | 于时间间隔的测蛙，朱十： 明等【7 进一步提出简便易行的过零检测数字平均法。 卜面对数字平均法作分析说明。 第三章声时测量1 3 s 一 s ， ： s ， ； s l s o s i s 口 s ，一i s 一2 ： s 。+ l s f s f l ： s 1 s a a s 刀l 图3 1 多次平均量化示意图 s o s i a s 甩0 门一 对待测信号x 进行单次量化测量，得到量化结果，其量化误差即为测量设备的量化 步长丛。为了减小量化误差，可以通过多次测量。 。 让x 以缸由x 一口变化到工+ 6 ，得到m ：( x + b ) - ( x - a ) = 堡坚次检测结果 x x x k , k = 0 ，m - 1 。其相应的量化值s 。，i = 0 ，n 一1 分布从小到大为 n - i ，f = o ，n - 1 ，满足关系啊- - m 。丹，f = o ，一1 即为x 在量化步长s 的测量 f ，o 川 j伤；惕 i 2 l + ， 卜 d体饰；强；强 卜：p d瓯瓦；墨墨配；墨& 一 屯 ；吩；啊体 第三章声时测量1 4 次数。 则有所对应的变化范围为告( 6 + 口) ， 对应的值为 s , - - 告( b + 口) = 氐+ 丛一告( 6 + 口) 。疗v 一- 所对应的变化范围为堡m 些( 6 + 口) ，对应的值 为+ 百n n _ l ( 6 + 口) 。则 如果是等边燧化情况。 如有口= b ，则 x = s o + 丛一告( 6 + 口) + 口 x = 如+ 丛一告( m ) + s ni + n m n - ( b + 口) ) = 吉( 品+ 丛+ 警( 6 + 口) ) = a l s o + s u - a + 丛+ 警2 6 特别口= 6 = 圭丛，则 x = l ( s o + 心一百n m oa s 埚+ 击丛j = a l s o 地矗o ) - 焘吣心- + 者吣品) j o o 一刀1 声o + 0 0 + 3 n l 涔l = - 。? 。一 2 ( n + 见) 如果是单边量化情况。 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 一 口 或 ” 塑m + 一 s = x 第三章声时测量1 5 如口= 0 ，则 特别口= 0 ，b = 丛，则 如b = 0 ，则 特别b = o ，口= s ，则 舻s n _ l + ? i 朋n - 1 6 6 或 x 呱+ 醯一鼍b ( 3 5 ) ( 3 6 ) ” 工= s 。- i 1 一s 一心 ，z o + 门l = s + j 鱼一心。一s o ) 一p 。一s 。) ( 3 7 ) 几o1 仃l n o s o + 1 1 s l = 一 工一却叫+ 丛一警口一口 ( 3 8 ) ( 3 9 ) x = s 、+ 整一岱一黛+ 岱 ，z 0 + 疗一i = 品+ _ 粤一( s o 一只) 一( s o 一置。) + 丛 ( 3 1 0 ) ，l o + 刀一l ：鱼墨型= l + 丛 刀o + 疗一i 更有当口= ，b = 一+ 心( 为一常数) 时有z = & + 力一l 奠i 刀0 + ，l i 显然，其绝对误差为缸，当缸一0 时，工可以精确求出 + s o 一m 戏 ” s = x 第三章声时测量1 6 在上面的计算过程中，需要知道x 变化区间g a ，x + 6 ) 中的口和6 。事实上当口= b 或 a = 0 或6 = 0 时，我们只需知道丛以及测量结果门，i = 0 ，n - 1 ，就可求出x 记刀丛为当x 在丛范围内变化时的测量次数，即，z 丛= 石z x s 。而捍丛可由 刀：。，一。算出，甩丛：翌。则有所对应的变化范围为旦s ，对应的值为 _ o ，_ 1 算出朋矿生n - 2o 贝惰所对应的变化范围为惹娥对应的值为 s 一，2 n 丛oh s = & + 丛一老丛。，z - - 所对应的变化范围为等丛，对应的值为 n 黛 n 蟠n 蟠 s - l + 盟丛。则 刀丛 当a = b 时，有 当a = 0 时，有 工：s 。+ a s 一旦丛+ 口 刀“ 或 x ：s - l + 盟丛一b ，z 叫 ( 3 1 i ) ( 3 1 2 ) 筘lf s o 聋；b = 扣趾i + 1 + 警h x ：s 。+ a s 一旦心 珂丛 ( 3 1 4 ) 在实际测量过程中，很难让x 以精确的缸由z a 变化到石+ b 。可以让待测信号x 加 一白噪声w ，对每次量化测量，w 由在一a 与b 之间随机变化，当测量次数m 足够多时， 等效于让x 以缸专0 由x a 变化到x + b 。 第三章声时测量1 7 因而同样有刀。所对应的变化范围为告( 6 + 口) ， 对应的值为 墨一告o + 口) = & + 心一告( 6 + 口) ，2 一t 所对应的变化范围为f m n - i ( 、b + 口) ，对应的值 为+ n m n - i ( 、b + 口) 。则 如果是等边噪声情况。 如有a = b ，则 特舢= 6 = 圭丛，则 如果是单边噪声情况。 如a = 0 ，则 特别a = 0 ，b = , 5 s ，则 x = s o + 鲻一鲁( 6 + 口) + 口 或 x = + f m n - i ( 、b + 口) 一6 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) x = 弘+ 丛+ 警2 6 ) 一月l 姆o + 0 0 + 3 疗i 迹 2 k + 刀。) 壮s n _ i + n 朋n - - - - - l 6 6 或 x = s o + 心一鲁6 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 第三章声时测量1 8 如b = 0 ，则 特另u6 = 0 ，a = a s ，贝u x = n o s o + n i s i 门0 + n l x = 叫+ 丛一等口一口 或x 瑙+ 口 鱼兰! 竺二! 坠+ 丛 以0 + n i 更有当g = s o , 6 ：一岛+ s ( s o 为一常数) 时有工：鱼墨立盟+ 。 + n i 其误差主要来源丁：告，堕m 与警，可用下述模型表示 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 设随机变量x 具有( 0 1 ) 分布，其分布率为p x = 1 = p ，尸忸= 0 = q ，+ g = 1 ) 其数学期望e ) = 1 p + 0 q = p ，又e 似2 ) = 1 2 p + 0 2 q = p 。 方差 d 似) = e 弘一e ) 】2 = e 似2 ) 一陋) 】2 = p p 2 = p o p ) = p q ( 3 2 5 ) 均方差为 仃= 扫丽= 压 ( 3 2 6 ) 由概率理论的同分布的中心极限定理可知：随机变量o ，x l - ，“19 o * ，相互独立， 服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： e 似。) = ，d 。- - 盯2 o ， = o ，1 ，2 ，) ， m i 丘 童牛当m 很大时近似服从均值为 m j “ 第三章声时测量1 9 ，均方差为着的正态分布坦 一腻擎：云，寿o - ：岳 对于棚恶2p 慨黼蝴苛2 云，面2 卷慨斛蝴糌标 准离差s = 其中均方差 罢：磐：下4 p o - p ) s 上 ( 3 - 2 7 ) 0m0m0m2 4 m 如果( o 1 ) 分布对应的本问题为0 + 6 ) ，则均方差为互乃1 谚0 + 6 ) 而细分方法的误差为万10 + 6 ) 可见要达剑与细分方法相同的误著，加噪卢方法需要更多的测挝次数。 当口= 。，6 = 丛时，均方差希= 等丛= 尘攀笋心2 4 量m 丛，当p = 。tqm_ mqm 即待测量是量化刻度的整数倍时，均方差为o ，而当待测域是鬣化刻度的整数倍再加上颦化 刻度的一半时，由最大值丛 2 一m x p ( x = o ，= o ) = gi 图3 2 ( o 1 ) 分布量化示意图 同样，事实上当a = 6 或口= 0 时，我们只需知道丛以及测量结果疗，i = 0 ，- 1 ， 第三章声时测量2 0 就可求出石。 记以鲢为当x 在丛范围内变化时的测量次数，即门岱= 石a s 。而，z 丛可由 ，一2 疗， 捍i ，扛0 ，n l 算出，拧丛2 生n - 2 。 则有所对应的变化范围为旦心，对应的值为 忍心 墨一老丛= 晶+ 丛一老心。刀州所对应的变化范围为等丛，对应的值为 。 ，z 丛 刀篮刀丛 s - l + 塑丛。则 刀丛 当a = b 时，有 当a = 0 时，有 当b = 0 时，有 x ：s 。+ s 一二垒一s + 口 ，z 丛 或 石：s - i + 盟丛一b 门岱 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 茹1 ( s 川+ f n 。眚彳n n - * 啦 删* 峨一l + ( ，+ 警h 卜一。 x ：s 。+ a s 一旦丛 刀笛 x = s o + 旦黛 y d d ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 了x c 一 同上误差分析，均值：p 的无偏估计为筻= 旦，1 垒= 丝的无偏估计同上误差分析，均值=的无偏估计为卫l = 二，1 兰= 望的无偏估计 n 岱 n 岱 _ n 岱q n 岱 第三章声时测量2 l 为样本标准离差 其中均方差 如果( 0 - 1 ) 分布对譬的本问题为( m ) 删均方差为丽1 丛 而细分方法的误差为上丛 ，z 丛 可见要达剑与细分方法相同的误差，加噪声方法需要更多的测量次数。 x e ( x q = o ，= o ) = i ( 3 4 3 ) ( 3 4 j 4 ) 图3 3 加噪卢( o 1 ) 分布示意图 在很多情况下，在上述多次测量过程中，由于各种环境条件的变化，以及自身的变化， 待测量i f 不可避免会发生变化，如何对其变化范围及其待测量z 作出估计，如下所述： 设相互独立的待测量x 的分布函数为 g ) ，均匀白噪声y 的分布函数为 ) = ( - 口，6 ) ，则由概率与统计理论知随机变量z = x + y 的分布函数 i ( z ) - - - g ) 宰 ) = ( z y 杌协 = r g 阢g x 江 ( 3 4 5 ) l 厄 专弩 巫厄盯瓦 l 第三章声时测量2 2 此卷积公式表明随机变量z = x + y 的分布函数不再是均匀分布的，如下图所示： s 一l s 一2 j l lj 一1 科 _-、 j 一 一c 一、 ，z v l 刀 ，一2 ： 吩+ l 7 绝 一l ： ，z 0 s ，一l & 一2 ： s s o 刀一i ，z | 一2 ： ，z ，“ 吩 甩f l ： 尼 刀0 a s 图3 4 ：= z + y 示意图 s n s n ： s i ； s 。 s o s o s 1 月_ 一l 门 ，一2 ： ： 瞿， ： a s 以0 刀i 1 - l 最s&；s品 “ ；s s & ；s & 第三章声时测量2 3 实际上，我们很难知晓待测量石具体的分布函数厶g ) ，显然我们不能再用均匀白噪声 的方法去计算变量z 及其变化范围。 但是我们注意到前述公式中，当变量x 为定值，且均匀噪声为单边噪声而且其宽度为量 化宽度时，有公式 特别a = o ，b = a s ，则 n o s o + ，2 l s i ，z o + ，z l 用n 如表示刀o t r l ，l 表示啊，s 如表示& ，墨l 表示s 上式变为 x ：! ! ! 兰! ! 坠虽! n j o + 疗x 1 我们再对x 以概率分布函数为厂g ) 做随机试验，得到一系列试验结果 ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) 薯：! 业垒丛f _ 蜘i ，n l( 3 4 8 ) 忍工0 + r l ji 我们可以求得其数学期望为 舢篓訾。) 荆= 坐一 yk 。+ ) 窆0 而。s x0 flx，isx,sx,4glx，isx,。)0 而。 。) ：= ：! ：! ! i 一 艺g 矿)k 一。+ ) ，一l ，z ，s ， = 堡! 一 一l 伟 t = o 上述过程可证明如下： ( 3 4 9 ) 第三章声时测量2 4 e ( z ) = e z 魄g ) 宰 眦 ：e z 虹 g 阢( z x 皿k ：芒 g 虻矾( z - - x 皿k = e 矾g 皿 = e ( x ) 式中 ) 为e g ) 所对应的( o 1 ) 分布的概率密度函数。 从上式可看出，多次平均的结果为变量x 的数学期望e b ) 。 ( 3 5 0 ) 由概率论知z = x + y 的万菱： d ( z ) = d 似) + d ( 】，) = d c r ) + 淄k ( 1 一p ) f x ( p ) a p ( 3 5 1 ) p r w 。 d 似) + 丁a s a s 式中第二项为待测量x 在x f r o m ，x t o 范围内变化时每一点的方差p ( 1 一p ) 对相 应的x 的分布函数厂y0 ) 的平均值。如果x 的变化范围覆盖儿个域化宽度，此积分需分段积 分。 三一m o d 三1 式中p = 垒星裂，即变量的量化后的余遏占域化刻度的比例。 所以均方差： 同理，当口= a s ，b = 0 时： 盯( z ) e ( z ) = e 似) 一丛 ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) 方差同上。 如果我们知道z = x + y 的分布函数厂( z ) ，则可通过以下方法求得x 的分布函数。 由厶( z ) = 似) 搴 ( y ) 进行f o u r i e r 变换得： 第三章声时测量2 5 则有： 足驴) = 足扩) 杪) 瓦协锱 ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) 由于e ( f ) 是s i n c 函数，存在零点，故巧驴) 在该点值可通过其他点拟合求出。 更有以下结论： 如果待测量x 与其它噪声的和可分解为一常量与一正单边0 专笛或负单边 0 专一丛或者专+ a s ( s o 为一常数) 以及另一噪声的和，则平均结果为该常量与 另一噪声平均值的和( o 专一a s 时还需加上a s ，s o s o + a s 时还需减去) 。 如果不能这样分解，则平均结果另当别论。 例如，在实际测量工作中，如测量卢时与幅度，往往涉及剑两过程，即触发计簟开始与 计量结束。此两过程往往避免不了嗓卢的影响，殴噪卢分别为 。( y o ) ， i ( y 1 ) 其误差为 ( z ) = c ：zf x g ) 幸 ) 母 1 ) 皿一e z ) 宰 。( y o ) 皿 2 譬z 哆i g ) 掌夕9 1 ”宰 9 ) ) 出一z ( y o ) ( 3 5 6 ) = e g ) 木 ，( y l ”一：c y o ) 、。 = e g ) + e ( y 1 ) 一e o ) + 仃。) 从上式可知，如果此两噪卢是同一噪声或其数学期望相等，那测量结果即为带测量的数 学期望。在实际测量过程中，此条件往往是可以得到满足的。 3 2 2 数值实验 选取两组结果： 待测量：5 0 5 待测量噪声：3 量化精度： l o 测量次数m n ：表一为1 0 0 0 0 1 0 0 ，表二为6 4 0 0 * 1 0 0 第三章声时测量2 6 表3 1 次数为1 0 0 0 0 1 0 0 的仿真结果 结果值 误差百分比( )理论方差实际方差 5 0 5 0 50 0 0 9 l 0 0 5 0 0 4 9 5 0 4 9 10 0 1 70 0 50 0 5 0 5 0 4 9 90 0 0 0 9 90 0 50 0 4 8 5 0 4 9 9 o o o l 4o 0 50 0 5 2 5 0 4 9 7 0 0 0 5 9o 0 50 0 5 5 5 0 4 9 9 0 0 0 2 2o 0 50 0 5 4 5 0 4 9 50 0 0 9 5o 0 50 0 5 3 5 0 4 9 60 0 0 8 7o 0 50 0 5 6 5 0 4 9 6 0 0 0 7 9o 0 50 0 4 8 5 0 4 9 9o 0 0 1 2o 0 50 0 5 4 表3 2 次数为6 4 0 0 1 0 0 的仿真结果 结果值误差百分比( )理论方著实际方差 5 0 5 9 30 0 1 30 0 6 50 0 6 2 5 0 5 0 60 0 1 l0 0 6 5o 0 6 1 5 0 5 0 5 0 0 1 10 0 6 50 0 6 4 5 0 4 8 40 0 3 10 0 6 50 0 6 4 5 0 4 9 3 o 0 1 70 0 6 5 0 0 6 5 5 0 4 9 10 0 1 l0 0 6 50 0 6 2 5 0 4 9 4o 0 1 60 0 6 50 0 6 5 5 0 4 8 90 0 2 00 0 6 50 0 6 3 5 0 5 1 00 0 2 00 0 6 50 0 7 2 5 0 5 0 30 0 0 5 3 0 0 6 50 0 5 8 由表中可见待测值与测量结果值的偏差极小。所得均方差为重复多次测量的均方差，与 理论值很接近，其中的误差是由于信号本身的噪卢所引起的。幅度为3 的待测量噪声对测量 结果影响并不显著。 在实际应用中，待测量自身的噪声分布可能不是均匀分布的白噪声，比如可能为高斯分 布的噪声，也可以用以上的形式计算。对于声时测量系统，加入的随机噪声可以通过随机触 发得到，即相对于计时脉冲，随机触发射声信号，就可认为加入的噪卢是随机噪声。 从前述分析可知，在实际应用过程中，需注意： 下丽 1 从理论上，我们给出了误差为；+ ! 等坚，d ( ，) 为待测信号的方差，如在很短 2 4 n 4 n 时间扎刚可以忽略将量化误差表达瓢焘9 _ 2 当，z 很大时，测量时间会延长，则待测量的变化不可忽略，随着平均次数增大所带 来的精度会被，的变化所抵消，所以盲目增大测量次数是不明智的【5 】【6 】【7 【8 】。 3 实际测量中触发时刻的精度对于计时精度1 e 常重要，对于谐波发射，可以用过零检 第三章声时测量2 7 测技术 5 】【6 】【7 】 8 】。 3 2 3 多次平均用于声时测量 触发，开始计数 停l 卜计数 ， ， vvvvvvvv 、一丁_ i ， 厂7 厂 厂 厂 厂 厂 厂 图3 5 单次触发声时测量 在触发脉冲控制下，发出声波并同时开始计数，当回波到达时停止计数。记声时为f ， 由计数值m 。d ( 手) ，对应声时为r m 。d ( 专) ，显然其误差为计时脉冲宽度丁。 如前分析，可对卢时为f 加噪卢以提高域化糟度，具体措施为让触发时间随机化，其效果如 下图所示 触发，开始计数停止计数 图3 6 多次平均声时测量 由上图可看出，此随机过程为前面讨论的单边噪声，噪声宽度为t 。在测量次数为- i - 啊 时“= m 。爿所对应的测量次数机，卜m 吨寺) + t 所对应的测量次数她。声 第三章声时测量2 8 时f 的估计值为鱼垒盟，均方差为盯o ) ： 行o + n l赤 由上式可知：当声时，是计数周期丁的整数