（光学工程专业论文）光学低通滤波器的特性研究.pdf

浙江火学烦十学位论文 摘要 光学低通滤波器( o p t i c a ll o wp a s sf i l t e r ，o l p f ) ，经常采用双折射晶体，并被广泛的运 用于光电成像系统中。 本文中，光电成像系统是一种离散成像系统，光电成像传感器对图像的抽样过程会引起 图像频谱在频谱空间上的多次复制，如果抽样过程不满足系统的奈奎斯特条件，相邻的频谱 项就会产生混叠，在图像上产生莫尔条纹，影响成像质量和色彩真实性。o l p f 通过前置滤波 能够有效地限制图像的高频分量，满足系统的奈奎斯特条件，避免图像质量的下降。 在傅立叶光学中光学系统是一种空间的低通滤波器，光学传递函数能够评价光学系统或 器件传递信息的频率特性。利用光学传递函数的方法分析了o l p f 的光学传递函数。通过这种 方法，得到了一维和二维o l p f 的幅频响应特性，并用m a t l a b 模拟了几种不同结构o l p f 的光 学传递函数，通过比较和分析，提出o l p f 二维方向上的截止频率点取决于光轴面法线方向垂 直于该维方向的晶片厚度。对于多片式o l p f 一种改进型的光学低通滤波器，其中光轴面法线 和二维方向有夹角的晶片能够加强对高频部分的抑制作用，而不改变截i e 频率。 基于对o l p f 的光学传递函数的分析，提出了选取晶片参数的方法，设计与光电图像传感 器相适配o l p f 。结合实际提供设计的例子。 为了进步研究o l p f 的光学特性，利用两套改造的显微镜组，研制了一套o l p f 的测试 系统。根据双折射晶体的光学特性采集点光源通过0 l ，p f 后所成的分离像点，通过软件设计进 行图像处理，从采集到的光点像分布情况和数据可以获得组成o l p f 各晶片的尺寸，同时还能 得到o l p f 的调制传递函数。对晶片的测量，精度可以达到0 0 0 5 m m 。整个测试系统不但可以 满足对o l p f 的特性研究，经过进一步改造还能对o l p f 的生产质量进行实时检测。 关键词：光学低通滤波器双折射晶体光学传递函数幅频响应特性光学低通滤波器设计测 试系统 一塑垩查兰堡堂垡堡兰 a b s t r a c t o p t i c a ll o w p a s sf i l t e r ( o l p f ) ，b i r e f r i n g e n tc r y s t a li s a d o p t e di nm o s tc a s e ，h a sb e e n w i d e a p p l y i n gi no p t o e l e c t r i ci m a g i n gs y s t e m i nt h i s t h e s i s ，o p t o - e l e c t r i ci m a g i n gs y s t e mi s ad i s c r e t e i m a g i n gs y s t e m ，s a m p l i n go f p h o t o e l e c t r i ci m a g i n gs y s t e mc a ni n f i n i t e l yr e p l i c a t et h es c e n es p e c t r u mi ns p e c t r u ms p a c e ，a n di f t h es a m p l i n gi n t e r v a l sa r et o ol a r g et os a t i s f yt h en y q u i s tc r i t e r i o n ，t h er e p l i c a so v e r l a p ，a n dt h e r ei s a l i a s i n g m o r i ef r i n g ea p p e a ri ni m a g e t h eq u a l i t yo fi m a g er e c e d e da n dt h et r u e n e s so fc o l o r d e p r e s s e d a no p t i c a ll o w p a s sf i l t e r ( o l p f ) u s e di nf r o n to fo p t o e l e c t r i ci m a g i n gs e n s o r , c a n e f f e c t i v e l yl i m i tt h es c e n es p e c t r u mw i d t ha n dc r i t i c a l l ys a r i s f yn y q u i s ts a m p l i n gc o n d i t i o n ，s ot h e a l i a s i n gc a l lb ee l i m i n a t e da n dq u a l i t yo f t h ei m a g er e c o n s t r u c t e di si m p r o v e d o p t i c a ls y s t e mi sas p a c e f i l t e rb yf o u r i e ro p t i c s o p t i c a lt r a n s f e rf u n c t i o n ( o t f ) c a ne v a l u a t e t h ef r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c so fao p t i c a ls y s t e mo rd e v i c e a n a l y t i c a lm e t h o do fo p t i ct r a n s f e r f u n c t i o ni s e m p l o y e dt oo l p fi nt h ep a p e r b yt h i sw a y , t h ea m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c so fo l p fi no n ed i m e n s i o na n dt w od i m e n s i o n sa r ep r e s e n t e d m a t l a bi su s e dt o s i m u l a t et h eo t fo fd i f f e r e n ts t r u c t u r eo l p et h er e s u l to fa n a l y s i ss h o w st h a tt h ec u t o f f f r e q u e n c yo ff i l t e r sa to n eo ft w od i m e n s i o n si sb a s e do nt h et h i c k n e s so fb i r e f r i n g e n tc r y s t a lw h i c h n o r m a ld i r e c t i o no fa x i a lp l a n ei sv e r t i c a lt ot h ed i m e n s i o n f o rm u l t i - p l a t eo l p ea ni m p r o v i n g d e s i g nw i t hab i r e f r i n g e n tc r y s t a lw h i c hn o r m a ld i r e c t i o no fa x i a lp l a n ei sa ts o m ea n g l e ，e n h a n c e t h ec o n v e r g e n tr e s p o n s eo ff i l t e ra th i g hs p a c ef r e q u e n c yb u td on o tc h a n g et h ec u t - o f ff r e q u e n c y b a s e do nt h o s er e s u l t so fa n a l y s i s ，am e t h o do fd e s i g no l p fw h i c hi ss u i t e dt os p e c i a l o p t o - e l e c t r i ci m a g i n gs e n s o r , i sp r e s e n t e d a c c o r d i n gt ot h em e t h o d ，p a r a m e t e r so fb i r e f r i n g e n t c r y s t a lc a nb eo b t a i n e d a ne x a m p l ei sp r o v i d e d am e a s u r e m e n ts y s t e mi sd e v e l o p e dt os t u d yt h eo p t i c a lc h a r a c t e r i s t i ci nf u r t h e r t w os e t so f m i c r o s c o p ew e r er e f o r m e d a c c o r d i n gt oc h a r a c t e r i s t i co fb i r e f r i g e n tc r y s t a l ，t h es e p a r a t ei m a g e so f ap o i n tl i g h ts o u r c ep a s s i n gt h r o u g ho l p fi sc a p t u r e da n dp r o c e s s e db yc o m p u t e r f r o mt h e s i t u a t i o na n dd a t ao fp r o c e s s e di m a g e ，t h et h i c k n e s so fc r y s t a la n da m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c so fo l p fw o u l db eo b t a i n e d t h em e a s u r e m e n ta c c u r a c yo ft h i c k n e s si so 0 0 5 m m m e a s u r e m e n ts y s t e mc a nn o to n l ys a t i s f yt h es t u d yo fo l p f , b u ta l s ob eu s e dt om e a s u r et h eq u a l i t y t l 浙江大学碗j ：学位论文 o fo l p fi nr e a l t i m ew i t hs o m ei m p r o v e m e n t k e y w o r d s ：o p t i c a ll o w - p a s sf i l t e r , b i r e f r i g e n tc r y s t a l ，o p t i c a l t r a n s f e rf u n c t i o n ，a m p l i t u d e f r e q u e n c yr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c s ，o l p fd e s i g n ，m e a s u r e m e n ts y s t e m 1 1 1 浙江大学硕士学位论文 1 1 概述 第一章绪论_ 帚一早瑁下匕 光学低通滤波器( o p t i c a ll o wp a s sf i l t e r ，简称o l p f ) 是一种广泛运用于数码成像 产品中的光学器件。由于c c d 或c m o s 固体图象传感器是一种离散像素的光电成象器件，根 据奈奎斯特定理，一个图像传感器能够分辨的最高空问频率等于它的空间采样频率的一半， 这个频率就称为奈奎斯特极限频率“2 。”1 。在用c c d 摄像机获取目标图像信息时，被摄景物 光线通过光学系统成像在二维图像传感器( c m o s 或c c d ) ，该图像信息由离散的光电传感 器获取。而一般的图像传感器的分辨能力要小于成像光学系统的分辨率，图像传感器像素 的大小往往限制了整个数字成像系统的空间分辨率。高分辨率的光学成像系统不仅不能增 加整个系统的分辨率，还会因为通过光学系统的高频图像信号超过了光电成像器件能够分 辨的最高频率，经过抽样后高频成分被反射到基本频带中，使图像产生周期频谱交迭混淆 或称为拍频现象( 以波纹和伪彩色面目出现，也称之为莫尔条纹) 。而一旦莫尔条纹产生则 再通过数字电路滤波无法消除，将会影响成像质量和色彩真实性。 通过电路设计可以去除周期频谱混淆的部分，但是由于滤除了高频成分，会使图像质 量下降到c c d 分辨能力以下，这是不合理的。因此通过光学方法在图像信息被图像传感器 接收之前，限制图像的频谱范围，使图像的空间频谱不超过系统的分辨能力，就能有效的 消除或抑制莫尔条纹或者伪彩色，提高成像质量。 现在使用的光学低通滤波器主要有两种：利用双折射晶体的光学低通滤波器 ( b i r e f r e g e n tl o wp a s sf i i t e r ，b l f ) 和利用二维光栅的光学低通滤波器( g r a t i n gl o w p a s sf i i t e r ，g o l f ) 。1 。g o l f 在制作过程中要使用光刻技术，因此其制作成本很高；在实 际运用中g o i f 相对图像传感器的位置也要求很高精度的配合才能得到最好的效果。g o l f 现 在只是作为实验室产品，而没有大规模的生产。b l f 的制作成本低，实际运用方便可靠。双 折射晶体光学低通滤波器得到了更广泛的运用。通常意义上的光学低通滤波器( o l p f ) 指 的就是双折射光学低通滤波器( b l f ) 。 1 2o l p f 发展现状和前景 1 9 8 8 年日本富士公司与东芝公司合作推出第一台数码静态相机( d i g i t a ls t i l l 1 浙江大学硕：学位论文 c a m e r a ，简称d s c ) 起，将0 l f f 带入这发展迅速的数码世界中。数码影像技术应用的领域 i ：_ | 益宽广，从数码相机( d s c ) 、数码摄像机( d v c ) 到影像电话( v i d e op h o n e ) 以及未来 的第三代行动电话( 3 g ) 等，许多和影像有关的产品都要使用o l p f 来消除混频。数码相 机和数码摄像机都是采用固体图像传感器的数字成像器件，混叠不可避免。光学低通滤波 器技术作为消除混频现象较有效的手段，从一开始就倍受瞩目。尼康，s o n y 和柯达这些 传统的相机厂商在数码相机的开发和研制过程中出于对数码相机成像质量的考虑对光学低 通滤波器做了大量的前期研究。同本发达的电子产业带动造就了成熟的o l p f 设计和生产 技术工艺，索尼和尼康是这些技术上的代表。 目前，国际上数码相机、数码摄像机及大量的c c d 、c m o s 成像传感器匹配的光学低通 滤波器( 0 l p f ) 的主要生产企业是日本的5 6 家企业，如k s s 、k d s 、n d k 、t o y o c o m 、f i n e 等。除日本外，韩国、台湾也有厂家从前年开始开发生产该产品，都处于起步阶段，由于 韩国和台湾没有水晶生产，他们目前只能从日本和俄罗斯进口光学水晶进行0 l p f 的加工。 国内数码相机及c c t v 制造企业，主要依靠与c c d 配套进口。由于日本企业的技术封锁，价 格高，进货难，严重制约了国内企业的发展。目前国内除水晶公司进行批量生产外，还未 有其它规模生产的厂家( 只有少数几家企业小批量试生产) 。 随着数码相机和数码摄像机的普及，用石英晶体制作的o l p f 的需求量很大，市场前 景好，经济效益显著。国内少数能够生产o l p f 的光学加工厂在加工技术上已经得到了国 际数码相机厂商的认可，但是由于国内缺少对o l p f 系统性的研究，关于o l p f 成像特性 的研究以及发表的资料较少，还未掌握o l p f 的设计原理。光学低通滤波技术作为一种日 益成熟的图像处理技术，使用的领域会越来越多。随着c c d 、c m o s 感光面上的像元素增 加，像元周期变短，对光学低通滤波技术提出了更高的要求。随着具备高像素摄像功能移 动电话的出现，光学低通滤波器也相应逐渐朝着超薄化，微型化方向发展，因此还有很多 值得去研究和改进的地方，发展空间十分广阔。 1 3 本论文研究的主要工作 1用光学传递函数的方法，通过光学低通滤波器的光学调制传递函数特性研究o l p f 不同 结构下不同的光学传递特性。并用i d a t l a b 对其光学调制函数进行了数值模拟。利用 这种方法得到了如下结果： 浙江大学硕士学位论文 ( 1 ) 光轴取向与石英晶片表面成一定角度的晶片构成了一维带阻滤波器，改变晶片 厚度和光轴与表面的夹角可以改变滤波器的截止频率。 ( 2 ) 光轴面成一定角度的二片双折射晶片构成t - - 维光学低通滤波器。 ( 3 ) 三片式光学低通滤波器可以增强o l p f 对高频信号的衰减，但不会改变截止频 率。第三片晶片光轴面的取向和晶片厚度能改变两个方向上在截止频率以上高 频部分的光学调制传递函数的形状。 2 根据组成光学低通滤波器晶片厚度和其光学调制传递函数之间的关系，根据图像传感器 的奈奎斯特像素大小设计与之相匹配的o l p f 3 根据实际生产加工中对成品光学低通滤波器的检测需要，利用o l p f 成像特性，研制和 设计了o l p f 的测试平台及其图像分析处理软件。 4 用测试平台对实际的光学低通滤波器进行了测试并对图像软件处理得到的数据进行了 分析，提出了测试平台待改进的方面。 第二章光学低通滤波器的基本原理 2 1 双折射晶体。1 2 2 1 1 双折射晶体的基本性质 当一束单色光在各向同性介质( 例如空气和玻璃) 的界面折射时，折射光只有一束，而 且遵守折射定律。但是当一束单色光在各向异性晶体的界面折射时，一般可以产生两束折 射光，这就是双折射现象。能产生双折射现象的晶体就叫做双折射晶体( 如方解石，石英) 。 通过双折射晶体看物体可以看到两个分开的像。 对双折射晶体的研究表明，两束折射光中，有一束总是遵守折射定律，即不论入射光束 的入射方位如何，这束折射光线，总是在入射面内，并且折射角的正弦与入射角的正弦之 比等于常数，这束折射光称为寻常光，用符号0 表示；另一束折射光则不然，一般情形下， 即使入射角为零，折射角也不等十零，而且这束折射光往往不在入射面内。它不遵守折射 定律。因此称它为非常光，用符号p 表示。 光轴是晶体中存存的个特殊方向。当光在晶体中沿这个方向传播时不会产生双折射现 象。显然，在晶体甲凡是与此方向平行的任何直线方向都是晶体的光轴方向。通常把光线 在晶体巾的传播方向与光轴所组成的平面称为该光线的主平而。称光轴和晶面法线组成的 平面为晶体的主截面。当光线在主截面内入射，即入射面和主截面重合时，此时o ，e 光都在 这个平面内，该面也是口，s 光共同的主平面。 2 1 2 双折射晶体的理论基础1 4 光在晶体中出现的双折射现象，说明晶体在光学上的各向异性。对不同方向的光振动， 在晶体中表现为不同的传播速度或折射率，实质上表示晶体物质对入射光电磁场相互作用 的各向异性。 晶体光学是以麦克斯韦方程和物质方程为基础的。研究表明，各向司性物质中，电感强 度d 与电场强度e 的关系由下式给出 度d 与电场强度e 的关系由下式给出 d=晓一，e(2-1) 浙江大学硕上学位论文 e 是个标量常数，因此矢量d 与矢量e 的方向一致。但在各向异性晶体中，极化是各向异 性的，凼此s 的取值与电场的方向有关，此时介电常数用介电张量来代替，用张量表示 l 】= hj ( 2 - 2 ) 用i ，= 1 , 2 ，3 分别对应着直角坐标系中的三个方向，则d 与e 的关系可以写成 d i2 酗巨 ( 2 3 ) 当媒质无吸收和无旋光性时，s 是实数，由能量守恒原理可以证明介电张量是一对称张量， 即8 f = 对称张量具有以下形式【3 】 曙湖 ( 2 - 4 ) x ，y ，z 三个互相垂直的方向称为晶体的主轴方向，q ，s ，e ：称为晶体的主介电常数。在主轴 坐标系中，d 能用最简单的形式表示 d 。= ；e ；，d ，= sy ep ，d z = z ez ( 2 - 5 ) 由式( 2 - 5 ) 得出重要的结论：各向异性晶体中，由于一般地，e ，s ：，因此d 和e 有不 同的方向，仅当电场e 的方向沿着三主轴( 茁，y ，z ) 之一方向时d 与e 才平行。 晶体就其光学性质可以分为三类。一类是三个介电常数相等，即e 。；。= s ：，这时晶 体中任一方向上d 和e 平行，这类晶体就是各向同性的；第二类晶体中有二个主介电常数 相等zs 。一s ：，此时光轴方向平行于z 轴，称这类晶体为单轴晶体，如方解石；第三类 晶体对应。，f ，一s ；，一般有两个光轴方向，称为双轴晶体，如云母a 光学低通滤波器一般都采用石英晶体这种单轴晶体。因此针对光在单轴晶体中的传播特 性进行分析。 设晶体中传播一束波矢量为k 的单色平面波表示为 e = e o e i ( k r - “t ) ，d d o e i ( k r - “) , h = h 。一( 7 “) ( 2 6 ) 浙江人学硕 学位论文 将e ，d ，h 代入( 2 - 7 ) 和( 2 _ 8 ) 其中c 是光速，心是非磁性物质的磁导率 ve：一些(2-7) 甜 c = 1 再。 ( 2 8 ) 得到 kxe=cou。h(2-9) k h ；一c o d( 2 - 1 0 ) 由方程( 2 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 消去h ，得到 d = g o l t2 【e 一( e - 七。) t 。】 ( 2 1 1 ) k o 是七的单位矢量，n ；c v k ( 咋是波面法线的速度) 是折射率。 可以写出( 2 1 1 ) 在晶体主轴坐标系中的分量，并带入关系式毛= g 。( i = 石，y ，z ，f 。相 对介电常数) 得 d i = 样 沼1 2 ) i 一 利用d k 。；0 由式( 2 - 1 2 ) 可得到 告十鲁+ 鲁；。 n 2 g h 以2 占删 n 2 掣 若利用v 。= c n 再定义沿三个主轴方向的主传播速度吩 v i = c 、厍 ( f = x ，y ，z ) 式( 2 1 3 ) 可写成 ( 2 1 3 ) ( 2 ，1 4 ) 篮+ 堡+ 篮 ，o ( 2 _ 1 5 ) 11 。1 1 。11 。 v ；v ；以s ， 式子( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 均称为菲涅耳方程，它们给出了单色平面波在晶体中传播时，光波 折射率”或波法线速度h 与波法线k 的函数关系，表示波的传播速度和传播方向有关。显 然菲涅耳方程是关于n z 的一个二次方程，对应晶体中一个已知的波法线方向九，一般有两 6 浙江火学硕上学位论文 个独立的实根 和h ”或吒 l l v ：，即可得到有两种不同的光波折射率或两种不同的光波法线 速度。利用式( 2 1 2 ) ，分别代入n 和n ”，得到n 和n ”对应得两个光波的er 和e ”，这是两 个线偏振光：再由( 2 - 1 5 ) 和( 2 - 1 2 ) ，能够求出对应两个光波的d 和d ”。 对于单轴晶体，有，= y s ：，或n ，= n y = n 。，l ：= n 。，r n 。n 。，i 。和r t 。分别为0 光 折射率和e 光主折射率。同时可知，主轴x 和y 可以在垂直于z 轴的平面上任意选取。应用 菲涅耳方程讨论单轴晶体中光的传播特性。为方便起见，选取给定的波法线方向k 。在y z 平 面内，且与z 轴的夹角为0 ，则t 。在三主轴上的分量为 k 。= 0 ，k 。v = s i n 口，k = c o s o 将它们代入菲涅耳方程( 2 1 3 ) 得到 ( 月2 一n 2 0 ) i n 2 ( h ；s i n 0 + ，l 。2 c o s 6 ) 一n 。2 月。2 】= 0 ( 2 1 6 ) 由上式可解得两个实根： , “a ，l ： ( 2 1 7 ) 2 = 再耘2 2 协鳓 这表示在单轴晶体中，给定一个波法线方向k 。可以有两种折射率不同的光波。一种光波的 折射率与匕无关，总有n ”= 露；，称这个为寻常光，即0 光；另一种光波的折射率”随波法 线k 。和光轴的夹角0 而变，即与波的传播方向有关，成为非寻常光，即e 光。对于e 光，当 0 ；2 时，l ”= t l 。；当0 = 0 时h = h ”an 。，当女。和z 轴重合，即光波沿z 传播时，o 光和e 光 有相同的折射率和相同的法线速度，不发生双折射。因此把z 轴方向称为光轴方向。 进一步确定。光波和8 光波的振动方向。整理式( 2 - 1 2 ) 对于d 光波，代入摊= i t = n o n t k 。 分量，并注意到单轴晶体时，e 。= = ，l ；，= h ；得到 ( n ：一n ：皿= 0 孵一2c o s 2 0 ) e ，+ ，l ：s i n o c o s o e ；= 0 ( 2 - 1 9 ) n ；s i n o c o s o e ，+ ( n ；一n ：s i n 2o ) e ：一0 7 浙江大学硕士学位论文 由第一式给出e 。一0 ，：p ? - j t e 。= e ：= o 这表明0 光是e 平行于x 方向振动的线偏振光， 由于d = e o n 扭，因此d 和e 平行，两者都垂直于光轴与波法线组成的平面( 弘平面) 。 对于e 光波，将n ；n 及七。分量代入( 2 - 1 2 ) 一n ”2 ) e x ；0 ( n ：一n 2c o s 2 0 ) e v + n s i n o c o s o e ：= 0 ( 2 - 2 0 ) ，l ”2s i n o c o s 晒，+ 孵一栉“2s i n 2 0 ) e ：z0 将( 2 1 8 ) 代入，则e 。，e 0 ；因为n ”- n 。所以e ，= o ，d x = 0 。e 光的e 和d 均位于y z 平 面内，但e 和d 不同向，e 光的波法线与光线方向不一致。 如图2 - 1 所示。在单轴晶体中，波法线方向后代表了波面的传播方向；光线方向s 代表 了光能量传播的方向。对应于给定的波法线方向k 。可以有一个0 光和e 光传播，它们都是线 偏振光，其振动方向互相垂直。0 光的e 和d 互相平行并垂直于波法线与光轴所组成的面， 且折射率不依赖于传播方向屯，光线方向和波法线方向一致，类同于各向同性媒介中的传 播。而p 光的e 和d 在光轴与波法线k 所组成的平面内，一般e 和d 不会重合，而且折射 率也会随着传播方向女。的改变而改变。 图2 - 1单轴晶体中o ，p 光各矢量的方向 晶体光学中，称波法线方向与光线方向的夹角为离散角。对于单轴晶体，o 光的离散角 总是等于零。对e 光，由图2 - 8 ，若0 是口光波法线和光轴的夹角，0 为e 光线和光轴的夹角， 贝0 离散角o = 0 0 r 。 妙专喀口 沼z 。 浙江大学硕士学位论文 t g 口：t g ( o 圳) ：( 1 一萼) ! ( 2 - 2 2 ) ”；1 + 笃喀：口 以。 考察从各向同性介质向晶体入射的平行光束的行径，可以通过计算和绘图求取晶体中折 射光波方向的方法。在这里主要说明在研究过程中用到的计算法，当已知入射光波法线的 方向和晶体光轴的方向时，则由折射率公式计算出折射光的波法线方向，然后利用公式 ( 2 - 2 1 ) ，( 2 - 2 2 ) 就能求出相应光线的方向。 2 2 图像传感器中的频谱混叠 2 2 1 抽样定理 往往用在一个离散点集上所取得的数值来描述一个函数，而不是用连续的方式来描述 它。当处理大量数据的存储和发送时，或当用数字计算机处理这种数据是，尤其是这样。 基本原理是，任何物理器件的信息处理容量都是有限的。当对输入信号进行抽样时，在取 样点所得到的函数值叫做样本值，取样点之间的距离叫做抽样间隔，抽样间隔的倒数叫做 抽样率( 或抽样频率) 。以光电传感器为感光原件的成像系统就是以抽样的方式成像 1 , 1 3 , 1 6 】。 正如古德曼【4 】所指出的，直观上很明显，只要取样阊隔足够小，就能够用其样本值来适当的 描写任何一个函数，因此当抽样间隔不为零的时候，必然存在一个最佳的抽样间隔问题。 抽样定理由w h i t t a k e r 和s h a n n o n 提出【4 】，基本叙述如下：任何带限函数都可以用其在 规则间隔上的样本值来精确规定，只要这些间隔不超过某个临界抽样间隔。 考虑带限函数，( x ) ，当吲苫2 时其傅立叶变换f ( 亭) = 0 图2 - 2 带限函数及其傅立叶变换 浙江大学硕i ：学位论文 如果用s a m p ( x ) 函数表示抽样过程， ) 和s a m p ( x ) 的乘积得到样本函数正 ) ，抽样 过程可以用图2 3 表示。 图2 - 3 抽样 在频谱域内则是f ( 亭) 和s a m p ( x ) 的傅立叶变换的卷积如图2 - 4 所示 图2 4 带限函数抽样过程及其频谱表示 于是我们看到只( 亭) 由一组函数构成，其中每一个都和f ( 亭) 的形式相同，沿着频率轴以间 隔复重复排列。重复的诸f ( 亭) 常称为尤 ) 的谱级，f ( 亭一n 量) 称为第，l 级谱。于是，瞎) 是 零级，( 宇+ 戋) 是负一级谱，皓一基) 是正一级谱。只要皇苫彤( 图2 - 4 所示的情况) ， 则经过抽样以后各级谱就不会重叠。从而可直接使用一个电子低通滤波器来恢复得到原来 的函数。因此，如果厂0 ) 是带限的，满足当例w 2 时，( 宇) ；0 ，用梳妆函数抽样得到了 l ( x ) ，则只要抽样率基大于或至少等于整个频谱宽度w ，就能够从正o ) 还原到f ( x ) 。因 此，临界抽样率刚好是w ，而临界抽样间隔就是a 分别的称这些量为奈奎斯特( n y q u i s t ) 率和奈奎斯特( n y q u i s t ) 问隔【4 】。 当抽样间隔小于信号频谱宽度时，即皇c 时，则谱级互相重叠。如图2 - 5 所示。仅在 蚓c ( 一w 2 ) 的地方，才有只皓) = f ( 芋) ，而在这个范围之外只( 亭) 一f ( 亭) ，c ( 亭) 在 1 0 浙江大学硕：t 学位论文 - w 2 到2 的整个间隔上不再具有f ( ) 的形状。用低通滤波器还服，o ) 时都会失败。 如果选取还原滤波器的截止频率邑，( 只一w 2 ) ，则输出的频谱将包含只( 亭) 的形变部分， 而如果岳c w 2 ，输出将失去，o ) 中频率高于关的全部分量。这种情况称为混叠m 3 埘】。 一琏 一点0 蠡毡 ( a ) 一磕一皇0皇 2 皇 ( b ) 图2 - 5 当抽样间隔小于信号的频谱宽度对一个样本的频谱 混叠将导致输出的失真和其他不希望的特征。虽然理论上专门构造一个滤波器来还原 ，( x ) 是可行的，但这种滤波器的设计要预先知道f ( ) 。因此做一个复杂丽昂贵的滤波器去 还原一个已经知道的东西是没意义的。 2 2 2 频谱混叠对图像传感器的影响 光电图像传感器，如c c d ，c m o s 本身是二维离散像素点阵列，对图像的采集可以看 作是二维空间内抽样脉冲对图像信号进行抽样。f 如上节所提到的，当图像传感器欠采样 时，就会在图像重建时引入虚假的频谱响应( a l i a s i n g ) 。如图2 - 6 【5 】，由图像中心发出许多 的射线，在图像中心区域线与线之间的间隔很小，这里的图像空间频率高：在图像边缘， 线与线之间的间隔逐渐变大，图像空间频率变小。图像被图像传感器采集后，中心区域的 图像由于高频信号超过了传感器的奈奎斯特频率，在中心点附近出现了线条的形变，图像 边缘由于是低频信号，满足图像传感器的奈奎斯特条件，这里的图像没有变化。 对于实际的采样成像系统，混叠总是难以避免，主要原因是【6 l ：( 1 ) 大多数自然景物是非 周期性的，其频谱宽度为无限宽。( 2 ) 实际采样成像系统的采样频率不可能做到无限高。( 3 ) 理想的重构滤波器难以实现。当抽样频率超过系统的奈奎斯特极限频率时，在像感器上， 高频成分就被发射到基本频带中，造成所谓的纹波效应或莫尔条纹。在图像上反映出来的 频谱叠加会引起低频干扰条纹，直接影响光电成像器的成像清晰度和分辨能力。对于这样 的采样成像系统而言，为了彻底的防止混叠发生，信号的带宽必须小于奈奎斯特频率或者 浙江大学硕士学位论文 光学系统将信号的带宽限制在奈奎斯特频率以内。这是使用光电成像器件作为成像设备制 造者急于解决的问题。 2 3 光学传递函数 图2 - 6 图像欠采样造成的频谱混叠 图2 7 图像欠采样造成的伪彩色 2 3 1 空间频率 阿贝根据基尔霍夫衍积分理论研究了显微镜的成像过程，提出了著名的阿贝成像理论。 浙江大学硕士学位沦文 这个理论不仅阐明了几何光学中物像之间的关系，更重要的是它首次提出了频谱的概念。 1 9 0 6 年波尔特的试验不仅证明了阿贝的理论而进一步说明了物像之间对频谱的依赖关系。 1 9 4 6 杜弗在“傅立叶变换和它在光学中的应用”一书中，首次提出把傅立叶变换应用到光 学中的一般原理，这也是把通信理论引入光学系统的开端【”。 a b b e 和p o r t e r 所做的实验如图2 8 所示，用相干光源照明一张细丝网格。再成像透镜 的后焦面上出现周期性网格的傅立叶频谱，最后通过透镜的各个傅立叶分量在像平面上重 新组合，以复现网格的像。图2 9 左边是物体的频谱，右边的是对应的像。物的周期性结构 在焦平面上产生出一系列分立的频谱分量，焦平面上沿水平轴的亮点对应于物的水平指向 的复指数分量；沿垂直轴的亮点则对应于垂直指向的复指数分量。不在轴上的亮点对应于 在物平面上相应角度指向的分量。 图2 - 8a b b e p o r t e r 实验 图2 - 9网格频谱及其物体 光学系统的物像空间分布用频谱的概念来描述以后，使得光学系统能够和通讯系统一样 看成是一种信息传递系统。通讯系统传递的是时间性的信息；而光学系统传递的是空间性 的信息，例如光振幅，光强度的空间分布。电信号的时间频率的意义是十分熟悉的。光信 浙江大学硕士学位论文 号的空间频率是指光振幅或光强度在空问单位空间( 如单位长度) 内的周期性变化。基于 通过频域特性来描述系统的观点，光学系统与通讯系统一样，都可以用相同的数学方法来 描述各自的系统特性。因此，诈如一个电学网络可以用它的时间频率响应来表示它的特性。 一个光学系统可以用它的空间频率响应来表示它的特性。光学系统的空间频率响应特性就 是光学传递函数f 引。 2 3 2 光学传递函数的初步概论砸1 近代光学理论的发展，证明了光学系统可以有效地看作一个空间频率的滤波器，而它的 成像特性和像质评价则可以用物缘之间的频谱之比来表示。光学系统的这个频率对比特性 就是所谓的光学传递函数。 在光学传递函数的讨论中，先假定一个光强度按正弦分布的物，如图2 1 0 历示。因为 光强不能出现负值，所以这个正弦波被“抬高”了。用一个余弦函数来表示这个波形。 l 一l ，+ b o o s 2 , - 斫x ( 2 - 2 3 ) 式中l 是正弦物的平均强度( 光的平均强度) ；b 为正弦波的振幅，它表示交变光强度的大 小；，称为空间频率，它是正弦波空间周期p 的倒数，表示在单位空间长度内正弦物的周 期数，其单位取为：线对毫米。 图2 - 1 0 正弦物 为了表示_ i _ f 弦物的明暗反差程度，定义c 为正弦物的对比度 c ；生二血 ，瑚。+ ，而。 1 4 ( 2 2 4 ) 浙江大学硕十学位论文 对比度又u q 调制度。由图2 - 9 可以看出，一= ，。+ 6 ，。= i 。一b c；_b(2-25) ，。 此式表示对比度的物理意义是交变光强度与平均光强度之比，为了方便起见，常把光强度己 归一化为1 ，经过这样的简化后可以得到c = b ，由于6 不可能大于l ，因此总有cs 1 ，则 式( 2 2 3 ) 可以表示为 j)=1+ccos(2-26) 这样一个正弦物经光学系统成像后。如不考虑放大倍率的影响，则它仍是同频率的正弦光 强度分布。但是由于光学系统的衍射和像差的影响，使得像的对比度有所下降，即出现了 亮的部分变亮而暗的部分变亮。如果除去光学系统的光吸收和表面反射损失等因素，把像 的平均光强。归一化为1 ，由于像的振幅6 总是低于物的振幅b ，因此必然有c ge 。物 的对比度一般是固定的，不随物的空间频率，而改变。c 相对c 的下降程度取决于光学系 统的衍射和像差情况，对同一个光学系统来说，它又随空间频率的不同而变化。把像的对 比度和物的对比度之比定义为 t(，)-石cf(2-27) r ( f ) 是空间频率，的函数，它反映了光学系统传递各种频率正弦物调试度的能力，称为调 制传递函数，简称m t f ( m o d u l a t i o nt r a n s f e rf u n c t i o n ) 。m t f 的值在0 到1 之间。一般来 说m t f 值下降到0 。这意味着光学系统已不能通过高于这一频率的调试信号，这个频率称 为截止频率。 正弦物经过光学系统成像后，除了对比度下降外，还可能产生相位的移动。所谓的相位 移动，是指选定了参考坐标后，实际的正弦物已经不在理想的位置上，而是沿正弦像伸展 方向有了一个位移。这一位移用疗( ，) 表示。疗( ，) 反映了光学系统传递各种频率正弦信号时 的相位失真度，并称为相位传递函数，简称p s f ( p h a s e t r a n s f e r f u n c t i o n ) 。 综合调制传递函数和相位传递，可以看出式( 2 - - 2 6 ) 的正弦物经过光学系统后所成的像 应是 f ( x 1 ) 一1 + r ( ) c o s i z q x 一- o ( f ) l ( 2 - 2 8 ) 浙江大学硕十学位论文 图2 1 1 表示了上述的物像关系。频率，的正弦物( 对比度等于1 ) 经光学系统所成的正 弦物振幅衰减为t ( f ) 以及相位移动了口( ，) 。 l ( x ) ，扛) 鞭一- 。 _ 卜o f f ) 1 圈2 - 1 1 正9 玄物及其像 光学传递函数( o t f ) 是个空间频率的复函数，它的模就是调制传递函数( m t f ) ，而 相角就是相位传递函数( p s f ) 。若用h ( ，) 表示光学传递函数，则有 h ( f 、= t ( f ) e 8 7 ( 2 2 9 ) 上面的讨论是假定物像都是一维变化的，而实际光学系统的物像面上都是二维分布。如 果确定了正弦物分布的伸展方向，那么可以在某个确定方位进行一维处理。 2 3 3 成像系统的光学传递函数 光学成像系统，可以看成是信号的传递及转换系统。空间任意两个点源所发出扰动的合 成强度，取决于两列光波之间的可干度= 0 ，即为非相干情形，满足强度迭加；当完全 相干时“。：；1 ，则满足振幅叠加。当部分相干时o c “。：c 1 则是相互强度叠加。但不管如何， 可以把三种情形下的成像公式统一表示为【6 】 f o ，y ) 2 舻 ，y ；工，y ) o ，y ) 出d y ( 2 _ 3 0 ) 式中f 0 ，y ) o ( x ，y ) 对非相干分别表示像和物的强度分布，对相干情形表示振幅分布，而 对部分相干情形则表示相互强度分布。h ( x ，y ；j ，y ) 表示不同情形下的脉冲响应函数。 1 6 浙江大学烦十学位论文 对于一个光学系统，如果视场不大，满足远场条件且不存在像差时，对物平面上任何一 点所成的像，可以得到完全相同的复振幅分布，即脉冲响应函数并不随参考点1 1 2 ：1 的不同 而不问。它仅是相对坐标( x i - - x ，y 一y ) 的函数。所以在这种条件下的光学系统就是空间不变 线性系统，其成像公式由下式表示 晒，y ) 2 胪( x l 工，y l y ) 0 ，y ) d t d y ( 2 - 3 1 ) 当光学系统存在像差，视场较大或不满足远场条件时，物平面上不同的点，有不同的脉冲 函数。但是如果光学系统的像差名义上得到校正，像差随物点的不同，变化非常缓慢，以 致在一个范围中，它们的脉冲响应函数是相同的。这个小范围称为等晕区。 式( 2 - 3 1 ) 表示当光学系统在所述的假定条件下，其像分布函数等于物分布函数与脉冲 晌应函数的卷积，借助傅立叶变换方法，在频率域用简单的算术可以表示成像过程。 对于大多数的摄影，望远镜光学系统，都是非相干成像为主的。在非相干的情况下，光 学系统对光强度是线性的，即可以把光学系统所成的像看成是系统对无数个物点成像以后， 再由这些点像按光强度叠加的结果。这里的物点可以理解为无l i l i , 的亮点。它是一个二维6 函数，并作为光强度的单位脉冲函数，而像点在像面上形成的光强度分布p s f ( x , y ) 即点扩 散函数便是非相干成像系统的脉冲响应函数。对任意物所成的像，可用卷积表示，即 f o ，y ) 2f f p s f ( x 吖，y y ) o ( x ，y ) d x d y (