（应用数学专业论文）含交易费用及非负约束组合投资模型的计算方法研究.pdf

八饮 赴臼 比 ab s t r a c t t h e m o d e l o f p o rt f o l i o w h i c h m a r k o w i t z b r o u g h t f o r w a r d i s t h e b a s i s o f m o d e m i n v e s t m e n t t h e o ry t h e r e a r e a l o t o fr e s e a r c h r e s u l t s a b o u t t h e t h e o ry o f c o m b i n a t i o n s o f i n v e s t m e n t i n b o n d . t h i s p a p e r m a in l y i m p r o v e s o n ma r k o w it z m o d e l i n t r a n s a c t i o n c o s t a n d n o n n e g a t i v e r e s t r i c t i o n . wh a t s m o r e , t h i s p a p e r t a l k s a b o u t c o m p u t a t i o n a l m e t h o d o f i m p r o v e d m o d e l a n d i n t r o d u c e s t w o m a i n m e t h o d s . t h e fi r s t m e t h o d a d o p t s m u l t i p l e o b j e c t i v e s p r o g r a m m i n g a n d n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g , a n d t h e s e c o n d m e t h o d a d o p t s s im p l e x m e t h o d a f t e r c o n v e rt i n g t h e n e w m o d e l i n t o a l i n e a r p r o g r a m m i n g p r o b l e m . k e y w o r d s : p o r t f o l i o t r a n s a c t i o n c o s t l i n e a r w e ig h t e d p l u s m e t h o d l i n e a r p r o g r a mming 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、 保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 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资本收入是指各个风险资产的随机收益， 亦即 期末价格与期 初价格之差. 投资者将在这个无风险资产 和这n 个风险 资产之间分 配其财富. 首先，将以下用到的符号给出说明. t8 边 际 资 本 收 入 税 率 ; to : 边 际 基 本 收 入 税 率; 试 : 风险 资 产i 的 红 利 率( 等 于 期 末红 利 收 入 除以 期 初 价 格 ) ， i = 1 么 一 ，n ; r, : 风 险资 产i 的 随 机 收 益 率( 等 于 期 末 价 格 除以 期 初 价 格 ) ，i 二 1 ,2 ,.二 ， n ; e ( r ) : 风险资产i 的 期望收益率，i = 1 , 2 . . . . . n ; “ : 无 风 险 资 产 的 收 益 率: o ,j : r, 与r, 的 协 方 差c o v (r r ; ) , i = 1 ,2 ,. n ; 气 :单 位 风险 资 产i 的 交 易费 用 ，k , 0 , i = 1 ,2 ,.一 ， n ; x , :将 投 资 在 风 险 资 产i ( i = 1 ,2 . n ) 或 无 风 险资 产( f = n + l ) 上的 投 资比 例: 第一章 绪论 0 x , :已 投 资 在 风险 资 产i ( i = 1 ,2 . n ) 或无 风 险资 产(i = n 十 1) 上的 投资 比例. 于 是投资 组合x = ( x . . . . ., x, x a . , ) 的总资 本收 入是 总基本收入是 艺d ,x , + r , ,x , , 风险资产i 的交易费是c ; ， 是新旧投资组合x = ( x. . . , x, x + , )与 x = ( x ; , ., x . o ,x . ,o ) 之 差 的 v 型 函 数 ， c , =k , i x , 一 x , =1 , 2 , . . . . n 因而总的交易费是 客 c, _ 郭x,一 ui .x , 所以，投资组合的扣除税收和交易费后的净收益是 (1 一 t8 ) 艺 r x , + ( 1 一 to)艺 d , x , + .+,x.+,-一 、 ， 二 ,_1 一 、 )。 + (i一 、 )d, x, + (1一 、 a +,x.+,，一 客 k, i.,一 二 客 、 + “ 十x + !一 客 “ 卜 一 、 ， ， 其中， 第一章 绪论 r , = ( 1 一 ) r , + ( 1 一 t o ) d , ，i = 1 , 2 . . . . . . n 是风险资产i ( i = 1 , 2 , . 二 ，. , n ) 的税 后收益率， 凡+ . = ( 1 一 t . x. , 是无风险资产的 税后收益率. 投资组合的扣除税收 和交易费 后的期望净收益是: 其中 9 (x ，= nilg (x )_ 尺 、 一 n 、 卜 一 、 。卜 r , = e ( r ,) = (1 一 tg ) e ( r, ) + ( i 一 to ) d i 是风险资产i ( i = 1 , 2 . . . . n ) 的期望 税后收益率. 资 产组合的 扣除税收和交易费后 的净收益的方差是 f (x ) 一 全 全 c o v (r a )x ;x , , = 1 j - 1 = ( 1 一 ， : ) 艺艺c o v ( r ; , r , ) x ; x j i = 1 , = i = (i 一 t s ) 2 艺艺a , x , x , 卜 li 习 投 资 者 期 望 在 最 大 化 期 望 收 益g ( x ) 的 同 时 ， 最 小 化由 方 差a x ) 度 量 的 风 险 . 数学上， 最优 投资组 合选择问 题可 表示为如下的 双目 标规划问 题1 4 1 第一章 绪论 g ( x ) = 艺r x , - 一 x r i (i) f (x ) 一 ( 1 一 s ) z a n x x i e气= 1 x , z 0 , i = 1 , - 二 ， n + l， 其中 第一 个约束表示资金全部分配到风险资产和无风险资产上， 另一个约束条 件表示禁止 卖空 风险资 产和借贷 无风险资 产. 注意，模型 ( 1 ) 是非线性的. 关于双目标或更一般的多目标规划的理论和方法 已经有很多的研究，也有 很多 很好很实用的 算法. 满 足( i ) 的两个约束条 件的投资组合x ， 称为是 有效的 ， 如果它是( i ) 的p a r e t o 有效解，即不存在 其他可行投资组合有较大收益而风险 不增，或者风险下降而收益不减. 用数学语言表示就是，不存在x使得 g ( x ) z g ( x ) 和 f ( x ) s f ( x ) ，且二者至少 有一个为严格不等式. 有效投资 组 合的 全体在(f, g ) 下的像 集称为有效前沿. 第二章双目标规划问月一模型 ( 1 )的求解 第二章双目 标规划问题模型 (1 )的求解 本章讨 论双目 标规划问 题模型( i ) 的求解. 该问 题求解的基 本思路 是: 一 首先将多目 标规划转化成单目标规划问题; 二. 对上 述单目 标问 题继续求 解，可 采取的 做法有: 1 .直接采用非线性规划的数值方法去求解: 2 .将上 述非线 性的 单目 标规 划问题 转化成线性规划问 题后求解. 本章将介绍多目 标规划的基本理论，并采用常用的线性加权和法将模型 ( i )转化成单目 标非线性规划模型. 第一节 多目 标规划理论简介5 2 . 1 . 1 多目 标规 划模型 的一 般形式 由于求最大都可以转化为求最小，所以多目标最优化问题的一般形式可以 设定为: m ini (f ,(x ),.f2 (x ),.,f , (x )t , p ， x “ d c e ( p ) i s i . s , ( x ) 0 , 一 ,2 ; ,* , m l h , ( x ) = 0 , .1 = 1 ,2 ,. . ,1 . 对于多目 标规 划问 题 ( p ) , v x , x z e dc e ，以下的向 量值函数: f (x i) = (f (x l f z(x l .,f v (x ) , f (x 2) = (r (x i i f ,(x ii .,f , (x i ) 都是p 维向 量. 如何比 较两个向 量的大小? 可引入序的概念，不同的 序得到不同 的解的概念. 2 . 1 . 2 向量集的优化问题 第二章双目标规划问题一模型 ( 1 )的求解 2 . 1 . 2 . 1 坐标序的概念 设 a = ( aa 2 . . ,a , ) t , b = (b , , b . . . . b ) t ， 规定 a b 4 *a , 瓦 ， i = 1 , 2 , . 二 ， n a b t a a , 瓦 ，i = 1 , 2 , - - - , n ; a=b 4 a a , =b i =1 , 2 , - - - , n; a _ b 。a , :5 b , , i = 1 ,2 ,. . .,n ， 且 至 少 存 在 一 个1 5 io 5 n , 使a . 气 2 . 1 . 2 . 2绝 对最优点、 有效点和弱有效点 定 义2 . 1 设d c e ,x s d ， 如 果 对 一 切x e d ， 总 有x 飞x， 则 说x 是 绝对最优点. 定义2 . 2 设dce , x 0 d， 如果不存在xe d， 使x x 0 ， 称x 。 是d的 弱有效点; 对于x e d，若不存 在xe d， 使x_ x ，称x ， 是d的 有效点. 2 . 1 . 3 有效解与弱有效解 把f ( x ) 视为由dce ” 至f ( d ) c e 0 的 映射， 则多目 标规划问 题的最优值实 际上就是集 合f ( d ) 的 最优点，这些最 优点 在d中的 原象就是( p ) 的最 优解. 定 义2 . 3 设 x d， 若 对v xe d ， 总 有f ( x ) a x ) , 则 称x 为( p ) 的 绝对最优解. 定义2 . 4 设x d，若不 存在xe d， 使得f ( x ) _ 0 , i = 1 , 2 , - , n 十 1 ， 其中9 ( x ) 的. ，al和a : 的表达式已 在 前面给出. 注意， 模型 ( i i ) 是非 线性 日x 11价v f 8 0模型 ( 1 1 )可以 作为非线性规划问 题， 直接采用非线性规划方法求解 . 在第 三章我们将继续讨论此问 题. 另外， 也可以 将模型 ( n) 先转化为二次 规划 问题，然后再通过拉格朗日 乘数法将其转化为线性规划问 题用线性规划的 单纯 性法求解，关于这方面的讨论详见第四章. 第三章 模型 ( i f )的非线性规划求解方法 第三章模型 c ii)的非线性规划求解方法 在第二章中，我们已 经讨论过采用线性加权和法将双目 标的模型 ( i )转 化为单目 标的 模型( n ) 在 此过程中， 为了 求权系数a , 和a 2 ， 我们需要对目 标 函 数 g ( x ) 和a x ) 分 别 通 过 最 大 化 和 最 小 化 求 其 最 优 解x (l) 和x (2 ) . 考 虑 到 这 两 个目 标函数的非线性特点，我们可以 有多 个非线性规划的求解方法供选择. 但由 于解析法需要求导数，对目 标函数的性质有较高的要求，所以选取直接解法会 更实用，因为直接寻优法不需要求导数，只需求函数值. 而在众多的直接寻优方 法中，大量实践表明单纯形加速法的算法简单、易于掌握且具有较好的稳定性 和收敛性，计算精度也容易控制，故本文在研究中决定选取非线性规划中的单 纯 形 加 速 法 来 求 a x ) 和a x ) 的 最 优 解 不仅如此，对于单目 标模型 ( i i ) ，我们认为也可以用上述的单纯形寻优法 求解. 由于本文多次用到单纯形寻优法，因而在下面我们将对此方法作简要介绍. 但是，非线性规划的单纯形寻优法是针对无约束最优化问题的一种求解方 法 ， 而 对 于以 g () 和了 ( 才 ) 为目 标函 数 的 优 化 问 题 都 是 有 约 束 优 化问 题， 并 且 模 型 ( n)也是有约束的优化问题，所以我们必须首先将它们转化为无约束优化 问题，再运用单纯形法求解. 本文选择了罚函数法将有约束问题化为无约束问 题. 第一节 采用罚函数法中的外点法化有约束问题为无约束问题 3 . 1 . 1 罚函数法与外点法 假设有如下等式约束最优化问题 a x ) g k ( x ) = o ， k = 1 ,2 , . - . , m x edc e 呻sj. 第三章 模型 ( 1 1 )的非线性规划求解方法 以下是将其化为无约束问题的罚函数法的基本思想. 根据 ( c ) ，我们构造一个新的目标函数 f (x , p ) 一 f (x ) + l p k g k (x ) ， ( 1 ) 其 中 p t 是 为 第 k 个 等 式 约 束 指 定 的 常 数 ， 称 为 罚 因 子 ， p = 伍. p 2 , . , p . ) 则 是 由 m个罚因子组成的向量. 式 ( 1 )中的函数称为罚函数，它已经是一个无约束的 优化问题. 于是， 可以 采用求无约束问题的直接法 ( 如单纯形寻优法等) 对f求 其最小解及最小值. 在允许的精度下，可以将f的最小解作为t 的最小解. f由 两 部分组成: 第1 项是原目 标函 数厂 ， 第2 项是与 约束 有关的 项称为 “ 惩 罚 项 ” . 当 约 束 条 件 不 满 足 时 ， 因 为 s 2 ( x ) 为 正 值 ， 所 以 p k 取 值 越 大 ， f 的 值 也 越 大 ， 故 当 约 束 不 满 足 时 就 形 成 一 种 惩 罚 . 反 之 ， 当 约 束 条 件 满 足 时 ， 8 k ( 为0 ， 此时 无论p k 取 值多 么大，f 总是与f 取同 一 值， 也 就是说， 约束条件满 足时不受惩罚，由此可以看出罚因子及罚函数的作用. 上面的罚函数法是针对等式约束的，如果是不等式约束，我们可以采用下 面介绍的外点法，它也属于罚函数法. 今假设有不等式约束问题 ( d ) 对于问题 ( d ) . a x ) g k ( x ) _ 0 ，k = 1 ,2 , . - - , m . 我们可以采用罚函数法中的外点法将其化为无约束问题. 在外点法中，相应的罚函数为 t (x , m k ) = f ( x ) + m k i (m m (0 , s (x )y， ( 2) 第三章 模型 ( 1 1 )的非线性规划求解方法 其 中 0 m , m 2 . . . m k m k , , 一 且 魏从= 惩 罚 项 中 m in (0 , g , (x ) = g , (x ) 一 g , (x ) 2 = j g ,(x ) l 0 g , w _ 0 , i =1 , 2 , - - - m 对 罚 函 数 ， 也 即目 标 函 数t ( x , 从) ， 我 们 是 在 无 约 束 条 件 下 求 其 极 小 值 和 极小点. 显然，其结果将因给定的罚因子m k 的 值而异 我们可以把罚函数 t ( x , m ,. ) 无 约 束 极 小 值问 题 的 最 优 解x k = x ( m k ) 看 作 是 以 从为 参 数的 一 条 轨 迹 当 取 0 m , m 2 . m k 0 ， 令计算次 数k = 1 . ( 2 ) 求以 下 无 约 束 条 件 极 值问 题 的 最 优 解x k = x 帆 ) t (x k,m k)= m in i (x ,m k)= ， if (x )+ m ,i (m m * (o,g ,(x ),_i ( 3 )检验是否满足判别式 一 9 , ( x k ) 5 s， i =1 , 2 , . . . m. 若满 足判别 式， 则得 到原 条件极 值问 题的 最 优 解x .: 否则， 取m k * i 从 ( 例 如取从+ ， = a m k ，0 二 4 或5 ， 且 令k = k + 1 ， 转到步 骤 ( 2 ) . 第三章 模型 ( 1 1 )的非线性规划求解方法 3 . 1 . 2化约束优化模型 ( i i )为无约束优化模型 ( i i i ) 在2 . 2 中我们已经建立了模型 ( n): (ii) u ( x ) = a ,g ( x ) 一 。 ax y x , = 1 戈2 0 , i = 1 , 2 , . . . , n + 1 ， 运用上面介绍的罚函数外点法，我们很容易将该模型由有约束问题转化为无约 束问 题，从而得到下面的模型 ( m). 不过， 应当 注意前面介绍的外点法是相应 于求极小问题的，而模型 ( n)是对目 标函数求极大的，对其取负号便化为求 极小. (iii ) m in t (x ,m ,)= -u(x )+ m k;y x,一 i + 客 m in(0, x, )f 其 中 ， u ( x ) = a , g ( x ) - a , f ( x ) . 对 于 模 型( ii i ) 我 们 将 采 用 下 述 的 非 线 性 规 划 单纯形寻优法求其最优解. 当然，这个求解过程是一个迭代过程，其迭代算法前 面已经给出了 ( 请见外点法的迭代算法). 第二节 非线性规划单纯形寻优法和模型 ( m)的求解 3 . 2 . 1 非线性规划单纯形法简介6 在e ” 中的单纯形是指具有n + l 个顶点的多面体 若各个棱长彼此相等，则 称为正规单纯形. 设 在n 维空 间中 给出 点x 0 = ( 才 ， 对 ， ， 对 ) t ， 构 成 一 个 棱长 为a 的 正 规单 纯 形， 使x 。 为其一个顶点， 令p 甲 n + 下 + n 一 1 = -n r2- 一 一 口， 9= 廿 n + 1 一 1 n , r 2 a ，其余n 个顶点 第三章 模型 ( 1 1 )的非线性规划求解方法 x t = ( 对， 对 ， , x ) 7 , ( k = 1 ,2 , . , n ) 按 如 下 方 式 构 造: 才= 对+ q , ( i m k );对= 对+ p , 容易证明x , x , . . . , x ” 构成一个棱长为a 的正规单纯形. 单纯形寻优法的迭代步骤: 1 .给定初始点x 0 ， 构造初始单纯形. 设其顶点分别为x , xz ; , x ， 给定 允许误差 。 ， 计算f = f ( x ) , ( i = 0 , 1 . . . , n ) ， 令 f = f ( x ) = m in 认 x 0 ) , f ( x ) , . ., f (x ) i f n 一 f ( x n ) = m a x f (x o ) , f ( x ) , . . ., f ( x ) , 称x 和x n 分别为单纯形的最好点和最坏点. 若把最坏点x n 去掉， 则剩下的n 个 顶点x o , x l , . . j n - 1 ， x n + i , . , x ” 构成n - 1 维空间中的单纯形，它的中心是 x f = 与 全 x 一 x n ) n ti 舀 西 2 .反射:以xf 为中心， 将xn 反射为x x = x f + a ( x f 一 x n ) ， 其中“ 0 是反射系数， 通常取a = 1 ， 因为x n 是最坏点， 通过这一反射， 一般会 有 f ( x , ) f ( x h ) ( 3 . 4 ) 即反射点比原单纯形的最坏点更坏，则舍弃x ， 对向量xh - xf 进行压缩，得 x = x f + ,8 ( x 一 x f ) , 其中f t e ( 0 , 1 ) 是压缩系数， 通常取刀= 0 .5 . 第二种情况， 若 ( 3 . 4 ) 式不成立， 则对向 量x 一 xf 进行压缩，得 x 二 x f + ,6 ( x 一 x f ) . 压缩后还要判断压缩点x 是否比原单纯形的最坏点x h 还坏，即下式是否成立 f ( x ) f ( x h ) 若成立， 则舍弃压缩点x ， 转5 ;否则， 要以x 替换x “ 构成新的 单纯形，转 6 . 5 .减小棱长:将原来单纯形的最好点x 保持不动，其他的顶点向x 压缩 一半的距离，即 x = 告 (x + x ) , i = 0 ,1,2 ，一 这样得到新的单纯形，其棱长为原单纯形棱长的一半， 转6 . 6 .判别 肠 e rs (x ),-0 一 f (x f小 第三章 模型 ( n )的非线性规划求解方法 是否成立. 若成立，则停止，得x = x :否则返回1 . 单纯形 法对于不可微函 数ax ) 或者 对于函数 值靠实验方法才能 得到的函 数是很有用的，不过当变量个数较多时，效果不是很好. 但是，由于我们所面对 的组合投资模型一般情况下变量个数不会太多， 所以采用此方法是比较适宜的. 3 . 2 . 2 关于模型 ( i i 工 )的求解 由于对模型 ( m)的求解过程是一个迭代过程，而且在每一次迭代都会调 用非线性规划的单纯形寻优法，所以如果处理不好，可能会使迭代时间很长. 在 实际应用中，应该注意以下几个问题. 1 . 在外点法中， 允许误差e 开始可以给的稍大些， 例如0 . 1 . 也就是说， 开始 误差大些，可以使迭代过程较快完成，然后对所得到的结果进行初步分析. 如果 结果相差很远，甚至背离了 预期的走势，则说明 上述处理中 存在较大问 题， 应 首先把问 题查找出来一 般说来，可能的问 题是:模型中是否有人为造成的本不 该有的问题; 算法是否有参数给错的问题等等. 如果初步的迭代结果是比较接近 预期的，只是精度不够，此时可以将e 给得更小些，重新进行迭代计算. 如此反 复，可望最终得到比较理想的结果. 2 . 关于单纯形初始点的给出. 如果我们对投资组合有一个初步设想，即开始 时我们有一个资金的大致分配，只是不知道这种分配是否是最优的，则可以将 此初步设想， 也就是这个初步的分配方案作为单纯形的初始点. 如果我们并没有 这样一个初始的资金分配方案，一个简单的办法就是采用随机数来生成初始点， 并且这种方法非常容易由计算机自 动生成. 当然这样得到的初始点可能不很理 想，但毕竟是一种解决办法. 第四章 模型 ( n )的线性规划求解方法 第四章模型 ( ii)的线性规划算法 第一节 模型的重建 在2 . 2 中我们已经建立了模型 ( n): (ii) u (x ) = a ,g ( x ) 一 a j ( x ) = a,y r, 一 j klx,_, 一 、 一 a 2 (1 一 ts ) z e 艺 a y x ,x j j 司 , _ 1 i x , 二 1 为_ 0 , i = 1 ,2 , . - . , n + 1 ， ( 4 . 1 ) 以下利用问 题( 4 . 1 ) 导出选择有效投资组合的一个二次规划模型和一个线性 规划算法. 1 .引 入新变量建立二次规划模型 _ 考虑问 题( 4 . 2 ) u(x )= a ,卧 一 一 a 2 ( 1 一 t g ) 2 yya , x ; x , , s 1 , _ , k ,l、 一 x; l 5 x .2 ( 4 . 2 ) 一一 气 1-1树艺j-l x ; 2 0 , i = 1 , 2 , - - - , n + 1 ， 第四章 模型 ( q )的线性规划求解方法 定理4 . 1 投资 组合( x , * , . . ., x . i * ) 是问 题( 4 . 1 ) 的 一 个最 优解，当 且仅当 存在 x . . 2 使( x ，” .， 气 +， x . + 2 ) 是问 题( 4 . 2 ) 的 一 个 最 优 解 . 注:证明见 4 . 令 = ix, - x,oi+ (x, - x,0)d, - 2 ，试 一 _ ix; - x0i- (x, - x)2 ， + 试 一卜 一 x ,， 卜 d , + 一 d ;- = x , 一0 x , 试 十 试 一 = 0 ， 试 + _ 0 , 试 一 _ 0 . 问题( 4 . 2 ) 等价于如下可微优化问题( 4 . 3 ) u ( x ) = a , y r ,x , 一 2 一 。 , ( i 一 i g ) 2 e e 0 n x ,x , 召 一 j _ 1 艺气 (d，+ d，- ) “十 2 ( 4 . 3 ) x , = 1 一 d ; = x ， 一 x ,0 , i = l , . . . , n t-l相艺，-l刃 才盯= 0 , i = 1 , - - , n d ; 2 0 , d , - 0 , i = 1 , 二 ，, n x , 2 0 , i =1 , 2 , . . . , n + 2. 第四章 模型 ( ii )的线性规划求解方法 定理4 . 2投资 组合 ( x i * 9 .9 x , 1 2 ) 是( 4 . 2 ) 的 一 个最 优解， 当 且仅当 存在 d , . . , d .* , d . , . . . , d . , 使得 ( x , ， 二 ， 凡 , xt l ， 礼 +z ， 可 ， ， 心 ， dl- ， ， 心 ) 是问题( 4 . 3 ) 的一个最优解. 删去( 4 . 3 ) 的互补性条件 试 + 试 一 o , i = 1 ,2 , . . . , n ， 得到如下仅带线性约束的优化问题( 4 . 4 ) m a x u ( x) = a ,r , x , 一 、 十2 川艺汽 一 a 2 ( 1 一 t s ) 2 g a v x +x / 1 - i ) _ i s i . 艺k , ( d , + d , ) 5 x + 2 ( 4 . 4 ) y-气 = 1 d ; 一 d ; = x , 一 x ,0 , i = 1 , - 二 ， ” 可_ 0 , 盯_ o , i = 1 , - 二 ， ” x ; 2 o , i = 1 , - 二 ， n 十 2 定 理4 . 3令 ( x l * x+ 2 sd，+ ， ， 心 ， ， ， 心 ) 是 ( 4 . 4 ) 的 一 个 最 优 解 ， 则( x , - , ., x : * 2 , 矛， ， 刃， 矛， ， 毋) 是 ( 4 . 3 ) 的 一 个 最 优 解 ， 其 中 一 d , ， 若 d , . “ 0 若 d z _ d ; 。 第四章 模型 ( n )的线性规划求解方法 d , - d ， 若 d ; 2 d , 。 0 ，若 d，+ 0， 一 d，- 若 d ; . d ; = 。 ， ( = 1 ,2 , - 二 ， . 、11，夕 可d，- 2召.吸、 一一 、.1sej 刃d，- 证明因为 ( 4 . 3 )和( 4 . 4 ) 的目 标函数相同且他们在这两点的函数值相同，又 因为( 4 . 3 ) 的任意可行解亦是( 4 . 4 ) 的可行解，为证明定理的结论，只需证明 ( x i . . x n + z . d 云， 矛， ，jn-) 是 ( 4 . 3 ) 的 可 行 解 . 在 该 点 处 ， ( 4 . 3 ) 的 第 二 至 第 六 个 约 束 条 件 被 满 足 ， 这 可 由 矛和矛( 1 = 1 , . . . , n ) 的 表 达 式 及 ( x , * , ., x - , , 矛， ， 云， 云， ， 云) 关 于 ( 4 . 4 ) 的 可 行 性 直 接 验 证 ， 而 由 d , 一 d ,- “ 。 d , 几d ; * 0 d，+ + ，若 d，+ . d，- 二 0 j十记!、 = d，- + 可 全 、 (毋 十 试 一 ) 文 k , (d ; 十 d , . ) :!:- x n,z ， 可证得( 4 . 3 ) 的第一个约束条件被满足. 第二节 线性规划算法 问题( 4 . 4 ) 是一个二次规划问题， 下面利用一个基于单纯形法的计算程序求 ( 4 . 4 )的最优解. 问题( 4 . 4 ) 的l a g r ang e 函数为 l ( x , d , d 一 . n , 1 x 2 . r a . u . v . w ) 第四章模型 ( n )的线性规划求解方法 月 十1月月 = a , y r ,x , 一 x . 2 一 a 2 ( 1 一 ， s ) 2 艺艺 q x ,x , 一 t , ( 艺 k , ( d , + d ,- ) 一 x * 2 ) , _ , , _ , 口+ 1月+2 + 艺 r 2 i 一 刃+ x ， 一0 x , 卜)r , ( 艺 x , 一 1 ) + 艺u ,x , 十 艺 v ,d ,+ + 艺w , d ,- 口 _i 其中 ; r , ? 0 , t 2 = ( ff 2 1 , - . , t 2 . ) , 才 3 _ 0 , u = ( u l , . . . i u n + 2 ) _ 0 , y = ( v , . . . , y . ) z 0 , w，( wl， ， 叭) 之 0 均为拉格朗日乘子. 二次规划问9( 4 . 4 ) 的最优解的 k u h n - t u c k e r 型充要条件为 = a ,r , 一 2 a 2 ( 1 一 t s ) 2 艺 a , x , + ;r 2 , + ;r, + u , = 0 , i = 1 , - -, n = a , r, + 2 r , + u+ , = 0 况-电沉 = - a , + 1 r , + u+ 2 =0 ， = - ) r , k , 一 1 r 2 ; + v , = 0 , i = 1 , 2 ， 二 、 n 鲡竺蝙竺衅 豢= - ,k, + )r2, + w ,一 0, i = 1 , 2 , . - . , n = - y k , (d ,+ + 试 一 ) 一 x + 2 1 : 。 ，