（应用数学专业论文）几类非线性微分方程边值问题的可解性.pdf

曲阜师范i 、学硕士学位论文 几类非线性微分方程边值问题的可解性 摘要 在本文中，我们主要应用非线性泛函分析中的半序理论，锥拉伸与锥压缩不动 点理论，对一些非线性边值问题进行讨论，全文共分为五章 第一章是本文的绪论部分主要介绍了本文的研究课题 第二章主要考虑p l a p l a c i a n 算子型奇异边值问题 i ( 曲p ( ) ) + q ( t ) ，( t ，“) = ot ( o ，1 ) 【。嘛如( u ，( ) ) 2t z ( 1 ) + 洲。蟀如( “m ) ) ) = o 其中屯( s ) = i s r 2 s ，p 1 在让= o ，= o ，1 可以有奇性 在如下条件下： ( 日1 ) q r ( o ，1 ) ，且在( o i ：。匕，q o ，且詹幽( q ( ，) 办) 也+ 以西( 口) ( 一口( r ) 打) d s o ，对n = 3 ，4 ， q ( t ) ，。，u ) + 曲p ( ( ) ) 7 o ( t ，钍) ；，1 ) o o ) ( o ，；) o “ 叫) 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 风) 对每个n = 3 ，4 ，存在一个函数列尻c o ，1 】nc 1 ( o ，1 ) ，九( 风，) c 1 【o ，1 。骢( 成( ) ) 曼o ，目( 。蚌( 成( t ) ) ) + 风( 1 ) 风 在 o ，l 】上风( ) 风； v t 砉，1 ) ，g ( ) ，( ，风( t ) ) + ( 咖雕( t ) ) o v t ( o ，i 】，口( ) ，( i 二& ( ) ) + ( 如成( ) ) o f 风) s u p n l a x 挺h l 魔( ) i n = 3 4 ， o ，p ，6 芝o ，c ( o ，。) ) ，o ( ) 在 o ，； 上有可数个奇性点在条件 ( h ) 存在数列他) 罂l ，使得l + l “，( i ) ，t l ，l i l 。o 。屯= t o l i i n _ 。n ( ) = + 。vi = 1 ，2 ， 。 z 1 如) 幽 + 。o ( 3 驯 并且在 o ，1 的任何子区间上n ( ) 不恒为零得出主要结果 曲阜师范大学硕士学位论文 定理3 2 2 假设条件( h ) 满足，存在 他) 膣。，使得肌+ t ，z ) ，自 1 ，2 ，令 兄k ) 芒，和 “ 芒l ，滴足 r h l 肌r ( 惫) r ( 疗j a 1 “ 风，南= l ，2 其中a 1 ( 兰，+ o 。) 对任意的自然数k ，假定f 满足； ( 日1 ) ，( z ) ( a l r 七) 一1 ，vz 【p k r k ，r k 】， ( ) ，( z ) ( a ：z k p 一1 ，v z 【o ，r 女】，其中o o ，债o ( i = 1 ，2 ) m o6 i o ( i = 1 ，2 ) ，9 c ( 【o ，1 + 【o ，o ( 】+ 【o ，。( ) ， o ，。( ) ) 在如下条件成立时： ( h ) 若石( ) ，( ) ，那么z ( ) + ( ) ( ( | | 茁| | + l l l i ) ( ，1 ( 】其 中( ( o ，；) 是常数得出主要结果： 定理4 2 1 假设存在两个不同的正常数a 和即，使得 x ，( ，z ( ) ，口( ) ) s 加( m 1 a ) ，o t 1 ，o 冬z ，s 芸， ( 4 2 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 并且 或 鲋，球) ，巾) ) 州m 2 玑o 1 ，o 删s ；， ( 4 2 2 ) ，( t ，z ( ) ，掣( ) ) 如( f 叩) ， 占三三：sl 一护，挣叼z + s 町，( 42 3 ) 雪( t ，。( t ) ，封( t ) ) 2 曲p ( f 7 7 ) ， 扫茎墨l 一日，扫叩z + gs 叼，( 4 2 4 ) 成立 那么边值问题至少存在一个正解而且介于a 和卵之间 定理4 3 1 假设存在a o ，使( 42 1 ) ( 4 2 2 ) 成立，且满足下列条件： ( 风) 如( ) l j 5 p ( ；) ，当日st 茎( 1 一日) ，或者9 0 ( z ) 如( ；) ，当 日s s ( 1 一口) ， ( 月j ) ，o 。( t ) ，( 5 ) ，当日茎fs ( 1 一口) ，或者9 。i t ) 咖，( ；) ，当 口st ( 1 一口) ，之一。成立， 则边值问题( 4 1 1 ) 一( 4l ，2 ) 存在两个解 定理4 3 2 假设存在 o ，使得( 4 2 3 ) ( 4 24 ) 之一成立，且满足下列条 件： ( 1 ) 矗( t ) 墨如( m 1 ) ，o 冬。l ，驹( ) 奶( m 2 ) ，o 茎冬1 ( h 4 ) ，o 。( ) 西p ( m 1 ) ，os s1 ，g ( ) 墨曲p ( m 2 ) ，o 1 则存在两个正解( z 1 ，g - ) ，( z 2 ，2 ) ，使得1 | ( z ，1 ) q i l ( z 2 ，g z ) m 第五章本文考虑二阶奇异边值问题 ：五i ! 荔：，盂，! 。：i ；：。，：。 曲阜师范大学硕士学位沦文 其中o ，7 o ，p ，6 o ，p ：= 卢7 + 0 7 + 巧 o ，( t ，? 上) c ( o ，) ， o ，) ) ( h ) 在= o ，1 可以有奇性得出主要结果如下： 定理5 2 1 假设存在两个不匝酶正常数a 和卵，使得 ( 1 )，( ，札) 冬m ao fs1 ，o u 茎a ， ( 2 )，( z ，札) 2 叼口l 一日，肋曼s7 7 那么边值问题( 5 1 1 ) 至少存在一个解u ( t ) 介于a 和q 之间 定理5 3 1 假设存在a o ，使得条件( 1 ) 成立，且满足下列条件 ， ，0 ( t ) ；，口茎l d ；k ( ) ；，口茎f 1 一目， ( 5 3 1 ) 那么问题( 5 1 1 ) 至少存在两个正解“z 2 满足o | i li | a o ，使得条件( 7 功) 成立，且满足条件 ，o ( z ) sm ，o ts1 ，o 。( ) 茎”z ， o l ， ( 5 ，3 2 ) 那么边值问题( 5 1 1 ) 至少存在两个解u 1 ，u 2 ，使得o i f “1 f i 叮 | | “2 - 定理5 3 3 假设条件( 1 ) ，( 凰) 成立，且存在常数o a 垃使得条件 ( 1 ) 对于a = a 2 ( a = a ，) 成立，条件( 2 ) 对于叩= a l ( q = a 2 ) 成立，那么边 值问题( 5 1 1 ) 至少存在三个正解“z 2 ，“3 ，满足o 】| | a l 2 | | a 2 3 m 定理5 3 4 令n = 2 自+ 1 ，k ，假设( ，1 ) ，( 仍) 成立，并存在常数 o a 1 a 2 a 。i ，使条件i 7 2 2 ) ( ( 1 ) ) 对于a 2 。一l ，1 is 女成立，条件 ( 九。) ( ( 2 ) ) 对于a 2 ：，1 茎i 成立，那么边值问题( 511 ) 至少存在n 个正解 “】，乱2 ，u 。，满足o j | “1 lj a 】 j l u 2 j i a 2 j j “。一】j | a 。一】 j u 。j j 定理5 3 5 令n = 2 七，假设( 5 3 1 ) ，( 5 32 ) 成立，并存在常数 o a l a 2 a 。一l ，使条件( 1 ) ( ( 7 2 ) ) 对于a 2 f _ 1 ，1si m 成立，条件 ( 2 ) ( ( h 1 ) ) 对于a 2 。1 i5 成立，那么边值问题( 5 1 1 ) 至少存在个札正解 u l ，“2 ，“。，满足o i l 1 | | a | | u 2 | 1 a 2 | | t 。一1 | | o ，a n d 舒九( 抒q ( r ) 咖) d s + 月呶g ) ( 层q ( r ) 咖) 如 o ，23 ，4 口仲，让) + 姒n 协) ) ， o m 【： v n 1 1 o 。( f ，哪( 0 ，；) 。 味 ( 玩) f o ra l l 礼= 3 ，4 ，t n e r ee x i s t sas e q u e n c l0 f 如n c “o 矾 风) c 【o ，l in c l ( o ，1 ) ，如( 风，) c 1 o ， l i 碘如( 成( t ) ) o ，甜1 i 罂如( 成( ) ) ) + 风( 1 ) 芝舰 z _ 0 + 。 _ i 缸i o ，1 1 芦。( t ) 脚； 、以【，1 ) ，q ( t ) ，0 ，p 。( ) ) + ( 母p 卢：( ) ) 7 曼o ， v ( o ，瓢g ( f ) ，( ：，岛( ) ) + ( 庐，俄( t ) ) 如 ( 风)s u p m a x 风( ) 1 n = 3 ，4 ， o ， p ，6 o ，c ( 1 0 、o o ) ) ，f a n do ( 亡) h a v ei n 矗n i t e l ys i n g l l l a r i t i e s ，v f o ，扎w pa s s l l m pt l l a l ： ( h ) j 如 墨l ，s 札i s 矗e st 。+ l t 。，“) ，l ；，l i m h 。c t z = f + o - l i m t _ + 。( t ) = + o 。，vi = 1 ，2 ，一， o n ( s ) 出 + o 。 ( 3 2 o ) 、0 a n di ne v e r yi n t e r v a lo f o ，1 】，w i t l l 。( ) o v l l 曲阜师范大学硕士学位论文 w eh a v et h ema i l lr e s u l t ： t h o r e m3 2 2a s s l l m ct l l a t 、o n ( 1 i t i o n ( h ) h o l d s ，c x i s t s “ 罡 p ( 女+ i ，女) ，= 1 ，2 ，- ，1 e t ，k 墨l a n d r 女 墨1 ，s l l ( 1 1 1t h a t r 女+ 1 p k r ( 七) r ( 七) a 1 兄k ， 七= 1 ，2 w h e r ea 1 ( 兰，+ 。) f u r t h e r m o r e ，f o re a c hn a t u r a ln l l l n b e rk ，a s s l l m et h a t i ( 日1 )，( z ) ( a 1 “) 一1 ，v 主阻女“，“ ， ( h 2 )，( z ) 茎( a 2 r k ) p 一1 ， vz o ，月k ，w h e r eo o ，成o ( i = 1 ，2 )m o 出o ( i = 1 ，2 ) ，g c ( 【o ，1 】聿 o ，。( 】半【o ，。( ) ， o ，o ( ) ) ， a n dt h ef o i i o w i n gc o n d i t i o n sh o j d ： ( h ) s u p p o s ez ( ) ，( t ) k t h e n - t ( f ) + ( f ) ( ( | | f | i 十| | 1 1 ) ，【( 1 一( w h e r e o ，s u c ht h a t ( 4 2 1 ) ( 42 2 ) h o l d ，a n do n e o ft h ef o u o w i n gc o n d i “o n sh o l d ： ( 风) ，0 ( t ) 芝西，( ；) ，f o r 口茎t ( 1 一p ) ，o r9 0 ( z ) 曲，( ；) ，f o rp ! s ( 1 一目) ， ( 日2 ) ，0 ( f ) ( ；) ，f o r 目s ( 1 一p ) ，o r 目o 。( t ) 2 ，( ；) ， f o r 臼sf ( 1 一既 t h e nt h eb o u n d a r yv a l u ep i o b l e m ( 4 1 1 ) 一( 4 1 2 ) h a v et w op o s i t i v es o h 卜 t i o n s ， t h e o r e m4 3 2s u p p o s ej 叩 o ，s u c ht h a to n eo f ( 42 3 ) ( 4 2 4 ) h 0 1 d ，a n d o n eo ft h e o u o w i n gc o n d i t i o n sl l o i ( 1 ( h 1 ) ( t ) 冬西p ( 7 n i ) ，o f 1 ，p o ( t ) 西p ( m 2 ) ，( ) 茎，1 x 曲阜师范火学硕士学位论文 ( 凰) ，o 。( t ) 九( m 1 ) ，o 1 ，g 。( ) 曼姊( 7 n 2 ) ，os l ， h e nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mh a v et w op o s i t i v es o l u “o n s ( 1 ，g 】) ( 茁2 ，可2 ) ， s u c ht h a t i i ( z 1 ，玑) l | 茎町l f ( z 2 ，掣2 ) 凯 i nc h a p t e r5 ，w e d i s c u s st h et w oo r d e rb o u n d a r yv a l u cp r o b l e m p “。川) _ o i 涎( 0 ，1 ) ，( 5 1 1 ) ln u ( o ) 一p u ( o ) = o ，7 札( 1 ) + d “( 1 ) = o w h e r e ，y o ，口，巧o ，p ：= 卢7 + 。v + q 巧 o ，( ，乱) c ( 【o ，o 。) ，【o ，。) ) ( h j a n da tt = o ，1c a nh a v es i n g u l a r w eh a v et h em a i nr e s l l l t ： t h o r e m5 2 1 s u p p o s et h e r ee x i s t st w od i f r e r e n tc o n s t s aa n d 叼，s u c h t h a t ( 1 )， ，u ) r n ao 冬冬l ，o usa ， ( 2 ) ，u ，札) 切口墨ts1 一日，口q 让q t h e nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 5 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n s w h i c hs t a n db e t w e e naa n d ” t h e o r e m5 3 1 s u p p o s eja 0 ，s u c ht h a tt l l ec o n d i t i o n ( 1 ) h o l ( 1 ， a n dt h ef b l l o w i n gc o n d i t i o na r es a t i s a e ( i 肿) ；，口sl 一日：k ；，目s ts l 一口，( 5 3 1 ) t h e nt h ep r o b l e i n ( 51 1 ) h a ea tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n s “l ， 2s u c ht h a t o i i u l | | a o ，s u c ht h a t ；t h cc o r l ( 1 i t i o n ( 2 ) h o l d ，a n ( i t h ef o l l o w i n gc o n d i “o na r es a t i s f i e d ( t ) m ， 0s 1 ，。( t ) 仇， o 曼l ，( 53 2 ) t h e n t h e p r o b l e m ( 5 1 1 ) h a e a t l e a s t t 、v op o s i t i v es o l u o n s “1 ，u 2 ，s u c hl h a t o i | 叩 l l u 2 m x l 塑皇塑堇盔堂堡主兰焦堡塞一 t h e o r e m5 3 3 s l l p p o s et 矗c o i l ( 1 i t i o n ( 日1 ) ，( h 2 ) h o l ( 1 ，a n dc x i s f s ( ：o n s t 0 a l a 2s u c l lt h a tt h ec o n d i t i o n f 1 ) f o ra = a 2 ( a = a l ) h o l ( 1 ，t h cc o n d i t i o n ( 2 ) f o rq = a l ( 叩= a 2 ) h o l d ，t i p nt h ep r o b l e m ( 5 11 ) h a v ca t i e a s tt h r e e p o s i h v es o h l n o n st 上l ，乱2 ，u 3 ，s u c ht h a 上o 1 l u l l l l l i u 2 i l 2 l l u 3 “_ t h e o r e m5 3 4l e t 礼= 2 后+ l ，后，s u p p o s e ( 1 ) ，( 凰) h o l d ，a n d e x i s t sc o n s t o a l a 2 r a n 一1 ，s u c ht h a tt h ec o n d i t i o n ( 2 ) ( ( 1 ) ) f o r a 2 卜1 ，1 z 茎膏h o l d ，t h ec o n d i t i o n ( h 1 ) ( ( h 2 ) ) 0 r a 2 ”1 。丘h 0 1 d t h e nt h ep r o b l e m ( 5 1 1 ) h a v ea tl e a s tnp o s i t i v os o l i l t i o n s “l ，y 1 2 ，t ， ，s 【l ( 。h t h a to i l u l | | a l i l 札2 i l a 2 j l 札。一l | | a 。f | | 乱n | | t h e o r e m5 3 5l e t 礼= 2 南，七，s u p p o s e ( 5 3 1 ) ( 5 3 2 ) h o l d ，a n d e x i s t sc o n s to 入1 2 - a 。一1 ，s u c ht h a tt h ec o n d i t i o n ( h 1 ) ( ( h 2 ) ) f b ra 2 。一l ， 1 is h o l d ，t h ec o n d i t i o n ( 7 j 2 ) ( ( 1 ) ) f o r a 2 ：， l is h o l ( i t h e nt h ep r o b l e m ( 51 1 ) h a v ea t1 e a s t 扎p o s j t i v es o i l l t i o n s ? 1 1 ，t z 2 ， s u c h t h a to | | 札l i l ，、i | | u 2 | | a 2 | | ? 。i o ，且f ，；( 序目( r ) 出) 出+ 兵毋( 口) ( 厍 q ( r ) d r ) d s o ，对礼= 3 ，4 ， q ( ) 厂( t ，“) + 妒p ( ( z ) ) o ， ( z ，“) ；，1 ) o u 幔他u ) ( o ，：) o 乱 ) ， ( 风) 对每个礼= 3 ，4 ，石在一个函数列尻c o ，1 nc 1 ( o ，1 ) ，如( 风，) c 1 o ，1 。味如( 雕( t ) ) o ，洲，磐如( 雕( ) ) ) + 风( 1 ) 陬， 在 o ，1 上风( ) p 。； v t 去1 ) ，g ( t ) 巾，风( t ) ) + ( 联( t ) ) o ， v ( o ，a 础) “；，蹦f ) ) + ( 嘞风) 7 茎o ( e 毛) s l l p m a x 1 氏( ) i n = 3 ，4 ，) + o 。， ( 日7 ) 咖。( 搿q ( s ) g ( q ( s ) ) d s ) o 在( 0 ，1 ) 上且 ：5 西。( ，5a ( r ) d r ) e z s + z 1 咖。( 5 a ( r ) d r ) d s 。c ， s o l ，( t ，u ) isg ( ) ， e ( o ，1 ) 则( 2 1 1 ) 有解t l c o ，1j nc 1 ：o ，1 ) ，如( “) c 1 ( o ，1 ) 定理2 2 2 设( 日1 ) ( 日7 ) 成立，那么问题( 2 1 1 ) 有一个解c o ，1 1 nc 1 ( o ，1 ) ，讳( 乱) c 1 ( o ，1 ) ，且在【o ，1 】上“( ) ( ) 证明：取定n + = 3 ，4 ， 考虑边值问题： i ( 如( “，) ) 7 + 口( t ) - 厂2 ( t ，t ) = = o ，t ( o 1 ) ， i 。畴州u 讹”= 巾( ：唧姒) ) _ 肪 怛2 2 其中： ，+ ( ，札) = 砖，) ) - 叫风 厂( t ，风( ) ) + r ( 尾( ) “屈。( ) ，o ts ! “风( ) ，三sl n 砖，呐， 砌u 墨风os f s ；， ，( t ，“) ，p 。u 腺( f ) ，三t l ， ，( t ，p 。) + r ( p 。一h ) ，“s 风，三t 1 ， ，( ；，p n ) + r 巾。一乱) ，t z 墨p ，。o ： 第二章p l a p l a c i a l l 算子型奇异边值条件的，i ：下解方法 且r ：r _ 【一1 ，1 为： 巾，= 譬i 由引理2 2 1 ，知( 2 2 2 ) 式有解，且u 。c ( 【) ) 1 nc 1 ( o ，1 ) ，( “：。) r ( o ，1 ) 若( 2 2 3 ) 不成立，那么，u 。( ) 一肌在幻【o ，1 】有一个负的最小值，当 ( o ，1 ) 时，( u 。( t o ) 一p 。) = o ，即t z ：( o ) = o ，( 九札；。( o ) ) = o ，而 一扪伊巾、j 一酬仲m ) + r ( m 舭j ) 】，i s 。sl ； = 一9 。，i 屯“n 。i q ( z ) i ，f ：，肌) + ，( p 。一。( 。) ) ，：。冬； 当o = o 时， 。( t 。) 一几 0 ，当0 6 时，u 。( ) 一如 o 矛盾因此( 2 2 3 ) 式成立 u 。( t ) s 风( f ) ， o ，1 ( 2 2 4 ) 若( 2 2 4 ) 不成立，则“。( f ) 一风( 1 ) 在t o o ，1 有一个正的最大值，当t o ( o ，1 ) 时，咖p ( t f 。一p 。) 7 ( t o ) = o 且( 西，( ? 。一，) 。) ( o ) ) 7 = ( ) 6 堕l 垦塑薹銮堂堡圭堂垡堡塞一 当o i ，1 ) 时，“。( o ) 岛( f o ) 有 ( 姊( u 。一风) ( 如) ) 2 g ( o ) ，+ ( t o ，( 。一展) ) ) 5 一口( 南) ，+ ( m 扎。( o ) ) + g ( o ) ，+ ( f o ，房。( f o ) ) 2 一g ( 如) ( ，( ，风( o ) ) + r ( 尻( o ) 一t z 。( t o ) ) ) + q ( o ) ，( 。，风( o ) ) 2 一q ( o ) r ( 风( o ) 一“。( o ) ) o ， 矛盾 当幻( o ，：) 时， ( 如( “。一风) ，( f o ) ) 2 一q ( z o ) ，+ ( o ，( u 。一风) ( o ) ) 2 一q ( t o ) ，+ ( “n ( o ) ) + 口( 如) _ 厂4 ( t o ，尾( t o ) ) = g ( ) ( ，( ；，尻( t n ) ) + r ( 月。( t n ) 一。( 钿) ) ) + 口( t 。) ，( ；，伪( 。) ) = 口( o ) r ( 厩( t o ) 一? 如( 如) ) ( ) ， 矛盾当如= 0 时，j i m e 一。+ f ( k 。一阮) ，( f ) ) so 即l i i n ，。+ ( 群( t ) ) o 由( 风) 知， i i i t l 。+ ( 膨( t ) ) ：二e 由乱。( o ) 质。( o ) 知，有o 。 o ，s ( o ，) 对f ( 0 ，f ) ， 咖( ( 钍。一风) ) = 一口，+ ( s ，“。一尾) 幽 = 一z 。口( s ) ，+ ( 刚_ d s + z 。q ( s ) ，+ ( s ，风) 出 = 一z q ( s ) ( ，( ：，风( 圳+ r ( 卢。( s ) 一扎。( 圳) + z 口( s ) ，( ；，艮( 圳出 2 一q ( s ) r ( 尾( s ) 一2 k ( s ) ) o ， 7 第二章p l a p l a c i a n 算予型奇异边值条件的上下解方法 这与u 。( ) 一风( ) 在o = 0 处：聩穗最大值相矛盾 当t 。= 1 时，1 i l n ，_ + i 一曲p ( ( n 。一一) ) o ，即i i l n ，一1 咖p ( ? ：) 2i i j l ，i 妒p ( j ? i ) 由塌知， 肌一“n ( 1 ) = 洲。蟀如( u ：) ) 吖。蟀曲一( 成) ) 肪一风( 1 ) ， 即u 。( 1 ) 一风( 1 ) o 矛盾因此( 2 2 4 ) 式成立 再证 札。( z ) o ( ) ，【o ，1 】 ( 2 2 5 ) 若( 2 2 5 ) 式不成立，则扎。( t ) 一o ( t ) 在如 o ，1 】有一个负的最小值，当 o ( o ，1 ) 时，咖p ( ( t t 。一o ) ( 如) = o ，且( 曲p ( ( 钆。一n ) ( 。) ) = o 当如 ：，1 ) 时， o u n ( t o ) ( t o ) ，肌冬u n ( 幻) 风( o ) 由( 矾) 知 ( 币，( “。一n ) 7 ( o ) ) = 一q ( t o ) ，( o ，“。一) = 一q ( z o ) ，( t 。，掣。) 一( 曲，( 口) ) = 一【q ( t o ) ，f t 叫t 。) + ( 如( ) ) o 矛盾 当t o ( o ，；) 时，再由( 风) 知 1 曲p ( ( u n a ) ( 亡0 ) ) = 一目( 如) ，( i ，“n ) + ( 咖，( n ) ) j d s o ， 矛盾 当o = o 时，存在o 卢 ，使得当【o ，川时，o “。( t ) a ( t ) ，n 。兰u 。( t ) 墨风( ) ，由l i m c _ + o + 咖，( ( t l 。一口) 7 ) o ，有姊( ( “。一n = ) ) = 一詹【叮( s ) ，( ：，u 。) + ( 咖，( 血) ) 】d s 【) 矛j 西 8 曲阜师范丈学硕士学位论文 因此( 2 2 5 ) 成立 我们最后证明恤。 。e z + 在【o ，l 】上是一致有界和等度连续的 显然，扣。) 。z + 是一致有界的记咖= s u p m a x 框j 风( t ) j n = 3 ，4 ， 耽( 0 ，1 ) i u ：( t ) 1 = i 咖。叮( 一) ，+ ( s ，札。( s ) ) d s l 妯( 1 + 糕) 州小咖( 删 由( 胁) 知 “。 。z + 是等度连续的由a r z e f 。一a s c o “定理【9 存扣。) 。e z + 在的子序列不失一般性，仍记为 u 。) 。z + 在f o ，1 1 上，一致收敛于t z r h1 】 取定t ( o ，1 ) 当： t o ，t ( 0 ，1 ) 且t z ( 1 ) + p ( 1 i m + l 一曲，( 7 ( t ) ) ) = o ，由( 2 2 6 ) 式知 p 如( 札) = 一口( s ) ，( s u ( s ) ) d s ， ( o ，1 ) ， j0 这样l i m _ + o + 如( u ( t ) ) = o ，( ( u ) ) + g ( t ) ，( t ，钍) = o ， o o 。卢，6 o ，g ( o ，o 。) ) ，( t ) 在【o ，l 上 有可数个奇性点近来，对于这类陌题，许多作者都得出厂存在性结果例如 【l 】对于奇异性问题的研究，文章越来越多但对无限多个奇性点的结果还很少 本文就是在这种假设下，利用k r a n s n o s e l a l ( i i 不动点定理得出无限多个解的存 在性 首先，我们叙述前面提到的k r a n s n o s e i a 不动点定理，这是本文主要结 果的理论依据， 引理3 1 1 【1 l 】设e 为b a n a c h 空间，kce 是e 的一个锥，又假设 q 1 ，q 2 是e 中的开子集，满足o q 】，珂cq 2 ，映射丁：n ( 面q i ) _ - 是全连续算子，且使 ( i ) l i t 札i l v 札k n a q l ，同时i i 丁u i i i | “， v “n a n 2 ；或者 ( i i ) i i 丁札| l l u i j ， v ? 上n0 q i ，同时l 丁札| | s 胁l l ，v “na q 2 成 立。 第三章具有无限多个奇经点的一维i r l n j ) l a r i a l l 方程的正解 则t 在n ( 蕊q 1 ) 中至少存在一个不动点 设e = g 【o ，1 ，定义z e 的模为忪lj = s u p o 。矧l z ( ) l ，再定义锥为： = 钍e i “( t ) 是【o ，1 】上的非负凹函数) 目i 理3 1 2 令z k ，p ( o ， ) ，贝4 。( t ) 卢j | z | j ，f p ，l 一上】， 其中i l z l l = s u p z ( ) ：o 墨1 ) 证明：设r = i n f f 【o ，1 】：s u p 蚝】z ( t ) = ? ( f ) ) 我们分三种情况讨论 ( 1 ) r 【o ，球由x ( t ) 的凹性我们知道，在两点( l z ( r ) ) 和( 1 ，z ( 1 ) ) 弦上 的每一点均在x ( t ) 图象之下，因此我们有 z ( t ) z ( r ) + 三掣 一r ) ，阻，1 一，t 从而有 z ( ) 2 。；霉怛卅陋( r ) + 掣( 一r ) 刊r ) + 掣( 1 叫叫 = 与竿坤) + 告心) p z ( 丁) ， 这意味着 z ( z ) p l 。m ( 2 ) r 江1 一以若沁t l ，同样我们有， z ( z ) g ( ，) + 苎攀( 一r ) ，t ，】 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 雄) 。咧m ) + 掣( h ) = ；z ( 7 一) + ( 1 一；) 。( o ) 丁丁 芦。( 丁) 若t 【7 _ ，1 一r ，同样 z ( ) z ( r ) + 掣( 一- r ) ， r ，1 一p 1 从而有 上( t ) 。翟 ! 埘陋( r ) + 掣( 一r ) 蚝i t ，1 一，。】 l 丁 = 告嘶) + 寻竿坤) l 一7 - 、7 1 7 - 、 脚汀) ， 因此，我们得到 z ( t ) 2p i f z p ，1 一弘】 ( 3 ) 7 1 p ，1 】，同样我们有 口( ) 芝z ( ，) + 三尘掣( t 一，) ，t ，l 一。】 因此有 z ( ) 诞盈i ! 埘k ( r ) + 掣( t r ) 】 = ；z ( r ) + i ! 一铷o ) p z ( 7 _ ) 这就导出了 z ( ) 2 “l f z 1t p ，1 一，z 】 证毕 1 3 第三章具有无限多个奇性点的一维p 山l ，k i a n 方程的正解 在第2 节中，我们将给出主要结果和证明 3 2 主要结果和证明 本文中我们总假设n ( t ) 满足下列条件： ( h ) 存在数列化 罡l ，使得f 川 f ：，“) ，1 ；，i 。，= 十o 1 i m _ + “8 ( t ) = + o o vi = l ，2 ， r l o n ( s ) d s + 。f 3 2 o ) 并且在【o ，1 1 的任何子区间上。( t ) 不恒为零 若( h ) 满足容易得出 o 儿。( 凡s 。) d s 。) 姒， ( 3 2 1 ) 其中如( s ) 为如( s ) 的逆，九( s ) = 川。1 2 s ，；+ = 1 引理3 2 1 假定( h ) 满足，则有 r j - 一l o o 曲阜师范大学硕士学位论文 定理3 2 2 假设条件( h ) 满足，存在 舭 是1 ，使得f 娘( k 扎f k ) ，= 一，令 磁) 墨。和 “ 墨，满足 r k + l “k r ( 七) r ( 盎) a l r k r k ， 血= 1 ，2 、 其中a l ( ，+ 。) ，对任意的自然数k ，假定f 满足： ( h 1 ) ，( z ) ( a l r k ) 一1 ，v 。! 芦r ，r k l ， ( 日2 ) ，( z ) 兰( a 2 冗女p 一1 ，v z ；o ，r k 】，其中o a 2 ( ：+ 1 ) 咖。( 岳n ( s ) d s ) 则( 3 1 1 ) 有无限多个正解 z ：) 墨，且满足r 。i i z 。i l 总，vi = 1 2 一 证明：现在我们定义算子丁：一k 如下 ( t z ) ( t ) = f 等曲。( ，7 。( s ) ，( z ( s ) ) d s ) + z 多。( ，7 。( s - ) ，( z ( s ，) ) d s - ) d s ，。墨r ； i ；西。( ，1n ( s ) ，( z ( s ) ) d s ) + ，1 西。( z 5 。( s ，) ，( z ( s - ) ) d s 。) f 2 s ，r 冬l ， ( 3 24 ) 其中如果( 丁z ) ( 0 ) = o ，取r = o ，如果( 丁：r ) ( 1 ) = o ，取r = 1 ；否则r 是方程 的解，这里 口l ( ) = 9 2 ( )( 3 2 s ) 9 ( t ) = 尝如( z n ( s ) ，( z ( s ) ) d s ) jz 。( z 。( s - ) ，( z ( s ，) ) d s ) d s ，。t 1 ， 卯 ) = ；。( ，1 。( s ) ，( z ( s ) ) d s ) j ，1 砂。( ，8 。( s t ) ，( z ( s t ) ) d s t ) d s ，。 s 1 ， 注意到方程( 3 2 5 ) 在( o ，1 ) 上至少有一个解，事实上，由于9 l ( ) 在【o ，1 ) 上是 单调增加的连续函数，且口，( o ) = o ，仂( t ) 在( o ，1 】上是单调减少的连续函数且 9 2 ( 1 ) = o ，因此至少存在一点r ( o ，1 ) 是方程( 3 2 5 ) 的解而且，如果r l ，亿 1 5 第三章具有无限多个奇性点的一维p - l a p l a c i a n 方程的正解 c 醐，= 陷篡篇三 拇“ 2 n = 捌i ，