（应用数学专业论文）几类神经网络模型的动力学研究(1).pdf

摘要 f 3 9 8 5 5 3 在第一部分的第一至六章中，j 讨论自反馈二元盐丝堕竺模型 1窘象t=：-一l，ee+a。,：t，f，(。x。(。t，-一r，)，)，+a。,：j：厂o。y,(。t，-一t，)，)，, 的渐近性态。纽里衰减率 连接强度系数。”“”啦，、。 1 2 2 以 及突触滞后f 0 均为已知常数；信号函数，为阈值函数 八萨萝茹 奠冲占r 。我们利用一维函数的迭代规律讨论了这一非线性二元 神经网络动力系统解的渐近性态( 即趋于某个平衡点或某个极限 在第二部分中讨沦含时滞的离散h o p f i e t d 神经网络模型的 渐近稳定性和指数稳定性，得到了全时滞稳定的双向联想记忆神 经网络模型和与时滞有关的联想记忆神经网络模型的稳定性结 i c - ，并且得到了指数稳定域和指数收敛速度的估计。 r f a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw h i c hc o n s i s t so ft w o p a r t s ，w ed e a lw i t ht w ok i n d s o fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k sa n d o b t a i ns o m er e s u l t sf o rt h e i r a s y m p t o t i cb e h a v i o r s i np a r t1 ，w ei n v e s t i g a t et h e c o n v e r g e n c eo f t h es o l u t i o n sa n dt h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f l i m i tc y c l ef o rs y s t e m = 一+ 1 7 1 1 f ( x ( t f ) ) + a 1 2 f ( y ( t f ) ) ， = 一p y + a 2 1 f ( x ( t r ) ) + a 2 2 f ( y ( t f ) ) ， w h e r e j o i st h ed e c a yr a t e ，f oi st h es y n a p t i ct r a n s m i s s i o nd e l a y ， i s t h e s i g n a l f u n c t i o na n da s s u m e dt oh a v et h ew e l l - k n o w n m c c u l l o c h - p i t t s n o n - l i n e a r i t y 雕) = 渺萝； 占0i sa g i v e nc o n s t a n t s i np a r t 2 ，w ei n v e s t i g a t et w oc l a s ss y s t e m so fd i s c r e t e - t i m e h o p f i e l d a s s o c i a t i v e m e m o r yn e u r a l n e t w o r k sa n do b t a i ns o m e r e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u m p o i n t s ，g l o b a ls t a b i l i t y , e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n d t h ee x p o n e n t i a l c o n v e r g e n c e r a t e i i 绪论 神经网络研究工作者已经建立了大量的网络模型，并对其进行了 研究。在这些模型中，有相当大一部分为微分方程模型，如著名 特别是微分方程研究者的参与。事实上，国内外众多的微分方程 二元神经网络是结构最为简单的神经网络。然而即使是简单 鲁一l a x + a h f ( x ( t - r ) ) + a t 2 f ( j ，( f _ ) ) ， (e)a 1 石y 一+ a 2 t f ( 妒咖m ( ，f ) ) “。 的状态( 活跃程度) ，t o 为衰减率，r 0 为突触滞后，厂为信 对于模型( e ) 的动力学行为的研究，已得到了许多优秀的 如m c c u l l o c h p i t t s 非线性函数。而对这种信号函数不连续的情形， 由于动力系统的现有结果不能直接应用于模型动力学行为的定性 研究，致使其研究结果至今所获得的极少。最近，黄立宏和吴建 宏两位教授在文 1 】和 2 】中分别对信号函数具如下m c c u l l o c h p i t t s 非线性： 代) = 侈： 的情形，分别研究了q i = a 2 2 = a 2 l 一1 = 口1 2 1 = 0 和a 1 1 = a 2 2 = 口2 1 + 1 = 一1 ：0 时系统( e ) 的收敛性，得到了周期解存在唯一性等问题 的一系列新结果；文 3 1 对 1 、【2 】中的部分结果进行了推广，这 里口为常数，仃为阈值。 在本论文中，我们研究( e ) 中信号函数为厂具有m p 非线性： 傩) = 伊；台 时模型( e ) 的解的渐近性态，即收敛到某个平衡点或无限逼近某 个周期解，这里占0 为给定的常数。 针对系统( e ) 的不同情况，我们分六章讨论，分别建立一维 映射，通过对一维映射选代规律的分析来研究系统( e ) 具初值问 题解的渐近性态。 对于联想记忆神经网络模型，有多个分别对应于不同记忆模式 的平衡点，要使网络正常工作，不仅希望它有稳定的平衡点，还 希望平衡点有一定的可控指数稳定域，并使指数稳定域尽可能大。 此外，网络的容错能力亦与这些平衡态的指数稳定域密切相关。 此时，定性分析的目的是判断在何条件下这些平衡点是局部渐近 稳定的，并估计指数稳定域。针对这一设计要求，对于不含时滞 的连续时间神经网络模型，文【8 】、 9 幂l j 用l y a p n n o v 函数，文 1 0 】 利用算子理论，文1 1 矛l j 用能量函数估计了指数稳定域与收敛速 度。然而就作者所知，对于含时滞的离散神经网络模型，有关指 数稳定域的结构未建立，在本文第二部分将对离散h o p f i e l d 神经 网络模型的平衡点存在唯一性、全局稳定性，指数稳定性和指数 收敛速度进行讨论。 第一部分具自反馈二元神经网络模型的渐近性态 第一章引言 窿d x 麓篡：二黛二嚣 - ， 的渐近性态a 这里衰减率，连接强度系数口l 。、a 1 2 、口”a 2 2 以及突触滞后f 0 贴) = 协箩；0 ( 1 2 ) 其中艿r 。文【l 】和【2 中分别研究了a l l = a 2 2 = a 2 j 一1 = 口2 1 = 0 和 口i l = a 2 2 = a 2 l + 1 ；a 1 2 1 = 0 时( 1 1 ) 的解的收敛性，得到了周期解存在唯一眭 等问题的一系列新结果；文【3 1 】对 1 】、【2 】中的部分结果进行了推广。 为了简便起见，在( 1 1 ) 中作变换 t = ，f = f ， x ( f ) = 鲁x ( f ) ，y + ( f ) = 等y ( f ) ，( 毒) = 吉，( 言吉) 然后去掉( ) 号，可得 莨! ：黛二：二黛二： n s ， 代) = ”箩势 4 ) 黔d x = - x + 知a ( f ( 似x ( ，t - r 呦1 ) + v f ( m y ( t ，一r m l l 一。c _ ( f ( x ( t ，一篙f ( 似y ( t 卜- 轴， 我们将x = c ( 【一f ，o 】，r 2 ) 作为相空间。注意到对任意给定的初始值 巾= ( 妒，妒) 7 x ( t 表示转置) 。我们可以依次在【0 ，f ，【f ，2 f 】，上解方程( 1 5 ) ， 得到唯一的连续映射o 。，y 。) 7 ：【一f ，叫jr 2 ，满足x 。k 川= 妒、y 。 i - r 川= 少。 这样便给出了系统( 1 5 ) 满足初始条件的唯一解 。( r ) ，y 。( r ) ) 。我们的目的在 于讨论对任意的m x ，( x 。( ，) ，y 。( f ) ) 7 当r 0 0 时的极限性态，例如，趋于某 个平衡点或某个周期解。但在这一部分，我们总假定初始函数p ，y 在 - f ，0 中 不改变符号，即 o e x ”u x + 。u 。u 彳一= 五， 这里 x 士= 扣x ：巾= ( 妒，y ) t 缈c ；且妒c o ， 其中c j ( 或c i ) 表示在卜r , o 上只有有限多个零点的连续函数 妒： 一r , o 。 0 ，+ c o ) ( 或妒：卜f ，0 】_ ( 一0 0 ，0 】) 的全体。很明显，蜀中包含了除 了零函数外的切常数函数。我们将证明一旦o x 。确定下来，( x 。( r ) ，y 。( f ) ) 7 ( 以下简记为( z ( f ) ，y ( f ) ) 7 ) 的性态以及f 斗+ m 时的极限行为便完全由 ( 妒( o ) ，y ( o ) ) 7 决定。 若初值m 托，那么考虑到系统( 1 5 ) 的对称眭( 例如关于x = 0 、y = 0 、 y = z 及z + y = 0 ) ，我们可作如下分类： 第一类：口0 ，b 0 ，c 0 ，d 盎0 第二类：( 1 ) 口 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ； ( 2 ) 口0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ； ( 3 ) 口s 0 ，b s 0 ，c 0 ，d 0 ，d 0 第三二类：( 1 ) 口0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ； ( 2 ) a 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ； ( 2 )口 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，c 0 ，d 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，c 0 ，d 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 第七类：口 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ，y 。( 口) = y ( r + 0 ) 0 ，即( x ，y ，) 7 x ”。在【f ，2 f 、【2 f ，3 f 】、上依次重复上述讨论，可知对一切t 0 有 ( x ，y t ) 7 z “。那么几乎对切t 0 ，( x ( r ) ，y ( f ) ) 7 都满足( 2 1 ) ，即对切f 0 都有( 2 5 ) 成立。因此当f + 0 0 时( x ( ，) ，y ( r ) ) 7 呻( 一a , - b ) 7 。 对于其他情形类似可证( 如图2 - 1 ) 。定理2 1 证毕。 注1 ：当口= b = c = d = 0 时，由定理2 1 可知，对任意的x 。，均有 ( x ( r ) ，y ( f ) ) 7o ( 0 ，o ) 1 ( t 一十) 。 定理2 2 若a 0 ，b 0 ，c s0 ，d 0 ，则系统( 1 5 ) 具初值x o 的 解( x ( f ) ，j ，( f ) ) 7 ( 1 ) 当m x ”ij x - + 时，o ( f ) ，y ( f ) ) 7 _ + ( c ，d ) 7 ( r 呻佃。) ； ( 2 ) 当中x + _ 【j x 一时，( x ( f ) ，y ( f ) ) ”一( - c ，一d ) 7 ( f 一+ ) 。 证明：我们仅讨论第一种情形，对第二种情形类似可证。 ( i ) 若x 一，运用与定理2 1 相同的讨论，可知当f _ + o 。 3 时( x ( r ) ，y ( r ) ) 7 。( c ，d ) 7 。 ( i i ) 若中“，由系统( i 5 ) 以及增) 的性质知当f ( o ，f ) 时o ( ，) ，y ( f ) ) 7 满足系统( 2 1 ) ，即当r 0 ，r 时有( 2 5 ) 成立。设x ( r ) y ( r ) 的第一个零点为f ， 那么由( 25 ) 可知 f 。= l n ( q ，( o ) + 口) 一l n a 容易验证当，( o ，t l + r ) 时，x ( t r ) 0 ，y ( t f ) 0 。因此当f ( o ， + f ) 时， ( 石( ，) ，y p ) ) 7 满足系统( 2 1 ) ，也即当，【o ，+ f 时有( 2 5 ) 成立，并且 x ( r l + f ) ：( e r 1 ) 0 ； 妒【u j 千q - x 。+ ，( 0 ) ：= x ( t l + r + 曰) = a ( e 一7 + “一i ) o ，吲删， 即有( x ”，帆y + ，) 7 z 。由情形( i ) 知当fj + o 。时( x ( f ) ，y ( ，) ) 7 哼( c ，d ) 7 ( 参 见图2 - 2 ) 。证毕。 注2 当c = d = 0 时，由定理2 2 可知，对于任意的中甄， 均有( x ( f ) ，y ( f ) ) ”_ ( o ，o ) 7 ( t + ) 。 广。 ，式 ， j 。 ( 一a 一b ) y ( c ，d ， h 一 图2 - 2 瓴b ) x 4 第三章周期解的存在性和唯一性 砸) = x 。( t j “f ) - 学，a = - 詈，占= 鲁， 虿d u 一“一a ( m ( h ) ) 川v ( f 叫) ) + 主( 厂( u ( t - r ) ) - f ( v ( f _ f ) ) ) ，( 3 1 ) 等一v + ；( m ( f _ ) ) + ，( v ( f _ f ) ) ) + 罢( 弛( 卜f ) ) 一巾( f _ 咖 根据厂( 善) 的性质知系统( 3 1 ) 与以下四个常微分方程组密切相关。 要d u ：= 一_ 。u 一+ ，a ；c ，2 ， j i ：- - - 一- ，u + + 廿1 , ；c ，s ， 罄d u = - u 扎- a 豁： s ， 实际上对于系统( 3 1 ) ，我们有 命题3 1 若系统具= 1 ) 啮中= ( p ，y ) 7 鼠的解为( “( f ) ，v o ) ) 7 ，那么具初值 中= ( 一9 ，一y ) 爿j 的解为( 一“0 ) ，一v o ) ) 。 引理3 1 若存在某个f 0 o ，使得( “。，v ，0 ) 7 x ”，那么一定存在矗- t 。 使得( “v ，：+ ，) 7 x + 。 证明：由( 3 1 ) 和( “ v ，。) 7 x ”，当f ( f o ，r o + f ) 时一定有( 3 2 ) 成 立。从而当f 【t o ) f o + f 时 u ( t ) = ( u ( t o ) 一a ) e 。+ a ，v ( t ) = ( v ( t o ) + 1 ) e “一一1 ( 3 6 ) 设，。为“( f ) v ( f ) 在 r 。，) 内的第一个零点，那么当r ( “，+ f ) 时( “( f ) ，v ( f ) ) 7 满足( 3 2 ) ，即对任意的f 【t ot ，+ f 】有( 3 6 ) 成立。且由( 3 6 ) 知 “( f l + f ) = u ( t o ) _ - 一ae r + 爿 0 ，v ( t 1 + f ) = e r l 0 ，吲_ f ，o 5 目o c g ( u i i + t ) v 。，) 7 1 x ”。因此取f ；= t 1 即可。证毕。 同理可证以下几个引理。 引理3 2 若存在某个f o 0 ，使得( “，v “) 7 x + 得( “，v ，一7 x 。 引理3 3 若存在某个“0 ，使得( “h ，v k ) 7 x 一 得( “，：十r ，”。) 7 x 一。 那么一定存在f ；f 。使 那么一定存在t ；“使 引理3 4 若存在某个“0 ，使得( “v 。) 7 x 一，那么一定存在t ；“使 得( “f ”+ ，) x “。 定理3 1 存在o o = ( 钒，) 7 x o 和t o 0 ，使得对任意的f t o ，系统 ( 3 1 ) 具初值中o = ( ，) 的解( “( r ) ，v ( f ) ) 7 是周期的，且最小正周期为 = 4 f + 2 1 n ( b + 1 ) e 一“+ + ( a + 1 ) ( 口+ 1 ) ( 1 一e 吖) + 2 e 一7 一e 4 7 ， 其中“+ 为二次函数 g ( x ) = ( b + 1 ) x2 + ( 爿+ 1 ) ( b + 1 ) ( p7 一1 ) 一a b + 1 i x 一( a + 1 ) ( a b + 1 ) ( p7 1 ) 的正零点，并且系统( 3 1 ) 每一个具初值m = ( 仍y ) 7 x 。的解( “( ，) ，v ( ，) ) 7 当 r 寸+ m 时都将无限逼近该周期解，且以该周期解为c o 极限集。 证明：由引理3 1 、3 2 、3 3 和3 4 ，我们只须讨论初值中= ( 妒，妒) 7 x “的 情形。结合引理3 ，l 的证明，可知“( f ) v ( f ) 在【0 ，+ o 。) 内的第一个零点为 t i = 1 n ( f ，( o ) + 1 ) ， 并且容易验证= 等急竽 o ，v ( = 0 。可以看出l 叫“完 全由妒( o ) 和妒( 0 ) 的大小决定。为方便起见，不妨设u ( 0 ) = v ( 0 ) ；“0 ， v ( o ) = y ( 0 ) = 0 ，即有t 。= 0 。我们将证明 ( f ) ，v o ) ) 7 的渐近性态可以完全由甜决 定。再结合引理3 1 的证明可知 “( f l + f ) = ( “一a ) e 一+ a 0 ，k t l + f ) = e 一1 0 ， 并且( “”。，v ”，) 7 x + 。因此当f ( f l + r ，f 1 + 2 r ) 时( “( r ) ，v ( f ) ) 7 满足( 3 5 ) 。则 由解的连续性，当t 【r l + f ，f + 2 f 时 u ( t ) = u ( t l + f ) + 1 p + 。一1 = ( “一a ) e 。7 + a + 1 e 一1 ， ，1 、 v ( f ) = 【v ( f i + f ) + b e “+ f - 。一b = ( b l + e7 叫) e f - 7 一b 设f 2 为“( f ) v ( f ) 在【0 ，o o ) 内的第二个零点，那么当，( r i + f ，2 + f ) 时 ( “( f ) ，v ( f ) ) 7 满足( 3 5 ) ，即对任意的f 【t l + r ，t 2 十f 】有( 3 7 ) 械立，郧么由( 3 7 ) 可得 = f + l n ( u a ) e 一+ a + 1 ， 6 “( t 2 + f ) = e - r - 1 o ，v ( 1 2 + z ) = i ：i ! e f b o 由( 3 7 ) 槲i e ( u 。，v h + ，) 7 x 一。那么当r ( f 2 + f ，2 + 2 r ) 时 ( f ) ，v ( f ) ) 7 满足( 3 4 ) 。同样由解的连续性，当f f ：+ r ，f ：+ 2 r 时 u ( t ) = 【u ( t 2 + f ) + 4 p 2 一一a = ( e 1 + a 一1 ) e ”一a ， v ( t ) = v ( t 2 + f ) 一1 k 2 一+ 1 ( 3 8 ) ：r 皇二! ! ：e 一b - l 渺一，+ 1 、( “一彳) p 1 + a + 1 设t ，为u ( t ) v ( t ) 在 o ，0 0 ) 内的第三个零点，那么当f ( t 2 + f ，屯+ f ) 时 ( “( f ) ，v ( f ) ) 1 满足( 3 4 ) ，即对任意的r 【t 2 + f ，屯+ f 】有( 3 8 ) 成立，b k 而由( 3 8 ) 可得 f 3 = r ：+ r + 1 n 【b + ! 一i ：二! 蒜e 一】 = 2 r + l n ( b + 1 ) p 一7 “+ ( 彳+ 1 ) ( b + 1 ) ( 1 一已_ r ) + 2 e 一一p - 2 砸护等群= 高去等著箫等誊专， v ( t 3 ) = 0 构造函数 m 卜高高等斋嚣等尝， t ( x ) = 2 r + l n c ( b + 1 ) e 一7 x + ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( 1 一e 1 ) + 2 e 一日。7 】， 那么f ，= r ( ) ，u ( t ，) = 一，似) ，v ( t ，) = 0 。利用命题3 1 ， ( f ) ，v ( r ) ) ”随着f 的增 大，将在r = ，= + 丁( 厂( “) ) = t ( u ) + 7 1 ( ，( “) ) 时( 即“( ，) v ( f ) 在 o ，0 0 ) 内的第 五个零点处) 到达( 2 ( “) ，o ) 7 ，这里，2 ( ”) = ，( ( ) ) 。 若厂2 ( “) = u ，则意味着( “( f ) ，v ( r ) ) 7 为终于周期轨的。因此我们只须讨论 y = f ( x ) ，x 【0 ，o o ) 的2 周期点。考虑 x 一厂( x ) ( 口+ 1 ) p 一7 x 2 + 【( 爿+ o ( b + 1 ) ( 1 一e 一7 ) + ( 1 一a b ) e 一7 】x 一( 爿+ 1 ) ( 爿占+ 1 ) ( 1 一p 一7 ) ( 曰+ 1 ) e 一7 x + ( a + 1 ) ( 口+ i ) ( 1 一e 一) + 2 e 一一e 一2 r e - r g ( x ) 。万而了再西而万面f 百万了 由于g ( z ) 在【0 ，) 内有且仅有一个零点“+ ，且当0 x 0 。因此y = ，( x ) 在 0 ，o 。) 上存在唯一的不动点“，且为稳定 的。g 口f ( u ) = “+ ；当0 x x ；当x u + 时，厂( x ) x ；当z “+ 时，厂2 ( x ) 0 j i d u 一“+ 互1 ( 厂( u ( t - r ) ) + 厂( v ( 训) + 詈( m ( 卜砌- 厂( v ( f 吖) ) ) ，( 4 1 1 ) l 象= 叫+ ；( ，( 砸一种+ ，( v o r ) ) ) + 三( ，卜f ) ) 一厂( v ( f 一嘞) 根据，( 善) 的性质知系统( 4 1 ) 与以下四个常微分方程组密切相关。 慝d u = 一- u - ，i i m ， 雾i v m - u 堋+ m , ， 莨二：良d u = - u 一- ：m ， 实际上对于系统( 4 1 ) ，我们有 命题4 1 若系统具初值m = ( 妒，y ) 7 x 。的解为( “( f ) ，v ( f ) ) 7 ，那么具初值 m = ( 一妒，一妒) 7 x 。的解为( 一“( f ) ，一v ( r ) ) 7 。 引理4 1 若存在某个b 0 ，使得 ，v “) 7 x 一；那么一定存在t o 使得( “w v t 一7 x ”，并且“( “f ) o ，v ( ”r ) ：掣聊p r + 埘 o ， m u ( t oj “t i + r ( 曰) = u ( t 1 + f + 目) = m ( 1 一e - ( r + o ) ) o ， v ，。( 目) ：= v ( + f + 口) = v ( t o ) - rmm ut 、“8 一( 日+ 0 ，臼( 一f ，0 】一i j 一 即有( “”，v ”。) 7 z “，且“( r i + f ) v o l + r ) 。因此取f ；= 即可。证毕。 引理4 2 若存在某个f o 0 ，使得( “ v “) 7 x 一e t u ( t o ) f 0 使得( “) 7 x + + a u ( t ；+ f ) v ( r ；+ f ) 。 证明：分以下两种情况： ( i ) 1 - u ( t o ) e r 1 一v ( f o ) 由( 4 1 ) 、f ( g j ) 的性质以及( “ v ) 7 x 一，那么当f ( b ，岛+ f ) 时一定 有( 4 4 ) 成立。从而当，【“，f o 十r 】时 u ( t ) = ( u ( t o ) 一1 ) e “。+ 1 ，v ( t ) = ( v ( t o ) 一1 ) e 。+ 1 ( 4 7 ) 设为“( f ) v ( t ) c t 生 t 。，m ) r 0 9 9 - 4 n a ，那么当f “，f l + r 时有( 4 7 ) 成立。令“( f ) v ( f ) = o 可得 f = t o 十l n ( 1 一u ( t o ) ) 或f = f 0 + l n ( 1 一v ( t o ) ) 由u ( t o ) t o + l n ( 1 一v ( t o ) ) ，故 t l = r o + l n ( i v ( t o ) ) 再由( 4 7 ) 可知 姆一) = 篙e 1 o ； + f ( 盼刮( f lw 棚) = 端e - ( r “ 0 ，0 ( 一彳，0 】 由此有( “”，v ”，) 7 x 。由引理4 1 ，必存在f ：2 f 。+ r 使得 ( “，：+ r ，v ，扣) 7 z ”，并且“( 咭+ f ) v ( + f ) 。 ( i i ) 1 0 注意到当f ( ， + f ) 时有( 4 7 ) 成立，以及“( f 0 ) o ， v ( r ：州= ( 1 _ m _ e - r ) - 谢埘刈( f 2 ) 。， i e i 1 妇( 4 7 x 4 8 ) 可以验证 1 2 + t ，v 。，) 7 z “。因此取咭= f 2 即可。证毕。 定理4 1 若存在某个“0 ，使得( “v ，。) 7 x ”( 或x 一) 且 u ( t o ) = v ( t o ) ，那么对任意的t t o 均有“( f ) = v ( f ) ，并且当f t o + f + l n ( 1 + u ( t o ) ) 时，“( f ) = v ( r ) = g ( f ) 。j ：l 里q ：r 。r 为周期函数，且最小正周期 为c o = 2 1 n ( 2 e 7 1 ) 。 证明：仅考虑 b ，v b ) 7 z + + 的情形，而对于 。，v h ) 7 石一的情形，可 以类似讨论。 由( 4 1 ) ，易证对任意的，t o 均有u ( t ) = v p ) 成立。因此只须证明方程 皇箬= 一“( f ) + ，( “( f f ) ) ( 4 9 ) 出 ”“、 “、7 具初始条件“。c ；的解“o ) 均是终于周期轨g ( f ) 的，且g ( f ) 的最小正周期为 c o = 2 l n ( 2 e 一1 、。 设 为“( f ) 在【0 ，o o ) 内的第个零点，那么对任意f ( “，t + f ) 有 ! 丝：一“1 1 ( 4 1 0 ) d t 那么由解的连续性，对于t 【t o , t + f 】有 u ( t ) = ( u ( t o ) + 1 ) e “一1 ， 特别地，i 妇u ( t ，) = 0 可得 f 1 = t o + i n ( 1 + u ( t o ) ) ， “( f l + r ) = ( u ( t o ) + 1 ) e “一7 1 = e 一7 1 0 ， u t 2 + r ( p ) ：= u ( t 2 + f + 口) = 1 一p 一+ 8 0 ，0 ( 一r ，0 】， 因此“。，c o 。 设t 3 为“( f ) 在 岛，o o ) 内的第三个零点，则f 3 f ：+ r ，且对任意 f ( f 2 + f ，3 + r ) 有( 4 1 0 ) 成立。由解的连续性，当， ，2 + f ，f 3 + f 时， u ( t ) = ( u ( t 2 ) + 1 ) e o + 一l = ( 2 一e 一7 ) e 一一1 ， 特别地，由“( f ，) = 0 可得 b = t 2 + f + l n ( 2 一e 1 ) ， “( f 3 + f ) = ( 2 一e 一7 ) e 2 。一1 = e 一7 1 o ，v ( t 2 + f ) = 尝t - m ( 1 _ e - r ) 0 ，而且容 黝i e ( u f + ，v 。，) 7 z ”，“( f 2 + f ) v ( t 2 十f ) 。再由引理4 3 可知“( f ) v ( f ) 在 0 ，+ m ) 内的第三个零点( 即继f 2 后的第一个零点) 为 ，3 = t 2 + f + l n 1 + “0 2 + f ) 】= f 2 + f + i n 1 + m ( 1 一e - r ) 】 并且“( f 3 ) = 0 ，v ( t 3 ) = 构造函数 v ( r 2 + f ) 一“( f 2 + f ) 一 m e - 2 v i + u ( t 2 + f )( m + 1 一e - r ) ( 聊+ 1 一m g 叶) 似) = 两乏焉杀而 e r - 1 , o o ) ， 那么“( f ，) = 0 ，v ( t ，) = ；( v ) ( 如图4 - 1 ) 。又可以将z ( v ) 作为新的v 进行同样的 讨论。若一( v ) e 一1 ，则可以重复上述讨论得到 2 ( v ) = ( j ( v ) ) 。若仍有 ；2 ( v ) e 一1 ，则可以再重复上述讨论得到一3 ( v ) ，。易证一( x ) 为p7 1 ，o o ) 上的单调递增函数，且满足( z ) x 。那么一定存在整数”1 使得 z ”( v ) e 一1 s ；”。1 ( v ) ( - m ， vj ：( m m 么 ， ( 1 ，1 ) f ，( x ) ou r - 1 ，1 1 - 图4 1 1 ( - 1 1 1 ， 叫 。 ( m ，m ) 么 ) 伯x ) g , - o r u 二l r l l m 、 图铊 ( 2 ) 三二! ，_ 一sv p7 一l ，( 其中，竹b 一) m 运用与情形( 1 ) 同样的讨论，这时“( f ) = e 一1 o ，u ( t 2 + f ) ：m + e 一掣、o 。 注意到“( f ) 0 ，v ( r ) 0 ，那么“( f ) - v ( f ) 在【0 ，+ m ) 内必存在第三、四个零点 f 3 ，4 ( f ，f 2 + f ) 。实际上由( 4 1 4 ) 可得 t ，= f + l n m + 1 一( 1 + v ) e 一 一i n m ， t j = f + l n m + l e 一7 】_ i n m ， 并且v ( t 3 ) = 0 ，u ( t 。) = 0 。由( 4 1 1 3 ) ( 4 1 4 ) 易知，当f ( ，2 + f ，3 + f ) 时 “( f f ) o m + 1 一r 1 + v ) e 1 由( 4 1 4 ) 易知，当f ( t 3 + r ，r 4 + f ) 时“o f ) 0 。则当f ( ，3 + f ，4 + r ) 时，( “( r ) ，v ( f ) ) 7 满足( 4 3 ) 。由解的连续眭，当f f 3 + f ，f 4 + f 时 u ( t ) = “( r 3 + 力一m l e 6 + + m ：f ! 竺二1 2 坚堕! ：! 二! 二竺研旷r + 1 一，m p ”r 。+ 巩 v ( t 1 = i v 、( tz 掣一! 土二 。 ( 4 1 6 ) )3 + f ) 一m e + “+ m 一 ：( ( m - l + e - 7 ) ( l + v ) - l - m 川矿r + 1 一肌kr ，+ r r + ，1 ，竹+ 1 一f l + v ) e 从而有 u ( t 4 + f ) 0 由( 4 1 4 ) 、( 4 1 5 ) 1 1 ( 4 1 6 ) 易证 t 4 + r ，v 。，) 7 x “。那么根据引理4 3 ，“( f ) v ( ，) 在 o ，+ ) 内的第五个零点( 即继f 。后的第一个零点) 为 岛= _ + f + l n 1 + “( f 4 + f ) 并l t u ( t ，) = o ， ，( “) ：堂! ) 二坐! 一望一一 竺垒 o 1 + “( f 4 + f )( m - 1 ) e 一7 v + ( 1 + m - m e 叶) ( 1 一e - t ) + 1 + m e 一 构造函数 删= 瓦磊而意客最可而7 一【竿- 1 ) z 旺) 2 面面丐丽磊二巧f 巧百再x f 8 l 1 ) 那么“( f ，) = 0 ，v ( t ，) = a ( v ) ( 如图4 - 2 ) 。又可以将a ( v ) 作为新的v 进行同样的 讨论，得到疗( v ) 、刀( v ) 、。易证 ( x ) 为【尘兰二，e 一1 ) 上的单调递增函 数，且满足厶( z ) x 。那么一定存在整数r + 1 使得 月( v ) 竖疗- ( v ) ( 3 ) 上乓v ! ! ，( 其中聊e - r ) 运用与情形( 2 ) 同样的讨论，这时“( f 2 + f ) 0 ，v ( t ：+ f ) o 。注意到 1 5 u ( r ) = e 一1 0 ，v ( r ) = ( 1 + v 扣1 0 ，那么必存在t j f f ，t 2 + f 】，使得 v ( t ，) = o 。实际上由( 4 1 4 ) 可得 f 3 = f + l n m + 1 一( 1 + v ) p 。卜l n m 由( 4 1 3 ) 及( 4 1 4 ) 易知，当r ( f 2 + f ，+ f ) 时“( f f ) 0 。又注意到“( f 2 + f ) 0 ， 。 m n m ) v + 2 一e 一 v ( 1 4 + ) = m - - e - r4 - 矿鑫+ i 1 - m 矿m + 丽l _ e 丽- 7 _ v e - r 砸一+ f ) 。 由( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 易证( “”，v ”，) 7 x ”。那么根据引理4 3 ，“( r ) v ( ，) 在 0 ，+ 。) 内的第五个零点( 即继f 后的第一个零点) 为 t 5 = f 4 + f + l n 1 + “( f 4 + r ) ， 并且“( r 5 ) = 0 ， vm)一v(t4+r)-u(q+r)_堕一 一一 0 1 + u q 4 +