（应用数学专业论文）哈密顿系统的低维不变环面.pdf

摘要 本文在第一m e l n i k o v 条件( 非共振条件) 和r i i s s m a n n 非退化条件的假设之下，研究 了哈密顿系统的低维不变环面的保持性问题。文章共分四个部分：引言，主要结论，主 要结论的证明和附录 在引言中介绍了哈密顿系统的一些基本概念以及有关的研究背景文中简要叙述了 以下概念：哈密顿系统，保守哈密顿系统，首次积分，泊松括号，辛矩阵，辛映射，向量 场的李代数，可积系统和作用角变量，这些都是论文中涉及到的有用概念，因此有必要 首先解释清楚引言回顾了经典的k a m 定理建立以来，非共振条件和非退化条件的历 史演变和相关的研究成果，并明确了撰写本文的宗旨 第一章主要结论给出了两个定理，即定理一和定理二其中定理一是在第一m e l n i k o v 条件和r i i s s m a n n 非退化条件下给出的，是本文的主要结论。定理二是为了证明定理一而 引进的，其主要目的是设法应用常规的k a m 迭代来证明定理一。 第二章主要结论的证明分两节：第一节先对法向频率进行分类，然后在法向频率分 类的基础上应用定理二证明了定理一的结论，其中用到了一个特殊的辛映射： 皿：扛，y ，z ，牙) _ ( 0 ，i ，叫，面) 0 = z ， ，= y + 司霹醒 3 d 1 t = l j = l = e z 西= 豆j 第二节是定理二的证明，这是本文的重点。定理二证明的主要方法是常规的k a m 迭代， 分为k a m 步骤，迭代引理，迭代的收敛性和测度估计四个方面k a m 步骤共分截断， 构造辛变换，求解线性方程和估计新的扰动项；迭代引理是对k a m 步骤内容的总结， 并通过设置适当的参数，使得k a m 步骤的结论对任意第”步都成立，从而保证迭代过 程能无限次地进行下去，为迭代的收敛性的证明做好了准备；迭代的收敛性证明了迭代 序列 西”) 在d 。吼上收敛于一个辛变换垂，并由此证明了t ” o ) o ) o ) 是哈 密顿系统的不变环面；测度估计先给出了几个引理，然后证明了0 0 是非空的，并且，在 小扰动下不能保存下来的低维不变环面是很少的，当a 0 时，其测度几乎趋于0 ， 而在小扰动下大部分低维不变环面都能保存下来在r i i s s m a n n 非退化条件下给出测度 估计，引理四是关键，其证明采用了参考文献 3 】的思想方法并进行了推广，测度估计详 2 细讨论了集合 剐啦脏o ：1 1 i i 譬) 在r i i s s m a n n 非退化条件下的测度，并由此证明了当a 充分小的时候，m e s ( o 一0 。) 0 ( 0 1 ) 第三章附录列出了论文定理证明过程中需要引用的几个定理。 关键字：哈密顿系统，扰动，不变环面，小分母条件，k a m 迭代，测度估计 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew es t u d yp e r s i s t e n c eo fl o w e rd i m e n s i o n a li n v a r i a n tt o r i o fh a m i l t o n i a n s y s t e m s - i th a sf o u rp a r t s ：i n t r o d u c t i o n ，i n a i nr e s u l t s ，p r o o fo fm a i nr e s u l t sa n da p p e n d i x t h ei n t r o d u c t i o ng i v e ss o m eb a s i cc o n c e p t so nh a m i l t o n i a ns y s t e m sa n dl a y so u tr e s e a r c h b a c k g r o u n d h e r ew ei n t r o d u c e dt h ef o l l o w i n gc o n c e p t s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m ，c o n s e r v a t i v eh a m i l - t o n i a ns y s t e m ，f i r s ti n t e g r a l ，p o i s s o nb r a c k e t ，s y m p l e c t i cm a t r i x ，s y m p l e c t i cm a p ，l i ea l g e b r ao f v e c t o rs p a c e ，i n t e g r a b l es y s t e ma n da c t i o n a n g l ev a r i a b l e t h e s ec o n c e p t sa r ea l lv e r yu s e f u li n t h ea r t i c l e ，s oi t i s n e c e s s a x yt oe x p l a i nt h e mi na d v a n c e i nt h i sp a r tw ea l s oh a dal o o ko n p r o g r e s so fr e s e a r c hw o r ki nr e l a t i o nt on o n r e s o n a n tc o n d i t i o n sa n dn o n d e g e n e r a t ec o n d i t i o n ，t h e nw es t a t e dm a i ni d e ao ft h ea r t i c l ei nb r i e f i nc h a p t e r1t w ot h e o r e m sa r el i s t e d t h e o r e m li sg i v e nu n d e rt h ef i r s tm e l n i k o vc o n d i t i o n sa n dr i i s s m a n nn o n d e g e n e r a t ec o n d i t i o n ，w h i c h i sm a i nr e s u l t so ft h ea r t i c l e t h e o r e m2i si n t r o d u c e di no r d e rt op r o v et h e o r e ml b yn o r m a l k a mi t e r a t i o n c h a p t e r2h a st w os e c t i o n s ，i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ec l a s s i f i e dn o r m a lf r e q u e n c i e s ，t h e np r o v e d t h e o r e m1o nt h eb a s i so ft h ec l a s s i f i c a t i o nu s i n gt h e o r e m2 i nt h e p r o o f o ft h e o r e mlw ea l s o t o o ka d v a n t a g eo fas p e c i a ls y m p l e c t i cm a p ： 皿：( 。，y ，z ，j ) _ ( 0 ，i ，w ，面) s血 0 = x ， ，= y 十e 司气- n i 3 ， o = 1j = l w = e z w = 雪j t h e o r e m2i s p r o v e di nd e t a i li nt h es e c o n ds e c t i o n ，w h i c hi st h ec e n t r a lp a r to ft h ea r t i c l e t h e m e t h o do ft h ep r o o fi st h en o r m a lk a m i t e r a t i o n ，w h i c hi sd i v i d e di n t ok a ms t e p ，i t e r a t i v e l e r n n l a ，c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i o na n dm e a s u r ee s t i m a t i o n k a ms t e pi n c l u d e sc o n s t r u c t i n gs y m p l e c t i ct r a n s f o r m a t i o n ，s o l v i n gh o m o l o g i c a le q u a t i o na n de s t i m a t i n gn e wp e r t u r b a t i o n i t e r a t i v e l e m m ac a nb ev i e w e da sas u m m a r yo fk a m s t e p b yd e l i b e r a t ec h o i c eo fp a r a m e t e r s t h ew h o l e s e t u po fi t e r a t i v el e m m ah o l d sf o ra n yv t hs t e p s ow ec a nr u ni t e r a t i o ni n f i n i t e l yu n t i lt h e p e r t u r b a t i o nv a n i s h s i nt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i o n 、w ep r o v e dt h es e r i e so fs y m p l e c t i cm a p 圣”) c o n v e r g e st o as y m p l e c t i cm a p 币a n d 圣( t ” o ) o ) o ) ) i sa ni n v a r i a n tt o r u so f t h eh a m i l t o n i a ns y s t e mi nt h em e a s u r ee s t i m a t i o n ，w eg a v et h r e el e n n n a s ，t h e np r o v e ds e to “ 4 i sn o n e m p t y f u r t h e r m o r ew ec a np r o v em e s ( o 一0 0 ) _ 0w h e n 。_ o ，t h a ti st os a y ，m o s t i n v a r i a z l tt o r ip e r s i s tu n d e rs l n a l lp e r t u r b a t i o n t oe s t i m a t et h e n e a s u r eo fo au n d e rr i i s s m a n n n o n - d e g e n e r a t ec o n d i t i o n ，l e m m a4p l a y sa ni m p o r t a z l tr o l e i nt h ep r o o f o fl e m m a4w eu s e d t h em e t h o do fr e f e r e n c e 3 1 3a n dm a d es o m ei m p r o v e m e n t f i n a l l yw ec a x e f u l l yd i s c u s s e du n d e r r i s s m a n nn o n d e g e n e r a t ec o n d i t i o nt h em e a s u r eo fs e t ： n k ( a ) = 妊驯i m - i ( 圳l 訾 a n dc o n c l u d e dt h a tm e s ( o o a ) s0 ( q 1 l ) w h e nai ss m a l le n o u g h c h a p t e r3i sa p p e n d w h e r ew el i s t e daf e wt h e o r e m sn e e d e di nt h ep r o o f o fm a i nr e s u l t s t h e i rp r o o fc a na l lb ef o u n di nr e f e r e n c ep a p e r s k e y w o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m ，p e r t u r b a t i o n ，s m a l ld i v i s o rc o n d i t i o n ， i n v a r i a n tt o r i ，k a mi t e r a t i o n ，m e a s u r ee s t i m a t i o n 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理 签名：导师签名：e i 期： 引言 我们首先在引言中介绍哈密顿系统的一些基本概念，以及和本论文有关的研究背景。 哈密顿系统一个哈密顿系统是指如下形式含有2 n 个方程的一阶常微分方程组： 萨一瓢川) ，蠡= 秘则乩2 ，- ，n ( 1 ) 其中( t ，p ，q ) 0 ，0 是r 1 r “xr “空间中的某个开集。h = h ( t ，p ，q ) 是。上的一个光 滑的实函数，通常称为哈密顿函数向量p = ( p l ，p 2 ，p 。) 和q = ( q t ，q 2 ，) 是一对 共轭变量，在经典力学中，常常用来表示位置矢量和动量t 代表时间下面是一个简 单的例子： 例：考虑一维简谐振动方程i + 护z = 0 ，u o 是常数 令“= 言，h = u ( z 2 + u 2 ) ，则方程可化为 a h 。5 。”2 面， o h “。一“。2 一+ j i 这就成为一个哈密顿系统，且是可积的，其积分曲线为 z ( t ) = c l c 0 8 0 3 t 十c 2 s i n t d t u ( t 、= 一c l s i n w t + c 2 c o s w t 口 为了讨论方便，引进2 n 维列向量z 和2 n x2 n 反对称矩阵j 以及梯度v h z = ( ：) 钆一。川t j = 厶= ( ；j ) ，v h = v ：日= ( 羹) 2 保守啥密顿系统当哈密顿函数h 不依赖于t 时，即h ：0cr 2 n r 1 ，h ： 日扫，q ) = 日( z ) 时，( 2 ) 就成为 j = j v h ( z ) ( 3 ) ( 3 ) 是自治方程，称为保守哈密顿系统0cr 2 “叫做相空间。当给定初始条件z ( o ) = z o 时( 3 ) 的解可写成 4 t ) = 曲( t ，z 0 ) ，咖( 0 ，z 0 ) = z 0 在相空间中z ( ) 代表一条曲线当初值z o 变化时，z ( t ) 生成一个映射叫流映射( 或者叫 做相流) ： 9 0 ： ocr 2 “- - - 4 r 2 “ z o - _ z ( ) 即( o ) ，g ( o ) ) h ( p ( t ) ，q ( t ) ) 容易证明，相流 9 备) 构成相空间上的一个单参数辛变换群。 首次积分设有光滑函数f ：o r 2 “_ r 如果f ( 咖( t ，z o ) ) = f ( z o ) ，则f 称为方 程( 3 ) 的个首次积分如果f 是首次积分，那么集合f _ 1 ( c ) o 是相空间中的不变流 形，从f 。( c ) 上出发的解曲线4 t ) = ( t ) ，q ( t ) ) 将始终落在f _ ( c ) 上 泊松括号泊松括号是一种特殊形式的算子，在哈密顿系统理论中扮演着重要角色 下面给出泊松括号的定义：设f ，g ，h 是从o 到r 1 的光滑函数， h v 叩g ，= v f t j v g = 筹筹一等筹 叫做f 与g 的泊松括号，其中( ，) 代表通常的内积显然 f ，g ) 也是从0 到r 1 的光 滑函数下面是泊松括号的一些性质： a ) 只g ) = 一 g ，f ) b ) 只 g ， + g ， n - - l , ( 2 0 ) 其中 kj = k l i + + k l ，这个强非共振条件又叫做小分母条件。 有了以上说明，现在我们就可以叙述经典的k a m 定理了 经典的k a m 定理设哈密顿函数h 是非退化的，频率映射 p 是d 与n 之间的微 分同胚，h = h + 在d i n 上是实解析的，则存在一个常数6 0 ，使得当h 。) 口 关于低维不变环面的经典的k a m 定理是柯尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o v ) 1 9 5 4 年提出的， 并且柯尔莫哥洛夫提出了用牛顿快速迭代法解决小分母问题的思想二十世纪六十年代 阿尔诺德证明了解析的哈密顿系统的k a m 定理。与此同时，m o s e r 获得了保面积扭转映 射的k a m 定理在随后的几十年中，众多数学家对k a m 理论进行了发展和完善1 9 6 5 年左右，m e l n i k o v 7 ，8 1 给出了近可积哈密顿系统的低维不变环面的保持性的结论，其中 他要求下列小分母条件( 或非共振条件) 成立： ( ) ，k ) 0 ，k z “，0 ， ( ) ，k ) + 踢( ) 0 ， ( u ( f ) ，k ) 一q t ( ) 一n ， ) 0 ，l k i + l 一j i 0 ( u 旺) ，k ) + n ；嬉) 一n j 任) 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 通常( 2 2 ) 式称为第一m e l n i k o v 条件，( 2 3 ) 和( 2 4 ) 称为第二m e h f i k o v 条件。m e l n i k o v 的论断后来首先由e l i a s s o n 1 3 和k u k s i n 1 5 】给出了证明，在他们的证明中，第一和第二 m e l n i k o v 条件都是必要的k u k s i ：4 和p s s c h d 1 7 】等人还将k a m 理论推广到了无穷维 哈密顿系统，并且同样要求第一和第二m e l n i k o v 条件在此我们不妨来看看p s s c h e l 关于 哈密顿系统的椭圆型低维不变环面的结果在 1 6 】中p s s c h e l 研究了哈密顿函数： nm h = + p = 屿( ) 助+ 屿 ) 勺刁+ p ( x ，y ，z ，j ，) j = lj = l = u ，y ) + ( n 导，z ) + 尸( 2 5 ) h 在d ( s ，r ) = ( z ，y ，z ，z ) i l z m z i s ，r 2 ，i z l 2 r ，吲2 r ) 上是实解析的，n 是一个正 规形式，p 是扰动项频率u o ，o 是舻中的一个非空闭集，法向频率n = n ( u ) 在w h 上是实解析的， w h = u 舻：p 一0 i ) 8 小分母条件是： l ( 后，叫) 一( ；，n ( u ) ) i a s k ，茎2 ，l k l + ，0 ( 2 6 ) k z “，f z “，当 。时，如 0 在这篇文章中p s s c h e l 得到了下述结果： 定理设是一个正规形式，其法向频率n 在w h 上是实解析的，且满足 自s m 。， h = n + p 是n 的扰动，h 在d ( r ，s ) 上是实解析的，且满足 却日一y l l r , s , h 茎赤南而h ，。 一 0 , 则存在一个康托集仉o 和一个正规形式肌，使得 | ( 南，u ) 一( 1 ，n + ( u ) ) i o “，s2 ，l k l - 4 - 0 ，( 2 7 ) 并且存在一个变换 ，：d ( r 一2 p ，s 2 ) o d - - - - 4 d ( r ，s ) w ， ，关于( z ，y ，z ，j ) 是实解析的和辛的，关于u 是w h i t n e y 连续的，使得 h0 ，= 肌+ r 。 其中 嘭l v 。p v = q r 。= 0 ，2 1 l l - 4 - i p + q l 2 因此具有非共振频率u ，n + 0 。) 的椭圆型低维不变环面在扰动之下都能保存下来。此 外还有 m e s ( o 一0 a ) = o ( a d “_ 1 ) ，d = d i a m o 口 后来人们试图减弱m e l n i k o v 条件，即去掉第二m e l n i k o v 条件，仅仅在第一m e l n i k o v 条件下考虑低维不变环面的保持性，这方面的工作已由b o u r g a i n 9 ，1 0 ，徐君祥和尤建功 【1 完成 另一方面，许多研究者也探讨了在较弱的非退化条件下的哈密顿系统的k a m 定理 经典的k a m 定理要求r a n k ( h p p ) = n ，这我们通常称为非退化条件1 9 7 1 年，b r u n o 2 0 假设r a n k ( h v ，h p p ) = n ，证明了系统( 1 5 ) 不变环面的保持性1 9 9 4 年，程崇庆和孙义燧 9 2 2 获得了进一步的结果，他们在r n n ( 鬻) = r ( 这里u = h a p ) ) 和过每一点p oed 存在一条扭转曲线的条件下证明了同样的结果1 9 9 0 年r i i s s m a n n 提出：如果对任意的 ( a l ，a 2 ，a n ) er n ， o i p 1 十a 2 h p 2 + + a n h h o ，v 寥d ，( 2 8 ) 那么系统( 1 5 ) 的大多数不变环面都能保存下来( 2 8 ) 式称为几何形式的r i i s s m a n n 非 退化条件，它的意义是频率k 0 ) 不完全落在任何过原点的超平面上。r i i s s m a n n 条件 是最弱的非退化条件1 9 9 5 年，徐君祥，尤建功和仇庆久给出了与之等价的解析形式的 r i i s s m a n n 非退化条件： m h 嘉l w , 1 a 1 5n 1 ) = n 印以( 2 9 ) 并证明了r i i s s m a n n 的论断 至此，有限维哈密顿系统中m e l n i k o v 条件和退化系统方面的研究都取得了满意的结 果本文的目的是想结合以上两方面的工作，再推进一步，考虑在第一m e l n i k o v 条件下 和r i i s s m a n n 非退化性条件下哈密顿系统的低维不变环面的保持性 第一章主要结论 1 1 记号与定义 设哈密顿函数 nm 日= 屿( ) 协+ 石1 n ，( ) ( 嵋+ ”；) + p 如，u ，”，) ( 1 1 ) j = l一= l 其中自变量( z ，y ”) 定义在辛空间( t “x r “r ”r 仉，d x j a d y j + d u j a d v j ) 上， j = ij = l t ”是通常的1 2 维环面 z = ( z l ，z 2 ，一，x n ) ，y = ( y l ，y 2 ，一，) u = ( u l ，u 2 ，“m ) ，v = ( l ，v 2 ，一，v m ) ， u ( ) = ( u 1 ( f ) ，u 2 ( f ) ，u 。( ) ) r n 称为切向频率， q ( ) = ( n 1 ( ) ，n 2 ( f ) ，q 。( e ) ) r “称为法向频率， f = ( f l ，2 ，矗) p 是参数，o 是r “中的一个有界开集， p ( z ，y ，“，”，) 是一个小的扰动项 相应的哈密顿系统为： 2 “( ) + 马，0 2 一只， 吐= n ( ) + r ，o = 一n 幢) “一只。 在( 1 2 ) 式中，n ( f ) = d i a g ( q l ( ) ，n 2 ( ) ，n 。( ) ) 表示对角阵 引进坐标变换： 茁= x ，y = y ， z 可将哈密顿函数( 1 1 ) 变为： h=ni p2 其中 1 0 江j ，( 1 3 ) ( 1 4 ) y 茁p+ 一对0嗡 只。芦卅 + 毛勘 + ” 咖。芦 力 一zq + 曲 u i l 一勺幢 。似 + 蜥” 。斛 i l 在变换( 1 3 ) 之下，辛形式壹4 q 4 蛳+ 曼岫 d 码变为 = 1 j = l 哈密顿系统则可写成 ( 1 5 ) 童= 丑j = u ) + b y ，i = 一e = 一只， ( 1 6 ) j = 一i 口j = 一i ( a z 十b ) ，z = i h z = t ( n i + 只) 假设哈密顿函数h 关于自变量( x ，y ，毛2 ，) 都是解析的。若p = 0 ，则( 1 6 ) 成为一个 可积系统： 未= u ，0 = 0 ， ( 1 7 ) j = 一t q z i = i 1 2 2 在每一点f o 处，系统( 1 7 ) 有如下形式的解； z ( t ) = x o + w t ，y ( t ) = 0 ， ( 1 8 ) z ( t ) = 0 ，j ( t ) = 0 ，一。 t + 。 由( 1 8 ) 式可知t “x o ) o ，x o ) 是一个低维不变环面 若p 0 且扰动量控制在充分小的范围内，系统( 1 6 ) 的不变环面的保持性问题已经 得到了广泛的研究我们将在更一般的情形下证明，系统( 1 6 ) 的大多数不变环面仍然能 够保持下来 首先给出一些假设条件和记号 假设1 ( 非共振条件) 扣( ) ，k ) 0 ，o ， ( w 佳) ，k ) 十n ，( f ) 0 ，k z ”，0 茎j 茎m ( 1 9 ) 式就是经典的k a m 理论中的非共振性条件( 1 1 0 ) 式是第一m e l n i k o v 条件 假设2 ( 非退化条件) f 0 ，n l = n n o + 1 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 一勺 d 勺 d 。硝 + 嘞 如 。硝 = n 一 ， 卢 n 一 = 1 丝群 七 七 n n n 其中 护u ，护u 1 护忱o # w 虬t 万2t 面歹面歹面歹j - ) 参= 淼v - j ，- 娜n谚2 研碡啊坯珏“ 1 2 卢= ( 卢l ，愚，风) ，i # 1 = 岛+ 肫+ + 岛，各分量均为非负整数。( 1 1 1 ) 式就是解析形 式的r i i s s m a n n 非退化性条件 用d ( s ，r ) 表示低维环面t ” 0 ) 0 ) 0 ) 的一个复邻域： d ( s ，r ) = ( 口，y ，z ，i ) l l j m z l 墨s ，l l r 2 ，i z l 2 r ，1 j 1 2 兰r ) 其中i f m z i = 。豸l j m 即i ，川= 恶蒿l 协l ， h 。2 ( j 苎= l i 1 2 ) 1 归 设p ( x ，y ，z ，j ，) 是解析函数，从而在d ( s ，r ) o 上p 可以展开为 p = 最蛳( ) e y 。z 4 事 ( 1 1 2 ) k ，i ，q , c 7 足义范数 归i i s , ，s u pl i ir 蛳( ) i i 洲y l z q 驴1 ( 1 ，1 3 ) 川! r 2 ，l z l 2 _ r 1 j 1 2 s rl 赢知 l 其中i i ，( f ) i i l 。 斋，r n - - l ，k # o m e s ( o o 。) c a l 其中c 是不依赖于a 的一个常数 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 接下来我们给出定理一在一种特殊情形下的一个结果，即下面的定理二在下一章 我们将会看到，通过一个辛变换，定理一可以转化为定理二所要求的特殊形式，从而定 理一的证明转化为定理二的证明 考虑哈密顿函数 1 4 h=np m = 屿协+ ( q j 暑刁，勺) + p 扛，z ，j ，) l ，nj = l = ( u ，y ) + ( q j ，z ) + p( 1 1 8 ) 其中而= d i a g ( n 1 1 1 ，q 。厶) z y ，弓是d j 维向量，z = ( z z ；l - z 量冶) 0 0 ，1 j r h ；五= d i a g ( i j t ，一弓2 ) ，痂 j m 弓，0 1 ，2 均为单位矩阵 假设u ，n 满足下列条件 和( f ) ，k ) 0 ，k z “，0 ， ( u ( f ) ，k ) 十n ，( ) 0 ， 1s ，js r n ， ( u ( ) ，k + 幻) 一n 。 ) 一( f ) 0 ，l k i + i i j l 0 ( u ) ，k ) + n 。( ) 一n j ( ) 0 ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 定理二设哈密顿函数如一j 圳所示，其中u ，q 满足n 1 9 ) 一以蟹，并且满足非退化条 件阻j 纠，则当a 充分小时，就可以找到一个e ，使得当1 i 勋晴v n 一1 ，k = o 其中c 是不依赖于n 的一个常数 m e s ( o p n ) c a l 。 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 第二章主要结论的证明 在这一章中，我们利用一个特殊的辛变换将定理一转化为定理二的情形，然后再证 明定理二，其主要思想来源于文章【1 1 2 1 定理一的证明 在这一节中，我们先对法向频率进行分类，然后用定理二证明定理一。 2 1 1 法向频率的分类 盏! 羔生两个法向频率哦与n ，等价，是指存在某个磁z ”，使得下式成立 q j = q i + ( ，醒) ，( 2 1 ) 记作f 2 污吗 根据上述定义，我们可以对= n l ，n 2 ，q 。) 中的元素作如下分类： 1 ) 找出中所有二倍共振的法向频率，即满足2 9 j = 的法向频率，记作 n ，q 5 ，噼 应该注意的是，当i j 时，啦q ；，l i ，j r ，因为如果n j ；啊， 爿q ；= q + ( u ，日) ， 哥2 n ；= 2 q j + ( u ，2 碍) ， 爿( k j 一一2 酵，u ) = 0 与( 1 9 ) 式矛盾 2 ) 找出n ；的等价类，记作【n 拉 【噶 = n ；，蟛，呼) ，l j r ， 注：由于吗；一鸡，故在啊】中已经不再有与吗或一n ；等价的元素 3 ) 在余下的法向频率中，任取一元素q h l ，找出与q j + ，或q j + 。等价的法向频 率纳入集合 + “卅 n 6 ， l 缸 q o 件 q +噼 ，【 将此集合仍记为 n h 。 ，其中 q ；“iq j “， 僻+ 1三一q ；+ 1 ， 1s j d r 州， d r + 1 j d r + 注：也许一噼+ ，隹，在此仅作为与之等价的法向频率的代表元而已 重复以上过程可找出所有余下的等价类m h 。 ，c n j + ： ，乳 通过分类，我们得到 = q i u u 【n ；】u n ；+ 1 u u n ： 并且可以验证下列关系成立 扣( ) ，k ) 0 ， k z ”，l k l 0 ， ( u ( ) ，k ) + n j 强) 0 ， u ( ) ，k4 - 码) 一n 心) 一f 2 ；( f ) 0 ，1 i + l i j l 0 ， ( u ( ) ，) + q ) 一踢代) 0 ， l i ，j s ， 其中如z “是常向量，b 0 ， l j r ； 码= 0 ， r + l js s 根据以上对法向频率q 的分类，我们可以将定理一中的哈密顿函数改写为 0d i h = n + p = w j y j + n i 霹茸+ p l ! j ! n i = 1j = l 2 1 2 证明定理一 在上面n 分类的基础上，我们就可以用定理二来证明定理一了。令 且：d i a g ( e 瑚，e i ( ，e i l 羟) ) e = d i a g ( e 1 ，e 2 ，b ) 作坐标变换：( z ，y ，z ，j ) - - - 4 ( 0 ，w ，面) 0 = z ，f = y + 薯。- 3 ；碍 3血 l = l j = l 叫= e z 西= 亩导 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 由引理a 4 可知，是一个辛变换，在此辛变换下，( 2 6 ) 式变为 1 8 日o = no + p o = n o + p o( 2 7 1 no=n o 皿 n rs = 屿( ) 易+ 嘭( 奶，屿) + ( 嘭与呜，哪) j = lj = l j = r 十l n s = 屿( ) 与十( n ；0 吗，q ) j = lj = l = ( u ，) + ( n 面，叫) ， 其中 矗= d i a 9 ( 喵i ，n 5 丘，一，n ：五) 0 = 0 ，1 sj r ；0 = d i 0 9 ( ，一弓。) ，r n - - i 2 3 ( 2 2 9 ) f pl i t _ 掣i f 磁| | z ，| | f ：i i c 警l i 磁1 i c ( 2 _ 3 0 ) 卸一f | 赤f f 五。f f ；5 峨i b 雌 其中a ( l 十1 ) t + n + l 其次考虑一次项，由( 2 1 7 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 可得 a o + 1 一 o l + i p a 比f “一i ( a + f ”一2 g b f l o ) = 袁0 1 屯f 1 0 + i ( a t , f 1 0 2 0 雪f 0 1 ) = 五1 0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 注意到a = d i a g ( a l ，且2 ，a m ) ，b = d i a g ( b l ，玩，) ，比较勺和为的系数可得 一i 鼠霉1 一a j 碍1 + 2 e b ，。弓巧o = i 碍1 ， 一i 比日o + 4 乏碍。一2 e “( b ，。岛掣1 = 一擅 当以上各式展开为f o u r i e r 级数时，有 ( 七) 职 一a j 霹 + 2 弓磋2 一日= 一i 硪， ( u ，) 砖2 + a 弓碟2 2 b ，j o ， l + b = 一毒器 在上面第二式中，以k + 幻代替k ，并注意到4 q = 踢0 + a j 可得： ( ( u ，k + 砖) 弓一吩与一a ，- ，、f ，o t + b + 2 马曩2 = 一z 。r - 0 0 ，1 + h ， 一2 岛f ，o ，。l + b 十( ( u ， ) + n ，与+ 碍) 呓2 = 一i 碍曼 ( 2 3 5 ) 式是含有2 由个未知量的代数方程组，其系数矩阵是 呐忙) = d i 国9 ( ( u ，七) ，j + 吩，( u ，k + 弓) 一n j 弓) + j 代) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 一j = d i a g ( ( w ，后) o + n ， ( 叫，七) 与+ q ，j ) + j ) ，1 j r h ； 【= d t 0 9 ( ( u ，k ) i i + n j 0 ，( u ，k ) s j q ，弓) + j ( ) ，砘 j m 其中乃是呜阶单位矩阵，弓= 战。9 ( 。，一。) ，i ，( ) 是扰动项， 其中x i j = 。l j ( ) ，0 根据上述定义，由( 2 1 0 ) 式可知 芍) x j j = 1 嚣勤蚓， 酬l 蛳i n a x f 慨俨 0j ( f ) 俨c e o 由于i ix j ；ii ， 1 1x r 峨。茎e ，根据定义可以推得； i l 彤“1 ，0