（应用数学专业论文）人寿保险中资产的均衡配置问题.pdf

ab s t r a c t h i t h i s p a p e r , w e s t u d y t h e f a ir d i s t r i b u t i o n o f a s s e t s i n l i f e i n s u r a n c e u n d e r c o n t i n u o u s t i me . f i r s t , w e s t u d y a f a ir d i s t r i b u t i o n o f a s s e t s w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n s u m p t i o n . a c c o r d i n g t o n o a r b it r a g e p r i c i n g t h e o ry , f o r t h e c a p i t a l i n s u r a n c e o r p u r e e n d o w m e n t , w e d e r i v e w h a t c o n d i t i o n s s h o u l d t h e f a i r d i s t r i b u t i o n b e s a t i s f i e d i n t h i s c a s e ; s e c o n d , b y v i r t u e o f u t i l i ty f u n c t i o n s , w e m a x im i z e t h e t o t a l u t i l i ty o f t h e c o m b i n a t i o n o f c o n s u m p t i o n f u n c t i o n s a n d w e a lt h f u n c t i o n s ; i n t h i s s e t t i n g , w e u s e t h e o ry o f d y n a m i c s p r o g r a m m i n g t o r e s o l v e t h e m o d e l , a n d o b t a i n a n a n a l y s i s s o lu t i o n . t h i s r e s u l t i s n o t o n l y t h e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e f a i r d i s t r i b u t i o n c o r r e s p o n d - 吨 t o t h e s i n g l e p e r i o d m o d e l , b u t a l s o c a n b e r e g a r d e d a s t h e w a y t o a c h i e v e t h e d y n a m i c s f a i r d i s t r i b u t i o n o f a s s e t s k e y w o r d s : n o a r b it r a g e p r i c i n g , c a p i t a l i n s u r a n c e , p u r e e n d o w m e n t , u t i l i ty f u n c t i o n , t h e o ry o f d y n a m i c s p r o g r a m m i n g . 声明 本学位论 文是我在导师的指导下取得的 研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致 谢的 部分外， 不包含其他人己 经发 表或公布过的 研究成果， 也不包含我为 获得任何教育机构的学位或学 历 而使 用过的材料。 与我一同 工作的同 事对本学 位论 文做出的贡献均 己 在论文中 作了明确的说明。 研 究 生 签 名 :如刃年初 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以 借阅 或上网 公布本学位论文的部分或全部内 容， 可以向 有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布 本学 位论文的部分或全 部内 容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名:u0 7 年7 月 日 硕士论文 人寿保险中资产的 均衡配置问 题 绪论 1 . 1 理论背景 保险 业作为与银 行业、 证券业并列的 现代金融三大 支柱 之一， 在支持经济 增长、 促进社 会和谐、 参与社 会管理 等方面 发挥着 越来越重要的作 用， 保 险业的社 会影响 也日 益 扩大。 保险 业最 基本的 功能是经济 补偿功能 ， 这就要求 保险 公司有比 较高的 赔 付率， 没有 赔付的 保险， 最终就没 有保险。 人为降 低赔付率 淡化了 保险的 基本功 能，从而限制了保险业的发展。 改 革开放以 来， 中国 保险业走 上了高 速发展的快 车道， 无论是保险市 场规模还 是 保险 市场主 体， 都获得了 前所未有的 发展. 随着社 会主义市 场经济的深入， 特别 是 加入世界贸易组 织后， 我国 经济对外开放的 进一步扩大以 及经济全球 化进程的 加 快，中国 保险 业前景更为广阔、 挑战 更为严竣。 风险是客 观存在的，随 着科学技 术的 发展、 社 会化大生 产程度的提高， 许多新 的 风险也不断 地产生。 这些 风险无论 对个人的日 常生活 还是对组织的 活动都将产生 巨 大的 影响。 而保险则 是针对风险中 的可保风险， 研究 通过转移的 途径来降 低风险 的原理及其方法。 保险公司 和其他金融 组织一样属 于金融中 介机构， 只不过 保险 公司是对 风险的 一种中 介。 保险公司通 过收取保费的 方式， 将投保 人面临的风险 转移给保险 公司， 保险公司 补偿被保险人 遭受特定 风险而引致的损失， 发 挥补 偿损失的 功能 。 纵观各 类保险 运作， 实际 上都是将在 一定时期 可能 发生的 风险 造成的损失总 额， 在有共同 风险的投 保人之间进行 分摊， 由 所有的 投保人共同 承 担风险 造成的 损失， 其分摊原 理遵循 概率论与大数 法则。 根 据大数 法则， 保险 人所承担的全 体被保险 人的损失是 确定的。 若是遵 循契比 雪夫大 数定律，当 承保标的 数量充分大时， 保 险人可直接用 保险标的的 经验损失 来计算风险 责任的数学期 望的 算术平均 值; 若是 遵循贝努利大 数法则， 当 保险 标的的 数量趋向 于 无穷大时， 实际观察到的 损失 概率与客观存 在的 损失概 率之间的 差额将趋于零。 保险 业务的 种类是根据不同 的标 准划分的 ，国际 上并没有 严格的 分类规定。 通 常我 们按保险的 性质、 实 施方式、 保障范围、 赔付形式、 业务 承包方式等不同 标准 把保险 分成不同的 类型。 其中 最 基本的 分类方 法是 按保障范围 分类， 将 保险 分为 财 产保险 和人身 保险 两大 类。 而人身 保险又可以 划分为人 寿保险、 人身意 外伤害保险 和健 康保险。 人寿保险， 是指以 被保险人的 生命为 保险 标的，以 被保险 人死亡或 生存至合同 硕士论文人寿保险中资产的均衡配置问题 约定的年限时，由保险人给付保险金的保险。 通常简称为寿险，是人身保险中最早 的一种险种。 保险资 金管理是指 保险公司 在经 营过程中 ， 将 积聚的 保险资金 部分地用于投资 过程的资金 运用与管 理， 是 使保险资 金达到保 值增值的业务活 动， 是 保险企 业维 持 其 偿付能力的 重要 保障。 其 运用管理 主要有债 券投资、基 金投资、 股票投资、非 流 动性资产投 资和存款 管理。 保险资 金的基本来 源有权益资 产、 保险 责任准备金 和其 他资金如结算中形成的短期负债。 保险公司进入资本市场， 主要是购买股票、 国债、 金融 债、企 业债， 设 立投资 基 金等。 保险公 司通 过市场融通资金是 保证其偿 付能 力 的有效途径。 一般认为，保险资金管理得好，能促进保险业务的发展和偿付能力的提高，保 险经营的稳定性增强;反之，保险业的发展就受到阻碍。因此，在管理好保险投资 的同时， 要 处理 好资产在 保险公司 和被保险人 组合之间的 均衡配置，以 便公司 有很 好的发展。 保险企业的生存和发展表现为保险资金不断循环流动的过程， 无论从单笔资金 还是 从保险 企业的整 体资金 运动来看， 资 金流动 过程的起点是 保险 资金的 流入及资 金的 来源， 终点是资 金的 流出及资 金的运用， 这是 保险资金流动的 一般性 特点。 同 时， 从资 金流动的 整体 特性来看， 大量资 金不断 交错往复地处 于起点到终点的 循环 流动 过程中， 必 然会形成 一个最 低规模的资 金存量， 这一存 量不仅使 保险 投资成为 可能，还使保险企业能对投资形式及规模加以调整，即保险企业只有具备一定的资 金来源才能进行资金运用，资金来源对资金运用形成了一种约束，这种约束既体现 在规模上，也体现在结构上. 保险 资 金来源 对于投资 规模形成 约束， 资 金的投资 运用必须具有 最低的初始 规 模， 并尽量 使资 金在运转 过程中 保持一 个经 常的可 预测的存量规 模。 初始规 模是由 自 有资 本、 保险费 收入等构 成的。 在自 有资 本规 模一定的 情况下， 保 险费的收入 受 国家各种法律和政策规定的限制，也只能限定在一定的规模以内。因此，对初始规 模的界定 主要 体现为 在一定的自 有资 本金数 额前提下， 实现保险费收 入的最 大化问 题。 存量规 模则不同 ，它 是企 业在不断 进行资金 收入与支出的 基础上， 利用资 金流 动的时间 差而 积累起 来的 可以 经常 运用和支配的 资金。 保险资金来 源对保险资 金运 用的结 构具 有一定的 约束。 主要体 现在两个 方面: 一是 对投资结构的 约束， 二是对 投资方式的约束。 保险 投资 应该遵 循的基 本原则 有:结 构性原则， 按产品 分帐户管 理， 根 据帐户 不同 区分 对待、 以固 定收 益证券为 主的 政策。 在对投 资组合进行 设计时充分考 虑将 来 确定的、 必 须支付的 债务， 投资 组合的资 金要与 未来的 债务相匹配。 科学、 严格 的投资管理是保险投资成败的关键。 硕士论文人寿保险中资产的均衡配置问题 保险投资的 着眼点 并不是 直接增加公司资 本存量， 形成生产性资产， 而 是增加 公司 的债权或金融资 产， 从中 盈利以 增加公司的 经济补偿能力与市场竞争 能力。 但 是保险投资也会间 接地增加公司的 资本存量， 形成 一定地固 定资产和流动 资产. 从 投资形式看， 投资分为 直接投资和间 接投资两大 类。 间接投资因具 有流动性强、 收 益性较高等 优点， 成为 保险 公司的主 要投资形 式。 随着证券市 场的发 展和完善， 证 券投资可以实 现保险投资安 全性、收 益性、 流动性的较佳组 合， 证券市场 成了 保险 投资的主要 场所，因 此现 代保险企业的 投资主要是 指证券投资。 从 保险公司的 经营特点 来看， 财 产保险公司由 于保险期限短， 承保风险 发生的 随机性 大， 保险资金只能 做短期投资。 而人 寿保险公司，由 于保险 期限长， 闲散资 金数量大， 再加上承 保风险小， 而且比 较 风散，寿险 公司 成为资本市场的 主要的资 金供应者，因此，保险投资主要指寿险公司的投资. 保险 公司 是通过向众多 的投保人收 取保险费建 立保险基金，当 少 数被保险人发 生损失时 给予经济补偿的 一种经济保障 制度。 从保险资 金运动来看， 保险 资金 运动 要经 历三个阶段: 第一阶段 是保险费的收 取; 第二 阶段是准备金的 积累 和投资 运用; 第三阶 段是保险金的赔 付。 在这三个阶段中的 ， 保险 费的 收取是保险 资金运 用的 前 提和 基础。 没有充裕的 保费收 入， 就不可能 有巨额的可 运用的保险闲置资 金， 保险 金的赔 付是保险的基本 职能， 也是保险资 金运用的终点， 保险 准备金的 积累 与运用 是保险 基本职能的重 要保证， 保险金的 赔付实 现程度取决于 保险 准备金的积累 和运 用规模。 在金融学和经济 学中 ， 有一个很 有意思的 假定: 经济世 界中的 代表性 个体一生 的收 入是不平稳的， 一般来说， 年轻的时 候收 入很高， 年老的时候收 入很低， 甚至 没 有收入来源; 此外， 每个人却偏好 每个时期的 消费 要平稳。因 此， 消费 与投资 有 一定的相关性，消费的确定也依赖于收入及财富的累积。 当 一个人 寿保险 公司将其资 产在自 有资 本和被保险 人组合间配置时， 它就 会有 面临 宣布破产的 可能。 因为 一旦保险 合约生效， 它就 会在任何可能的时 候给 付可能 的 承诺的赔付 给被保险人，而 最坏的 情形是承 诺不能 实现， 公司就会宜布 破产， 所 有自 有资本就 会丧失。 为了 补 偿公司 所有者 在自 有资 本上的 低回 报， 在投资回 报和 保险 组合发展 允许的 时候，自 有资本以 一个超过无 风险 利率的利率 积累。 而确定保险 合同 的积累因 子时 ， 保险公司 也会面临 风险， 因为积 累因子 在任何 可能 的时 候都 必须被支付. 积累因 子的两 种最常见的 类型， 一种是 一个到期日 积累 ( 保险公司对于保险合同的整个持续期承诺一个最小的总的积累) ，另一种是多个 时 期的 积累因子 ( 保险公司 对于每个时期 承诺一个最小的积累因子) 。 本文考虑的 是后一种情 况， 因为 它允许我 们独立地考 虑每个积累时 期。 一旦 承诺了定 期积累因 子， 随 着投资组合的 低收益或 保险 组合的 不利发展， 保险公司的自 有资本就 有可能 硕士论文人寿保险中资产的均衡配置问题 经历 低的甚至是负的 收益。 可能发生 的极 端情形是承诺的 不能 被支付，由 于被保险 人的 利益优先 于公司 利益， 所有资 产就 会被给付给被保险 人， 保险公司 的偿 付能 力 就会受到威胁。 保险能力是 指公司偿 还债务的 能 力， 具体表现 为公司 是否有足 购的 资产来 抵偿 其 债务。 作为 一般公司来说， 只要资 产完全偿还 债务，即 具有了 偿付能力。 但是， 保险 公司的资 产能够完全 偿还债务， 并不 说明保险公司 具备了 偿付能力。 保险公司 的偿付能力是指 保险公司 对所承担的 风险 在发生超出正 常年景的赔付和给付数额 是的 经济补 偿能 力。 对保险公司来 说， 不仅要求资 产能够 完全偿还 债务， 而且资 产 必须超过负债达到一定程度，也就是通常所说的最低偿付能力。 1 . 2 研究现状及问题的提出 从历史 观点 来看， 现实中的 承诺给 付是出自 于 现金， 所以 在定价保险 合同 时被 忽 略。 但是 ， 近年来逐 渐降 低的 利 率使得承 诺给付对于 一些旧的 保险 合同 来说是一 个 重 要 的 因 素 。 因 而 ， 1 9 9 7 年， b r iy s 和d e - v a r e n n e lz 0 , a a s e 和p e rs s o n 1 1 ; 1 9 9 9 年， m i t e r s e n 和p e r s s o n 2 6 1 ; 2 0 0 1 年， b a c i n e l l o p 9 分别 研究了修正 嵌 入保 险合同中 的期权定价问题的重要性。 在实际生 活中， 保险公司为了 光 滑积累因子， 利 用一 个分红 帐户存 放未配置的 盈 余。当 包含一 个分红 帐户时， 保险 合同的定价就会依 赖于分红 机制。 2 0 0 0年， g r o s e n 和 j o r g e n s e n + 1 ; 2 0 0 2 年， h a n s e n 和 m i l t e r s e n 2 5 1 ; 2 0 0 3 年， m i t e r s e n 和 p e r s s o n 1 2 6 分别 研究了 不同的 分红机制 及其对保险 合同定 价的影响。 其它一 些在实践中 遇到的情形 就是被 保险人放弃中 途退 保和保险 公司 破产。 2 0 0 0 年， g r o s e n 和j o r g e n s e n ; 1 9 9 7 年 ， b r iy s 和d e - v a r e n n e 20 分 别 有 研 究 过。 1 9 9 4 年， a a s e ,k .k . 和 p e r s o n ,s .a . 6i 研 究 的 是 单 位 连 结 人 寿 保险 策 略 的 定 价 问 题。 定义 1 . 2 . 1 1 保险 利益依赖于某特定股票 价格的 保险合同 称为单 位连结人 寿保险合同。 当 保险 公司出 售了 这样的保险 合同 后， 保险公司 将面临 金融和 被保险人 死亡率 两 类风险。 从历史 观点 上说， 在实 践中 保证 金源自 于 现金，因 而通 常在保险 合同 定 价时 被忽略。 但是， 近年来递减的 利率 使得保证金 对一些旧 的保险 合同 来说 成为一 个重 要的因 素， 这就增加了 修正 嵌 入保险合同中 的期 权定价的 重要性。 文章 研究的 就是 这种情 况下的单 位连结人寿保 险策略 的定价问 题。 2 0 0 1年， 宋喜民， 吴孟铎和刘 伯肠做了 保险投资的 最优比 例的研究( 13 。 他们 硕士论文人寿保险中资产的均衡配置问题 将保险和投资联系起 来， 考 虑承保风险的 保险投资 模型， 并由二次 效用函 数得出 最 优投资比 例， 具 有现实意义。 因为 承保和投资是不 可分离的。 一方面承保 业务中 的 保费 直接决 定可投资的资 金数量; 另一方面资 金运用的效益又 会对保费的 制定 和赔 付能 力产生影响。 模 型成立的 一个重要原因是 保费收取 和保险赔付之间 有一定的 时 滞 模 型 为 臀e p ( rp 十 g p ( (1 - a )r o + a r. ) ， 其 中 尸 为 累 积 保 费 收 入 ， g 为 p 中 可 投 资 的比 例; r 为 承 保 收 益 率 且 为 随 机 变 量 ; r o 为 无 风险 收 益 率， 为 风 险 资 产 的 收 益 率 且为 随 机 变 量 : a 为 风险 资 产 上 的 投 资 比 例; 产 为 保险 人 的 效 用 函 数， 且 ,u 0 ， 声 . 。 ， d b , = r b d t ，b o = 1 . 其 中 ( 蔽 ) o 。 二 是 尸 测 度 下 0 ,t 上 的 一 个 标 准 维 纳 过 程 ， t 是 一 个 有 限 固 定 的 时 间 历程。 a,“ 和; 常数且a o , a ? o , r - o a a 解释为股票的 平均收益率，a 为 收 益率的 标准差， ; 为 短期 利率 。常 量v = 竺 二就 是股票 风险的市 场价 格。 在 b la c k 一 s ch o les 模 型 中 ， 由 嘿三 氏 = 。 一 幸 定 义 的 测 度 。 。 是 唯 一 的 等 价 獭峻 ， a 尸 且在q ” 测 度意义下 所有价 格过 程的贴现 在经济市 场上都是 ( 局 部) 较. 在概率测 度 q o 意 义 下资 产 的 动 态 价 格 过 程 为 : d s , = r s , d t 十 a s , d ws o 。 d b , = r b , d t , 凡= 1 其 中r ) o. 。 是q 0 测 度 下 0 , t 上 的 一 个 标 准 维 纳 过 程 。 3 4 中考虑的 策略均为自 融资 策略。自 融资 策略是 指在整个交易时 段内 ，投资 者在 决 定投资 策略 之后， 没有新的 资金 加入也没 有资 金 被消耗或抽走的 策略。 定义 1 . 2 . 4 1 一 个自 融 资策 略tp 被认为 是 含套 利机 会的， 如果 满 足: v o ( q ) = o , v r (p ) ? o p - a .s . t o o , t ， 且p ( v t (t, ) 0 ) 0 。 在【 3 4 中 作者考虑了 一 个给定 公司的 投资 策略， 并利 用无套利原 理， 给出 单一 周期内一个关于自 有资本的公平附加收益的方程。该投资策略考虑了购买持有策略 和固定 投资权重 策略， 且两 种策 略均 考虑了 不带 和带止损 线两种情况，以 此防 止偿 付能力 受到威胁。 文章 3 4 的目 的 主要是在 每一个 积累期期末 确定 一个保险 公司 所 硕士论文人寿保险中资产的均衡配置问题 有者和 被保险 人组合 之间资 产的 均衡配置。 模型本质上 考虑了 一个积累时 期的 单期 模型。 该文通过一 个配置方案 ( 定 义见下文) 给出 了 在积累 期期末确定资 产在准备 金、分红和 自 有资本间的配置。 定 义 1 . 2 . 5 1 1 配置方案被认为是公 平的， 如果 它对于保险公司 所有 者和保险 投资组 合都不含套利 机会。 2 0 0 5年， d a h l , m . 】 的 人 寿保险中资 产的 均衡配置考查了 保险投资 应实 行按产品 分帐户管理， 资产配置 应该实行根 据帐户不同区 分对待。 这也是这篇文 章 比以 往更为先进的地 方。 但文章只 考虑了 单 个时 期的资产 配置方案， 而 没有考虑 消 费问 题。 正是 基于这种 考虑， 本文尝 试考 虑连续时间 下含消费时的 资产均衡配 置问 题。 通过消费 和财富的 连续组 合构筑总效用 最大化的模型。 虽然 保险 公司 是经 营风 险的特殊企业，但是它与一般企业一样，其消费与其他企业的消费没有太大区别， 也是用于维持日常工作的费用、员工的工资和福利待遇、用于员工培训的费用、硬 件及软件设施的购买 和维护费用等等。 本文 没有细分消费的 类别， 将消费作为 一个 整体来考虑。 1 . 3 本文的主要工作 本文主要研究了 连续时间下 含消费 情形的 保险 公司的资 产均衡配置问 题。 对于含消费情形的资产配置问题， 本文首先在无套利原理下针对只有资本保险 的情形，给出了资产配置应满足的条件; 其次， 对含消费的 纯养老保险的情 形， 也 相应地给出了资 产配置应满 足的 条 件。 最后， 本文还从 效用函 数入手， 通过消费 与财富的 连续时间组合去实 现总效 用 的最大化。运用动态规划原理给出了模型的解。 硕士论文 人寿保险中资产的均衡配置问题 2 预备知识 2 . 1 资 产负债表 为了 便于描 述和理 解保险公司的 资产和负债， 我们利用一个简单的资 产负 债 资产 a 负债 v u e a ( 图2 . 1 ) 其中 ，账户v ( 准备金) : 保险组 合的 总的准 备金.以 纯养老保险为 例， 个人 准备金会在期 终以 和的形 式给付 给被保险 人。 它是属于单 个被保险 人的， 不能被 转 移到 其他被保险 人的帐户 或者负 债表栏的 其它帐 户中。 帐户u ( 分红所得) : 未配置的盈 余， 作为 一个整体分派给保险 组合。 它是 保 险 公司 用来光 滑准备 金积累因子的 。 分红 所得不能自 由 地转入自 有资本账 户， 除 非 是 作为联 系于保险合同 风险的收 益时才可以 。 账户e ( 自 有资 本) : 属于保险 公司 所有人的资 本。 账户a ( 资产) :描述 保险公司 总资产 价值的 。我们假设 保险公司投资于上 述 3 4 中 的 经 济 市 场 。 假设 保 险 公 司 将e o 投 资 于 存 款 账 户 ， 将 气 + 矶投 资 于 一 个 价 值 过程为v ( .p ) 的 策略(o = ( 9 , q ) 。在 0 , t 内 的 任意时间t ， 我们 有 a = e e o 十 粤 (y o + u o) ， v o t 毋夕 不失一般性我们假设， 气+ 矶= v o ( gg ) 。( 2 . 1 . 1 ) 从 而 有a 二 e e o 十 v o ( ,p ) ， 如 果( 2 .1 . 1 ) 式 不 成 立 ，自 融 资 策 略 将由 下 式 给出 : = ( va + v o 9 ,v p + u o 77 ) , v o t w j y o k (p ) 迅v0(gh箫 必= 满足e e o + v , ( q, )v , ( m ) = 鸿 , t e 0 , t 。 硕士论文人寿保险中资产的均衡配置问题 2 . 2 单时期资 产配置方案 公司在t 时刻 在负债与所有者权益之间的 资产配置方案依赖于公司资产在经 济市场上的 发展。以资 本保险 为例， 资产的发 展情况可以 分为以 下 三种情形: 1 . a t g t v i : 在 这 种 情 形 下 有 v t = a t , e , = 0 , u t = 0 ， 公司 没有 足够的资 产支付承诺 的准备 金， 且被保险人的 利益 优先于保险公 司所 有者，因 此保险公司的总资 本就 会被分配给 被保险 人，导致自 有资 本全部 丧失。 2 . g t v o s a t 0 ， d b , = r b , d t ，b p = 1 。 其中 成) 二 是 p 测 度 下0 , t 上 的 一 个 标 准 维 纳 过程 ， t 是 一 个 有限 固 定 的 时 间 历程。q, a 和; 常数 且a o , a 2 0 , r _ o . a 解释为 股票的平均 收益率，a 为收 益 率的 标准差，; 为 短期 利率。 常量， = a .v = - 二就是股 票风险 的市 场价 格。 在 口 b la ck - s ch o le s 模 型 中 ， 由 掣二 。 一 。 一 叫 “ 定 义 的 侧 度 q 0 是 唯 一 的 等 价 教 ， 度 ， d p- - 一 - 且 在q o 测 度 意 义 下 所 有 价 格 过 程 的 贴 现 在 经 济 市 场 上 都 是( 局 部 ) 教 . 在 概 率 测 度 q 0 意义 下资 产的动 态价 格过程为: d s , = r s d t + a s d ws o 0 d b , = r b ,d t , b o = 1 其 中(w ) os t.t 是 q 0 测 度 下 10 , t 上 的 一 个 标 准 维 纳 过 程 。 3 . 1 . 1 基于消费下的 资 本保险 这 里 我 们 假 设 保 险 公 司 的 保险 组 合 只由 资 本 保 险 组 成 ， t 时 刻 只 有 v ,( ( ) - c (t ) e t 的资金用于投资。 ( 一) 考虑一种 常见的 投资策 略一一相 对固 定 投资 组合权重 策略。 在投资 时期 的 任 何阶段t ， 都有8 份额的 投资组合 价值投资 到股票上，8 e 0 , 1 。 所以 有: 硕士论文 人寿保险中资产的均衡配置问题 9 , s , = 奴 呐 ， j 7 , = ( 1 一 s ) v , 切 在 这 种 情 形 下， 自 资 融 资 策 略 的q o - d y n a m ic s 的 价 格 过 程为 : d v , ( p ) 二 9 , d s , + r1 , d b , =0 , ( r s d t + a s d w , ) + l , r b d t =r v t ( p ) d t + s a v , ( gp ) d 厌。 其中泥) 、 是v测度下(0 , 刀上的 一个标准维纳过程，。 和， 均为常 数且 o o , r z o . o 为收益 率的 标准差，r 为短期利率。 为了 运 用资产发展的 三种可能 情形， 我们通过 解两个方程来确定 代表投资 策略 价 值， ， 的 两 个 变 量 v , 和 v 2 : q v = e e , + v , t ( 3 . 1 . 1 ) 和 k t v ( l + y ) = v, , ( 3 . 1 . 2 ) 、二， _、 _ _ ，d s .、 . _ _. _ 其中 v ,* ., ( ) = (v , ( ) 一 。 (t ) n t ( w o r d t 十 w 答 匕 ) ，w d 为 无 风 险 资 产 的 投 资 比 例 ， w为 风 s , - 一- 一 一 - - - - - - ， - 一 险资产股票的投资比例。 v , 是t + n t 时 刻 不 至 于 使 保 险 公 司 破 产 的 最 低的 投 资 策 略 的 价 值; 而v i 是 保 险 公司 以凡为 积 累 因 子的 最 低 的 投 资 组 合 价 值 。 解( 3 . 1 . 1 ) 式 和( 3 . 1 . 2 ) 式， 我们可以得到 v ( c ) = 乓v , 一 e r a 互， 和 v ( c ) = k j v , ( 1 + y ) 。 这 样我 们 就 可 以 将e, 。 分 为 三 种 状态 ， 从而 有 双 + = 1 (v; .,n s (c) e t+ . tv i + l (n ( . ,+ , () 式 + a + 1 (t ( ,; y )式 、 “ e ,+ a + e ,+ . ,z + e ,. , . 当 v ,+ ., v ( c ) ， 从 而 得 到 e t+ . r2 - 1(m m ( i (cb , (t )s ; a vt(c)e (r* p )a e t + 1(、 (c)= vt.t (v,(c ).v, (c ) (e r. re r + v t. 、 一 g t v ) 一 1( i (c)svt. a (v, (c), (c)( v t. .t 一 vl ) + 1(m m (v: (c ).v3(c)sk +. 2 (c)e (厂” )“ r 一 (v t十 t 一 v (c ) ) 一 ( v 十 一 面 n ( v 2 ( c ), v 3 (c ) ) ) + - 1 (= ( 3(t). 7 (c )s vt.a ) ( m in ( v 2 (c ) , v 3 ( c ) ) 一 v (c ) ) + e (二 ， ) e , 1(- * ,(t ), (c )* t. .t) 一 1(, ,(t)s nt. ) 同 样 我 们 可 以 得 到e r+ .r 假 设 v 4 ( c ) 是 满 足e r0 t耳 + v r. , t( 必一 凡k e (r+ p ).t双的 v . , ( .p ) 的 最 大 值 ， 解 即 得 v 4 ( c ) 二 e (r+ p ), re r + 耳v 一 e a e r ， 令v , ( c ) = 凡k 一 e r,r 双 ， 则 有 v 4 ( c ) 二 v s ( c ) + e (r .p ), r尽。 从而 嵘 ， = 1(、 (c) 、 。，) min (e (r+p ).r 1(, ()s . a ) m in e e r +e r, re r + v ,. , o p ) 一 k t v ) “ l(n (c) 编 阶版 tc) ) . .r= 1 (y, ()s ; ., (, x r.(t)( e e t + v t* “ 一 v t ) + 1 (. 阶)，n (c) 抵 ， e (+ p )0 t e( (z (c ).v.(c)s.a ) r = 1(v,(c)svt. 一 (r,(+ r.() (v,+., - v f(c) + 1(一 (、 (。).v 。)凤 ，)e(r+p).tev,(c).v.(c)5 r.a ) r 二 ( v , + .: 一 v 2 (c ) ) 一 (w r+ . ， 一 m a x ( v 2 (c ), v a ( c ) ) + + 1( , (r)s v- ,) ( v 2 (c ) - v j c ) ) + 1(二 (v2 (c 、 ()、 ，)e (r+ p ). re(, (c ), . (t)k t.j r 一 (一 (、 (、 。) 、 ，) (m- ( v 2 (c ) ,v , (c ) ) 一 v ( c ) , 所以 式 + ， “ 式 + ， 1 + 式 + r 2 + e， 、 3 一 。(r+p，一; (1(一 (1 ( 7 (t)5vtaa。 一 10(0- )+ ，* 。 “、(， 、 ，) + ( v ,. , ， 一 v , ( c ) ) 一 ( v ,十 ， 一 - in ( v i ( c ), v i (c ) ) ) + - 1( ( ( , c)5 .,) ( in in ( v , ( c ) , v a ( c ) 一 v , ( c ) ) + ( v r十 r - v z ( c ) )+ + 1 ( ,c n +.r) ( v , (c ) - v s ( c ) ) 一 ( v i. . ， 一 a 78 x (v 7 (c ) , v 4 ( c ) ) )+ - 1 ( ,c .u n . .,) (m a x (v z ,v a ) - v i ) ( 3 . 1