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一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 摘要 海洋环境复杂多变。而声波作为海洋环境中唯一可以远距离传播的波动形 式。它在海洋中的传播可以通过建立数值模型进行计算，快速声场预报模式对于 声纳性能预报和海洋环境参数层析反演十分重要。如何建立快速、精确的声场计 算模型是提高声场预报质量的i i i 提。 本文首先回顾了现有的声场计算模型，并总结了各自的优缺点及其适用范 围，并对目前比较流行的两种计算模型简正波方法和抛物方程方法作了详细 的介绍，它们也是我们提出的声场计算模型的基础。 对于水平均匀和水平缓变的海洋波导来说，现有的声场计算模型已经比较成 熟，绝热简正波理论、抛物方程( p e ) 方法都能给出快速、精确的声场预报。对 于水平变化较大的海洋环境，由于水平变化对声场的影响，用绝热近似方法来计 算声场会产生较大的偏差；而耦合简正波理论，虽然计算精度高，但计算时间太 长；抛物方程方法计算精度比耦合简正波的稍差，只能计算远场，且处理向后散 射有困难，但计算速度快。藕合简正波一抛物方程( c m p e ) 方法在水平方向采用抛 物方程法求解简f 波系数方程，可以克服由于耦合简正波理论的分段水平均匀近 似带来的缺陷，耦合系数中考虑了海底倾斜的影响，可以加大水平步长，同时可以 很方便地应用于三维声传播问题。 耦合简正波计算机算量繁多的关键在于耦合矩阵的计算，需要逐点计算局地 简币波及其微分系数，高精度计算要求水平分区多，结果在精度和计算量之间存 在一定的矛盾。本文借鉴c m p e 的诸多优点，探讨了一种基于简正波理论的局地 简j 下波声场计算方法，基本思想是：利用求解低维矩阵问题代替现有简正波模型 的差分问题，减少了耦合简诈波计算中各点的局地本征函数和波数的计算量。首 先，通过矩阵分解技术可以得到各水平位置水平波数和局地本征函数：然后水平 方向上简币波系数则是通过抛物近似方法来求得，加快了计算速度，但不可避免 的牺牲了计算精度，例如波数累计误差。并且现在这套方法还不能处理变海深的 环境。本文给出了数值算法和简单算例，并与现有的数值方法计算结果作了比较。 关键词：简正波；抛物方程；奇异值分解；变换矩阵； t h eb a s i cs t u d yo fs o u n df i e l dc o m p u t a t i o nm e t h o d o f c o m p l i c a t e do c e a n a b s t r a c t s o u n di st h eo n l yw a v ef o r mw h i c hc a np r o p a g a t el o n gd i s t a n c ei nc o m p l i c a t e d o c e a n ，w h o s ep r o p a g a t i o ni se s t i m a t e db ym e a n so fn u m e r i c a lm o d e i ti si m p o r t a n t i s s u et oi n v e r tt h ep a r a m e t e r so fo c e a ne n v i r o n m e n tb yt h en u m e r i c a lc o d eo fs o u n d f i e l d h o wt oe s t a b l i s hr a p i da n dp r e c i s en u m e r i c a lm o d ef o rs o u n df i e l di sa l s ot h e k e yt oi m p r o v et h es o n a rt e c h n o l o g y t h ea r t i c l ef i r s t l yr e c a l l st h en u m e r i c a lm o d e si ne x i s t e n c e ，a n ds u m m a r i z e st h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h e m t w om o d e s n o r m a lm o d e ( n m ) t h e o r ya n dp a r a b o l i c e q u a t i o n ( p e ) m e t h o dw h i c ha r et h eb a s i so f o u rn e w m e t h o da r eg i v e n t h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs i m p l eo c e a n i cw a v eg u i d ea r er o b u s t w h i e h c o m p u t er a p i d l ya n da c c u r a t e l y , f o ri n s t a n c ea d i a b a t i cn o r m a lm o d et h e o r ya n d p a r a b o l i ce q u a t i o nm e t h o d h o w e v e r , f o rt h ew a v eg u i d ev a r y i n gr a p i d l yi nh c i r i z o n t a l d i r e c t i o n t h e r ea r eb i g g e re r r o r sf o rt h e s em e t h o d s t h ec o u p l i n gn mt h e o r yi so f l i i 曲e l a c c u r a t e ，b u ts l o w l y p em e t h o dc o m p u t er a p i d l y , b u tp r e c i s i o nw o r s ea n do n l y f o rf a r - f i e l d m o r e o v e ri ti sd i m c u l tt os o l v eb a c k w a r ds c a t t e r i n gc o m p o n e n t c o u p l i n gn m - p em e t h o d ( c m p e ) i sa ni m p r o v e dm o d e f o rc o m p l e xw a v eg u i d e ，c a n i n c r e a s ec o m p u t i n gs t e pa n df i t s3 dp r o b l e m c o n s i d e r i n gt h ec h a r a c t e r i s t i co fc m p em e t h o d an e wm e t h o do fs o u n df i e l d e a l c u l a t i o nw h i c hi sb a s e do nn o r m a lm o d et h e o r yi sp r o p o s e d b ys o l v i n ga 】o w e r d i m e n s i o n a lm a t r i xp r o b l e mi n s t e a do fd i 仃e r e n c ep r o b l e m e i g e n f u n c t i o n sa n dw a v e n u m b e r sc a nb ec a l c u l a t e dm o r eq u i c k l y f i r s t l y , t h ee i g e n f u n c t i o n sa n dw a v e n u m b e r so fd i f f e r e n tr a n g ea r ec a l c u l a t e db ym a t r i xd e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u e t h e n ， u s i n gt h ei n f o r m a t i o no fn o r m a lm o d e s t h et o e f f i c i e n tv e c t o r so fm o d ea r ee s t i m a t e d b ym e a n so fr e s o l v i n gt h ed i f f e r e n e ee q u a t i o nw i t hr e s p e c tt or a n g e t h es p e e do f c o m p u t a t i o ni ss t e po nt h ej u i c e ，b u tt h ep r e c i s i o ni sd e g r a d e d ，f o re x a m p l e ，t h e a c c u m u l a t i v ee r r o ro fw a v en u m b e r s a n d ，8 0 m ep r o b l e ml i k et h ed e p t ho fs e ab e i n g c h a n g e dw i t hr a n g ec a nn o tb er e s o l v e dn o w t h en u m e r i c a lm e t h o da n ds o m es i m p l e e x a m p l ea r eg i v e ni nt h ea r t i c l e ，a n dc o m p a r i n gt h er e s u l tw i t ho t h e l m e t h o d k e 3 r w o r d s ：n o r m a l m o d e ；p a r a b o l i ce q u a t i o n ；s v d ；t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x i i 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 1 绪论 1 1 引言 声波在海洋环境能够远程传播，掌握声波在海洋中的传播规律是认识海洋的 一种有效的途径，海洋声学就是研究声波在多变的海洋环境下的基本传播规律和 海洋环境参数反演的一门学科。如何快速精确的得到海洋环境的参数以及海洋环 境预报，这需要良好的声场计算方法。 由于海洋环境条件复杂多变，使声波在海洋信道中的传播也存在着强烈的变 化，数值模型成了水声学研究中的标准研究工具之一因为只有数值方法才允许 我们考虑海洋声学问题中的全部复杂情况，而且数值实验比海上实验更快捷更节 省。再者，随着现代声纳作用距离的增加，在水声探测、通信等过程中经常遇到 海洋内部的不均匀结构( 锋面、涡流等) ，导致接收信号的畸变，因而在声场计算、 目标探测等方面产生一系列问题，因此在复杂海洋环境中，提取环境参数、进行 快速声场预报，在军事上具有重要意义。这些工作都离不开复杂海洋环境的声场 计算。因此，自上世纪7 0 年代中期以来，随着计算机技术和计算物理学的发展， 海洋声学数值模型的开发和应用得到了迅猛的发展。各国投人了大量的人力物力 从事计算声学的研究，努力发展适用范围广、运算速度快、计算精度高的海洋声 场的计算模型与算法。近几十年来意大利s a c l a n t 水下研究中心、美国华盛顿n r l ( 海军研究实验室) 、中科院声学所等在内的各国实验室已发展了大量的海洋声场 的计算方法，并形成了诸多可描述海洋中声传播模型( 即波动方程的计算机解法) 的计算机标准软件。各种计算模型根据其优缺点应用于不同的计算环境，现在根 据各种算法的不足，特别是为了提高计算速度和精度以更好的应用于海洋环境中 声场的快速预报而进行的各种改进仍然是计算声学研究领域的研究热点。 在计算声学领域应用比较广泛的计算机软件主要是基于简正波、抛物方程、 多途展开和射线等方法“。目前各种软件的开发或改进也大都是在上述理论框架 下进行的，以期望提高不同的软件某一方面的计算能力，如计算速度、计算精度 等，这些改进方法常常是对精度和运行时问的某种合理折中方案。 简讵波方法( 常用的模式如：k r a k e n 、c o u p l e 、s n a p 、s n a p r d 、o r c a 等) 对 于与距离无关( r a n g e i n d e p e n d e n t ) 的水平分层介质问题是一种标准的计算方法， 其优点是计算精确，物理图像比较清晰。但对与距离相关( r a n g e d e p e n d e n t ) 的问题，较为麻烦，可利用e v a n s “、p i e r c e ”1 等人提出的简正波耦合方法得到较 精确的解，其基奉思想是将水平变化的声波导分成若干段，每一段内近似认为介 1 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 质特性无水平变化，在每一个水平分段内都重复r a n g e i n d e p e n d e n t 的算法。目前 常用的简正波程序主要包括意大利s a c l a n t 水下研究中心f b 3 e n s e n 等提出的 s n a p 、s n a p r d 旧，p o r t e r “提出k r a k e n 程序，美国海军海洋研究和发展机构的e v a n s 提出的耦合简正波计算程序c o u p l e 等”。 抛物方程方法( p e 、f o r 3 d 、眦p e 、r a m ) 具有对环境适应能力强的优点，较 耦合简正波方法计算速度快，较射线声学方法计算精度高，特别是可以精确计算 低频声场，是目i i l 计算三维声传播问题常用的方法之一，但目前的算法计算速度 慢，频率低，处理后向散射困难，对于海底介质跃变边界的处理也较为麻烦。p e 算法最初由h a r d i n 和t a p p e r t ”1 在7 0 年代引入水声学的。如今，p e 算法已成为海 洋声学中求解与距离有关的传播问题的最通行的波动理论方法。f o r 3 d 算法”1 由美 国海军水下作战中心和耶鲁大学提出，已有的抛物方程计算程序还包括蛐仍e 、r 埘 等。此外，a b a w i 和k u p e r m a n “”将耦合简j 下波与抛物方程方法结合提出了c m p e 算法，中科院声学所的研究人员结合绝热简正波理论和抛物方程方法，提出了 a m p e o ”算法，并提出了改进的c m p e 、c 肿e 3 d 算法“2 吲。克服了常规抛物方程方法 的某些缺陷，在一定程度上提高了计算速度和精度。但目前这些计算程序大都不 能处理深海高频问题。 除此之外，对于一些复杂的海洋环境( 海洋环境随着水平距离变化) ，尤其是 对于水平不变或者变化相对缓慢的海区，近年来发展的声场计算模型很多，例如： 绝热简正波理论、抛物方程方法等等，我国学者提出的广义相积分( w k b z ) 理论 旧及波束位移射线简| 下波( b d r m ) 理论“”分别在深海和浅海环境中，实现了声场的 快速、精确预报。 对于水平变化较大的海洋环境，必须考虑水平变化对声场的影响这种情况 下如果用绝热近似方法来计算声场会产生较大的偏差；而耦合简正波理论，计算时 间太长，不能广泛应用；抛物方程( p e ) 方法计算精度比耦合简正波的稍差，适于计 算远场，且处理后向散射有困难。文献 1 0 将耦合简正波理论与抛物方程方法结合 起来，提出了一种全新的声场计算模型：耦合简币波一抛物方程( c m p e ) 方法。c m p e 方法在水平方向采用抛物方程法求解简币波系数方程，可以克服由于耦合简币波 理论的分段水平均匀近似带来的缺陷，耦合系数中考虑了海底倾斜的影响，可以加 大水平步长，同时可以很方便地应用于三维声传播问题。 总之，现有的基于简正波理论的计算模型基本上都是基于水平分层的差分算 法，对存在简币波耦合的随距离变化的海洋波导，需要对每一个水平分层重复相 2 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 同的差分运算，并且当声源频率较高时，所需计算的简i f 波数目很多耦合矩阵 的计算变得相当复杂，计算量比较大虽然计算精度相对较高但计算速度太慢 不能广泛应用。鉴于此，本文探讨了一种基于简讵波理论的声场计算方法，利用 求解低维矩阵问题代替现有简证波模型的差分问题，减少了耦合简诈波计算中各 点的局地本征函数和波数的计算量，通过矩阵分解技术可以得到各水平位置水平 波数和局地本征函数：而水平方向上简诈波系数则同样借用抛物近似方法来求得， 加快了计算速度，但不可避免的牺牲了计算精度。 1 2 论文研究的目的及意义 世界上大部分海区海洋水文环境复杂：存在中尺度涡、锋面、强海洋内波， 海底地形起伏：陆坡或陆架，水深变化在这些区域非常快。由于上述复杂海洋环 境存在，会产生声传播的起伏、衰减、折射等效应，严重影响声纳的远程探测， 因此，这些区域的水声场数值预报十分重要。这不仅对物理海洋监测、海洋地质 勘察、海洋渔业具有重要的现实意义，同时也是提高海军作战能力的重要环节。 国内外已有相当多的数值预报方法( 主要用于传播损失与声场分御预报) ，不 同的方法往往优缺点并存，对于不同的水声应用常常采用不同的方法。本文的任 务就是初步探讨一种基于耦合简正波的声场计算方法，在保证一定计算精度前提 下，提高声场计算速度。本文通过利用参考波导下的简正波本征函数作为一组基， 对复杂波导的简j 下波本征函数作线形展开，展开系数构成变换矩阵，考虑声速扰 动的影响，用矩阵分解技术来求解各水平位置的变换矩阵和水平波数，代替了耦 合矩阵的求解，减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和波数的计算量， 将差分问题化作了求解低维矩阵问题。在水平方向采用抛物方程法求解简正波系 数方程，可以克服由于耦合简正波理论的分段水平均匀近似带来的缺陷。 1 3 论文的内容与结构 本文的主要内容是寻求一种复杂海洋波导的快速声场计算方法，这种方法基 于耦合简正波理论，但是克服了现有的耦合简正波的耦合矩阵计算速度慢的问题， 至于简讵波的系数则是通过抛物近似方法求解系数方程得到，这种方法在远场的 精度可以得到保证，这是简f 波理论和抛物近似方法的优点。本文给出了这种声 场计算方法的理论推导及简单的数值计算，并与现有的声场计算模型的结果作了 比较，当然这种方法只是初步研究，还存在很多的问题，譬如没有考虑到海深的 变化、各号简f 波衰减( 波数的虚部) 随距离的变化、水平波数累计误差等。 本文的组织结构共分为5 章，各章的内容安排如f ： 1 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 第一章“绪论”，介绍声场计算的研究背景及其重要性；概述现有的声场计算方法 的研究成果和发展现状：阐明了本文的研究目的及意义，并给出了论文的 主要思路和结构框架。 第二章“声场数值计算模型”。介绍积种声场数值计算的模型简难波模型和抛 物方程模型，给出了两种模型的基本理论和具有代表性的数值算法，它们 也是本文研究工作的前提和基础。 第三章“基于耦合简正波和抛物近似的声场计算方法”，通过利用参考波导下的简 j 下波本征函数作为一组基，对复杂波导的简正波本征函数作线性展丌，展 开系数构成变换矩阵，用矩阵分解技术来求解各水平位置的变换矩阵和水 平波数，减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和波数的计算量， 将差分问题化作了求解低维矩阵问题。在水平方向采用抛物方程法求解简 正波系数方程。本章给出了两种简单情况的理论推导。 第四章“数值方法与算例”，本章利用第三章推导的理论为基础，给出了声场计算 的数值方法，并给出了简单算例；计算结果与现有的计算模型做了比较。 第五章“总结与工作展望”，总结本文的成果，进一步展望以后的研究工作。 4 一种复杂海洋环境声场算法的仞步研究 绪论 儿 声场数值计算模型 ( 简正波方法、p e 方法) 上土 基于耦合简正波和抛物 近似的声场计算方法 儿 i 数值算法与算例 儿 i 总结与工作展望 图i - i 论文框架 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 2 简正波模型与抛物方程模型 海洋声学研究的基础是波动方程( 以杜坐标为例) ： v ( p v q , ) 一了i 鼻：倚，) ( 2 1 ) p co t 叩为声场势函数；c 为声速，通常为配位函数，即：c = e ( r ，护，：) ：，为时f a j ，厂( i ，t ) 是随空间和时间变化的体积注入函数。当仅仅考虑单频简谐声源情况时，方程( 2 1 ) 可以化为h e l m h o l t z 方程( 也可以通过时频傅立叶变换得到) ： - - v ( p v ) + 七2 扩) 妒= f ( f ，c a ) ( 2 2 ) p 式中翻为声源频率，波数七( 尹) = 冬，厂( 严，c a ) 是f ( f ，) 的傅立叶变换对。上式 c t r ) 及其边界值问题的求解确定了声波的传播情况。而( 2 2 ) 式得求解技术与问题的 维数、环境的声速变化、边界条件、声源及接收器的分布和频率、带宽等因素有 关。依据数学处理方法的不同，求解这一边界值问题的方法可以分为射线方法、 简正波方法、和抛物方程方法等几种。对于与距离有关的传播问题，耦合简正波 可以给出声场的准确结果，但耦和简正波方法中耦合项的计算十分困难。计算量 比较大。海洋环境水平变化充分缓慢时，为简化问题可以引入绝热近似，用绝热 简j 下波方法可以获得较准确的计算结果。抛物方程方法是一种比较有效的声场分 析方法抛物方程方法可以方便地处理海洋声速、海底地形等环境参数的水平变化， 较耦合简正波方法有更快的计算速度，较射线声学方法有更高的计算精度。抛物方 程方法在三维声场的计算中具有较大的优势。下面简要介绍两种声场计算模型一 一简正波方法和抛物方程方法的理论基础。 2 1 简正波模型 简正波方法是描述海洋声场传播规律的理论之一，它将声场分解为垂直方向 的驻波和水平方向的行波的结合。早期有p e r k e r i s 提出简单的两层海洋模型理论 【m ，后来w i l l i a m s 在简诈波方法研究方面取得了新进展博】。随着对复杂海洋环境 声场计算方法的研究，有关简f 波耦合的理论渐渐出现，早在2 0 世纪6 0 年代 a d p i e r c e f 4 】和d m m i l d e r l 3 6 】就简正波耦台及绝热近似条件进行了理论研究； j a f a w c e t t 得到了满足能量守恒形式的耦合简f 波理论：r b e v a n s 、m b p o r t e r 、 a v o r o n v i c h 等【5 】对简正波耦合理论和数值计算作了深入的研究：k n o b l e 等人结合 了u k 方法和l a n z a o s 方法给出了基于简f 波耦合得声场计算方法【1 9 】；王宁提出 6 二登星銎塑登星：墨坐垫星鲨堕塑坐竺銎 了简正波耦合的绝热近似判抛【2 ( 2 “。 2 1 1 简正波理论n 对 考虑2 维杜对称问题( ( z ，r ) 平面) ，声源频率为0 3 、声源深度为z ，声源强度为 s 。激发的简证波场。当考虑的波导为水平均匀的简单情况时，我们写出声场的 h e l m h o l t z 方程： ；未p 鲁，+ p c z ，未c 去警，+ 瓦( 0 2i p = 曼塑鬟笋型 c z 利用分离变量法，令p ( r ，z ) = ( r ) f ，( z ) ，( 2 3 ) 两边同除以矿( r ) 妒( z ) ，得： * 导c r 铷+ 扣磅c 高争+ 纠= 。 亿4 ， 令上式的两部分都等于常数砖，于是得到深度方向的模式方程： 雕) 磊d 1 毪蝽【氓洲加。 ( 2 5 ) 边界条件( 0 ) = 0 表示压力释放表面。( 2 5 ) 式所表示的模式方程是典型的 s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题，它的主要特性是：模式方程有无限个类似于振动弦模 式的解，模式用深度方向的分布函数( z ) 和水平波数豇。表示；函数( z ) 是深度 方向的特征函数，k 。是特征值；这类s t u r m - l i o u v i l l e 问题的模式是j 下交的，即： f 9 丝掣如：0 ， 删机( 2 6 ) 由 p ( z ) 我们假定模式已经归一化，即 f 监掣出：l ， ( 2 7 ) 山 p ( z ) 这些模式构成t - - + 完备集，即可以把任何一个函数表示成简正模式之和。例 如，可以把声压写成： p ( r ，z ) = 九( r ) ( z ) ( 2 8 ) 代入式f 2 3 ) ，得到： 群新掣卜， 毗，卜芸( 高兰 + - 昱罐型 亿。， 二型星銎塑鲎旦：丝受堑星鲨塑= i 翌生婴塑 利用方程( 2 5 ) 进一步简化得到： 弗导( r 鼍笋卜峨竹州 _ 笠笔 型 仁 根掘( 2 6 ) 、( 2 7 ) ，( 2 1 0 ) 式两边同时进行f ( ) 竺型出，运算得到： “ o l z 讣掣卜孙咖掣 亿 这是一个标准方程，它的解为： 竹) = 盂帅m 2 i ( k 吐 选择日掣还是n o 取决于辐射条件，当r _ 一时声波应向外辐射，又假定时阳1 关系为e x p ( 一i o j t ) 。故采用第一类汉克尔函数。于是得到： p ( r ，z ) = 毒薹( 列( z ) 圩( t 。r ) ( 2 1 2 ) 若采用远场时汉克尔函数的渐进式，则声场可以表示为： 肌) 兰p ( z , ) l s 4 s - i e 哳h 丕“, 眦棚小) 杀i k r ( 2 1 3 ) 这样，我们就将声场展开为各阶模式之和的形式。 简正波方法需要解与深度有关的方程。对于理想液体波导，我们可以经过理论 推导得到解析解，在实际的问题中由于声速的深度分布比较复杂，简正波深度方向 的模式方程一般只能利用数值方法来求解，即求解水平波数七。和深度方向分布的特 征函数( z ) ，常用的数值求解模型有k r a k e n 嘲。作为简正波理论的数值实现， k r a k e n 可以快速的计算出简正波声场的波数和深度方向分稚的模态函数，是进行 简正波声场数值计算的有效模型。 2 1 2 简正波耦合 简丁f 波模型除了可以处理与距离无关的问题，还可必推广到处理与距离有关 的问题。b 口耦合模式简币波。根扼e v a n s 【3 】处理此问题的基本原理，将水平变化的 声波导分成若干段，每一段内近似认为介质特性无水平变化。如下所示，在仅考 虑前向传播成分时，简正波声场的形式可以写为： 加) 兰塾帅瓦e i k ”r ( 2 1 4 ) 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 则h 与r ，段ib j 的卢场为； p j ( 似) = y 。r 。( z ) 吖r 卅= i 一，i = e x p ( i k 撕刊m ：2 掣 a 7 ”= i i j c 。h ( r a 。 h 为对角阵，矩阵元素为圮，c 为耦合系数矩阵其矩阵元素为 乇= r 掣出 定义传播矩阵为：p = c h c 一1 h 。一c 日1 则 a 州= p a l 山此声场的形式为： f 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) p ( r u ，：) = 彤( z ) ( 碟，) 。”只。以( 乙) e x p ( i k ：r o ) ( 2 1 8 ) 根据简j 下波耦合强度的不同，耦合系数矩阵p 可以近似为不同的形式：当简正 波耦合很弱时，可以采用简正波绝热近似，p 为对角阵；简讵波耦合较弱时，可以 仅考虑相邻简正波间的耦合，此时p 为三对角阵。 当不考虑间接耦合( 即仅考虑”- 研的耦合) 和模式耦合引起的简币波的能 量变化时，p 可以表示为( w a n g n i n g ，2 0 0 2 ) 【2 雌1 1 ： ：三。似纠珐。酬“抄，! 芸兰竽玑m 如偿柳 其中l 为声传播距离，当考虑间接耦合即考虑珂_ 一_ m 的耦合时 可以利用( 2 1 9 ) 式得到： 。扣e 如眦功帆等d - 吼亿：。， 只。= 。 ( 2 2 1 ) 这罩我们可以利崩简l f 波绝热判据【1 5 ， 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 l 对酬( r ) 做远场近似，v ( r ) 的解可以写为： 州z 辱讹一 眨。2 ， 将上式代入( 2 3 1 ) 式可以得到： u ，+ 2 i k o z ，+ “。+ 碍 疗2 ( ，z ) - 1 u = 0 ( 2 3 3 ) t a p p e r t 忽略了上式中。的影响( 认为在水平方向，是缓变的) ，于是得到了标准 抛物方程： 铲争州“+ 去碧 仁s 4 ， t a p p e r t 的标准抛物方程( 2 3 4 ) 认为对声场起作用的是具有小掠射角的声线， 因此( 2 3 4 ) 也称为窄角抛物方程。这对许多情况下是难以满足的，为了获得更宽 范围的方法，l e e 和m c d a n i e l 将( 2 3 3 ) 用算子的方式进行了处理得到2 5 1 ： f f - - 7 + i k o - i k o 厨牿蛾蛾瓜卜 亿，s ， 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 在忽略耦合矩阵的商阶项的前提下，利用广义算予分解技术，忽略后向散射对 前向散射的影响，只讨论日u 向散射，即： + i k o - i * o l d t 西 “= 。 ( 2 3 6 ) 舯x = 以咖川+ 专害 对l + x 做不同的近似可以得到各种宽角抛物方程【2 6 2 7 2 8 l ，早期主要是用有 理函数来近似撕万，能够处理的角度不大，后来有人将i 玎近似为三次有理 分式【捌，通过适当的选取式中的参数，可以获得较大的传播角度。d a l r y m p l e 将 再i 为 2 6 1 ： 丽= 厄焉，式中：= 虿1 矿a 2 舻一2 ( w ) 一l ( 2 3 7 ) 采用近似形式：撕而= i _ 瓦+ 焉一1 比采用有理函数的误差要小。 可以看出只要对l + x 选取适当的近似形式，就可以获得足够宽的传播丌角。 2 2 2 三维抛物方程方法 以上考虑的都是二维情况。实际上在海洋环境中，介质的密度，声速，以及 海底地形等参数不仅随距离r 变化，而且也随着一方向而变化。因此必须引入三维 情况下的抛物方程方法，由三维波动方程式： 三委( ，+ 一1 害+ 百a 2 棵m ：o ( 2 - 3 8 ) 7 万【厂。磊，+ 一2 百矿+ j 歹+ 七2 u ( 2 - 3 即 取 m = 橱乳，) 将上式代入( 2 3 8 ) 得到： 塑a r 2 + z 筹器愕+ 专等+ 碧m 2 一枷= 。c z 抛， f i j 5 = k o ，孓1 ，对上式中h a n k e l 函数取渐进形式并忽略高阶项，得到： 碧+ z 氐軎+ 吉軎+ 碧w c ”l - 胪。 眨。， 此方程可以改写为： ( 导秘唏a h 古导+ _ l k ；r ：列0 0 2j j l 删亿4 t ， 1 4 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 并记 纠 ”古等批古熹 将微分算符形式作为代数量解算，可将u 所满足的微分方程式分解因式得： ( 未r + i k o + i k o 一) ( 杀+ i k o - i k o 一) l i ：o 亿4 z ， 第一项对应收敛波的解，第二项对应发散波的解因此近似有： _ o u + k 。“= c o 订五可0 ( 2 4 3 ) o r 但微分算符并非代数量，( 2 4 3 ) 式与原微分方程式并不相同，但只要满足条件： 则两者相差甚微，认为( 2 4 3 ) 式有较高精度。 2 2 3 抛物方程的数值求解啪川 对于( 2 1 4 ) 式，f o r 3 d t 2 3 1 模型中用了交替方向方法来求解： 。( r + r ，口，z ) 。一觑l x j 2 “( r ，0 ，：) 式中万= i k 。r ，将指数算子近似成有理函数算子： 。剐+ ；。中“；。一堡些 1 + p x ( 2 4 4 ) 贮1 + q y e _ = 7 1 + q y 式中：p = 1 4 + b 4 ，万是p 的共轭，q = 艿4 虿是g 的共轭 这样就可以得到一个有限差分表示的步进算法； i = + ( 丢一鲁 x 。 + ( 丢+ 鲁 x ( 一言y ) “( + 鲁y ) “” 由此得到了一个无条件稳定的隐式步进差分格式： t + ( 去一罢 x ( ，一罢y ) “”+ i = + ( 去+ 鲁 x ( 十鲁) ， “” c z a ：， 以上是l e e d 在f o r 3 d 中使用的算法，算法在z 方向具有较宽传播丌角，在秒方 向具有窄传播丌角。 最仞对标准抛物方程进行数值求解时，只能采用分裂步进付立叶方法 学赤 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 ( s p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o d ) 后来又出现了隐式有限差分方法，能够更好的处理 声速和密度快速变化的情况。再后来又出现了有限元法。有限元法更容易包容垂 直网格叫距可变得情况，并且更容易处理不规则界面的情况，但是有限元法的计 算量要比有限羞分法大的多而有限差分法对于等问距网格的情况，格式比较简 单，因而得到了广泛的应用。 以上的隐式差分使用的是c r a n k n i c o l s o n 格式，在d l e e 的f o r 3 d 中另外还 使用了d o u g l a s 格式。区别如下： 对于简单的一维方程：i a , 一口石a 2 , ：o md r 其古典隐式格式可写为：竺! 二竺! ：一。竺釜二：荨! ! ! ；o( 2 4 3 ) f h 。 显式格式可写为：蔓蔓一a o j + n u j _ 2 弋u f ? - j + 一u j - i = - i ：o ( 2 4 4 ) 用( 1 0 ) 乘以( 2 4 4 ) 式( 0 0 1 ) ，用口乘以( 2 3 8 ) ，两式相加得加权隐式格式： 竿nn - i a e 华+ - 0 - 0 ) 学 = 。 当护2 1 2 时上式为c r a n k - n i c o l s 0 1 1 格式。p 2 主( 1 一6 二a , 4 ) 时为d 。u g l a s 格式 11 2 3 结论： 在本章中详细阐述了声场计算的两种方法和数值模型简正波方法和抛 物方程方法的基本理论，并对相应的数值算法作了简要的介绍，为以后章节提供 了理论基础和数值计算的参考方法。 1 6 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 3 基于耦合简正波和抛物近似的声场计算方法 目前计算海洋声学领域存在很多的声场计算模型，并且都有自己的适用范 围和优缺点。本文在前人的基础上，利用耦合简证波理论和抛物近似理论，探讨 一种新的声场计算方法。这种声场计算模型类似于耦合简形波一抛物方程方法， 融合了简币波方法和抛物方程方法的优点。本文利用参考波导下的简币波本征函 数作为一组基，对复杂波导的简诈波本征函数作线形展丌，展丌系数构成变换矩 阵，考虑声速扰动的影响，用矩阵分解技术来求解各水平位置的变换矩阵和水平 波数，代替了耦合矩阵的求解，减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和 波数的计算量，将差分问题化作了求解低维矩阵问题。在水平方向采用抛物方程 法求解简正波系数方程，可以克服由于耦合简正波理论的分段水平均匀近似带来 的缺陷。 虽然某些浅海条件下，用简j 下波微扰法计算的复数本征值误差比较大，根据微 扰理论计算复数本征值及本征函数的传统简于波理论仍被广泛应用。为了提高简 j 下波理论的计算精度，很多研究人员着手研究在复平面内直接求解本征值的方法 由于在复平面内求解本征值计算十分困难，因而t i n d l e 与c h a p m a n 等人啪提出了 一种新的在复平面内寻找简j 下波本征值的方法，但计算量仍然十分大。l e v i n s o n 与w e s t w o o d 等人m 1 提出利用a i r y 函数来求解本征函数以提高计算速度，本文在 这方面不做深入研究。本章内容主要是二维问题和简单三维问题的理论推导。 3 1 基本理论 3 1 1 二维问题 首先考虑简单的二维均匀海洋波导情况( p = c o ? t s t ) ，点声源位于( ，乙) 处， 假设描述海洋声场的h e l r n h o l t z 方程为 俨p ( z ；x ) - i - 志p ( z ；工) = 文x 一) 以z 一乙) ( 3 1 ) 其中拉普拉斯算子v 2 = 鲁+ 箬，脚为声源的频率，c ( z ，工) = ( z ) + c ( 五工) ， c 。( z ) 是参考波导的声速剖面，而a c ( z ，z ) 是水平位置为x 处的声速扰动。 给出方程的试解 p ( z ；x ) = 口。( x ) 纯f z ；x ) ( 3 2 ) 代入方程( 3 1 ) ，利片j 分离变量法，最终可以得到 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 参北+ 志北叫北 ( 3 3 ) t 、d 2 出a , ：( x ) 北+ ：掣堕笔竽乌笋帆硪城训o ( 3 4 ) 具甲【3 3 ) 甄，考慝剑1 z z 乔系1 午耽是典型阴s t u r m - l i o u v i l l el 口j 题，盯- j - 坯千手 的问题，我们可以通过数值求解技术求得其本征值k 。( 工) 和本征函数纯( z ；工) 。 利用织( z ；x ) 的正交性，即 哆c 邵概c 搿脏= “= 怒i ： 用( z ；工) 乘以( 3 4 ) 式并对z 求积分，可以化简为： 掣+ 2 莩“工) 堕笋+ 莓啪m 孙以) - o ( 3 5 ) 写成矩阵形式为 了d 2 a ( x ) 捌( x ) 旦挚州咖( 卅m m 垆o ( 3 6 ) 其中盯o ) ： 口i ( 工) ，口：( x ) ，】r ，【爿( 工) 】。= 彳。( 工) = 阮( z ；工) 鱼堕；三i 如， ! a x 【占( x ) 】。= 口。( 工) = 9 ( z ；x ) ! - ：；i ! ! 出，k ( 工) = d i a g ( k 】2 ( x ) ，七；( ，) 。 引入参考波导( 见图3 - 1 ) ，利用微扰方法来对复杂海洋环境的声场方程( 3 3 ) 求懈。 o h z 图3 1 ：海洋波导示意图 1 8 x 种复杂海洋环境声场算法的初步研究 万d 2 北o ) + 加) - ( 怕2 加) ( 3 7 ) 令 纸( ：，j ) = m 。( x ) 饵0 ，( z ) ( 3 8 ) 利用钟( z ) ，纯( 互j ) 的证交性可以得到 m m 7 = d( 3 9 ) 通过c ( z ，工) = c o ( z ) - i - a c ( z ，j ) ，可以得到 丽1=丽而1；丽1co(z)ac(z( 1 2 等) ( 3 1 0 )c 2 ( z ，工)( + ，工) ) 2c ；( z ) 、c o ( z ) 。 把( 3 7 ) 、( 3 8 ) 、( 3 1 0 ) 代入( 3 3 ) 并化简得 莓肘栅( x x 碟) 2 张( z ) 一警；m 栅( 工) 尤( z ) = 2 ( 工) 莓m 棚( 工) 以( z ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 1 ) 式两端分别乘以程( z ) ，并对z 求积分得： m ，( 工) ( 女；) 2 一m 。( x ) ( z ) = 群( j ) m ，( x ) ( 3 1 2 ) 其中 ) - 2 脚2 帮批蛸抽 ( 3 1 3 ) ( 3 1 2 ) 式的矩阵形式为 m ( x ) k o m ( x ) v ( x ) = k ( x ) m ( x ) ( 3 1 4 ) 利用( 3 9 ) 式有 ，( x ) ( 足。一y ( 工) ) ，7 ( z ) = k ( x ) ( 3 1 5 ) 其中k o = 以曙( ( 砰) 2 ，( 霹) 2 ，) ，k ( x ) = d i a g ( k ( ( x ) ，k ；( x l l ，) 这样，只要知道参考波导中的声场：七：，钟，v j a c ( z ，x ) ，通过对 ( 3 1 5 ) 作s v d ( s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n = 奇异值分解) 分解，我们可以得到 k ( x ) ，m ( x ) ，从而利用( 3 8 ) 式得到e p ( z ；x ) 。 在得到上述信息之后，就可以利用绝热简正波近似来得到声压表达式，从而 来计算传播损失。同时还可以得到简正波耦合矩阵的表达公式： 一种复杂海洋环境声场算法的初步研究 亦即： a m ( 工) ：h ( z ；工) 盟娑 甜 = 辱。吖，( z 矽( 引，d m 。q ( x ) 钟( z 肪 ( 3 1 6 ) = 莓蹦x ，掣 蹦加一亿工) 学 = 莓m ，( 功d 2 m r r ( x ) 31 7 2 ( ) 彳( x ) ：肘( z ，) d m r ( x ) ( 3 1 6 ) ， 积 口( 工) ：吖( 工，d 2 m r ，( x ) ( 3 1 7 ) ， d r 。 ( 3 1 6 ) 、( 3 1 7 ) 分别代入( 3 6 ) 式得 d 2 = a f ( x ) i - 2 m ( x ，) d m r ( x ) d a ，( x ) t