《简单的线性规划》课件.ppt

简单的线性规划,江西省永丰县永丰中学：徐冬发,二元一次不等式表示的平面区域,在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(x,y)|x+y-1=0是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-10的解为坐标的点的集合(x,y)|x+y-10是什么图形?,结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c0,x+y-10,x+y-10表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时常把原点作为此特殊点。,二元一次不等式表示平面区域,例1：画出不等式2x+y-60表示的平面区域。,启动几何画板,注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界,2x+y-6=0,二元一次不等式表示平面区域,例2：画出不等式组表示的平面区域。,x-y+5=0,x+y=0,x=3,练习：,X,O,Y,A,B,C,D,7,12,-7,6,8,y=6,x-y=7,2x+3y=24,l0:3x+y=0,l1,例3：满足线性约束条件的可行域中共有多少个整数解。,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,解：由题意得可行域如图:,由图知满足约束条件的可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)故有四个整点可行解.,线性规划,例4：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。,y,直线L越往右平移,t随之增大.,以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.,Zmin=3,Zmax=12,线性规划有关概念,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；,可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,课堂练习：,（1）求的最大值，使x,y满足约束条件,（2）求的最大值和最小值，使x,y满足约束条件,5,5,1,O,x,y,y-x=0,x+y-1=0,1,-1,y+1=0,A(2,-1),B(-1,-1),5,5,1,O,x,y,1,-1,5x+3y=15,X-5y=3,y=x+1,A(-2,-1),B(3/2,5/2),（3）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：,Zmin=-3,Zmax=3,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点的边界直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,例5：某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）,分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？,线性规划的实际应用,把上面四个不等式合在一起，得到,y,x,20,30,40,20,30,o,另外，开设的班级不能为负，则x0，y0。,而由于资金限制，26x54y22x23y1200,解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以2030个班为宜，所以，20xy30,y,x,20,30,40,20,30,o,由图可以看出，当直线Z7.2x10.8y经过可行域上的点M时，Z最大。,设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。,M,易求得M（20，10），则Zmax7.2x10.8y252,故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。,例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmin3,三、练习题,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，约束条件是,X,Y,O,400,200,250,500,如图，当直线经过点M时，截距最大，Z最大。,M,解方程组,可得M（200，100）,Z的最大值为3x2y800,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。,例7：某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：,解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总张数为Z,则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。,X张,y张,分析问题:,目标函数:z=x+y,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出直线L:x+y=0，,目标函数:z=x+y,A(3.6,7.8),当直线L经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,答（略）,约束条件:,画可行域,平移L找交点及交点坐标,调整优解法,1.满足哪些条件的解才是最优解?,2.目标函数经过A(3.6,7.8)时Z的值是多少?你能否猜测一下Z的最小值可能是多少?,3.最优解的几何意义是什么(最优解可以转化为什么几何意义)?,图例题4.gsp示,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y=0,经过可行域内的整点B(3,9