（信号与信息处理专业论文）基于四元数小波变换的纹理图像分类.pdf

摘要 y 17 4 6 6 芝芝 摘要 随着数字图象处理技术和计算机应用的发展成熟，人们通过计算机来自动 进行一些图像处理，使得工作效率和生活质量都大大的提高。纹理图像分析是 模式识别和计算机视觉领域中的重要研究内容，在科学研究领域和工程技术方 面有着非常广泛的应用背景。在近几年内，人们在纹理图像的特征描述方面做 了大量的研究工作，并且取得了许多研究成果。这些研究大多数是基于b r o d a t z 纹理图像库来进行研究的。 本文提出基于四元数小波变换来提取特征描述子。因为四元数小波变换可 以弥补经典小波变换的不足之处，并且能够得到更丰富的图像信息。这是一种 全新的算法，在目前研究成果里关于四元数小波变换的研究成果微乎其微。本 次实验的结果表明，基于四元数小波变换提取的特征描述子即使使用最简单的k 最近邻分类器也仍能够得到令人满意的分类结果。 本文不仅提出了四元数小波变换的概念，并且实现了它在纹理图像分类领 域的应用得到满意的结果。本文还就这一理论的研究提出了两点可能的后续研 究，为接下来的学习提供了方向。 关键词：纹理图像；模式识别；特征提取；四元数小波变换 a b s t r a c t a 1 0 n gw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h ed i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gt e c h n o l o g y a n dc o m p u t e ra p p l i c a t i o n ，p e o p l et r yt o m a k ec o m p u t e rp r o c e s sd i 9 1 t a i l m a g e a u t o m a t i c a l l v t h e s ea p p l i c a t i o n si m p r o v et h eq u a l i t yo fl i f e a n dt h ee f f i c i e n c yo f w o r k a n a l y s i so ft e x t u r ei sav e r yi m p o r t a n tr e s e a r c hw o r ki n t h ef i e l d so tp a t t e m r e c o g n i “0 na n dc o m p u t e rv i s i o n ，a n dh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d l ns c l e n c e r e s e a r c ha n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y i nr e c e n ty e a r s ，p e o p l ed op l e n t yo fr e 8 e a h t 0 e x t r a c tt h et e x t u 代f e a t u r e so ft e x t u r ei m a g e ，a n dh a v eo b t a i n e dm a n y a c h i e v e m e n t s m o s to f t h e s es t u d i e sa r eb a s e do nl i b r a r yb r o d a t z i nt h i sp a p e r , w et r y t oe x t r a c tt h ed e s c r i p t i o no ft e x t u r ei m a g emu s l n g q u a t e m i o nw a v e l e tt r a n s f o r m ，b e c a u s eq u a t e r n i o nw a v e l e t t r a n s f o r mc a nc o m p e n s a t e t h ed e f t c i e n e yo ft h ec l a s s i cw a v e l e tt r a n s f o r ma n do b t a i n sm o r ei n f o r m a t l o nt n a n c l a s s i cw a v e l e tt r a n s f o r m b e c a u s et h i si sa n e wm e t h o do fw a v e l e tt r a n s f o r m ，w ec a n b a r e l vf i n dt h ep a p e r sa b o u ti t f o r t u n a t e l y ，o u re x p e r i m e n t ss h o wt h a t e v e nu s m g k n e a r e s tn e i g h b o rc l a s s i f i e rw ec a ns t i l lh a v es a t i s f a c t o r yr e s u l t s t h i sp 印e rn o to n l yp r e s e n t st h ec o n c e p to fq u a t e m i o nw a v e l e tt r a n s f o 肌，a l s o r e a l i z e dt h ea p p l i c a t i o ni nc l a s s i f i c a t i o no ft e x t u r ei m a g e ，a n d o b t a i n sv c r yg o o d r e s u i t s a tt h ee n do fp a p e r , t w op o s s i b l ef o r w a r ds t u d i e sh a v e b e e ns u g g e s t e d k e yw o r d s ：t e x t u r ei m a g e ；p a a e mr e c o g n i t i o n ；f e a t u r ee x t r a c t i o n ；q u a t e m i 。n w a v e l e tt r a n s f o r n l i l 目录 目录 第1 章绪论l 1 1 研究背景意义以及主要研究目标l 1 2 研究方法和路线3 1 3 本文的主要贡献和组织结构3 第二章离散小波变换5 2 1 理论介绍5 2 1 1 小波变换的应用领域5 2 1 2 小波变换的理论基础8 2 2 离散小波变换的算法1 2 2 2 1m a l l a t 算法。1 2 2 2 2m a l l a t 算法的实现。1 2 2 2 3 存在的问题1 3 2 2 4 总结1 5 第三章基于小波变换的纹理图像分类1 6 3 1 纹理的定义1 6 3 1 1 纹理的种类1 7 3 1 2 纹理分析1 7 3 2 纹理的分类18 3 2 1 特征提取19 3 2 2 学习和训练样本。2l 3 2 3k 最近邻算法2 l 3 3 本章小结2 2 第四章四元数小波变换2 3 4 1 经典小波变换的改进2 3 4 1 1 四元数小波变换的优越性2 3 4 1 2 解析小波2 3 i i i 目录 4 2 双树复小波变换2 4 4 2 1 复数小波变换2 4 4 2 2 生成二维滤波器2 5 4 2 3 构造二维滤波器组2 6 4 3 二维四元数小波变换的实现2 6 4 3 1 算法。2 6 4 3 2 相位描述2 7 4 4 图像的几何外观2 9 4 4 1 四元数和二维相位3 0 4 4 2 四元数小波变换的优越性3 0 4 5q w t 是否弥补了d w t 的不足3 0 4 5 1 平移不变性31 4 5 2 震荡现象边缘效应31 4 5 3 几何描述3 2 4 6 结论3 3 第五章 四元数小波变换应用于纹理图像分类3 4 5 1 基于q w t 的纹理图像分类3 4 5 1 1 背景。3 4 5 1 2 聚类中心( v e c t e u rd em e s u r e s ) 3 4 5 2 实验结果3 4 5 2 1 具体实验参数的选择。3 4 5 2 2 计算错误率3 4 5 2 3 错误率曲线。3 5 5 2 4 改进训练方法后的结果3 6 5 2 5 图像识别3 9 5 3 实验总结4 0 5 4 本章总结4 1 第六章总结与展望4 2 6 1 总结4 2 目录 6 2 展望4 2 致谢4 4 参考文献4 5 附录四元数小波变换代码4 7 攻读学位期间的研究成果。5 3 v 第1 章绪论 第1 章绪论 在本章我们首先论述了论文的研究背景、研究意义以及主要研究目标，并 指出了研究方法和路线，最后介绍了本文的主要贡献和组织结构。 1 1 研究背景意义以及主要研究目标 本人的研究课题是四元数小波变换应用于纹理图像分析，其主要目的在于 通过纹理图像分类来验证并实现一种新的时间频率分析方法四元数小 波变换( q u a t e m i o nw a v e l e tt r a n s f o r m ) 。下面我们先简单介绍时间频率分析 方法的背景。 l 、傅立叶变换( f t ) 早在1 8 2 2 年法国数学家傅里叶在其热分析理论一书中提出了一个重要 的“发明”：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦或者余弦和的形式，现 在这个和被称为傅里叶级数。在这个基础上对于任何非周期的函数也可以用正 弦和余弦乘以加权函数的积分表示。这个积分现在被称作傅里叶变换。傅里叶 级数和傅里叶变换的“发明 使得我们可以通过信号的时间域或者空间域信息 来分析和处理信号。 2 、小波变换( d w t ) 1 9 8 7 年m a l l a t 在她的论文里首次将小波变换作为多分辨率理论的分析基础 提出来。多分辨率理论的优势在于，某种分辨率下无法显示的特性在另一种分 辨率下可以很容易被发现【2 1 。 小波变换可以被应用于数字图象处理的许多领域。尤其在数字图像压缩方 面取得很大的成功。m a l l a t 是首位将小波变换应用于纹理图像的科学家。近年来， 许多科学家也纷纷研究将小波变换应用于纹理图像分类和融合等方面，也得到 了比较好的结果。 3 、复小波变换( c w t ) 在2 0 0 1 年，n g k i n g s b u r y 在他的论文中提出了小波变换存在的缺陷。之 后科学家们就一直致力于研究一种新的变换算法，可以取代小波变换得到更加 丰富的图像信息，弥补小波变换的不足1 3 1 。在2 0 0 5 年n g k i n g s b u r y 提出了双 第1 章绪论 树复小波( d u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e t ) 的概念，并且指出这种复数小波对于一维 信号来说可以很好的弥补经典小波变换的种种缺陷f 4 】。 4 、四元数傅里叶变换 近年来关于多分辨率的研究并没有停滞不前。许多科学家仍在苦苦寻求出 一种最好的方法用来解决c w t 在处理二维信号时候的不足。t b u l o w 和 w l c h a n 不约而同的提出了四元数傅里叶变换的概念睁6 i 。这个概念可以提供图 像的相位信息的同时弥补c w t 的一些其他缺陷。 在这样的背景下，我的导师建议研究四元数小波变换。并且应用于纹理图 像分类领域。期望能够得到比现有经典算法更优秀的分类效果。 纹理图像分类是计算机视觉和模式识别领域的重要研究内容，具有极其重 要的应用价值。图像的自动分类技术可以被应用于许多领域：工业产品检测， 医学图像分析，人脸识别，指纹识别等。 纹理图像分类是对纹理图像进行分类。纹理是很重要的视觉信息，虽然能 够轻易的被人眼识别出来，但是很难通过数学或者统计的语言对它进行描述。 根据纹理对图像进行分类可以被应用于许多领域。例如，某企业需要根据大理 石的花纹对其进行分类。再例如，某医院利用纹理图像分类来判断病患的肺部 时候患了癌症，因为病变的肺部找出来的纹理和正常肺部的纹理不同。 由于纹理图像分类在实际生活中具有非常重要的意义，所以这一技术显得 十分重要。自从1 9 7 9 年h a r a l i c k 等人提出了根据空间灰度共生矩阵对纹理图像 进行特征提取以来，对于纹理图像分类的研究一直没有停滞，相关的算法纷纷 涌现在各杂志和国际会议上【。除了可以看出纹理图像分类具有重要意义外，同 时也可以看出目前国际上还没有找到最优秀的统一的算法用于纹理图像分类。 也就是说，这方面的问题仍未解决，还有很大的进步空间。目前关于纹理图像 的论文大都是两个方向的，从空间上对纹理图像进行分类和从频率域对图像进 行分类。其中空间域的代表方法就是灰度共生矩阵。频率域的代表方法是小波 变换。 纹理图像的分类中除了特征提取是很重要的部分以外，训练方法也是极其 重要的。因为不同的训练方法会得到不同的效果。当然，也有许多科学家把重 点放在分类器的研究上。 本文就是在这样的研究背景下提出的一种新的算法。是基于四元数小波变 换对纹理图像进行分类。这是通过对纹理图像进行四元数小波变换得到变换后 2 第1 章绪论 的图像，再对变换后的图像进行特征提取。 样本训练这两个部分。至于分类器的选择， 近邻( k - n e a r e s tn e i g h b o r s ) 分类器。 所以，本文的重点将是特征提取和 为了方便选择最简单的分类器k 最 1 2 研究方法和路线 本实验分为几个部分，具体步骤介绍如下：初期的任务是学习和积累有关 于复数小波变换和四元数的资料，掌握四元数小波变换的理论基础和可能的实 现方法。接下来的主要任务是在计算机上实现四元数小波变换。为了能够达到 这一目标，本人参考借鉴了n g k i n g s b u r y 在其主页上发布的d t - c w t 的滤波 器以及它的程序。在实现了d c w t 之后，才开始着手q w t 的实现。第三部 分的主要任务是，复习p c a ( p r i n c i p l ec o m p o n e n ta n a l y s i s ) ，同时学习最近邻算 法。最后的部分是实验的关键部分，对b r o d a t z 图片库中的图片进行分类，测试 本文提到的算法的准确率，并且也已经发表的论文结果进行比对。具体的研究 路线图如下所示： i 卜厂一 之i 2 二l 数字图像处理 l t 皿w i 肃7 h 七j j 向| i 曩羞星嚣筹羹 九，| i 竺竺 i 、 f 分类方法 p _ _ _ _ - _ _ h _ _ _ _ - _ _ w _ _ _ lk - 近邻分类器 盛二、f 赢1 ， ，i 、一，i 瞄新；、i ，l - 图1 1 研究路线图 1 3 本文的主要贡献和组织结构 本文需要研究的内容包括：( 1 ) 丰富的经典小波变换理论知识。( 2 ) 模式识别 的基础知识，特征提取部分和分类器部分以及主要成分分析方法。( 3 ) 用s c i l a b 或者m a t l a b 软件进行仿真。 本文的主要贡献在于为其他的学生学习研究四元数小波变换提供一些信 息，并且提供一种四元数小波变换的应用方法。便于其他学者在这个领域作更 3 第l 章绪论 深更远的研究。同时，提供了实现这一算法的程序代码和丰富的实验结果。 本文的创新之处在于新算法的提出。本人在初期理论学习的时候，对该领 域的论文进行了大量的搜索工作，发现目前为止还没有实验室正式发表过这方 面研究的成果。所以这种算法四元数小波变换，在国际上来说都还是一个 相对比较新颖的算法。 文章的主要分为六章，安排如下： 第一章简单介绍小波变换应用于纹理图像分类领域的研究背景，以及本文 的研究目的和内容。 第二章详细论述经典小波变换的理论部分，以及算法实现，为四元数小波 变换的介绍提供理论基础。 第三章介绍通过小波变换的方法提取纹理图像的特征值，并且通过k 最近 邻分类器对纹理图像进行分类。 第四章详细介绍四元数小波变换的概念以及实现方法。并且如何通过四元 数小波变换提取纹理图像的特征值。 第五章主要是分析实验结果，并且与已发表的论文中的研究成果进行比对， 得出结论。 第六章对全文的工作进行总结，以及对下一步工作进行展望。 4 第二章离散小波变换 第二章离散小波变换 因为本文的主要目的是介绍四元数小波变换方法，所以离散小波变换作为 小波变换的最经典方法，也作为四元数小波变换的理论基础，在论文的第二章 就给出介绍。 本章的开头部分简短介绍了经典小波变换在数字图像处理上的某些应用方 法。例如在压缩格式j p e g 一2 0 0 0 中的应用。这部分知识的回顾之后，介绍完美 重构图像的算法。因为本文的研究领域是数字图像处理领域，所以文章中提到 的小波变换，默认为是二维小波变换。在回顾完理论知识，并且提出算法之后， 本文会通过实验列举经典小波变换在实际应用中存在的一些缺陷，分析产生的 原因和解决的方法。在众多的缺陷中，重点需要提出的是图像几何描述上的缺 陷。在一些论文中指出，经典小波变换的图像几何描述缺陷可以通过复数小波 变换来解决。由此可以引出本文的重要算法四元数小波变换法。第二章的 最后给出经典小波变换的计算方法。通过这个算法，我们可以在计算机上实现 小波变换，并且得到小波变换在数字图像处理上的应用结果。 2 1 理论介绍 2 1 1 小波变换的应用领域 1 、用于描述图像 数码相机，扫描仪，还有摄像头等仪器，提供给电脑一串数字用来代表颜色。 霪 互 1 王 翁 图2 1 经典的图像描述方法：像素矩阵 科学家们因此是通过一个表格的值来描述图像的。这种简单的描述方法往 5 第二章离散小波变换 往可以满足一般的要求。但是这种方法与人类大脑对图形的理解是完全没有联 系的。事实上，存在一种数学工具能够更好的描述图像信息：小波变换。 ( a )( b ) 图2 2 二维小波变换图( a ) 原始图像( b ) - - - - 维小波分解( 一层) 得到的四个分量 小波变换可以将图像的整体分量和细节分量分开。这种图像的描述方法可 以应用于图像除噪和图像压缩( j p e g w t s o m ) 。一般的流程为如下表所示： 表2 1 用小波变换处理图像的一般流程 图像的小波变换 呻 对数据进行处理呻 i 处理后数据进行小波逆变换 小波变换因为通过少量的系数就能非常好的描述出图像的特性，所以应用 于图像压缩领域的时候能够得到较高的压缩率。当人们对于图像的质量要求不 是那么高的时候，可以通过丢掉一部分的细节分量，例如对角线上的细节分量， 来实现对图像的压缩。不过要提到的是，这种压缩方法是有损压缩。也就是， 在牺牲图像质量的基础上的压缩方法。 2 、空间尺度分析方法 传统的图像描述方法为我们提供了图像的空间信息，而它的傅里叶变换 、( f f t ) 则提供这个图像的频率信息。一个图像的频率可以理解为“某一特定尺 度的变化。比如：纹理图像可以理解为不同频率的变化。 空间描述 “在每一个像 素点上放映图 像在该点上的 信息。” 一无法反映图 像的变换。 频率描述( f f t ) “在每个频率上反 映整个图像的信 息。” 无法在空间上进 行定位。 6 第二章离散小波变换 f f t 可以用来分析平稳信号。但是对于存在平移的图像，或者对于存在奇异 突变的图像，必须要准确的分析出突变的位置。这个时侯，f f t 就开始表现得有 点力不从心了，于是人们求助于小波变换，希望能够弥补f f t 的这一缺陷。因 为小波变换提供了图像空间和尺度的描述，而这种描述能够同时提供图像的空 间信息和尺度信息。 小波变换存在以下性质： - 每一个分量对应空间上某一个方向上的频率信息。 - 每一个分量都提供该位置上的空间信息。 作为补偿，这种空间尺度上的定位和其他描述相比不够精准。然而，这种 分析方法对于数字图像处理来说是一种非常有用的分析手段。( 根据h e i s e n b e r g 的不定原理) 二维离散傅里叶变换用一种特殊的方式来划分谱。f f t 的频谱和2 d - d w t 的频谱显示如下： 方向上的“中频。f f t 变换的中间部分对应的是2 d d w t 的第一个谱包含 图像的“低频”。这个谱包含了整幅图像的绝大部分能量。 2 d d w t 分解可以进行多层分解。也就是说，图像的低频部分可以多次小 7 第二章离散小波变换 波分解，这样我们可以得到更精细的谱划分。下面这个图显示了2 d - d w t 分解 ( 1 层，2 层，3 层和4 层) ： 回一 ( a )( b )【c ) 【d )【e ) 图2 3 经典小波变换( a ) 1 层分解( b ) 2 层分解( c ) 3 层分解( d ) 4 层分解 3 、其它领域的应用 除了被广泛应用于图像压缩( j p e g 2 0 0 0 ，m p e g - 4 ，h 2 6 l ，h 2 6 3 ，e c w ， d i r a c ，w t s o m ) 之外，目前围绕小波变换的研究还有很多，同时小波变换也 被广泛运用于各个领域，无论是图像分割或者是图像的修复。例如，小波变换 的多分辨率性质可以提取图像不同尺度的信息( 应用于地图绘制工作和天文工 作) ；另外，小波变换可以非常有效的去处加性白噪声【2 3 1 ，所以小波变换也被 应用于图像除噪领域( 如图2 4 ) 。小波分解还被应用于图像的分类。 ( a )( b )( c ) 【d ) 图2 4 小波变换应用于图像除噪【2 3 】 ( a ) 原始图像( b ) 加了白噪声的图像( c ) 均衡去噪后的图像( d ) 小波去噪后的图像 2 1 2 小波变换的理论基础 1 、多分辨率分析 多分辨率理论( m u l t i r e s o l u t i o n ) 作为一种全新而有效的信号处理方法在 1 9 8 7 年被m a l l a t 提出了。同时，小波作为该理论的分析基础首次出现了。这一 理论将多种学科的技术有效的统一在一起，如信号处理的子带编码、数字语音 识别的积分镜像过滤以及金字塔图像处理等。其主要的优势在于可以在不同的 分辨率下分析信号特征团。多分辨率分析提供以下的概念：由“尺度函数”和“小 8 第二章离散小波变换 波函数形成可以构成一对标准正交基。m a i l a t 1 9 8 0 a 的多分辨率分析中提出了尺 度函数的四个基本要求。通过满足这些要求的尺度函数，能够定义出与其相对 的小波函数。 2 、子带编码 在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集合，称为子带。它 们可以重组在一起，无失真的重建原始图像。子带编码的实现是通过“低通滤 波器”和“高通滤波器 来实现的。输入信号分别通过低通滤波器和高通滤波 器，得到信号的近似值和细节部分。所有滤波都通过在时间域将每个滤波器的 输入与冲击响应进行卷积来实现。因为所得到的子带带宽要比原始图像的带宽 小，子带可以进行无信息损失的抽样。原始图像的重建可以通过内插、滤波和 叠加单个子带来完成【2 1 。 通过滤波器的选择能够实现对输入的完美重构( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，p r ) 。 如下图显示，系统的输沁( n ) 是一个一维的带限时间离散信号。输入的序列囊( n ) 是通过分析滤波器h o ( n ) 和h “将x ( n ) 分解成y o ( n ) 和y 1 纽) ，然后再通过综合滤 波器g o ( n ) 和g i ( n ) 综合得到的。其中滤波器h o ( n ) 是一个低通滤波器，h i ( n ) 是一 个高通滤波器，它们的频谱如图2 5 ( b ) 所示的。 o ( a ) 万 2 ( b ) 图2 5 予带编码( a ) 一维予带编码( b ) 滤波器频谱 9 第二章离散小波变换 3 、数字序列分解 1 9 9 5 年v e t t e r i 指出：“不仅仅只有好的标准正交基，而且还存在有效的算法 可以用来计算小波系数。这个算法主要在于找到连续时间小波和离散时间小波 之间的基本关系。也就是说，我们需要一个时间离散的滤波器组。这个滤波器 组在一定的条件下，可以用来进行小波序列扩张。这些关系是由多分辨率分析 理论产生的，并且是小波分析的基本框架【8 1 。 我们可以通过一个由低通滤波器和高通滤波器组成的滤波器组来在计算机 上实现对一个序列的小波分解。低通滤波器和高通滤波器分别和尺度函数以及 小波函数相联系。 这个关系可以通过数字滤波器组的冲击响应描述。 4 、构造滤波器组 在上面的介绍中，提到选择合适的滤波器可以准确重建原始图像。文章的 这部分开始介绍如何构造合适的滤波器组来实现原始信号的完美重构。 首先借助z 变换x ( z ) = 二x ( n ) z - n 来进行分析。根据图表6 ( a ) ，可以得到 系统的输出表达式为： x ( z ) 。寺g o ( z ) 【凰( z ) x ( z ) + 风( 一z ) x ( 一z ) + 寺g 。( z ) 骂( z ) x ( z ) + 耳( 一z ) x ( 一z ) 】 ( 2 1 ) 整理可以得到： 趸( z ) = 主x ( z ) h 。( z ) g 。( 刁h 1 ( z ) g i ( z ) 】主x ( 一z ) 【h 。( 一z ) a 。( z ) h 1 ( 一z ) g l ( z ) 】 ( 2 2 ) 对于输入的无失真重建，需要得到爻( z ) = x ( z ) ，因此，可以假设下面两个条 件： 嚣1 q 躲搿4 - h 笛端竺乒。 亿3 ， 王o ( 力g o ( z )i ( 7 ) g i ( z ) = 2 p 一7 通用过强制使h o ( 一z ) g o ( z ) h 1 ( 一z ) g 1 ( z ) 等于0 可以消除系统的相位失真， 也就是混叠失真。满足第二个条件：h o ( z ) g o ( z ) + h l ( z ) 6 i ( z ) = 2 ，那么整个滤 波器组不会发生幅度失真。这两个条件是保证该滤波器组实现理想重构的充要 条件。 l o 第二章离散小波变换 如果希望设计的滤波器组是f i r 滤波器组( 有限长冲击响应滤波器组) ，这 时候来讨论它的相位失真和幅度失真。 假设h o ( z ) 是n 点f i r 低通滤波器，即满足 丑o ( z ) = 霉h o ( n ) z 呻 ( 2 4 ) 所以，如果h o ( n = i = h ( n 一王一n ) ，那么h o ( z ) 是线性相位，那么h i ，g o 和g 1 也是线性相位的，从而 1 ( z ) = 量【h 。( z ) g 。( z ) h 1 ( z ) g 1 ( z ) 】( 2 5 ) 也是线性相位，于是去除了相位失真。 h oe p ) 此时可以表示为： h q e 虹) = e 学h ，( ) ( 2 6 ) h e ( e 虹) = e 。i h g ( ) ( 2 6 ) 式中，e g 【) 是的实函数，可正可负，代表h o ( e 灿) 的“增益”。将( 2 6 ) 带 入至e j ( 2 5 ) 式可以得到： t ( e 灿) = e 啪k 一幻三2 【h 主( t 曲一( 一王) n 一1 h 主( 而】= e 一舢伽一1 ) 妻 | h 。( e 弛) f 2 一 l = - 1 ) 和lh o ( e 甄一) 1 2 】 ( 2 7 ) 如果( n - 1 ) 为偶数，即n 为奇数，贝, u j m 。( e 灿) | 2 一i h ) ( e 袄湘) | 2 在= 处 为0 ，那么瞳( e 如) l 将不可能是全通函数，这将产生严重的幅度失真。 如果n 为偶数，则有： t ( e 舢) = e 啪( 弘三f h 。( e 灿) ：i m o ( i 礴前) 1 2 ( 2 8 ) 如果令 e o ( e 如) | 2 h o ( j ( 一) ：= l 则没有幅度失真，也没有相位失真。但是 这个时候h o ( z ) 和疆1 ( z ) 都只能取群延迟形式，这样的滤波器没有实用价值。所以， 1 1 第二章离散小波变换 如果想要设计的滤波器有实际意义，f i r 滤波器组的幅度响应只能近似准确重 建，近似程度取决于滤波器的设计。 2 2 离散小波变换的算法 2 2 1m a l l a t 算法 本实验使用m a l l a t 算法来实现二维图像的离散小波变换。在多分辨率分析 的基础下，m a l l a t 通过两个定理给出了如何通过滤波器组实现信号的小波变换及 反变换。 定理一：令a j ( 劲，f l j ( 移是多分辨率分析中的离散逼近系数，h o ，h ，( k ) 为合 适的两个滤波器，则钕( k ) ，喀( k ) 存在如下的递推关系： t 1 a j i ( k ) = a ；( n ) h o ( n 一2 k ) = a ；( k ) 嚣聂o ( 2 k ) 1 毛l ( k ) = 弓( n ) h i 0 2 k ) = 冬( k ) 毫矗l ( 2 k ) ( 2 1 0 ) 式中，嚣( 萄一h ( 一约。 定理二：若冬王( 均，i ( k ) 按照定理一的方法得到，则冬( k ) 可由下面的式 子重建 a j ( k ) = 咏l ( n ) h o ( k 一2 n ) 略l ( n ) h l 溶一2 n ) ( 2 1 1 ) 17t 2 2 2m a l l a t 算法的实现 通过图2 6 ，可以看到二维离散小波变换包括分解和两个部分。首先原始图 像水平通过分析滤波器组并且进行下采样，将得到结果再垂直通过分析滤波器 组，然后再次进行下采样，可以得到四个子带，实现一层的二维离散小波分解。 如果将得到的四个子带先垂直经过综合滤波器组，然后进行上采样，接着水平 经过滤波器组并且上采样，将得到的结果相叠加就可以重建原始图像。 1 2 第二章离散小波变换 分解 重建 口鬟a 蘑斟 篁挚一和 倒l - 图2 6 二维小波分解一重建。其中l p a ，h p a ，l p s 和h p s 分别为低通滤波器l o w p a s s ( l p ) 和高通滤波器h i g h - p a s s ( h p ) 分析滤波器a n a l y s e ( a ) 和合成滤波器s y n t h e s i s ( s ) 。砣表示每两 个数取一个。，2 表示s 每两个数中间插一个0 。 2 2 3 存在的问题 2 d d w t 理论证明了它能够完美重建原始图像。但是，如果图像的传输信 道不是理想信道存在噪声，对传播的数据会产生巨大的影响，这时候2 d d w t 就存在着缺陷了。 1 、平移敏感性 如果图像的某一像素点发生了平移，那么小波变换的结果围绕在这个平移 的周围会有很大差异。换句话说，2 d d w t 对平移非常敏感。 这里本文将举例论证。如图2 7 所示，左边的图像是原始图像( 一个像素点) 和它的小波变换。右边的图像是原始图像在信道传播后得到的图像，假设它的 位置发生了水平上的变化。我们可以比较两幅图像的小波变换谱，看出在这个 平移的位置周围有很大的差异。 ( a )( b ) 图2 7d w t 存在平移敏感性( a ) 一个像素点的一维小波变换( b ) 平移后的一维小波变换 1 3 第二章离散小波变换 2 、边缘效应边缘振荡 离散小波变换的m a l l a t 算法，是把输入信号当成无限长的一种理想化的情 况而进行的，在实际应用中，信号的长度是有限的，同时我们所用的滤波器也 只有有限长度，此时应用m a l l a t 算法对信号进行分解时，将导致数据量的增加， 为了保持分解前后数据量一致，就必须对分解后的信号进行裁短，但是这样将 导致合成恢复信号边界产生失真【9 】( 即边缘效应，也是我们常说的g i b b s 现象) 。 图2 8d w t 的边缘效应图。图的左边为原始图像。右边为通过二维离散小波变换和门限， 重组后的图。可以看到边界存在异常的线条。 3 、几何描述缺陷 二维离散小波变换不能很好的描述几何图形。可以看到下面的图，分别是 一条直线以及它的二维离散小波分解图。我们可以观察到，右边的那幅图里面 有许多条直线，分布到各个子带，而且右边图的直线周围都存在振荡现象。另 外离散小波分解只能得到水平方向，垂直方向和对角线方向上的细节分量。这 一点也遭到诟病。因为大部分图像都会有曲线，其他方向的轮廓。 1 4 第二章离散小波变换 图2 9 几何描述缺陷( a ) 原始图像为一条宜线( b ) 直线的小波变换图 2 2 4 总结 1 5 第三章基于小波变换的纹理图像分类 第三章基于小波变换的纹理图像分类 由于物体表面的物性不同，反映在图像上，表现为亮度、颜色的变换。因 此，纹理是由于物体表面的物理属性不同而所引起的能够表示某个特定表面特 征的灰度或者颜色信息，不同的物理表面会产生不同的纹理图像，而且很容易 被人所感知，我们可以从纹理上获得非常丰富的视觉场景信息，并且可以通过 纹理图像的分析，区分出不同的纹理。也就是纹理图像分类。目前，纹理图像 的特征分析还是一个开放的课题，许多的实验室仍然在寻找一种更有效，更优 的方法来进行纹理图像的分析和分割。 自从1 9 7 3 年h a r a l i c k 提出图像纹理可以通过纹理基元及其空间组织或布局 来描述以后i b l ，许多科学家又提出了大量的纹理图像研究方法：统计法【1 3 1 5 】， 这种方法把一级或者二级统计量作为纹理图像的特征提取出来，其典型代表为： 灰度共生矩阵。近年来纹理图像分类的研究主要集中在多通道分析以及多分辨 率分析方法，其代表为：g a b o r 滤波器组方法【1 】以及小波变换法【1 2 】。然而，目 前科学家们还没有找到一种最优的方法作为分析纹理图像的标准方法。 在这样的研究背景下，我们使用一种新的技术，用于纹理图像的分类。这 个方法是基于四元小波变换后的图像，从中提取特征。纹理特征提取( t e x t u r e f e a t u r ee x t r a c t i o n ) 是纹理图像分类的基础。为了最终实现四元数小波变换应用于 纹理图像分析。首先需要先基于小波变换进行纹理图像分类，再介绍基于四元 小波变换进行纹理图像分类。纹理图像分类的关键不仅在特征提取，还在于样 本训练的方法以及分类器的选择。由于本次实验重点不在于分类器的设计，所 以本实验使用的是最简单的分类器- k n n 分类器。此分类器的分类原理将会 在本章的后面部分提到。 3 1 纹理的定义 虽然在人的视觉上很容易反映出纹理并且很轻松可以定义纹理。但是用图 像中的二维灰度变化来表征多种多样的纹理本身是一个非常复杂的过程，因此 很难给纹理一个精确的定义。虽然当人们看到两幅不同的纹理图像的时候，可 以通过肉眼非常轻松的指出，这分别是什么纹理图像。但是要非常精确的运用 1 6 第三章基于小波变换的纹理图像分类 数学模型来描述这个纹理图像，却十分困难。其实，已经有许多的科学家都企 图给纹理图像一个定义。例如c r o s s 和j a i n 认为，“纹理是由基元所组成。这些 基元的形状是可以变化的，也可以是确定的，诸如圆和方形等。宏纹理具有大 的基元而微纹理有小的基元【1 6 】。因此可以说，纹理图像就是图像中具有相同特 性的某一个区域，一般来说是一幅图像的背景部分。同时也可以把纹理图像描 述成由一些大小和形状变化的基元所构成的空间的特殊机体。 3 1 1 纹理的种类 一般来说有两种纹理：一种是通过某一个花样的重复形成的纹理。另外一 种是外观无秩序的，但是，与其环境相比又是具有同一性的。b r o d a t z 建立了一 个纹理图像目录1 1 7 】，里面包含了许多种的纹理图像。今天，这个纹理图像目录 被科学家们用来进行各种纹理图像的研究测试。这个纹理图像目录包括了1 l l 中纹理( 沙子，草地，水泡，水，木纹，等等。) ，其中每个纹理图像有1 6 个不 同的变化。这些图像主要是被用于纹理图像分析方法的检测上面。( 如图3 1 ) 图3 1b r o d a t z 纹理图像目录的几个样本 3 1 2 纹理分析 纹理分析具有四个主要用途：纹理分类、纹理分割、纹理检索以及纹理形 状抽取。纹理分类是从一个给定纹理类别中识别出给定纹理区域( 纹理图像) 。 例如，在显微镜下观察到的不同病症的细胞图片样本。我们将其中一个拿给专 1 7 第三章基于小波变换的纹理图像分类 家看，他可以很轻松就指出该细胞属于哪种病症。但是每天有大量病人的细胞 样本图，让他判断是否患病，属于何种病症，需要耗用该专家非常多的时间。 纹理图像分类能够通过电脑自动对图像进行分类。因为每个病症的细胞样本图 都有不同的纹理特征，纹理分析算法从每个样本中提取纹理特征来对这些模式 进行分类。因为前面我们介绍了纹理图像分为两种，所以纹理图像的分析也分 为两大派：结构分析派和统计分析派。一般来说结构法主要是先寻找基元，再 描述基元之间的排布规律。因此，这种方法主要是应用于随机的纹理图像。而 统计法主要是学习像素点和其邻居之间的关系，并且用统计工具来定义参数。 总的来说，是用于结构比较细小，没有表现出明显规律的纹理图像。 图像的特征通常被用来描述一个纹理图像的特征，例如说：图像的直方图， 图像的梯度图，图像的共生矩阵，g a b o r 滤波器的系数，小波变换系数。在这些一 级和二级统计特征中，灰度共生矩阵能够是一种比较成熟和常见的方法。但是， 今年的研究却始终围绕这多分辨率方法也就是小波变换的方法。在第二章我们 提到了小波变换的缺陷，希望通过四元数小波变换来弥补。所以本文的研究就 是通过四元数小波变换来对纹理图像进行分类。 3 2 纹理的分类 从本质上讲，纹理图像的自动识别是一个模式识别问题，因此需要应用模 式识别的技术加以解决。所谓模式识别( p a t t e r nr e c o g n i t i o n ) 是根据研究对象的 特征或属性，利用计算机为中心的机器系统运用一定的分析算法认定它的类别， 系统应使分类识别的结果尽可能的符合真实。一个功能完善的识别系统在进行 模式识别前，首先需要学习【1 8 】。一个模式识别的原理图可以如下图所示。在进 行纹理图像分类之前，需要先对一些纹理图像进行学习、训练。对于待测样本， 首先提取它的特征值，再到训练样本里面进行比对，找到最短距离的样本，判 断为该类。 1 8 第三章基于小波变换的纹理图像分类 3 2 1 特征提取 厂 样本库 5 ，蝴勰9 8 赣愚 嗍嚣鬣辫 钧鬻娥弱蓼i 麓 銎鹅 r 图3 2 纹理图像分类的具体步骤 无论是在识别过程还是在学习过程，都要对研究对象固有的、本质的以及 重要的特征或属性进行