（应用数学专业论文）一种分形插值函数的最大值问题.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文首先简单介绍了粗糙表面评定的基本标准，以及模拟粗糙表 面的多种方法，然后介绍了分形维数理论和分形插值理论中已有的自 仿射分形插值方法，指出通过此方法可以产生各种性态的分形插值函 数，从而能够模拟粗糙表面。通过研究分形插值函数的迭代关系入手 着重讨论了一种分形插值函数的最大值问题以及不同的压缩因子对其 最大值的影响，给出了计算公式。最后对另外一些情况给出了预测和 对本问题研究前景的展望。 研究分形插值函数的最大值问题对于分形几何的实际应用和理论 发展都有非常重要的意义，同时对于粗糙度参数的计算有很重要的帮 助作用。 关键词：分形，粗糙度，插值，白仿射，最大值 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt b j sp a p e r ，w e 劬o d u c et h e 砷e r i o no fr o u g h 耐a c e 姐ds o i n e m e t h o d so fs 劬1 a t i n gt h es u r f a c e t h e n ，w ep r e s e n td i i n e n s i o nt h e o 巧姐d t h e 删；a n so fs e l f 二揽n ei i lf t a c t a li n t e r p o l a t i o nt h e o 呼w ep o 硫t h a tw e c a ng e tm a n yk i l l d so f 丘a c t a ln e 叩o l a t i o nf u n c ：t i o n sb yt l l i sm e 觚s s o 、e c 姐s i m l l l a t et h er o u g hs u 嘞c e b yn l e a 璐o fs t i l d y 吨t h ep r o c e s so fi f s ， w eg e ts o m ep r o p e r t i e so ft h ef u n d i o n w r ed i s c u s st h em a x m mo ft h e f u n c t i 衄砌u e n c e db yt h ev e n i c a ls c a l i n gp a r a m e t e r a n dt h e nw e g i v et h e f o m m l at oc a l c u l a t et h er o 哩灿1 e s sp a r a i n e t e r a “弱t ，w eg i v ef o r e c 嬲to f t b i sp r o b l e m 觚ds h o w e dt h ea d v 觚c e dw o r ko nt 地s u b je c t t h em a x i l i m mp r o b l e mo fak i l l do f 丘a m a li n t e r p o l a t i o nf l l n c t i o ni s v e 巧i m p o r t 加ti nb o t ho fp r 积i c ea n dt h e o 巧o ff r a d a l a tt h es 锄et m l e ，i t i si m 锄i n 星加l t oc a l c u l a t et h ep a r a m e t e ro fr o u g l ls m f a c e k e y w o r d s ：仃a c t a l ，r o 哩如1 e s s ，m e r p o l a t i o n ，s e l f l a f f ! i 1 1 e ，m a x i m u m 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 学位论文作者签名：老蓖移 p 6 年易月。日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：擀 日期：阚苔年易月矽日 江苏大学硕士学位论文 1 1 分形几何研究概况 第一章绪论 分形几何自创立以来受到了极大的关注，在很多科学领域都有广泛的运用 n h l 2 1 ，是研究具有复杂几何对象的有力工具。分形插值方法是分形理论应用到实 际的一个重要手段，如山脉、地形、岩石、材料断口等粗糙表面都可以用分形插 值方法进行模拟，构造出相应的分形插值函数，分形对象的各种维数可以用来刻 画分形表面的粗糙程度。从而，分形函数的研究为我们描述客观世界中事物的不 规则性提供了有力的工具。 分形是描述轮廓结构统计自相似性、非平稳性、不规则的理论，分形按算法 中随机性的影响，可以分为确定性分形，随机性分形，著名的形一m 函数属于确 定性分形，像分形布朗运动( 仍m ) 属于随机分形，虽然仍恤分形产生的规则是 一定的，但不具有重复性。分形为认识事物的不规则性提供新的研究工具。 1 2 粗糙度研究背景及现状 表面粗糙度标准的提出和发展与工业生产技术的发展密切相关，它经历了由定 性评定表面粗糙度到定量评定表面粗糙度两个阶段。 表面粗糙度对机器零件表面功能的影响从1 9 1 8 年开始首先受到注意，在飞机 和飞机发动机设计中，由于要求用最少材料达到最大的强度，人们开始对加工表 面的刀痕和刮痕对疲劳强度的影响加以研究。但由于测量困难，当时没有定量数 值上的评定要求，只是根据目测感觉来确定。从2 0 年代末到3 0 年代。德国、美 国和英国等一些专家设计制作了轮廓记录仪、轮廓仪，垂直放大倍率可达5 0 0 0 倍 和1 0 0 0 0 倍。同时也生产出了光切式显微镜和干涉显微镜等用光学方法来测量表 面微观不平度的仪器，给从数值上定量评定表面粗糙度创造了条件。从3 0 年代起， 已对表面粗糙度定量评定参数进行了研究，4 0 5 0 年代，美国，原苏联，英国等工 业国家相继制定了各自国家的粗糙度评定参数和数值的国家标准。 国际标准化组织于1 9 4 7 年成立了第5 7 技术委员会( i s o t c 5 7 ) “表面特征及 其计量学”( 当时定名为“表面光洁度 ) ，负责制订表面粗糙度方面的国际标准。 江苏大学硕士学位论文 成立后，直到1 9 5 4 年才开始由原苏联起草表面粗糙度评定参数及其数值得国际标 准。1 9 5 4 年1 1 月提出了第一次草案，1 9 5 6 年8 月修改成第2 次草案，肯定了表 面粗糙度的评定基准采用中线制。1 9 5 7 年又提出了2 2 1 号文件，并作为i s o 建议 草案在各成员国中征询意见。根据各国提出的意见进行修改后，又提出i s 0 第2 次建议草案，并于1 9 6 2 年4 月送交各成员国征询意见。该建议草案得到了多数成 员国赞成后，提交i s o 理事会，于1 9 6 6 年2 月正式批准为i s o 建议标准，即i s o r 4 6 8 1 9 6 6 表面粗糙度。这是国际上第一个有关表面粗糙度参数标准，它对统一 各国标准起到了积极的作用，并为制定与其配套的国际标准奠定了基础。1 9 7 3 年 开始经多次酝酿修改，到1 9 8 2 年修改成正式国际标准i s o4 6 8 1 9 8 2 表面粗糙度 参数、参数值和给定要求的通则。 国际标准化组织( i s 0 ) 现已发布了1 3 项有关表面粗糙度方面的国际标准。 综合分析一下，这些国际标准具有三个方面的特点：其一，其标准属于基础性技 术标准，适用于工程各个行业，标准的数量不可能太多；其二，在多数场合，其 标准不能按与各国取得一致的传统做法制订，标准须有科学技术基础；其三，在 国际范围内，新型的表面加工方法、零件材料、测量器具及测量方法的应用会引 起标准数量的增加。 众所周知，粗糙度对零件的摩擦磨损、腐蚀、疲劳强度、润滑、密封等性能 具有重要影响，人们对其一直进行深入研究。目前粗糙度理论研究背景发生了四 个重要变化： ( 1 ) 对粗糙轮廓性质认识的变化，经典粗糙度理论认为粗糙轮廓是平稳随机 过程，例如具有随机相位的正弦函数和服从正态分布的随机函数n3 | 。现在认为粗 糙轮廓是非平稳的随机过程铂，这把粗糙轮廓与b b m a n d e l b r o t n 5 3 提出的分形几 何紧密地联系在一起，从而能反映粗糙表面的非平稳性、多尺度性、不规则性等 许多特性。 ( 2 ) 粗糙度测量仪器的进步使得纳米级测量n6 | 、三维表面形貌测量n7 f 、宏观、 微观误差综合测量成为现实，现代粗糙度测量技术可获得比以前更精细、更广尺 度范围内的几何误差信息。 ( 3 ) 十分重视粗糙轮廓结构研究，认为粗糙轮廓结构决定零件工作性能n 踟n 钔 。分形维数是粗糙轮廓结构的重要表征参数，也是分形理论的重要组成部分。 2 江苏大学硕士学位论文 ( 4 ) 十分重视零件粗糙轮廓结构与加工参数之间内在联系的研究，认为加工 参数的变动引起零件粗糙轮廓结构的变化，零件粗糙轮廓结构的变化反映加工参 数的变动船。加工参数与分数维d 存在着一定的数值关系盥2 i 。 1 3 本论文的主要内容 本文第一章为绪论，第二章介绍分形基本理论以及本文所涉及到的基础知识， 第三章介绍粗糙度相关知识以及目前流行的几种粗糙表面模拟方法，重点介绍分 形插值模拟方法，第四章构造出一种分形插值函数，计算其在给定区间上的最大 值，并且可以得到此类函数的粗糙度轮廓表征参数。 3 江苏大学硕士学位论文 2 1引言 第二章分形基本理论与基础知识 分形维数是分形的基本理论，同时分形维数d 也是粗糙轮廓信号设计、评定 中十分重要的参数，维数的定义计算方法很多，如：h a u s d o r f f 维数，计盒维数、 自相似维数、功率谱维数等，每种方法都有一定的应用场合。本章主要介绍几种 常用的分形维数，同时也对分形插值理论做初步的阐述。 2 2 分形维数概述 早在一个世纪以前，人们就对一些数学现象感到难以理解呦1 ，称它们为“数 学怪物 。如k o c h 曲线，在r 1 中度量为o o ，在只2 中的度量为0 ；c a n t o r 集在零 维空间中的度量为o 。，在r 1 中度量为0 。s i e r p i n s k i 垫片在欠2 中的面积是o o ，在 r 3 中的体积是o 。即在欧氏几何中上述三个几何体是不可度量的。分形几何学创 立后，我们知道了，这其实是三个著名的分形集。 对于k o c h 曲线，如果用一维的尺度来量，其结果为无穷大，说明所采用的尺 度太细；如果用二维的尺度来量，结果为零，说明所用的尺度太粗。所以要用介 于一维和二维之间的非整数维来测量它，才能定量地表现k o c h 曲线的性质。不仅 k o c h 曲线，其他分形图形也是一样的情况。这种用来刻画分形图形复杂性的非整 数值的维数统称为分形维数。 由于分形集合往往自身非常复杂，对于不同的集合往往需要不同的方法，这导 致许多关于分数维的不同计算方法及各自单独的定义。下面我们就来介绍几种分 形维数的定义。 2 2 1 h a u s d o r f f 维数 令fc 彤， ) 是f 的可数个直径不超过万的覆盖，即fc u ，川表示 l - l 的直径， 蝶( f ) = i n f 蚓3 ，“) 为f 的万一覆盖) f = l 4 江苏大学硕士学位论文 易知日；是随着万的减小而增大，因此烛h ；存在。 定义2 1 ：称烛磁( f ) = 日5 ( f ) 为f 的s 一维h a u s d o r f f 测度。 容易验证日。满足测度的三公理，h 5 是一个测度。 定义2 2 ：d i m 日，= i l l f p ：日5 ( ，) = o ) = s u p p ：日。( ，) = ) 为f 的h a u s d o r f f 维数。即 州胪仁嘉三竺墨 如果s = d i l n h f ，则日5 ( f ) 可以为零或者无穷，或者满足： o 日3 ( f ) 从以上定义可以看出，计算分形的h a u s d o r f f 维数是相当复杂的，为了简化 计算，人们又引进了另一种维数：计盒维数( b o x c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 2 2 2 计盒维数( b o x c o u n ti 他d i 鹏n s i o n ) 设f 是r ”上的有界子集，虬( f ) 是最大直径为万可以覆盖多的集的最少个 数，则称： 蕊! ! 曼丝盟：面曰f 6 训 一l o gd 为f 的上计盒维数。 墅掣婴：地曰f 而一1 0 9 万。 为f 的下计盒维数，如果上下计盒维数相等，则称计盒维数存在，记作d i i n 占f ， 即 烛掣婴：帆f 占_ o l o g 万 。 由于计盒维数用的是相同形状的覆盖，计算起来比较的简单。在某些情况下，分 形的h a u s d o r f f 维数和计盒维数是相同的，我们称h a u s d o r f f 维数和计盒维数相 同的集合为正则集。可以证明，上面公式中虬( f ) 可以是下面的五个数中的任 意一个： 5 江苏大学硕士学位论文 ( i ) 覆盖f 的半径为万的最少闭球数。 ( i i ) 覆盖f 的边长为万的最少立方体数。 ( i i i ) 与f 相交的万一网立方体的个数。 ( i v ) 覆盖f 的直径为万的集合的最少个数。 ( v ) 球心在f 上，半径为艿的互不相交的球的最多个数。 2 2 3 填充维数 令 男( e ) = s u p 阱) 这里 e ) 墨1 是中心在e 上，半径最大为万的互不相交的球族，由于g 但) 随万减少 而递减，则极限 劈但) 3 娥劈但) 存在。s 一维p a c k i n g 测度定义为 p 但) = 叫善g ) ：ec g e ) 通过p a c k i n g 测度，类似于h a n s d o r f f 维数的定义，e 的p a c k i n g 维数定义为 m m pe = s u p p ：p 5 但) = o o = i i 域s ：j p 5 俾) = 0 ， p a c k i n g 维数表示的是用半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充的程度。 上面三种维数的关系如下： d i m h e d 妇p e d i m b e 另外还有多重维数晗4 1 和精细计盒维数乜5 瑚1 等等维数的定义，这里不一一介绍。 2 3自相似集和自仿射集嘲 ( 1 ) 自相似集 给定映射族墨，s ：，最：r “_ r “，满足下式 l s ( x ) 一墨( y ) i = el x y io ，y r “) 其中o q l ，函数就是常数。 当口= l 时，被称为i j p s c h i t z 函数。 瑾 o ，选定一个 臃 x ；，刀= 1 2 ，其压缩因子为o s 1 ，以至于 其中 ( d ) 是h a u s d o r f f 度量，则 ， 厅，u 仁) ) g ， 以= l 9 江苏大学硕士学位论文 似，a ) 工一5 其中a 是这个i f s 的吸引子，等价地 1 办( 厶么) _ ，比日( 力 上一j 拼贴定理的意义在于告诉我们如何去寻找一个i f s 使得其吸引子贴近或看起 来象给定的集合，我们知道，不动点a 是从复制它自身的变换( a ) 构造出来的， 所以我们对给定的作压缩变换，然后把它们粘贴到一起以便重构，拼贴定理 告诉我们，即使粘贴得不能使之精确符合，但只要原始集三与粘贴后的“拼贴 以d 之间能较好地符合，吸引子彳将十分接近于。 定理2 4 ：设岱，d ) 为完备的度量空间，弘；，n = 1 ，2 ， 是一个i f s ，压缩 因子s = m a 】【仅：行= 1 ，2 ，) ，如果每个取都连续依赖于参数p p ，p 是紧度 量空间，则吸引子a ( d 日 ) 就按h a u s d o r f f 度量j l ( d ) 连续地依赖于p p 。 该定理告诉我们，通过调整变换中的一些参数，可使吸引子得到连续地控制。 关于分形插值中进一步的理论在下一章中介绍。 1 0 江苏大学硕士学位论文 第三章粗糙度相关知识及粗糙表面模拟方法 3 1分形表面及其特性 ( 1 ) 表面特征及其偏差分类 在各种生产过程中，任何物体都不可避免的会产生表面，所谓表面是指该物 体材料与周围介质( 通常指空气) 之间的边界。经过加工的表面一般认为有粗糙 的表面与光滑的表面之差别，这可以用视觉或触觉的方法直观地加以区分：光滑 表面大多能反射光线，在表面上看不出有花纹，手感平滑，阻力小；粗糙表面不 反光，能看见明显的纹理和沟痕、凹坑，用手指触摸时感到凹凸不平，摩擦力大。 但是这种判别带有主观因素，而且只是定性的相对说明比较光滑或粗糙一些，没 有确切的表达表面特征之细节和全貌口4 1 。 制件在制造过程中产生的表面几何形状总是不够完善的，如加工后的实际表面 形状相对于理想表面形状存在一定的偏差。通过测量会发现，在表面上有一系列 不同间距和高度的峰谷所组成的不规则几何形状叠加在一起的复杂表面结构。 对于这种复杂结构，现今一般采用三类结构型式形状误差、表面波纹度和 表面粗糙度来描述。这三类表面几何形状偏差在一个表面上并非孤立存在，大多 数加工表面常受其综合影响。但是各类偏差形成的原因和特性以及他们与各种使 用功能的因果关系均不相同，而且受测量手段的约束，因此目前仍采取分别的评 审【3 5 j 吧。 其中关于表面粗糙度完全是由加工方法固有的内在作用所产生，是制件在加工 过程中由实际加工过程中由实际加工介质切削刀具、磨粒、喷丸等在完工表 面上留下的微观不平度啪1 。例如切削过程中的残留面积，刀具对制件表面的摩擦、 切屑分裂时材料的塑性变形以及刀瘤和灼伤等因素，形成各种形式凹凸不平的微 细加工痕迹。采用不同的工艺方式便构成特定的表面微观几何结构，这种微观结 构与分形非常类似，并且有着密切的联系。有时候也称之为分形表面。 ( 2 ) 分形表面的分类 许多材料的表面具有分形性质，这类表面就被称为分形表面阱1 。分形表面根据 江苏大学硕士学位论文 其内含的分形性质可分为自相似分形和自仿射分形。自相似分形是各向同性的， 如果磨损表面的反复放大，就能观察到越来越小的在统计意义下基本相同的粗糙 度细节嘲。这种在不同尺度上表现出统计相似性的行为，意味着标度变换下的不 变性。 自相似分形表面主要有三类：面分形，体分形和孔分形。 ( i ) 面分形仅在材料表面具有分形性质，表面越不规整，其分形维数越接近 于3 ，具有面分形结构的材料实例有石墨、碳墨、碎石英、金属断裂表面、碳化钙、 多孔硅胶、碳纤维等。摩擦表面的分形属于面分形。 ( i i ) 体分形的分形性质贯穿于整个材料的表面和本体，但其孔道空间仍是 三维的，对于一维骨架的聚合物状分形体，1 d 3 ，d 的大小由其支化和蜷曲 程度而定。对于块状分形体，2 d 3 ，当结构为支化和曲折的时候d 值大于2 ， 具有体分形性质的材料有硅胶、聚合物、交联聚合物树脂等。 ( “i ) 孔分形与体分形相比，两者的本体和孔道发生了互换，具有孔分形结 构的材料有砂石、耐热耐蚀玻璃等。 自仿射分形是指那些具有仿射变换不变性的图形，它是各向异性的。对于一 个集，它的点的位置由下式表示： x = “，恐，稚) e 表示在欧式空间的维数，当其经过标度比r ( 0 ， 1 ) 的自相似变换后，各点 位置变化为 = ，) 此集合是自相似的。如果，不是相同的常量，而是不同的值，= ( ，i ，吃，七) ，即不 同方向的标度不同，则此分形集称为自仿射分形。自仿射分形可以是确定性的， 也可以是统计意义下的自仿射分形。由于许多物理图象和过程的标度不变性是各 项异性的，用自仿射分形( 或各向异性分形) 描述这些过程比较合适。 本文主要研究的对象属于确定性自仿射分形。 ( 3 ) 分形表面的特性 大多数固体粗糙表面结构在数埃至数百埃的范围内为分形，表面的许多功能与 其分形结构有关，揭示这种关系是研究分形表面的主要目的。 江苏大学硕士学位论文 ( i ) 分形表面的吸附功能 固体表面的吸附性能是其重要性能之一，金属表面吸附可分为物理吸附和化 学吸附。物理吸附是非常快的可逆过程，物理吸附时，介质分子在固体表面保持 自己的特性，被物理吸附的分子在表面一定时间，可能发生解析。这种吸附除与 金属表层特性和介质特性有关外，还受温度的影响。气体在金属表面吸附时，可 能被晶格吸收。这种吸附作用队金属的摩擦、磨损与润滑都有一定的影响。在化 学吸附作用下，吸附分子与金属表面原子( 分子) 间发生电子交换，相互发生化 学作用，进而使吸附表层的结构和化学性质发生变化，形成化合物。 单分子层的物理吸附量历。与吸附剂微粒半径只、吸附质截面积仃之间的关系 为 d ( ) ( r d 一3 盯2 若吸附质是回转半径为毽的聚合物，则 m p 仪蜓d 单位体积吸附剂的化学吸附容量聊，与吸附剂微粒半径r 的关系： m 。r 眨- 3 d c 被称为化学吸附分形维数，d c 除了与吸附剂表面的分维d 有关外，还与吸 附质、吸附剂的性质有关。 ( i i ) 分形表面上催化剂的活性 在多相催化体系中，载体和催化剂至少在一定范围内具有分形特征。人们曾对 一些简单催化竞争反应进行模拟，发现分形表面上催化剂的活性不同于平滑表面 上催化剂的活性。对于分散在高比表面载体上的金属催化剂催化的许多反应，单 位重量催化剂的催化活性a 与金属微粒尺寸及分维的关系为 n 尺一3 其中环反映了催化剂的选择性、活性、活性位置在催化剂表面上的分布等信 息。 ( i i i ) 分形表面上的反应特性 分形表面的反应性溶解、表面化学成分的变化和热分解等反应得速度，可用微 江苏大学硕士学位论文 粒半径r 和反应维数d ，表示为 ，o ( 尺d ，一3 对于完全由几何因素决定的反应，如硅胶的硅烷化反应，d ，= d 。对于大部 分反应，d ，由物理因素和化学因素共同决定。 ( i v ) 分形表面的光散射性质 在大多数光学应用场合，光散射是光学系统的非设计因素，它对整体的光学性 能起负面影响，例如增加噪声、造成光学损耗等。光学器件的表面形状是影响光 散射的主要因素，而许多表面具有分形性质，它对光散射有不可忽视的影响。 通常认为分形维数越大，表面越粗糙，光散射的角分布应该越分散。根据统计 显示，j d 越大的表面，出射光分布反而比d 小的表面更集中，峰值越大。d 越小 的表面，反射光的角分布较分散，峰值也小。这表明，对使用几何光学的光散射， 越粗糙的分形表面其光散射的程度越小，越光滑的表面的光散射程度越大。 ( v ) 分形表面的测量不确定性 根据实际测量发现，不同的尺度得到的表面粗糙度值r 、是变化的，这说 明传统的表面粗糙度表征参数是基于统计学的，它们将随着测量尺度的变化而表 现出不稳定性，即具有尺度向关性的特征。正是由于表征参数有尺度相关性，要 求我们从不同的测量分辨率下得到粗糙度的表述，从而有了下述各种模拟方法， 其中本文采用的方法主要为分形插值模拟方法。 3 2 粗糙表面的模拟方法 随着计算机技术的迅速发展，数值模拟越来越成为摩擦学研究中的重要手段。 由于表面形貌随机性强、形成过程复杂、影响因素多，使得对表面形貌的定量研 究主要依靠测量之后的数据分析，属于“事后 分析9 l 。事实上，表面形貌在摩 擦过程中始终是变化的，表面形态的演化在时间上具有瞬变性，在空间上具有离 散性，我们很难记录某一表面形貌在摩擦过程中的演化全过程。随着摩擦学研究 的发展，摩擦磨损行为描述由定性向定量化发展，表面形貌的研究也大量借助计 算机进行仿真模拟和分析，。这样就可以在摩擦过程之前分析表面形貌的演变，实 现“事前 分析。另外，表面形貌模拟也是虚拟摩擦学的重要技术基础。 1 4 江苏大学硕士学位论文 ( 1 ) 分形布朗函数模拟法呻1 分形布朗运动( f r a c t a lb r 佣碰趾m o 矗0 n ，田| m ) 是b m a n d e l b r o t 和v 锄n e s s 于 1 9 6 8 年首先提出的，用于模拟各种具有分形特征的噪声等，现已成为一个能反映 广泛的自然物体性质的数学模型与粗糙表面的许多数学特征相近( 如分形维数、 统计自相似、增量平稳等) m 1 。而m m 数学模型的特征可由赫斯特指数h ( 或分 形维数d ) ，标准差6 表示。对模拟表面而言，h 是粗糙表面复杂情况的一种抽象 和概括，当h 越大时，分形布朗运动变化趋于平缓，而当h 变小时，变化趋于精 细。而6 反应着局部表面总的形状起伏特征。我们只要抽取某个区域的特征参数h 和6 ，即可用m m 模拟生成该区域的多分辨率多细节层次的表面。 分形表面的模拟技术实质上就是在数学上合成一个满足衄幢特性的空间曲 面。分形布朗运动是现代非线性时序分析中的重要随机过程，它能有效地表达自 然界中许多非线性现象，目前已发展了多种仍m 合成技术，主要有泊松阶跃法、 傅里叶滤波法、随机中点位移法、逐次随机增加法等。 ( 2 ) 逆傅里叶变化模拟法 逆傅里叶变化模拟法( h l v e r s ef o 面e rt m s f o m a t i o n ，简称刀盯法) 可以模拟 表面轮廓和表面形貌。它模拟表面轮廓的步骤如下：生成一组 0 ，q 分布的高斯白 噪声玩，七= o ，1 ，一1 ，然后对其做f o 证e r 变换，得到f o u r i e r 系数为 对f o 嘶e r 系数的实部和虚部进行修正，使其满足下面的幂律关系，即 s 1 _ 伽5 以d 、， 由此得修正后的f o u r i e r 系数 r 气一，n i 鼠= 凰 ( 后+ 1 ) 厂r ( o 七 2 ) 1 型 【鼠= 吼 ( 后+ 1 一2 ) 】2 ( 2 后) 最后，对修正的傅里叶系数做逆f o 嘶e r 变换，就得到一个模拟轮廓。 模拟粗糙表面形貌的步骤如下：对二维高斯白噪声作f o 埘e r 变换，使其功率 普满足式( 4 1 6 ) 所示的幂率形式，对满足条件的s ( u ) 做逆f o 耐e r 变换，即可得 到仍m 序列石o ) 。二维的逆f o 面e r 变换为 9 一lq = m ，- ， 争 p 脚 = 以 江苏大学硕士学位论文 其中的变换满足幂型条件 一l 一1 x ( x ，) ，) = e 2 。h 协 七竺0 ，= 0 e ( 1 1 2 ) o ( ( 七2 + ，2 ) 一h _ 1 日 是通过对二维白噪声做f o l l r i e r 变换，然后除以i 得到的。胛法可以通过高频 成份的调节来任意接近毋m ，生成的表面具有很好的毋m 特性。 ( 3 ) w - m 函数模拟法 逆傅里叶变换法实质上是一个频率域中的线性累加，而随机化的w e i e r s 觚s 函数则是一个频率域中的几何累加，它是布朗函数的另一种构造，其表达式为 n x = a 入一艚s 氓”f + ) n = i 咖 上式中a 是一个 o ，1 ) 的独立正态分布随机变量；是 0 ，2 丌】区间均匀分布的相 位。在一定的尺度变化i 啦m 。范围内，w m 法可通过预先设定的系数a 和 生成佃恤曲面。w - m 法生成的图像是由预定系数计算的，因此比较容易控制产生 图像的边界，表面分辨率可以通过累加分量数调节。 3 3 分形插值模拟法 如前文所述，粗糙表面的轮廓高度变化是一非稳定随机过程，具有多重尺度 特征，因而用一定分辨率的仪器所测得的表面形貌只反映了该分辨率水平的粗糙 度，不能完全反映表面粗糙度的真实信息，这就是粗糙度测量的尺度相关性表现。 显然，基于这种情况采集的数据而表征的形貌参数存在一定偏差，这会影响粗糙 表面之间接触和摩擦的认识结果和计算精度。如果能用有限的实验数据模拟出更 加精细的粗糙结构，则可解决仪器分辨率不足所带来的粗糙度测量尺度向关性的 问题。另外，表面形貌模拟也会遇到一种情况，那就是已知轮廓基线函数时，如 何模拟粗糙轮廓的问题，分形插值模拟是解决这两个问题的方法之一。 ( 1 ) 经典插值方法 插值方法是数值模拟与数值计算中常用方法。传统插值方法要求插值函数与 被插值函数在插值基点处具有相同的函数值，甚至到某阶导数。例如，将原始数 1 6 江苏大学硕士学位论文 据点 毛y 在坐标中标出，然后从几何上分析数据点之间的关系，构造出一个次数 尽可能低的多项式厂( 力或者是一个基本初等函数的复合函数p ( 功，使多项式，( 力 或复合函数p ( 矽的曲线的若干坐标点处于原始数据点具有相同值。这里构造出的 多项式或复合函数就称为插值函数。 插值函数的选取方法很多，可以选取代数多项式，选取三角多项式或有理函 数，也可以选取某区间上的任意光滑函数或者分段光滑函数。最常用、最基本的 插值函数是刀次代数多项式，即 ( 砷= 口。十q z + 口2 矿十+ 口。矿 其中，口。，口。，口：，口。是实数，把多项式函数的插值问题称为多项式插值。 当数据点的区间范围较大时，单独采用一个高次的多项式插值，拟合误差可 能较大。为此，常采用分段插值方法，即对于不同的数据点范围，利用不同的插 值多项式。分段插值相当于用若干条多项式曲线连接而成，所以拟合曲线一般是 、 不光滑的，为此采用样条插值来克服分段插值函数的拟合不光滑问题。 ( 2 ) 自仿射分形插值函数理论 给定闭区间，= 【口，6 】，令口= 而 而 h = 6 是，的一个分划，其中2 。 令，m ，y 是任意的一组实数，用日( k ) 表示由k 中的非空紧子集组成的集合， 其中k = ，只。 记= 【鼍_ l ，墨】，f = l 2 ，。令三，是，j 的一个压缩同胚映射，满足： ， 厶( 而) = 墨一。，厶( h ) = t 并且对某个0 五 1 ，有： i t ( ) 一( 甜：) i i 一甜：i ，v ，“：， ( 3 1 ) 令f 是k 只的连续函数，满足条件： z ( ，) = m 一。，e ( h ，蜘) = 咒 并且对某个0 纽1 ，有： i 鼻( 甜，h ) 一只( 甜，吃) l 吼i h 一吃l ，v 甜，v l ，屹r ( 3 2 ) 定义映射缈f ：日晖) 一日俘) 1 7 江苏大学硕士学位论文 q 蝌乏鼬一， 则 k ：q ，f = 1 ，2 ，) 构成一个迭代函数系。 定理3 1 ：存在，上的连续函数，使得厂的函数图像 g = 聊办( ) = 厂( x ) ) 睢j ) 是迭代函数系 k ：q ，江1 ，2 ，) 的不变集，即g = u q ( g ) ，并且； ( 3 3 ) 厂( t ) = 只，z = 1 2 ， 我们称这样的，是对应于 x ：q ，z = 1 2 ，) 的分形插值函数( f r a c t a l i n t e r p 0 1 a t i o nf u n c t i o n ，简称f i f ) 定理3 2 ：厂是对应于迭代函数系 k ：哆，f = 1 2 ，) 的分形插值函数， g = 删( 厂) ，则对于任意的彳日( k ) ，有： ! 骢j j i ( 缈”( 么) ，g ) = o 从而分形插值函数是唯一的。 特别当厶o ) 和曩( 而y ) 都是线性函数时，( 3 3 ) 式可以写成如下的形式： 哆( ；) = ( ：芝) ( ；) + ( 羔) ， f = 1 2 ，( 3 4 ) 这时候有厶o ) = q 石+ 哆，巧( 而y ) = q x + d ，少+ z ，由条件( 3 1 ) 和( 3 2 ) 可知： o 川 1 ，k f 1 ，并且 ( 薯，咒) i ，江o ，l ，2 ，) 不共线，那么d i i n 口( g ) f _ l 就满足i 珥坊= 1 的唯一解j ，否则d i m 口( g ) = 1 。 f _ l 由上面介绍的方法得到的是一个自仿射分形插值函数，并且i 谚防- 1 = 1 的解 f - l s ( 1 ，2 ) 。通过调整西的值，就可以得到不同维数的插值曲线。 我们想通过分形插值模拟的方法计算粗糙度相关参数的具体数值，就需要从 研究分形插值函数的相关性质入手，下一章将详细讨论这一点。 1 9 江苏大学硕士学位论文 第四章一种分形插值函数的最大值问题 4 1引言 在函数论中，函数的插值方法是逼近论的主要内容之一，它在数值计算、计 算几何、计算机图形学等领域中有着极为广泛的应用。分形插值函数( f r a c t a l i n t e r p 0 1 a t i o nf u n c t i o n ，以下简称f i f ) 可以看成是一种发展了的科学工具的通 用语言。它是美国数学家b a r n s l e y 于1 9 8 6 年提出的，这种函数的图像可以近似 描述那些欧氏几何不能很好描述的对象，如海岸线森林顶部起伏的曲线、山的轮 廓、云的形状等等。它为数据拟和提供了一种新的途径。 4 2 分形插值函数的构造 给定闭区间j = 【o ，1 】，定义映射哆：日僻) 一日( k ) ，k = j 只 哆( 渊乏卜纷m 本章讨论当厶( 力，互似) ，) 都取线性函数时的情形，即哆有如下形式： q ( ；) = ( 竺芝) ( ；) + ( 多 ，z = 1 ，2 ， 根据自仿射分形插值函数的迭代函数系系数的计算公式，其中参数盔为垂直 压缩因子， 口，= 纯一再一1 ) 一而) 哆= q 五- 1 一毛) 一而) q = ( 咒一y j 一。) ( 一而) 一盔( 一) ( h 一而) 六= ( 粕只- 1 一而咒) 一而) 一d ，( h 一而) ，) 一而) 由上述公式确定的f i f ：记作) ，= 厂( 力， 连续函数厂( 力的图像g 圭 似厂l x 【o ，1 】) 是迭代函数系 哆 的不变集嘲。 给定三个插值结点a ( 0 ，0 ) ，异( 1 2 ，1 ) ，曰g 0 ) ，给定d l = d 2 = d ，o d 1 ， 可以确定如下两个仿射变换， 2 0 江苏大学硕士学位论文 堋= 堋+ = 雠 当压缩因子取不同的值时f i f 构造出的曲线有不同的形状( 如图) 盔= 畋= 1 5 盔= 畋= 1 3 ， o 2 o 4 o 6o 8 1 d l ：矗2 ：1 2 7 盔= 如= 2 3 从图像中可以看出，当喀 1 时图像较为光滑，而当谚1 时图像非常粗 糙。 由上一章的知识可知，只有当压缩因子西1 时f i f 构造出的图像才是分形 插值函数，其维数大于1 ，所以我们主要讨论最后一种情形下的函数性态。 变换m 将整个图像变换到直线x = 1 2 的左侧，而变换将整个图像变换到直 线x = 1 2 的右侧。根据这三个插值结点以及两个变换可以唯一的确定一个分形插 值函数，这样第一次迭代中由3 个点a ( 0 ，0 ) ，昂( 1 2 ，1 ) ，曰g o ) 迭代得出5 个点，其中 仅有两个点为新出现的点，记作置= ( 异) ，昱= 也( 昂) ，第二次迭代中将上一 次的5 个点继续用m 作用，得到四个新出现的点( 其他的点没有变化) ，记作 毋。= ( 丑) = w 1 ( 昂) ， 置：= ( # ) = w 2 ( b ) ， 2 1 2 2 1 1 一 “ 、仃 = = 、j，： y x 歹 m 屹 一 1 ， 一 芦| o 钆 叽 玑 “ 江苏大学硕士学位论文 昱。= m ( 最) = ( 昂) ， 昱：= w 2 ( 昱) = w 2 也( 昂) 易见每次迭代时所产生的新点个数为上一次两倍，即第刀次有总计2 ”个新的结点。 记第，z 次迭代所生成的所有新出现的点为置j 2 - ( 其中瓦仉芍，七= 1 2 ，1 ) ， 容易得到下列结论： 咒在最终的分形插值曲线) ，= 厂( 矽的图象g 上换句话说，图像g 上是所 有气经过无穷次迭代的不动点集合。 4 3 此种插值函数的相关性质 由上述两个仿射变换得到的i f s 有如下几个性质( 本节中讨论的，z 均为偶自然 数，奇数情形类似可得；1 2 ) ，秒2 2 证明：对于点置l 来说，) ，他| 1 2 一溉删= 1 2 _ l o ( 由性质1 ) 江苏大学硕士学位论文 又由性质1 可得咒如2 l y f l 一2 2 。 性质3 对于 而，v y 2 m ，( 0 而，而 1 0 0 4 对于任意给定的正偶数础，所有蛾= 眨小懒“：矿蝴：k m ：。， 且为最大值。 证明：m 2 1 2 1 2 1 2 = 儿1 2 1 2 1 2 l 由性质1 易得。 由性质2 可知，对于任意给定的纠，对魄= 眨： 进行两次迭代中， 已知甄一1 2 乩l l ，k 矗2 1 虼一2 2 ，较大的两个值为y 秘1 2 ，一厶2 l 由 数学归纳法可知，假设对于上述的y 他。2 ，既2 “：。中，较大的是形如 。幽1 2 和 础2 l ， i 下证对于形如甄如士：型匕里1 2 是在上述的y 值蚝龟。2 ，既如2 。中较大的。 叫嚣扣， 已知当1 2 既赴4 - 2 2 2 l ， 且气如t 一2 2 1 2 气”。_ 2 2 2 l ，黾咖“以2 1 2 + 护粕2 2 l 1 则由性质3 ，可得 和 ( 由性质1 ) 江苏大学硕士学位论文 同理可知 州2 罂坠! z 。2 趔型2 ， i 1 + 壬 y 他吐一2 1 2 1 1 1 1 ：1 2 ) ， 缸 一2 l 望! ；= 堡。 “t + i 所以较大的值在y 粉稍幽和y 秘矗粕型= ! ! 中取到。 定理4 1 由上文给出的i f s 所得到的分形插值曲线，它的计盒维数 s = 2 + 善等，并可求得分形插值函数的最大值y ，当1 厂2 d 1 时，函数最大值 l o g z 7 一一 在戈：1 3 ，x ：2 3 取得，y ：丝。 1 一口 证明：由上文给出的i f s 所得到的分形插值曲线满足定理3 3 的条件，则由定理 3 3 可知，计盒维数s 是方程 巧眩一= 1 的解，将喀= 畋= 矗，以及 口l 。嘞2 1 2 带入方程就可以得到本文讨论的分形插值曲线的计盒维数 s ：2 + 业 l 0 9 2 要求函数的最大值，我们先求出对于所有气噶的y 中最大值_ ) ，雠，由性质 4 可知，当1 2 d 1 ，对于h l ，以= 2 忌，y 1 2 1 2 i 1 2 1 2 = y 2 1 2 j l - 1 2 1 2 1 ，为最大值。 设 飞舶) = 阱 则对于1 2 = ! 垄：! ! 1 2 来说，易求的嘞= 1 2 + 嘞一2 4 ，而：1 2 ，由此求得， 蔓女= 2 3 + ( 1 4 y ( 一l 6 ) ， 令七j o o ，得吃t 斗2 3 ，即2 3 为w 2 】的不动点。 同理对于编屯= 坦：罂! ，恐ij 1 3 。1 3 为m ：的不动点，故最大值在 x = l 3 ，x = 2 3 取得，又由于性质l 可知，在这两点对应的函数值是一样的， 设为) ，一，则由 ，( ：) = m ( 竺) = ( “p 刈摹三m d ：) = ( 竺) ， 江苏大学硕士学位论文 司得 2 3 2 而。 而对于v p 似) ，) g ，j 捣厶，使得气“一p ，刀专，又气“中的最大值 为) ，傩，故由极限的比较性质可得函数y = 厂( 力上的任意一点最大值， 。2 3 ) ，2 2 而。 从而可以看出此最大值连续依赖于压缩因子z ，并且能够按照此结论类似求 得此种分形插值曲线的相关粗糙度参数。 4 4 分形插值曲线的局部斜向最大值 局部斜向最大值即分形插值函数在其定义域内的局部区间内相对于某条给定 直线的偏向最值，研究它可以更好的理解分形插值函数的局部性质，并且从另一 个方向上得到函数的“最大值”，即曲线离给定直线的最远距离，也就是确定了曲 线在给定方向上的最高点，在物体接触摩擦过程中由于摩擦磨损的方向具有随机 性，从而计算局部斜向最大值对于不同方向上摩擦磨损的定量计算有着重要的参 考价值。 仿射变换可以将长方形区域变成平行四边形区域，从上文所讨论的自仿射分 形插值曲线的构造过程来看，文中的压缩变换劬，皱所构成的迭代函数系的不变集 就是g = ，厂( 砌) ，从而压缩变换q ，呸也可以看成是将一个介于长方形区域d ( 即【0 ，1 】 0 ，y 】，其中y 为插值曲线的最大值) 内的平面点集g = 似厂( 砌) 到自 身的一个的自仿射压缩过程，由于压缩后的曲线依然在g = 似厂( 砌 上，从而我 们可以利用仿射的相关知识，求得给定小区间内分形插值函数，