（应用数学专业论文）多小波及其在图像压缩中的应用.pdf

多小波及其在图像压缩中的应用 作者简介：尹渡，男，19 7 9 年3 月生，籍贯山东，2 0 0 3 年从师于成都理工大学王玉兰副 教授，主攻方向是数学与计算机模拟，于20 0 6 年7 月毕业并获应用数学硕士学位。 摘要 小波技术作为一种信号处理工具在图像压缩和去燥等方面都有着很好的应 用。但是有紧支性的正交对称单小波系统是不存在的，将生成小波的一个尺度函 数换作多个尺度函数，就产生了多小波的概念。与单小波相比较，多小波同时具 备诸如紧支性，正交性，对称性等诸多在信号处理中非常重要的良好性质。这决 定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。 多小波变换是传统小波理论中正在兴起的一个分支。人们目前对它的研究还 处在起步阶段，其理论研究尚需进一步深入，应用领域也有待进一步开拓。本文 主要针对多小波的理论及其在图像压缩方面的应用作系统深入的研究。主要包括 以下方面的工作： 1 对多小波技术的理论进行系统地阐述。对多小波的起源，构造及实现进行 深入的理论研究。 2 针对多小波变换后的能量的集中性，讨论了多小波的良好性质。 3 以g h m 多小波为例，将多小波通过前滤波后用于图像压缩，并将其结果 与单小波相比较，获得较好的结果 本文算法均利用m a t l a b 实现。 关键词： 小波分析单小波尺度函数多小波 前滤波器图像压缩 m u l t i w a v e l e t sa n dt h ea p p l i c a t i o no fi tt oi m a g e c o m p r e s s i n g i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：y i nb o ，m a l e ，d a t eo fb i r t h ：m a r c h 1 9 7 9 ，b ea w a r e d e dt h e s c i e n c em a s t e r sd e g r e eo fa p p l i e dm a t hi nc h e n g d uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yo n j u l yo f 2 0 0 6u n d e r t h eg u i d a n c eo f v i c ep r o f w a n gy u l a n a b s t r a c t w a v e l e t sa l eau s e f u lt o o lf o rs i g n a lp r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n ss u c ha si m a g e c o m p r e s s i o na n dd e n o i s i n g b u tt h e r ei sn o ts u c has i n g l ew a v e l e t st h a tp o s s e s s c o m p a c t - s u p p o r t , o r t h o g o n a l i t y , a n ds y m m e t r ya tt h es a m et i m e i n s t e a d o fb e i n g g e n e r a t e db yo d es c a l i n gf u n c t i o n m u l t i w a v e l e t sa r es e r e v a lw a v e l e t sw i t l ls e v e r a l s c a l i n gf u n c t i o n s i nc o m p a r i s o nt os c a l a rw a v e l e t s ，m u l t i w a v e l e t ss i m u t a n e o u s l y h a v es e v e r a la d v a n t a g e ss u c ha sc o m p a c t s u p p o r t ，o r t h o g o n a l i t ys y m m e t r ya n ds oo n ， w h i c ha r ek n o w nt ob ei m p o r t a n ti ns i g n a lp r o c e s s i n g t h u s ，m u l t i w a v e l e t so f f e rt h e p o s s i b i l i t yo fs u p e r i o rp e r f o r m a n c e f o ri m a g ep r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n s a sar i s i n gb r a n c ho ft h et h e o r yo fw a v e l e ta n a l y s i s ，m u l t i w a v e l e t si sn o w b e i n g s t u d i e do nt h ef i r s ts t e p ，m o r er e s e a r c h so nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no f m u l t i w a v e l e t sn e e dt ob ec a r r i e do u t t h i sp a p e rm a k e ss o m es y s t e m a t i cr e s e a r c h e s o nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fm u l t i w a v e l e t s ，e s p e c i a l l yo nd e s i g no fm u l t i w a v e l e t s s y s t e ma n di t sp r e f i l t e r t h em a i nw o r ki ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 s y s t e m a t i c a l l ye x p o u n d e dt h et h e o r yo f m u l t i w a v e l e t s ，t h o r o u g h l ys t u d i e d t h eo r i g i n ，t h ec o n s t r u c t i o na n dt h er e a l i z a t i o no f m u l t i w a v e l e t s 2 i nc o n n e c t i o nw i t ht h ee n e r g yc o m p a c t i o no fm u l t i w a v e l e t s ，d i s c u s s e dt h e g o o dm u l t i w a v e l e t sp r o p e r t i e s 3 u s et h eg h mm u l f i w a v e l e t sa sa ne x a m p l et oc o m p r e s si m a g ea f t e ri t t h r o u g hp r e f i l t e r c o m p a r ei t sr e s u l tw i mw a v e l e t s a l lt h ea l g o r i t h m sa r ei m p l e m e n t e di nm a t l a b k e y w o r d s ： w a v e l e t sa n a l y s i s ；s i n g l ew a v e l e t ；s c a l a rf u n c t i o n ； m u l f i w a v e l e t s ；p e r f i l t e r ；i m a g ec o m p r e s s i o n i i 第 章 言 第一章引言 1 选题依据 1 1 1 对图像压缩专业人员的需求在不断增长f ”。 随麓信息技术的发展，对静止图像和视频序列图像的压缩编码技术的应用越 来越广泛，扶家庭娱乐到专般豹透信设备、从廉价的潴费电子产菇剿赫赛斡专业 缀专麓设备，应磊懿倒孑不蕤毅举，热v c d 、d v d 、酉褫毫话、程频鑫汉、i p 上 的视频服务、数字图书馆、数字电视、高清渐魂视、数码照相机、数字图像监控、 网络摄像机、电视演播室设铸等。因此，工业界对图像压缩专业人臌的需求在不 断的增长。 1 1 2 传统图像压缩处壤方法的不足 倦爨睁方法哭l 在频城辩鋈豫痿号避学分瓣楚溪，瑟蠢疆瓣瓷教余弦交换楚 理圈像濂缩时，是对图像分块进行的，西藏由激他误差所引起的图像编码质量的 降低是周部性的，从而容易引起方块效应。 1 13 小波变换比传统豳像压缩方法的优势 小波变换是一种全新的变换技术，与传统纯频域分析的傅里叶方法不同，小 波变按照一耱时频分辑方法，它在时颡和域频嬲辩具有良磐兹蜀帮纯瞧震，小渡 交换辩予不同豹频率残分纛辩域土静取襻步长怒调节型豹，毫额者小、低频者大， 因此在宓际应用中完全可以根据需要将图像或信号分解到一些合髓的尺度成分 上，然聪再根据不同的要求作适当的编码。同标准的离散余弦( d c t ，d i s c r e t e c o s i n et r a n s f o r m a t i o n ) 图像编码方法相比，图像的小波变换一般是在整幅图 像上遴舒戆，所噬由囊亿误麓所雩l 起懿图像缡弼痰量的降低是全髑憔戆，扶丽能 够鸯效豹溃豫方块效应静静农疆及方涣效应繁聚瓣对螽继錾豫戆编秘影稳，劳在 高压缩比情况下，采取小波黛换编码的方法不会使图像复原质量的降低严重盼妨 碍入的观看，另外，小波变换方法能基本上解决蚊式噪声。因此，小波变换是一 种能够获得较好图像复原质黛与压缩比的、能够适应未来发展的变按技术，已经 成为鹭今露像压绩编码的奎黉研究方向。近十几馨来小波理论研究殴成为应用数 学瓣一令赫方霆，终为数学z 其，小渡放迅速反攥鬟銎像帮语音努辑簿众多领域， 小波分析是当前应用数学中一个迅速发展麴新领域 ”。经过多年的探索研 究，其黛骚的数学形式亿体系已经建立，理论基础更加坚实。与傅立叶变换相比， 小波变换不仅是一种信号的时间一频率分析方法，同时具有多分辨率分析的特 点，在时频两域都具有表锻傣号的局部特征的熊力，因而能够有效的从信号中提 成都理工大学硕士学位论文 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，从而解 决傅立叶变换不能解决的许多问题。小波变换编码器已成功地被接受为j p e g 2 0 0 0 的基本编码器，这预示着在下一代的静止图像编码设备中，小波变换编码将成为 主流技术。 1 1 4 多小波带来的更大优势【”】 多小波是标量小波向矢量空间的一种很自然的拓展。是传统小波理论中正在 兴起的一个分支，它具备一些比标量小波更好的性质，如同时具有正交性和对称 性、紧支性等诸多在信号处理中非常重要的良好性质。这决定了多小波是一种优 于单小波的信号处理技术。这就意味着多小波不但可以对信号提供一种更新的分 析手段，而且对信号的逼近性质更好，重构信号在边界位置的性能也将更完善。 在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量；而对称性( 线性相位) 既适 合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工具同时拥有这两 种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不 存在的。多小波开创性的将单小波中由单个尺度函数生成的多尺度分析空间，扩 展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。它既保持了单小波所具有 的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分 重要的光滑型、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。从而在图像压缩方 面具有比单小波更优良的性能，这决定了其在这方面将越来越广泛的研究和应 用。 1 2 国内外研究现状 长期以来，人们在自然界感受到的最主要的信息是视觉信息，但与此不同， 在早期的计算机和通信领域，能够处理和传输的主要是文字和声音，因此，早期 的计算机和通信设备的处理能力跟人类的需求有相当大的差距。随着通信信道及 计算机容量和速度的提高，图像信息已经成为通信和计算机系统的一种重要的处 理对象【1 】。 与文字信息不同，图像信息需要大的存储容量和宽的传输信道，尤其是在需 要实现大规模图像数据库或传输高分辨率实时图像序列的场合，即使以现在的技 术，仍然难以满足原始数字图像存储和传输的需要( 表0 1 是几种常见视频图像 源未经压缩的原始数据率) 。对图像数据的压缩就成为了技术进步的迫切需求， 正是由于这种需求，使得图像压缩( 编码) 算法和技术成为3 0 年来非常活跃的 一个研究领域，并在商业上己取得了极大的成功 3 】。 表1 1 几种常见视频图像源的未压缩数据率 第1 章引言 视频源每秒桢率分辨率( 桢内像素数)未压缩数据率f o p s n t s c3 07 2 0 x 4 8 01 2 5 p a l2 57 2 0 x 5 7 61 2 5 v c r2 53 5 2 x 2 8 83 1 h d t v3 01 9 2 0 x 1 0 8 01 0 0 0 图像压缩的基本理论起源于2 0 世纪4 0 年代末香农( s h a n n o n ) 的信息理论。 香农的编码定理告诉我们，在不产生任何失真的前提下，通过合理的编码，对于 每一个信源符号分配不等长的码字，平均码长可以任意接近于信源的熵。在这个 理论框架下，出现了几种不同的无失真信源编码方法，如h u f f m a n 编码、算术编 码、词典编码等，这些方法可以应用于一副数字图像，能获得一定的码率压缩。 但无失真编码的压缩率是很有限的，对较复杂的自然图像，压缩率一般不超过2 。 无失真信源编码的压缩率的限制，使其难以满足大多数图像存储和传输的需 要。根据应用的需求，人们对有失真压缩进行了广泛的研究。有失真压缩的目的 是去除图像数据中的冗余信息和对视觉不重要的细节分量，以尽可能少的码字来 表示所处理的图像。给定- - n 数字图像，它的原始表示一般是空间像素阵列，这 是它的空间域表示。在空间域表示中，相邻的像素之间存在很强的相关性，冗余 信息分布在较大范围的空间像素中，直接处理比较困难。最常用的处理方法是通 过一种变换，将图像从空间域影射到变换域中，在变换域可以进行简捷和有效的 处理，对于变换的第一种要求是：将强相关的空间像素阵映射成完全不相关的、 能量分布紧凑的变换系数阵，占少数的大的变换系数代表了图像中最主要的能量 成分，占多数的小的变换系数表示了一些不重要的细节分量，通过量化去除小系 数所代表的细节分量，用很少的码字来描述大系数所代表的主要能量成分，从而 达到高的压缩比。这是用变换技术进行有失真编码能够达到高压缩比的主要原 因。对于变换的第二种要求是：变换系数阵的物理含义要明确，使其容易与人们 关于h v s ( h u m a nv i s u a ls y s t e m ，人类视觉系统) 的知识相结合，以便有效地去 除视觉冗余，尽可能地保留重要的视觉信息。 具备最理想的去相关和最强的能量紧致特性的变换是k l ( k a r h u n e nl o e v e ) 变换，k l 变换使得变换系数之间是统计不相关的。但k l 变换的基是不固定的， 由像素的相关系数矩阵的特征向量列构成，特征分析的复杂性和需要额外存储变 换基，使得k l 变换的应用不现实，幸运的是，人们找到了k l 变换的一个很好的 逼近。对于强相关空间像素阵，人们发现d c t ( d i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m , 离 散余弦变换) 是k l 变换的很好的逼近，d c t 有固定的基和明确的物理意义，使 得d c t 广泛应用于图像压缩，成了变换编码的主要工具。 正是在这个背景下，2 0 世纪8 0 年代中期开始制定的静止图像压缩编码的国 成都理工大学硕士学位论文 际标准j p e g 采用了d c t 变换编码为其核心算法，并被广泛地接受和应用。但是 d c t 变换编码也有其难以克服的缺点。在实际应用中，为了便于实现和后处理， 图像被划分成8 x 8 或1 6 x 1 6 的小块，对每一个块进行单独的变换和后处理。这种 块之间的单独处理带来了压缩效率上的限制和块效应问题，尤其是当压缩倍数较 高时，块效应( 类似马赛克效应) 成为限制d c t 变换编码质量的主要因素。 另一个方面，2 0 世纪9 0 年代以后，出现了许多新的传输媒体。其中，以 i n t e r n e t ( 也包括无线i n t e r n e t ) 最有影响力。i n t e r n e t 上的图像浏览和传输 有许多新要求，例如嵌入式码流和多分辨码流，这要求在图像压缩算法实现中， 能灵活地提供关于质量、分辨率等的分级结构，这些“灵活性”要求同d c t 变换 编码的结构很难有机的结合。 2 0 世纪8 0 年代后期，小波变换的发展提供了一种新的有效的多分辨信号处 理工具，也为各种可分辨图像编码算法的实现奠定了基础。小波变换是不同领域 科学家的共同贡献，数学家、地质学家、物理学家及信号处理专家都对小波变换 的建立做出了贡献。尽管完善的小波变换的理论体系主要是由数学家从数学的角 度建立的，但人们也发现，早期在信号处理领域，为了解决语音的压缩问题而提 出的子带编码方法，这实质上就是离散小波变换的一种实现方式，而由此发展的 “准确重构”( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n ，p r ) 滤波器组理论，实质上也是一种 小波基的构造方法。 小波变换应用在很多领域，最成功的应用领域之一就是图像压缩。小波变换 的理论和算法明确地提出了一些有启发意义的思想，一个关键的思想是多分辨率 分解，这个思想很好地利用在小波图像编码的研究中。小波图像压缩的研究表明， 现代应用所需要的许多特征如多分辨、多层质量控制、嵌入式码流等与小波图像 编码结构非常自然地融合在一起，在较大压缩比下，小波图像压缩的重构质量也 明显好于d c t 变换方法。因此，在新一代静止图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 中，采用 小波图像编码做为核心算法。 1 3 本文研究思路及研究内容 尝试小波与其它方法结合对图像进行压缩，重点研究多小波在图像压缩中的 应用。 多小波变换是传统小波理论中正在兴起的一个分支。人们目前对它的研究还 处在初始阶段，其理论研究尚需进一步深入，应用领域也有待进一步开拓。本文 主要针对多小波的理论及其在图像压缩方面的应用，对多小波系统的设计及前滤 波器作系统深入的研究。主要包括以下方面的工作： l 对多小波技术的理论进行系统地阐述。对多小波的起源，构造及实现进行 深入的理论研究。 第1 章引言 2 针对多小波变换后的能量的集中性，讨论了多小波的良好性质。 3 以g h m 多小波为例，将多小波通过前滤波后用于图像压缩，并将其结果 与单小波相比较，获得较好的结果 随着信息技术的发展，对静止图像和视频序列图像的压缩编码技术的应用越 来越广泛，从家庭娱乐到专业的通信设备、从廉价的消费电子产品到昂贵的专业 级专用设备，应用的例子不胜枚举，如v c d 、d v d 、可视电话、视频会议、i p 上的视频服务、数字图书馆、数字电视、高清晰电视、数码照相机、数字图像监 控、网络摄像机、电视演播室设备等。因此，工业界对图像压缩专业人员的需求 在不断的增长。 互联网的出现，发展与普及给人们的生活工作各方面带来了翻天覆地的变 化，足不出户，就可以得到大千世界的各色信息。数字化的生活，数字化的时代， 对数据的传输速度提出了越来越高的要求。而要保证高速的数据交流，压缩技术 就显得格外的重要。由于图像和视频本身的数据量非常大，给存储和传输带来了 很多不便，所以图像压缩和视频压缩得到了非常广泛的应用。比如数码相机、 u s b 摄像头、可视电话、视频点播、视频会议系统、数字监控系统等等，都使 用到了图像或视频的压缩技术。 小波变换用于图像编码的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不 同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。系数编码是小波变 换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。根据s m a l l a t 的塔式分 解算法，图像经过小波变换后被分割成四个频带：水平、垂直、对角线和低频， 低频部分还可以继续分解。 图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即 小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波 图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低频部分，而水平、 垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、 垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图 像，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。 在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量；而对称性( 线性相位) 既适合于 人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工具同时拥有这两种性 质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在 的。 多小波开创性地将单小波中由单个尺度函数生成的多尺度分析空间，扩展为 由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度它既保持了单小波所具有的良 好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重耍 成都理工大学硕士学位论文 的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。从而在图像压缩方面具 有比单小波更优良的性能，这决定了其在这方面将被越来越广泛的研究和应用。 本文从各个方面对多小波技术的起源，构造，直到最终实现和在图像压缩方 面的具体应用都作了深入的论述。第1 章说明了选题依据，研究现状及研究内容 和思路。第2 章结合小波的发展史，给出了多小波及其变换的定义，并以著名的 g h m 多小波为例，讨论了多小波的优良性质。第3 章结合图像压缩理论，给出 了多小波变换对图像的处理步骤。第4 章讲了前滤波器的基本理论，找出一种新 的g h m 2 前滤波器。第5 章运用前4 章所得到的结论和方法，结合具体的图像 信号特点给出第4 章得出的新g h m 2 前滤波对图像进行压缩的结果，与各种单 小波性能进行比较。 第2 章夺渡与多枣浚麓埝基稿 第2 章小波与多小波理论基础 2 。1 蕈小波的发展 作为日前国际上公认豹时频分析工具，小波分析是f o u r i e r 分析的发展与完 善，是涎函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析的溅完美结晶； 在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语费分析、模式识别、量子物理及 众多非线性辩学等领域，它被认为是近年来襁工具及方法上的重大突破，被誉为 “数攀熬徽镜”。 尽管f o u r i e r 分析靛够较好遣刻画信号静频率特性，但几乎程对闻域上不提 供任何周部信息。对于信母厂( x ) l 2 ( r ) ，可以定义它的f o u r i e r 变换为 楼艨豹逆变换为 a ，( 协= i f ( x ) e 。d x 删= 去密切t ”匆 f o u r i e r 分析标出了倍母中每一分量发射的瞬间与持续时间，对于确定的平 稳信号，它是信号分析和处理技术的理论基础，影响深远。但是传统的f o u r i e r 交换仅仪在频率域上有局郝- 陡，在晴闻域上不嶷螽局部性。雨事蜜上，鸯爱的信 惑鬻鬻麓嚣嚣雩被发蘩懿鞭攀每继号瓣短誓结狡辩传递，在应用孛辩阂羁帮往是对 信号送行分析的关键。因此人们开始对f o u r i e r 变换进行改进，褥到了加窗的 f o u r i e r 变换( s t f t ) 。 信号f i x ) 的窗1 ：3f o u r i e r 变换寇义为： 1 一 ，。( 蟛= 去j ，( x g 器一稳一d x 唧二r 其中g ( x ) 是给定的，称为分析窗函数。此时，肖如下重构公式 1 ( 并) 2 宏j ：厶( 计g ( x - - g ) 。”印由 篷缛注爨瓣是，蜜墨f o u r i e r 交换是一释塞口大小及形状均霜定憋辩频局部纯分 橱，毽鬻为菝率与舞絮藏获魄，透筵爱浃信号低颞戎分需宽浆辩阕鬻，反浚信号 高频成分需要窗口越小越好，这样，窗口f o u r i e r 变换不能满足这一瑟求，从而 不能敏艨地反映信号的突变。于是，人们需要找到一种分析工具，不但具有良好 的时频局部性，而且在信号突变处有较高的分辨率，小波分析应运丽生。 小波分析鲍愚想来源予l 枣缩与平移方法，熬方法的提出，可以追溯型1 9 1 0 成都理工大学硕士学位论文 年h a a r 提出的小“波”规范正交基及1 9 3 8 年l i t t l e w o o d - p a l e y 对f o u r i e r 级数建 立的l p 理论。小波的迅猛发展始于1 9 8 6 年y m e y e r 创造性地构造出具有一 定衰减性的光滑函数甲( f ) ，其二进制伸缩与平移 删( ，) = 2 - i 2 v ( 2 4 ，卜k ) ：- ，k z 构成r ( r ) 的规范正交基，从而为小波分析的 发展奠定了基础。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正交小波基 d a u b e c h i e s 基，为小波的研究和应用增添了催化剂。与此同时，m a l l a t 将计算机 视觉领域的多尺度分析概念引入小波函数的构造及信号的分解重构，成功地统一 了大量的具体小波函数的构造。m a l l a t 还研究了小波变换的离散化情形，提出了 m a l l a t 算法，从而使小波分析的广泛应用成为可能，并将其应用于图像分解与重 构。1 9 8 9 年，m e y e r 出版的小波算子是小波理论这一新兴学科产生的标志， 该书也是当前最权威，最系统的小波分析理论的专著。1 9 9 2 年，m a l l a t 将小波分 析用于边缘检测，取得了较好的效果。1 9 9 3 年，s w e l d e n 等提出了第二代小波基 的构造方法：l i f t i n g s c h e m e 算法。1 9 9 3 年提出了多小波，从而将小波分析推向了 一个新的高潮。 2 2 多小波的出现 作为8 0 年代末期出现的时频分析工具，小波变换在图像处理的领域里获得 了广泛的应用。例如，与传统d c t 编码相比，小波零树编码方案f 1 - ”，既克服了 方块效应，又在低比特率下能够获得较好的图像主观质量，这导致新的j p e g 2 0 0 0 标准将选用小波变换来代替d c t 变换。而在图像去噪方面，基于小波变换的算 法能达到最大均方误差最小意义上的最优效果，获得光滑的图像，这却是经典图 像去噪方法难以做到的p - 4 1 对f ( x ) 2 ，信号f ( x ) 的连续小波变换，( 盯，b ) 的定义为 j w a a ，6 ) ，w o ，。 = 蚓1 1f ，( f ) 甲( 生生坤【5 1 j a 其中掣( t ) 称为基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，a ，b 分别为尺度因子和平移 因子。 l i b 被称为分析小波( a n a l y z i n gw a v e l e t ) 或连续小波。 1 +l l t b ( r ) = 阿i 甲( 三二) b r ，d r 一 0 ) “ 作为母小波，、王，( t ) l i ( r ) 且1 1 、壬，( t ) 阻 = g ( 2 。y 一量) k 上式表明任一个，( y ) 均可用( 2 y 一_ j ) 袭示，故得证。 在多尺度分析中庐( x ) 称为尺度函数，我们有 多( 弗珞c z l lj 妒( 功kj 妒( 砖= h k 多( 2 x 一棼 女 方程= 魂痧( 2 x 一露) 称为二尺度方稔。 2 。4 1 离散多小波变换 在多尺度分析中，设 且 2 4 多小波变换 c v _ jc 一v j l 匕v oc v l cv j ， u v , = r ) ；n x = o p j “ 则多小波中，v o 由r 个尺魔函数的平移系溉( t k ) ，卉( t k ) ，破。( t k ) 。生成。 巾( t ) = ( t ) ，苁( t k 丸，( t ) l r 称为多尺度函数。融多尺度分析的伸缩性可得 o ( t ) = 连蛰( 2 t - k ) ( 2 1 ) k t z v j c v j + 1 可得w j ，使得v j + 。= v j o w j 。若存在w j 的一组r e i e s z 基 ( t k ) ，x ( t k ) ，v ，一i ( t - k ) k 。：， 妥l 称掣( t ) = ( t x 鬈( t ) ，。，鼍0 ，( t ) 尹秀多，、波爨数。 w j 。v j + 1 同理可得 中( t ) = g k w ( 2 t - k ) ( 2 2 ) k e z 方程( 2 1 ) 积( 2 2 ) 成为二尺度方程。 r x r 阶矩阵序列 h 。 娃：耱姆k 。：分 成都理工大学硕士学位论文 别为低通滤波器和高通滤波器。 下面我们给出多小波变换的定义。 定义2 2 对于多小波系统舾，v ) ，给定信号f l 2 ( r ) 的连续小波变换w a 。f 的定 义为 w a f = _ i a l 。1 ”，( t 归( 半灿 p kc 毛t r ” if(t)_(半r * i 蕊。 a ( 2 3 ) 从信号处理的角度看，h ( w ) = hk e w k ，台( w ) ：g 。e 一触是与尺度函 数和小波函数对应的矢值滤波器。 定理2 - 1 对于多小波系统轴，甲) ，给定信号f v ocl 2 ( r ) ，存在一向量 c 雌 眈 满足f = c & o ( t k ) ，其中c 站= c 啦。，c 咄，：。r ，则有 k c o 。j = ，j = 0 , 1 ，r 一1 ( 2 4 ) 和单小波中类似对于信号f v ocl 2 ( r ) ，可分解为 f = y c o , 。o ( t k ) = ct l ，。( 2 j t - m ) + 了 2 d t , ，。w ( 2 t m ) ， 将正交单小波中的分析与重构算法推广至正交多小波，可以得到： 分解过程 c _ 1 。= h k - 2 m c 帖 ( 2 5 ) 重构过程 d 如= g k _ 2 m c 咄 k c 。k = e h k - 2 m c 4 。+ e o k 一2 m d 1 。 kk ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 5 ) ，( 2 6 ) 及( 2 7 ) 称为信号f 的离散多小波变换。大量的应用中多采用离 散多小波变换，这与枷，甲) 的具体形式无关，只要知道初始值 c 咄 。即可进行 运算，但利用( 2 4 ) 计算 c 雌 k 。：是不实际的。在单小波的情形下，由采样定理 第2 章小波与多小波理论基础 可知在满足采样频率的条件下可认为f ( k ) 就是 c 咄 k 。：，但对于离散多小波变换 c 咕 k 。：必须由f ( k ) 经过某种变换而来，在数值上和维数上都是不同的 1 。 图2 2 离散多小波变换的运算流程图 2 4 2 二维离散多小波变换 本节我们将上面的分解与重构算法推广n - 维的情形。 由于一个二维的r ( r 2 ) 上的r 阶的m r a 可以通过两个l 2 ( r 2 ) 上i t 阶的m r a 的张量积来得到，即v i = 巧1 吖”，e z 。从上面的分解和重建算法我们可以 立即推导出二维的情形，由一维多尺度分析我们可以得出每一个v ；空间能够被 分解为四个互不相交的子空间v ”w b ，w 三i ，w 玉的和。这四个子空间分别由以 下的r r 矩阵函数的变换得到： ( 2 一。算，2 一o y ) = 庐( 2 一o x ) 庐( 2 一j ，) 7甲1 ( 2 一x , 2 一。y ) = ( 2 一z ) 妒( 2 一。y ) 1 r - 2 ( 2 一。z ，2 一j y ) = 伊( 2 一。x ) 妒( 2 一。) ，) 7、王，3 ( 2 。z ，2 一。y ) = 妒( 2 一。x ) p ( 2 7 y ) 从初始n 阶方阵g 开始，其元是给定的二维函数到空间的投影的多尺度 系数，当多小波分解进行到可第l 层时，会生成一个包含3 l + 1 个块矩阵的金字 塔块状结构 c - 。，( ，) 埘。( 厦j ) l 。，( 矿，) l 琊。j ，共有( 3 三+ 1 ) r2 个子图像a 因为二 维基底的可分离性，所以在实际的操作中，可以在每一步不断交替地对多尺度系 数矩阵的行和列应用一维系统。图2 2 给出了r = 2 时，第3 层分解完成后的金子 塔结构。 成都理工大学硕士学位论文 i c 一，口l z 。 i d 三 口 用 i z ：2 上 - 2 2 j，fd - i 图2 3 多小波图像象分解( l = 3 r = 2 ) 重建可以通过类似的方式递归的得到即在每一层上对四个子空间的反变换 的基值求和 2 5g h m 多小波 2 5 1 平衡多小波 定义2 3 多小波系统舾，v ) 是m 阶平衡的，是指 u i = uj j = o 1 。m - 1 其中卢= k 一1 ) j ，0 j ，1 j 2 j 7 l = h oh lh 2h n 1 h o 特别地，1 阶平衡是指 l th 1 ，1 1 】t = l l ，1 ，1 ，j 1 l t 为合成滤波器，由正交小波变换的可逆性有 l f l j2 j j ，m q = j 其中m 为细节分解滤波器，定义与l 类似。 下面给出平衡多小波的性质。 1 4 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第2 鬻小波与多小波理论熬戳 定理2 2 下列命题是等价的8 “。 2 垂，1 】i 。，是h 。的左1 姆往擅 3 奎( o ) ：瞳，l 瑟， 若满足h ( 0 ) = i 。h ) = 0 。上述三个命题与下面的命题也是等价的 鼢吐纠 t ， 则艺m 。( w ) 谯w = l s _ z 处为o ，j = l ，2 ，2 r 1 或j = r 1 2 。5 。2 歪交多小浚 多小波的构造通常可转纯为r r 矢值滤波器矩降系数 h k ，g 。) 。n - i 的求解。与 单小波相比，一方面，矩阵中元索的增多，提供了熙大的自由度与灵涵性，使得 相应的尺魔黼数、小波函数可同时满足对称性和正交性。另一方面，融于矩阵中 豹运算要比蜜数中繁琐，这又饿搿多小波豹构造蹲鼹院单小波困难。 由予本爨其鸯攫魏越戆瞧袋：尺菠垂数纛枣波蕊数臻霹鞋曩对其毒正交蛙， 对称往，紧支性和一定的正赠髓。无论在纯数学理论述是在工程应用方蕊，围绕 多小波理论和应用展开的研究大激的涌现。 一个难燮多小波系统由正党多尺度函数向量毋一( ，) 7 和与之棚对应的 正交多小波向量甲c b ，一) 7 构成。其中，r 是一个确定的正整数，妒，j l 2 r 是誓( 釉鹣綮支蘧数，并且壶它霹戳生戏一令歪交彝冬r 藿多足度分辑。婚秘￥分 鄹满慧下捌方程 中( x ) = h k m ( 2 x 。k ) ( 2 1 2 ) k e z 掣( x ) = g k 西( 2 x k ) ( 2 1 3 ) k z 其中，h 。黟g 。毒隈支撵懿f f 矩薛序烈。在f o u r i e r 交换蠛土，二足嶷方程 ( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 可默写成如下的形式 aa o ( 2 w ) = h ( w ) 西( w ) ( 2 1 4 ) 成都理工大学硕士学位论文 w ( 2 w ) = g ( w ) 中( w ) ( 2 1 5 ) 其中，备( w ) ：丢h 。e 一“，6 ( w ) ：丢g 。e 一“分别为低通矩阵和高通矩阵的 山k e z厶k e z 频率响应。为了确保很好的重构性质，o ，v 必须满足如下的正交性： h ( w ) h ( w ) + h ( w + 7 r ) h ( w + 7 r ) = i ， ( 2 1 6 ) g ( w ) g ( w ) + g ( w + j r ) g ( w + 7 ) = i ， ( 2 1 7 ) + + h ( w ) g ( w ) + h ( w + 石) g ( w + 万) = 0 ， ( 2 1 8 ) 其中+ 代表复共轭转置，i ，o r 分别表示，x ，单位矩阵和零矩阵。 著名的g h m 多小波【1 3 | 1 4 】是由g e r o n i m o ，h a r d i n 及m a s s o p u s t 等人采用复杂 的分形插值( f r a c t r a li n t e 攀0 1 a t i o n ) 方法得到的，是比较典型的正交多小波，它同时 还具有正交性，对称性，紧支撑性和2 阶的逼近阶。因此，这里我们以g h m 多 小波为例来介绍多小波的一些性质。 g h m 多小波由图2 3 所示的两个尺度函数九，破和图2 4 所示的两个与之对 应的小波函数，生成。这些函数由下列的二尺度矩阵差分方程给出 黝= ：纠枷矿1 ( 2 t - k k ) 羽 ( 蚓= z 塞g 。4 l ( 2 t - k ) i 其中 n o 一 一谶。尝 ，即 ，戮。，0 2 毕 ，z 4 赫”( 一诜： g 。= 等咖- 3 2 0 1 卟( 9 2 。擎 g ：_ f 鸳9 心2 0 ”3 4 3 互脚2 0 ，卟嗽1 2 0 4 。岛u 2 。【一j u 3 。【 oj 糍2 毒小波与多、波壤论萋礁 1 对称憔反对称性 对于尺度函数，丸，氟缀过适当平移后，都是偶函数，即滤波器是线性相位 的。就视觉而言，对称误麓要比反对称误差照餐易被觉察，而九，蛾的对称性对 边赛的对称延菝是骞签瓣，爨数荬应爰霹激减小逑赛效应。对予，j 、波囊数，壤是 对称鹣，丽鬣是反对称懿，在恢复过程中，邈对于细节边界的辩称，反对称延拓 是有虢的。 2 紧支性 我们知道，支集越短，农边界处所引起的误差就越小。而靠，噍和，x 的支 集长震堙不超过3 。爨女羹，岙瓣支集为，l 】，磊戆支集是静，2 】。其奏紧支性。 豳2 。4g h m 多小波的尺度函数 32 瓣糟确往 仪基有1 阶精确性豹小波是远远不够的，考察帽函数 h = k 蓦芝 因梵掰露黥一次i 委数a x + b 帮可蠢 ( t ) 兹线瞧缀会生成，所敷只簧凌疙，磊的线性 组合褥弱h ( 0 蘩霹滋臻丸，珐爨有2 狳精确瞧。褥攀实土毒 万1 + 万1 九( f 一1 ) + 删；删 即丸，破具有2 阶精确性。 裁都理工大学颈士学像论文 4 正交性 平移系纸( t k ) ，彩。( t 1 ) ，z 不但是自身藏交的，而且是相互藏交的。 l 麸上是g h m 多小波鲍一些良好鲍性质，褥程鹰一种单小波都不可能象多小 波一稀麓嚣重其善这4 条瞧鬟，对予摹枣渡，凳了缳涯滚是3 帮4 ，缎经不餐不教 弃1 和2 。 图2 5g h m 多小渡熟蠢、渡运数 下面我们给出利用g h m 多小波处理信号的步骤。 对于给定的信号f ) ，假设缀过前滤波后得到的初始系数是 吒；= 酗z 郑么 分解厝的模糊分量为 c t k = h 。c 蛳+ 2 k 3 分解麟的缨节分量为d t k = g 。c 。撒 越- 0 重枣鼋邋稚是透过下式完域的 a 3， c o 胪h ：。c 吐。+ o k d 岫 m om = 0 依据g m 小波的正交性，瑷论上我们可以认为g a 。：c o , 。 第2 章小波与多小波理论基础 图2 5 和图2 6 分别对分解和重构过程进行了描述。 图2 6 利用g h m 多小波进行信号分解 图2 7 利用g h m 多小波进行信号重构 成都理工大学硕士学位论文 第3 章图像压缩理论 3 1 图像压缩的基本理论 图像压缩编码技术可以追溯到1 9 4 8 年提出的电视信号数字化，到今天已经 有5 0 年的历史了。五十年代和六十年代的图像压缩技术由于受到电路技术等的 制约，仅仅停留在预测编码、亚采样以及内插复原等技术的研究，还很不成熟。 1 9 6 9 年在美国召开的第一届图像编码会议标志着图像编码作为一门独立的 学科诞生了。到了7 0 年代和8 0 年代，图像压缩技术的主要成果体现在变换编码 技术上，矢量量化编码技术也有较大发展，有关于图像编码技术的科技成果和科 技论文与日俱增，图像编码技术开始走向繁荣。自8 0 年代后期以后，由于小波 变换理论，分形理论，人工神经网络理论，视觉仿真理论的建立，人们开始突破 传统的信源编码理论，例如不再假设图像是平稳的随机场。图像压缩编码向着更 高的压缩比和更好的压缩质量的道路前进，进入了一个崭新的、欣欣向荣的大发 展时期。 3 ：1 1 图像压缩原理 所谓图像压缩，就是将二维图像看成一串数据，然后实施下列操作f 5 】 ( 1 ) 图像数据的向量化。指将图像数据串中所包含的m 个数据截成m 段( 一 般是相等的，例如每段含k 个数据) ，即把m 个数据( 图像数据) 变成m 个数据向量。 ( 2 ) 数据向量的分组与代表选择。指将m 个数据向量分成n 个组，对每个组 挑选一个数据向量，作为这个组的代表，例如，第j 组中的代表是y ， j = o1 n l 。 ( 3 ) 数据向量的量化编码( 图像压缩编码) 。就是图像上的数据向量，如果属 于第j 个组，则这个数据向量就用该组的