（计算数学专业论文）三角网格离散曲率估计和taubin方法改进.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 曲率是曲面的重要不变量，是传统微分几何的重要基础。同样，三角网格的离散曲 率也是离散曲面上应用的基础和前提，例如网格曲面的特征提取，网格简化，网格光顺， 网格变形，模型分块等。但是由于三角网格曲面是由离散点云以及点与点之间的拓扑关 系定义的，缺少曲面确切的解析表示，所以不能采用微分几何的曲率公式。这样，三角网 格曲面上离散曲率的各种估计方法应运而生。 目前，关于三角网格曲面上离散曲率估计的算法大概有1 0 种，本文对各种方法给 出了一个综述，详细地介绍了几种算法的理论背景，公式意义和适用范围。其中，t a u b i n 离散曲率估计方法由于其在时间和空间的线性，而占有重要的地位。他们描述了一种在 三角网格上任意点估计曲率张量的方法。通过计算3 3 对称矩阵的特征值和特征向量 可以得出主曲率和主方向，而该对称矩阵是由积分公式定义并且与曲率张量的矩阵表达 密切相关。 t a u b i n 离散曲率估计算法中要用到两个中间估计量：法向量和权值。t a u b i n 选择了 面积加权的方法估计法向量，这样忽视了三角形片形状的影响。s h e n g g w oc h e n 等提 出选择重心为权值来估计法向量和主曲率的方法。本文采用了面积质心夹角的三角网格 顶点向量法和三角片质心权值来改进t a u b i n 离散曲率估计方法，更好更准确地反应了 三角片的形状。 本文选择参数曲面做了误差详细的比较。在椭球和环面上，证明了改进算法的优越 性。无论是高斯曲率还是平均曲率在计算精度上都有了明显改善。最后，本文对实验误 差进行了分析，得出曲率误差是和点的密度以及此点的曲面弯曲程度有着密切关系的。 关键词：三角网格；曲率；平均曲率；高斯曲率；主曲率 大连理工大学硕士学位论文 c u r v a t u r e se s t i m a t i o na n dt h e i m p r o v e m e n to f t a u b i n sm e t h o do n t r i a n g u l a rm e s h a b s t r a c t c u r v a t u r ei sa l l i m p o r t a n ti n v a r i a n t o fs u r f a c ea n dt h ei m p o r t a n tf o u n d a t i o no f d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y a tt h es a m et i m e ，d i s e r e t e c u r v a t u r eo nt r i a n g u l a rm e s hi st h e f o u n d a t i o no fm a n ya p p l i c a t i o n ss u c ha sc h a r a c t e r i s t i cd e t e c t i n go nap o l y h e d r a ls u r f a c e ， s m o o t h i n g ，s i m p l i f i c a t i o n , d i s t o r t i o na n dr e g i o nd e c o m p o s i t i o n b u tt h et r i a n g u l a rm e s hi s d e f i n e db yp o i n t sc l o u da n dt o p o l o g i cr e l a t i o na m o n gt h ep o i n t s ，l a c ko fd e f i n i t ea n a l y t i c e x p r e s s i o no fs u r f a c e s ，s ot h ec u r v a t u r ef o r m u l a si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya r en o ts u i t a b l ef o r t h ed i s c r e t ef o r m s s om a n yd i s e r e t ec u r v a t u r ee s t i m a t i o nm e t h o d so nt r i a n g u l a rm e s ha p p e a r s of a r , t h e r ea r ea b o u t10d i s c r e t ec u r v a t u r ee s t i m a t i o nm e t h o d so nt r i a n g u l a r t h ep a p e r p r e s e n t sas y s t e m a t i co fv a r i o u sk i n d so fd i s e r e t ec u r v a t u r ee s t i m a r i o nm e t h o d so nt r i a n g u l a r m e s h t h e nw oi n t r o d u c et h et h e o r e t i c a lb a c k g r o u n d ，t h es i g n i f i c a t i o no ff o r m u l a sa n dt h e a p p l i e df i e l d so fs e v e r a lm a i nm e t h o d si 1 1d e t a i l t a u b i n sd i s e r e t ec u r v a t u r ee s t i m a t i o n m e t h o d sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l e w h i c hi sl i n e a ri nt i m ea n ds p a c e 1 1 1 e yd e s c r i b e dam e t h o d t oe s t i m a t et h et e n s o ro fc u r v a t u r eo fas u r f a c ea tt h ev e r t i c e so fa t r i a n g u l a rm e s h p r i n c i p a l c u r v a t u r e sa n dp r i n c i p a ld i r e c t i o n sa r eo b t a i n e db yc o m p m i n gi nc l o s e df o r mt h ee i g e n v a l u e s a n de i g e n v e c t o r so fc e r t a i n3 3s y m m e t r i cm a t r i c e sd e f i n e db yi n t e g r a lf o r m u l a s ，a n d c l o s e l yr e l a t e dt ot h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o no ft h et e n s o ro fc u r v a t u r e t a u b i n sd i s e r e t ec u r v a t u r ee s t i m a t i o nm e t h o d su s e st w oi n t e r m e d i a t eq u a n t i t i e s ：w e i g h t a n dn o r m a lv e c t o r s 。t a u b i ne s t i m a t e dn o r m a lv e c t o r sw i t ha r e aw e i g h t s ，w h i c hn e g l e c t e dt h e e f f e c t so ft r i a n g u l a rs h a p e s h e n g g w oc h e np r e s e n t e dt h em e t h o do fn o r m a lv e c t o r sa n d c u r v a t u r e sw i t hc e n t r o i dw e i g h t s 肫a d o p ta r e a , c e n t r o i da n da n g l ew e i g h t e dt r i a n g l en o r m a l v e c t o r sc a l c u l a t i o nf o r m u l aa n dt r i a n g l ec e n t r o i dw e i g h t st oi m p r o v et a u b i n 。sd i s e r e t e c u r v a t u r ee s t i m a t i o nm e t h o d s 。w h i c hm o r ee x a c t l yr e f l e c tt h ee f f e c t so ft r i a n g u l a rs h a p e 1 1 1 ep a p e rp r o v i d e sp a r t i c u l a rc o m p a r i s o nr e s u l t so fe r r o ro na np a r a m e t r i cs u r f a c e i t p r o v eo u rm e t h o d sa d v a n t a g eo nt h ee l l i p s i o da n dt o r u s c o m p a r e dw i t ho l dt a u b i n sm e t h o d g a u s s i a i la n dm e a lc r r v a t r r e sh a si t so b v i o u sa d v a n t a g ei ne x a c t i t u d e a tl a s t , w em a k e 跹 a s s a yo fe r r o r s o u rc o n c l u s i o n sa r ec u r v a t u r ee r r o r sh a v em u c ht od ow i t hp o i n t sd e n s i t ya n d b e n dl e v e lo fs u r f a c ea tt h ep o i n t k e yw o r d s ：t r i a n g u l a rm e s h ；c u r v a t u r e ；m e a nc u r v a t u r e ；g u a s s i a nc u r v a t u r e ；p r i n c i p a l c u r v a t u r e - i i i - - 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 一、， 伊啦d 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理王大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教蟑完全了解“大连理工大学硕士、博圭学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阔和借阕。本人授权大连理 王大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名； 郗峨 别性轹斟卜一 ! 堕也月止e t 大连理工大学硕士学位论文 引言 1 三角网格曲面离散曲率估计问题起源 一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面 的曲率等有关量。随着三维扫描技术的发展和逆向工程的兴起，三角网格曲面日益成为 三维图形的一种通用表示方法，在计算机图形学，计算机辅助几何设计中的使用日益广 泛。但是由于三角网格曲面是由离散点云以及点与点之间的拓扑关系定义的，缺少曲面 确切的解析表示，所以不再适用传统的解析曲面的曲率计算方法。 众所周知，曲率是曲面曲线的重要不变量，是传统微分几何中的重要基础。同样， 三角网格的离散曲率也是离散曲面上应用的基础和前提。例如网格变形 1 】，网格曲面的 特征提取，网格光顺 2 】，网格简化 3 】，模型分块【4 等等。这样，三角网格曲面上离散 曲率的各种估计方法应运而生。 2 当前发展情况 三角网格上离散曲率估计方法从1 9 9 2 开始起，现在已经有了很多种算法。它们分 别是利用四次p d e 的m o r e t o n 和s e q u i n 的方法 5 ，采用最小二乘的c h e n 和s c h m i t t 的方法【6 】，利用张量分析和矩阵特征向量分析的t a u b i n 主曲率主方向的方法 7 】，利用 l a p l a c e b e l t r a m i 算子的d e s b r u n 等方法 8 】、m a y e r 方法 9 】和t a u b i n 方法 10 ，利用 n o r m a lc y c l e 理论计算曲面的第二基本形式的d y n 和h o r m a n n 的方法 1 1 】、c o h e n s t e i n e r 和m o r v a n 的方法 1 2 】，利用法曲率积分的w a t a n a b e 和b e l y a e v 的方法 1 3 】，利用v o r o n o i 元和有限元的m e y e r 等的v o r o n o i 方法 1 4 。 在离散曲率估计过程中，常需要估计一个中间量，就是顶点的法向量。顶点的法向 量的估计也一直在不断发展更新，从最初h e n r ig o u m u d 的等加权平均 1 5 ，到角度权 值 1 6 】以及面积权值，而后m a x 给出的与角度和边长度相关的新权值 1 7 】，s h e n g g w o c h e n 等又提出选择点重心距离的平方倒数为权值 18 】。 此外，还出现了不同算法比较的文章，t a t i a n a 1 9 对三角网格上高斯曲率和平均曲率 不同的估计方法作比较，s h u a n g s h u a n gj i n 2 0 等对三角网格上点法向量的不同估计方法 进行了比较和分析。 3 本文主要工作 本文归纳概述了目前三角网格曲面上离散曲率估计算法。同时，本文采用了面积质 心夹角的三角网格顶点向量法和三角片质心权值来改进t a u b i n 离散曲率方法，更好更 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 准确地反应了三角片的形状，并且通过实验和原算法进行了计算精度的比较。最后对实 验误差进行了分析。 文章在第一章介绍三角网格曲面曲率估计的基本知识，例如盛率相关的定理定义， 三角嘲格模型相关基本知识等等。第二章中，总结了三角网格曲面上离散曲率估计算法。 本文在第三章中介绍了t a u b i n 离散曲率方法并且进行了改进。第网章中，本文通过实 验 正明了算法改进的优越性并对误差进行了分析。文章的最后，是本文的总结。 大连理工大学硕士学位论文 1 基本知识 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话 说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。微分几 何学以光滑曲线( 曲面) 作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上 一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平 面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容。 经典微分几何主要研究曲线和曲面上每一点的局部微分特性，包括每一点处的法向，主 法向，主曲率，g a u s s 曲率和平均曲率，刻划了去面上每一点临近的一阶和二阶导数性 质，可以根据这些微分特性局部重建曲面。 1 1 光滑曲线曲面的相关基本知识 1 1 1 光滑曲线的基本知识 定义 曲线，：，= ( 口，b ) _ e 2 ( e 3 ) 称为正则曲线，如果： ( 1 ) 曲线的每一个分量都是c 。函数， ( 2 ) 卧0 ，v 吲咖) 成立。 2 1 】 考虑平面正则曲线，( ，) = ( f ) ，y o ) ) ，v t ( 口，6 ) ，设 c ，d 】c ( a ，6 ) ，f l u f f i e r ( t ) 的弧长 为j 1 ，( r ) p ，它是动点在时间间隔f 2 c g u t = d 之间的距离。固定初始时间c ，以时间，代 替d ，可以得到c 到f 移动的距离s ( f ) = 列r o ) 卜。s ( f ) 是r 的函数。这时f 就可以表示为 替d ，可以得到c 到f 移动的距离s ( f ) = j l r ( “) b 。s ( f ) 是r 的函数。这时f 就可以表示为 s 的函数f = ，( s ) 。曲线，关于新参数s 的表示，( s ) = ，( x ( s ) ，y ( j ) ) = ，( x ( f ( s ) ) ，y ( r 0 ”) ，称j 为曲线的弧长参数。 设a ：，= ( 口，b ) - - - r 3 是一条弧长为参数的曲线。由于切向量a ( s ) 具有单位长度，从 而二阶导数的范数j 口( j ) i ，度量了邻近切线与s 点切线的交角的变化率。因此i 口( s ) i 表示在点s 的一个邻域中，曲线以怎样的速率离开j 点的切线，如图1 1 。所以有下面的 定义。 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 定义：设口：，= ( 口，6 ) 专r 3 是以弧长为参数的曲线，s ，则范数l 口( s ) 降七( s ) 称 为a 在点s 的曲率。【2 2 图1 1 f i g 1 1 f ( s ) = r ( s ) 是，的单位切向量，与r ( j ) 垂直的向量称为曲线在该点的法向量。当 七( s ) 。时，由，o ) 决定的一个单位向量玎。) = 志f o ) 与f o ) 同向。称，z 是曲线，的主 法向量。f ( j ) 和n ( s ) 是以r ( s ) 为起点的相正交的单位向量，令b ( s ) = f ( s ) 刀( j ) ，6 ( s ) 称 为曲线，的副法向量，这样就有曲线，的一个正交标架 ，( 占) ；f ( s ) ，胛( s ) ，6 ( j ) 称为曲线的 f r e n e t 标架。我们还可以得到f r e n e t 公式： ，( s ) = 后( s ) ，2 ( s ) ，2 ( s ) = 以( s ) f ( j ) + f ( s ) 6 ( s ) b ( s ) = 呵( s ) 聆( s ) 其中函数r ( s ) 称为曲线，的挠率。 性质：曲线的弧长，曲率和挠率在刚体运动下不变。 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 1 1 2 光滑曲面的基本知识 这里指的曲面一般是正则曲面。关于正则曲面，粗糙地说，月3 中的一张正则曲面是 取一些平面通过变形和适当安排而得，使所产生的图形没有尖点，没有边，也不自身相 交，以致图形的每一个点上切平面是有意义的。确切定义如下。 定义：子集sc r 3 是一张正则曲面，如果对每个点p s 存在一个邻域vc r 3 和一 个开集ucr 3 到y n scr 3 上的映照x ：u v n s 满足下列条件( 图1 2 ) ： 1 彳是可微的。 2 x 是同胚映照。 3 ( 正则性条件) 对任何q v ，微分映照矾：r 2 哼r 3 是1 1 的。 图1 2 f i g 1 2 从平面区域d = ( 甜，v ) 到e 3 的映射，( “，v ) = ( x ( “，v ) ，y ( 甜，v ) ，z ( 甜，v ) ) 满足：每个分量 函数是无限阶可微；当吒( 掰，v ) o ( “，v ) 0 时，称，( “，1 ，) 是e 3 的益面，( 甜，v ) 是曲面的 坐标参数。法向量是垂直于曲面的一个单位向量，( v ) 2 虎溯，其中， 乞( ，) = 鱼笔孚，( 甜，v ) 一o r ( 加u , v ) 。曲面的形状可以由参数e ，g ，厶m ，来刻画， 它们分别称为曲面的第一和第二基本形式。 第一基本形式为：( d r ，d r ) = e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 第二基本形式为：一( 咖，d n ) = l d u 2 + 2 m d u d v + n d v 2 其中，e = ( ，：f ( “，v ) ，吒( 甜，v ) ) ，= ( 气( 材，v ) ，o ( 甜，v ) ) ，g = ( o ( ，v ) ，v ( “，v ) ) 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 上= 一( 吒( 甜，v ) ，玑( “，v ) ) ，m = 一( 匕( 甜，v ) ，( 甜，v ) ) ，= 一( 。( “，v ) ，n v ( u ，v ) ) 对于曲面来说，曲率向量窘一般不再是曲面的切向量。所以将鲁d s ，分解为曲面的 切向量和法向量两部分。考虑曲率向量沿曲面的法向部分： 吒= 万2 万+ 万+ i i + 2 i i + i i 所以，吒= ( 一 a 船ua 傩u + 2 ( ，刀) i d ui d v + ( ，珂) 尘d s 尘d s 这t 4 - ，可以得到吒= zd ，。, d ，u + 2 md ，ud ，v + j d vj d v ( 1 2 ) 曲面s 沿非零切向量w = 考，：，+ r l r 的法曲率定义为：。 屯( w ) =r l ( w , w ) 一墨圭：兰尘竺圭望垒生： i ( w ，叻鹾2 + 2 彤叩+ 研2 ( 1 3 ) 直观地说，曲面沿一个方向的法曲率可视作曲面沿那个方向的弯曲程度。 m e u s n i e r 定理：曲面s 上过给定点p s 的所有曲线，在p 点处沿着相同的切线方 向有相同的法曲率。 所以，我们可以说在曲面s 上点p 处沿着某一方向的法曲率。实际上，对于曲面s 上点p 处，沿着每一个切方向对应一个法曲率，点p 处便有一组法曲率的集合。这些法 曲率中，最大的法曲率毛和最小的法曲率如称为主曲率，其对应的方向五，正称为在点 p 处的主方向。 知道了主曲率的定义，可以容易的计算点p 处任意方向的法曲率吒，也就是著名的 e u l e r 公式： 设丁是点p 处的单位切向量， 五，正 是点p 处切平面的正交标准基，有 t = c o s ( p ) 互+ s i n ( 0 ) t ：，则沿着切方向t 的法曲率吒可以表示为： 吒= 霸c o s 2 ( p ) + 心s i n 2 ( 0 ) ( 1 4 ) 这样定义平均曲率为法曲率吒的平均：= 去r 厅吒( p 矽8 。由e u l e r 公式，主 曲率岛，j j 2 与法曲率吒的关系，推导出著名的平均曲率定义：= ( 岛+ 如) 2 。高斯曲 大连理工大学硕士学位论文 率定义为两个主曲率的乘积= 毛如。高斯曲率反映了曲面的局部弯曲程度。下面介绍 与高斯曲率密切相关的g a u s s 映照。 设scr 3 是具有定向的正则曲面。映照n ：s - - - r 3 取值于单位球面 s 2 = ( 毛y ，z ) r 3 ；i x 2 + y 2 + z 2 = 1 ，这样得到的映照：s s 2 称为s 的g a u s s 映照( 图 1 3 )。 y 图1 3 f i g 1 3 利用g a u s s 映照n ：s s 2 ，就可以给出高斯曲率的几何解释。设p 是曲面s 上的 一点，且高斯曲率( p ) 0 ，矿是p 的一个连通邻域，且在其中不改变符号，则 ( p ) = 烛鲁 ( 1 5 ) 其中a 是v 中包含p 点的一个区域b 的面积，彳。是b 经g a u s s 映照：s s 2 的像 的面积。极限是对收敛于p 点的一个区域序列e 取的，其意义是，对包含p 点的任意一 个球，所有的或必包含在这个球内，只要，z 充分大。 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 有了g a u s s 映照可以导出w e i n g a r t e n 变换。这样从著名的w e i n g a r t e n 方程出发，我 们可以计算任意正则点的主曲率，两个主曲率毛和岛为该方程的两个根。w e i n g a r t e n 方 程的一次项系数和常数项都是关于曲面第一和第二基本形式的函数，方程如下： 七2 一l g - 2 m f + 了一n e | j + l n - = m 2 ：0 一o o o 一+ - 一= e u 一 。e g f “ 则平均粹k = ( ) 2 = 箫，高斯蟀嘶岛= 丽l n - m 2 高斯曲率和平均曲率都反映着曲面的几何局部特征。l a g r a n g e 注意到= 0 是对于极小曲面的l a g r a n g e 方程，提供了一个极小曲面与平均曲率流形的直接关系： 2 k n 疗：l i m 里 ( 1 6 ) d 州4 j - 加a 其中，a 是点p 处无穷小的区域面积，d i a m ( a ) 是它的直径，v 是关于点p ( x ，y ，z ) 坐标的梯度。因此，我们定义算子k ，是曲面上点p 到向量的映射k ( p ) = 2 k 圩( 夕) ，z ( p ) ， k 是著名的l a p l a c e b e l t m m i 算子。 如果知道了两个离散主曲率岛，乞可以表示为离散高斯曲率和离散平均曲率 的函数，表示为： 毛( v ) = k ( v i ) + ( h ) 一( m ) ( 1 7 ) 尼：( h ) = “) 一瑶( 哆) 一( h ) ( 1 8 ) 下面来介绍微分几何中的一个重要定理，即o a u s s b o n n e t 定理。 g a u s s 定理：曲面的高斯曲率在局部等距对应下保持不变。 g a u s s b o n n e t 定理是曲面微分几何中最深刻的定理这个定理的最初形式是g a u s s 在一篇著名的讨论曲面上测地三角形( 即其三边均为测地弧) 的文章中叙述过大体上说， 一个测地三角形, , a b c 的三个内角a l ，a ：，a 3 之和超过石的部分等- ：g a u s s i 曲率在 彳b c 上的积分( 图1 4 ) ，也就是说，a ，一万= _ 肥幽 一8 一 大连理工大学硪士学位论文 圈1 4 f i g ，1 薅 地钱 g a u s s b o n n e t 定理( 局部) ：设x ：一s 是定向醢筒s 的一巾正交参量袭岽，箕中 u c r 2 目胚于开慝盘，而菇与s 的定向相窑。rc x ( u ) 是s 的一个简单区域并设 a ：i s 使得o r = a f t ) 。假定口是正定向的并以弧长s 作参数i 两且设口( 蜀) ，a ( s d 和哦，嚷，分别为口的顶点及外角。匿 j 喜辞+ 砉p 渤出+ 珏脚。2 硝 ( i ” 其中j 。( 苫) 是4 的正则弧的测埴曲率，k 是s 的g a u s s 曲率。 这样就肖；设c ；c 1u qu u q 是曲n s 上的一条逐段光滑简单嗣曲线，而逮些 光滑曲线段在交接处的外角为岛，且c 圈成曲面上的一个单连通区域d 。那么成立 喜+ 喜嘎屯出+ 压毫。积= 2 露 ( 1 t 。 推论：如果曲线c 中每段光滑曲线e 是测地线，则在由测地线段所围成的单连通溅 地聍边形区域d 中，就有如下的公式： 芝铲i f b k a d 渔= 2 r r m 如果用谚表示测地撑边形外角g ，所对应的内角，脚有 塞只= o 一现+ 惩幽 ( 1 - i 2 ) 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 整体g a u s s b o n n e t 定理设rc s 是一定向曲面的正则区域。令d ，o n 是分段 正则的简单闭曲线并组成r 的边界觎。设每个q 是正定向的并设q ，日。是曲线 a ，q 的全部外角。则 喜b + 善e 砖o ) a s + j ：f r k d c r = 2 r e z ( r ) ( 1 1 3 ) 其中s 为q 的弧长，在q 上的积分表示在q 的每段正则弧上的积分之和。 1 2 三角网格基本知识 由于离散曲率的估计是基于三角网格模型的，所以下面我们就来介绍一个三角网格 的基本知识。 三角网格模型一般情况下可以由一对线性表表示，m = ，f ) ；其中v = 一：1 f 表示顶点集，f = 五：1 k n f 表示三角片集。图1 5 是就是一个三角网格模型。 吆 0 o 图1 5 三角网格模型 f i 9 1 5 t h et r i a n g u l a rm e s h 三角片f 七的法向量 的计算式如下： 吆2 e j + lx 勺| l 勺+ lx 白o 2 ( u 吩+ 1 ) ( u - v j ) | | ( v f v ，+ 1 ) x ( v t - v j ) i i ( 1 1 4 ) 其中，勺+ l 表示由顶点+ l 指向顶点的边向量；白表示由顶点v ，指向的边向量。 我们称l 一环邻域是与点v f 相邻的三角形集合。图中除顶点u 外的其他顶点组成的集 合记为v 。如果顶点v ，属于v ，则1 ，是u 的相邻点。v 中顶点个数称为其顶点的度， 大连理工大学硕士学位论文 记为i ( 圳。g 食- v , 的三角形片集合记为f 。如果三角形片记忌属于，记为五e f ， 记i 五l 为三角形片的面积。包含点哆的三角片的面积之和记为n ( v i ) 。 离散三角网格上法向量和法曲率也有一般的定义方法，这些几何量估算的准确度对 高斯曲率和平均曲率的准确度影响很大。对于离散三角网格曲面m = ( y ，f ) ，任意点h 的 法向量一般可定义为1 环三角形某些几何量的加权和。最简单的加权方法为1 环三角形 的法向量平均值，定义如下： 眠2 南彬 ( 1 1 5 ) t a u b i n ( 1 9 9 5 ) 给出的面积加权和的定义： 眠2 鞠 对于三角网格上任意点m ，法曲率通常使用公式 岛= 静 上述也是一种估计，估计过程如下： ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 对于单位向量r ，是曲面r ( u ，v ) 在点p 的切方向，我们来估计沿看单位向量t 的法 曲率p ) 。考虑弧长参数的光滑曲线口( j ) ，a ( o ) = p ，a ( o ) = 丁，口( o ) - - k ( r ) n 将口( s ) 做泰勒展开，则 口( j ) ：口( o ) + am + 掣+ o ( s s ) = p + 丁s + 寺j j p ( 丁) 胍2 + o ( s 3 ) 口( s ) 一p = r 阱i ，k p ( r ) 胍2 + o ( j 3 ) 对上式两端与 r 作内积，由于上r ，( ，丁) = o ，则有 2 ( ，a ( s ) 一p ) = k ( r ) s 2 + o ( s 3 ) 又由泰勒展式得 ( a ( s ) - p ，口( s ) 一p ) = ( 乃，乃) + o ( s 3 ) 三角黯摧离散蓝率估计帮t a u b i n 方法改进 因此推出 最后，由等式得出 慨s ) - p j l 2 = 占2 + o ( j 3 ) ( 丁) + o ( s ) = 兰! 型：竺盟二竺2 i l - ( s ) 一p 1 2 ”一t i 肆m 。瓮掣 这样，对于三角网格上当前点叶，点0 是点v f 一环邻域上的一点，沿着切方向气， 估计韵前点畸在方向弓土的法热率为 b 一2 ( m ，一u ) 铲群 。 介绍了完了相关的基础知识，接下来，本文开始介绍三角网格曲面上各种离散曲率 估计算法。 大连理工大学硕士学位论文 2 离散曲率估计方法总结 在前面已经提到三角网格上离散曲率估计的方法原理思想各不相同，有的利用四次 p d e 方法，有的利用l a p l a c e b e l t r a m i 算子，有的利m i d - 乘法，有的利用v o r o n o 元和有限元，有的利用张量分析和矩阵特征向量分析方法，有的利用n o r m a lc y c l e 理论 计算曲面的第二基本形式等。这其中，m e y e r 等的v o r o n o i 方法对高斯曲率和平均曲率 的估计效果最好，是一个普遍适用的好方法。下面我们就来总结概述一下。 2 1m o r e t o n 和s e q u i n 的方法 这个方法主要是利用著名的欧拉定理，来建立曲面法曲率、曲面主曲率、主方向之 间的关系。 最初，选定点k 周围的三角形片的各法向量的平均值作为三角网格曲面在v j 处的法 向量，记为r 。过点v ，与胛垂直的平面称为网格曲面在此点的切平面，设f ，为向量vv ，在 这个网格曲面的切平面上的单位投影。作过v f ，1 ，且在点v 有切向f ，的圆，则把曲面在 点v ，处沿着vv ，与方向的法曲率k ，近似地取为这个圆的半径的倒数，如图2 1 。 忍 o 。 、 撬屯 图2 1 f i g 2 1 圆的半径公式可以由下面的公式求出， ，z ( v ，一v )吉0 v j 一_ 0 商一鲫2 _ 黼弓= 2 揣。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 一_ 一 设吒，q 为网格曲面上由刀确定的切平面上的一组基，取0 ，白为向量l 关于基q ，a y 的坐标，e x ，e y 为主方向岛关于此基的坐标。由欧拉定理，有 弓俐 其中，k 2 ( 三乏) ( ：三) 三乏) 。 取f ，= 1 ，2 ，3 ，m ，m 为只的度，上面的式子可以改写成方程组血：6 。 it l 善t 。 其中，么：卜么 i 。 ltt 脏船 ，b = 岛 一 如 一 km 付 e x 2 岛q - e y 2 乞 2 e ，e y ( k l 一岛) e ? k 2 + e y 2 k 1 ( 2 3 ) 由= y - x o + x 2 = 巳2 与+ p y 2 岛+ q 2 乞+ 勺2 岛= 白+ 乞，2 x o x 2 一要= 毛包，所以就可以由上 面的方程组来表示平均曲率和高斯曲率的值 = 半，= 2 恐一等。 所以，曲率估计就转化为了求解方程组出= 6 ，可以使用最小二乘法的方法来求解， 肛形o b ( 2 4 ) 2 2o h e n 幂口s e h m i t t 的方法 c h e n 和s c h m i t t 通过欧拉公式，给出了一种估计算法。他们的主要思想是在局部 切平面上选择合适的坐标系 ，眨 。由欧拉公式可得 吒= 局c o s 2 ( 9 + 岛) + 如s i n 2 ( 日+ 岛) ( 2 5 ) 岛是选择的坐标系与主方向的夹角，上式可重写为： = c 1 c o s 2 ( p ) + c 2 c o s ( p ) s i n ( 日) + c 3s i n 2 ( 0 ) ( 2 6 ) c i ，c 2 ，c 3 是常数，0 是切向量乃与第一坐标向量的夹角。然后，他们选择 = z 。，通过最小二乘的方法估计常数c l ，c 2 ，g ， 大连理工大学硕士学位论文 m i i l lc 1 c o s 2 ( 巳) + q c 。s ( 巳) s i n ( 巳) + c 3s i n 2 ( 岛) 一吒1 2 其中，巳是，i 与乃的夹角。 曲率毛，心可以由常数c l ，c 2 ，c 3 和下列关系求得 f 毛c o s 2 ( 岛) + 岛s m 2 ( 岛) = c l 2 ( 如一向) c o s ( 岛) s i i l ( 岛) = c 2 【乞c o s 2 ( 岛) + 岛s i n 2 ( 岛) = c 3 主方向可以由下列公式计算获得 j 五= c o s ( 岛) 1 + s i l l ( 岛) 吃 【互= s i i l ( 咆) _ + c o s ( 咆) 砭 其中， ，吃) 是选择的坐标系。 2 3t a u b in 主曲率主方向的方法 t a u b i n 主曲率主方向的方法利用张量分析和矩阵特征向量分析方法。这个方法一个 突出优点就是时间和空间的线性。我们将在下一章和算法的改进同时介绍。 2 4d e s b r u n 等方法 这个方法选择微分几何中的平均曲率流形的定义离散化， w 2 珂。2 a 仃 其中，a 为点p 周围的l 一领域的面积，v 为关于点p 的坐标( x ，y ，7 - , ) 的梯度算子。 现在来考虑三角片p p ”p ”1 ，定义边p p ”= p ”一p ，4 为三角片p p ”p ”1 的面积，则 么= 4 ，三角片的面积4 = 1 1p p x p p 州0 ，由e i i l s t e i n 求和公式，有 4 2 = i 1s 删剜“s 删。p p 7 1 ( 2 7 ) 其中，为排列符号，使用k r o n e c k e r 符号西，及由誓：毛，v ：兰，这样可。 j 。p q印q 以得 筹- 2 4 嚣= 石1 s ，拥 - 6 j q p p ；* 剜。硝1 一删，耐硝1 一屯剜剜p p 7 1 一s m q p p ；p p ；+ 1 p p ；“】 三角网格离散曲率估计和t a u b i n 方法改进 使用s 一6 规则，2 霸屯一t 朋嘞，得剑 筹= 三卜i l p p 斛1 i 2 u 印”刀斛1 ) 刀l i l p p ”1 1 2 印肿l + ( 印肘l 印“) 刀1 = 三1 一n + lp + l ? ”) 即”+ ( 朋“p ”p 州) 刀州l 最后，可以得出 鼍= 4 - i ( p p n + l p n + i p ) 印“+ ( 刀”p ”p m ) 印肿1 】 ( 2 8 ) 南梯序筻子的帘义，可以知道 一里一上v 丝 k 嗍5 着2 寺军蓄 按如图2 2 来定义口。，成，平均曲率法向量可以表示为 一击( c o t o t n + c o t f 1 ) p p ” p l ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 2 5d y n 和h o r m a n n 的方法 在三角形网格中，定义两端点为b ，p j 的边巳= 马- p i ，两边勺，o ，的夹角为 口，= 么( 勺，e j 十1 ) ，两边bp j ，p jp j + 1 的夹角为乃，两边只乃+ l ，乃p j + 1 的夹角为y ，再 记j 2e ，e j + j 所围成的三角形a ，p j ，l b “为弓，其单位法向量为一2 e j e j + l l le j e j + 。l ，定义两个相邻面片乃_ l ，乃的法向量之间的夹角为色= 么( 玎川，玎) 。 罗 勉勉 图氍 如r 大连理工大学硕士学位论文 对具有公共边勺的每两个= 角形乃- l ，r j 作一个内切的小柱面，这样整个三角网格 曲面就由一系列小柱面拼成的光滑曲面来近似代替，所以直接由微分几何中的定理可以 、得到离散高斯曲率和离散平均曲率的计算公式 2 万一y 口 k = _ ，i n l = 古纠恻 ( 2 其中，a = s ，s 如图2 3 ( 以为锐角) ，图2 4 ( 肼为钝角) 所示。 _ n ， o 当乃为锐角三角形时， 0 ，= | l b 乃+ 。0 2c o t 一+ 0 乃所+ 。1 1 2c o t 乃) ( 2 1 2 ) 当a 。为钝角时， 0 ，= 扣训2 t a l l 乃，s + i - - 扣乃1 1 2 t a n r j ， ( 2 1 3 ) s=ss s。( 2 1 4 ) p i z x p s p i p + 1p ，p + l 图2 3 f i g 2 3 芦i 图2 4 f i g 2 4 乃+ l 三燕网格离教曲率估计和t a l b i n 方法改进 2 。6w a t a n a b e 和b el y a e v 的方法 考虑一个| 可定向曲面，根据欧拉公式，可以推导出： 去r 茸毛( 曰冲= ( 焉+ 如) 2 = 岛 ( 2 1 5 ) 去f 砖口) 2 始= 吾瑶一兰k ( 2 t 6 ) 其中，是平均曲率，而是高斯曲率。这两个积分公式使我们可以在三角网格 曲面上估计高斯益率稚平均曲率。考虑三角霹格蓝面上的菜一点p ，运过单位化与点p 相邻三角面片法向量的加权和，利用公式( 1 1 6 ) 可以估计点p 处的法向量。利用公式( 1 1 7 ) 可以求出沿l 一环的每一条边在p 点切平垂投影方自的法曲窭。下面，我们来离敖化积分 公式( 2 1 5 ) 。 2 如阳岔冲南( 半) + 赶( 半卜+ k ( 半) 对公式( 2 1 6 ) 相似的离