（应用数学专业论文）一类具一阶奇性解的hilbert核奇异积分方程.pdf

硕士擘位论文 m a r t e r st h e s i s 摘要 本文用指数变换f = e x p f f 2 z l 重新求解了一类周期f 3 c m a n n 边值问题，得 、i - “， 到了相应的基本解组，使得其可解条件的正交性显存于解和可解条件中由此出发 推导并得到了h i l b e r t 核特征方程的及相联方程的解和可解条件，使得其可解条件的 正交性也显存于解和可解条件中，这一方面于c a u c h y 核情形相对应，赋予了可解 条件的几何直观性在以上工作的基础之上，我们提出了一类不同于文献 1 3 的解 具一阶奇性的h i i b e r t 核奇异积分方程，给出了完全方程的n o e t h e r 定理和特征 方程的解和可解条件。 关键诃：周期r i e m a n n 边值问题；基本解组；一阶奇性解；特征方程 a b s t r a c t ap e r i o d i cr i e m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r ed i s c u s s e d b yt h em a p p i n g i = c x p ( 7 嘭) ，i t s b a s i co fs o l u t i o n sa r eg i v e n w er e n d e rs u c hp r o b l e mw i t ho b v i o u s g e o m e t r i ci n t e r p r e t a t i o n ( t h eo r t h o r o g o r a l i t yc o n d i t i o n ) t h e nw ed i s c u s st h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nw i t hh i l b e r tk e r n e lb ya b o v er e s u l t s o nt h i sb a s e , w ed i s c u s sa c l a s so f s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nw i t hh i l b e r tk e r n e lh a v i n gs o l u t i o n sw i t hs i n g u l a r i t yo f o r d e ro n e , t h es o l v a b l ec o n d i t i o n sf o rg e n e r a le q u a t i o na r es i r e na n ds o l u t i o n sf o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n 躺g i v e n t h u sw eg e n e r a l i z et h er e s u l t sa b o u t s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nw i t hh i l b e r tk e r n e l k e y w o r d s ：p e r i o d i cr i e m a n nb o u n d a yv a l u ep r o b l e m ；b a s i cs e to f s o l u t i o n s ；s o l u t i o n w i t hs i n g u l a r i t yo f o r d o ro n e ；c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n i i 硕士擘住论文 m a s t e r + st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者g - - g ：刍”、准 日期：2 0 0 7 * 6 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：刍i ) 1 、乖 日期2 7 年6 月1 日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童途塞握銮蜃溢蜃；旦主生；旦= 生；旦三至蕉壶! 作者签名：却】、准 日期：2 岬年d 月1 日 导师签名： 日期： 年 月 硕士学位论文 m a s t e r st t i e s i s 第零章引言 解析函数边值问题是复变函数论中极为重要的的一个分支，由于许多力学的、 物理学的和工程技术中的世界问题往往可转化为这类问题或者化为奇异积分方程， 而后者又与这类问题有紧密的联系，所以它有着广泛的应用。 奇异积分方程的一个重要问题是求解，并且尽量写出封闭中，如特征方程和相 联系特征方程的求解，无论是非周期或者周期核都是化为一个等价的边值问题，对 于周期核的奇异积分方程，在化成周期边值问题后，再利用共形映射化成非周期边 值问题来求解，对于不能写出解的则试图定性地给出描述性的存在性定理，如 n o e t h e r 定理。 经典理论已经详细讨论过c a u c h y 核奇异积分方程( s i e ) 。在日，日，研下给出 了完全方程的n o e t h e r 定理及特征方程的解( 【1 , 3 456 】) 。r i c h n a n n 边值问题是 c a u c h y 核s i e 特征方程问题求解的关键，因为后者可以变换转化为足问题而得到 解决。另一方面在日，日+ 下c a u c h y 核s i e 特征方程及其相联方程有着密切的联系， 而特征方程可解的充要条件是方程的自由项与相联齐次方程的全解系正交，这可以 从特征方程的可解条件及其相联齐次方程一般解中明显看出，该正交条件不但赋予 了可解条件的直观性，而且是完全的n o e t h e r 定理的一个很好的启示和例证。究其 原因是其相应罡。问题具有类似性质的缘故，及砧有解的充要条件是厂( f ) 与其相联 齐次问题在足。下的一切解的正边值正交( 见预备知识) 。 这无疑给我们启示：是否还存在着别的r 问题也有着类似的可解正交性。由于 周期核( h i l b e r t 核) 的s 瑾和c a u c h y 核的s i e 有着许多相似之处，比如解的形式 类似，而且均是最终转化为r 问题，这又给我们以启示：相应于周期核的s i e 问题 的周期兄闯题，是否存在着可解正交性呢? 本文用指数变换重新求解了一类周期r i e m a n n 边值问题，得到了相应的基本解 组，使得其可解条件的正交性显存于解和可解条件中由此出发推导并得到了 h i l b e r t 核特征方程的及相联方程的解和可解条件，使得其可解条件的正交性也显存 于解和可解条件中，这一方面于c a u c h y 核情形相对应，赋予了可解条件的几何直 观性，另一方面也暗示着h i l b e r t 核n o e t h e r 定理的存在。在以上工作的基础之上， 我们提出了一类不同于文献 1 3 的解具一阶奇性的h i l b e r t 核奇异积分方程，给出 了完全方程的n o e t h e r 定理和特征方程的解和可解条件。 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s l s 第一章预备知识 1 1 c a u c h y 型积分的一些重要结果 本节中我们将介绍研究解析函数边值问题的基本3 - 具。主要是关于c a u c h y 型积 分与c a u c h y 核主值积分的p l e m e l j 公式以及相关性质这些在本文以后各章节中都要 具体用列 设五= 0 是复平面中一组互不相关的光滑( 或分段光滑) 曲线厶，厶，厶( 开口 或封闭) 的集合在每一上取定一指向为正向，记为弓+ ，从而三也取定了正向 r = o ；它们的反向称为负向，分别记为和r 以后正向常略去竹+ ”这一上标， 分别简记为和三 定义l ：设，( f ) 为定义在三上的复函数，则称 刖= 去罄如芒三 是以厂( r ) 为核密度的c a u c h y 型积分，只要此积分存在 定义2 ：设是有限互不相交的封闭曲线的集合，它把全平面分割成有限个区 域，( z ) 是这样一函数，它在每个这种区域中全纯，在z = 0 0 处至多有一极点，且当z 从 工的任一确定的侧趋于其上的任何点t 时，( 2 ) 的极限值即边值存在，则称f ( z ) 是以 为跳跃曲线的分区全纯函数如果三中含有开口孤段，则要求在各点附近，( z ) 有不 到一阶的奇异性，即若c 为三的一个端点，贝。在z = c 附近，| ，( z ) 喀瓦兰孑0 s y l ，c 为常数此时，当z 从的正侧即正向的左侧趋于上的某点f 时，f ( 2 ) 的边值记为 ，+ ( f ) ，而当z 从l 的负侧即右侧趋于t 时，边值记为f o ) ；而把伊( f ) = f + ( f ) 一f 一( f ) 称 为f ( d 在t 处的跳跃或跃度 为了解决c a u c h y 型积分中的边值是否存在的问题，自然就要考虑积分 去墨譬戤t o 上，此积分一般来说是发散的，也就是说，当在三上t o 的两边各任取 一点f ：，则l i m - ! - 1 一石器西一般不存在然而，与通常实域中定积分主值相类似， 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 如果以f 0 为中心，充分小的正数叩为半径作一圆周，使它与j 已的交点恰为两个，按三的 正向，一个是t 在f o 的后边，另一个是t 在岛的前边，记t t 为厶这时 。l i 。m 2 删l 一七f 罢芸出( 1 1 1 ) 是可能存在的 定义3 如果极限( 1 1 1 ) 存在，则将此极限记为击罢等d t ，称为它的核密度，这 个极限值就称为积分主值，二称为c a u c h y 核 t 一毛 为了保证c a u c h y 主值积分存在，必须要求其核密度满足某种条件，这里我们介绍 在应用中常见的条件 定义4 设，( f ) 定义在光滑曲线三上，若v f ，t e 上，恒有 i 厂( f ，) 一厂( f 0 砗a i f ，一，r ，( o 盯s 1 ) 则称，( f ) 在工上满足口阶h 6 l d e r 条件或h 8 条 件，记为f ( t ) h 。( 三) 或h 4 ，而口称为h 5 i d e r 指数；若不强调指出指数口，也可简记 为厂( f ) 日) 或e 日。也可这样理解：日= u h 4 当口= l 时，条件也称为l i p s c h i t z 条件如果仅假定核密度，( f ) 在三上连续，还 不足以保证c a u c h y 主值积分的存在但我们有以下一个保c a u c h y 主值积分存在的 充分条件， 引理l i q ：设是一开口或封闭的光滑曲线，已取定正向；若，( f ) 胃于上则主值积 分( 1 1 1 ) 存在，且( 当l 为开口曲线时，t o 不是的端点) 去l 等t 面= 壶l 耸t 出+ 掣l 岳t 小厶 2 霄i 靓一t 2 丌i 赶 一k2 筇i 赶一t 1 ” 式中右边第一个积分已是通常的( 反常) 积分 引理2 ”；设是分段光滑封闭曲线，仍取反时针为正向，其中屯为一角点，则有 上i 等田= 击i 掣产舢凹a - - of (to)2；ritt 也一“ 2 刀百七一f 二厅 其中铱茭t j t o 处两单侧切线在正侧所夹的内角特别地，当为光滑点时岛= 7 r 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 定理1 t 1 1 ( p l e m e l j 公式) 设三一条分段光滑曲线，厂( f ) 日于上，则对任何 t o l c 孤c h y 型积分f ( z ) = 去丢警西, z f t l 的边值存在，且有： 卜盼0 l t f ，( f o ) + 去等以 h ；一丢胁ff 一( t 岛) t i 。t 点时，岛= 万此时，纯) = l f ( t o ) + 去警f o e 三 定理2 i 1 】：设三是一封闭的分段光滑曲线，取定( 例如反时针向) 正向，已给f ( t ) 日。于 三上，则c 卸c h y 型积分，( z ) = 去丢等出在所围的内闭域伊上分别属于日详 细地说来，对于任何z 1 ，2 2 伊( 或西一) ，我们有： l f ( z 1 ) - f ( z 2 ) t g c l z , - z 2f 当口 l 时 i f ( z t ) - f ( z 2 ) 峰c i 毛一z 2 | l - 当口= 1 时 或马z l - - z 2 i ( a + b l n l z , - - z 2 d 口i 毛一2 2 i i l n l z , - z z4 其中s 为任何小于1 的正数，a ，b ，曰：c 均为常数；注意，当毛，z 2 l 时，( 毛) ，f ( z 2 ) 要 分别理解为相应的边值r ( 毛) 或r ( 乞) 或者f 一( z o 或f + ( 乞) 视所考虑的区域西+ 或百一而定 4 硕士擘住论文 m a s t e r st t i e s i s 定理3 f l l ：( p o i n c a r e - b e t r a n d 公式) 设上是一条光滑( 封闭或开口) 曲线，f ( t ，r ) j f f z l x l 上巩则f - f o d t ( 蚴t - t o - f f ( t o ，f o ) + p 篇高d t , t l , 这里不能是 厶的端点 1 2 封闭曲线条件下r i e m a n n 边值问题及c a u c h y 核s u e 的一些结果 为叙述简单起见，本段讨论l 仅由一条光滑封闭曲线构成的情形且取定反时针 为其正向求以l 为跳跃曲线的一分区全纯函数o ( z ) 满足边值条件 西+ ( f ) = g ( f ) 一中( f ) + g ( f ) ，t e l( 1 2 1 ) 要求m ( m ) 有界，即在中求解。 称r = 砌丸g ( f ) 。去 a r g g ( f ) l 为( 1 2 1 ) 的指标 相应的齐次问题的典则解x ( z ) 称为( 1 2 1 ) 的典则函数。 特 z 一篾州：篡 而凇( z ) ：去f 业掣 典则函数有石( z ) 具有如下性质： i ( f ) = g ( f ) z 一( f ) i i 在整个平面上x ( z ) 0 m 在z = 处，x ( z 、有有限阶，其阶数为一茁 此时有器= 器+ 丽g o ) 珊州护鬻删耵( f ) 刚) + 器 且f ( z ) 在z = o o 处的阶数至多为r 根据r 取值不同有 5 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 1 ) 歉。时州护普f 器西d t 吲z ) 叫壮州舳一r 次任意 z ，当i t - - - 1 ( z ) = 等f 端焉d t s ) 蜀c - i 时州护裂i 器五d t 可解条件为耕g ( 0 t = o ，| = o l ，r 一2 ( + ) 如果要求。扣) = 0 ，则有 定理4 1 1 ：非齐次问题( 1 2 1 ) 在要求中( 。) = o 的条件下， 当r 0 时无可解条件，且其一般解为 晔) = 裂f 器圭刚矿砟) ( 1 2 2 ) 其中只( z ) 为一j r 次任意多项式 当1 c o ( 靴 o ) 邮2 - 3 ) 一般解圳z ) 错 6 亦即其线性无关完全解为甲t ( = ) 3 乏商k = o , l , , - x - i 于是条件( + ) 也就是ig ( f ) 甲：( f ) 出= o , k = o ，1 , - - - , - r 一1 亦即g ( f ) 与l 壬，：( f ) 正交，也就与( 1 2 3 ) 的任何解的正边值甲+ ( f ) 正交。 i i 当r o ) 时，问题( 1 2 3 ) 只有零解。这时也可以说g ( f ) 与这零解正交。 定理5 1 1 r 问题( 1 2 1 ) 要求西( a o ) = o 时，当且仅当g ( f ) 与其相联问题( 1 2 3 ) 满足 甲( 。) = o 的一切解的正边值正交时才是可解的。 利用矗耙m 口月露边值问题的结果，我们可以给出锄咖核奇异积分方程的解及可 解条件。 对于特征方程 脚叫咖( f o ) + 掣警- ，( f o ) 似( 1 2 4 ) 其中口( f ) ，6 ( f ) ，厂( f ) 日仁) 且口2 ( t ) - b 2 ( f ) o 设伊( f ) 日为方程的解，引入分区全纯函数 坼) = 去磐 ( 1 2 _ 5 ) f 中+ 0 0 ) - * 一( f o ) = 矿( f o ) 由p 砌e 公式有 土m f 。里t - 垃t o 西= 中+ “) + 中一“) f o 三 代入( 1 2 4 ) 得。+ ( f ) = g ( ，) 。一( r ) + 揣r 三( 1 2 6 ) 这里已令g ( r ) = 等岩端且有。( m ) = 。这就是说，如果方程( 1 2 4 ) 有解 妒( f ) h ，则由( 1 2 5 ) 定义分区全纯函数o ( z ) 是r 问题( 1 2 6 ) 在疋。中的一个解。 1 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 反_ 乙，右t l 2 6 j 仕尼l 【尸臂一个解1 2 j ，则田。l 一【 2 矿i q 【l 2 ，j ，僭出明 妒( f ) 便是( 1 2 4 ) 的一个解这是因为由跳跃问题( 1 2 7 ) 及m 0 ) = o 可得 m ( z ) = 去尝争；于是得矿( r ) + 旷( ，) = 去鍪挚代入( 1 2 | 6 ) 化简即知妒( r ) 满足( 1 2 4 ) 于是由足。中边值问题的结论得( 1 2 6 ) 在罡。中一般条件为 1 ) 当川时，( z ) 一x 2 删( ：) t + 6 ( s ，j j ( t 石) d + t i 而+ x ( z ) 艮，( z ) ( 1 刎 2 ) 当r 。时，当且仅当f e ：再i t ：k i f i ( 刁t ) 丽d t = 。，i = 。，l ”。一r l ( 1 2 9 ) 满足时，问题有唯一解( 1 2 8 ) 。( 令q f ；o ) i 囵至l j ( 1 2 4 1 的解，则有 嘶) = 黼m ) + 掣* ( r ) + 6 ( f 明( t j ) d + t 丽由 + i x + ( f o ) 一x 一( b ) q r 一。( f o ) 于础_ g ( 小而a ( t o ) - 雨b ( t o ) 所以，如果记z ( f o ) = 口“) + 6 “) z + ( t o ) = a ( t o ) - b ( t o ) x 一( t o ) 卜，= 揣 h ) = 丽b 芦( t o ) 丽 则妒f 毛1 ：k f + b + ( t o i z t t o ) ，f 靠1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中x 。，= 4 ( f o ) 厂( f o ) 一掣丑z ( f ，) ( ( ，t ) 一d t 孬 而l 当r 0 时，它显然有茁个线性无关解： t * b ( t ) z ( o ，k = 0 , 1 ，。一j r 一1 当r s 0 时，它只有零解。 在以上讨论中，可解条件与置物= ，的相联齐次方程 足”伊= 口( f o ) y ( r 。) 一去! 苎譬! 兰：( ! ! 办= g ( f o ) 气 ( t 2 。) 有密切关系。此时方程的指标一= 一r 为求解( 1 2 1 0 ) 可以引进x ( f ) = 6 ( f ) y ( f ) 作为新的未知函数，于是( 1 2 1 0 ) 化为 口( f o ) 砘) 一掣等- 6 ( f o ) g ( f 0 ) 可解得 当小一喊咏) ”g + 错 k ”为k 的相联算子，即 如“卯0 ) + 端掣 当= 唯 o 时，可解条件为广z ( t ) b 。( f ) g ( f p = o ，k = o , l ，- r - i 于是我们有关于特征方程的n 6 t h e r 定理 定理6 f 1 】：i k 物= 0 与足”妒= o 的( 线性无关) 解的个数均为有限。 i i 设k o 妒= 0 与k o 伊：0 的解的个数分别为i ，l ，则，一，；r 。其中r 为k o 的指 9 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 标。 h i ，k o 妒= 厂可解的充要条件为厂与齐次相联方程足9 伊= o 的一切解正交。 对于一般的奇异积分方程： 耻嘲) 删+ 去掣西弦叫岛) f o 0 2 1 0 其相联齐次方程为k 9 ；口“) 化) 一去气些竽y ( r p = 。f o 上 此时n 6 t h e r 定理为。 定理妒1 ：设( 1 2 1 1 ) 中的足是一正则型奇异算子。则 i 脚= 0 的( 线性无关) 解的个数必有限； i i 设置伊= o m k 妒= o 解的个数分别为，则，一，= r ，这里r 是算子k 的指标，而髟 是k 的相联算子。 l l i 方程k t p = f 可解的充要条件是i q , 。( o f ( t ) d t = o , k = ，2 ，f 其中 甲t ) 是 置锄= 0 的全解系。 1 0 硕士擘位论文 m a s t e r st t t e s i s 第二章一类周期r ie m a n n 边值问题的基本解组 2 1 引言 在预备知识中，我们已看到正则型非齐次r i e m a m l 边值问题在r 类求解。其可 解条件具有明确几何意义，即所谓正交化条件，在文献【1 2 】中，钟寿国提出了一种 推广的周期r i e m a n n 边值问题，给出可解和可解的条件，通过基本解组和广义相联 周期边值问题概念的引进，使可解条件几何意义明确化，然后在此基础上讨论了一 类解具一阶奇性的h i l b e r t 核奇异积分方程，文献【1 2 】中还是沿用经典教材中的方法 使用f = t a n 三交换将相应周期r i e m a n n 边值问题化为全平面上的非周期r i e m a n n 口 边值问题。在本章中，我们采用指数变换来重新求解相应的周期边值问题和相应的 h i l b e f t 核特征方程，我们发现相应的解和可解条件的表达式显得比【1 2 ，1 3 】中优化过 的结果更简洁。 2 2 用指数变换重新求解一类周期r i e m a n n 边值问题 设厶是一条正定向封闭光滑曲线，位于域晶：i r _ c z i 警，( 口 o ) ，不妨设原点在 二 厶所围有齐区域对内。设k 及( k 为整数) 分别是厶及对平移七万口后的曲线 + 。+ 及区域。记= u 厶，s = 墨+ ，s 寸现求以彻? 为周期；在s + ，s - 分别 t i - o 解析且从s + ，s 一分别连续延拓到的未知函数中( z ) ，使： 矿( f ) = g ( t ) o 一( f ) 可( f ) ，t l ( 2 2 1 ) 且在+ a o i 处，o ( + o o i ) = 一o ( - - - i ) ，m ( o 有限。 ( 2 2 2 ) 这里g ( f ) o g ( o ，( f ) 以鲫为周期在上令k = 瓦1 上a r g g ( t ) ( 2 2 1 ) 的指标。 利用保形变换f = e 7( 2 2 1 ) 转化为f 平面上的鼬啪锄边值问题。 令m ( f ) = 中( z ) ，则中+ ( f ) = g ：( r ) o 一0 ) + = ( f ) ，：这里f = e i ，g ( f ) = g o ) ， 硕士擘住论文 d a s t e r s t h e s i s 工( f ) 。- ，o ) 且酉先曼求啦( d 碉界 由预备知识中的结论有 坼) 叫z ) k 1 器( c o t 等+ 归砟垃咖) ( 2 ：3 ) 这里只( f ) 暂为任一r 次多项式且设 只( f ) = 窆吖，当r 一1 时，只( f ) ：0 x = h d 上g ( f ) 是问题( 2 2 1 ) 的指标，x ( z ) 是典则函数 特忙穿删= 唯) = 去i 1 0 9 ( 严咖一厂g ( f ) ( c o t 等+ ，卜 以下分几种情形讨论附加条件( 2 2 2 ) 西( + m f ) = 一中( 。f ) ： 1 1 当茁l 时 m 如d f ) = 矿b ( g o + a o ) ，m ( f ) = 这里 纠硝1 l 黯2 倒 = 辫一( 4 石) 一l o g ( e - 1 ) - g ( r ) 出 这些记号以下同。故附加条件变为 a x + p 一帆( g o + ) = o 这样，利用简单的代数知识我们得到： 只( r ) = 一岛+ 嘭办( f ) 这里萌( f ) = l e - h t ，以( f ) = f 一，2 此时 x ( z ) 办( 铲加) 二。线性无关且恰为问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 所对应的齐次问题 1 2 的基础解系。 2 ) 当r = o 时只( f ) = ，附加条件( 2 2 2 ) 化为 ( 1 + e 嘞a o = - - e - g o 故若= ( 2 七+ 1 ) 万，则当且仅当条件g o = o 成立时问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 有解，此 时为任意常数；若v o ( z 七十，) 厅，则= ( 寻+ 翌竺譬丝) 岛 3 ) 当c = - - 1 时o ( + o o i ) = e - 如, g o ，m ( f ) = 咱 故当且仅当条件g o = 毋蜀成立时问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 有唯一解( 2 2 3 ) 4 1 当x - 2 时，首先有可解条件 蜀一= g - 。- t = o ( 2 2 4 ) 附加条件变为g o = 少量。( 2 2 5 ) 故当且仅当上述( 2 2 4 ) - ( 2 2 5 ) 中一r 个条件满足时问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 有唯一 锯( 2 2 3 ) 下面来考察问题( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 的相联齐次问题： 甲+ ( f ) 2 南甲协，v ( 佃) = - v ( m ) ( 2 2 6 ) 利用上面的结论分情形讨论： 1 ) 当r 1 时，问题( 2 2 6 ) 有唯一解甲o ) = o 2 ) 当x = o 时，若= ( 2 七+ 1 ) ，r ，则问题( 2 2 6 ) 的基础解系为x 。( z ) ； v o ( 2 七+ 1 ) 万，则问题( 2 2 6 ) 只有零解。 3 ) 当r = 一1 时，问题( 2 2 6 ) h x 。1 ( z ) ( p i 2 咖) ，这里( f ) = 1 一沙f 4 ) 当x - 2 时，问题( 2 2 6 ) 的基础解系为 x - m ( z ) ( e 1 2 z a ) ：，这里 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s o ) = 1 一p 怖t - 。，t f j ( t ) = t j - i ，_ ，= 2 ，+ 。，一r 总结以上讨论得出如下结论： 定理8 ：周期鼬锄锄边值问题( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 的可解的充要条件是，( f ) 与相连 周期r i e m a n n 边值问题( 2 2 6 ) 的基础解系的正边值正交。具体来讲，当r = 0 ， = ( 2 j + 1 ) 万时，可解条件为l ；等和= 。；当r s 一1 时，可解条件为 i 祭= 。，j = 1 , - - , - - k ；其它情形正交条件自然满足。因此问题 ( 2 2 1 ) 一( 2 2 2 ) 解的自由度为r 注解： 如果我们将条件( 2 2 2 ) 改为o ( 佃f ) = 一巾( 一f ) ，( a o ) 而将问题 ( 2 2 6 ) 中附加条件改为甲( + m 0 = a 。 e ( - - 。o i ) 则也可以得到与定理8 完全相仿的 结论 2 3h i l b e r t 核特征奇异积分方程的重新求解 在前面工作的基础上我们来重新讨论方程 一( f ) 砷) + 里粤f 伊( r ) c o t 孚出：厂( f ) ，i o ( 2 3 1 ) a f 4 在日类中的解，当然这时，( f ) 日( 厶) 。若伊( f ) 日( 厶) 满足方程( 2 3 1 ) ，则 由( z ) = ( 2 硎) 。缈( r ) c o t 等西 满足周期r i e m a n n 边值问题： 中+ ( f ) = 等嚣+ 菇m 卜中 ( 2 3 2 ) 反之若满足问题，则为方程的解。事实上，由跳跃问题，得此时典则函数为故 有所以伊( f ) 为方程的解 利用关于边值问题的结论分情形讨论如下： 记纠硝i 等2 肌出 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 1 1 当r l 时，解为 妒( f ) = 置f + s o ) z o ) q f ( 一2 咖) 这里q ( f ) = + 略办( f ) ，哆( r ) 同前，哆，= l ，r 为任意复常数 z ( f ) = 彳o ) + 口( f ) x + ( o - - a ( o - b ( ) x 一( f ) 即“( f ) 坪) - 竺铵器( 删等+ ；) 露 ( 2 s 3 ) 彳( r ) = 鼎，曰。( f ) = 鼎 2 ) 当r = o 时只( f ) = 若= ( 2 七+ 1 ) 石，则当且仅当可解条件五= o 满足时， 解为妒( f ) = k + 厂+ 以( f ) z ( f ) ，c 为任意常数；若v o ( 2 七+ 1 ) 万，则解为 矿( f ) = k f + ( 1 - i t a n ( v o i 2 ) ) f o b ( f ) z ( f ) 3 ) 当r = 一1 时，当且仅当五= 沙石满足时，有唯一解妒( f ) = k f 4 ) 当x g - 2 喇，当且仅当石一一f f ，= o ，五= 沙正。计一r 个条件满足时有 唯一解妒( f ) = 足厂。 下面再来考察方程( 2 3 1 ) 的相联齐次问题： 爿( ，) 妒( r ) 一上a # i 曰( r ) 妒( r ) c o t 了z - t 出= o ( 2 3 4 ) 1 ) 当r l 时，方程( 2 3 4 ) 有唯一解l l c ，( f ) = o 2 ) 当r = o 时，若= ( 2 | j + 1 弦，则方程( 2 3 4 ) 的基础解系为z - 1 ( f ) ； ( 2 七+ 1 ) 石，则方程( 2 3 4 ) 只有零解。 3 ) 当r = 一1 时，方程( 2 3 4 ) 的基础解系为z 。( t ) l u l ( e “枷) 硕士孝住论文 m a s t e r st h e s i s 4 ) 当r - 2 时，方程( 2 3 4 ) 的基础解系为 z 一1 ( f ) ( 扩咖) ；：a 这里蚧( f ) 同前面所述因此，我们得到： 定理9 ：方程( 2 3 1 ) 在日( 厶) 中求解时，可解的充要条件是厂( f ) 与相连齐次方 程( 2 3 4 ) 的基础解系正交。具体的讲，当譬= o 且= ( 2 七+ 1 ) 石时，可解条件为 l 静= o ；孙删棚渊l 华- o ，川，响方程 ( 2 3 1 ) 解的自由度为r 。 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章一类解具有一阶奇性的川ib e r t 核奇异积分方程 3 1 解具有一阶奇性的h i l b e r t 核方程的可解条件 定义5 ：厶，三如上所述，设岛( 力= p ( 考) = 密( 方一声舯( z ) = 蔫 这里q e 厶乒牡。西q ) 以三为跳跃曲线的分区解析函数，西( z ) = 西( 伽+ 力且 ( z ) 日( d ，则记似z ) 删；相类似的定义，( f ) 尸研，如果f ( t ) = 器 ，厕日知) = 知+ 酊妇( 拈珥，如果g ( f ) = 豢，喜( f ) h ( l o ) 下面来讨论解具有一阶奇性的h i l b e r t 核完全方程的可解的充要条件 足伊= 彳( r ) 矿( ，) + 刍足( f f ) 矿( r ) c o t 等出= 巾) ( 3 1 1 ) 这里4 ( f ) 日，( f ) 研，k ( f ，f ) 日( 厶厶) 相联齐次方程为 置彳= 彳( f ) z ( f ) 一磊1 置( r ，f ) z ( r ) c o t 等d r = o ( 3 1 2 ) 若方程( 3 1 1 ) 可解，则 驴( q ) = ，( q ) 彳( q ) ，k = l ，疗 作拜一1 次插值函数丁( r ) 使得，( ) = 痧( c i ) ，再作代换 缈o ) = 妒( f ) 一2 ( 2 咖) p ( e ”咖) 得到等价方程k c a = ，“) ，易知 即m 一觜一刍m r ) 矧c o t 等u ) 设方程( 3 1 2 ) 的基础解系为 乃f ) ) ，l 。，爱类似文献【1 3 】中的分析，方程( 3 1 1 ) 的 可解条件为 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s f ( f ) 乃( f p = 0 ，= 1 ， 再利用p o i n c a r 吾_ b 鲥捌帕积分换序公式通过类似文献【1 3 】的化简过程得到可解 条件为： ( 硝l ( f ) 础弦= 砉掣搿铲小b 7 3 2 解具有一阶奇性的h i l b e r t 核特征方程 下面我们在( 上n ) 求解特征方程( 2 3 1 ) ，如前作代换 ( f ) = 伊( f ) 一 方程( 2 3 1 ) 变为： 砌州旷娣皆一等 c o t 竺d t ( 3 2 1 ) a 我们先把方程( 3 2 1 ) 的右边化简：利用变换f i = e x p ( i 2 r a ) ，= e x p ( i 2 t a ) ， 将厶映为f o ，记 扭刍i 矧c o t 孚出= 昙焉格r t + 去籍r 利用推广的留数定理得到： 气1 萎n 考罱= 二i 善n 为方便以后的讨论，先给出一个有用的结果： 引理l ：设r 为复平面上一条封闭光滑曲线，以逆时针方向为正向，中( z ) 以r 为跳跃曲线分片解析，在m 处的主部记为p p ( o ，z 1 ，则有 。( 。) ：上f 业粤型出舯( 咄) (322)2 、7 r t ij r 卜z 、7 、 、j一) )一) 咖一咖 叻一呐 扩一扩 扩一扩 ，?一，i，、一，j、 r 一矿 丁一p 错 2 即( ) 州( f 1 ) 坩( f 1 ) 一去f 掣出眯r ( 3 2 3 ) 证由跳跃问题矿( 力一中一( f ) = 妒( f ) 即可得到结果( 3 2 2 ) ，再利用p 渤n 彬公式 即可得到( 3 2 3 ) 推论1 ：方程( 1 ) 中的函数爿( f ) ，b ( t ) ，z ( t ) ，x ( z ) 及曲线厶在变换 f = e x p ( i 2 z a ) ，= e x p ( i 2 t 4 ) 下变为a “) ，且“) z “) ，兄够) 和r o ，则有： 去揣= 南+ p a d ( x = 咖( f o ) ( 3 z 4 ) 去f o 揣= 南一叫一f ) 加州r o ) ( 3 2 5 ) 粼一去端= ”( 一岍r o ( 3 2 q 裂+ 去j r r 杀譬导：叫砧) f i r o ( 3 2 7 ) 乙( ) 。新, z ( f 1 ) ( f l 一) r ”1 r 7 证 取m ( f ) = 酊g ) ，利用引理1 即可得到( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ；取 。皓) = 一j ( f ) ，( e d + ( r o ) ，m ( f ) = j ( f ) ，f d 一( r 。) 利用弓l 理1 即可得 到( 3 2 4 ) 这样我们再一次证明了文献 1 ，1 3 q ，但方法更简便 以下我们分情形讨论方程( 2 3 1 ) 在研中的解： 1 ) 当r 2 l 时，相联方程k ”z = o r r 糯z ( t ) = 0 ，可解条件自然满足，方程( 2 3 1 ) 的解可写为 北，= 矧“一笆器铲删卜啦 妒) 1 9 “，( f ) z ( f ) 嘶驯争吐第一( 硝1k 丽b ( t ) i r w - 了, - - t + 乎刁 + 筹罱一上a z ii 筹罱( c o t 等小。z ( f ) 户( 2 和) k z ( f ) p ( e 。咖) r 口一厂i ( 3 2 8 ) 以下利用推论1 来化简上述表达式，记= 严咖，c i + = e t 2 1 加，k = l ，t 弹 第七第( c o t 等+ r d f = 筹一去l 善禹= 叫硭r ) 一去筹锑( c o t 刊拈一去l 捌窘3 2 = 一言高陆l 揣一去l 焉尚 = 一喜高 叫圳钟c 别+ 第一粥 = 哗等铲 ( 3 1 1 1 ) ，( 3 1 1 2 ) 的结果代入( 3 1 1 0 ) 得到： 艳2 1 0 ) 卯，= 订一即磁r ， 象瓦苇譬主等士磊万砑一q 垆) + e 伊) 这单2 ， 擀刮刊一言哑蒿铲 晰z 磊+ 弘( f ) 骨( 硝1 瓣删训f ) - 觜删 利用推论1 ，还可将e 化简为 昂= 五一昙窆 二j = t 叫别+ 剡+ 扣圳洌( o ) 珊 2 ) 当r = 0 时，看( 2 k + l j 霈，捌联万程k ”z 2 0 只硐祥z 【f ) 2 0 ，敢j 册条 件自然满足，此时有唯一解 妒o ) = 鬈一丑o ) z ( f ) 骞i ：i 习= - 二孑五。弓 ；2 ；| ；：；j i j 丽一( - 一t t a n 詈) 磊一d 若= ( 2 后+ 1 ) 石，此时相联方程k ”z = o 的基础解系为z - i ( f ) ，故当且仅当可解条 件 去静= 芸孝糟粞 砟m 却，偿f 高裟翮 这里c 为任意常数 3 1 当r 一l 时，当且仅当可解条件 西，= k f - b 砷喀f 爿 2 l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【l 】l uj i a n - k e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra n a l y t i cf u n c t i o n s ( m ) s i n g a p o r e ：w o r l d s c i e n t i f i c ，1 9 9 3 【2 】高婧，钟寿国含余割核奇异积分的反演问题武汉大学学报( 理学版) ( d 2