（理论物理专业论文）光与原子相互作用过程中某些问题的研究.pdf

前阜孽蘸夫尊磺壬擘往奄囊摘，要量子鲻缝态是量子力学最显著鹣将锤之一，是薰予售惠领域一个菲零重骚的资源，它猩量子信息处理中的量予隐形传态、量予编码及量予纠错、量子密钥分配和蠼予计算中具窝藿要应用。蠼予纠缠态腱爨也是人们研究的课题之。近每来a 稻鬟熏黢爨子毫蚤老攀方法提窭芗多矜嚣粒子藕多粒子簧缠的制备方案。很多人研究了各种模型申原子间纠缠的特性。光子的反聚束效应是光场的一种典型的非经典效应，也戆近年来光予统计中最引人注目的新爨蒙之一。这糖量子毂痰不纹在握忝悲酶塞子本纛蠢嚣起蓑重要熬绍舞，嚣曩还在毙透信、徽嚣痞嚣稔瓣、夭类瓣觉系统研究祷蠢瑟有着潜程戆应强藏景，因此关予光子反聚柬散应的理论研究，一直是豢子光学领域静勺个非常热 3 的研究课题。近年来，很多理论模型中豹光予威聚束效应都褥到了= 广泛静讨论。对于，c 、t - c 模型中原子间的纠爝及光场的日# 经典性质。融经有了很多研究。在本文中，我们设计了另一新的模型；两个初始时纠缠的源子f 原子l 、2 之一( 骚予2 ) 嚣搦分赛嚣子爨予3 ) 在单模腔串毒粒孑数场发生据踅作用，我稻主要研究了遮一系统嗽器予鲻缠翡演纯稻光场髂戚聚素效应酶有关问题。浓文的主要内瓣包括下面篡部分：l 。蓠毙奔绥了臻帮摄子攘互箨鼹熬嚣个典型模型：孓e 摸型黧；c 摸熬。然雳奔舔了嚣经典巍瓣释羹予雏缠驰窍关齄 爻。其次，还簿释了利用部分转置矩阵负奉虢值来进行量予纠缠态度墩的方法。2 。掰个裙始聍纠缝嬲爨子( 覆予l 、2 之一( 缀子2 ) 和另一分离原子爨子3 燕摹模靛串与鞍子数蛹发生攘互作耀，臻究了这一薄系孛藤予绷缠的演化特性。利用部分转置矩阵负本征值的方法，得沿了纠缠度与初始时原子的状态、粒子数光场中光子数目、原子与靛黼疆稷摇萎律羼瓣耩套常数、暴子阗鹬寝器极籀互撵麓强囊等参慧盼大小育缀强的关联。3 研究了上述系统中光场的反浆荣效应。对= 阶相干度柱不周光予曲阜师范大学硕士学位论文数、原子1 、2 初始纠缠度、原子3 初始态矢量中激发态系数情况下，随时间演化的特性用图形的形式给了出来。通过对图形进行分析得出，随着光子数的增多，光场的非经典性质明显增强；在光予数为零时，光场的非经典性质随原子l 、2 初始纠缠度、原子3 初始态矢量中激发态的系数的增大而减弱，随原子2 、3 与场之间的耦合常数异与原子偶极- 禺极相互作用强度q 的比值的增大而增强。关键词：量子纠缠；部分转置矩阵；粒子数光场；反聚束效应：二阶相干度曲阜师范大学硕士学位论文a b s t r a c tq u a l l t 啪e m a n 9 1 e m e n ti so n eo f 也em o s tr e m a r k a b l ec h a r a c t e r so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，i sa l s oav e r yi m p o n a n tr e s o u r c ei nq u a l l t u mc o m m u n i c a t i o n i th 船i m p o r t a i l t 印p l i c a t i o n si nq u 眦眦t e l 印o n a t i o n 、q 咖md e n s ec o d i n g 、q u 咖e r r o r - c o r r e c t i n g 、q u a i l t u ms e c r e ts h a r i n ga n dq u a n t mc o m p u t a t i o n ，w h i c hb e l o n gt o 也ed i s p o s a lo fq 陇m t u mc o m m u i l i c a t i o n t h em e a 8 u r c m e n to fq u m l t ne n t a n 9 1 e m e mi sa l s oo n co f 也es u b j e c t st h a tp e o p l ea r es t u d y i n g ，n o wp e o p l eh a v ep u tf b n a r ds e v e r a lg e n e r a t i o ns c h e m e so ft w o p 删c l eo rs e v c r a l 巾a n i c l ee n t a n g l e m e n tu s i n gq u a l l t i l me l e c t r o d y n a i l l i c sm e t h o dmr e c e n ty e a r s m 锄yp e o p l eh a v es t u d i e dt h ec h a r a c t e r so fa t o me n t a n g l e m e n t si ns e v e r a lm o d e l s p h o 衄la m i b u n c h i n ge 毹c ti sat y p i c a ln o n c l a s s i c a lc h a r a c t e ro fp h o t o nf i e l d ，i sa l s oo n eo ft l l em o s tn d t i c e a b l en e wp h e n o m e n o ni np h o t o nn u m b e rs t a t i s d c s t l l i sq u a n 乜珊e 圩e c tl l a si m p o n a m ta p p l i c a t i o n sn o to i l l yi no p e n i n go u t 也eq l l a m 啪e s s e n c eo fl i g h t ，b u ta l s oh 鹪p o t e 埘a la p p l i c a t i o nf o r e g m u n di nl i g h tc o m m 删c a t i o n 、t h ed e t e c t i o no ft i n ys i g n a l s 、m es t u d y 协t h ef i e l do fp e o p l es e e i l l gs y s t e m ，锄ds oo n s om et h e o r e t i c a ls t u d yo f p h 0 衄1a n t i b u n c h i n ge 虢c ti sa ta l lt i m e sav e r yp o p m 盯s u b j e c ti nt h ef i e l do fq u a n t u mo p t i c s i nr e c e n ty e 盯s ，m ep h o t o n 趾t i b l l l l c h i n ge 如c ti nm a n yt l l e o r e t i c a lm o d e l sh a sb e e nd i s c u s s e dh o t l y _f o rj ca i l dt cm o d e l ，血e r ew e r ea l r e a d ym a n yp e o p l eh a v es t u d i e dt l l e i rq u a l i t i e so fe n t 如g l e m e n ta 1 1 dn o n c l a s s i c a lc h a r a c t e r s w bh a v ed e s i 殴e dan e wk i n do fm o d e li n t h i sp a p e r ：a t o m s1 a i l d2w a se m 蛐g l e di n i t i a la n dw e r ei n d 印e n d e mw i ma t o m3 1 1 1 es i n 西e - m o d ef i e l dw a si i lf b c k 嘲t e f o r t h i ss y s t e m ，w em a i l l l yi n v e s t i g a t e dt h ee v o l u t i o no f t l l ea t o me m a n g l e m e n ta n dm eq u e s t i o n so f p h o t o na 1 1 t i b a n c l l i n ge 抒b c t 1 1 1 em a i nc o n t t so f t l l i s 廿1 e s i sa r ea sf e l l o w ：1 f i r s t ，w ei r l 仃o d u c e dt w ot y p i c a lm o d e l s 矗b o u tt 1 1 ei n t e m c t i o no fo p t i c a ln e l da n da t o m s ：j - cm o d e la n dt _ cm o d e l n l e n w ei n 仃o d u c e ds o m ek n o w l e d 碧eo fn o n c l a s s i c a lf i e l da n dq u 们t u 】【i le n t a n g l 唧e m w ea l s oc x p l a i n e d 也c 唧o fm e a s l l r i n gq 哪t 啪e n t a n g l e m e m 协p a r t i a l曲阜师范大学硕士学位论文23t r a n s p o s i t i o nn e g 砒i v ee i g e n v a l u em e t h o d a t o m s1a 1 1 d2 、v a se n 诅n g l e dm m a la 1 1 dw e r ei n d e p e n d e n tw i m 咖m3 t h es i n g l e - m o d ef i e l dw a si nf o c ks t a t e f o rt l l i ss y s t e m ，w es t u d i e dt h et i m ee v o l u t i o no fa t o m se n t a l l g l e m e n tw h e na t o m s2a n d3w e r ci nm en e l d u s i n gp a n i a l 廿a n s p o s m o nn e g a t i v ee i g e n v a i u em e t h o d ，w eo b t a i n e dm a tm ee m a n 百e m e n t 、a sr e l a t e ds 缸d n g l yw i t ht h ei n i t i a ls t a t e so ft h et h r e ea t o m s 、t h ep h o t o nn u m b e r so ft h ef i e l da i l dt l l ec o u p l i n gc o n s 协n t sb e 佃e e na t o m sa 1 1 dc a v i 吼w es t u d i e dt h ea 1 1 t i b u n c h i n ge 虢c t s0 ft h ef i e l d ，w h i c l lw eh a v em e n t i o n e di n 也ea b o v e w eg a v eo u tt h ep i c n l r e so ft i m ee v o l u t i o nf o rs e c o n d o r d e rc o r r e l a d o nf h l c t i o nw i md i 付色r e mp h o t o nn u m b e r s 、i i l i t i a le m 姐g l e n l e i l t so f 曲d m s1a n d2 、“t i a ls t a _ t e so f a t o m3 f r o mm ea 1 1 a l ”i so f t h ep i c n l r e ，w e9 0 tt l l er e s u l t ：n o n - c l 船s i c a lc h 啪- c 把r so f 血ef i e l d9 0 to b 、r i o u ss 仃o n g e r 谢mt l l ei n c r e a s eo fp h o t o nn u n l b e r s ；w h e nt h ep h o t o nm m l b e r 、sz e r 0 ，也e o n - c l a s s i c a lc h a r a c t e r so f m ef i e l dg o tw e a k e n 砒t l l ei n c r e a s eo f i i l i t i a le n t 趾g i 锄e m so fa t o m s1a n d2 、t h ei i l i t i a lc o e m c i e n t so fe x c i t e ds t a t ei na t o m3 ，g e ts t m n g e r 谢mt h ei n c r e a s eo fm er a t i ob e t w e e nc o u p l i n gc o n 虬a 1 1 t sg 锄o i 培a t o m s 舡l dc a v i t ya n di n t e m c t i o n a li 址e n s i 毋ob e t w e e na t o ma 1 1 da t o m k e yw o r d ：q u a i m m le n t a n g l e m e m ，p a r t i a l 仃a n s p o s i t i o n ，n u m b e rs t a t e ，t 1 1 ea i l t i b u n c h i n ge 任b c t s ，s e c o n d - o r d e rc o r r e l a t i o n如n c t i o n曲阜师范大学硕士学位论文第一章前言量子光学是近代物理学中一个十分重要的分支。众所周知，量子光学作为一门学科只是3 0 余年的事，但是应用量子理论全面而系统地研究光的量子特性以及光与物质( 原子、分子) 的相互作用，并能从实验上加以探讨则是6 0 年代激光器产生以后。而且随着实验技术的提高，新的光学效应将被进一步揭示出来，从而不断充实量子光学内容，促进量子光学理论的进一步深化和发展。光和物质的相互作用是人类历史发展中的一个古老而意义重大的课题，自古以来人们一直在探索它的奥秘。全面探讨光场和原子相互作用中光和原予所展示出的量子效应是当代量子光学研究的重要内容。量子光学于上世纪8 0 年代才作为一门独立的学科发展完善起来，近代量予光学的研究表明，应用量子光学理论，并通过近代光学实验手段，能够从量子层次上揭示辐射场和原子行为的许多量子特性。人们从各个角度论述和验证了光场诸多量子效应的存在，并有着巨大的应用前景。要想深入理解和揭示光场的量子特性，研究腔场和原子的相互作用有重要的意义。1 1j a y n e s c l 蛐m i n g s ( j c ) 模型1 9 6 3 年j a ) i l e s 和c u m m i l l g s l l 】提出了解决原子和光场作用问题的一种简单模型j c 模型，可以简单方便地描述两个定域二能级原子与光场的相互作用问题。由于该模型有精确可解的解析解，所以成为近代量子光学中研究问题的基础。j c 模型在偶极近似和旋转波近似下的哈密顿量为日m = 意疋+ a 踟+ 口+ 曲( 舔+ + 口一)( 1 1 )式中口+ 和口为频率为国的单模光场的产生和湮灭算符，s + 和s ：是描述本征跃迁频率为的二能级原子行为的赝自旋算符，g 为原子和光场的耦合常数，它反映原子与光场相互作用的强度。( 1 1 ) 式右边第一项对应于裸原予的能量，第二项对应光场的能量，第三项表征光场与原子的相互作用能矿矿= 螬( 日r + d + s 一)( 1 2 )这种相互作用能表明在原子跃迁时伴随光子的发射和吸收过程。( 1 1 ) 式可以分解为曲阜师范大学硕士学位论文日r m = 月o + y( 1 3 )以为裸原子与光场无耦合时的能量算符月j = 壳o s ：+ 壳c + 口( 1 4 )则很容易看到，风和矿之间满足田。，y 】= o( 1 5 )自从j c 模型被提出以来，人们利用它做了大量的研究，预言了许多非常有意义的结果。诸如文献【2 和【3 】详细讨论了原子布居的量子崩塌一回复效应。对于辐射场的压缩效应 4 5 】，光子的反聚束效应和亚泊松分布【6 7 】，原予的偶极压缩效应【舢9 】等都有比较详尽的研究。随后人们又对j c 模型做了很多的推广，其中包括考虑其非旋波项的作用、k e r r 介质中考虑介质的非线性耦合作用、多光子跃迁等多种效应存在时j c 模型中所展现出的有趣的量子现象。尤其近来，双光子j c 模型已经推广到考虑原子的运动和不同场模结构的情况【1 0 】，j o s m 和l a w a n d s 研究了原子运动和场模结构对原子反转的影响。他们发现，原子运动和场模结构导致了原子布居的非线性瞬时效应( n o n l i n e a rn 锄s i e n te 舶c t s ) 。文献 1 1 】讨论了附加克尔介质依赖强度耦合j c模型中原子的量子特性，表明k e 圩介质的非线性相互作用对原子和光场的性质都有明显的影响。另一方面，在腔场量子电动力学方面，j c 模型也是一个最纂本和最成功的理论模型。二能级原子与单模腔场的双光子共振相互作用是这个模型的代表之一。但实际中两能级原子( 量子位) 不可能完全与外界隔离，量子位与环境之间总存在某种相互作用，这种作用将使量子位的演化不是幺正变换，产生错误的计算结果，这被称为消相干( d e c o h e r e n c e ) 。消除量子位的消相干性，是量子计算成为现实的关键，文献 1 2 对此做了详细的论述。作为量子计算和量子信息的资源，纠缠态有多种制备方法，9 0 年代中期以来，纠缠态理论的研究无论是在深度上还是在广度上都有突破性的进展。而量子纠缠的首要问题就是其制各的问题，近年来关于量子纠缠态的制备已推导并验证了许多方案，z h e n gs h i - b i a o 等【1 3 1 提出了q e d 腔中两原子纠缠的有效方案，r a n s c h 髓b 就l t e l 等提出在q e d 腔中控制量子位门而产生纠缠态，另外c i r a c2曲阜师范大学硕士学位论文和z 0 1 l e r 【1 4 j ，p h o e n i x 和b 锄e 】，k u d r e v t s e v 和k n i n 曲t 1 6 ，h a r o c h e 胛，g e r r y 【1 8 lz h e n g 和g u o m2 0 。，宋克慧【2 l j 等在近十年内分别提出了制各两原子和多原子纠缠态的各种方案，这些方案大都是建立在原子与腔场的相互作用基础上的。1 2t a v i s c u m m i n g s ( t - c ) 模型1 9 6 8 年，t a v i s 和c 眦蚰i n g s 提出了处理两个定态全同二能级原子与单模场相互作用体系的模型。其哈密顿量的具体形式为圩= 壳铴焉m + 壳曲+ 口+ g 和+ 十口墨) + f 硫暇”最2 + 最1 只2 )( 1 6 )问f 1 1共振时，即光场的频率等于原子的本征跃迁频率，其相互作用哈密顿量为2珥= 橹( 口+ 掣+ 西p ) + m ( s 掣世+ 艇1 s 1 2 )( 1 7 )f = l其中s + “) 、s ，“分别为表征原子行为的反转和跃迁算符。是原子本征跃迁频率，国是光场频率，口+ 和口分别为光场的产生与湮灭算符，g 为光场与原子的耦合系数，q 为原子间的耦合强度。由于t - c 模型在定条件下有精确解，而且又比最简单的j c 模型更贴近实际问题，因而人们对t - c 模型及其推广做了大量的研究，并揭示出它们各种各样的非经典性质，如原子布居的周期崩塌与回复、原子算符的压缩、光场的压缩性质及非经典相关特性等【2 2 2 6 】。黄春佳等 2 3 】研究了t a v i s c u m m i n g s 模型中原子间偶极相互作用对场熵演化特性的影响，研究表明，原子间的相互作用对原子和光场的量子特性具有重要影响。田永红等【2 7 对t - c 模型中光场的非经典性质做了一些讨论。b o g o l i u b o v 等 2 8 】对加入k e r r 非线性介质项或斯塔克分裂项的t c 模型推广的解进行了讨论。j s e k e 等【2 9 研究了多原子与f o c k 态光场相互作用下( 其中包括了t - c 模型中的情况) ，原子数呈现的量子崩塌回复现象。总之，t - c 模型中量子光学和量予信息特性的研究仍在不断的发展完善中。曲阜师范大学硕士学位论文1 3 非经典光场态的性质及应用非经典光场的研究无论是在理论上还是实验上都是十分引人注目的，业已证明，尽管相干态光场的行为是经典的，但在原子一场的非线性相互作用过程中，相干态光场的么正或非么正演化可以产生各种非经典光场态，如压缩态【3 0 】及s c l l r o d i n g e r 猫态【3 l 】等。相干态与线性光学元件作用同样可以产生各种非经典光场3 2 。3 引。非经典光场区别于经典光场的特性主要有反聚束效应、压缩效应以及光子数的亚泊松分布 3 6 - ”1 等。人们对各种光场的聚束和反聚束效应进行了大量的理论和实验研究，深入探讨光场的聚柬与反聚束效应不仅对深刻理解光的非经典性质有重要意义，而且对新兴的光通信和光量子理论有重要的意义。压缩态光场是一种继激光之后的又一种重要光源，在弱光及超弱光信号检测、生命系统超弱光子辐射探测、高保真度量子光通信等研究领域有广阔的应用前景，在超短脉冲激光及其激光器的飞速发展中也有广泛应用。所以光场压缩效应的研究已成为当前量子光学、光量子信息学等领域十分受关注的前沿热点课题。1 3 1 光场的反聚束效应理论和实验证实了经典光场的光子间呈现聚束效应，而光子的反聚束效应口8 1 展示了光场的一种特殊的量子特性，即光子在时域中倾向于均匀分离的趋势。光子的聚束与反聚束效应i 硐可由二阶相关函数g “) 来表征，光场的二阶相关函数定义为俨协= 等s ，当g 2 ( ，) 1 时，如热光场输入，光场呈现聚束效应，此时属于经典光场，光子闻为正关联，光子彼此趋于相互吸引：当g ( 2 ( f ) = 1 时，如相干态输入，光场既无聚束效应也无反聚束效应，光子数在时间上分布完全随机，属于经典光场和非经典光场之间的临界状态；当g ( 2 1 时，光场呈现反聚束效应和亚泊松光子统计，这是光场的纯量子效应，此时光子间为反关联，光子彼此趋于相互排斥。1 3 2 光场的压缩效应曲阜师范大学硕士学位论文相干态是光场的振幅涨落有最小不确定值的态，它的两个正交分量x 和正都取最小的不确定值1 4 ，这个值通常称为光场的真空涨落。而非经典光场态压缩态光场的某一场分量的起伏比真空涨落还要小。压缩态【3 9 】以其独特的性质在超标准量子极限的高标准光学测量、超低噪声的光通讯以及新兴的量子信息等领域都有着重要的应用前景。光场的场振幅起伏决定了是否存在光场的压缩效应【4 0 】，表征这种光场非经典性质通常用下面参数1 4 ”s = ( ：( 口+ 口+ ) 2 ：) 一( 口+ 口+ ) ( 1 9 )这里口+ 和日分别为光场的产生与湮灭算符，实际上，参数s 是光场态相对于真空态的场振幅起伏，对应于压缩态有s o 时，为超泊松分布：当q o 时，为亚泊松分布。众所周知，光的量予理论的诞生要归功于上世纪初期普朗克的量子理论和爱因斯坦的光的量子理论，激光诞生以后对光的本质有了更深的了解。曲阜师范大学硕士学位论文1 4 信息熵和纠缠的度量熵的概念起源于热力学。一个热力学系统在某个宏观状态下的熵，就和这个宏观态包含的微观状态数目有关，包含微观状态数目多的宏观状态有更大的熵。熵描述了一个宏观态内部的混乱程度，是完全确定系统状态尚缺少的信息的量度。熵的理论在量子光学领域的运用显示了其独特的作用，无论是对于相互作用过程中的场熵还是原子的信息熵都是人们研究的热点。因此，作为量度量子光学中信息关联和涨落的物理量，熵显示了很大的优势。量子光学与信息熵的概念相结合对于更深入理解原子和光场相互作用的内在机制也有着非常重要的意义。近年来熵的理论已广泛应用在量子光学和量子信息中，主要用它来研究光场与物质相互作用时信息的关联与演化。4 7 】。根据文献 4 8 】的定义，系统的v o nn e u i i l 锄熵为s ( p ) = 一矿声l o g p( 1 1 1 )其中p = p ，( q 卜j系统的信息熵和系统中子系统间的纠缠有着密切的关系1 4 7 】。值得注意的是相互作用的原子或光场的信息熵可以判断并定量描述体系中二体纠缠态的产生和纠缠的强度。二体系统的纠缠度定义为e ( 们及动= s ”) = s p 怛)( 1 1 2 )人们相继对单光子、双光子、多光子及原子的信息熵做了很多的计算。最近，用w e h d 熵检测薛定鄂猫态的产生及量子态偏离相干态程度等问题已被研究。文献【4 9 】引入了纠缠浓缩和稀释的概念，夏云杰等对奇偶相干态的w b m 熵和s h a n n o n 熵 5 0 】、光场量子态的信息熵和保真度 5 1 】等问题做了详尽的讨论，开创性地提出熵与场噪声之间有直接的关系，指出某一量的起伏越大，熵也越大。量子纠缠现象是量子力学特有的现象，是量子力学不同于经典物理最奇特、最不可思议的特征。在量子信息学中纠缠态扮演着极为重要的角色。同时也为信息传输和信息处理提供了新的物理资源，在量子密钥分配、量子隐形传态等领域起着重要的作用。可以说没有量子纠缠现象，就不会有现在所6曲阜师范大学硕士学位论文说的量子信息。近年来，利用纠缠态进行量子隐形传态引起了人们的兴趣。通过对处于纠缠态的两个粒子之一的条件测量，不仅可获得另一个粒子所携带的信息，而且在经典通信的帮助下能使对另一粒子进行远距操纵提供了可能性。这个重要特性对实现信息传输和量子计算机来说是非常有用的。我们也将研究原子和光场作用过程中场和原子的性质，希望从中能够获取量子纠缠的一些信息，并且希望能够对实际应用有一定的参考价值。1 5 部分转置矩阵负本征值量子纠缠是量子力学最显著的特征之一，是量子信息领域一个非常重要的问题，它在量子信息处理中的量子隐形传态、量子编码及量子纠错、量子密钥分配和量子计算中具有重要应用。量子纠缠态度量也是人们研究的课题之一，最近几年提出了一些描述纠缠态纠缠的物理量，部分转置矩阵负本征值就是其中的一种等。考虑一个二体系统，它的密度矩阵为p 。对p 做部分转置可以求出它的部分转置矩阵盯，然后利用文献【5 2 】中求负本征值的方法计算出两原子纠缠量e 的表达式。那么，纠缠可以用部分转置矩阵的负本征值来定义，它的定义式为e = 一2 i( 1 1 3 )其中所是部分转置矩阵盯的负本征值。当e = o ，两个子系统是分离的；当e = l ，两个子系统处于最大纠缠；当0 e 1 ，两子系统是纠缠的。1 6 本文的主要工作本文详细研究了两个初始时纠缠的原子( 原子1 、2 1 之( 原子2 ) 和另一分离原予( 原子3 ) 在单模腔中与粒子数场发生相互作用。在第二章，我们研究了这一系统中原子纠缠的演化特性。利用部分转置矩阵负本征值的方法，得出了纠缠度与初始时原子的状态、粒子数光场中光予数目、原子与腔场偶极相互作用的耦合常数、原子间偶极偶极相互作用强度等的大小有很强的关系。第三章，我们研究了这一系统中光场的反聚柬效应。通过理论分析得出了二阶相干度g ( 2 ( r ) 与初始时原子的状态、粒子数光场中光子数目、原子与腔场偶极相互作用的耦合常数、原子间偶极偶极相互作用强度等的大小有很强的关系。这些研究表明：对于这一三原予与粒子数光场组成的系统的曲阜师范大学硕士学位论文研究，在理论上和实际应用上都有非常重要的意义。随着一些新的理论研究成果的不断得出，人们有兴趣从更深的层次来了解和揭示一些现象的物理本质。曲阜师范火学硕士学位论文第二章粒子数光场中原子纠缠的演化特性吲2 1 引言量子纠缠是量子力学最显著的特征之一，是量子信息领域一个非常重要的问题，它在量子信息处理【5 4 - 5 8 1 中的量子隐形传态、最子编码及量子纠错、量子密钥分配和量子计算中具有重要应用。量子纠缠态度量也是人们研究的课题之一，最近几年提出了一些描述纠缠态纠缠的物理量，如v o nn e m a l l i i熵、纠缠相对熵【”、密度算符之间的距离唧】、共生纠缠度1 6 l 】、部分转置矩阵负本征值等。近年来人们利用量子腔电动力学方法 6 2 ，6 3 】提出了多种两粒子和多粒子纠缠的制备方案彳r 多人研究了各种模型中原子间纠缠的特性州| 6 ”。另外，m s m 等人用部分转置矩阵负本征值的方法，研究了两全同原子t a v i 争c u m m m g s ( t - c ) 模型中的纠缠i 删。基于这些研究，本文中我们用部分转置矩阵负本征值的方法，研究丁三个原子与粒子数光场组成的系统中原子间纠缠的演化特性。考虑三个两能级原子，原子1 、2 初始时处于纠缠态，原子3 初始时与它们分离。把原子2和原子3 同时放入一粒子数光场并与之发生相互作用，原子2 、3 之间还存在作用强度为q 的偶极偶极相互作用。于是，我们研究了这一系统中原子1 、2 之间及原子2 、3 之间的纠缠演化。利用数值计算得出：经过一段时间演化后原子1 、2 的纠缠量，随原子2 、3 与场之间的耦合常数目与原子偶极偶极相互作用强度q 的比值、原子l 、2 间初始纠缠量晶、原子3 初始处于激发态的几率的增大而增大，随粒子数光场中光子数目的增大纠缠量的最大值有些增加，但振荡越来越明显；相互作用后原子2 、3 的纠缠量随g 与q 的比值、初始纠缠量e 、原子3 初始状态中激发态的系数口变化的趋势与原子1 、2 相反，但随光子数目变化的趋势与原子1 、2 相似。总起来说也就是，当光子数为o 时，原子1 、2 之间以及原子2 、3 之间能得到最好的纠缠态。2 1 2 模型及理论推导考虑三个两能级原子。原子1 、2 初始时处于纠缠态，原子3 初始时与考虑三个两能级原子。原子1 、2 初始时处于纠缠态，原子3 初始时与曲阜师范大学硕士学位论文它们分离。把原子2 和原子3 一起放入粒子数光场并与光场发生共振相互作用。假设光场为单模，原子间距离小于腔场波长，使得原子间的偶极一偶极相互作用不可忽略，在相互作用绘景中系统的哈密顿量可写为= 1 )h = g ( d + s i + 赫s ? ) + q ( s j + s i s j ) ，( f ，= 2 ，3 ) ( 2 1 )其中口和口+ 为光子的湮灭和产生箅符：s ? 、s i 、s j 、s i 是原子的赝自旋算符；g 是原子与腔场偶极相互作用的耦合常数；q 为原子间偶极偶极相互作用强度。设原子的上下能级分别为l p ) 和l g ) ，原子1 、2 相互纠缠下的量子态可以表示为l 妒) ：= 口i 曙) 。：+ 爿铲) ，：( 2 2 )利用求v o n n e m 砌熵的方法，我们可以求得初始时刻原子l 、2 的纠缠度可以用下式表示晶= 一0 a 1 2l o g ：i 口1 2 + i 1 2l o g ：l i2 ) ( 2 3 )棘予3 的量子态为| 妒) ，= 叫8 ) ，+ 6 i g ) ，三原子与粒子数光场相互作用下初始时刻的量子态为i y ) 。= ( 口i e g ) 。：+ i g 。) ，：) o ( 口i e ) ，+ 6 l g ) ，) o l 九)= 蚴i p g p 一) + 肋l 驴删) + 础j 曙印) + 肋i 驴鳓设原子与粒子数光场相互作用f 后系统的量子态为 】 c ，) ，= c 。i e g p 砖+ c 2 i 口e g 磅+ c ，l e g g 雄一1 ) + c 4 1 e e e ”一1 )+ 如l p 胛) + c 6 g 嚣h + 1 ) + c 7 i 聊+ 1 ) + c 8 i g g + 2 )+ c 9 i 鲫) + c l o f 已p g 行一1 ) + q l l e g p 疗一1 ) + q 2j p p e h 2 )+ c 1 3 9 8 9 ”) + c 1 4 i g 蓦：g 押+ 1 ) + c 1 5 i 嚣口玎) + c 1 6 f 罟蹿已h 1 ) 运用薛定谔方稷( 2 4 )( 2 5 )( 2 6 )曲阜师范大学硕士学位论文访掣：( 设)( 2 7 )把表达式( 2 1 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) 代入方程( 2 7 ) ，通过比较两边相应项的系数我们可以得到表达式( 2 6 ) 中所设的系数c ，( f _ l 1 6 ) 为，! ! ! ：压亘至星! 生五巫亚铲丽可葫汹2 ( 1 押7坚! ! 压巫巫五巫夏匦夏! ! 曼! ! 压至巫互+ 2 82 ) g2 ( 1 + 2 押) + q ( ( 1 + p+ 2 p2 。) q五避一+ ( 一1 + e) 8 92 ( 1 + 2 ) + q 2 ) 】) ，! ! ! ：正至三玉立堑蕴叵巫夏c 22 硒页而而细2 邵( 1 ! ! = ! 璺! ! ! ：! 生! ! ! ! 璺! ! 型! ! ：垡：! 1 2 1 璺：! ! 二! 璺! ! ：g ! ! 1 2 ：璺：!一2 p2 ) g2 ( 1 + 2 行) + q ( ( 1 + p一2 p2 。) o巫五巫一+ ( 一l + e。) 8 92 ( 1 + 2 ) + q2 ) 】 1 n 一属而苏再雨r ( n + 压币丽)。一d p甜一p2 。】g l + 以口岛= 2 ；= = = = = = = = = = = = = = = = = 一。8 9 2 ( 1 + 2 h ) + q 2一( o 一 再鬲莉- ( n + 再再雨百万)一日 p2 一e2 】g 盯q 一 矛丽荔鬲f 一堡压垒! 坐! ：!坐压互至亘!q = 哆卢【9 2 ( 3 + 2 ”) 一q 2 】 8 9 2 ( 3 + 2 ”x p2 。( 1 + n ) + p2 ( 1 + ”)，n - 再而而，n + 再再五i 石石)+ 2 ( 2 + ，+ q ( ( e“( 1 + h ) + p“( 1 + ) + 2 ( 2 + n ) ) q! ! 生i 堑：! ! ! ! 坐壁! ! ! ! i ! l ! ：! 坐垡!一+ 0”一e2 l + h ) 8 9 2 ( 1 + 2 n ) + q 2 ) ) “2 ( 3 + 2 ”x 8 9 4 ( 3 + 2 帕27 9 2 ( 3 + 2 月m 2 一q 4 ) ) r ( o 一属币五雨再r ( n + 厄币：i 再孑)一日p“一e2 】g 1 + 孢卢吒一可雨荔藏f 一曲阜师范大学硕士学位论文c ，= 一，( n 一佤夏而面而，( n + 瓶再菇i 湎i )a p 百一一日i 一 g 而匾飞五i 丽一一! 塑= ! 尘! ! 坐! ：211 1 1 ! ! ：! ! ! ! ! ! ：! ：!c 8 = d l + 门2 十聊卢 8 ( 一2 + p2 +p2 ) g2 ( 3 + 2 n )，t n 一8 9 2 ( 3 + 2 】+ n 1 )f ( n + 8 9 2 3 + 2 ) + n )r ( n 一8 92 ( 3 + 2 n ) + n2 )+ q ( ( 一2 十e2 + e2 ) q + ( e2 。塑! 垣夏王亟堑2 一一82 。) 8 92 ( 3 + 2 门) + o2 ) 】) ，( 2 ( 3 + 2 竹) ( 8 92 ( 3 + 2 玎) + q2 ) ) 一! ! 璺：堑! ! ：! ! ! ! ! ! 璺：! ! 璺! 堑：( 二! ! ! ! ! 翌!c 9 = 6 a 【8 92 ( 一l + 2 以) ( 一2 + ( 2 + p2 。十e2 ) 胛)，( n 一8 92 t l + 2 月) + n 2 )r m + 8 92 ( 一l + 2 月) + n 2 )，( n 一8 92c l + 2 ) + n 2 )十q ( ( 一2 + ( 2 十82 + e2 ，) h ) q + ( e2 ，塑! 亟噩噩巫至!一一e2 。) 玎8 92 ( 一1 + 2 玎) + q2 ) “2 ( 一l + 2 h ) ( 8 92 ( 一1 + 2 竹) + q2 ) ) f ( o 一8 窖1 ( 一l + 2 ) + 0 2 )r ( n + 8 9 2 ( 一1 + 2 ) + n 2 )。一m 8”一e2 】g 即口q 。一藏雨荔再f 一塑堑五耍面面五坐压雯互夏至2一一6 p“一e2 】g 以8q | 一丽霉雨示矛一一一! ! 坐! ：! 二丝! ! ! 堡! ! 璺! 型i ：坦! ! ! 璺! !q 2 = 6 一l + 门胛口【8 ( 一2 + 已2 + e2 。) 9 2 ( 一1 + 2 竹)! l ! ：压耍耍互五! l ! ：匝亘亟亚!壁巫豆王互亟+ q ( ( 2 + p2 + 82 ) q + ( 口2 垫巫至面! 一一82 ) 8 9 2 ( 一1 + 2 ，1 ) + q 2 ) 】) “2 ( 一1 + 2 n ) ( 8 9 2 ( 一1 + 2 ”) + q 2 ) ) 11 l 璺= i ! ：尘：! ! ! ! 璺：! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 竺：。n2j i i i i i i i j j 摘6 82 。卢 8 ( 1 + 8 。坚! ! 压互巫互血五夏互坚! ! 压至巫互五+ 2 已2 ) g 。( 1 + 2 ) + q ( ( 1 + e+ 2 e”) n尘嚣巫一+ ( 一l + e) 8 92 ( 1 + 2 n ) + n2 ) 】) 1 2曲阜师范大学硕士学位论文! ! ! 二! ! ! ! 二生! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ：生! ! ! ：! ：! 6 p“一e2 g 1 + 卢8 9 2 ( 1 + 2 ) + q 2，坠压互五三五巫五互匣。s2j i i ；i i i j 晶6 82 8 ( 1 + 8 r ( 一3 n + i ；i i i ：j ：i ：j ；i j，；7 i i j 。：i 万，( 一3 n + i ；j i i ：j ：丽一2 p2 ) g2 ( 1 + 2 玎) + q ( ( 1 + p。一2 p2 ) n坐! ：! ! ! 塑堡垡，。+ ( 一1 + e。) 8 9 2 ( 1 + 2 吣+ q 2 ) ) rc n 一lg2 l 十2 月) + d2 )，( n + o j l ( 1 + 2 ”j + n2 。一州p“一p2 】g n 卢q 6 一1 露丽霸万元一系统的密度算符为p = l y ) ，( y | ( 2 8 )原子l 、2 的约化密度矩阵为p 。：= 玩，( 声) ( 2 9 )原子2 、3 的约化密度矩阵为p ：，= 啊，( 声) ( 2 1 0 )对( 2 9 ) ( ( 2 1 0 ) ) 式中2 ( 3 ) 原子做转置可以求出部分转置矩阵p 二( p 品) ，然后利用文献【5 2 】中求负本征值的方法计算出两原子纠缠量晶：( e ：，) 的表达式。在文献 5 2 】中纠缠可以用部分转置矩阵的负本征值来定义，它的定义式为e = 一2 ( 2 1 1 )j其中所是部分转置矩阵p 的负本征值。当e = o ，两个子系统是分离的；当e = 1 ，两个子系统处于最大纠缠；当o e 1 ，两子系统是纠缠的。下面我们就来具体研究一下两原子纠缠度与个参量的关系。2 3 计算结果与分析2 - 3 1 原子1 、2 纠缠量的研究曲阜师范大学硕士学位论文由方程( 2 6 ) 、( 2 8 ) 、( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 及系数c 。c ，。的表达式，经计算我们可以得到原子1 、2 纠缠量e 与各参数的关系。用图形的形式表示如图2 1 、2 - 2 、2 3 。由图我们可以看出，原子1 、2 经过与腔场及原子3 的作用后，它们的纠缠量随时问呈周期性变化。图2 1 表示纠缠量e 与g q 的关系。由图可以看出无论”= o 、l o 还是1 0 0 ，原子后来的纠缠量都随g q 的增大而振动幅度略有增大。除了疗= o 且譬q = 1 的情况外，其它时候振幅包络值在时间上还呈明显的下降趋势。由图2 2 可以看出当粒子数n 确定时，随初始纠缠量的增大原予演化后的纠缠量的振动幅度也会增大，但随时间变化的周期不变。对单个曲线来说，当n 0 时，曲线的包络值在时间上还呈明显的下降趋势。图2 t 3 表示原子纠缠量与初始态中激发态的系数口的关系。由图我们可以看出，它的规律和图2 2 中的规律相似。振幅也是随口的增大而增大，但随时间变化的周期不变。当珂0 时，曲线的包络值在时间上也呈明显的下降趋势。总的来说，原子1 、2 的纠缠比较明显，随着n 的增大，振荡越来越强、纠缠为零的点越来越多。( a ) 行= o( b ) 珂= 1 0( c ) n = 1 0 0图2 1 不同g q 情况下原子1 、2 间纠缠随时间的演化( 毛= l ，口= 、厂_ 2 ) 。图中a 、b 、c 分别表示g q = o 1 时e 一1 、g q = l 时e 、g q = 1 0 时e + l 的值4曲阜师范太学硕士学位论文( a ) n 2 0( b ) n _ l o( c ) n 2 1 0 0图2 2 不同e 。情况下原予1 、2 间纠缠随时间的演化( g n = l ，n = j 伽) 。图中a 、b 、c 分别表示e o = o 3 时e l 瓦= 1 时e 、e o = 0 5 时占+ 1 的值( b ) 打1 1 0( c ) 押1 0o图2 3 原子3 不同初始状态情况下原子l 、2 间纠缠随时间的演化( g q ：1 ，e 。：1 ) 。图中曲线a 、b 、c 分别表示原子3 初始态矢量中系数口= 0 时e 一1 、口= 2 2 时e 、口= o 3 时e + 1 的值2 3 2 原子2 、3 纠缠量的研究由方程( 2 6 ) 、( 2 8 ) 、( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 及系数c 1 q 6 的表达式，经计算我们可以得到