（概率论与数理统计专业论文）非参数函数估计和有限总体抽样中的若干问题.pdf

ab s t r a c t .、 i i i t h i s p a p e r , w e s t u d y s o u s e p r o b l e m s o n n o n p a r a ,m e t r i c f u n c t i o n a l e s t i m a t i o n a n d s a m p l i n g f r o m a fi n i t e s e t o f i n d e p e n d e n t p o p u l a t i o n . l e t x, , ， x b e i i d . o b s e r v a t i o n s o f a r a n d o m v a r i b a l e x w i t h p r o b a b i l i t y d e n s it y f u n c t io n f ( x ) o n t h e q - d i m e n s i o n a l u n i t s p h e r e p q i n 卿+ ， q 1 . l e t 人 ( x ) = 二 一 c ( h ) e i_ i k ( 1 一 x x ; ) / h 2 b e a k e r n e l e s t im a t o r o f f (x ) . i n t h is p a p e r w e e s t a b lis h a c e n t r a l l i m i t t h e o r e m f o r i n t e g r a t e d s q u a r e e r r o r o f 几 u n d e r s o m e m i l d c o n d i t i o n s . we d e r i v e t h e l i mi t d i s t r i b u t i o n f o r i n t e g r a t e d s q u a r e e r r o r o f n o u p a r a m e t r i c d e n - s i t y e s t i m a t o r s b ase d o n o t h o g o n a l s e r i e s . we e s t a b l i s h e x p o n e n t i a l b o u n d s o f t h e m e a n e r r o r d e v i a t i o n o f k e r n e l t y p e e s t i - m a t o r s o f t h e s t a t i o n a r y d e n s i t y a n d o f t h e t r a n s i t i o n d e n s i t y o f a ma r k o v c h a i n t a k e v a l u e s o n 砂， w h e r w e d o n t a s s u m e t h a t t h e p r o c e s s i s s t a t i o n a r y o r r e c u r r e n t i n s o m e s ens e. we c o n s i d e r h a z a r d f u n c t i o n m o d e l s w i t h a c h a n g e - p o i n t a l l o w i n g f o r r a n d o m c e n s o r i n g w h e n t h e b as e - l i n e h a z a r d f u n c t i o n u o n p a r a m e t r i c e s t i m a t o r o f t h e c h a n g e - p o i n t i s u n k n o w n w i t h s o m e p a r a me t e r s . a n i s p r o p o s e d i n p r o c e s s . t h e e s t i m a t o r s o f c h a n g e - p o i n t a n d o t h e r p a r a m e t e r s t e n t . t h e c o n t e x t o f c o u n t i n g a r e s h o wn t o b e c o n s i s - l e t xl , ， xn b e a s e t o f n i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s a n d l e t 凡 b e t h e s u m o f i t o f t h e m c h o s e n a t r a n d o m . i n t h i s p a p e r w e g i v e a n e s t i m a t e o f t h e r e m a i n d e r t e r m f o r t h e n o r m a l a p p r o x i m a t i o n o f 凡 u n d e r s o m e m i l d c o n d i t i o n s o n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e xk s . k e y w o r d s a n d p h r a s e s : k e r n e l e s t i m a t i o n , o r t h o l o g o n a l s e r i e s e s t i m a t i o n , i s e e x p o n e n t i a l b o u n d , c h a n g e p o i n t , b e r r y - e s s e e n b o u n d w 致 谢 在本文撰写完毕之际，我想对所有给予我帮助、关心 的人表示感谢. 首先我要感谢我的导师赵林城教授。赵老师在学业上 给我悉心的传授，在研究上给我以精辟的指导，为我的学 业和论文倾注了大量的心血.本文的选题到结论的证明细 节，都倾注了 赵老师大量的心血，尤其是在我每次提交论 文草稿的时候，他总是耐心地替我挑毛病，力求做到万无 一失， 使论文日 臻完善.在此表示表心的感谢. 感谢吴耀华教授对我的悉心指导及他在学习上对我的 帮助 ! 在学习和作论文期间，我始终得到韦来生教授、缪柏 其教授、张曙光副教授和胡太忠教授的热情认真，毫无保 留的指导.由于张曙光副教授和香港城市大学经济与金融 系郑伟仁教授的指导和帮助， 我初次了 解了 统计在金融中 的应用.在此一并致以诚挚的谢意. 统计金融系的藏红老师、王德珍老师和商学院的黄开 平老师和王小明博士、张洪博士、潭志平博士、唐启鹤博 士、蒋涛博士等学友也对我的学业给予许多关心、支持和 帮助。在此一并表示感谢. 在此特别感谢宋昌耐老师、 孙凤英老师自本科以来给 子我无微不至的关怀和照顾. 感谢所有关心、支持我的同学和朋友 ! 第一章前言与综述 在这一章中， 我们将简单介绍学位论文的主要内容和我们获得的主要结果. 1 . 1 非参数函数估计 统计中有三个基本问题:( 1) 设计科学有效的统计方法来收集数据;( 2) 基于收集到的数据应用统计方法来做统计推断; ( 3) 基于这些经验， 为以后的使 用， 进一步改善这些统计模型. 经典的统计方法是参数化方法， 亦即假设观测到 的祥本来自 一个已知的参数分布族， 在这种模型下， 要做的工作是基于这些样本 估计未知参数， 导出未知参数的假设检验以及置信区间等等. 但是当观测到的祥 本不属于事先假设的特殊的参数族时， 后面的统计分析可能导致严重的错误; 还 有， 这些观测到的数据有可能是不能用一个参数类来拟合的. 由于参数模型的这 种不稳健性， 我们可能会考虑选择非参数模型 这时候其中一个基本而且重要的 问题是基于观测到的样本来估计分布的分布函数和可能存在的分布密度函数. 在 非参数密度函数估计领域， 最开始的工作是由 是r o s e n b l a t t ( 1 9 5 6 ) 和p a z e n ( 1 9 6 2 ) 作出的， 他们提出并研究了 一类重要的密度估计一 核估计.自 那以后， 在非参 数密度估计领域及其它相关领域， 统计学家们发展了 不少非参数方法， 这些方法 也越来越多地被应用于社会科学，物理学和生物科学等众多领域. 在非参数函数估计方面， 我们作了下面一些研究: 1 . 1 . 1 方向数据密度函数核估计积分平方误差的中心极限定理 方向( 或球面) 数据在在生物学、 地球物理学、 医药学、 气象学、 生态学等很 多领域中大量出现. 方向数据的分析引发了许多新的统计问题， 基于一般欧氏空 间数据的统计分析方法常常不适用于这类问题. 处理这类数据的统计方法在最近 二十年内得到了 快速的发展，各种参数模型和非参数方法得到了广泛的研究. 设x , ， 二 ， , x 。 是在r q 十 的9 一 维单位球面q 、 取值的随机变量x的i id . 观 测值( q 1 ) ， 其球面概率密度函数为f ( x ) . 估计概率密度函数的参数方法可以 参见b a t s c h e lc t ( 1 9 7 1 , 1 9 8 1 ) ，m a r d i a ( 1 9 7 2 ) ，w a t s o u ( 1 9 8 3 ) 以及f i s h e r ( 1 9 9 3 ) 等专 著， 以及3 . s , r a o ( 1 9 8 4 ) 和p u k k i la a n d r a o ( 1 9 8 6 ) 等综述文章.w a t s o u ( 1 9 7 0 , 1 9 8 3 ) 提到了 估计球面数据的一些非参数方法，h a l l, w a t s o n a 岁 k ,( , x ) y e a - 荡 2 0 0 1 年4月 刃一章 前言与综述 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 第 4页 虽 1 . 1) 卜 参数函数估计 t n ( y lx ) 二9 n ( x , y ) f . ( x ) 其中 9 n ( x , y ) =n h 2 d 留 。二 一 x i , -， ， 一 凡 十 1 , ，n , 1 i n 夕1 ) , a 九一t z 而k ) ,价 为概率密度函数，h =h 。 为光滑参数，当。 - o c 时，编趋向于零. r o u s s a s ( 1 9 6 8 , 1 9 6 9 ) 在严平稳m a r k o v 链满足d o e b l i n 假设的条件下， 证明了 平稳密度和转移密度函数的核估计的平均渐进无偏性和一致渐进无偏性.r o s e n - b la t t ( 1 9 7 0 ) 在平 稳m a r k o v 链 满 足 几 何遍 历 性时 ， 首 次 得 到了 估计f n 的 逐点 渐 近 正态性r o u s s a s ( 1 9 9 1 a ) 在m a r k o v 链满足严平稳、p - 混合和其它附加条件的情 况下，证明了平稳密度函数核估计的逐点的强相合性. p r a k a s a r a o ( 1 9 8 3 ) 提出 了f 的递归核估计，r o u s s as ( 1 9 9 1 b ) 在平稳m a r k o v 链满足p - 混合条件下考虑了 递归估计的性质，a t h r e y a 和a t u n c a r ( 1 9 9 8 ) 在平稳m a r k o v 链是h a r r is 常返的条 件下证明了f r 和t ， 的逐点的强相合性和渐近正态性. 正如d e v r o y e ( 1 9 8 3 ) , d e v r o y e 和w a g n e r ( 1 9 7 9 , 1 9 8 0 ) , d e v r o y e 和k r z y z a k ( 1 9 8 9 ) 以 及z l l a o ( 1 9 8 7 , 1 9 8 9 ) 的文章中 所指出的，函数估计的平均偏差是衡量估计优良睦 的一个常用的重要的准则. 设f n 和t 。 的平均偏差分别为d ( f n ) 和d ( t n ) ( 具体定 义见第四章第一节) ， 我们 在第四章中 建立了d ( f n ) 和d ( t n ) 的指数界. 定理设h n - 0 且7 t h 泛 、，则对任意给定的 : 0 ， 有 p ( d ( f rz ) : ) 二o ( e - c n )( 1 . 3 ) 这里 。 0 为一独立于 洒勺 常 数. 如果进一步 假设t 认 翠、二， 则有 p ( d ( t) ) 二o ( e - ( 1 . 4 ) 我们证明的关键是假设 对任意给定的满足条件月9 ( ) ( d ) 。 且q + 0 0 ， 而t 是个转变点位置参数， 即失效函数在t 处可能有一个转变. 这个模型在首先由m il l e r ( 1 9 6 0 ) 提出后， 得 到了大量的研究，w o r s l e y ( 1 9 8 8 ) 首次 考虑了有随机删失情形下的统计推断. 有 关 模 型( 2 . 1 ) 研 究 可以 参见 综 述 性文 章m i lle r 7 )( 2 . 2 ) 这里入 。 ( . ; 们为一个依赖于未知参数向 量7 的关于x 连续的基准失效率函数.我 们考虑了在这个模型下有随机删失的情形下的变点参数的估计. 设x , , x 2 , x 。 为x的i .i .d的一 组样本， 设c l , 汤， ， 久 为另一个 与 x独立的取值非负的随机变量的一组独立复制.在实际中，我们仅仅能观测到 一列二元向量 ( t , d , ) , = i ， 其中t = n l i ll ( x j , c j ) ， 而d : 为删失示性函 数， 即 d , =i ( x i 0 时， 我们注意到函数 a ( 叮 ) 一a ( t ) a o ( c ) 一a o ( t )黯 a a(t) (a o( ， 一 a o(t)p , 。 ，(2.3 ) rlse.l -一 、， 通f卜 尹.、 y 在。 p ) 1 时 在区 间0 , t 上单调增而 在区间 t , 上单调减， 这里心 为 一 大于 转 变 点 位 置 参 数: 的 常 数 ， 而a o ( t ) = 姑 a o ( s ) d s . 自 然 地 我 们 可 以 如 下 定 义二 的 一个估计 ( z . 4 ) 、lr.少 u yn 、 一 in e 。 1一 二 】 : 、 “ 士 ) 二s l i p * , u * , 2 0 0 1 年 4 月 第一章 前言与综述 中国科学技术 大学博 士学位论 文第7页 互 1 . 3从 有 限 个 独 立 总 体中 抽 样 时 部 分 和 的b e r r y - e s s e e n 界 限 这里 a 、 一 a ” ( t ) a ， ( t l r ;八 ， ; 、 ;、 、 1 p u 名“ ， 一 1端塌(t) 一 瑞 ia 。 “ ， ( a o (cilo (t)， 一 “ 0 (t) 1! ， 。 ，(2 .5 ) 而a ; ( t ) 为 基于 观测 值 (界 ， d t ) 几 ， 的a ( t ) 的n e ls o n - a a le n 型 估 计，直 o ( t ) 为由 估计勿而相应得到的a o ( t ) 的一个估计. 我们基于记数过程中的n e l s o n - a a l e n 型估计的函数y 川的考察而提出了转 变点位置参数的这个估计， 在给定丁 的估计后， 我们可以利用极大似然方法估计 a 和b . 我们利用记数过程补偿鞍和鞍的一些不等式证明了这样提出的转变点位 置参数r 的估计以及相应的其它转变点参数估计是相合的. 而且由 模拟可以看出 我们提出的估计在小样本或中等样本时效果相当的理想， 因而也是切实可行的. 1 . 3 从有限个独立总体中抽样时部分和的b e r r y - e s s e e n界限 设 x l , . . . , x 耐为一列独立的随 机变量， r二( r 1 , , r 司是独立于 x 1 ， 一， x 耐 的随 机向 量， 且对于 1 , , n 的 任一 数列r 二( r 1 ， 二 ， r /y ) 有p ( r = r ) =1 / n ! , 设 i l j n p ( 1 一 ; ) 2 0 0 1 年4月 第一章 前言与综述 中国科学技术大学 博士学 位论 文娜8直 互 1 .3从 有 限 个 独 立 总 体 中 抽 样 时 那 分 和 的b e r r y - e s s e e n 界 限 这里c为以绝对常数 而b ic k e l 和v o n z w e t ( 1 9 7 8 ) , r o b in s o n ( 1 9 7 8 ) 及m i r a k h m e - d o v ( 1 9 8 3 ) 分别得到了s n 分布的一些渐近展开. 我们估计了s 。 正态逼近的余项， 在关于x k s 的一个较弱的条件下， 得到了 它的一个良 好的b e r r y - e s s e e i， 界限. 定理 存在一个绝对常数c使得1 n 凡 ip ( s . / 了 n b 二 ) 一 (d ( x ) l c m in ( ， + 1 / v n p q , a 2 ) , ( 3 . 2 ) 这里我们约定 1 / 0 = 0 0 . 这里 n n a l二n - 1 艺111 k 13 / n b + n - 1 艺e jx 、 一 。 1 k 13 / l fb 3 2 ) , k =1 k -1 0 2二 y / ( 而b 3 / 2 ) , ( 3 .3 ) 而: 二 n 一 y : nn - 1k = 1 、 容易 看出我们的 结果包含了以 前作者在这方面的 结果. 在7 有界 而n la x l o , k是在r 十 二阳 , oc ) 上定义的一个非负函数， 0 关 k (7.)7.gl一 d r c(h )“一 一 4 1 k “ 一 y )lh 2- q(dy ) ( 1 . 3 ) h a l l e t a l . ( 1 9 8 7 ) 给出了几( x ) 的偏差， 方差和损失的渐近公式b a i e t a l . ( 1 9 8 8 ) 在某些条件下建立了f n 的逐点和一致强相合性， 以及它的l i 一 模强相合性.h a l l ( 1 9 8 4 ) 则对基于t “ 中的数据的密度的核估计， 建立了 它的积分平方误差的中心 极限定理. 2 0 0 1 年4 月中国科学 技 术大 学博 士学位论文 第二章 球面密度核枯计积分平方误差的中心板限定理 第 1 0页 2 . 1引言和主要结果 “ 一 五 。fn(xf ,， 一 “ x )2w q(dx ) ( 1 . 4 ) e (i ， 一 f 、 e (fn (x!2q ， 一 “ ，* “ ， ( 1 . 5 ) 分别称之为f n 的积分平方误差( i s e ) 和积分均方误差( m i s s ) . 正如h a l l ( 1 9 8 4 ) 指 出的，i s e 常被用作衡量有关估计性能优劣的尺度， 它 也常被用来构作自 适应估 计， 以达到在某种意义下极小化m i s e的目 标. 此外， 它还可用于给定总体密度 的拟定合优度检验， 参看k i m , h o n g , j e o n g a n d y a n g ( 1 9 9 7 ) . 在本文中，我们 对 于方向数据建立了f n 的i s e的中心极限定理.为此，我们引进下述假定: 假定 1 .假定k: 几 十 、r + 是一个有界的r i e m a n n 可积函数，具有有界的 支称集s k - 将了 由q ; 延 拓 到r 1 + 1 0 1 上， 使 得 对所 有x 54 0 ， 有!f ( x ) 三 f ( x / lx l) ， 此 处 1x i 表 示x 的e u c li d 模 假定 2 . 假定在 r q + 1 0 上 o f ( x ) =( o f ( x ) / a x l , . . . , a f ( x ) / a x q + l ) ， 和 h f ( x ) =( a 2 f ( x ) / a x , a x j ) 1 _ 1( 1 . 7 ) v, ( x ) 二一 z v f ( x ) + q - 1 0 2 f ( x ) 一 x ( h f ( x ) ) x ( 1 . 8 ) 。 一 k (r)rq/2d r / k (r)rq/2- 1 d r,0 0 ( 1 . 9 ) 2 0 0 1 年 4 月 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 第二章 球面密度核括计积分平方谈差的中心极限定理 幼 1 1页 2 . 2定理的证明 o 犷 = v a r ( ip ( x ) ) ( 1 . 1 0 ) ， 一 2 一 “ 五 : f 2(x )uj 1(dx ) 11 , o 一 “ “ 芜 一 /2k (p) 、 (一2 (二 )1/2) + k (一 。 2(二 )1/2)1 、 ， 当 q 一 1 一 -223q/2- 3 j a ，。 。“ ，f 一 /2- 1dr 关 00 pgl2- 1 k (p)dp 丈 (1 一 。2)(q-3)/2k (二 。 一 20(二 )12)d。l 21/2 )db 5 当q x .1 . 1 1 ) 我们有 定理.设假定1 - 3 成立 则当n - o o 时， d ( n ) i n 一 e i n 乌 2 6 o 1 z , 2 1 / 2 o 2 z , n h q + 4 nh q + 4 一 今 ix 一 今0 若若 1 4 6 2 6 4 / ( q + 4 ) d i + 2 a - 4 o 2 6 - q / ( q + 4 ) 1 1 / 2 z2 若n h q + 4 。6 , 0 b 、 此 处乌表 示 依 分 布 收 敛，z 、 n ( 0 , 1 ) ， 而 d ( n )=n 1 / 2 h - 2若n h q + a 、二 ， = n h q / 2若t l h q + 4 、0 , = t l ( q + 8 ) / ( 2 q + 8 )若t l h q + 4 - a , 0 b 0 时， 5 _ 2s 11 又e (z i i ( iz n i l e s n ) : : 一 s - 4n 艺e z n i 、 0 , t o / 2 1l - 2 j , 匀n ( 0 , 4 6 2 时 ) 当， *og( 2 . 1 3 ) ( i i ) 记1 . 2 =n - 2 c ( i l ) 2 冗 几 . w n i ， 其中 w n: 二 j k 一 x i)w (dx ) 引理4 .在假定1 和2 之下，当/ 1 - 0 时，e w n , 二o ( h 2 9 ) . 2 0 0 1 年4 月中国科学技术大学博士学位论文 第 二章 球面密度核估计积分平才误差的中心极限定搜 第 1 4页 2 . 2定理的证明 注意到( 1 .6 ) ， 由此可得 v a r ( i n 2 ) n - 4 c ( h ) 4 e 毗 = n - 3 c ( h ) 4 e 叼， = 0 ( n - 3 h - 2 0 ) , i n 2 一 e ( i n 2 ) 二 0 , ( n 一 1 / 2 h - 9 )当h 一。( 2 . 1 4 ) ( i i i )记 h . ( x , y ) g n ( x , y ) 一5? k ni一 ，k n 一 ，。 “ ， 二 e ih . ( x , x ) h . ( x , y ) ) 则i n 。 一 2 n - 2 c ( h ) 2 u n ， 此 处u , 一 e 1 i j . h n ( x i, x j ) 是 一 个 具 有 退 化 核h . ( x , y ) 的退化u 一 统计量.我们需要以下的 引理 5 . 于 。 ， 。对称， 设 z , z l , 几二 是一列随机变量 ( 或向量) ， 假定函数 h n ( u , 哟关 e ( h n ( t l ,z 2 ) j z l ) =0 g n ( 1 1 , v ) 二 e h . ( z , n ) h n ( z , v ) ) . 若当 a . s . ， 且对每个n , e h 4 ( z 1 , z 2 ) 00 .记 。斗co 日 寸 ， je 以( z 1 , z 2 ) + 。 一 川( z l ,z 2 ) 1 / ie h n ( z i , z 2 护。 ，( 2 . 1 5 ) 则叽- e 1 i j n h n ( z i , z j ) 渐 近 于 均 值 为0 ， 方 差 为2 n 2 e h 2 ( z 1 , z 2 ) 的 正 态 分 布. 参看h a l l ( 1 9 8 4 ) 的定理 1 令 h n ( x , y ) = 2 n - 2 c ( h ) 2 h , ( x , y ) , m n ( x i ) = e iz a 2 成( x i , x 2 ) ix 11 - 引理6 .在假定1 和2 之下，当h -4 0 时， e 斌( x , , x 2 ) 一h 3 q 叮 e h 之 ( x , , x 2 ) ) = 0 ( h ,l q ) e ( g 2 ( x , , x 2 ) 二 0 ( h q ) e im n ( x , ) 12 = 0 ( n - 6 h ) ( 2 . 1 6 ) ( 2 . 1 7 ) ( 2 . 1 8 ) ( 2 . 1 9 ) 此处0 ,22 如( 1 . 1 1 ) 式所示. 2 0 0 1 年 4 月 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 第二章 球面密度核话计积分平才误差的中 心极限定理 幼 1 5页 2 . 2定理的证明 在假定 1 一 3 之下，由引理5 和 ( 2 . 1 6 ) 一( 2 . 1 8 ) , u n 渐近于均值为0 ， 方差为 i i t 2 l 1 3 9 0 2 的正态 分布， 而由( 1 .6 ) 式， n h 9 / 2 i n 3 乌n ( 0 , 2 a - 4 砖 ) ， 当n*0 0 . ( 2 . 2 0 ) ( i v ) 由( 2 . 1 ) , ( 2 . 1 3 ) , ( 2 . 1 4 ) 和( 2 .2 0 ) , i n 一e i n = i1 +( i n 2 一e i n 2 ) + 1 . 3 =2 h o l 二 一 / 2 h 2 n n t + 0 p ( n - 3 / 2 h - 9 ) + 2 1 / 2 , - 2 0 2 、 一 h - 9 / 2 n , 2 , ( 2 .2 1 ) 此处随机变量n， 和n n 2 都渐近于正态n ( 0 , 1 ) . 因 为n h 9 -+ 0 0 , ( 2 .2 1 ) 中的 第二 项与最后一项相比 是渐近可忽略的.若n h 9 + 4 _+ 0 0 ， 则牌2 1 ) 中的最后一项与第 一项相比是渐近可忽略的. 而当二 h q + 4 一。 时， 第一项与最后一项相比是渐近可 忽略的.如果n h 9 + 4 - 4 6 , 。 6 0 0 ， 则 i n 一 e i= 。 一 (a + e ) / (2 v + 8 ) 2 6 6 2 / (e + 4 ) 0 1 n n l + 2 1 / 2 a - 2 0 2 6 - a / f2 (a + 4 )1 n n 2 . ( 2 .2 2 ) 为了处理这种情形，我们需要引理5 的以下推广 引理7 . 沿用引 理5 中 关于序列 z n 以 及函 数h . ,g , 的记号 设elh n ( z l , z 2 ) iz t 二 。 a . s . 且对每个。 ， e 川a, z 2 ) 00. 又设w . ( z ) 满足e w n ( z j ) = 0 和e 以( z i ) 、. 记mn ( z i ) =e fw n ( z 2 ) h n ( z i , z 2 ) iz i 1 , a n= n e w n ( z i ) + n 3 e h n ( z i , z 2 ) + . 3 e jm n ( z t ) i2 + n 4 e g 三 ( z i , 几) ，( 2 . 2 3 ) 。 ， 一 ，二 ， 2,( z ,) + 要 n 2 e h n (z i ， 二 ). 乙 ( 2 . 2 4 ) 若 a , / b ,2, 、0当 ? *0 o ,( 2 . 2 5 ) 则u 艺 仁 ， w n ( z .i ) + e i i2 . 由定义， e h (x , x 2) 一 e 五 五 x n (x ,x l)x n (x ,x 2)x n (y ,x i)k n(y ,x 2)w (dx )w (dy ) 一 尤 五 e k (x , x )k (y , x )12w (dx )w (dy ) 二 五 五 l 一 ， l ,l 2 + l 2ur(dx )w (d y ， 三 a , 一 ，a 2 + a 3, (3 .5 ) 此处 l l 二 l 2 = l i ( x , y ) l 2 ( x , y ) 五 k ( 一)/h 21x (， 一 y z)/h21f (z)w (dz), e k ( 1 一 x x ) / h 2 e k ( 1 一 y x) / h 2 . 2 0 0 1 年4月中国科学技 术大学博 士学位论文 第二章 球面密度核枯计积分平方误差的中心极限定理 第 i s页 2 . 3 引理的证明 首先考虑 a 工 . 对固定的x ， 记 y = x s + t ( 1 一 , 2 ) 1 / 2 , - ( d y ) 二 ( 1 一 ， 2 ) 9 / 2 - i d s w - 1 ( d ) , ( 3 . 6 ) 此处18 1 2 有 a, h 3q f f 2(x )w (dx ) f$t 12q-1。 “ ，关 (2r)glf 0 一 “ x f ;_ w (dn) i (2p)g12- 1k (p)dp f 1 (1nq_z 1 一 “” 。一 ，/2k 一 “(/ ，” ” “， 3 q 2h o 2 . 容易 证明， 与a ， 相比 ，a : 和a 3 都是渐近可忽略的， 因 而当q 2 时诊1 6 ) 获 证.q =1 的情形可以直接证明， 其中峭如( 1 , 川 中第一个表达式所示， 此处我 们略去了这一证明. 现在我们来证明( 2 . 1 8 ) 式.由定义， g (一 y ) 一 五 h n 一 ，h 一 y )f (z )w (dz ) 一 五 f (z )w (d z) f k ns2 r(一 )k (一 )。 “ ) . z 孟 i o y40 h )m (dy )ch 2, n一 2q h )w (d z)2 (d x ) 五 i (ix 一 y i : 4)3h )w (dy )ch 3a2 “ 。， 厂儿.“ !矛去/九 一 0 为l , w 的一组完备正交基， 则了 在均方收敛的意义下可以写成 f (x ) 二 又a ,o r ( x ) 这里a ; =e o i ( x ) . 常见的 这种 正交函数级数有经典的三角函 数级数以及l e g e li d r e 函