（应用数学专业论文）投资组合优化及其动态分析.pdf

摘要 投资组合优化理论是现代金融投资理论的重要组成部分，它运用凸分析、随机分 析、非光滑优化、( 非) 线性规划等数学工具，并与现代投资组合理论的基本方法一均值 方差方法相结合，通过建立数学模型讨论金融市场投资规律并为个人或机构投资者提 供理论指导。本文主要开展了如下几方面的研究： 概述了几类基本的组合投资优化模型： 考虑到证券市场的实际条件，对存在交易费及不允许卖空的金融市场，建立了选 择最优投资组合的一个新的极大极小模型，并针对各个资产交易时交易费率的变 化情况，从理论上研究了最优投资组合的动态变化规律： 突破将证券品种数视为常数的限制，分析了不允许卖空的投资组合m v 有效前沿 的结构，研究了有效前沿随证券品种数变化的漂移规律： 针对带有投资资金下界约束的m v 证券投资决策模型，我们对其有效前沿和最优 解进行了灵敏度分析，得到了当某一证券的期望收益率或风险发生变化时最优投 资组合的有效边界和最优解的变化情况： 介绍了固定消费收入模式下的投资组合选择模型及连续时间不完全信息的m v 模 型。 关键词：投资组合优化动态分析m v 模型交易费有效前沿 a b s t r a c t t h e o r yo fp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o ni s a ni m p o r t a n tp a r to ft h em o d e r nf i n a n c ei n v e s t m e n tt h e o r i e s ，w h i c hr i s e sm a t h e m a t i c a lf a c i l i t i e ss u c ha sc o n v e xa n a l y s i s ，r a n d o m a n a l y s i s ，n o n s m o o t ha n a l y s i s ，( n o n l i n e a r ) p r o g r a m m i n ge t c ，c o m b i n e dw i t ht h em e a n v a r i a n c em e t h o d - - t h eb a s i cm e t h o do fm o d e r np o r t f o l i ot h e o r y b ys e t t i n gu pm a t h e - m a t i c a lm o d e l s ，d i s c u s s e dt h ei n v e s t m e n tr u l e so ff i n a n c em a r k e ta n do f f e r e dt h e o r e t i c g u i d ef o ri n v e s t o r s t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： s e v e r a lb a s i cp o r t f o l i om o d e l sh a v eb e e ns u m m a r i z e df i r s t l y c o n s i d e r i n gt h er e a lm a r k e tc o n d i t i o n s am i n i m a x m o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t sa s w e l la sn os h o r ts a l e si sd e v e l o p e df o ro p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o na n dt h ed y n a m i c r u l e sw i t ht r a n s a c t i o nc o s t sr a t ec h a n g i n gi sa n a l y z e ds e c o n d l y ； t h es t r u c t u r eo fm vp o r t f o l i oe f f i c i e n tf r o n t i e ra n di t sc h a n g e sa r es t u d i e di fs h o r t s a l e sa r en o ta l l o w e d ，b ya d j u s t i n gt h eo r i g i n a ls e c u r i t i e ss e ts u c ht h a tt h em v e f f i c i e n tf r o n t i e ro fn e ws e c u r i t i e ss e tg e tb e t t e r ； s e n s i t i v i t ya n a l y s i st ot h e e f f i c i e n tf r o n t i e ra n dt h eo p t i m a ls o l u t i o no ft h ep o r t f o l i o w i t hl o w e rb u d g ec o n s t r a i n ta r es t u d i e dw h e nm e a no rr i s ko fs o m es e c u r i t yi s c h a n g e a b l e ； t h e p o r t f o l i o s e l e c t i o nm o d e l sw i t ht h ef i x e d c o n s u m p t i o n i n c o m e a n dt h e c o n t i n u o u s t i m ei n c o m p l e t ei n f o r m a t i o na r ei n t r o d u c e df i n a l l y k e y w o r d s ：p o r t f o l i o o p t i m i z a t i o nd y n a m i ca n a l y s i s m vm o d e l t r a n s a c t i o nc o s t se f f i c i e n tf r o n t i e r 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以j l - ，沦文中爿i 包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果；也, - l c 包含为获得西安电子科技大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在沧文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校 后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名 牡 日期丝至! ：丝 第一章绪论 第一章绪论 数理金融学是运用概率论、统计学、随机分析及最优化理论等数学工具，通过建 立数学模型讨论金融市场规律的一门数学与金融学的交叉学科，它的核一心问题是如何 在不确定环境下对有效资源进行分配和利用。而证券投资组合优化理论是现代金融投 资理论的重要内容，它是研究股票、债券等( 无) 风险资产投资分配和风险定价以及对金 融市场变化影响的理论。 1 1 金融学的发展及其与数学的关系 数理金融学最早可追溯到本世纪初的法国数学家l o u i sb a c h e l i e r ”1 于1 9 0 0 年提交到 巴黎科学院的博士论文“t h e e o r i ed es p e c u l a t i o n ”( 投机理论) ，他发现股票价格变化服从 布朗运动。这一理论为后来金融学的发展，特别是现代期权定价理论的建立奠定了基 础。1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 永l m o r g e ns t e r n l 提出了至今仍被广泛使用的效用理论，开始 了对投资者风险态度的描述。 现代投资组合理论开始于h a r r ym a r k o w i t z 在1 9 5 2 年在财务学杂志发表的一篇 题为“投资组合选择”的论文”1 ，开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资 的理论和方法。他同时考虑投资的收益和风险，阐述了如何利用投资组合，创造更多 的可供选择的投资品种，以达到分散风险获取最大可能的投资收益的目的。该文引发 了大量的对现代证券组合的分析工作，开始了现代金融数学的先河，在理论界被称为 二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命。该理论第一次采用定量分析的方法，以二 次规划为基础建立投资组合选择的数学模型，不仅提供了分散风险的方法，可获得的 最大收益，而且能得到具有最小风险的证券投资组合的构成。但是在当时条件下，该 模型的计算很复杂，尤其在给定时间条件以及证券品种数较多时。 1 9 6 3 年，m a r k o w i t z 的学生w i l l i a ms h a r p ”提出了简化形式，即现在所称的单指数 模型，使投资组合理论特别是在证券品种数较多时的计算显大大减小，变得更加实 用。现在单指数模型已经被广泛应用于投资组合中的单个普通股票之间的投资分配 了，而最初的更一般的m m - k o w i t z 模型则被广泛运用于不同类型证券之间的投资分配， 诸如债券、股票、风险资本和不动产等。 1 9 6 4 ，1 9 6 5 ，1 9 6 6 年w i l l i a ms h a r p h l 。j o h nl i n t e r 9 ，j a nm o s s i n 9 三人分别独立的 提出了著名的资本资产定价模型( 简记为c a p m 模型) ，它是第一个在不确定的条件下探 时资本资产定价理论的数学模型。该理论模型在探讨证券价格的结构特别是与风险有 关的定价结构、投资组合绩效评估、一资本预算、公共事业股票的管理等方谣得到了广 泛的应用。但是由于标准的资本资产定价模型是建立在一系列理想的假设条件之上， 因而为实际应用带来了许多困难。于是许多学者对该模型提出了实证检验的质疑，至 今这一争论仍是一个热门话题。 1 9 6 5 年，法国数学家等提出了有效市场理论。该理论认为在一个正常发挥功能的 投资组合优化及其动态分析 资本市场，资本价格的运动可以用次鞅过程来描述，它给出了资产价格运动的动力学 理论框架和金融市场如何根据外界信息来进行调整的机理，开拓了如何利用统计学方 法实证检验信息是如何被反映在债券价格中的新途径。 1 9 6 9 年，m e r t o n ! 开始研究连续情形下的投资消费问题”。“。m e r t o n 假设投资者效用 函数为双曲绝对风险规避函数( h a r a ) ，对常系数模型得到了最优投资消费策略显式 勰。在同样的模型假设下，k a r a t z a s ，t 以”“推广了m e r t o n 的结果，剥投资者的一般性 效用函数得到闭式解。随后，c o xa n dh u a n g ”“1 ，k a r a t z a s ，e t a l “”等利用鞅技术导 出了求解投资消费问题的新方法，从而开拓了利用随机最优控制理论和鞅理论等方法 来研究连续时间最优投资消费问题的新途径。 1 9 7 6 年，r d s s ”“突破性地发展了资本资产定价理论，提出了套利定价理论( 简记 为a p t ) ，其根据是均衡市场中不允许存在套利机会即不可能获得无风险利润。该理论 并不需要象资本资产定价模型那样严格的假设条件，其模型形式与多指数模型相同， 是一个决定证券价格的均衡模型。该模型认为证券收益并不是完全地依赖于市场投资 组合的变动而更依赖于经济中多个因素的变动，如国际形式、政府政策、工业指数 等。 8 0 年代末，随着金融市场的进一步完善和发展，人们发现前面研究的所有金融模 型都假定投资者可得到市场的完全信息，而实际上投资者只可观测到刻画系统状态的 价格过程本身，而布朗运动及动态方程的漂移系数是不可观测到的，即投资者只可得 到市场的部分信息。于是，基于不完全信息的投资消费问题的研究“”成为当今研 究的一个热点。 在随后的十几年里，金融学的研究更是受到学术界、国际政界前所未有的重 视：1 9 9 6 年由一批著名的金融学家发起成立的“b a c h e l i e r 金融学会”，通过国际交流， 推动随机过程、统计学及其他数学理论在金融学科中的运用；另外，一些新的数理 金融学杂志( 如“m a t h e m a t i c a lf i n a n ( e ，“f i n a m ea n ds t o c h a s t i c s ”等) 于9 0 年代相继创 刊，讨论金融学、经济学、数学等领域内关于金融理论中的数学问题的最瓤研究成 果。人们越来越深刻地认识到：数学已成为金融学研究中随处可见的关键技术，一 大批从事数学、理论物理研究的有识之士转向金融学的研究。并很快取得了卓越的 成绩。事实上，自1 9 6 9 ：年设立诺贝尔经济学奖以来蛩 1 9 8 1 年颁发的1 3 个诺贝尔经济学 奖中，有7 个获奖工作是相当数学化的，女o k l e i n ( 1 9 8 0 ) “设计预测经济变动的计算机模 式”，t o b i n ( 1 9 8 1 ) “投资决策的数学模型”等等。可见数学给金融学的研究带来了巨大的 活力，数学语言和工具对于进一步发展金融理论是十分有效和必需的，而金融学的发 展为数学知识和技巧的运用提供了重要的平台。现在已有越来越多的数学学者加入到 金融学的研究行列，并且已做出了突出的成绩。另一方面，我们对数学的作用做出乐 观估计的同时，必须清醒地意识到数学所处的地位，企图把所有金融问题都纳入数学 的范畴的想法是不现实的。数学理论和方法对金融学的支持，一定要通过金融学自身 第一章绪论 3 的基本理论和基本方法起作用的。数学家和金融学家的通力合作是发展金融学的必由 之路。 1 2 投资组合选择基本模型 为了更好地分散风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用组合投资的方式， 即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券而不是集中投资于某种证券。这就需要利 用恰当的数学模型进行决策分析。本节将扼要介绍几种最基本的也是目前较流行的投 资组合选择模型。 1 2 1m a r k o w i t z 组合投资模型 f 1 ) 均值方差5 ”4 ”模型 它是用均值( 即数学期望) 来表示收益的好坏，用方差来度量风险的大小。设证券市 场上有n 种证券，记r f 为证券j 的收益率，巧为证券j 上的投资量，啦为证券j 上的投资资 金上限，m o 为投资者的初始财富，记收益的风险函数为o ( x ) ，则 o ( x ) = 、丽l y = 墨i 二丽j = l j 故方差风险测度下的投资组合模型( 简记为m v 模型) 为 r a i n c r t j x i x j i = 1 j = l s t 目q p m o j = = l 0 q u j ，j = 1 ，2 ，n 其中p 0 为一常数因子。 f 2 1 均值绝对离差模型 为解决大规模投资组合最优化问题，k o n n o 和y 8 m a z a k 尸，y s i m a a , n i ”i 引入2 l 风 险函数，将风险测度定义为： i , i t厂ni 训( z ) = e j 一e ( ， l = li = li 建立了组舍投资决策的均值一绝对离差模型( 简记为m a d ) ： m i n w ( x ) = l 壹鼢一e i = l馐鼢) ) = i r 血一【r 戤) l语1 s t 毋q p m o = 0s x jsu j ，j = 1 ，2 ，一，” 投资组合优化及其动态分析 f 3 1 晟大最小化平均绝对离差模型 在y a n emr 阻。提出的最大最小化投资组合选择的线性规划模型的基础上，c a i x q ， l e okl 千i y a n gxq 。“提出了k 风险函数，将风险测度定义为： l ( z ) = l m ! a 妄x 。e ( 1 r e ( r ) 胁= 1 m s 。a s x 。q l 轨 则在该风险测度下，证券组合投资的最大最小化平均绝对离差模型( 简记 r a i n ( 增 t i & 驴x 一耋粥h ) 卜摩恶，。 f 4 ) 均值半方差模型【圳 如果以低于平均收益的半方差为风险测度，则可建立相应的均值- 半方差模型( 简记 蔓j f - s 模型1 ，其模型的数学表达式为： lr a i n i q c o v 去( r ，马) i言j = l s t 毋嘶 lo 蔫1 i蚴= 1 ( 5 ) 均值- 方差- 偏度模型 投资者除了希望投资组合具有最大的期望收益、最小的方差外- 如果还希望具有 最大的偏度驯：，轨皿一e ( ：1 甄兄) 】3 ，则可建立相应的均值方差* 偏度模型： r a i n 训嘶 s t e f妻j：i风一eli=a ( 耋z t r ) 3 1 1 r 一 i 。t r ij i 21 ；lj 马嘶 = i 其中1 为事先给定的偏度水平。 1 2 2 安全首要模型 安全首要模型有三种形式： ( 1 ) r o y - 形式 他要求投资组合p 的收益f p 低于给定生存水平r 的概率达到最小，其数学表达式 为r a i n p ( 诈曼r ) 。 第一章绪论 ( 2 ) k a t a k a - 形式 投资组合p 的收益蹈低于给定生存水平r 的概率不超过指定的小概率。时，要求它 的生存水平达到最大，其数学表达式为 卜a x r 。 【s t p ( i _ psr ) 。 ( 3 ) t e l s e r l s 一形式 投资组合p 的收益邓低于给定生存水平r 的概率不超过指定的小概率口时，要求投 资组合的期望收益达到最大，其数学表达式为 m a x e 而 。 is t p ( f p r ) sa 1 2 3 风险价值模型 随着信息技术的迅猛发展和各国创新自由化的浪潮，金融证券市场的波动进一步 加剧，市场风险日益凸现，如何有效的预测和控制市场风险成为金融证券机构、投资 者和有关监管层所面临的问题。在这种情况下一种用途广泛，可直接用于测定银 行、信托、证券机构和证券投资组合总体风险技术一v m 方法应运而生。 v a r 指的是在一定的置信度内，由于市场波动而导致整个资产组合在未来某个时期 内可能出现的最大价值损失。简言之，是用来测量给定投资工具或组合在未来资产价 格波动下可能或潜在的损失。在数学上，它表示为投资工具或组合的损益分布的a 分位 数，其数学表达式为p ( a p t 一v a r ) 一o t 。其中，p t 表示组合p 在t 持有期内在置 信度( 1 一o ) 下的市场价值变化，此等式说明了损失值等于或大于v a r 的概率为“。 v a r 方法能简单清晰地表示市场风险的大小，又有严谨系统的概率统计理论做依 托，得到了国际金融界的广泛支持和认可。 1 3 本文的主要工作和内容安排 投资组合优化理论在国外已经发展了半个多世纪而在我国是伴随着证券市场的 发展而发展起来的，不过才十几年的时间。随着中国加入世贸组织以及全球经济一体 化的潮流，我们必须加快在金融与投资领域的研究步伐，进一步加强资本市场的发展 与完善，为投资者个人或机构提供理论指导和技术支持。为此本文围绕投资组合优化 理论，运用凸分析、最优化理论等数学工具，开展了如下几方面的研究： 本文首先在第一章概述了金融学的发展及其与数学的关系，总结了投资组合选择 的基本类型，说明了动态投资组合优化的研究意义。 第二章首先给出了最大最小化均值绝对离差的概念，并以其为风险测度，建立了 带有交易费的最优投资组合选择的一个极大极小模型，重点是就各个资产交易时交易 投资组合优化及其动态分析 费率的变化情况，研究了最优投资组合最优解保持不变的充分条件以及有效前沿的动 态变化规律，这使我们对有效前沿的具体结构有了完整的认识。 第三章首先分析了不允许卖空的投资组合m v 模型有效前沿的结构，其次研究了该 有效前沿随证券品种数变化的漂移规律。另外针对带有投资资金下界约束的m v 投资 决策模型，研究了当某一证券的预期收益率或风险分别发生变化时，其最优投资组合 的有效边界和最优解的扰动情况。 第四章研究了连续时间的m v 最优投资组合选择问题。首先给出了一个有固定消 费收入现金漉的最优投资组合模型，得到了模型的最优策略并分析了消费收入现金 流对投资者的决策及有效前沿的影响。其次，概述了基于不完全信息的m v 最优投资 组合问题。 第二章最优投资组合选择的极大极小模型7 第二章最优投资组合选择的极大极小模型 自1 9 5 2 年m a r k o w i t z “首先创立证券投资组合决策的均值一方差理论以来，许多学 者为了进一步改进、发展和完善该理论，进行了不懈的研究提出了诸如均值一绝 对离差模型8 2 。2 ，均值一半方差模型9 “6 “，极大极小模型9 “2 ”等。但是，值得注意 的是上述模型皆没有考虑交易费的影响。由于忽略交易费的存在将导致非有效的投 资“”，放本章将交易费包含入内，引进虽大最小化平均绝对离羞作为风险测度，建立 了一个组合证券投资决策的最优化模型，给出了保持最优投资决策不变的稳定性条 件，并重点分析了交易费率的变化对最优解和有效前沿的影响。 2 1问题的描述与建模 考虑一个无摩擦的金融市场，假设它有n 种收益率为随机变量的风险证券构成，投 资者将在这n 种风险资产中分配其财富。 现引进下面的记号： w 0 ：投资者的初始财富； 置：投资者对风险证券韵投资额0 = l ，2 ，n ) ： r ：风险资产i 的随机收益率( i = 1 ，2 ，n ) ； q ：风险资产i 的期望收益率n = e 【r 】0 = 1 ，2 ，n ) ； 鼽：投资者交易风险证券i 时需要缴纳的交易费比率( f = 1 ，2 ，n ) ； q 。：投资者的风险因子q l = e ( i 且一n i ) 0 ；1 ，2 ，n ) a 假设21 所有资产无限可分并且不允许卖空； 假设2 2 交易费率不超过该证券的期望收益率，即0 p i5n ，i = 1 ，2 ，n ； 假设2 3 交易费率与该证券的期望收益率之差有一个序，即 r 1 一p l r 2 一p 2 r n 一陬，( i = 1 ，2 ，- 一，n ) 令w o = 竺，则由假设2 1 可知筑o 则投资组合x = ( z l ，x n ) 的期望 收益率为： e ( 兄( z ) ) = ( n a ) 。 i = 1 又定义风险函数为 l ( z ) 3 l m s 。a s x 。q ，。t 。 对于一个理性的投资者来说它不仅企图最大化投资组合的期望收益，而且企图 8 投资组合优化及其动态分析 黧_ ( a ) ( 2 - 1 ) ( b ) 定义21 ( 有效投资组合)称一个投资组合x = ( z - ，z 2 ，z 。) 是有效 的，如果x 满足( 2 1 ) ( a ) 和( 2 1 ) ( b ) 并且不存在满足( 2 1 ) ( a ) 和( 2 1 ) ( b ) 的组合v = ( 1 ，抛，骱) ，使得 鼢蛐s 麟晌善( 巧刊协j = l ( 。刊 上述两个不等式至少有一个是严格不等式。 定义22 ( 有效点) 为一个有效点。 n ( q j = l 定义2 3 ( 有效前沿) 所有有效点的集合称为有效前沿 由最优化理论m 1 ，模型( p 1 ) 等价于如下的双目标模型： ( p 2 ) n 、 m i ni g ，一量。j ( q 一功) ) ，= 1 fq q j f j = 1 ，2 ，一，n 。t 苎q ： 卜_ 1 【x j 0 j = 1 ，2 ，n 对0 a 1 ，模型( p 2 ) 又等价于下面的单目标模型 ( p 3 ) m i n ， ( 刊= + ( 1 1 ) l 一暑( 。 ln fq 劬s j = l ，2 ，凡 砒悸i ，礼 其中参数a 为风险厌恶因子，a 越大，表明投资者越厌恶风险。 第二章最优投资组合选择的极大极小模型 9 2 2 几个重要引理 引理2 1 m 1对a ( o a 1 ) ，模型( p 3 ) 的最优解为 铲忙 ，p1 、“ 。：蒜，一q l ( a ) 满足如下的规则： ( 1 ) 着j ， 0 ，1 ，n 一2 ) 使得 则 其中 盎 a ( a ) = = n ，n l j n ( ) j 甓n ( a ) 凤+ l 百币i ，礼一) 。 = 1 2 n 一1 。 g n k + 1 ( 2 ) 否贝u ，n ( a ) 一 n ，n 一1 ，_ ，1 。 引理2 2 陋1模型( p 1 ) 的有效前沿可表示如下 ( 1 ) 如果对k = 0 ，1 ，2 则模型( p 1 ) 的有效前沿是由有效点( 城，z i ) 构成的曲线，其中 其中 瓠2w 0 z ：= 一叫o ( 2 ) 如果对七一0 ，1 ，。，n 一2 + a = 凤+ - ( 1 + 凤+ 。) 则模型( p 1 ) 的有效前沿为 ( 以一弧。：+ 玑仇+ 1 ) o 衄d 毋z + c q ，。 ( 22 a ) ( 2 2 b ) ( 23 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 一 、 一哪 呻 ， 羔熹 0 鲫 ，一 呻 警 删 ， v 投资组台优化及其动态分析 引理2 3 ” 模型( p 1 ) 的有效前沿的结构为： ( 1 ) 当 r 1 ，r 2 ，h 互不相等时，模型( p 1 ) 的有效边界是由n 一1 条刳率为凤+ 1 ，k = 0 ，1 ，n 一2 的线段连接而成的折线段； ( 2 ) 当r 。一m + ，= f n _ mc o m n 一2 ) 时，区间 蠕，蠊+ 1 对应的线段退化为一个 点，这时的有效边界是由7 1 2 条斜率为凤+ 1 ，= 0 ，1 ，m l ，m + 1 ，n 一2 的线 段连接而成的折线段； ( 3 j 当，1 f 2= h 时，有效边界退化成个点( 蝣4 靠一。) 。 2 3 解的稳定性分析 由于忽视交易费的存在将导致非有效的投资。”，故本节我们考虑了交易费并分析 交易费率的变化对最优投资组合的影响。下面我们给出当交易费率发生变化时，最优 解保持不变的充分条件。 定理2 1记 已=妾止掣1t 盎i + 1 。 仍= 器 一击加妻t = j 蛙掣一击 当风险证券i 的交易费率由n 变化到a + n 时，最优投资组合保持不变的充分条件为 ( 1 ) i 茌( a ) ( 1 a ) i n 一七一1 刚，a p i ( 一鼽) 一( r n k 一1 一a 4 一k 一1 ) ； ( 1 b ) i = n k l 刑， 俄m a x r l p t - 一h 。，一告) ； ( 2 ) i n ( a ) ( 2 a ) i = n 一女时， ”旷 f i + l - - p i + i ) a p l n k 时， l n a 。，x r 一鼽一( n + l p i + 1 ) ，口t 矗一女) a p l m i n r | f p l 一( t 一1 一肼一1 ) ，( 。一一1 吼) 。 证明当风险证券t 的交易费率由a 变化到a + 飙时， ( 1 a ) 若i n 一一1 ，要使最优投资组合保持不变，只需满足 “一( 孤+ 纯) r n - k 一1 一p n 一一1 ， 解之得a p 。2 ( r 。一肌) 一( ? n - k l m k 一1 ) a 第二章最优投资组合选择的极大极小模型 ( 1 b ) 若z = n k l ，要使最优投资组合保持不变，只需满足： t i 一( p l + a p i ) 上 一k 一1 一a 解之得肼m 孤 n n 一( r 。一t p n m ) ，一告) 。 ( 2 a ) 若i = n k ，要使最优投资组合保持不变，只需满足 r i i p i 一1 r l 一4 + n ) n 一，要使最优投资组合保持不变，只需满足 r ，一1 一a l r l 一( p 4 + a p i ) r i + l p l + 1 f ! ! 二您l ! ! ! = ! = ! = 翌! = = 1 2 + + 口“ 豆，厶卅。l 。 仇+ 1j 垒= f 堡垒堡2 二! 堡= ! = ! 二丝= ! = 12 。 口i + 坠垒尘鲁丛趔击a ，q n k 1 一 r _ 一 一m 一一( r n l k 一1 一p t 一一1 ) 、a 一 一1 一a 解之得： m a x r 一p i 一( r + l p i + 1 ) ，q i ( n k ) a p i m i n r l p l 一( n 一1 一p i 1 ) ，矗一k 一1 吼) 。 口 2 4 交易费率对有效前沿的影响 本节给出交易费率的变化对有效前沿的影响情况。 假设2 4 仅就第i 种证券交易费率发生变化且变化量为a 进行研究： 假设2 5 a ( 靠，替麓) 时，n ( a ) = n ( k ) ： 假设2 6 ( k ) = 垂时，n ( k ) = n ( 儿) ； 假设2 7 交易费率发生变化后的证券i 为证券i ，n ( h ) 为n d t ) ，有效 点( 肌，z k ) 为( ：，z ：) a 定理2 2 1一m 一 一p m n ，l 洫m 一 巩 +p +n ，l 一 巩 一 氰 n 之解 旦一一 塑窭塑鱼垡些垦苎垫查坌堑 ( 1 ) i ( a k ) ( 1 a ) 当肌r n a x _ 一鼽一( ，k 一* 一m t ) ，一铙毒) 时，有效前沿保持不变 ( 1 b ) 当 r 。一巩一( t n - - k p n k ) p l n 一胁一尘生生意主卺 主2 也，吼g 。一一1 ， 此时有效前沿m , n 一2 段线段连接而成的折线段，较之先前相当于截去右边第一段折 线，而其余各段向左下方漂移。 其中，毫，白，仍的定义同定理2 1 。 证明 ( 1 ) i 车n ( a k ) ( 1 a )a p 0 ，或q 一+ a p i ) st n - k 一1 一p n - 一l ，或 f n - - 一1 一p n k 一1 苎 一l a ( 1 b ) 对一一l p 。一l n 一( p + a p i ) r n k 一k ，当满足如下条件 r ，卜k 一1 一n 卜k 一1 r l 一( n + a p l ) r n - 一j k k ， + 丛丑等鲁型 击1 ，一k 一 + 尘虹垒塑出击。 吼 l 一 r 。一p i 一( r n - k p 。一k ) s p l 0 时，若记 则 a = 一1 一q t + q n 一2 - - q + + q n 一i b = q n - 1 一k + 口n 一2 一k + + 一k + l ”。( + 五1 + 0 a 从而有效前沿变为由n 一2 段线段连接而成的折线段，较之先前相当于截去右边第一段 折线，而其余n 一2 段向左上方漂移。 ( 1 c ) 当n p t n 一( 肌+ a p ：) sn + l 一研+ 1 时，记f 为第一种被排除去n ( a k ) 的 证券，( f ，27 ( a k ) ，2 f ，) ，则i 只需满足： n p l n 一慨+ a p l ) st i + i p l + l 垒! 盟玉型尘业+ + 塑塑笠血创 去 口+ 1 l 一 ：! 二竺! 二! ：! ：! 二翌! ：12+ri-(pi+api)-(rt,+l-pt+j+ 哦 + 翌丑警型型 萨( t + 磊1 q i q n - - k + l+ 熹) 。1 乳2 l 磊卜+ 。扣+ j 列净l 云扣1 + 磊+ 志) 。一( 警卜+ 竖等型+ 坠紫) ( 五i 卜+ 磊1 卜+ 一1 q n - k + 1 ) 。1 i 五+ + 磊+ + j 和( 警卜+ 坠紫+ 警) ( - + 而1 + 磊1 ) 。 根据条件显然有z z i ，故此时有效前沿仍为n l 条线段连接而成的折线段，但较之 先前各段皆向右下方漂移。 ( 2 ) i n ( a k ) ( 2 a ) 对巧一p j r l 一( p l + a p l ) r j + l p j + 1 当满足如下条件： r j p j r ；一( p i + p 1 ) r j + l 一功+ 1 ， 生鳖睾坠剑+ 然塑案掣 击t q ，+ 1 l a ! ! 二2 1 二! ! ! ! ! 二丝! 1 2 + + 竺二塑! 垒堡2 = ! 竺! ! 二丝! 12 + + 盟丑岽掣 击a锄+ 2 l 一 + + 堕竺掣高。 解之得： m a x r l - - p i - - ( r j + lm 聃) 觚+ 1 ) a p i _ 几一k ，n n ( a ) = n ，一，j + 1 ，i ，- 一，礼一七十1 ) ，当七= o 时，i i7 ( a o ) = 中， 当一礼一1 时i i ( a 。一1 ) = n ，2 ) ，显然有 ”k=(一1卜+扣+1)-1=yi-i，z”kyq nq n - k + l 叫一 2 i 一卜+ i + + i刮b 此时有效前沿为n 一2 段线段连接而成的折线段，较之先前相当于截去左端第一段，其 余n 一2 殷不动。 1 6投资组台优化及其动态分析 ( 2 b ) 当满足：n 一慨+ a p i ) r n - k 一陬一k ，或者 f n - - k 一1 一p n k l z ：。故有效前沿较之先前向上漂移。 ( 2 c ) 当满足如下条件： r n k l p 。一 一1 r 一( a + a p l ) 2 ；，所以有效前沿变为由n 一2 段线段连接而成的折线段，较之先前相当于 截去左端第一段折线，丽其余n 一2 段向右上方漂移。 ( 2 d ) 当满足如下条件： t m - 1 一互) 仇一1 n 一( p ；+ a p i ) r m p m r n p n 一( r - m + 塑丑蜘 。 q m 一1 一a 时，即： n - a x r i - - p i - - ( r m 一) ，一黑) n r , ：- p i - t i n - 1 - - - 1 ) ， ( 其中m n k ，礼一七一l 兀( a 七) ，札一k 一2 隹( 入t ) ，吼q 。一一1 ， p 2r ；一鼽一尘2 二苎= 二三- 二= _ 翌竺生些， 当= o 时( ) = n ，n 一1 ) ，一，= n 一2 时rn ( a ，2 ) = n ，一，1 ，而 v ”k = ( - - + 磊1 + 磊1 - + 熹+ _ l ) - 1 q n - k - i 萨( - + 熹) 。12 【、磊+ + 磊+ 磊+ 。+ 磊+ jq 净【、i + 叶磊 。o ( 警，+ 毪+ 鼍孝十坠孝) f ，三+ + 土+ 上+ _ + 土+ 上1 “ g n吼+ 1吼一1 一kq a - - 1 = 咖( 警+ 鼍) ( + 击) ， 显然由条件得：= 7 ： 1 ) 变化的漂移规律：第- - d 、节则借鉴文。“”“。5 “5 的研究方法和思路，分析当 某一证券的预期收益率或风险发生变化时，带有资金下界约束的m v 模型的最优解和 有效前沿的扰动规律。 3 2 证券品种数变化时的m v 模型的动态分析 3 21 有效前沿的结构 假定t 。时刻投资者选定n 种不相关风险资产进行组合投资。q 表示投资于第i 种证券 的资金所占的比例，且为第i 种证券的期望收益率( 为一随机变量) ，不妨设冗1 r 2 尼。，协方差矩阵y = ( ) 。= d