（应用数学专业论文）两类非线性指数型离散动力系统的稳定性和分岔分析.pdf

摘要 本学位论文对一类捕食者一食饵系统和一类离散动力系统的稳定 性及分岔进行了分析和讨论全文共分为三章 第一章，简单的介绍了非线性动力学和分岔的发展史，并列出了 分岔的一些最基本的理论 第二章，讨论了一类捕食者一食饵系统的稳定性及分岔，首先研 究了该模型的稳定性，并发现当参数经过一临界值时n e i m a r k s a c k e r 分岔将会出现，接着我们讨论了n e i m a r k s a c k e r 分岔方向及分岔出的 不变的闭曲线的稳定性最后，用数值模拟不仅证实了我们的理论分 析，而且得到了一些复杂的动力学行为，例如7 周期轨、准周期轨和 混沌吸引子 第三章，讨论了一类离散动力系统非零不动点的稳定性，并详细 讨论了出现f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔的条件，接着我们讨论 了f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔分岔出的不变的闭曲线的稳定性 最后，用数值模拟不仅证实了我们的理论分析，而且得到了一些复杂 的动力学行为，例如5 ，6 ，7 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，2 1 ，2 8 ，3 0 ，3 7 ，4 6 ，4 7 ，5 7 ，7 3 周期轨以及准 周期轨和混沌吸引子 关键词：离散动力系统，稳定性，n e i m a r k s a c k e r 分岔，李雅普诺夫 指数，f l i p 分岔 a bs t r a c t i nt h i s p a p e r w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t y a n db i f u r c a t i o no fa p r e d a t o r - p r e ys y s t e ma n dd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m t h ew h o l ep a p e r c o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，t h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e ma n d b i f u r c a t i o na r eg i v e n a tt h es a m et i m e ，f u n d a m e n t a lt h e o r yo fb i f u r c a t i o n a r ea l s oi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h es t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o no fap r e d a t o r - p r e ys y s t e m a r ei n v e s t i g a t e d f i r s to fa l l ，t h es t a b i l i t yo ft h em o d e l i ss t u d i e d i ti s f o u n dt h a tt h e r ee x i s t sn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e r p a s s e sac r i t i c a lv a l u e s t h e nt h ee x p l i c i ta l g o r i t h mf o rd e t e r m i n i n gt h e d i r e c t i o no ft h en e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo ft h ec l o s e d i n v a r i a n tc u r v eb i f u r c a t i n gf r o mt h ep o s i t i v ef i x e dp o i n ta r ed e r i v e d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t e o u r r e s u l t s w i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，b u ta l s ot oe x h i b i tt h ec o m p l e x d y n a m i c a lb e h a v i o r s ，s u c ha sp e r i o d 一7 ，q u a s i - p e r i o d i c o r b i t sa n dt h e c h a o t i cs e t s i nc h a p t e r3 ，t h es t a b i l i t yo ff i x e dp o i n to fad i s c r e t ed y n a m i c a l s y s t e m s i sc o n s i d e r e d t h e s t a b i l i t y o f f l i p b i f u r c a t i o na n d n e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o no ft h es y s t e mi sa l s od i s c u s s e d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n s a r ep r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s w i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，b u ta l s o t oe x h i b i tt h ec o m p l e xd y n a m i c a l b e h a v i o r s ，s u c ha sp e r i o d 5 ，6 ，7 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，2 1 ，2 8 ，3 0 ，3 7 ，4 6 ，4 7 ，5 7 ，7 3 o r b i t s ，c a s c a d eo fp e r i o d - d o u b l i n gb if u r c a t i o ni np e r i o d 一2 ，4 ，8o r b i t s ， q u a s i p e r i o d i co r b i t sa n dt h ec h a o t i cs e t s k e yw o r d s ：d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m ，s t a b i l i t y ，n e i m a r k s a c k e r b i f u r c a t i o n ，l y a p u n o ve x p o n e n t ，f l i pb i f u r c a t i o n n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：聪萁昌 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 期：塑年旦月竺e t 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非线性动力学的发展综述 动力学是研究动力系统的状态变量随时间变化规律的学科 1 ，状态变量随 时间变化的定量表述是各种形式的( 连续的或离散的) 数学方程这种表示状态 随时间变化的方程称为动力学方程“时间 可以是连续的也可以是离散的动 力系统由此也可以分为连续动力系统和离散动力系统连续动力系统可以由( 1 1 ) 式给出，离散动力系统可以用( 1 2 ) 式表示，其中1 t 表示系统参数 去叫训) ( 1 1 ) 毛+ l = 厂( 矗，1 t ) ( 1 2 ) 过去对动力系统的研究一般多限于线性系统，即其动力学方程都是线性的 这样做是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单的特性，如当初始条件给定 后，方程的解( 代表系统的运动) 便是确定的，而且解服从所谓叠加原理：方程 不同的解的线性叠加仍是方程的解而实际的自然现象或者社会现象毕竟是很复 杂的，其动力学规律往往都需用非线性方程来表示非线性方程除极少数外，大 都不存在解析解，从而难于用一些经典方法了解其特性随着2 0 世纪六七十年代 计算机科学技术的迅速发展，人们可以容易的求得一般非线性方程的数值解，这 才使人们对非线性系统有了较深刻的了解，而且使非线性动力学在自然科学和社 会科学的许多领域中得到了广泛的应用 非线性动力学随着数学、物理学的进步经历了一个多世纪的发展，追本溯 源，1 9 世纪末到2 0 世纪初，法国数学家庞加莱( p o i n c a r 6 ) 发现某些特殊的微分 方程的可解性与解对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可导致其解的巨 大偏差，甚至产生无解现象，从而拉开了非线性科学研究的序幕，其主要的标志 性成果为法国科学家p o i n c a r d 的系列论文 3 - 4 ，俄罗斯科学家李雅谱诺夫 ( l y a p u n o v ) 关于运动稳定性的论文 5 以及美国科学家伯克霍夫( b i r k h o f f ) 的 著作 6 2 0 世纪上半叶促进非线性科学发展的，有数学中的微分方程定性理论 和无线电技术所需要的非线性电路理论，它们的结合引起“非线性振动理论 这 一分支的成长，代表人物有俄罗斯科学家克雷洛夫( k r y l o v ) 和包戈留包夫 ( b o g o l i u b o v ) 7 、乌克兰科学家米特罗波尔斯基( m i t r o p o l s k y ) 8 、美国科学 中南人学硕十学位论文 第一章绪论 家奈弗( n a y f e h ) 9 等，并且由于科学技术和工业发展的需要，k r y l o v 和 b o g o l i u b o v 两人提出并系统地发展了平均法，在平均法的基础上，k r y l o v 、 b o g o l i u b o v 和m i t r o p o l s k y 三人共同发展了三级数法，也简称为k b m 方法，同 时也抽象提炼出了一些著名的非线性系统和动力学模型，如( 达芬) d u f f i n g 方 程、范德尔聚( v a nd e rp 0 1 ) 方程以及马提厄( m a t h i e u ) 方程等近三四十年非线 性科学则又由于计算机的广泛引用而更兴旺起来，计算机不仅是数值计算的工 具，也为非线性现象和理论分析提供了新的思想，促进这种发展的，还有数学中 动力系统理论的成长，以及统计物理学中不少成果美国科学家l i t y 和 y o r k e 1 0 提出了周期一3 意味着混沌的判定准则，美国应用科学家霍尔摩斯 ( h o l m e s ) 、马斯登( m a r s d e n ) 和威金斯( w i g g i n s ) 等人则将分岔和混沌理论与经典 的非线性振动理论相结合 11 - 1 3 ，发展成为现代非线性动力学理论他们的杰 出贡献使非线性动力学从2 0 世纪7 0 年代起成为一门重要的前沿学科 现在几乎各个领域都在进行非线性动力学研究，特别是在工程领域目前， 非线性动力学已经广泛应用于航天、建筑、生物甚至经济领域有些专家已经 在用非线性动力学研究股票的走势 1 2 分岔理论 1 2 1 分岔的发展综述 分岔( b i f u r c a t i o n ) 是非线性问题中所特有的现象分岔原为微分方程理论 中的一个名词，最初的含义是一分为二，后来人们将它加以推广，泛指在一个动 力学系统中，当控制参量改变时，其相图发生拓扑结构的突然变化分岔问题的 研究具有较长的历史，它起源于十八世纪对于力学系统失稳现象的研究分岔的 概念首先由雅克比( j a c o b i a n ) 于1 8 3 4 年在研究天体的平衡时提出的到二十世 纪六十年代以前，科学家们已发现了大量而重要的分岔现象，如1 8 8 3 年雷诺 ( r e y n o l d ) 发现流体在临界雷诺数时出现了分岔，上世纪三十年代，范德尔聚 v a nd e rp o l 和安德罗诺夫( a n d e l u o n u o f u ) 在研究非线性振动时发现了大量的 分岔现象，但那时对分岔的研究主要是分散在各个应用领域中单独进行，没有形 成系统的分岔理论直到上个世纪七十年代，微分动力系统理论、突变理论、奇 点理论等现代非线性分析数学理论的建立，电子计算机和有效计算手段的相继 出现，才形成了研究分岔现象的分支学科，有效地促进了分岔理论及其在自然科 学，社会科学和工程技术的各个领域的应用研究的发展 到目前为止，尽管分岔理论的各个分支学科仍在发展之中，但分岔理论基本 上已经形成了- f - i 完善的学科 3 4 - 4 3 经过一百多年来微分方程理论的发展，特 2 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 别是近二三十年来，在微分动力系统和数值计算技术的推动下，分岔理论的研究 与应用已超越原来的数学学科的界限，广泛应用于力学、物理学、化学、生物学、 生态学等学科和自动控制、系统工程、机械振动等工程技术部门，以及经济学和 社会科学等领域 分岔问题研究的内容广泛而丰富 1 4 ，3 4 ，5 3 ，对其研究既需要较深厚的数学 基础，又需要较宽广的专业知识，归纳起来，其主要研究内容大致分为如下几个 方面： ( 1 ) 分岔集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件和充分条件，这是分岔问题 研究的基本内容： ( 2 ) 分龠定性性态的研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化的情况， 这是分翁研究的重要内容： ( 3 ) 分分解的计算，即对系统平衡点和极限环的计算由于非线性系统分岔的直 接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要寻求实用而有效的求解方法 ( 4 ) 研究各种不同分岔的相互作用，以及分岔与动力系统中其它现象( 如混沌) 的联系 在非线性动力学中，对分岔问题的研究十分广泛，这些研究表明，分岔不仅 与系统中不同运动状态之间的联系和转化有关，还与混沌运动密切相关分岔是 研究混沌产生机理的重要途径 1 2 2 最简单的分岔条件 考虑含有一个参数的离散时间动力系统 x i - 1 , f ( x ，口) ，x r ”，口r ，( 1 3 ) 其中映射厂是关于x 和口光滑的有时候我们将系统( 1 3 ) 写成： j = ( 五口) ，五j r “，口r ， ( 1 4 ) 其中舅表示石在此映射下的象假设x = x o 是系统( 1 3 ) 当口= 时的双曲不动点， 当参数口变化时我们考虑此不动点和它的特征值显然，一般来说，只有三种情 况下其双曲性会被破坏当参数口取某些值时，一种是一个简单的正的特征值趋 向于单位圆并且有朋= l ；一种是一个简单的负的特征值趋向于单位圆并且有 朋- - - 1 ；一种是一对简单的复特征值趋向于单位圆并且有鸬2 = p 堋，0 岛 万 定义1 1 t l 当“= l 时，这种分岔称为f o l d 分岔( 或切分岔) 中南人学硕士学位论文第一章绪论 定义1 2 1 当- 6 = - 1 时，这种分俞称为f l i p 分岔( 或倍周期分岔) 定义1 3 1 4 1 当h 2 = p 啸，0 o o 缈+ g ( x ，y ) ， 一 毛+ i = a x + 厂( ，以) ， 以+ i = b y + g ( ，虬) ， f ( o ，0 ) = 0 ，d f ( o ，0 ) = 0 ， g ( 0 ，0 ) = 0 ，d g ( o ，0 ) = 0 ( 1 5 ) g 在原点的某邻域内是c 7 的a 是一个特征值的模等于l 的t x t 矩阵，b 是一个 特征值的模小于l 的s s 矩阵，显然( x ，y ) = ( o ，0 ) 是映射( 1 5 ) 一个不动点以下几 个定理取自【1 1 ，1 3 ，5 3 ，5 4 1 定理1 1 映射( 1 5 ) 存在一个c 7 的中心流形，且可以被局部的表示为以下形式 w 。( o ) = ( x ，j ，) r r ：y = ( x ) ，i x 1 ，使得 l _ - z 1 _ o ，当x 专0 假 4 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 设f ( ( x ) ) = o ( i x l ) 则当x 寸0 时办( x ) = ( x ) + d ( ) ，如果在原点的一个小邻 域内有一个正数k ，使得i g ( x ) i kx 1 7 ，m , jl q ( x ) l = o ( 1 x 1 7 ) l y a p u n o v 指数的定义 4 6 ，6 1 】 设f 是r ”专尺”的可微映射，p 是吸引域中一点，d ；0 ) 是向前有界轨道， v r ”，则映射f 在p 点沿，方向的极限 z 0 ，v ；f ) ：l ，i mk 1 - 1 n l d p m i 七+ ， ” 就称为映射f 在p 点沿，方向的l y a p u n o v 指数 设f 是，2 维空间的微分同胚映射，p 是向前轨道有界的点，则所有的方向v 所对应的l y a p u n o v 指数都存在，而且随着方向v 的变化，l ( p ，1 ，；，) 最多有，z 个不 同的值设，。0 ；f ) = l ( p ，1 ；f ) ，1 2 ( p ；f ) = i c o ，1 ，：；f ) ，。0 ；f ) = ，0 ，1 ，。；f ) ，对 这刀个数排序，总能得到 ( p ；f ) 如( p ；f ) 乙( p ；f ) l y a p u n o v 指数是刻划轨道分离的速度，正的l y a p u n o v 指数是产生混沌的标志 1 4 本文研究的主要内容 本文先后对两类指数型离散动力系统的稳定性和分岔进行了研究 ( 1 ) 通过e u l e r - 方法离散化捕食食饵系统，分析其不动点的稳定性和 n e i m a r k s a c k e r 分岔的存在性，并讨论n e i m a r k s a c k e r 分岔的方向和 n e i m a r k s a c k e r 分岔出的不变闭曲线的稳定性通过数值模拟不仅证实了我们的 理论分析，而且得到了一些复杂的动力学行为，例如7 周期轨、准周期轨和混沌 吸引子 ( 2 ) 讨论了一类指数型离散捕食食饵系统的动力学性质，分析了其非零不 动点的稳定性，并讨论了f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔的稳定性通过数值模 拟不仅证实了我们的理论分析，而且得到了一些复杂的动力学行为，例如 5 , 6 ，7 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，2 1 ，2 8 ，3 0 ，3 7 ，4 6 ，4 7 ，5 7 ，7 3 周期轨以及准周期轨和混沌吸引子 中南人学硕士学位论文第二章一类指数型捕食一食饵系统的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分岔 第二章一类指数型捕食一食饵系统的 2 1 引言 稳定i 蟠l ：l n ei m ar k s a c k e r 分岔 自从分岔现象被发现以来，许多学者，包括生态学家、数学家、化学家、 经济学家都对这种现象产生了浓厚的兴趣 1 6 2 4 研究者已经提出了许多生态 模型，其中捕食者一食饵系统是非常重要的一种 6 2 ，6 3 ，并且最近的一些研究工 作表明离散的捕食者一食饵系统模型比连续的捕食者一食饵系统模型具有更加丰 富的动力学性质 6 4 - 6 9 本章利用e u l e r 方法将将一类指数型的捕食一食饵系统 5 5 离散化， 知( 一k ) - a y ( 1 - e = x 亿。， d y ，：一b y + f l y ( 1 _ e - c x ) 其中，k ，口，b ，c 均为j 下常数，利用分翁理论【1 1 ，1 3 ，5 3 】，讨论其离散化后的系统 的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分俞，得到了7 周期轨、准周期轨和混沌吸引子 2 2 不动点的存在性和稳定性分析 运用e u l e r 方法将系统( 2 1 ) 离散化，得到相应的离散系统为 x - x + 8 膳( ，一言) 一口y c - 一p 一“， ， 。2 2 ， y 专y + 8 - b y + f l y ( 1 - e ”) 】 其中，8 为步长 显然，不动点满足以下方程 x = x + 万 麒( 一言) 一口少c 1 d e - a ) ， y = y + 艿【一砂+ f l y ( 1 一p 一“) 】 通过计算，我们可以得到下面的引理 引理2 1 ( i ) 对任意参数，( 0 ，0 ) ，( k ，0 ) 均为系统( 2 2 ) 的不动点； ( i i ) 当o 0 ， ，也是f ( 旯) = o 的两根，则 ( i ) l i 1 ，i 屯i o r c 1 ，i 五i o r c l ； ( i v ) = - 1 ，k i 1 当且仅当f ( 一1 ) = 0rb 0 ，2 ； ( v ) 五，五是复数，且i i - - i 五1 = 1 当且仅当b 2 4 c or c = 1 假设 ，五是j a c o b i a n 矩阵j ( x ，j ，) 的特征方程的两个特征根，当 i a l 1 时，不动点 ，y ) n q 源( s o u r c e ) ，源( s o u r c e ) 是局部不稳定的当 k f l ，k i 1 ( 或i 五f 1 ) 时，不动点( x ，y ) 叫鞍点( s a d d l e ) 当i i ：1 或 7 中南人学硕士学位论文第二章一类指数型捕食食饵系统的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分岔 i 以i _ l 时，不动点( x ，y ) 叫非双曲的不动点( n o n h y p e r b o l i c ) 由引理2 2 ，可得以下结果： 引理2 3 对应于不动点( o ，o ) 的特征根为丑= l + s r ，五= 1 - s b ，则有： ( i ) 当0 ( 1 - e - f k ) 且0 m a x 去l n p 生- b 且。 6 时，则有： ( i ) 当以下条件之一成立时，不动点( x ，y ) 剡c ( s i n k ) ： ( i 1 ) - 2 j - 万r 率- n - x n 2 - 4 m ( i 2 ) 一2 4 f f o 且o 万 一鲁 ( i i ) 当以下条件之一成立时，不动点( x ，y ) 是、源( s o u r c e ) - (ii1)率-n+xn2-4m ( i i 2 ) 一2 历 一苦； ( i i 3 ) n 0 ( i i i ) 抓- 2 历且挈承率- n + n 2 - 4 m 时，不动点 ( x ，y ) 是鞍点( s a d d l e ) ； ( i v ) 当以下条件之一成立时，不动点( x ，y ) 是非双曲的( n o n h y p e r b o l i c ) ： 9 中南人学硕十学位论文第二章一类指数型捕食食饵系统的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分岔 ( i v 1 ) 当艿= - n + 万n 2 一- 4 m 且 - 2 万，万一号，一专； mnn ( i v 2 ) 当万= 一万n 且一2 ：访 o 时，在不动点( x ，y ) 处系统会发生 n e i m a r k s a c k e r 分俞 我们不妨令 即卜m 邶：江万n ，之何 当参数在h 彳的一个小邻域内变化时，不动点( x ，y ) a 石x 仪o - 工l l ：n e i m a r k s a c k e r 分岔 2 3n eim a r k - s a c k e r 分岔 基于以上的分析，我们在这里讨论不动点( x ，y 。) 的n e i m a r k s a c k e r 我们 选择巧作为分岔参数利用分俞理论 1 1 ，1 3 ，5 3 分析系统( 2 2 ) n e i m a r k s a c k e r 分岔 任取参数( 6 ，c ，k ，磊，r ，口) h a ，则系统( 2 2 ) 可以变为 y 专y + 4 【一砂+ f l y ( 1 一p 一“) 】， x x + 磊 腻( ，一言) 一口y c 一p 一。， 2 3 系统( 2 3 ) 有一个唯一的正不动点( x ，y ) ，其中 x ：! l n 二， c 8 一b ； y 。卫h 南( 一1 a b c - b c kh 南 。 1 3p b ) 对系统( 2 3 ) 做一个充分小的扰动矿，其中p i 1 ， x x + c 4 + 艿， 肛( t 一妄) 一口y c 一p a ， ， 。2 4 ， j ，一y + ( 磊+ 艿+ ) - b y + f l y ( 1 一p 一“) 】 令u - x - - x * , v = y 一，将( 2 4 ) 的不动点( x , y ) 平移到坐标原点，则有 其中 l o 咿桫州眯寮咐埘 w 鲫 m m q 吒 中南人学硕士学位论文第二章一类指数型捕食食饵系统的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分岔 a l l = 1 + 西2 k 6 - - - - 二rx * - a c 万y + p ， q ，= 一i 8 rx + 圭施如一，q 3 一i x + j 掘卯 a 1 5 = - l 。s a 秒p ， 口2 l = f l c 万y 。p 一， = 一丢y ：e 一， 嘭，= 吉饱一， 系统( 2 5 ) 的线性化在( o ，0 ) 点的特征方程为 其中 力2 + p ( 万) 兄+ g ( 万) = 0 ， p ( 万) = - 2 一( 磊+ 万) ， q ( 6 ) = l + ( 磊+ 万) + m ( 磊+ 万。) 2 因为( 6 ，c ，k ，磊，口) 巩，对应于不动点( o ，o ) 的是一对模为1 的共轭 复根兄，万，其中 砸：- p ( 5 学) + x p ( 莩6 ) 2 - 4 巫q ( 8 ) 且 ：1 + ! 鱼：刍! 型型丝二丝至：业 ， l 2 1 = q ( 8 ) 】j ， 型i ：一一n o d 8 l 矿= 0 2 另外，我们要求当矿= 0 时，旯“，万脚l ( m = l ，2 ，3 ，4 ) 这等价于 p ( 。) 2 ，。，l ，2 又p ( 。) = - 2 一磊= - 2 + 百n 2 ，由( 6 ，c ，k ，磊，口) 矾有 p ( o ) - 2 ，2 又p ( 0 ) 0 ，1 ，等价于 矿 。， ；， 咿 t 打 坛 扩 如 虮 扩 嘞 = 慧； 栌 驴 吆 中南人学硕十学位论文第二章一类指数型捕食食饵系统的稳定性和n e i m a r k - s a c k e r 分岔 令 通过 n 2 2 m ，3 m 下面，我们讨论当艿= 0 时，系统( 2 5 ) 的标准形 系统( 2 5 ) 可变为 其中 2 匕- c o 盼y c 忙g ( y c , d 刃 ) ， g ( j ，夕) = ， + a 。1 4u v + a 。l su 3 + a 。1 6u 2 y i d ( ( i 叠l + i 夕i ) 4 ) ， 口1 2口1 2口1 2 一。7 【q 3 ( 一q 1) 一a 1 2 a 2 3 】 + a 1 2 0 1 “2 + 【鱼! 丝二鱼1 2 = 鱼2 竺丝! 圳+ a n e o 口1 6 ( 一0 1 1 ) 一a 1 2 a 2 6 】 u 2 = a 1 2 2 i 2 ， u 3 - - 0 1 2 3 文3 ， 口1 2 0 1 ”2 v + d ( ( i 舅l + i 夕f ) 4 ) ， ( 2 6 ) 【口1 5 ( 一a i i ) 一q 2 a 2 5 】 l 1 , , = q 2 ( 一q 1 ) 量2 一q 2 缈矽， 口1 2 ( 0 ，2 = ( t - a i i ) 2 j 2 2 0 1 ( , u - a 1 1 ) 移+ 国2 夕2 ， i i 2 ，= a 1 2 2 ( t - a 1 1 ) 舅3 - - 0 1 2 2 缈叠2 夕 经计算可得 厶= 2 口1 2 a 2 3 + 2 a 1 4 ( 一口1 1 ) ， = 6 a 1 2 【q 6 ( 一q 1 ) + 口1 2 口1 5 】， = 一2 q 2 q 6 ，嚣口2 一z q 2 q 6 ， = 0 ， 2 一功口1 4 ， = f 一2 ，y y y g 嚣= 口1 2 【口1 3 ( , u - a 1 1 ) 一q 2 a 2 3 】+ ( 一q 1 ) 【q 4 ( 一q 1 ) - 0 1 2 a 2 4 】 ， 国 。 = q 2 a 2 4 一q 4 ( 一a n ) ， 1 2 g 污= g 嘲= g 魄= 0 ， “3 l、， 、- 二厂 舅- 少堕2嘞 + ， u = = 廷 胪 卜 娥 厶 厶 岛 中南大学硕+ 学位论文第二二章一类指数型捕食- 食饵系统的稳定性和n e i m a r k s a c k e r 分岔 g 檄= 垃a 1 2 【口1 5 ( - - ( 1 1 ) 一a 1 2 a 2 5 】+ ( 一q 1 ) 【q 6 ( 一a 1 1 ) 一q 2 口2 6 b ， 彩 g 动= 2 a 1 2 【a 1 2 a 2 6 一a 1 6 ( 一q 1 ) 】 为了使系统( 2 5 ) 发生n e i m a r k s a c k e r 分岔，我们需要以下判别量不为零，即 斗r e ( 等刊如1 2 - i 当0 2 1 2 + r e ( 2 孝 2 m 。， 其中 参。2 言【厶一厶+ 2 9 矽+ ( g 螽一勖一2 磊) 】， 卣t2 百1 【厶+ 岛+ 姬矗+ 勖) 】， 缸2 手1 厶一岛+ 2 9 移+ ( 孙一勖+ 2 岛) 】， 磊- 2 而1 【名+ 岛+ g 蛳+ g 助+ 7 ( g 衙+ g 动一岛一岛) 】 通过以上分析和【1 l ，1 3 ，5 3 】中的n