（概率论与数理统计专业论文）两指标随机游动的若干问题研究.pdf

h 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 摘要 本文主要研究了两指标随机游动在不同情形下的运动情况这些情形包括 讨论两指标随机游动沿水平方向，沿对角线方向以及在“矩形”时间区域的运动 的“逃脱”概率问题 在第一章引言部分，针对本文所讨论的问题的背景进行简要的介绍，主要 涉及到随机游动的理论研究的发展过程和现状，以及本文所开展的研究的必要 性等，并介绍了本文得到的主要结论 在第二章中，我们主要介绍了这篇论文所要用到的基础知识，包括定义了 单指标随机游动，以及文中所需的随机过程、随机游动的基本概念及定理 在第三章中，首先定义了两指标随机游动，然后考虑它在多维整值格点上 沿水平方向不返回原点的概率，它是在文【7 】中对单指标随机游动相应的一种推 广 在第四章中，我们考虑与第三章不同情形的“逃脱”概率问题，并联系k h o s h - n e v i s a n d 和p a lr e v e s z 在【2 0 】中考虑两指标1 维简单随机游动沿对角线方向 不返回原点的问题得到结论，考虑多维两指标随机游动沿对角线方向不返回原 点的概率 在第五章中，在文【9 1 0 】关于两指标随机游动象集所含元素个数r ；，n = h 最，j ，1 i m ，1 j n ) 的极限性质的结果基础上，讨论了两指标随机游 动关于“矩形”时间区域的“逃脱”概率问题，把单指标随机游动相应结论推广 到两指标情形 关键词：随机游动；“逃脱”概率；局部时；特征函数；常返性 - 1 ，越 a b s t r a c t i nt h i st h e s i st h ep r o b a b i l i t yp r o b l e m sa b o u tt w o - p a r a m e t e rr a n d o mw a l k s i nd i f f e r e n ts i t u a t i o n sa r ee x p l o r e dm a i n l y t h ee s c a p e p r o b a b i l i t yp r o b l e m s a b o u tt w o - p a r a m e t e rr a n d o mw a l k si nh o r i z o n t a ld i r e c t i o n ，i nd i a g o n a ld i r e c t i o n a n dw i t h i nt h er e c t a n g l et i m ed o m a i na r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r1 ，s o m eb a c k g r o u n dk n o w l e d g en e e d e di nt h i st h e s i si sp r o v i d e d t h es o u r c ea n d d e v e l o p m e n te v o l u t i o no ft w o - p a r a m e t e rr a n d o mw a l kt h e o r ya r e p r e s e n t e d m o r e o v e r ，t h en e c e s s i t yo ft h i st h e s i sa n dt h em a i nc o n c l u s i o n so fo u r w o r ka r es t a t e d i nc h a p t e r2 ，t h ed e f i n i t i o no fs t o c h a s t i cp r o c e s s e si n c l u d i n go n e - p a r a m e t e r r a n d o mw a l k s ，s o m ep r e l i m i n a r i e sa n dt h e o r e m sn e e d e di nt h ef o l l o w i n ga r ep r e - s e n t e d i nc h a p t e r3 , t w o - p a r a m e t e rr a n d o mw a l k sa r ei n t r o d u c e df i r s t l y , t h e nt h e p r o b a b i l i t i e so ft h ee v e n tt h a tt w o - p a r a m e t e rr a n d o mw a l kw h i c hd o e sn o tc o m e b a c ka tt h eo r i g i nm o v eo v e rt h ei n t e g e rl a t t i c e si nt h eh o r i z o n t a ld i r e c t i o n ，a r e c o n s i d e r e d i nc h a p t e r4 ，f o l l o w i n gt h er e s u l t si n 【2 0 】g i v e nb yk h o s h n e v i s a n da n dp a l r e v e s z ，t h e e s c a p ep r o b a b i l i t y ”d i f f e r e n tf r o mc h a p t e r3i sc o n s i d e r e d w e s t u d yo nt h ep r o b a b i l i t yt h a tt w o - p a r a m e t e rr a n d o mw a l k ，w h i c hd o e sn o tb a c k a tt h eo r i g i na l o n gt h ed i a g o n a ll i n ei nm u l t i d i m e n s i o n s i nc h a p t e r 5 ，b a s e do nt h ea s y m p o t o t i cr e s u l t sa b o u t ，几= 4 & ，j ，1 i 仇，1 j 仃) t h en u m b e ro ft h ep o i n t sv i s i t e db yat w o - p a r a m e t e rr a n d o m w a l ki n 1 0 】，ar e s u l ta b o u tt h e “e s c a p ep r o b a b i l i t y ”o ft h et w o - p a r a m e t e r r a n d o mw a l k sw i t h i nt i m e “r e c t a n g l ed o m a i n ”i s o b t a i n e d ，w h i c hg e n e r a l i z e s t h e “e s c a p ep r o b a b i l i t y ”r e s u l t so fo n e - p a r a m e t e rr a n d o mw a l k st ot h a to f t w o - p a r a m e t e rc a s e s i i 魄 丫 ，f引j1 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 = = = = = = = = = = ；目；= = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = ；= = = = ：= = = = = = = ：= = k e yw o r d s ：r a n d o mw a l k ；”e s c a p e ”p r o b a b i l i t y ；l o c a lt i m e ；c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ；r e c u r r e n tp r o p e r t y i i i h i；l j v ， 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 中文文摘 随机游动的研究一直是随机过程论中最活跃的分支之一，不仅是概率统计 学者，同时也是物理学者十分关注的研究领域( 参见【1 】，【2 】， 3 】等) 近年来，有许多的科学工作者对多维多指标随机游动的各种马氏性，收敛 性，运动状态等进行了大量地研究，得到许多重要的理论( 参见 4 】， 5 】， 6 】等) 本硕士论文在这一背景下主要讨论多维两指标随机游动的相关问题 在第一章引言部分，针对本文所讨论的问题的背景进行简要的介绍，主要 涉及到随机游动的理论研究的起源以及发展现状，以及本文所开展的研究的必 要性等，并介绍了本文得到的主要结论 在第二章中，我们主要介绍了这篇论文所要用到的基础知识，包括介绍了 一些随机过程、随机游动的基本概念及定理 在第三章中，主要考虑多指标随机游动在多维整值格点上沿水平方向不返 回原点的概率所谓两指标随机游动 朋m ，礼o ) 是指满足下列条件的随机 过程： ，n = 五加m ，礼1 ， i = 1j f = l 约定s o ，n = s k ，o 一0 ，其中 五j ，l ，j o ) 为取值d 维格子点z d 的饥d 随机 序列若尸( 五，1 = e k ) = p ( 噩，1 = - - e k ) = 刍，其中e l ，e d 是r d 中的d 个 正交单位向量，则称 s f m m ，死o ) 为两指标简单随机游动 考虑以下概率问题 1 ) 对固定礼1 ， o l d ，n ( m ) = p ( 最一0 ，1 i m ) ； 2 ) ( m ，几) = p ( & j 0 ，1 i m ，1 歹n ) 实际上，o l d ，n ( m ) 表示随机游动 鼠朋m ，钆1 ) 沿着水平方向( i ，礼) 佗固定，i 1 ) 的格点运动时，在前m 步逃脱原点的概率；而 y d ( m ，佗) 则表示 m m ，几 f叫 k 受 福建师范大学徐春芳硕：f ：学位论文 1 ) 在“时间”区间 ( t ，歹) ，1 t m ，1 歹礼) 内逃脱原点的概率并将文 7 】 的基础上对单指标随机游动相应运动情况推广，得到以下定理： 定理3 2 1 设 mm ，佗o ) 为两指标简单随机游动，则当d 3 且固 定n 1 ，成立 1 q 如_ 1 骢o t d , m n ( 仇) 2 彘， _ o o l j 。 且 o t d n 口d n ( m ) l 情形讨论两指标多维随机游动沿对角线方向不 返回原点的概率首先定义 s ( 4 ) = 咒j ，a 畔； ( i , j ) e a nz 2 当anz 2 = 谚时，约定s ( a ) = 0 记 尻( m ) = 尸( 最。詹0 ，1 k m ) ， v ( d ) - - - , p ( 鼠，1 = o ) ， k = l v v l 卜 c 之 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 q ( d ) = p ( s k ，七= o ) k = l 这里阮( m ) 表示两指标随机游动在前m 步不返回原点的“逃脱”概率，u ( d ) 表示两指标随机游动沿水平方向返回原点的概率，q ( d ) 表示两指标随机游动沿 对角线方向返回原点的概率 定理4 2 1 设 s 仇m 仇，佗1 ) 为两指标d 维简单随机游动，则当d 3 时，有 南 一 nm 硷 n 触 。：i = n y。 - 一 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 它表示两指标随机游动 朋m ，死o ) 在“矩形”时间区域 ( i ，歹) ：1 i m ，1 歹) 内不返回原点的概率，即“逃脱”概率不难发现，y = 一l i r a 。7 ，佗) ， 存在本章给出较一般条件下，y ( 0 ，1 ) 的具体表达式把【1 1 】的结论推进到两 指标情形 通过讨论墨。l 的特征函数，得到； 定理5 2 3 数，则7 且 若p ( 一= o ) 0 文【7 j 得到如。f 结论； 1 当d 3 时，n l _ + i m o o ) 2 2r 订万d ；n o ol 1 一 当d = 2 时，仇( n ) = 南+ c ) ( 等) - 文 1 2 】在讨论两指标对称随机游动 s mm ，礼1 ) 的常返性时，证明 该随机游动关于原点是常返的充要条件是p ( 一= o ) = o o 文【1 1 】在 讨论非常返的单指标随机游动局部时的时候发现a 一阶指数的局部时矩与“逃 脱”概率有内在联系文 1 2 】中定义 咒，t 1 ) 为z d 取值的i i d 随机变 4 第1 章引言 量s o = o ，& = 五，佗1 为单指标随机游动称；( n ，$ ) = 1 慨= 司为局 部时记l n ( 口) = f ( n ，历) a 则当口= 0 时，l n ( a ) = h 岛，& ，& ) 当 二三云 口= 2 时，l n ( 口) 为其自相交局部时文【1 1 t h e o r e m1 中证明了 比 0 i u l g - - m - o o 掣：妻舯( 1 刊， 仃o 鼍 其中7 为“逃脱”概率 1 2 本文的主要结果 1 对两指标多维随机游动，当考虑它在z d 格点沿水平方向运动时，得到： 定理3 2 1 设 s m n 仇，n o ) 为两指标简单随机游动，则当d 3 且固 定礼l ，成立 o t d 矿m u - - m * o o n ( m ) 2 竞， u j ” 且 a 如 o t d , n ( m ) 为两指标简单随机游动，则当d - - - 2 且固 定佗1 ，成立 酬咖景删鬻) 由以上两定理可以求出在2 维情形下，随机游动以概率1 返回原点；而在d 3 维的情形，随机游动以概率0 返回原点 2 若考虑两指标多维随机游动在别格点沿对角线方向运动时，得到： 定理4 2 1 设 朋m ，他1 ) 为两指标d 维简单随机游动，则当d 3 时，有 南 z d 0 ，有m a ，xi 磁i 肛从而，对所有确定的入 0 ，有 工气l i n 唾哪2 e 卅去南一 定义2 0 4 2 9 】p 代数，称c 仃代数，如果它对可列交及取余集运算封闭，且有 声 q c ，仍c j 定义2 0 5 2 9 】( b o r e lt 7 代划设x 为一距离空间，厂表示x 中闭集全体， 9 表示x 中开集全体显然有仃( 厂) = 仃( 9 ) ，称它为x 的b o r e l 仃代数，记为 b ( x ) 设a = ( a 1 ，a n ) 与b = ( b l ，k ) 为舯中的两个点若对一切i 有 0 4 玩( 相应地，啦 玩) ，则记为a b 相应地，o 6 ) 设a b ，令 c = ( o ，b l a 6 ，a ，b 舯) ， n p ( ( 口，h i ) = 1 - i ( b , 一a t ) i = 1 定理2 0 3 2 9 】( l e b e s g u e 测剐p 可以唯一地扩张成为召( r n ) 上的盯有限测度 ( 称之为l e b e s g u e 测度) 引理2 0 4 【2 9 】俾o r e l c a n t e l l i 引驯设【a n ，钆1 为一列事件 j ，若p ( a n ) o o ，则p ( a i0 ) = o j n = l 剀若进一步 如，几1 为相互独立，则p ( a 竹) = o o 蕴含p ( a n ，i 0 ) = n = l 1 定义2 0 6 【2 9 】( f o u r i e r 变换，设p 为舻上的一有限b o r e l 测度令 口( t ) = e 话嘧p ( d z ) ，t r ? ， ，r “ 称廖为p 的f o u r i e r 变换 8 第2 章预备知识 定义2 0 7 【2 9 l 借征函数，设( q ，尸，p ) 为一概率空间，= 已，1 i m ) 为m 维实值随机变量，f ( x l ，x m ) = 尸他x l ，z m ) ，o = ( x l ，z 仇) 舻为其分布函数。令 ， ) = 庙f = e 【e 社。专】= e i 厶霉d f ( x ) ，t ( 亡1 ，t m ) r m ， 称，为随机变量( 或分布函数f ) 的特征函数 性质2 0 5 1 2 9 借征函数的性质，特征函数有如下性质： 纠分布函数和特征函数之间的关系是一一对应的 剀如果墨，是相互独立的随机变量，它们和的特征函数便是它们的 特征函数的乘积 砂若随机变量的矩有限时，它们可由特征函数的微商得到，其关系式是 e x 忌卜去产( o ) ， 其中，i = = t ，( 七( 艺) = 是特征函数，( 亡) 的第k 阶导数 定义2 0 8 【2 6 l 任直穿越点，格点( z ，y ) 称为两指标随机游动s 的垂直穿越点， 若s ( i ，歹) s ( i ，j + 1 ) 0 定理2 0 6 4 1 ( s m y t h e 大数定理) 设s 为n 指标随机游动，并且具有实值增 量x = ( k ，t n ) 令凰为与五( 亡n n ) 同分布的随机变量，且 肛蔷胙毗) = 黔n ) 如果e 1 i ( 1 n + i 弱j ) 以) o ，o p 1 当5 = 死为正整数时，此即为 礼! = 厮( 罟) n e 去，o 0 0 ，记 为i 一歹称i 与j 互通，如果i 一歹，且j i ，记为ih 歹状态集夕的子集 a 称闭集，如果v i a 有黝= 1 如果y 不含真的闭子集，则马氏链称 j c a 为不可约 定义2 0 1 0 【3 1 l 伟i a ) 状态i 称为常返，若 p ( ；3 1 钆 + 0 0 ，使矗= 引岛= t ) = 1 ； 否则称i 为非常返绒暂态 及 t 常返的意思就是从i 出发，有限步内必回到i 令 如( 礼) 会r ( 在时刻借坳) ( n 歹) ， 垒 j 的 一 = r ( 厶= 歹，靠歹；0 尼 0 ( 3 2 1 ) 因此，l i r ao g d n ( m ) 存在，不妨记 o g d 。n 全l i mo t d ，n ( m ) ， n 霹全加 j = 1 ，n 全p ( ，n = o ) m = o 注意到，q 如( m ) 实际上就是随机游动 mm ，仃o ) 在前m 步不返回起点 的誓逃脱”概率然而与文【7 】不同的是，此时x 尹并不是如x 1 ，1 一样，仅在相 邻的点取值，即p ( 墨1 = e i ) = p ( x 1 ，t = - - e i ) = 去，l i d 砑是由n 个相 互独立与x 1 1 同分布的随机变量之和所以说对o l d ，忭的讨论比q d 稍加复杂 1 3 榍建师范大学徐春芳硕士学位论文 i i 定理3 2 1 设 ，n ，9 7 t ，n o ) 为两指标简单随机游动，则当d 3 且固定 礼1 ，成立 1 n2 嬲- * 0 0 a 咖( m ) 。彘i ， m u ，” 且 o c d ，n o g d ，竹) 口d ，n + d ( m 1 一去) ， 其中u a ，n = p ( ，n = o ) 证明由( 3 1 1 ) 式， 又由恐j 的分布对称性，有 g g d 。竹( m ) = 户( & ，竹一瓯，n 0 ，1 k 9 7 t 一1 ) 另外，由于尸( 岛，n = 0 ) = 1 ，因此 m 一1 1 = p ( 最一= o ，鼠，n o ，七= i + 1 ，m 一1 ) ( 3 2 2 ) i = 1 又由五j 的独立性，有 尸( 最，n = 0 ，鼠。竹0 ，k = i + 1 ，m 一1 ) 从而，有 = p ( 最n = o ) p ( 。n 0 ，k = + 1 ，m 一1 ) 当m 仃为偶数时， p ( 最，n = o ) a a ，n ( m i ) m - - 1 1 = 尸( & ，竹寻o ) a a n ( 仇一i ) i = 0 p ( ，n = o ) = k l + 舳d = 警 o _ k l k 2 k d ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) m 一 一 1 qi*磺 ；臌 p i lm nd 口 i ： 由【7 】7 知，此时 ， p ( _ 0 ) _ 2 ( 熹) 铒。( 赤) 由( 3 2 1 ) 及q d ，n ( m ) 关于m 的单调不增性，对1 忌m 有 七 m o t d , n ( m 一忌) 尸( 最。n = o ) + 尸( s ；f 一= o ) 1 i = 0 i = 七+ 1 让庇a ( m 一忌) 一+ o o ，当d 3 时，有 从而， 将( 3 2 2 ) 两边同时减去 可得， 去隆m - - 1 ， ， 聃矿。，( 州m ，一去) 1 一瓦1 匡m - - 1 啦旷。， ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 削& 2 - 陋 2 鲋 o l d 矿去， 慨2 固 ，n27 亍一 u 。， a d t i a d ，n ( m ) 一 0 | l 竹鼠 p 汹 尼 一 仇 nd 口 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 ：；自= ；：= = ；= = ：= j - ；= = ；：= = = = = = = = = l = = 目= ；自= ；= = ；= = = = ；j = 目_ 2 i _ 口_ l = = _ - 目_ = = ； 证明由( 2 2 4 ) 知 p ( - 0 ) = 羔+ d ( 鼽若2 2 + r a n ； 由此可得 壹聃矿o ) ：掣1 0 9 七 由( 3 2 1 ) 有 ，、 等掣l o g m 1 + d ( 1 ) n 一 一一v 一 、7 类似的，令0 l k 1 令l = k 一【忐】，即有 q 2 ，n ( m 1 ) 譬掣1 0 9 ( m 一；) + 。( 1 ) 1 又由( 3 2 1 0 ) 可得 则有 由s t i r l i n g 公式 q 2 ，缸( m ) = 1 妒n 石4 ；- 矿o ( 1 ) 巩竹( m ) = 赢1 【m n ) 2 ， 观n ( m ) = 磊1 + d ( 嘉) 2 ” ( 3 2 9 ) ( 3 2 i 0 ) ( 3 2 i i ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) 则( 3 2 9 ) 的右边可用警+ 。( 去) ( c 为常数) 替代，则( 3 2 l o ) 可改写为 a 2 一m ) 毒+ d ( 而1 而) ( 3 2 1 5 ) l 类似的，由( 3 2 1 1 ) 和( 3 2 1 2 ) 有 枷叫 簧+ o c 小嘉b g 知扣1 - 日 q 2 ，n ( m - 1 ) l 。g ( m z ) 虿n 丌一- o g 了k + 。( 詈) 端 由( 3 2 1 3 ) 和( 3 2 1 5 ) 有 q 2 一m ) = 岛删鬻) ( 3 2 1 6 ) q 2 n ( m ) 2 蒜+ 。( 等) ( 3 2 1 6 ) 注3 2 3 由( 3 2 8 ) 和( 3 2 1 6 ) 可知，在2 维情形下，随机游动返回原点的概率 为工j 而在d ( 3 ) 维的情形下，随机游动返回原点的概率为0 这与 7 】中单指 躲的情彤的结论是一致的 1 7 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 第4 章两指标随机游动沿对角线方向的 “逃脱概率q二=u l v vi 4 1 背景介绍 上一章我们讨论了两指标d 维随机游动沿水平方向“逃脱”原点的概率， 下面讨论它沿对角线方向“逃脱”原点的概率 设 j ；i 1 ，j 1 ) 为d 维i i d 随机变量，且p ( 咒j = ) = 尸( 咒j = - - e k ) = 刍，其中e l ，e d 是r d 空间中的d 个正交单位向量 m 7 1 ，n = 五j ，m ，礼1 ， i = lj = l 约定岛。n = s 。0 = 0 ，则称 s ，n ，m ，死o ) 为两指标简单随机游动 为便于叙述，对n 至上的子集a ，记 s ( a ) = ( 钳) a nz 2 五j ， 粕er a ， 当4nz 2 = 函时，约定s c a ) = 0 显然，沿对角线方向运动的两指标随机游动的概率问题比沿水平方向运动 的相应问题略复杂一些k h o s h n e v i s a n 和r e v e s z 在文【8 】中考虑d = 1 时两指 标简单随机游动沿对角线方向返回原点的问题得到 z ( m ) = m ；+ d ( 1 ) ，m _ o 。，o s 其中z ( m ) = 4 尼：瓯，七= 0 ，1 忌m ) 4 2 主要结果及其证明 本小节将考虑d 2 情形，该随机游动的不返回原点的概率的极限特征 记 尻( m ) = p ( s k ，七0 ，1 k m ) ， 1 8 0 ： ，k 第4 章两指标随机游动沿对角线方向的“逃脱”概率 纱( d ) = p ( 瓯，1 = o ) ， k = l q ( d ) = p ( 鼠，萨o ) 这里尻( m ) 表示两指标随机游动在m 步的转移中不返回原点的概率，u c d ) 表 示两指标随机游动在沿竖直方向返回原点的概率，q ( d ) 表示两指标随机游动在 沿对角线方向返回原点的概率 0。1 由文 7 】知p ( s k ，詹2o ) = 2 ( 蒜杀) 詈+ 。( 索) ：其中k 为偶数 因此当d 2 时，q c d ) + o o ；当d 3 时，u ( d ) 0 因此l i m 风( m ) 存在，不妨记为尻关于尻，我们有如下结论； 定理4 2 1 设 ， ，m ，他1 ) 为两指标d 维简单随机游动，则当d 3 时， 有 南阮阮( m ) 丽1 + d ( 去) 证明由于s o 0 = 0 ，因此 n 1 = p ( s o ，o = o ) = p ( u 瓯，萨o ) ) k = o 以下记a k = 瓯，屉= o ) ，k 0 ，则 ，lm - 1 u a k = a mu ( ua k a k + t 瓦) k = o k = o 由于上式右边是不交并，从而 m - 1 1 = p ( a k a k + i 碥+ p ( a m ) ( 4 2 1 2 ) 1 9 福建师范大学徐春芳硕士学位论文 g = = = ；= = = 自= = ，；= = = ；= = = = ；= = ：= ：= = = j l e = = = = = = = = = = = = = = = = = 目= = = = t = ；= = 口= = = ；